例7.设A∈Rm×n,将满足方程Ax=0的解构成；??????N(A)=x??x∈Rn∧Ax=0；易证N(A)满足定理4.1.1,因此它是Rn的子；R(A)={y|y=Ax∧x∈Rn}；则R(A)也满足定理4.1.1.所以,它是Rm的；例9.例6中的线性空间C[a,b]的子集E[a,；??????E[a,b]=f(x)??f(x)∈；则E[a,b]满足定理4
例7.设A∈Rm×n,将满足方程Ax=0的解构成的集合记为N(A),即
??????N(A)=x??x∈Rn∧Ax=0
易证N(A)满足定理4.1.1,因此它是Rn的子空间,称为矩阵A的核或零空间.例8.设A∈Rm×n,集合R(A)?Rm定义为
R(A)={y|y=Ax∧x∈Rn}
则R(A)也满足定理4.1.1.所以,它是Rm的子空间,称为矩阵A的值域.另外,对R(A)中的任意向量y,由定义可知它是矩阵A的列向量的线性组合,所以R(A)也称为A的列空间,记为Col(A).
例9.例6中的线性空间C[a,b]的子集E[a,b]定义为
??????E[a,b]=f(x)??f(x)∈C[a,b]∧f(?x)=f(x)
则E[a,b]满足定理4.1.1,它是C[a,b]的子空间.
例10.设f(x)=aex+be?x,其中a,b∈R,称f(x)为函数ex和e?x的线性组合,则a,b所有不同取值下的函数f(x),构成集合S,则S满足封闭性性定理,它是R上的连续函数空间C的子空间.
例11.设α1,α2,...,αk是数域F上的线性空间V的一组向量,定义集合
L(α1,α2,...,αk)=k??
i=1????????λiαi??λi∈F(i=1,2,...,k)??
可验证L(α1,α2,...,αk)满足定理4.1.1的封闭性公理,它是V的子空间,常称它为由α1,α2,...,αk生成(或张成)的子空间,记成:span(α1,α2,...,αk),其中α1,α2,...,αk为生成元.
例12.如线性空间R3的两组不同向量a1?,a2和b生成两?1,b2,b3,??个子空间:
1?,a2=??1?和b1=L1(a1,a2)及L2(b1,b2,b3),其中a1=?01??????1?1.5?1??3?,b2=???2,b3=0?.生成的子空间L1(a1,a2)表示的平面
满足下列方程
2x1+x2+x3=0
易证向量b1,b2,b3的端点恰好是该平面上的三个不共线的点,因此生成子空间L2与L1表示的是同一个子空间(平面).
例12说明,两组不同的向量可能生成相同的子空间.那么,当给出多个线性空间或线性子空间时,如何描述线性空间及它们之间的关系?因此将引入刻画线性空间特征的基、维数等概念.
图4.3:例12
4.2线性空间的基、维数和坐标
4.2.1基与维数
定义4.3.线性空间V中的一组线性无关的向量ε1,ε2,...,εn,若V中的任意向量都可表示成它们的线性组合,则称这组向量为线性空间V的基.
线性空间的基不唯一,但组成基的向量个数是唯一的.
定义4.4.线性空间V的一个基中含有的向量个数称为线性空间V的维数,记为dimV.
例13.在Rn空间中,向量组
????????????e1=????0
线性无关,并且?x∈Rn,有100...?????????,e2=??????0?0n??
i=1010...?????????,???,en=??????0?1000...x=xiei
其中xi(i=1,2,...,n)为向量x的分量.它构成线性空间Rn的一组基,通常称为自然基或常用基,空间Rn的维数为dimRn=n.
例14.Rm×n是所有m×n阶实矩阵构成的线性空间,考察一组m×n阶矩阵:eij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n),其中矩阵eij的第i行第j列元素为1,其它元素为0.这组矩阵线性无关,并且?A∈Rm×n均可表示为
A=[aij]m×n=m??n??
i=1j=1aijeij
显然,这组矩阵构成Rm×n的一组基,并且dimRm×n=m×n.
例15.考虑矩阵A的零空间N(A)和值域(列空间)R(A)=Col(A),由线性方程组的解理论可知,方程组Ax=0的基础解系构成空间N(A)的一组基,且dimN(A)=n?rank(A).由空间Col(A)定义可知Col(A)=span(a1,a2,...,an),其中ai(i=1,2,...,n)为矩阵A的列向量,因此A的列向量中线性独立的向量构成R(A)的基,且dimR(A)=dimCol(A)=rank(A).
4.2.2坐标系
对于线性空间V,指定一组基的重要原因就是给V引入一个“坐标系”,如空间R中的向量x一般是在自然基e1,e2,...,en下的表述.坐标系将使得V像Rn一样便于操作.n
定义4.5.设向量组B={ε1,ε2,...,εn}是线性空间V的一个基,则?x∈V,有
x=x1ε1+x2ε2+...+xnεn
则称x1,x2,...,xn为向量x在基B下的坐标,表示成[x1,x2,???,xn].
坐标系的存在依赖于下列唯一表示定理
定理4.2.1.(唯一表示定理)设B={ε1,ε2,...,εn}是V的一个基,则?x∈V可唯一表示成式(4.1).
证:假设?x∈V在基B下的表示不唯一,即除了式(4.1)还存在另一种关于基B的线性组合n??x=x??(4.2)iεi
等式(4.1)和(4.2)相减,得n??
i=1(xi?x??i)εi=0
若?xi=x??i,说明存在不全为零的一组数使εi的线性组合为零,这与B是V的一个基矛盾.
因此xi=x??i(i=1,2,...,n),即表示式(4.1)唯一.
例16.设x是R2中任一向量,x在基{a,b}下的坐标如图4.4所示.
图4.4:例16
????????????1,向量x=,求x在基ε1,ε2下的6例17.设R2的一个基ε1=
坐标.10,ε2=12
??1解:事实上,x=是在自然基下的坐标,即x=1?e1+6?e2.设x=6
x1ε1+x2ε2,其中x1,x2为待求的x在基ε1,ε2下的坐标.
????????????????????????x1????111x11ε1ε2=e1e2?=x2602x26
求得x1=?2,x2=3,即x=(?2)ε1+3ε2.
例18.实数??域上的3次多项式空??间R[x]3,已知
223B=1,1+x,1+x+x,1+x+x??+x和B2=??1
223231?x,1+2x+3x,?1+x+x+x,5?2x+x是两组基,求f(x)=
23x+5x?x在B1,B2下的坐标.
解:设f(x)在B1下的坐标为α1,α2,α3,α4,则有
?α1+α2+α3+α4???α2+α3+α4?α3+α4???α411+x1+x+x21+x+x2+x3?=0α1???α2=1?α3=5???α4=?1????α1α2α3α4??T=x+5x2?x3??=?1=?4=6=?1
设f(x)在B2下的坐标为β1,β2,β3,β4,则有
β1(1?x)+β2(1+2x+3x2)+β3(?1+x+x2+x3)+β4(5?2x2+x3)=x+5x2?x3
??β1=11/8β1+β2?β3+5β4=0??????β2=11/8?β1+2β2+β3=1??β3=?3/83β2+β3?2β4=5??????β4=?5/8β3+β4=?1
例18说明(1)线性空间的基不唯一;(2)向量在不同的基下的坐标一般也不同;
4.3线性空间同构
开始介绍同构之前先引入映射的概念.
定义4.6.设S,T为两个集合,若存在一个法则σ,使得对集合S中每个元素α,按法则σ,都有T中唯一确定的元素β与它对应,则称σ为从集合S到集合T的映射,记作σ:S→T.把β称为α在映射σ下的像,常写成β=σ(α),而α也称为β在映射σ下的一个原象.
通常将集合S称为映射σ的定义域,而S在映射σ下的像的全体称为值域,记为σ(S),它是T的一个子集,即σ(S)?T.
(1)若σ(S)=T,则称映射σ为满射的.
(2)对S中任意两个不同的元素α1,α2,在映射σ下的像也不同,即若α1=α2,则
σ(α1)=σ(α2),就称映射σ为单射的.
(2)若映射σ既是满射又是单射,就称σ为一一映射或双射.
例19.设σ:N→Z,其中?x∈N,σ(x)=(?1)xx,σ是单射.
例20.设τ:Z→{0,1},其中?x∈Z,τ(x)=xmod2,表示任意整数x除以2以后的余数,σ是满射.
例21.设σ:R→R+,其中R+表示正实数集,?x∈R,σ(x)=ex,则σ是双射.
设σ:S→T,τ:T→U,将σ?τ称为映射的合成,且σ?τ:S→U,常写成τ(σ(?)).如例19和例20的映射合成后为N到{0,1}的映射,即对任意自然数x,τ(σ(x))=(?1)xxmod2.
定义4.7.给定数域F上的线性空间V和W,设σ是V→W的映射,若映射满足:
(1)任意α,β∈V,有σ(α+β)=σ(α)+σ(β).
(2)任意数c∈F和任意α∈V,有σ(cα)=cσ(α).
称σ为线性映射.当V=W时,线性映射又称为线性变换.
线性变换将在下一章讨论,这里考虑下面特殊的线性映射.
定义4.8.V和W是数域F上的线性空间,若从V到W的线性映射是一一映射(双射),则称该线性映射为同构映射.这时的线性空间V和W称为同构(isomorphism),记为V～=W.
定理4.3.1.设数域F上的线性空间V～=W,则同构映射将V的零向量映射到W的零向量.
证:设σ:V→W为同构映射,0V,0W分别为线性空间V和W的零向量,根据线性空间性质(3)有:0V=0x,其中0∈F,x∈V,因此σ(0V)=σ(0x)=0σ(x)=0W.
例22.数域R上的二次多项式空间
??????2??R[x]2=a0+a1x+a2xai∈R,i=0,1,2
与线性空间R3之间的对应关系如下:
a0+a1x+a2x2←→?a1?a2
显然,这是一一映射关系,而且它是线性空间R[x]2与R3之间的同构映射,且对任意a0+a1x+a2x2,b0+b1x+b2x2和c∈R,满足
??????a0+a1x+a2x2a0b0a0+b0
+b0+b1x+b2x2←→?a1?+?b1?=?a1+b1?a2b2a2+b2001122????????a0ca0c?a0+a1x+a2x2←→c?a1?=?ca1?=(ca0)+(ca1)x+(ca2)x2a2ca2
因此R[x]2～=R3.
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