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微积分习题答案
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3秒自动关闭窗口微积分一练习题及答案_中华文本库
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C．?a,f?a??是曲线y?f?x?的拐点；
D．x?a不是f?x?的极值点，?a,f?a??也不是曲线y?f?x?的拐点；
二．填空：
1．设y?f?arcsin?，f可微，则y??x???
2．若y?3x5?2x2?x?3，则y?6??
3．过原点?0,1?作曲线y?e2x的切线，则切线方程为
4?x?1??2的水平渐近线方程为x2
铅垂渐近线方程为
5．设f?(lnx)?1?x，则f??x??f?x??
三．计算题：
x2?1?x?2?（1）lim2
（2）lim??x?1x?2x?3x???x?x?3
ln(1?x2)2（3）lim
（4）y??ln?1?2x??
求dy x?0xsin3x
xy3（5）e?y?5x?0
四．试确定a，b，使函数f?x???
?b?1?sinx??a?2,x?0在x?0处连续且可导。
axe?1,x?0?
2x五．试证明不等式：当x?1时，e?x?e???
六．设F?x??f?x??f?a?,x?a?x?a?，其中f?x?在?a,???上连续，f???x?在?a,???内存
在且大于零，求证F?x?在?a,???内单调递增。
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第六章 第六章 第第六六章章 6-1 6-1 习题 66--11 2
1. 利用定积分定义计算由抛物线 y x+1,直线 x a，x b及 x轴所围成的图形的面积. 2 2
因 y x+1 在[a,b]上连续,所以 x+1 在[a,b]上可积,从而可特殊地将[a,b]n等分,并取 b?a b?a b? a 2 ξ
a+ i,Δx , f ξ a+ i
+1 , i i i n n n
于是 n n b?a 2 b? a
∑f ξ Δx
i i 1 i 1 n n n
2 2 i2 i 1 b?a ∑[a + b? a 2 +2a b? a +1] i 1 n n n 2 2
n n+1 1 b?a [na + b? a ? 2
+ 2 b? a a?
? + n]? n 6 n 2 n b
lim∑f ξ Δx
b?a +a b?a
+1] ∫a n→∞ i 1
2. 利用定积分的几何意义求定积分： 1 a 1 ; 2 2
（a＞0）. ∫0 2xdx ∫0
a ? x dx 1
解 1 根据定然积分的几何意义知, ∫0 2xdx表示由直线 y 2x,x 0,x 1 及 x轴所围的三角形 1
的面积,而此三角形面积为 1,所以 ∫0 2xdx 1. a 2 2 2
2 2 根据定积分的几何意义知, ∫0 a ? x dx表示由曲线 y
a及 x 1 1 1 2 a
轴所围成的 圆的面积,而此 圆面积为
πa ,所以 ∫0 a ? x dx
πa . 4 4 4 4
3. 根据定积分的性质，比较积分值的大小： 1 1 1 1 1 2
xdx ∫0 e dx ∫0
1 ∵当 x∈[0,1] 时, x ? x
≥ 0 ,即 x ≥ x , 1 1 2 3 2 3 又 x
x ,所以 xdx
xdx. ∫0 ∫0 x ′ x ′ 2 令 f x
e ?1? x, f
e ?1,因0 ≤ x≤1,所以 f
0 , 1 1 x x x
0 ,说明e ≥1+ x,又e 1+x.所以 e dx
1+ x dx. ∫0 ∫0
4. 估计下列各积分值的范围： 1 4 3 1 2 ； 2 ; ∫
x +1 dx ∫1
xarctan xdx 1 3 a 2 0
∫?ae?x dx（a＞0 ； 4
解 1 在区间[1,4]上,函数 2
是增函数,故在[1,4]上的最大值 ,最 f x
小值 ,所以 2 , m
x +1 dx≤17 4 ?
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