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概率统计知识点?考研
考研数学知识点-概率统计一. 随机事件和概率 1、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义 设 ? 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一 个实数 P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件 A1 ， A2 ，…有（4）全概公式 设事件 B1,
B 2, Λ , Bn 满足 1 °B1, B 2, Λ , Bnn两两互不相容，P ( Bi ) & 0(i = 1,2, Λ , n) ，2° 则有A ? Υ Bii =1，P( A) = P(B1)P( A | B1) + P(B2)P( A | B2) + Λ + P(Bn)P( A | Bn)。 此公式即为全概率公式。 （5）贝叶斯公式 设事件 B1 ， B 2 ，…， Bn 及 A 满足? ? P? Υ Ai ? = ∑ P( Ai ) ? ? ? i =1 ? i =1∞ ∞常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)为事件 A 的概率。（2）古典概型（等可能概型） 1° ? = { 1 , ω 2 Λ ωω n }，P i B …， 1° B1 ， 2 ， Bn 两两互不相容， ( Bi ) &0， = 1， n， 2，…，2° P (ω 1 ) = P (ω 2 ) = Λ P (ω n ) =1 。 nP(A)= {(ω 1 ) Υ (ω 2 ) Υ Λ Υ (ω m )}= P (ω 1 ) + P (ω 2 ) + Λ + P (ω m )设任一事件 A ，它是由 ω 1 , ω 2 Λω m 组成的，则有2° 则A ? Υ Bii =1n， P ( A) & 0 ，P ( Bi / A) =P( Bi ) P( A / Bi )∑ P( Bj =1n，i=1，2，…n。j) P( A / B j )m A所包含的基本事件数 = = n 基本事件总数此公式即为贝叶斯公式。2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、 贝叶斯）（1）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) （2）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B ? A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω时，P( B )=1- P(B) （3）条件概率和乘法公式 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)&0，则称2 …， ， P ( Bi ) ， i = 1 ， ， n ） 通常叫先验概率。 ( Bi / A) ， （ P （ i = 1 ， 2 ，…， n ） ，通常称为后验概率。如果我们把 A 当作观察的“结果” B1 ， B 2 ，…， Bn 理解为“原 ，而因” ，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出 了“由果朔因”的推断。3、事件的独立性和伯努利试验（1）两个事件的独立性 设事件 A 、 B 满足 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) ，则称事件A 、 B 是相互独立的（这个性质不是想当然成立的） 。 若事件 A 、 B 相互独立，且 P ( A) & 0 ，则有P ( B | A) =P( AB) P( A) P( B ) = = P( B) P( A) P( A)所以这与我们所理解的独立性是一致的。 则可得到 A 与 B 、A 与 B 、 若事件 A 、B 相互独立，P( AB) 为事件 P( A)A 与 B 也都相互独立。 （证明）由定义，我们可知必然事件 ? 和不可能事件 ? 与任 何事件都相互独立。 （证明） 同时，? 与任何事件都互斥。 （2）多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，1 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为P ( B / A) =P( AB) 。 P( A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概 率。http://zhipeili.考研数学知识点-概率统计P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 两两互斥→互相互斥。 两两独立→互相独立？ （3）伯努利试验 定义 我们作了 n 次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生； n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一 样； 每次试验是独立的， 即每次试验 A 发生与否与其他 次试验 A 发生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。 用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为称为随机变量 X 的分布函数。P (a & X ≤ b) = F (b) ? F (a)可以得到 X 落入区间 ( a, b] 的概率。也就是说，分布函数完整地描述了随机 变量 X 随机取值的统计规律性。 分布函数 F ( x) 是一个普通的函数，它表示随机变量 落入区间（C ∞，x]内的概率。F ( x) 的图形是阶梯图形， x1 , x 2 , Λ 是第一类间断点，随机变量 X 在 x k 处的概率就是 F ( x) 在 x k 处的跃 度。 分布函数具有如下性质： 1° 2°0 ≤ F ( x) ≤ 1,? ∞ & x & +∞ ；1 ? p = q ， 用 Pn (k ) 表 示 n 重 伯 努 利 试 验 中 A 出 现 k (0 ≤ k ≤ n) 次的概率，F ( x) 是单调不减的函数，即 x1 & x 2 时，有F ( x1) ≤ F ( x 2) ；3°二. 随机变量及其分布 1、随机变量的分布函数（1）离散型随机变量的分布率 设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取 各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,…， 有 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。 时也用分布列的形式给出：F (?∞) = lim F ( x) = 0x → ?∞ x → +∞，F (+∞) = lim F ( x) = 1 ；4° 5°F ( x + 0) = F ( x) ，即 F (x) 是右连续的； P ( X = x) = F ( x) ? F ( x ? 0) 。X x1, x 2,Λ , xk , Λ | P ( X = xk ) p1, p 2,Λ , pk ,Λ 。显然分布律应满足下列条件： （1） pk ≥ 0 ， k = 1,2, Λ ，（3）连续型随机变量的密度函数 定义 设 F (x ) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函 数 f (x ) ，对任意实数 x ，有F ( x) = ∫ f ( x)dx?∞x，（2） k =1∑p∞k=1。则称 X 为连续型随机变量。 f (x ) 称为 X 的概率密度函 数或密度函数， 简称概率密度。 f (x ) 的图形是一条曲线， 称为密度（分布）曲线。 由上式可知，连续型随机变量的分布函数 F (x ) 是连续函 数。 所以，（2）分布函数 对于非离散型随机变量，通常有 P ( X = x) = 0 ，不可 能用分布率表达。 例如日光灯管的寿命 X ， ( X = x 0) = 0 。 P 所以我们考虑用 X 落在某个区间 ( a, b] 内的概率表示。 定义 设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数P x1 ≤X≤x2) =P x1 &X≤x2) =P x1 ≤X&x2) =P x1 &X&x2) =F(x2)?F(x1) ( ( ( (密度函数具有下面 4 个性质： 1° 2°f ( x) ≥ 0 。F ( x) = P( X ≤ x)2∫+∞?∞f ( x)dx = 1。Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月考研数学知识点-概率统计的几何意义；在横轴上面、密度 曲线下面的全部面积等于 1。?∞F (+∞) = ∫+∞f ( x)dx = 1X ~ B(n, p) 。X | P( X = k ) q n , npq n ?1 , C 2 p 2 q n ? 2 ,Λ , C k p k q n ? k ,Λ , p n n n容易验证，满足离散型分布率的条件。 当 n = 1 时，P ( X = k ) = p qk 1? k如果一个函数 f (x ) 满足 1°、2°，则它一定是某个随机变量 的密度函数。 3°P ( x1 & X ≤ x 2 ) ＝ F ( x 2 ) ? F ( x1 ) ＝ ∫ f ( x)dx 。x1x24° 若 f (x ) 在 x 处连续，则有 F ′( x ) = f ( x ) 。，k = 0.1 ， 这就是 （0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 ③泊松分布 设随机变量 X 的分布律为P ( x & X ≤ x + dx) ≈ f ( x)dx它在连续型随机变量理论中所起的作用与 P ( X = xk ) = pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。P( X = k ) =λkk!e ?λ ， λ & 0 ， k = 0,1,2Λ ，E → ω, ? →A→ P( A), (古典概型，五大公式，独立性)则称随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，记为X (ω ) → X (ω ) ≤ x → F ( x) = P( X ≤ x)对于连续型随机变量 X ，虽然有 P ( X = x ) = 0 ，但事件X ~ π (λ ) 或者 P( λ )。泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞） 。 ④超几何分布( X = x ) 并非是不可能事件 ?。x+hP ( X = x ) ≤ P ( x & X ≤ x + h) =∫ f ( x)dxxP( X = k ) =k n C M ? C N? kM k = 0,1,2Λ , l ? , n l = min( M , n) CN随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布。 ⑤几何分布令 h → 0 ， 则 右 端 为 零 ， 而 概 率 P( X = x) ≥ 0 ， 故 得P( X = x) = 0 。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是 不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。P ( X = k ) = q k ?1 p, k = 1,2,3, Λ ，其中 p≥0，q=1-p。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布。 ⑥均匀分布 b]内， 其密度函数 f (x ) 在 设随机变量 X 的值只落在[a， [a，b]上为常数 k，即2、常见分布①0－1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q ②二项分布 在 n 重贝努里试验中， 设事件 A 发生的概率为 p 。 事件 A 发 生的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为?k , f ( x) = ? ?0,其中 k=a≤x≤b 其他，0,1,2,Λ , n 。 P ( X = k ) = Pn(k ) = C n p qk k n?k1 ， b?a 则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，，其中b)。 分布函数为 0， x&a，q = 1 ? p,0 & p & 1, k = 0,1,2,Λ , n ，则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为3x?a , b?aa≤x≤bEdited by 杨凯钧 2005 年 10 月考研数学知识点-概率统计F ( x) = ∫ f ( x)dx =?∞x1，x&b。1 F ( x) = 2πσ∫x?(t ? ? ) 2 2σ 2?∞edt。 。当 a≤x1&x2≤b 时，X 落在区间（ x1 , x2 ）内的概率为 P(x1 & X & x 2 ) = ∫ f ( x ) dx = ∫x1x2x2x1x ? x1 1 dx = 2 b?a 。 b?a参数 ? = 0 、 σ = 1 时的正态分布称为标准正态分布，记 为 X ~ N (0,1) ，其密度函数记为x2⑦指数分布 设随机变量 X 的密度函数为? ( x) =分布函数为λ e ? λx ,1 ?2 e 2π ， ? ∞ & x & +∞ ，f (x ) =0,x ≥ 0, x & 0,其中 λ & 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布。 X 的分布函数为。Φ (x ) 是不可求积函数， 其函数值， 已编制成表可供查用。 φ(x)和 Φ(x)的性质如下： 1° φ(x)是偶函数，φ(x)＝φ(-x)；?∞1 Φ ( x) 2π∫xe?t2 2dt1 ? e ? λx ,F (x ) =0,x ≥ 0,x&0。+∞2° 当 x=0 时，φ(x)＝ 3°1 2π为最大值；Φ(-x)＝1-Φ(x)且 Φ(0)＝2记住几个积分：+∞∫ xe dx = 1,?x0∫ x e dx = 2,2?x如果 X ~ N ( ? , σ ) ，则X ??1 。 20所以我们可以通过变换将 F (x) 的计算转化为 Φ (x) 的计 算，而 Φ (x) 的值是可以通过查表得到的。σ~ N (0,1) 。+∞n ?1 ? x ∫ x e dx = (n ? 1)!0Γ(α ) = ∫ x α ?1e ? x dx ，0+∞Γ(α + 1) = αΓ(α )?x ??? ?x ??? P ( x1 & X ≤ x 2 ) = Φ? 2 ? ? Φ? 1 ?。 ? σ ? ? σ ?分位数的定义⑧正态分布 设随机变量 X 的密度函数为?( x?? )2 2σ 23、随机变量函数的分布1? 、 σ 的 正 态 分 布 或 高 斯 （ Gauss ） 分 布 ， 记 为 X ~ N ( ? ,σ 2 ) 。f (x ) 具有如下性质：1° 2° 3°e ， 2π σ 其中 ? 、 σ & 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为f ( x) =? ∞ & x & +∞ ，随机变量 Y 是随机变量 X 的函数 Y = g ( X ) ，若 X 的分 布 函 数 FX (x ) 或 密 度 函 数 f X (x ) 知 道 ， 则 如 何 求 出Y = g ( X ) 的分布函数 FY ( y ) 或密度函数 f Y ( y ) 。（1） X 是离散型随机变量 已知 X 的分布列为f (x ) 的图形是关于 x = ? 对称的；当 x = ? 时， f ( ? ) =12π σ f (x ) 以 ox 轴为渐近线。为最大值；x1, x 2, Λ , xn, Λ X ， P( X = xi ) p1, p 2, Λ , pn, Λ显 然 ， 分布列如下：体沿 ox 轴平行移动，所以 ? 又称为位置参数。当 ? 固定、 改变 σ 时， f (x ) 的图形形状要发生变化，随 σ 变大， f (x ) 图形的形状变得平坦，所以又称 σ 为形状参数。 若 X ~ N ( ? ,σ ) ，则 X 的分布函数为2特别当 σ 固定、改变 ? 时， f (x ) 的图形形状不变，只是集Y = g(X )的 取 值 只 可 能 是g ( x1), g ( x 2),Λ , g ( xn),Λ ，若 g ( xi ) 互不相等，则 Y 的g ( x1), g ( x 2), Λ , g ( xn), Λ Y ， P(Y = y i ) p1, p 2, Λ , pn, Λ4 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月考研数学知识点-概率统计若有某些 g ( xi ) 相等，则应将对应的 Pi 相加作为 g ( xi ) 的概 率。 （2） X 是连续型随机变量 先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)，再利用 变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。其中 f X ( x ) & 0, f Y ( y ) & 0 分别为 X， 的边缘分布密度。 Y （3）常见的二维分布 ①均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为三.二维随机变量及其分布 1、二维随机变量的基本概念（1）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布 对于二维随机向量ξ = (X ,Y ) ， 如 果 存 在 非 负 函 数f ( x, y )(?∞ & x & +∞,?∞ & y & +∞) ，使对任意一个其邻边 分 别 平 行 于 坐 标 轴 的 矩 形 区 域 D={(X,Y)|a&x&b,c&y&d}有 D ， 即? 1 ?S ? D f ( x, y ) = ? ?0, ? ?( x, y ) ∈ D 其他其中 SD 为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀 分布，记为（X，Y）～U（D） 。 ②正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为P{( X , Y ) ∈ D} = ∫∫ f ( x, y )dxdy,D则称 ξ 为连续型随机向量；并称 f(x,y)为 ξ =（X，Y）的分 布密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。 分布密度 f(x,y)具有下面两个性质： （1） f(x,y)≥0; （2）f ( x, y) =1 2πσ 1σ 2 1 ? ρ 2?e?? x ?? ? 2 2 ρ ( x?? )( y ?? ) ? y ?? ? 2 ? 1? 1 2 2 ?? ? ? +? ? σ ? ? ? σ1σ 2 2(1? ρ ) ?? σ1 ? ? ? 2 ? ? ?? 12,∫ ∫+∞ +∞?∞ ?∞f ( x, y )dxdy = 1.一般来说，当（X，Y）为连续型随机向量，并且其联合分布 密度为 f(x,y)，则 X 和 Y 的边缘分布密度为其中 ?1 , ? 2 , σ 1 & 0, σ 2 & 0, |ρ |& 1 ，共 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布， 记为（X，Y）～N（ ? 1 , ? 2,σ 1 , σ 2 , ρ ).2 2f X ( x) = ∫+∞?∞f ( x, y )dy，Y ( y ) = ∫ f+∞?∞f ( x, y )dx.注意：联合概率分布→边缘分布 （2）条件分布 当（X，Y）为离散型，并且其联合分布律为由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个 边缘分布仍为正态分布，反推则错。 即 X～N（ ? 1 , σ 1 ), Y ~ N ( ? 2,σ 2 ).2 2P{( X , Y ) = ( x i , y j )} = p ij (i, j = 1,2, Λ ),在已知 X=xi 的条件下，Y 取值的条件分布为P (Y = y j | X = x i ) =p ij pi?（5）二维随机向量联合分布函数及其性质 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函 数,F ( x, y ) = P{ X ≤ x, Y ≤ y}称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变 量 X 和 Y 的联合分布函数。 分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件其中 pi?, p?j 分别为 X，Y 的边缘分布。 当 （X， 为连续型随机向量， Y） 并且其联合分布密度为 f(x,y)， 则在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为f ( x | y) =f ( x, y ) f Y ( y){(ω 1 , ω 2 ) | ?∞ & X (ω 1 ) ≤ x,?∞ & Y (ω 2 ) ≤ y} 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数 F(x,y)具有以下的基 本性质： （1） 0 ≤ F ( x, y ) ≤ 1;5 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为f ( y | x) =f ( x, y ) f X ( x)考研数学知识点-概率统计（2）F（x,y）分别对 x 和 y 是非减的，即 当 x2&x1 时， F 2,y） 有 （x ≥F(x1,y);当 y2&y1 时， F(x,y2) ≥ 有 F(x,y1); （3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和 Y 独立； 充要条件：X 和 Y 不相关。 （5） Y=g(X) 离散： E (Y ) =F ( x, y ) = F ( x + 0, y ), F ( x, y ) = F ( x, y + 0);（ 4 ）∑ g(xi =1nk) pk+∞F (?∞,?∞) = F (?∞, y ) = F ( x,?∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1.连续： E ( X ) =?∞ +∞∫ xf ( x)dx2、随机变量的独立性（1）连续型随机变量 f(x,y)=fX(x)fY(y) 联合分布→边缘分布→f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 （2）二维正态分布E (Y ) =（2）方差 D(X)=E[X-E(X)]2，方差?∞∫ g ( x) f ( x)dxσ ( X ) = D( X ) ，标准差①离散型随机变量D ( X ) = ∑ [ x k ? E ( X )]2 p kk②连续型随机变量? ?? x?? ?2 2 ρ ( x?? )( y ?? ) ? y ?? ?2 ? 1? 1 2 2 ?? ? ? +? ? σ ? ? ? σ1σ 2 2(1? ρ ) ?? σ1 ? ? ? 2 ? ? ??1f ( x, y) =1 2πσ 1σ 2 1 ? ρ 22e,D( X ) = ∫ [ x ? E ( X )]2 f ( x)dx?∞+∞ρ=0 （3）随机变量函数的独立性 若 X 与 Y 独立，h,g 为连续函数，则：h（X）和 g（Y）独立。③方差的性质 （1） D(C)=0；E(C)=C （2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X) （3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4） D(X)=E(X2)-E2(X) （5） D(X+Y)=D(X)+D(Y)， 充分条件： 和 Y 独立； X 充要条件：X 和 Y 不相 关。 D(X ± Y)=D(X)+D(Y) ± 2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 （3）常见分布的数学期望和方差 分布 名称 0-1 分布 二项 分布 泊松 分布 几何 分布四. 随机变量的数字特征（1）一维随机变量及其函数的期望 ①设 X 是离散型随机变量，其分布律为 P( X = x k )＝pk， k=1,2,…,n，E ( X ) = ∑ xk pkk =1n符号均值 p np方差期望就是平均值。 ②设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，+∞B (1, p) B (n, p ) P (λ ) G ( p)p(1 ? p) np(1 ? p)E( X ) =?∞∫ xf ( x)dx③数学期望的性质 （1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X) （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， E (λ1 pλ1? p p2∑ Ci X i ) = ∑ Ci E ( X i )i =1 i =1nn6Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月考研数学知识点-概率统计超几 何分 布 均匀 分布 指数 分布 正态 分布H (n, M , N )nM N a+b 2 1nM N? M ?? N ? n ? ?1 ? ?? ? N ?? N ? 1 ? ? (b ? a) 12 12⑧正态分布X~N(μ,σ )， f ( x ) =2 21 2π σ?( x?? )2 2σ 2eE(X)= μ， D(X)= σU ( a, b) e (λ ) N (? ,σ 2 )2、二维随机变量的数字特征（1）协方差和相关系数 对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩 ? 11 为 X 与 Y 的协方差或相关矩，记为 σ XY 或 cov( X , Y ) ，即λλ2?σ21 p①0－1 分布 X 0 q E(X)=p，D(X)=pq X~B(n,p)，Pn (k ) = C p qk n k n?kσ XY = ?11 = E[( X ? E ( X ))(Y ? E (Y ))].与记号 σ XY 相对应，X 与 Y 的方差 D（X）与 D（Y）也 可分别记为 σ XX 与 σ YY 。②二项分布， （k=0,1,2…n）E(X)=np，D(X)=npq③泊松分布 P(λ) P(X=k)= E(X)= λ， D(X)= λλk e ? xk!，k=0,1,2…协方差有下面几个性质： (i) cov (X, Y)=cov (Y, X); (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv) cov(X,Y)=E(XY)-(E(X))(E(Y)). 对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X）&0, D(Y)&0，则称σ XYD( X ) D(Y ) C C Ck M n?k N ?M n N④超几何分布 P ( X = k ) =。 为 X 与 Y 的相关系数，记作 ρ XY （有时可简记为 ρ ） | ρ |≤1，当| ρ |=1 时，称 X 与 Y 安全相关：E(X)=nM N P ( X = k ) = pq k ?1 ，k=0,1,2…⑤几何分布完全相关 ??正相关，当ρ = 1时， ?负相关，当ρ = ?1时，E(X)=q 1 ， D(X)= 2 p p而当 ρ = 0 时，称 X 与 Y 不相关。 与相关系数有关的几个重要结论 （i） 若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 ρ XY = 0 ； 反之不真。 （ii） 若（X，Y）～N（ ? 1 , ? 2 , σ 1 , σ 2 , ρ ） ，则 X2 21 ⑥均匀分布 X~U[a,b]，f(x)= ，[a, b ] b?a a+b (b ? a) 2 E(X)= ， D(X)= 2 12即 与 Y 相互独立的充要条件是 ρ = 0 ， X 和 Y 不相关。 以下五个命题是等价的：⑦指数分布 f(x)= E(X)=λe ? λx ，(x&0)（iii）1λ， D(X)=1λ27① ρ XY = 0 ； ②cov(X,Y)=0;Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月考研数学知识点-概率统计③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). （2）二维随机变量函数的期望率P( X ? ? ≥ ε )的一种估计，它在理论上有重要意义。? ∑∑ G ( xi , y j ) pij， , Y )为离散型； (X 2、大数定律 ? i j ? +∞ +∞ E[G ( X , Y )] = ? （1）切比雪夫大数定律 (X ? ∫ ∫ G ( x, y ) f ( x, y )dxdy， , Y )为连续型。 （要求方差有界） ?－∞ －∞ ?设随机变量 X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被 同一常数 C 所界：D（Xi）&C(i=1,2,…),则对于任意的正 数ε，有（3）原点矩和中心矩 ①对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 vk,即 k uk=E(X ), k=1,2, …. 于是，我们有?1 n ? 1 n lim P? ∑ X i ? ∑ E ( X i ) & ε ? = 1. ?n ? n→∞ n i =1 ? i =1 ?特殊情形：若 X1，X2，…具有相同的数学期望 E（XI） =μ，则上式成为?∑ x p i ? i ? uk = ? ? + ∞ x k p ( x)dx, ?∫? ∞ ?k i当X为离散型时， 当X为连 续型时.?1 n ? lim P? ∑ X i ?? & ε ? = 1. ? n→∞ ? n ? i =1 ?或者简写成：n →∞lim P X ? ? & ε = 1.切比雪夫大数定律指出，n 个相互独立，且具有有限 的相同的数学期望与方差的随机变量，当 n 很大时，它 们的算术平均以很大的概率接近它们的数学期望。 （2）伯努利大数定律 设μ是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数， 是事件 p A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有()②对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的 k 次幂的数学 期望为 X 的 k 阶中心矩，记为 ? k ，即? k = E ( X ? E ( X )) k , k = 1,2, Λ .于是，我们有?∑ ( x i ? E ( X )) k p i ? i ? uk = ? ? + ∞( x ? E ( X )) k p ( x)dx, ?∫? ∞ ?k当X为离散型时， 当X为连 续型时.ln→∞?? ? lim P? ? p & ε ? = 1. ? n ? ? ?伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即③对于随机变量 X 与 Y，如果有 E ( X Y ) 存在，则称之为 X 与 Y 的 k+l 阶混合原点矩，记为 u kl ，即?? ? lim P? ? p ≥ ε ? = 0. ? n ? n →∞ ? ?这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 （3）辛钦大数定律 （不要求存在方差） 设 X1，X2，…，Xn，…是相互独立同分布的随机变量 序列，且 E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有u kl = E[( X ? E ( X )) k (Y ? E (Y ))].五. 大数定律和中心极限定理 1、切比雪夫不等式设随机变量 X 具有数学期望 E（X）=μ，方差 D（X）=σ ， 则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式2?1 n ? lim P? ∑ X i ?? & ε ? = 1. ?n ? n→∞ ? i =1 ?P( X ? ? ≥ ε ) ≤σ2 ε2切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概8 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月考研数学知识点-概率统计3、中心极限定理（1）列维－林德伯格定理 设随机变量 X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具 有 相 同 的 数 学 期 望 和 方 差 ：1、总体、个体和样本（1）总体与样本 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某 一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体） ；而把总 体中的每一个单元称为样品 （或个体） 在以后的讨论中， 。 我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机 向量） 。 （2）样本函数与统计量 设 x1 , x 2 , Λ , x n 为总体的一个样本，称E ( X k ) = ? , D( X k ) = σ 2 ≠ 0(k = 1,2, Λ ) ，则随机变量Yn =∑Xk =1nk? n?nσ的分布函数 Fn(x)对任意的实数 x，有? ? ? ? ∑ X k ? n? 1 ? ? lim Fn ( x) = lim P ? k =1 ≤ x? = n →∞ n →∞ nσ 2π ? ? ? ? ? ?n? =?（ x1 , x 2 , Λ , x n ）∫x?∞e?t2 2为样本函数，其中 ? 为一个连续函数。如果 ? 中不包含dt.任何未知参数，则称 ? （ x1 , x 2 , Λ , x n ）为一个统计量。或者简写成：X ??σ/ n??∞ → N (0,1) ? n→2、统计量（1）常用统计量 样本均值此定理也称为独立同分布的中心极限定理。x=（2）棣莫弗－拉普拉斯定理 设随机变量 X1，…Xn 均为具有参数 n, p(0&p&1)的二项 分布，则对于任意实数 x,有1 n ∑ xi . n i =1样本方差? X n ? np ? 1 ? ? = lim P ? ≤ x? = n →∞ 2π ? np(1 ? p ) ? ? ?∫x?∞e?t 22dt.1 n S = ∑ ( xi ? x) 2 . n ? 1 i =12（与概率论中的方差定义不同）4、二项定理和泊松定理（1）二项定理 若当 N → ∞时, 样本标准差S=M → p(n, k不变) ，则 N样本 k 阶原点矩1 n ∑ ( xi ? x) 2 . n ? 1 i =1K n C M C N? kM k ? → C n P k (1 ? p) n ? k N CN( N → ∞).样本 k 阶中心矩Mk =1 n k ∑ xi , k = 1,2, Λ . n i =1可见，超几何分布的极限分布为二项分布。 （2）泊松定理 若当 n → ∞时, np → λ & 0 ，则′ Mk =1 n ∑ ( xi ? x) k , k = 2,3, Λ . n i =1（ 二 阶 中 心 矩C P (1 ? p )k n kn?k→λkk!e?λ(n → ∞).S *2 =1 n ∑ ( X i ? X ) 2 与概率论中的方差定义相同） n i =1其中 k=0，1，2，…，n，…。 （2）统计量的期望和方差六. 数理统计的基本概念E ( X ) = ? ， D( X ) =σ2n，9Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月考研数学知识点-概率统计E (S 2 ) = σ 2 ， E (S *2 ) =nn ?1 2 σ , n的概率密度为1 2 2 其中 S * = ∑ ( X i ? X ) ，为二阶中心矩。 n i =1? n + 1? Γ? ? 2 ? 2 ? ? t ?1 + f (t ) = n ?n?? nπ Γ ? ? ? ? 2?? ? ? ??n +1 2(?∞ & t & +∞).3、三个抽样分布（χ2、t、F 分布）（1）χ 分布 设 n 个随机变量 X 1 , X 2 , Λ , X n 相互独立， 且服从标准正态 分布，可以证明：它们的平方和2我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T～ t(n)。 注意两个结果：E(T)=0，D(T)=n (n&2) n?2（3）F 分布 设 X ~ κ ( n1 ), Y ~ κ ( n 2 ) ，且 X 与 Y 独立，可以证明：2 2W = ∑ X i2i =1n的分布密度为n u ?1 ? ? 1 2 u e 2 ? n ? n? f (u ) = ? 2 2 Γ? ? ? ? ? 2? ?0, ?F=X / n1 的概率密度函数为 Y / n2u ≥ 0, u & 0.2我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的 κ 分布，记为 W～? ? n1 + n 2 ? ? ? Γ? ? 2 ? ? n1 ? ? ? f ( y ) = ? ? n1 ? ? n 2 ? ? n 2 ? ? Γ? ? Γ? ? 2? ? 2 ? ? ? ?0, ?? ? y ? ?n1 2n1 ?1 2? n ? ?1 + 1 y ? ? n2 ? ? ??n1 + n2 2,yyκ 2 (n)，其中? n ? + ∞ ?1 Γ? ? = ∫ x 2 e ? x dx. ?2? 0所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分 布中的一个重要参数。n我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由 度为 n2 的 F 分布，记为 F～f(n1, n2). 正态分布 ? 1?α = ? ? α ，t1?α (n) = ?tα (n) ， F1?α (n1 , n 2 ) = 1 Fα (n 2 , n1 )κ 2 分布满足可加性：设Yi ? κ 2 (ni ),则4、正态总体下统计量的分布和性质Z = ∑ Yi ~ κ 2 (n1 + n 2 + Λ + n k ).i =1 k注意一个定理： X 与 S 独立。2注意两个结果：E(χ )=n，D(χ )=2n （2）t 分布 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且22（1）正态分布2设 x1 , x 2 , Λ , x n 为来自正 态总体 N ( ? , σ ) 的一个样本，则样本函数defX ~ N (0,1), Y ~ κ 2 (n),可以证明：函数u T= X Y /n（2）t-分布10x??σ/ n~ N (0,1).设 x1 , x 2 , Λ , x n 为来自正态总体Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月考研数学知识点-概率统计N ( ? , σ 2 ) 的一个样本，则样本函数 tdefθ 1 , θ 2 , Λ , θ m ， 即 v k = v k (θ 1 , θ 2 , Λ , θ m ) 。 又 设x1 , x 2 , Λ , x n 为总体 X 的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为x?? S/ n~ t (n ? 1),其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。 （3） κ 设 x1 , x 2 , Λ , x n 为 来 自 正 态 总vk =2∧1 n k ∑ xi n i =1(k = 1,2, Λ , m).分布2体 N ( ? , σ ) 的一个样本，则样本函数def这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于 相应的样本矩”的原则建立方程，即有∧ 1 n ? ∧ ∧ v1 (θ 1 , θ 2 , Λ , θ m ) = ∑ x i , ? n i =1 ? ? ∧ ∧ ∧ 1 n ? v 2 (θ 1 , θ 2 , Λ , θ m ) = ∑ x i2 , ? n i =1 ? ? ? ?Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ ? ? n ∧ ∧ ∧ ?v (θ , θ , Λ , θ ) = 1 ∑ x m . m m i 1 2 ? n i =1 ?w2(n ? 1) S 2σ2~ κ 2 (n ? 1),2其中 κ (n ? 1) 表示自由度为 n-1 的 κ 分布。（4）F 分布设 x1 , x 2 , Λ , x n 为 来 自 正 态 总 体N ( ? , σ 2 ) 的一个样本，而 y1 , y 2 , Λ , y n 为来自正态总体2 N ( ? , σ 2 ) 的一个样本，则样本函数 ∧ ∧由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数F其中defS12 / σ 122 2 S2 / σ 2(θ 1 , θ 2 , Λ , θ m ) 即为参数（ θ 1 , θ 2 , Λ , θ m ）的矩估计量。∧~ F (n1 ? 1, n 2 ? 1),1 n1 S = ∑ ( x i ? x) 2 , n1 ? 1 i =12 11 n2 S = ∑ ( yi ? y) 2 ; n 2 ? 1 i =12 2（2）最大似然法 所谓最大似然法就是当我们用样本的函数值估计总 体参数时，应使得当参数取这些值时，所观测到的样本 出现的概率为最大。 当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为F (n1 ? 1, n 2 ? 1) 表示第一自由度为 n1 ? 1 ，第二自由度为 n 2 ? 1 的 F 分布。f (θ 1 , θ 2 , Λ , θ m ) ，其中 θ 1 ,θ 2 , Λ ,θ m 为未知参数。又设 x1 , x 2 , Λ , x n 为总体的一个样本，称七. 参数估计 1、点估计的两种方法（1）矩法 所谓矩法就是利用样本各阶原点矩与相应的总体矩，来 建立估计量应满足的方程，从而求得未知参数估计量的方 法。 设总体 X 的分布中包含有未知数 θ 1 , θ 2 , Λ , θ m ，则其分 布函数可以表成 F ( θ 1 , θ 2 , Λ , θ m ). 显示它的 k 阶原点矩Ln (θ 1 , θ 2 , Λ , θ m ) = ∏ f (θ 1 , θ 2 , Λ , θ m )i =1n为样本的似然函数，简记为 Ln. 当总体 X 为离型随机变量时，设其分布律为P{ X = x} = p (θ 1 , θ 2 , Λ , θ m ) ，则称L(x1 , x 2 ,Λ ,θ1 ,θ 2 ,Λ ,θ m ) = ∏ p(θ1 ,θ 2 ,Λ ,θ m )i =1 n为样本的似然函数。 若 似 然 函 数 L( x1 , x 2 , Λ ,θ 1 ,θ 2 , Λ ,θ m ) 在v k = E ( X k )(k = 1,2, Λ , m) 中 也 包 含 了 未 知 参 数11θ 1 ,θ ,Λ ,θ m 处取到最大值，则称 θ 1 ,θ ,Λ ,θ m 分别为2 2∧∧∧∧∧∧Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月考研数学知识点-概率统计θ 1 ,θ ,Λ ,θ m 的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似23、区间估计（1）置信区间和置信度 设总体 X 含有一个待估的未知参数 θ 。如果我们从样本然估计量。我们把使 Ln 达到最大的 θ 1 ,θ 2 , Λ ,θ m 分别作为∧∧∧θ 1 ,θ ,Λ ,θ m 的估计量的方法称为最大似然估计法。2x1 , x, 2 , Λ , x n 出 发 ， 找 出 两 个 统 计 量由于 lnx 是一个递增函数， 所以 Ln 与 lnLn 同时达到最大 值。我们称θ 1 = θ 1 ( x1 , x, 2 , Λ , x n )与? ln Ln ?θ i∧ ∧θ i =θ i∧= 0, i = 1,2,Λ , mθ 2 = θ 2 ( x1 , x, 2 , Λ , x n ) (θ 1 & θ 2 ) ， 使得区间 [θ 1 , θ 2 ] 以1 ? α (0 & α & 1) 的概率包含这个待估参数 θ ，即P{θ 1 ≤ θ ≤ θ 2 } = 1 ? α ,那么称区间 [θ 1 , θ 2 ] 为 θ 的置信区间， 1 ? α 为该区间的 置信度（或置信水平） 。 （2）单正态总体的期望和方差的区间估计为似然方程。由多元微分学可知，由似然方程可以求出θ i = θ i ( x1 , x , Λ , x n )(i = 1,2,Λ , m) 为 θ i 的最大似然估计2量。 容易看出，使得 Ln 达到最大的 θ i 也可以使这组样本值 出现的可能性最大。∧2、估计量的评选标准（1）无偏性 设 θ = θ ( x1 , x, 2 , Λ , x n ) 为求知参数 θ 的估计量。若 E （ θ ）= θ ，则称∧ ∧ ∧设 x1 , x, 2 , Λ , x n 为 总 体 X ~ N ( ? , σ ) 的 一 个 样2本，在置信度为 1 ? α 下，我们来确定 ?和σ 的置信区2θ 为 θ 的无偏估计量。∧间 [θ 1 , θ 2 ] 。具体步骤如下： （i）选择样本函数； （ii）由置信度 1 ? α ，查表找分位数； （iii）导出置信区间 [θ 1 , θ 2 ] 。 下面分三种情况来讨论。 ① 已知方差，估计均值 （i）选择样本函数 设方差 σ2 2 2 = σ 0 ，其中 σ 0 为已知数。我们知道若总体 X 的均值 E（X）和方差 D（X）存在，则样本 均值 x 和样本方差 S2 分别为 E（X）和 D（X）的无偏估计， 即 ， 。 E（ x ）=E（X） E（S2）=D（X） （2）有效性 设 θ 1 = θ 1 ( x1 , x, 2 , Λ , x n ) 和 θ 2 = θ 2 ( x1 , x, 2 , Λ , x n ) 是未知参数 θ 的两个无偏估计量。若 D (θ 1 ) & D θ 2 ，则称∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧x=1 n ∑ xi 是? 的一个点估计，并且知道包含未知参数 n i =1x??θ 1 比θ 2 有效。（3）一致性（相合性） 如果对于任意的正数 ε ， 都有 设 θ n 是 θ 的一串估计量，n→∞∧∧? 的样本函数。u=(ii) 查表找分位数 对于给定的置信度 1 ? α ，查正态分布分位数表，找出分 位数 λ ，使得∧σ0 / n~ N (0,1).lim P(| θ n ? θ |& ε ) = 0,∧。 则称 θ n 为 θ 的一致估计量（或相合估计量） 即∧P (| u |≤ λ ) = 1 ? α 。12Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月考研数学知识点-概率统计? ? x?? P? ? λ ≤ ≤ λ ? = 1 ? α. ? ? σ2 / n ? ?（iii）导出置信区间 由不等式x?λ这就是说，随机区间S n≤?≤x+λS n,?λ ≤推得(x ? ?) nσ2≤λ? S S ? ,x+λ ?x ? λ ? n n? ?以 1 ? α 的概率包含 ? 。x?λ这就是说，随机区间σ0n≤?≤x+λσ0n,③ 方差的区间估计 （i）选择样本函数 设 x1 , x, 2 , Λ , x n 为来自总体 N ( ? , σ ) 的一个样本，2σ0 σ ? ? ,x+λ 0 ? ?x ? λ n n? ?以 1 ? α 的概率包含 ? 。 ② 未知方差，估计均值 （i）选择样本函数 设 x1 , x, 2 , Λ , x n 为总体 N ( ? , σ ) 的一个样本，由于2我们知道 S =21 n ∑ ( x i ? x) 2 n ? 1 i =12是 σ 的一个点估计，并且知道包含未知参数 σ 的样本2函数ω=(n ? 1) S 2σ2~ κ 2 (n ? 1).σ 2 是未知的，不能再选取样本函数 u。这时可用样本方差S2 =2（ii）查表找分位数 对于给定的置信度 1 ? α ，查 κ 分布分位数表，找21 n ∑ ( x i ? x) 2 n ? 1 i =1出两个分位数 λ1与λ 2 ，使得由于 κ 分布不具有对称性，2来代替 σ ，而选取样本函数因此通常采取使得概率对称的区间，即t=(ii)查表找分位数x?? S/ nP (λ1 ≤ ω ≤ λ 2 ) = 1 ? α .~ t (n ? 1).于是有查 找出分位数 λ ， 对于给定的置信度 1 ? α ， t 分位数表， 使得? ? (n ? 1) S 2 P? λ1 ≤ ≤ λ2 ? = 1 ? α. 2 ? ? σ ? ?（iii）导出置信区间P (| u |≤ λ ) = 1 ? α 。即 由不等式λ1 ≤(n ? 1) S 2σ2≤ λ2? ? x?? P? ? λ ≤ ≤ λ ? = 1 ? α. ? ? S/ n ? ?（iii）导出置信区间 由不等式(n ? 1) S 2λ22≤σ 2 ≤(n ? 1) S 2λ1?λ ≤推得(x ? ?) n以 1 ? α 的概率包含 σ ，而随机区间σ2≤λ? n ?1 n ?1 ? S, S? ? λ1 ? ? λ2以 1 ? α 的概率包含 σ 。13 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月
的概率为零, 而概率为零的事件不一定是不可能事件; 同理, 必然事件 (Ω) 的概率为 1,而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。①关系: 如果事件 A 的组成...考研数学概率论与数理统计知识点_研究生入学考试_高等教育_教育专区。凯程考研辅导班,中国最强的考研辅导机构, 考研就找凯程考研,学生...识点概率与数理统计是考研数学的一大模块, 一般常出现在填空题、 选择题、 计算题和证明题中, 凯程考研为大家总结了这部分常考的 30 个知识点,希望大家在基础...2017考研数学 概率论重要知识点深度解读_研究生入学考试_高等教育_教育专区。中公考研提供考研大纲解析,考研复习资料,考研历年真题等,更多考研相关信息,请访问中公考研...2016考研数学:概率与数理统计的知识点_研究生入学考试_高等教育_教育专区。凯程考研辅导班,中国最强的考研辅导机构, 考研就找凯程考研...考研倒计时最后一个月 概率与统计必看知识点_研究生入学考试_高等教育_教育专区。资料来源:中国教育在线 / 知识点有针对,复习才能见成绩。11 ...2017考研数学概率论复习重要知识点_其它_高等教育_教育专区。凯程考研集训营,为学生引路,为学员服务! 2017 考研数学概率论复习重要知识点考研数学在考中的地位是显...考研数学概率论部分重难点总结概率论是考研数学必须全得的分数, 其实概率论也是...低的知识点和重要知识点来说是绝不可能出现的,比如若你在 06 年考研数学试卷...凯程考研辅导班,中国最权威的考研辅导机构 2018 考研数学概率论重要章节知识点总 结第一章、随机事件与概率 本章需要掌握概率统计的基本概念,公式。其核心内容是...
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