平面区域问题
1 平面区域的确定
1．1 不等式的区域
我们把满足不等式F(x，y)＞0的点(x，y)的集合称为不等式F(x，y)＞0的区域．对于不等式F(x，y)＞0，如果方程F(x，y)=0确定平面内一实曲线，则曲线把平面分成若干个区域G1，G2，?．
在每一个区域内任取一点，坐标满足F(x，y)＞0的区域的并集，即为原不等式的区域．
为方便起见，我们常选取一些简单的特殊点(如坐标原点等)来计算F(x，y)的值．
例如，求x2＞2y2＋1的区域．
先画出x2=2y2＋1的曲线(图1)，然后用原点(0，0)代入原不等式，不能成立，再取(2，0)代入原不等式，能成立．故x2＞2y2＋1所表示区域为双曲线“内部”(含焦点部分)．
1．2 不等式组的区域
我们把同时满足若干个不等式的点的集合叫做这些不等式构成的不等式组的区域．
不等式组的区域是不等式中每一个不等式区域的交集．为方便起见，我们也可以通过用特殊点法求出每一个小区域内有关式子的符号，来判断不等式组的区域．
例如，求不等式(y－x＋1)(2x－y－3)＞0所表示的区域．
首先作出两直线y－x＋1=0与2x－y－3＝0的图象(图2)，它们将平面分成四个部分．为确定(y－x＋1)(2x－y－3)＞0的区域，可以用两种方法．
不等式y－x＋1＞0可化为y＞x－1，表示直线y－x＋1=0的“上方”；同样，2x－y－3＞0表示直线2x－y－3=0的“下方”．所以不等式组(1)表示的区域为图2中的区域Ⅰ，不等式组(2)表示区域Ⅲ．故本题所表示的区域为将Ⅰ、Ⅲ两部分合并而成的区域．
方法2：分别在四个区域内选取特殊点，如区域Ⅰ内选点(4，4)，区域Ⅱ内选点(0，0)，区域Ⅲ内选点(0，－2)，区域Ⅳ内选点(2，0)，分别代入检验，以确定符合条件的区域范围．
对于含有复数的不等式组，可结合复数几何意义来确定平面区域．
集合A={z||z－1|≤1}表示以(1，0)为圆心，以1为半径的圆内区域(含圆)，B
图3中的阴影部分(含曲线和线段OA1，但不含线段OB)．
学生解题时，常将A∩B表示为第一象限内的弓形区域部分，而忽视了下半圆区域的存在．
2 平面区域问题例举
2．1 平面区域的单纯性题型
这类问题是只需根据题意作出所要求的平面区域范围，便可直接求解的单纯性问题．
例1 已知三个集合M，N，P，M＝{(x，y)| |x|＋|y|＜1}，N={(x，y)|
求集合M，N，P三者的关系．
解 如图4，集合M表示四边形ABCD内部，集合N表示椭圆内区域，集合
解 作直线l1∶3x－2y－2＝0，l2∶x＋4y＋4=0；l3∶2x＋y－6＝0(图5)．在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域(如图5中三角形内区域)．此三角形区域内的整数点为(2，1)，(1，0)，(2，0)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，即原不等式组的整数解．
2．2 含参变量的平面区域问题
对于这类问题，可首先设法消去已知曲线方程中的变量，得到仅含参变量的方程或不等式，再转化为2．1类问题求解．
b所满足的条件，并求出点(a，b)的存在范围．
解 方程(1)与(2)的曲线是直线和椭圆在xoy坐标系中第一象限的部分(图6)．
方程组有两相异解，即曲线(1)，(2)在第一象限有两个不同的交点．以y=1－x代入(2)中，得(a＋b)x2－2bx＋b－1=0．
Δ=4b2－4(a＋b)(b－1)＞0，即ab－a－b＜0．
a，b所满足的条件是ab－a－b＜0(a＞1，b＞1)．
不等式(a－1)(b－1)＜1(a＞1，b＞1)表示位于双曲线(a－1)(b－1)=1的“外部”且满足a＞1，b＞1的点所构成区域．图7中的阴影部分，就是点(a，b)的存在范围．
例4 设a，b是两个实数，A＝{(x，y)|x＝n，y=na＋b，n∈Z}，B={(x，y)|x＝m，y=3m2＋15，m∈Z}，C={(x，y)|x2＋y2≤144}是平面xoy内的点的集合，讨论是否存在a和b，使
(2)(a，b)∈C同时成立．(1985年高考试题)
解 A={(x，y)|x=n，y=na＋b，n∈Z}为直线y=ax＋b(其中a，b为参数)上横坐标取整数的点，B={(x，y)|x=m，y=3m2＋15，m∈Z}为抛物线y=3x2+15
Δ=a2＋12b－180≥0， (1)
为了进一步研究，可以在直角坐标系中画出不等式a2＋12b－180≥0的区域，再
例5 已知方程x2＋px＋q＝0有两实数根α和β，且α2＋β2＝1，求p和q的范围．
解 建立直角坐标系，适合p2－4q≥0的p，q的值是图9中阴影部分(含曲线)的点的坐标．因为α2＋β2=1，即(α＋β)2－2αβ=1．所以p2＝2q＋1．而适合等式p2=2q＋1的p和q的值为抛物线p2＝2q＋1上点的坐标，由图9可知，所求p和q的范围即为抛物线p2＝2q＋1上A，B两点间的一段弧上的点的坐标的集合．
解此类问题时，要注意隐含条件的挖掘(如本题中α，β是二次方程两个实根，即判别式“p2－4q≥0”)．忽视了此条件，可能会导致变量取值范围的扩大．
2．3 利用图形区域，求变量组合式的范围欢迎来到高考学习网，
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& 山东省冠县武训高级中学高二数学复习导学案：3-3第1课时《基本不等式》（新人教A版）
山东省冠县武训高级中学高二数学复习导学案：3-3第1课时《基本不等式》（新人教A版）
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资料概述与简介
第1课时　基本不等式
知能目标解读
1.理解基本不等式，并掌握基本不等式的几何意义.?
2.掌握基本不等式成立的条件；能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.?
3.在使用基本不等式过程中，要注意定理成立的条件，在解题时，常采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式.
重点难点点拨
重点：理解并掌握基本不等式，借助几何图形说明基本不等式的意义，并用基本不等式求最值.
难点：利用基本不等式求最值时,等号成立的条件.
学习方法指导
一、基本不等式?
1.基本不等式：如果a,b都是非负数，那么≥,当且仅当a=b时，等号成立，我们称上述不等式为基本不等式.?
其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式.?
2.重要不等式：如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，取"＝"）.?
证明：a2+b2-2ab=(a-b) 2,?
当a≠b时，（a-b）2>0；当a=b时，（a-b）2＝0.?
所以（a-b）2≥0,即a2+b2≥2ab.?
3.基本不等式的几何解释：?
基本不等式一种几何解释如下：?
以a+b长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连结AD、DB，易证Rt△ACD∽Rt△DCB,则
CD２=CA·CB,即CD=.?
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即≥，?
其中，当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.?
以上我们从几何图形中进行了解释，获得了不等式≤（a≥0,b≥0）.?
其实质是：在同一圆中，半径不小于半弦，或者直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高.?
4.关于a2+b2≥2ab和≥（a,b>0）?
（1）两个不等式：a2+b2≥2ab与≥成立的条件是不同的，前者要求a,b都是实数，后者则要求a,b都是正数.?
如：（-3）2+（-4）2≥2×（-3）×（-4）是成立的，?而≥是不成立的.?
(1)要在理解的基础上，记准这两个不等式成立的条件.?
(2)两个不等式：a2+b2≥2ab，≥都是带有等号的不等式.“当且仅当a=b时取‘＝’”这句话的含义是“a=b”时，a2+b2≥2ab，≥中只有等号成立，反之，若a2+b2≥2ab, ≥中的等号成立时,必有“a=b”，这一条件至关重要，忽略它，往往会导致解题的失误.
（3）两个不等式的应用?
两个不等式的结构都是一边为“和式”，另一边为“积式”，因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积式”化为“和式”的放缩功能，可证明不等式.利用等号成立的条件，可求最大、最小值.?
二、利用基本不等式求最大（小）值?
利用基本不等式≥，在求某些简单的最大（小）值问题时，很有应用价值.一般地： x,y都为正数时，?（1）若x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值;?
（2）若xy=p（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2.?
证明：∵x,y都为正数，
(1)和式为定值S时，有≤，
∴ xy≤S2.上式当“x=y”时取“＝”号，因式当x=y时，积xy有最大值S2；?
(2)积式xy为定值p时，有≥,
∴x+y≥2.?
上式当“x=y”时取“＝”，因此，当x=y时，和x+y有最小值2.?
（1）在应用均值不等式≤求最值时，需满足三个条件：“一正、二定、三相等”.“正”是所有变量均为正数，“定”是指变量的积或和为定值，“相等”是指等号成立的条件，以上三者，缺一不可.?
(2)在有关证明或求最值时，不等式都可连续多次使用，但需注意的是等号成立是否矛盾，只有当各次应用基本不等式时"＝"号成立的条件一致时，“＝”才会取得，否则"＝"将不成立.?
知能自主梳理
1.基本不等式?
如果a,b都是非负数，那么　　　　　，当且仅当　　　　　时，等号成立.此不等式称为基本不等式，其中　　　　　称为a,b的算术平均数，　　　　　称为a,b的几何平均数.　
　2.利用基本不等式求最值?
（1）两个正数的和为定值时，它们的积有　　　　　，即若a>0,b>0,且a+b=M,M为定值，则ab≤，等号当且仅当a=b时成立.?
（2）两个正数的积为定值时，它们的和有　　　　　，即若a>0,b>0,且ab=P,P为定值，则a+b≥　　　　　,等号当且仅当a=b时成立.
?　［答案］　1. ≥　a=b　　
2.(1)最大值　 　(2)最小值　2
思路方法技巧
命题方向　利用基本不等式比较代数式的大小
［例1］　已知0＜a＜1,0<b0,b>0,
∴a+b≥2,?
a2+b2≥2ab,?
∴四个数中最大数应为a+b或a2+b2.?
又∵0＜a＜1,0<b<1,?
∴a2+b2-(a+b)=a2-a+b2-b?
=a(a-1)+b(b-1)<0,?
∴a2+b22),n=22-b2 (b≠0),则m、n的大小关系是（　　）
A.m>n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.m2,∴a-2>0,?
又∵m=a+=(a-2)+ +2≥２?+2=4,当且仅当a-2=,即（a-2）2=1,又a-2>0，∴a-2=1,即a=3时取等号.
∴2-b2<2,?
∴22-b2<4,即nn.
命题方向　利用基本不等式求最值
［例2］　（1）若x>0，求函数f(x)= +3x的最小值；?
（2）若x0,可得>0,3x>0.又因为
·3x=36为定值，且=3x(x>0)时，x=2,即等号成立，从而可利用基本不等式求最值.对（2），由x<0，得<0,3x0,-3x>0,所以对 (-)+(-3x)可利用基本不等式求最值.?
［解析］　（1）因为x>0，所以>0,3x>0,?
所以f(x)= +3x≥2=2=12.?
当且仅当=3x,即x=2时，等号成立.?
所以当x=2时，f(x)取得最小值12.?
（2）因为x0,?
所以-f(x)= (-)+(-3x)≥2=12,所以f(x)≤-12 .?
当且仅当-=-3x,即x=-2时，等号成立.?
所以当x=-2时，f(x)取得最大值-12.
?　［说明］　利用基本不等式求函数最值时，要注意体会“一正、二定、三相等”，当两个数均为负数时，首先将它们变为正数，即在前面加一个负号，再利用基本不等式求解.
变式应用2　
设x>0，求y=2-x-的最大值.
［解析］　∵x>0,∴x+≥2=4,∴y=2- (x+)≤2-4=-2.当且仅当x=，即x=2时等号成立，y取最大值-2.
［例3］　（1）已知x<，求函数y=4x-2+的最大值；?
（2）已知0<x<,求函数y=x(1-3x)的最大值.?
［分析］　此题不容易看出积或和为定值，必须对函数解析式进行拼凑，让其产生定值.?　［解析］　（1）因为x<，所以4x-50,?
所以y=4x-2+=- (5-4x+)+3.?
因为5-4x+≥2=2,?
所以y≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立，所以当x=1时，函数y取得最大值1.?
（2）因为0<x0,?
所以y=x (1-3x)= ·3x(1-3x)≤ []2=.?
当且仅当3x=1-3x,即x=时等号成立，?
所以当x=时，函数y取得最大值.
?［说明］　解决本题的关键是拼凑.（1）中将4x-2拼凑成4x-5.(2)中将x拼凑成3x,从而可产生定值.（1）中是积为定值.（2）中是和为定值.
变式应用3　
求函数y=+x(x>3)的最小值.?
［解析］　y=+x=+(x-3)+3,?
∵x>3,∴x-3>0,?
∴+(x-3)≥2=2,?
当且仅当=x-3,即x-3=1,?
x=4时，等号成立.?
∴当x=4时，函数y=+x(x>3)取最小值2+3=5.
命题方向　利用基本不等式解决有关实际应用问题
［例4］　某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x元（500），?
=≤＝2500.?
当且仅当t=，即t=10时取等号，此时x=60.?
答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多.
?　［说明］　1.解实际应用问题要遵循以下几点：?
（1）在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数；?
（2）建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大值或最小值问题（纯数学问题）；?
（3）在定义域内（使实际问题有意义的自变量取值范围）求出函数的最大值、最小值；?　（4）回到实际问题中，写出正确答案.?
2.本题为分式函数模型，可将其转化为基本不等式的形式求解.若分子次数高时，可把分子拼凑成分母的形式，用分母除开；若分母次数高时，可把分母拼凑成分子的形式，反过来相除，此外，也可以先使用换元法，再拼凑上基本不等式的形式，去求最值.
变式应用4　
某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q＝ (x>0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年生产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为“年生产成本的150％”与“年广告费的50％”之和，而当年产销量相等.?
(1)试将年利润P（万元）表示为年广告费x(万元)的函数；?
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
?　［解析］　（1）P=(32Q+3)·150％＋x·50%-(32Q+3)-x=--+49.5(x>0)；?
（2）P＝- (＋)+49.5≤-2×4+49.5=41.5,当且仅当x=时，即x=8时，P有最大值41.5万元.?
答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元.
名师辨误做答
［例5］　已知a>0,b>0,且+=1,求a+b的最小值.
?［误解］　∵a>0,b>0?
∴+≥2=6,?
∴ab≥36.?
∴a+b≥2≥12.?
∴a+b的最小值为12.
［辨析］　上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为+,即b=9a,第二次等号成立的条件为a=b，故a+b取不到最小值12.
［正解］　∵a>0,b>0，+＝1，?
∴a+b=(+)(a+b)?
=1+9+≥10+2=10+2×3＝16.?
当且仅当，即b2=9a2时等号成立.?
解得a=4,b=12.?
故当a=4,b=12时，a+b取最小值16.
课堂巩固训练
一、选择题?
1.已知ab>0，则的取值范围是（　　）
A.（2，+∞）　　　　　　　　　　　　　　B.［2，+∞)?
C.(4，+∞)　　　　　　　　　　　　　　　 D.［4，+∞)?
［答案］　B?
［解析］　∵ab>0,
∴>0, >0,?∴≥2=2.?
当且仅当，即a=b时，等号成立.
2.不等式a2+4≥4a中等号成立的条件是（　　）
A.a=±2　　　　　　　　　　　　　　　　　B.a=2?
C.a=-2　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.a=4?
［答案］　B?
［解析］　因为a2-4a+4=(a-2) 2≥0,?
当且仅当a=2时取“＝”，所以a=2.
3.如果a,b满足0<a<b,a+b=1,则,b,2ab,a2+b2中值最大的是（　　）
A. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.a?
C.2ab　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.a2+b2?
［答案］　D?
［解析］　解法一：∵0<a2a,?∴a2,∴ab1-=,即a2+b2>.?
解法二：特值检验法：取a=,b=,则2ab=,a2+b2=,
∵>>>,∴a2+b2最大.
二、填空题?
4.若x>0,则x+的最小值为　　　　　　　.?［答案］　2
［解析］　∵x>0,∴x+≥2=2,?
当且仅当x=,即x=时，等号成立.
5.x,y∈R,x+y=5,则3x+3y的最小值是　　　　　　　.?
［答案］　18
［解析］　3x>0,3y>0.∴3x+3y≥2=2=2·（）5＝18,当且仅当x=y=时等号成立.
课后强化作业
一、选择题?
1.下列函数中，最小值为2的是（　　）
A.y=x+　　　　　　　　　　　　　　　　B.y=sinx+,x∈ (0,)?
C.y=　　　　　　　　　　　　　　D.y=+
［答案］　D?
［解析］　A中，不满足正数这一条件；
B中，∵x∈ (0, ),?
∴sinx∈(0,1),∴等号不成立；
C中，y===+,?
当=时，x2+2=1,
x2=-1(不成立)；
y=+≥2,当且仅当=,?
即x=1时，取最小值2.
2.a,b∈R+，则,，三个数的大小顺序是（　　）
［答案］　C?
［解析］　解法一：取a=2,b=8,则=5，=4，=3.2,∴选C.?
解法二：已知≥，?
也可作商比较≥1.
3.(2011·上海理，15)若a,b∈R，且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是（　　）
A.a2+b2>2ab　　　　　　　　　　　　　　　B.a+b≥2
C. >　　　　　　　　　　　　　D.≥2
［答案］　D?
［解析］　本题考查不等式的性质、基本不等式，可用排除法逐项判断.?
用排除法：
A:a=b时不满足；?
B:a<0,b<0时不满足；?
C:a<0,b0, >0, +≥2=2.
4.设x+3y=2,则函数z=3x+27y的最小值是（　　）
A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.2
C.3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.6?
［答案］　D?
［解析］　∵x+3y=2,
∴x=2-3y.?
∴z=3x+27y=32-3y+27y＝+27y≥2＝6，当且仅当=27y,?
即27y=3,∴33y=3,
即x=1,y=时，z=3x+27y取最小值6.
5.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则（　　）
［答案］ B?
［解析］ ∵这两年的平均增长率为x，
∴A(1+x) 2=A(1+a)(1+b)，
∴(1+x) 2=(1+a)(1+b),由题设a＞0,b＞0.?
=1+，∴x≤.?
等号在1+a=1+b即a=b时成立.
6.若x>4，则函数y=x+（　　）
A.有最大值-6
B.有最小值6?
C.有最大值-2
D.有最小值2
［答案］ B
［解析］ ∵x>4,∴x-4>0,∴y=x-4++4≥2+4＝6.?
当且仅当x-4=，即x-4=1，x=5时，取等号.
7.若a>b>1,P=,Q= (lga+lgb),R=lg (),则（　　）
D.P<R0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是　　　　　　（写出所有正确命题的编号）.?
①ab≤1；　
③a2+b2≥2;
④a3+b3≥3;
［答案］　①③⑤?
［解析］　①ab≤()2=()2=1,成立.?
②欲证≤,即证a+b+2≤2，?
即2≤0,显然不成立.?
③欲证a2+b2=（a+b）2-2ab≥2,
即证4-2ab≥2,即ab≤1,由①知成立.?
④a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥3a2-ab+b2≥ (a+b) 2-3ab≥4-≥3abab≤,由①知，ab≤不恒成立.?
⑤欲证+≥2,即证≥2,?
即证ab≤1,由①知成立.
11.(2010·山东·文)已知x，y∈R+，且满足=1，则xy的最大值为　　　　　.?
［答案］　3?
［解析］　∵x>0,y>0,且1=≥2,?
∴xy≤3,当且仅当,即x=,y=2时，等号成立.
12.(2011·浙江文，16)若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是　　　　　　
［答案］　
［解析］　题考查了均值不等式及学生灵活运用该知识的能力.?
由x2+y2+xy=1可得，（x+y）2=xy+1
而由均值不等式得xy≤（）2
∴（x+y）2≤（）2+1整理得，
（x+y）2≤1?
∴x+y∈［-，］?
∴x+y的最大值为.
三、解答题?
13.设实数a使a2+a-2>0成立，t>0，比较logat与loga的大小.?
［解析］　∵a2+a-2＞0,∴a＜-2或a＞1，
又a＞0且a≠1,∴a＞1，
∵t＞0,∴≥,∴loga≥loga=logat,
∴logat≤loga .
14.已知a>0,b>0,a,b的等差中项是,且α=a+，β=b+,求α+β的最小值.
［解析］　因为a,b的等差中项是,?
所以a+b=1,?
α+β= (a+)+ (b+)=(a+b)+ (+)
∵ab≤ ()2=,
∴≥4,α+β≥5?
(当且仅当a=b=时取等号)，故α+β的最小值为5.
15.已知x>0,y>0,lgx+lgy=1,求+的最小值.?
［解析］　方法一：由已知条件lgx+lgy=1可得：
x>0,y>0,且xy=10.则+=≥=2，
所以 (+)min=2,
方法二：由已知条件lgx+lgy=1可得：
x>0,y>0,且xy=10, +≥2=2=2
16.(2012·济南高二检测)要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？
［分析］　本题是一道较为典型的求最值的实际应用题，考查了均值不等式的应用，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力.?
［解析］　设矩形栏目的高为acm,宽为bcm,?
则ab=9000.　　　①?
广告的高为a+20,宽为2b+25,其中a>0,b>0.?
广告的面积S＝(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=b≥18500+2
当且仅当25a=40b时等号成立，此时b=a,?
代入①式得a=120,从而b=75,?
即当a=120,b=75时，S取得最小值24500，?
故广告的高为140cm,宽为175cm时，可使广告的面积最小.
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初一不等式求取值范围练习题
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初一不等式求取值范围练习题
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3秒自动关闭窗口基于PARETO最优解的多目标PSO算法在电机优化设计中的应用(转载)
&&&&中山大学硕士毕业论文基于ｐａ陀ｔｏ最优解的多目标ｐｓ０算法在电机优化设计中的应用论文题目：基于ｐ删。最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用 计算机应用技术 吴颖专业： 硕士生： 指导教师：成良玉教授摘<b&&&&r />要电动机优化设计的最优解与许多因素有关，如模型的建立、优化变量的选取、 其某些参量的确定等，最重要的是优化方法。传统的优化策略大多基于梯度计算，对函数的连续性、导数的存在性都有较高的要求，对于某些函数甚至无法保证算 法收敛到最优，从而限制了其进一步发展。而粒子群（ｐｓｏ）智能算法在多目标搜 索领域有很大发展潜力，其主要特点在全局随机搜索策略，能够不依赖于初值的 选取和不用考虑目标函数本身的是否连续或者可微。本文的主要目的是建立一个多目标电机优化设计模型，并对多目标粒子群算 法进行研究，在此基础上通过ｐａｒｅｔ０最优化理论分析，提出一种改进的多目标优 化算法，将其应用到该电机优化模型上，证明该算法有其相对的合理性和优越性。同时，本文介绍了一个电机多目标优化系统的设计与实现。 本文的主要研究工作包括：１．对电机多目标优化设计进行了分析，指出了传统的优化方法存在的不足，建立电机多目标优化设计模型。 ２．重点对多目标粒子群算法进行了研究。回顾了当前流行的多目标粒子群算法，对基于ｐａｒｅｔｏ非支配最优解集的多目标粒子群（ｍｏｐｓｏ）算法进行理论分析，在其基础上提出了一种新的全局最优值选择策略，并将ｐ删。非支配最优解集的思想运用到更新个体最优值的问题中，加入了扰动因子防止粒 子个体陷入局部极值。实验显示了该算法的解具有相对较好的均匀性和收敛性。３．实现了电机多目标优化设计系统，将改进后的多目标粒子群算法运用于该系统，并完成了相应的界面和数据库设计。关键词：粒子群算法，ｐ鲇咂ｔｏ最优解，多目标优化，电机设计中山大学硕士毕业论文基予ｐａｒｅｔｏ最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用誓ｉ专ｌｅ：趣’ｐｌｉ啦ｉｏｎ“ｐａ磁ｏ ｓｏ赫ｉｏ珏融酣ｍ醢蚌。球赕溉ｐ甜ｉｃｌｅ轰耋萄ｏｆ：ｓ啪椭ａｌｇｏｒｉｔ№ｉｉｌ ｍｏｔｏｒ哪ｉｉｉｌ妇ｉｏｎ ｄｅｓ啦ｃ翻删ｅｆ ａ即重ｉｅｄ｛戳矗撒ｏｂｇｙｌｉａｎｇ弦ｎａｍｅ：ｗｕｙｉｎｇｓｕｐｅｒｖｉｓｏｆ：ｐ硒凳ｓｓｏｆ ｃｋｎｇａｂｓｔｒａｅｔ１ｋｓ０ｌｕｔｉｏｎｏｆ蝴ｄｅｓ埝ｎ ｏｐｔｈ诎ｉｏｎｓｅｌｅｃｔ主ｏｎ ｏｆｐｒｏｂｌｅｍｓａｒｅｒｅｋｅｄ ｗ瓶ｍ锄ｙ粕ｃｔｏｒｓ鳓ｃ董ｌ瑟ｍｏｄｅｌｓ，ｏｎｅｖａｆ主ａｂ缸ａｎｄ ｐ畦ｒａ雠￡ｅｒｓ，越通ｔｋｍｏｓ￡却ｆ￡ａｎ毫ｏｆ ｔｈｅｉｓ ｍｅｏｐｔｉｉｉ疵嫩ｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．ｍ．ｏｓｔｏｆ渤ｄｉｔｉｏｉｘａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ棚℃ｇ脚ｉｅｎｔｊｂａｓｅｄｔｌｌｅ∞ｎｔｉｍｌｉｔｙ哪ｉｌｌ也嗽ｉｏｎｃａｌｌｎｏｔｓｔｒａｌｅｇｙ，ｗｈｉｃｈ ｈａｖｅ ｋｇ董ｌ ｒｊｅｑｔｌ蟊ｅｍｅｎｔｓ ｉｎｍｎｃｔｉｏｎ ａ删ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ，ａｎｄ ｆｏｒ ｓ０ｍｅ龟ｎｃｔｉ０ｉｌｓｈａｖｅｇｒ嘣删训ｉｉｌｇｕ缀ｍｔｅｅ∞ｎｖｅｒｇｅ麟．ｗ毯ｌｅｔｈｅ ｐａｆｔｉｃｌｅｓⅵ灌獭ｏｐｔ嗽ｉｏｎ触ｇｏ矗ｈｍｎｏｔ蛳ｎｄｏｎｔｈｏ∞ａ埝ｏｒｉｔ№ｓｔｈｅ＆ｌｄ ｏｆ翔ｍｈ沁巧ｅｃｔｉｖｅ∞ａｒｃｈ，ｗｉｔｌｌ妇最灿鹏ｏｆｇｌｏｂａｌｄｏｅｓ黼ｎｄｏｍ ｓｃａｒｃｈ，ｔｂ豇ａ瑭ｏｒｉ￡ｈｍ’ｓ ｐｅｆ鳓棚硪ｎｃｅｉｌｌｉｔｉａｌ ｖａｌｕｅ雒ｌｄｎｏｔ ｌｌａｖｅ ｔｏ ｃｏｌｌｓｉｄｅｒ ｔｈｅｃｏｍ如ｉｔｙ ａｎｄ ｄｉｆ触ｎｔ汕ｉｌ姆ｏｆ ｔｌ把缸１ｃｔｉｏ躲ａ１１把ｍａｉｌｌ ｐｕ∞ｏｓｅ ｏｆｔｈｉｓ ｐａｐｃｒ：１．ｅｓｔａｂｌｉｓｈ ｍｏｔｏｆｍｌｉｌｔ沁ｂｊｅｄｉｖｅ ｏｐｔ妇妇ｉｏｎｍｏｄｅｌ矗）ｒｄｅｓ涎ｎ２。ｐ｜渺ｐｏ∞ａｎｉｌｎｐｆｏｖｅｄ玎眦牲ｉ—ｏ巧ｅｃｔｉｖｅ搿峨ｉｃｌｅｔｏｓ、ｊ嘲翻ｇｏｆ主ｔ鼬３．ａｐｐｌｙ ｔｉ心血ｌｐｒ０ｗ＝ｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｌｎｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｍｏｔｏｒ ｄｃ：ｓｉｇｎ ｏｐｔｉｉｌｌｉｚａｔｉｏｎ ｍｏｄ｜ｅｌ氟ｄ｜ｅｓ逗ｎ搬砖ｉ翻ｐｋｌｌ瓣嫩ａ剃ｈｉ－ｏ蜒ｅ髓ｉｖｅ ｍｏｌｏｒ如ｓｉｇｎ ｓｙｓ专ｅｍ． ｔｈｅ臌ｉｌｌｒｅｓｉ粼ｈ ａｃｌｌｉｅｖａｍ【ｃｌｉｔｓａｒｅ ａｓｆｂｎｏｗｓ：ｌ。臻鼯粼ｋ避滩越毯耋耋ｉ－ｏ场ｅ瞧ｉｖｅ弱鼢毫ｏｆ文：ｓｌｊ泌。磷赫主ｚ蔹ｂｌｌ，ｐｏ遍ｅｄｓ：ｂｏｒｔｃｏｍｉｎｇｓ ｏｆ ｔｒａｄｉｔｉｏｍｌｏ越重沁０ｐｔｉｉ毗胤ｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓ；ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄａｍｕｌｔｉ—ｏ巧ｅｃｔｉｖｅ越ｏｌｏｆ◇辨跳ａ耄赫旌ｄｅｓｉｇ藏ｌ∞ｄ或．２．ｅｉ印ｈａｓ该通ｏｎｔｈｅ ｓｎｌｄｙ ｏｆ ｎｍｎｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ绷瑚１ｎ ａｌｇｏ疵ｈｍ；ｐｒｏｐｏｓｅｄ雏翻呻ｖ醯辩融ｉｏ矗辫罐ｅ韶南ｒ瀚挚面蕊觳ａｌ甜鹣瞅。陋妇ｌ ｓｏ溉沁鞋，ａ耐ｐｕｔｔｋｉｄｅａｏｆ∞ｎ－ｉｌｌｉ酬ｏｒ ｐ鲫咖ｓｏ№ｉｏｎ ｓｅｔ硫ｏ ｄ列ｉ１１９ⅵｒｉｔｈ ｔｈｃ砌ｉｖｉｄｕａｌｋ蠡∞妇ｉｏｎ◇＆ｓ哆．ｂ骐妇豫躐ｓ ｓ赫ｗ醚ｔ如ｌｂｅｎｅｒ ｃｏｌⅳｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｓｏｌｕｔｉｏｎｔ醅ｉ铡ｐｆｏｖ醴ａｌｇ。ｆ涵攥妇ｔｌ跫ｕｎｉｆｂｒ“哆．中山大学硕士毕业论文基于ｐａｒｅｔｏ最优解的多目标ｐ５０算法在电机优化设计中的应用３．ｄｅｓｉｇｉｌｅｄｔ０ ｔｌｌｉｓａｍｕｈｉ－ｏ巧ｅｃｔｉｖｅ ｍｏｔｏｒ ｄｅｓｉｇｎ ｓｙｓｔｅｍ；印ｐｌｉｅｄ ｔｈｅｉｉｎｐｒ０ｖｅｄｓｙｓｔｅｍ；ｉⅱｌｐｌｅｍｅｍｅｄ ｔｈｅｃｏ盯ｅｓｐｌ０她ｉｉｉｔｅｒ龟ｃｅ锄ｄａｌｇｏ妇ｄａｌａｔ垴∞ｄｅｓｉｇｎｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｓｏ；ｐ粼ｔ０ｏｐｔｉｉｉｌａｌ；ｍｕｌｔｉ．ｏ场ｅｃｔｉｖｅｏｐｔｉｉｎ础ｉｏｎ；ｍｏｔｏｒ蚓ｇｉｌ－ⅲ原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取褥酶成票。除文孛黾经注骥零｜溺蘸内容多｝，本论文不惫禽任｛毒其能个人或集 体已经发表或撰写过的作晶成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已 在文孛黻骥确方式标鞠。本入完全意识到本声明羲法律结栗纛本人承担。…黼躲蒙租豳期：阳哆年ｆ月孑三舀学位论文使用授权声鞠本人完全了簿窜出大学有关探留、便震学使论文辩规定，郄：学校骞粳傈窝学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学位论 文瘸于嚣赢利霾麴的少量复铡并兔许论文进入学校圈书塘、院系瓷料室被查阕，有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保 存学位论文。……虢缓弘麟名午㈨溺导师签名：删刍未． 麟釉产霸沁嚣１中山大学硕士毕业论文基于ｐ卸ｒｅｔｏ最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用第ｌ章１．１．研究背景和现状引言式搜索法、惩罚函数法（ｓｍ法）等，到后来提出的具有全域搜索能力的随机试验法和近年来持续活跃的模拟退火算法及模拟进化算法等，再到融合了专家系统思想和人工智能技术的智能型电机优化设计方法【ｌ】，它经历了一个由简单到复对于电机优化设计，人们己经进行了大量的研究，从较早提出的爬山法、模杂，由古典极值寻优方法到现代数学规划数值寻优方法和基于概率论的随机寻优 方法等现代寻优方法，由按照既定步骤机械搜索到智能优化的过程。 电机优化设计是一个多极值、有约束的非线性问题，其目标函数和约束条件 都难以用关系式直接表示出来【２】。长期以来，如何改进电机优化模型及其优化算 法是人们普遍关注的问题。传统的电机优化设计多采用爬山类算法（如ｈ００ｋ —ｊｅｅｖｅｓ法，ｐｏｗｅｕ等），其主要缺点是容易收敛于局部最优点，优化结果与初 始点的选取有关【３ｌ。六十年代初期，国外开始出现了应用古典极值理论进行电机优化设计的程序【４ｌ。如１９６１年—蝴ｅｒｓｏｎ ｏ．ｗ提出的用梯度法对电机进行优化的程序等。１９６６年ｓｃｈ洫血ｇｅｒ ｒ开始采用数学规划方法对电机进行优化设计。１９７１年ｒａｍａ如ｔｈ衄ｍ ｒ等人用ｓｕｍｔ法进行了电机的优化计算。１９７５年起ｍｅｎｚｉ铬 ｒｗ．与ｎｅａｌ ｇ．ｗ．提出用最小ｐ次幂法为基础的优化程序设计大型同步电机。后来又针对ｓｕｍｔ罚函数法的缺点出现了各种改进方法，如１９７５年ｓｈｅｃｌａ ｂ．ｖ等提出的ｓｍｆｒ法，适用于小规模优化问题；１９６８年ｐ０ｗｅｌｌ，ｈｅｓｔｅ眦ｓ提出了增广拉格朗日罚函数法，可变容差法，精确罚函数法等。国内电机的优化设计开始于七十年代中则”，１９７７年上海电器科学研究所和复旦大学发表了电机优化设计的文章，此后合肥工业大学、西安交通大学、上海交通大学、清华大学等相继开展了电机优化设计工作。近十年，随着电机设计技术的不断进步，工程数学和现代智能算法也不断创 新，这其中包括遗传算法、模拟退火算法、神经网络和粒子群算法等，并且在电 机全局优化领域内的应用研究以取得明显成效。粒子群算法是近几年迅速发展起中山大学硕士毕业论文基于ｐａｒｅｔｏ最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用来的一种新的全局优化算法。由于粒子群算法对优化问题的限制很少，对目标函 数及约束条件既不要求可微，也不要求连续，仅要求该问题是可以计算的【６】。其 搜索过程具有指导性，搜索范围也遍及整个解空间，因而能有效地找到全局最优 解。粒子群算法已在神经网络、机器学习、数据挖掘、白适应控制等方面得到广泛应用。１．２．本文的研究内容以往的电机优化，大多数是把一个主要经济或性能指标作为优化目标，把其 他性能或成本要求作为约束条件处理，然而在实际应用中，有时候需要对两个或 者更多目标（比如电机的效率和成本）同时进行优化，由于多个目标互相制约， 通常情况下得不到一个在各个目标上都表现得最优的“完美解＂。为了解决多目 标电机优化问题，本文针对经典的ｍｏｐｓｏ算法进行改进，旨在得到一组多样性 良好的非支配最优解集合，作为电机多目标优化问题的解决方案，提供给用户选 择。本文的主要研究内容如下： １．对电机多目标优化设计进行分析，指出了传统的多目标优化方法存在的不足，在帕累托（ｐ鲫哟）优化改进理论的基础上建立电机优化设计模型。２．对基于ｐ枨ｉｔ０非劣最优解集的多目标粒子群（ｍｏｐｓｏ）算法进行分析，针对多目标粒子群算法中全局最优值班池ｆ和个体最优值棚的选取问题展开研究。提出一种新的全局最优值选择策略，用带权重的方差定义稀疏因子，用以表示非支配解集中粒子的疏密程度，并依据稀疏因子来选择全局最优值姒。 ３．棚作为多目标粒子群中的另一个重要因素，对指导粒子的飞行同样具 有重要意义，大多数的研究者对棚的更新采取“最新覆盖一或者“随机选择＂№非支配最优解集的思想运用到处理个体最优值的问题中，加入了扰动因子以改善粒子个体陷入局部极值的情况。实验证明了该算法具有相对较好收敛性和均匀性。的方法处理，没有有效利用粒子迭代过程中历史解所包含的信息。本文算法将中山大学硕士毕业论文基于ｐａｒｃｔｏ最优解的多目橼ｐｓｏ算法张电机优化设计中的应用３．实现了电机多墨标优化设计系统，完成了福应的界面和数据库设诗。并 将改进后的多目标粒子群算法运用于该系统，作为多目标优化模块，与传统优化 模块褶结合，构成一个毙较全面的优化系统。１．３．本文的组织构架第ｌ章首先介绍了论文的背景和意义，接着回顾了电机优化设计、多目标优 化方法和粒子群算法的研究现状，说明了本文的主要研究内容，最后介绍了本论 文的章节安排。 第２章主要对多目标优化设计闯题的进行数学描述，回顾了多目标优化问题 中ｐａｒｅｔｏ改进理论的基本概念，介绍了ｐ硼泐最优、ｐａｒｅｔｏ前沿，非支配解（支 劣解）等概念的定义，并绘出了一个电机多躁标优化设计的模型，分析了设计变 量和设计空间的选择，多目标优化函数的确定，以及优化约束条件的处理，总结 了经典的传统优化算法的优劣。 第３章首先回顾了经典的粒子群算法理论，对其原理、算法流程和参数设置 进行了套绍；就粒子群算法和经典的其他智熊算法如遗传算法、蚁群算法进行了 比较，分析了当前智能进化算法在解多目标优化问题的应用。 第４章首先分缨了一种基于ｐａ啾。最优解集的多髫标粒予群算法，然后针对 其最优粒子的选择策略提出了改进：引入了更加准确的稀疏因子来评价粒子在№最优解集里的密集程度；使用了粒子个体菲支隰解历史池的方法，用于保存粒子在迭代飞行过程中曾经达到的若干个非支配最优解；使用扰动因子的防止 粒子个体陷入局部最优的ｐ越ｅ泌阵蕊。最后将改进后的算法运用于篱２章中建立 的电机多目标优化模型，实现了对该多目标优化问蹶的求解。 第５章主要分绍了一个多嚣标电机优化系统；对该系统的主要功能界面及其 数据库设计做了简要说明；最后对该系统的使用流程和实用效果做出了介绍。 第６章是对本论文的总结及展望。中山大学硕士毕业论文基于№最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优他设计中的应用第２章电机多目标优化问题２．１。多目标优化设计的数学描述与传统设计不同，优化设计需要研究和解决以下两个阅题：第一，将所设计 问题的物理模型转变为数学模型，优化设计的首要问题是建立数学模型，即把实 际问题转化为数学模型。建立数学模型时要选取设计变量，给定约束条件，确立 目标函数。目标函数是设计问题所要求的最优指标与设计变量的函数关系。目标 涵数、约束条件和设计变量是优化设计中的三个基本要素。第二，根据数学模型 的性质，选择适当的最优化方法，最终归结为求解目标函数的极值或最优值问题。 优化设计数学模型酶一般数学表达式为 设计变量：ｘ＝（五，五…鼍）ｒ极小化目标函数（２一１）ｉｌｌｉｎ八ｘ）满足约束条件ｘ∈对（２－２）ｔ囊（ｘ）＝ｏ部分。ｉ＆（ｘ）≥ｏｉ＿ｌ，２，３…ｍ； ｉ－ｌ，２，３…ｋ； （２＿势由此可见，网标函数，设计变量和约束条件是优化问题数学模型的三个组成’在优化设计中，需要有一个衡量可行设计方案好坏的评价标准，这个评价标 准的形式化描述，我们称之为目标函数或者评价函数。一般它是设计变量的多元蘧数，记作八ｘ）＝，（五，鹄…置）。同时，它也是设计者意图的体现。目标丞数不同，得到的优化方案也不同。如果是以某～项经济技术指标为目标函数，即设 计变量ｘ与目标函数为单值遁数，称为单目标优化。在实际工程应用中对设计方中山大学硕士毕业论文基于ｐ矾嚏。最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用案的要求往往是多方面的，优化的目的函数不止一个，即多目标优化问题，它的目标函数表示为：ｆｍｉｌｌ石（ｘ）ｌ ｍｉｎ五（ｘ）ｌ…ｌ （２．４）【ｍｉｉｌ厶（ｘ）例如在电机设计中，目标函数可以是效率和有效材料成本，这就形成了多目 标优化问题。这几个目标往往不能用同一单位去衡量，它们之间如何兼顾，才能 在寻优的过程中如何获得多个可行的方案，这是本文的研究任务。 另外，最小化与最大化问题可以相互转化， 求极大值的问题也可以转化为求极小值问题：ｍａｘ／（ｘ）＝ｍｉｎ卜厂（ｘ）】。因此，不失一般性，通常以最小化多目标问题为研究对象。２．２．电机的优化设计模型电机的优化设计是指从预定的优化目标出发，在满足相应的性能标准约束条 件的前提下，根据电机设计的数学模型，应用最优化的数学方法，使用计算机程 序计算出一个或多个优化的设计方案，使得某项或者某几项经济技术指标达到最 优。要研究这个问题，根据２．１节中多目标优化问题的数学模型描述，首先要分 析这个模型中的三个组成部分：设计变量、目标函数和约束条件。２．２．１．电机优化的设计变量和设计空问一个设计方案可以用一组基本参数的数值表示，异步电机的参数有数十个之 多，在电机设计中有的基本参数可以根据工艺、结构和使用要求预先设定，有的 基本参数对性能影响并不大，可以根据经验预先取作常数，而另一部分对电机优 化结果影响较大的量，即作为优化设计过程中待定的参数，称为设计变量川。设 计变量越多，优化方案可能越理想，同时设计的难度也越大。中山大学硕士毕业论文基于№最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用在异步电机设计中，设计变量分为几何变量和电磁参数两大部分。常用的几 何参数有定子内径，铁心长度，每槽导体数，导线截面积，以及定子和转子槽的 槽宽、槽高，如果以起动性能为目标函数或者特别关注的性能，也可以把槽口尺 寸作为设计变量，另有一些几何参数，尽管与电机性能关系密切，但不宜用作优 化变量，如定子转子槽数，槽形，定子外径等。电磁参数作为设计变量的有气隙 磁密，齿部，轭部磁密，定、转子导体电密等，电磁负荷的取值范围容易掌握， 这样优化时的初值和设计变量的上、下界容易确定，而几何参数直观，无需进行 开槽计算，有利于减少计算量和运算时间。因此，常见的设计变量往往是一组互 相独立的几何参数和电磁参数相结合的量。电机优化变量中有连续变量，如电磁 参数和几何参数中的定转子槽高，槽宽等，也有离散变量或整数变量，如标准线径对应的导线截面、每槽导体数等，电机优化所取得变量往往是既有连续变量，也有离散变量，称为混合规划问题。 设计变量越多，设计自由度越大，可供调整的内容也越多，这样取得的优化 方案也就可能越理想，但是此时优化的规模变大，设计的难度也相应增大，这会 给优化过程的数据处理增加不少难度，且大大增加计算时间。总的来说，设计变量的选择原则如下：１）在满足设计要求的前提下，应尽量减少设计变量的个数，异步电机优化设计中变量一般不应超过１０个。２）应该选择对目标函数影响较大，直接影响约束条件和性能指标的基本参数作 为设计变量。因此，目标函数和设计要求不同时，设计变量也应随之变化，才能获得最佳的优化结果。３）选取设计变量应该是一组相互独立的基本变量。它们的取值范围应该比较容易确定。电机优化设计的最终方案将表示成不同参数的集合，我们可以把每一个电机 的优化方案都用一组参数来表示，设有ｎ个设计变量，表示成一个向量，写成：ｘ＝（墨，五…咒），ｘ∈月廿，其中月ｎ表示电机设计变量组成的刀维设计可行域，即优化问题的解空间。 本文选取异步电机的特定机型进行优化，其定子圆底槽、转子梯形槽如图２．１ 所示。中山大学硕士毕业论文基于陆ｃｔｏ最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用（ａ）定子圆底槽（ｂ）转子梯形槽图２．１定子、转子冲片槽形示意图根据不同的优化目标需要选取不同的设计变量。如果以效率作为优化设计目 标，则需要选取对异步电机的额定效率影响较大的电机结构参数，比如电机定子 铁芯长度、定子内径、定子槽的尺寸、气隙长度等。为取得较理想的优化设计效 果，本文把这些结构参量作为电机优化设计的优化变量。这样，效率作为电机优 化设计的目标函数时，相应的优化设计变量如下：五三 ｚ五ｘ＝ 五ｘ。ｘｓ如如 域６（２－５）ｋ其中，三为定子铁芯长度，ｚ为钉子绕组每圈匝数，如为定子槽肩宽，＾乏为定子槽身高，甄为定子铁芯内径，万为气隙长度。由于有效材料成本与制造电机所使用的铜、铁、铝的重量直接相关，所以应 选取对铜、铁、铝的重量影响较大的电机结构参量作优化设计变量。因此，可把 铁芯长度、定子绕组每圈匝数、定子导体线规作为优化设计变量，另外，虽然定 子槽尺寸的变化对电机有效材料成本的影响比较小，但考虑到定子绕组每槽线圈 匝数已作为优化设计变量，为给它一定的变化空间，也把定子槽宽和定子槽身高 作为优化设计变量，同时，为保证电机初始设计方案中定子齿或槽形状不发生改 变，其它与定子槽宽和槽身高有关的参量也作相应变化，它们的变动在程序内部 加以保证，并不作为优化设计变量处理。中山大学硕士毕业论文基于№ｌｏ最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用这样，选取有效材料成本作为电机优化设计目标时，其相应的优化设计变量为五三五 五 ｙ＝ 五 ａ 鼍 五 墨 五ｚ 月如坞如 如 钙（２－６）其中，上为定子铁芯长度，ｚ为定子绕组每圈匝数，月为定子槽身圆弧半径，她为定子槽肩宽，如为定子槽身高，％为转子第一段槽宽，６乏为转子第二段槽宽，红为转子槽身高。若以电机的效率和有效材料成本作为双目标，则最终选定以下ｌｏ个设计变量：三乞月她ｘ＝坞如 钙（２—７）红ｑ五 鼍五鼍五与五 瓦万２．２．２．选择电机优化目标函数优化设计的任务是在许多可行的方案中找出最优的方案，所谓最优方案就是在设计中能最好的满足设计要求的某些特点的目标，而这些目标又可表达为设计中山大学硕士毕业论文基于ｐａｆｅｔｏ最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用变量的函数，称为目标函数。目标函数可用来评价设计方案的好坏，所以又称为评价函数。电机优化设计中最优标准是设计者按照电机的不同类型、用途以及用户的特 殊要求定制的，可以是经济指标，如有效材料费用、制造费用，运行费用等、体 积、重量、机器运行寿命等，也可以是性能指标，如额定效率、起动性能、功率因素等。将其任何一项指标作为目标函数，求其极小值，即求解施厂（ｘ）。以电机设计人员关注的主要经济、技术指标作为优化目的函数，具体来讲，就是电机的有效成本ｃｏｓｔ最低，有效重量ｇ最轻，效率刁最高，起动电流ｌ最小，起动转矩瓦最大的五种情况。所谓“有效一，是指参与机电能量转换的那 份结构如硅钢片，钉子绕组和转子绕组的成本或重量。 电机设计中的成本包括几项，除了电机的制造费用，运行费用以外，最重要 的一项是有效材料成本，因此将电机的有效材料成本作为电机优化设计的目标函数，是合理的，同时，这也符合国家提倡节约原材料的经济政策。本文在对异步电机进行优化设计时，将电机的有效材料成本作为目标函数进行了优化计算。对 于其它几项成本，涉及到诸多不确定因素，应用数学方法进行优化时就需要对此 进行加权处理，此时面临的一个重要问题就是选择合适的权重，权重因电机、设 备、生产地区而有所不同，其优化结果肯定有所差别，优化效果也未必就比单独 优化有效材料成本时好。而有效成本是参与机电能量转换的材料成本，是衡量电 机设计水准的重要指标，因此，在进行成本优化时只考虑了电机有效材料成本。关于有效成本的目标函数为：尸（ｘ）＝∑ｇｑ＝％％惋魄＋巳吼，（２．８）其中％，ｃ乙，％分别为铁、铜、铝材的价格，吼，瓯，吼分别为铁、铜、铝的重量。该目标函数旨在满足电机性能的基础上尽量降低电机成本。关于效率的目标函数为只刀＝吉＾１（２．９）其中输入功率弓＝乞。＋乞２＋匕＋壤，输出功率罡＝名一名。中山大学硕士毕业论文基于№最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用生产成对于大批量生产电机的厂家来说，为了获取尽可能大的经济效益，本是他们最关心的问题。同时，效率作为异步电机的一项重要性能指标，在电机 设计特别是高效电机设计中，如何利用现有的技术设备条件尽可能地提高电机运 行效率，是电机设计工程人员必须解决的问题。因此，在做电机优化设计时，往 往需要在多个目标上进行优化，本文以电机的有效成本和效率同时作为优化目标 函数，希望在获得较高的效率的同时，又在有效材料成本等其它方面让人满意。目标函数设计如下：ｆ石＝∑ｃｆｑ＝％嚷蚝魄＋巴，ｑ，ｔ五＝刁＝暑２．２．３．确定电机优化约束条件‘２－ｌ。）优化设计中设计变量组成的向量为贾＝（五，五…瓦），ｊ∈月口，其中五的取值往往需要满足某些限制条件。电机优化设计中除了对目标函数求极值以外，为了得到可行的优化方案，同样需要对设计变量的取值加以限制，使其它 性能以及一些结构尺寸等符合规定值。这些限制条件总称为约束条件。一般优化 设计中约束条件有两种类型：一种是边界约束，边界约束是直接考虑设计变量的 限制范围的一种约束；另一种是性能约束，性能约束是由机械的某些性能要求推 导出来的约束关系。异步电机优化设计常取的约束条件为效率、功率因素、最大 转矩、起动电流、起动转矩和热负荷等性能指标，电磁负荷的上下界以及一些结构尺寸。约束条件一般可以表示成设计变量的不等式约束函数所（ｘ）≥ｏ和等式约束条件岛（ｊ）＝０，约束的表达形式可以相互转换，所以在电机设计讨论约束条件时，一般只讨论不等式的情况【刀。中山大学硕士毕业论文基于ｐａｒｅｔｏ最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用图２．２电机优化设计可行域示意图一个不等式的约束条件，司将设计空ｉ司划分成两个部分，如图２—２ｉ匦ｉ出的三个不等式的约束条件示意图，图中的约束条件和目标函数都是二维函数，以＆（工）≥ｏ为例，崩＝ｏ为一条曲线，将平面分成两个部分，一部分崩（ｘ）＞ｏ， 另一部分崩（ｘ）＜０，图中有阴影的一侧，即不满足约束条件的空间；同理画出 ＆（ｘ）≥ｏ，岛（石）≥ｏ的另两条曲线；以三条曲线所围成的区域称为可行域ｄ，对于ｎ维空间，满足所有ｆ个约束条件的集合是刀维空间月”的一个子集，即解空间ｄ，表达式为：ｄ＝｛ｘ：白（ｘ）≥ｏ｝ｇ＝１，２，３…）（２－１１）因此有约束条件的优化设计的实质就是在可行域内寻求一组设计变量，使目标函数值最优。在本文中，将选取功率因素ｃｏｓ伊、启动转矩瓦、最大转矩乙、起动电流ｌ、热负荷∥作为一部电机优化设计问题的约束条件，设定ｃｏｓ％、瓦ｏ、ｋ。、ｌｏ、 “作为电机优化中应该满足的国家设计标准。可以得到一组由性能指标构成的约束条件，如下：中山大学硕士毕业论文基于ｐ卸他ｔｏ最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用ｃｏｓ缈一ｃｏｓ‰≥ｏ乙一瓦ｏ≥ｏ＇一’。｝ｏｉ ｓｔｏ—ｉｎ≥ｑ、（２－１２）ｉ彳厶一彳，≥ｏ由上式得到的约束条件并不能直接应用到优化设计中，这是因为上式中各约 束函数值的数量级相差较大，灵敏度不同，在优化计算中灵敏度高的约束会首先 到达约束边界，而其它的约束条件几乎得不到考虑。为避免这种情况出现，本文 将各约束条件进行了规范化处理，使其达到相同或相近的数量级，这样，上述异 步电机的性能约束条件就可表示为相对值的形式，如下。ｇｉ（ｘ）＝ ！竺！翌二！竺！翌ｑ≥ｏｃｏｓ缈。９２（ｘ）＝五二玉≥ｏ乙。 瓦积ｏ（２一１３）９３（ｘ）＝ 玉墼二§！苎ｑ≥ｏ一‰～一弘２．３．经典电机优化设计方法在目标函数可以表示为显式并且存在的导数的情况下，可以用经典的迭代法 来求取函数的极小点。经典迭代法常利用函数的梯度（斜量）方向（或者相反） 作为搜索的方向。例如最速下降法和牛顿法，最速下降法是以负梯度方向作为搜 索方向；牛顿法是在出发点附近将目标函数展开成泰勒级数，保留到二次项，并 用该二次函数的极小点作为下一步的迭代点。由于这两种方法都要用到函数的一中山大学硕士毕业论文基于ｐａｒｅｔｏ最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用阶或二阶偏导数，这对于目标函数本身都难以用解析式表达的电机优化设计问 题，实际上是不可行的【７ｌ。 在电机优化设计中，由于铁磁材料的非线性，目标函数、约束函数与优化变量的函数关系均较为复杂，很难全部用解析式将他们表示成显示函数的形式。可见，电机优化设计是具有约束的非线性规划问题。因此，电机优化设计的方法通 常用直接法（数值计算法），一般不选用求其导数的解析法。在实际的电机优化 中常用的一种基本方法是模式搜索法。故也称ｈ００ｋ．腑法。模式搜索法由两种移动组成，第一种为探索移动，它是从起始点出发，沿着坐标轴方向试探性移动，价坐标轴方向都探索完毕以后即得到探索移动的终点。第二种移动为斜向模式移动，若探索移动的终点不等于起模式搜索法是虎克一吉夫斯（ｈｏｏｋ．腑ｓ）于１９６１年提出的一种直接搜索法，点，则从终点出发，沿着起始点到终点的方向，以起始点到终点的距离为步长进 行移动，得到一个新的点，这两类移动交叉进行，形成一轮搜索周期，逐轮迭代 使得目标函数趋向于极小值。在探索搜索和模式搜索均失败的情况下：ａ）、认为 当前点为所求极值点；ｂ）、通过缩小步长开始新一轮搜索来提高优化的精度，满足精度要求时结束搜索过程。 此方法模式规律性强，物理概念清晰，编程简单，搜索步骤有一定模式，但该方法中的模式移动，探索步长相对固定，缺乏灵活性，数值计算量大，收敛速 度慢，且优化结果受初始化起点以及预定步长的影响较大。 针对这些问题，可以进行改进，如鲍威尔（ｐｏｗｅｕ）于１９６２年提出的共轭方 向法（ｐｏｗｅｌｌ法）嗍，该方法在每个方向上都做一维寻优，收敛速度较慢，但是 更能适应一般的目标函数。其关键在于各个变量变化范围的上、下限值。变量初 值的选取不如ｈ００ｋ．ｊｅｅｖｅｓ法重要，但是各个变量变化的次序都很重要。变量的 步长常以其么标值表示，基值取为其上、下限之差，斜向作一维寻优时，确定其上下界是比较麻烦的。单纯形（ｎｅｌｄｅｒ－ｌⅵｅａｄ）法，所谓单纯型法，即平面上的一个正三角形在ｎ维空间中的推广。单纯型法的基本思路是“往最坏的顶点的相反方向走，可能找到 较优点一。中山大学硕士毕业论文基于ｐａ他ｔｏ最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用其他优化方法类同，区别在于确定搜索方向和步长因子，以获得最佳的优化结果。简而言之，经典优化方法对目标函数本身有较高要求，如连续性、一阶、二 阶导数的存在性等，不适用于因设计变量关系复杂而目标函数无法显示表示的电 机优化设计这一类非线性规划问题中，传统电机优化设计中常用的直接搜索法则 往往受制于优化起始点、搜索步长因子的设置，或者因计算复杂和收敛精度要求 使得收敛速度较慢，而智能进化算法的随机搜索特性和较快的收敛速度在处理优 化问题时有着先天的优势，将智能算法引入电机优化设计问题具有可行性，因此 吸引了国内外众多学者对这一问题展开研究。２．４．本章小结本章主要介绍了多目标优化问题的数学模型，并依据这个模型对电机多目标 优化问题进行分析，分别确定了电机优化的设计变量和设计空问、以效率和有效 成本为目标的优化函数以及因性能要求而提出的约束条件。对经典的传统优化方 法做了回顾，指出其优点以及不足之处。中山大学硕士毕业论文基予ｐａｒｅｔｏ最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用第３章ｐｓｏ相关理论及其多目标拓展３．１．ｐｓｏ算法的提出粒子群优化算法（ｐｓｏ）是～种基于种群的随机搜索优化技术，由ｅｂｅｒｈａｒｔ和 ｋｅ衄ｅｄｙ于１９９５年提出暾。算法思想来源予对鸟群的捕食行为的模拟。一个鸟 群在只存在一块食物的区域中随机搜索食物。当所有的鸟都不知道食物的位置， 只知道当前的位置距离食物还有多远时，应该选择怎样的最优策略去寻找食物 呢最简单有效的办法，就是搜寻因前距离食物最近的鸟所在位置的周围区域。 ｐｓｏ是从这种模型中得到启示而产生的智能算法，运用于解决优化闯题。在 ｐｓｏ算法中，每个优化问题的解个体被看作是搜索空间中的一只鸟，即群体中的 成员。由于这样的个体被描述为没有质量、没有体积的单位，因此又被称作“粒 子＂，这样的粒子具有位置、速度和加速状态几个属性。所有的粒子都有一个由 被优化的函数所决定的适应值（６ｔｎｃ龋ｖａｌｕｃ），每个粒子还有一个速度决定他们飞 翔的方向和距离，然后粒子们通过追随当前的最优粒子在解空间的可行域（如果 有约束条件）中进行搜索。 ｐｓｏ算法首先初始化为一群随机粒子（随机解），然后通过迭代确定其速度和 位置，在每一次迭代中，粒子通过跟踪两个“极值＂来更新自己：第一个就是粒子本身在历史上所找到的最优解，这个解嚣堪傲个体极值棚；另一个极值是整 个种群目前找到的最优解，称作全局极值棚。另外也可以不用整个种群而只是用其中一部分最优粒子的邻居，鄄把大的种群分威较小的子种群，粒子个体通 过与邻域（子种群）中的粒子成员共享局部最优值来更新自己的飞行方向和距离， 局部最优值就是所有邻居中的极值。 ｐｓｏ算法的优点如下：（１）算法具有良好的普适性，对算法稍加改动可以适 应不同的应用环境； （２）算法具有很强的分布式能力，由于算法本质上是种群进化算法，易于并行实现；（３）能够快速收敛到良好的优化值；（４）易于与其 他算法混合以提高算法性能。忠坐奎兰堡主望些笙茎董篓呈竺竺墨垡蹩堕兰旦堡堕旦兰鲨垄盥垫垡些堡丝！箜生星由于ｐｓｏ算法简单、有效、易于实现等特点，自其被提出以来，已经逐渐得 到研究者的重视和研究，目前已经广泛运用于函数优化、机器人技术应用、决策 制定、模拟和证明等诸多领域。３。ｌ。重．ｐｓｏ算法原理分析下面对粒子群算法进行形式纯表述。在连续空闻坐标系中，粒子群算法的数 学描述如下： 设粒子群体规模为ｎ。其中每个粒子在ｐ维空闻中的坐标位置向量表示为：彳。＝ｂｌｌ’ｘ，２．饼ｍ“‰）每个粒子的速度向量为：ｙ，２如妒弘２．●‰，．．髓≯粒子的个体最优位置记（即粒子ｆ曾经到达过的历史最优位置）为 ｐｉ２≮ｐ萤ｐ匿”ｐ对…ｐ≥ 群体的最优位置（即群体中任何粒子曾经到达的最优位置）为 ｐｉ。ｌｐ西ｐ矗一ｐ一…ｐ≥ 不失一般性，以最小化问题为侈｜ｌ，在最初版本的粒子群算法中，个体最优位置的迭代公式为：掣＝∥ 白一１力磐令吖甜１）其他ｐｑｊ 净１）群体最优位置为个体最优位置中最好的位置。速发相位置迭代公式分别为：曙眷屹＋‘宰崩黝们术０毒一‘）＋《木月凇木ｑ咯一站）（３—２）由于初始舨本在优讫闻题中应用时效果弗不太好，所以初始算法提滋不久之 后就出现了一种改进算法１１０１，在速度迭代公式中引入了惯性权重∞，速度迭代公 式变为：—≯＝彩略＋‘毒赢删木０嗡一《）＋ｇ奉月盔ｘ７２母ｏ刍一‘）（３３）中山大学硕士毕业论文基于ｐａｒｃｔｏ最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用虽然该改进算法与初始版本相比复杂程度并没有太大的增加，但是性能却有 了很大的提升，因而被广泛使用。一般的，将该改进算法称为标准粒子群算法， 而将初始版本的算法称为原始粒子群算法（ｏｐｓｏ）【１ｎ。图３．１粒子迭代更新示意图每一代中任意粒子迭代的过程见图３．１所示。从社会学的角度来看速度迭代公 式【１２】，其中第一部分为粒子先前速度的影响，表示粒子对当前自身运动状态的 信任，依据自身的速度进行惯性运动，因此参数缈称为惯性权重（ｉｎｅｒｔｉａ ｗｅｉｇｈｔ）；第二部分取决于粒子当前位置与自身最优位置之间的距离，为“认知（ｃｏ啦ｉｏｎ）一部分，表示粒子本身的思考，即粒子的运动来源于自己经验的部分，因此参数ｇ 称为认知学习因子（也可称为认知加速因子）：第三部分取决于粒子当前位置与群体中全局（或局部）最优位置之间的距离，为“社会（ｓｏｃｉａｌ）＂部分【１３ｌ，表示粒子间的信息共享与相互合作，即粒子的运动来源于群体中其他粒子经验的部 分，它通过认知模拟了较好同伴的运动，因此参数ｃ，称为社会学习因子（也可称为社会加速因子）。 ｐｓｏ算法是一种随机的、并行的优化算法。它不要求被优化函数具有可微、 可导、连续等性质，收敛速度较快，算法简单，容易编程实现。然而，ｐｓｏ算法 的缺点在于【１４】：（１）对于有多个局部极值点的函数，容易陷入到局部极值点中， 得不到最优的结果。造成这种现象的原因有两种，其～是由于待优化函数的性质； 其二是由于粒子群算法中粒子的多样性迅速消失，造成早熟收敛。 （２）由于缺乏精密搜索方法的配合，ｐｓｏ算法往往不能得到精确的结果。造成这种问题的原 因是ｐｓｏ算法并没有很充分地利用计算过程中获得的信息，在每一步迭代中，中山大学硕士毕业论文基于№最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用（４）ｐｓｏ算法是一种启发式的仿仅仅利用了群体最优和个体最优的信息。（３）ｐｓｏ算法虽然提供了全局搜索的 可能，但是并不能保证收敛到全局最优点上。生优化算法，目前还没有严格的理论基础，仅仅是通过对某种群体搜索现象的简 化模拟而设计的，但并没有从原理上说明这种算法为什么有效，以及它适用的范 围。因此，ｐｓｏ算法一般适用于高维的、存在多个局部极值点而并不需要得到很 高精度解的优化问题。下面将给出经典ｐｓｏ算法的一般流程及其参数分析。３．１．２．ｐｓｏ算法流程经典的标准ｐｓｏ算法流程如下： 初始化粒子位置和速度上计算粒子当前适应度而ｔｎｅｓｓ用当前值更新ｐｂｅｓｔ值ｌ否ｉ号毒用当前值更新ｉ瞻ｓｔ值ｌ否更新粒子的速度和位置赢荔主藉ｆ送氟是图３－２标准粒子群算法流程图说明如下：ｓｔ印ｌ：初始化粒子群，包括群体规模ⅳ，每个粒子的位置五和速度ｋ； ｓｔｅｐ２：计算每个粒子的适应度值风懈嚣【ｉ】；中山大学硕士毕业论文摹予ｐａｒｅｔｏ最优解的多目橼ｐｓｏ算法猩电机优化设计中的应用ｓｔｅｐ３：对每个粒子，用它的适应度值张蹴￡，ｆ西和个体极值脚【霸比较，如 果足所缁闭＞删ｐ】，则用只触撇嘲替换掉脚翻；ｓｔｅｐ４：对每个粒子，用它的适应度值ｒ铆哪【刁和全局极值班胁，吲比较，如果ｒ加ｇ鬟ｓ嗣＞棚吲，剐用ｆ话孵譬譬【ｆ】替换ｇ投掰嘲；ｓｔｅ西：根据速度公式（３—２）和位置公式（３—３）更新粒子的速度《和位置五，或着按一定概率随机初始化更新；双ｅ西：如果满足结束条件（在收敛精度范围内或到达最大迭代次数）则退出，否则回到ｓｔ印２。从以上流程可以看出，粒子群算法的本震是剩焉巍前位置、全局极值和个体 极值三个信息，指导粒子下一步迭代位置。其个体充分利用自身经验和群体经验 调整自身熊状态怒粒子群算法具有优异特性的关键。３。ｌ。３．ｐｓｏ算法参数分析ｐｓｏ算法参数包括：群体规模掰，惯性权重掰，加速度系数ｑ，ｇ，最大代数ｇ喇。（１）惯性权重彩：它使粒子保持运动惯後，使其有扩展搜索空闻的趋势，有 能力探索新的区域。如果彩＝ｏ，由于速度本身没有记忆性，只取决于粒子当前位置和其历史最好位置脚和脚妇ｆ，所以，粒子群将收缩到当前的全局最好位置，更像一个局部算法１１５１；如果彩喾ｏ，粒子有扩展搜索空闻的趋势，即有全 局搜索能力。因此，对于较大的田值有利于跳出局部极小点，而较小的甜值有利 于算法收敛。 （２）学习因予ｑ、ｃ２：该项参数用于调整粒子的自身经验与社会经验在其运动中所起的作用，表示将每个粒子推向觥和脚是位置的统计加速项的权重。低的值允许粒子在被拉回前可以在目标区域外徘徊，而高的值则导致粒子突 然冲向或越过目标区域ｆ１蜘。如果ｃｌ拦ｏ，则粒子没有认知能力，粒子在相互作用巾山大学硕士毕业论文基予ｐ删。最优解的多目标照ｄ算法在电机优化设计中的应用下，不仅能到达新的搜索空间，但也容易陷入局部极值点；如果ｇ＝ｏ，粒子问 没有社会信息共享，算法变成一个多起点的随机搜索；如果ｑ＝ｑ＝ｏ，粒子将 一直以当前的速度飞行，直到到达边界。通常ｃｌ、ｇ的范围在０～４之间。（３）粒子个数和维数ｇ懈：粒子个数一般取２０～４０，对于大部分的问题１０个粒子邕经足够取得好的结采，对于比较难的闻题或者特定类别的问题，粒子数可以取到１００或２００【１５１。３．１．４．ｐｓｏ与ｇａ及ａｃｏ的对比根据ａｎｇｃｌ龇的研究ｉ嘲，ｐｓｏ和采用进化思想的优化算法（ｅｖｏｌｍｉ０彻搿ｏｐｔｊ妇面喊ｉｏｎ）主要有两个区别点： １．进化算法依赖以下三个重要机制：父代的表现，优秀个体的选择和参数的调 整；丽ｐｓｏ只需要用到其中两种机制，因为它不需要采用复杂的选择机制 来选择优秀个体。此外，在标准的ｐｓｏ中是没有像进化葬法里的搿子代挣 这样的概念的。 ２．进化算法和ｐｓｏ算法的第二个区别和个体的操作有关，ｐｓｏ用一个速度因 子来设置粒子的特定的飞行方向，这包括了粒子的个体最优值和种群的全局 最优值，如果粒子个体的最优值和全局最优值的方向相近，那么这两个方向 之闻的夹角就会很小，露较大的角度意味着有较大的搜索能力。而对于进化 算法，可以运用变异因子让个体朝任何方向变异（虽然每一个方向变异的相 对可能性有差黪ｌ＞，这意味着进化算法中个体的多样性保存得比较好。其实， 换个角度来说，ｐｓｏ中的速度因子可看作进化算法中受到限制的变界。 ｐｓｏ与ｇａ的对比 具体到遗传算法（ｇａ），这种经典的智能进化算法和粒子群优化算法有着 很多共同之处：默技术的角度来说，ｐｓｏ＿和ｇａ均具有如下特点： １）初始化为的种群一组随机解；芍都使用评价丞数计算出适应值阮溉譬譬啊来评价个体的优劣程度，并依此来进行一定程度的随机搜索；中山大学硕士毕业论文基予陆ｃｔｏ域优解的多目标ｐｓ０算法程电机优化设计中的应塌３）通过逐代更新种群来搜寻最优解。 从问题的适用类型上来说：ｇａ算法适合子处理离散问题，而ｐｓｏ算法更适 合处理连续闻题；丽且ｐｓｏ算法搜索速度快，在搜索性能上好予ｇａ，这是因为： １）ｐｓｏ算法没有遗传操作，如交叉（ｃｒｏｓ∞ｖｅｒ）和变异（ｍｕｔａｌｉｏｎ），而是利用个体 在解空闯中的随机速度来改变个体，其解群相对进化代数而言，表现出更强 的随机性，其计算复杂度比遗传算法低【１７ｌ。 ２＞粒子其有‘‘记忆＂的特性，它们通过“翔我弦学习和向‘‘他人弦学习，使其 下一代粒子有针对性的从“前辈＂那里继承更多的信息，从而能在较短的时闻内找到最优解。３）和ｇａ相比，ｐｓｏ中的信息共享机制是明显不同的，在ｇａ中，个体互相之 间通过染色体共享信息，所以整个种群的移动楚比较均匀地向最优区域移动；丽在ｐｓｏ中，只有础或者ｚ跏ｆ向其他个体传递信息，这是单向的信息共享机制，迭代过程中粒子只寻找最优解，使得所有粒予都很快地向最优 解收敛，邸便是在有邻域的局部版本ｐｓ０中也是如此。●ｐｓｏ与ａｃｏ的对比ａｃｏ和ｐｓｏ同属群体智能的范畴，前者是模拟蚁群的食物采集过程，己成 功应用于许多离散优化问题的求解。后者也是起源于简单的社会系统模拟，来自 于模拟鸟类觅食行为的过程，也是～种很好的优化工具。事实上，这些群体智能 方法能够应用于解决大多数优化问题或者能够转化为优化求解的问题。 ａｃｏ和ｐｓｏ共同的优点： １）与其他启发式算法相比，在求解性能上，两者具有很强的适应性（对基本蚁 群算法模型稍加修改，便可以应用于其健淘题）和搜索较好解的熊力。 ２）二者都是基予种群的随机搜索算法，具有本质上的并行性，易于并行实现。 ３）二者都摄容易与多种扇发式算法结合，以改善算法性能。 两种算法主要的不同点在于： １）ｐｓｏ算法的优势在于求解一些连续的优化问题，蚁群更适合求解离教型的阍题；２）ｐｓｏ的解的构造过程跟《渔比较相似，是生成式的（ｇｅ酾哦ｉｖｃ），一次性剑 造出整个解，而蚁群构造一个解时是逐步逐个元素构造（ｃｏｒｌｓｔｒｕｃｔｉｖｅ）的；中山大学硕士毕业论文基于ｐａｒｅｔｏ最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用３）ｐｓｏ和ｇａ里面没有启发式信息，而在ａｃｏ中有。ｐｓｏ的群体协作力度要少于ａｃｏ，因为ｐｓｏ只通过ｇ觑ｒ或者舰甜来传播信息，其他时候都是靠自己的记忆（脚协ｆ），而蚁群中的每只蚂蚁每走一步就会在路上遗留信息 素，这些信息素对整个群体的其他蚂蚁都有影响； 钔ｐｓｏ的参数较少，而且受参数影响相对较小，几个参数在经典设置下都能获 得较好的收敛速度和结果。蚁群算法对参数非常敏感，如果信息素挥发系数、 信息素增强系数、概率系数设置不当，会导致求解速度很慢且所得解的质量 特别差。 ５）ｐｓｏ的问题最主要的是容易产生早熟收敛（尤其是在处理复杂的多峰搜索问 题中）、局部寻优能力较差等。ｐｓｏ算法陷入局部最小，主要归咎于种群在 搜索空间中多样性的丢失。蚁群算法可以通过参数的调整来平衡全局搜索和局部搜索的力度。ｄｐｓｏ的操作相对简单，计算高效，而基本蚁群算法操作复杂，计算量较大， 求解所需时间较长。３．２．多目标进化算法３．２．１．ｐａｒｅｔｏ最优解及ｐａｒｅｔｏ前沿多目标最优化０ⅵｕｌｔｈｂｉｅｃｔｉ、ｒｅ叫诎ｉｏｎ）问题不同于单目标最优化问题，无法求到一个在所有目标上都最优的“完美解＂。在多目标最优化过程中，会出 现这样一种情况：一个解在某个目标上时最好的，在其他的目标上可能比较差， 即存在目标之间的冲突和无法比较现象，多个目标不能同时进行优化，如果在这 个解的基础上尝试对某一特定目标被进行优化，其他一个或者几个目标的值会降低。对于这一事实，意大利经济学家ｖ．ｆ．№在１８９６年提出非支配解１１羽科ｏｎ叫ｄｏｎｌｉｉ】ｉａｔｅｄ）的概念，也有人将其称为ｐａ咄。最优解。多目标优化问题不存在唯一的全局最优解，而是存在一个包含若干个最优解的集合。多目标问题最优解集中的元素就全体目标而言是不可比较的，一般称为ｐ涨舾最优解集合。所谓ｐａｒｅｔ０最优解集，直观上来理解，即对于问题的解空间中的某些解，不可能进一中山大学硕士毕业论文基于ｐａｒｅｔｏ最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用步优化某一个或几个目标而其他目标不至于劣化，因此也称为非劣（非支配）最优解集。在多目标决策中，我们要找的并不是所有子目标的最优解，而是找出所谓的ｐａｒｅｔｏ最优解集（ｐａ咖呻ｉｉｉｌａｌ ｓｅｔ）。为了准确描述多目标优化的概念，进行如下几个定义： 定义３．１给定两个向量贾，罗∈尺七，如果有毛≤只（ｆ＝１，２…ｊ｜｝），则称ｊ≤罗，如果ｊ≤罗且ｊ≠罗，则称碧支配（ｄｏｍｅｓ）矿，其中∥是向量空间。定义３．２ 如果在某个向量集∥ｃ ｒ”内，ｊ∈∥，如果在该向量集∥内不存在其他的贾。，使得７（牙‘）＜７（牙），那么我们称牙是非支配（ｎ０ｎ．ｄｏｍｉｎａｔｅｄ）的。 定义３．３如果一组变量组成的向量贾’∈ｐ ｃ∥（ｐ是可行解的向量空间），如果贾‘在ｐ内是非支配的，则称ｊ’是帕累托最优解（ｐ锄ｅｔ０－０ｐｔｉｍａｌ）。定义３．４如果满足，＝｛贾∈ｆ”ｉ贾是ｐ勰炯最优解｝，则称ｐ．是帕累托最优 如果满足腰‘＝｛７（ｊ）∈彤ｉｊ∈ｐ．｝，则称即’为ｐａｒｅｔ。前沿解集（ｐ删。叫ｉｉｉｌａｌ ｓｅｔ）。定义３．５（ｐａｒｅｔｏ ｆｉ．０ｎｔ）。◆ｐａｒｅｔｏ最优解（非支配解） ｏ其他解（支配解）图３．３胁ｔｏ最优解不失一般性，描述具有两个优化目标的问题的ｐａｒ咖最优解，该问题的解向 量空间为二维空间。如图３．３。按上述定义，假设任何两个解向量互和是，对所中山大学硕士毕业论文基予ｐａ瞅。最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用有目标而言，写均优于是，则我们称最支配置，若ｉ没有被其他解支配，则称墨为非支配解（的ｍ曲商艇瞅ｌ鼬艇ｉｏ鸯，也就是ｐ积建。最优解。圈３—４ ｐ碳缱。翁沿这些非支配解的集合构成所谓的№前沿（如图３－４所示）。坐落在ｐ枨ｉｔｏ 前沿中的所有解都不受№前沿以外的解（以及№前沿以内的其他解）所支配，即这些非支配解相对于其他解而言拥有最少的目标冲突，所以提供决策 者一个较健的选择空间。在某个ｊ｝支配解的基础上改进任何目标蘧数的阕时，必 然会削弱至少一个其他目标函数。如果要在现有麓设计观点上改进其中某一个子曩标≤钠珏。球矮嘲，势必要在其他子网标上有所牺牲，很显然，ｐａｒｄｏ最优解不只一个，事实上在～般多目 标最优化问题中，翔ｆｅ幻最优解通常是连续藕且有无限多个的。ｐ锄咖最优概念是建立在集合论基础上，对多目标求解的一种向量评估方法。而传统的数学规划法与模拟退火算法是以单点搜索为特征的串行算法，不可能利用ｐａｒｅｔｏ最优概念对解进行评估。因此，ｐ删。最优概念虽然提出来已百年有余，假却仍无传统算法意义上的耀关算法。基于种群操作的演化算法可以隐并行缝搜 索解空间的多个解，并能利用不同解之间的相似性来提高其并发求解问题效率，如果与黼最优概念褶结合，有霹麓产生真正基子ｐ毅ｅ埝最优概念的多目标优化的演化算法。中山大学硕士毕业论文基予ｐａｒｅｔｏ最优解的多目标ｐｓｏ算法襁电机优化设计中的应用№前沿；２、所获得的最有解应该是尽可能沿ｐ卸渤前沿均匀分布。这也是大多数ｐ绷。多隧标优化算法的设计准则。３．２．２．进化算法解多骞标问题由于进化算法潜在的并行性，使得其能在一个迭代过程中并行地找到多个ｐ椭最优解的评徐标准包括：ｌ、所获得的最优解集应该尽量接近真实№解，构成完整的ｐ鲫阳解集。多目标进化算法的研究主要集中在以下几个方面【１９１：其一，使算法的搜索向着ｐａｒｅｔｏ最优解集移动；其二，保持解在№解的前沿或者其附近均匀分布；其三，对于约束函数的处理。常见的多嚣标进位算法可以分为以下几类：篱单聚集法、基于种群的非ｐａ鼬法、基于种群的ｐａｒ咖法和ｎｉｃｈｅ小生境技术。简单聚集法：遭常也煮称之为权重系数变化法，利用了权重聚合方法把多目 标优化命题转化为简单的单目标优化命题，再用单目标进化算法加以求解。通过对不同予譬标赋予不露的权重系数来求得多譬标优化命题的№解集。其缺点解不能被接受，箕原因或是由于所用遗数排斥未知闷题的方蕊多于优化的方面，在于：各个子目标的权重系数往往依赖于决策者的选择，如果多目标优化命题的或是由于权重系数的选择不适合命题本身，这就需要新一轮的优化直到能找到满 意解为止。基于种群的非ｐ锄咖法：通常也有称之为并列选择法，其中以典型的向量进化遗传算法ⅳｅｇａ：虢魅孵嚣ｖａｌｌ溶ｅｄｇ￡酸ｉｃ砧ｇ确纛啦嘲隽侧，１９ｓ５年ｓｃ扭￡融提出向量评估遗传算法呷ｇ舢用于解决机器学习中的多目标优化问题，算法的主要恩想是：先将群体中的全部个体按照予霉标函数的数基均等遗划分成价子群体，对每个子群体分配一个子目标函数，各子目标函数在其相应子群体内独立 进化计算产生新的子蒜体，然后将这些新的予群体重薪组合成一个完成的群体， 并在其中实行交叉变异，从而产生完整的下～代群体，如此循环“分割．并列选择．合并炒的过程，最终产生№解集。其缺点在予：容易产生个别子嚣标函数的极端最优解，而要找到所有目标函数在某种程度上的协调最优解却比较困难。中山大学硕士毕业论文基予№最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用ｍｏｇａ【２ｌｌ瞰１、ｎｓｇａ瞄】阱１、ｎｓ（认．ｉｉ【２５１等。其基本思想是：基予“№最优个体捧的概念对群体中的各个个体进行排序，依据排序次数来进化选择计算，使得 排在前面的ｐ骶＝ｔｏ最优个体有更多机会进入下一代群体中，如此经过一定代数的基予种群的ｐ锄哟法：通常也有称之为排序选择法，其典型算法包括循环之盾最终可以求得多秘标优化命题的ｐ粼ｔｏ解集。显然，ｐ鲫醴０等级的存在消除了交换可能的非凸性。№等级的另一优点在于１２６ｌ：由于其在任一目标维中都能取得较好性能，所以可以通过重组多嗣标维中的算法来产生有效解法。其 因此导致容易产生大量相似的ｐａｒｅｔｏ解，不利于生成相对分布均匀的ｐ鳅舾解集。 ｎｉｃｈｅ小生境技术：显然，从排序选择法的缺点可以看出，当存在多重同等缺点在于：由于只定义了个体之间的优劣程度，丽没有度量个体之间的分数程度，优化时，有限种群往往趋向于收敛到相似的几个或者一个，原因在于选择过程中 的随机错误。这一错误被称为遗传偏差。在自然赛和人类的进化过程中都可以看 到，同样地在基于种群的ｐａｒｅｔｏ优化过程中也有所体现。在多目标优化过程中保 持种群的多样性缀重要，所以在大量多垦标进化算法中都使用ｎｉｃ叁ｅ技术，其中 应用最多的就是适应度共享技术。其基本思想就是特殊ｎｉｃｈｅ中的个体不得共享 可用资源，这也与自然界所类似。因此，某一个体的适应度会随着其邻界个体的 增加而下降。这里邻域是以距离尺度定义，通过被称为ｎｉｃｈｅ半径的圆来指定。ｎｉｃｋ技术的存在使得最终的ｐａｆｅ埝最优解集缝够相对均匀的分布在№前沿上，适应度共享的附加作用就是阻止遗传偏差并促进整个ｐ鲫咖集合的样本性 朗。其缺点在于：由于每次选择计算时都需要进行大量全体之闻的优劣关系评价和比较运算，所以使得算法的搜索效率相对降低。３．３．多目标ｐｓｏ算法闷题，并发地找到一组№最优解，因此出现了很多基于进化算法的多目标优由于进化算法需要处理一组候选解，很自然让人想到用它来处理多目标优化化技术。ｐｓｏ和其他进化算法有着许多共同的机制，也应该是一个解决多目标优 化问题的方法，然而，基本的单目标ｐｓｏ版本或者有邻域和局部最优值的ｐｓｏ中山大学硕士毕业论文基于ｐａｒｅｔｏ最优解的多目标ｐｓｏ算法程电机优化设计中的应用版本都不适合没有绝对全羯最优值的多西标闯题。在粒子群中要定义出最关键的鼬切ｆ和加嚣ｆ似乎不太容易。相对传统多瞬标优化方法，ｐｓｏ在求解多目标问题上具有很大优势。首先， ｐｓｏ的离效搜索能力有利子得到多目标意义下的最优解；其次，ｐｓｏ通过代表 整个解集的种群按内在的并行方式同时搜索多个非劣解，因此容易搜索到多个ｐ粕哟最优解；再则，ｐｓｏ的通用性使其适合于处理所有类型的目标函数和约束：另外，ｐｓｏ很容易与传统方法相结合，进而提出解决特定问题的高效方法。就 ｐｓｏ本身丽言，为了更好地勰决多目标优化润题，必须解决全局最优粒子和个体 最优粒子的选择问题。对于全局最优粒子的选择，一方面要求算法具有较好的收 敛速度，另一方西要求所得解在ｐａｒｅ埝边界上具有一定的分散性。对予个体最优粒子的选择，则要求较小的计算复杂性，即仅通过较少的比较次数达到非劣解的更新。迄今，基于ｐｓｏ的多目标优化主要有以下几种思路： （１）向量法和权重法。文献【２８】利用固定权重法、适应性权重法和向量评价法， 将ｐｓｏ用于解决多曩标优化闷题。即把各个目标函数线性加权转化为～个目标 函数，然后求该单目标问题的最优解。然而对于给定的优化问题，权重法通常很 难获得一组合适的权重，两向量评价法往往无法给螺多目标优化问题的满意解。其结果不仅对权重向量非常敏感，而且这类方法要求对问题本身有很强的先验认识，不可避免地漏掉更好的ｐａ蜘解，并且不能保证ｐａ磁。解的均匀分配，也不能有效地求取非凸多目标问题的ｐ删。解。（２）基于№￡ｑ的方法。文献【２９】将ｐ绷晒箦｝序机制和ｐｓｏ相结合来处理多圜标优化问题，通过ｐ黜ｔ０排序法选择一组精英解，并采用轮盘赌方式从中选择全局最优粒子。尽管轮盘赌选择梳制设计酶露的是使掰有№个体的选择撅率相性。同，但是实际上只有少数个体得到较大的选择概率，因此不利于维持种群的多样（３）距离法。文献【３０】根据个体当前解与ｐ甜ｅｔ０解之间的距离来分配其适应值， 从而选择全局最优粒子。由于距离法需要初始化潜在解，如果初始潜在值太大， 不同解的适应值的差别则不明显。这将导致选择压力过小或个体均匀分布，从而 导致ｐｓｏ算法收敛菲常缓慢。中山大学硕士毕业论文基予№最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用（４）邻域法。文献【３ｌ】提出一种基于动态邻域的选择策略，将一个目标定义为 优化目标，而将其它所有目标定义为邻域目标，进而提如了选择全局最优粒子的 动态邻域策略，但该方法对优化目标的选择以及邻域目标函数的排序较敏感。 （５）多种群法。文献ｆ３２】将种群分为多个子种群，每个子种群单独进行ｐｓｏ运算，各个子种群之间通过信息交换来搜索ｐ洲－ｔ０最优解。但是豳于需要增加粒子数目而增加了计算量。另外，文献【３３】将博弈理论中的ｍａ）【确斑策略引入ｐｓｏ来解决多髓标问题，利用ｍａ】【ｉ曲策略确定粒子的适应值可以很好地确定№最优解丽不需要聚类和小生境技术。 下面简单介绍多目标优化ｐｓｏ算法中的向量法和动态邻域法。３．３．１．向量法多霸标ｐｓｏ鬈ｘ）ｆ～，ｘ＇ × ｘ２鬻３－５（鑫）鏊标函数空闾鬻３—５秭解空闫如图３—５（ａ）所示，这是一个双目标优化的情况，要求最小化石（曲和五（曲，如果仅有一个目标函数石∽或者石（ｘ），那么粒子ａ应该沿ｈ或者屹的方向飞行，然而此时，在石（力和五（功的解向量空闻中，这两个目标函数都要葶ｉ导粒子 ａ的飞行。那么粒子ａ的飞行方向既不能是毪，又不能是毪，因为这样不能使石ｏ》 和五（力的适应度同时提高。粒子应该沿着ｍ和ｖ２中间的某一方向飞行，最终达到№前沿。对于棚和舢的选择如下：计算出所有目标函数对应的脚闭，当种群孛所有粒予的速度更新后，取棚嘲的“平均值挣作势全局最．’ｌ‘－中山大学硕士毕业论文基予ｐ积。最优解的多目标ｐｓｏ算法禚电机优化设计中的应用优值曲瓣；对予每个粒子的脚阮月作类似处理。相对于双邕标情形，班级可以按如下方式获得：驴删ｆ＝三二二（舻协，【ｌ】）十二删【２】）＂一ｆ’ｉ，ｎ其中，ｉ是当前迭代次数，黠是总迭代次数。图３—５（ｂ）表示粒子某次迭代后的解空间情况，五和托，对应着目标函数石（功 和五（曲适应度（∥狲ｆ【ｌ】和垂沁距２】）最高的解，即如图３－５∞中的墨和岛，根据向量法多目标ｐｓｏ算法留戤，鳓应该从姒嘲和ｇ＆爵【２】的“平均值捧获取，对应的解ｘ应该在五和五之间，即ｃ点，而ｃ更靠近ｐ删。前沿。３．３．２．基于动态邻域的多目标ｐｓｏ由于ｐｓｏ中单点集中的机制，全局ｐｓｏ无法找出包含多目标最优解的ｐ蹦ｉｔｏ 前沿，使用邻域的局部舨本也失效了，因为邻居是预定义的，褥且它靛只在最优 解附近优化。ｈｕ提出了一种基于动态邻域机制的多目标ｐｓｏ算法１３¨。每一次迭 代螽，计算种群中粒子之闻的距离，每个粒子都找到融邑豹新邻居，在瓤邻居中，每个粒子找到局部最优粒子将其局部最优值作为膪耐。问题是如何定义这个距离，如街定义局部最优粒子。图３嗡动态邻域多目棒ｐｓｏ粒子寻优方式中山大学硕士毕业论文基于ｐａｒｃｔｏ最优解的多目标ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用如图３．６在二维的适应度函数空间中，ｐ锄湘前沿是适应度函数值的一个边界，它由一条连续不连续的的线和点构成。对于最小化问题，这条边界应该坐落 在适应度函数空间中的左下方，如果第一个适应度已经确定，那么只需要优化第二个目标函数，最终的解应该是“掉落＂到包含ｐａｒｅｔｏ前沿上的边界上，那么寻找局部最优的方法定义如下： ｌ在第一个目标函数空间（不是变量空间）中计算当前粒子和其他粒子的距 离。 ２用上面定义的距离找到与当前粒子距离最近的ｍ个粒子作为其邻域，ｍ就是邻域的规模。３在邻域中寻找相对于第二个目标函数的局部最优值。这个版本的ｐｓｏ中对幽协ｆ的更新也做了修改，加甜ｆ作为粒子个体的历史最优值，只有当一个新的解支配到当前的历史最优解时才更新它。№前沿。但是这种方法中有一个重要的问题，就是如何确定哪个目标函数被固定，哪个目标函数被优化。一个简单的处理方法是固定相对简单的目标函数而 去优化较为复杂的目标函数，而实际上，目标函数的选择顺序对最终的优化结果影响较大。而且是高度问题相关的。基于以上的修改，这个多目标ｐｓｏ算法成功地找到了最优解并描述出了３．４．本章小结本章回顾了ｐｓｏ算法的形式化定义和基本算法流程，简单介绍了ｐｓｏ算法 的基本原理和计算流程，对其中的参数进行了分析。对粒子群算法和经典的智能 进化算法如遗传算法和蚁群算法进行了比较，分析了进化算法在解多目标优化问 题中的原理和应用以及当前ｐｓｏ处理多目标问题的主要方法，指出了各种解决 方案的优劣之处。此外，还分析了多目标优化问题可行域中各个解之间的支配与非支配的关系，进而给出了ｐ矧炳最优解和№前沿的定义。这是多目标优化策略中进行优化的重要概念，也是第４章中基于ｐ枨知最优解概念的粒子群多 目标优化算法策略的理论基础。中山大学硕士毕业论文基予‰ｔｏ最优解的多目橼ｐｓｏ算法在电机优化设计中的应用第４章４。ｌ。引言电机多目标优化设计的ｐｓｏ算法实现粒子群算法在求解单隧标优化阀题时取褥的成功激发了许多研究者将这套 仿生智能群体算法运用到其他问题中，其中一个方向就是多目标优化。第一篇关予多目标粒子群算法徽０ｐｓ饼瑟４ｌ的文章于２∞２年发表，随焉在这一领域中陆续有相关算法文章发表，本章先回顾经典的基于ｐａｒｅｔｏ解的多网标优化粒子群算法，然后提出基予黼非支配集的一种多飚标粒子群算法改进，对于全局最优值的选取，采用了稀疏因子选择策略，用以提高整个种群的多样性，使得最终输 出的ｊ≥支鬣最傀解集能够尽量均匀地分布在实际ｐａ磁。前沿上；使用了粒子个体 的历史最优解集合，用于保存粒子在迭代飞行过程中曾经达到的若干个非支配 解，从中选取个体最优值孳ｌ导粒子飞行。本牵最后遥遭实验对改进前、磊的多尽 标粒子群算法进行测试，以证明该算法的有效性，并将其运用到解电机多目标优化设计问题上。４．２．多目标优化粒子群算法（ｍｏｐｓｏ）为了将ｐｓｏ算法运用到多目标优化问题中，显然要对单目标ｐｓｏ算法的过 程进行修改，多目标阀题的解并不是单一的解，我们的目标是找到一组不同的解 （即ｐ删．ｔｏ最优解集）。通常来说，解决一个多目标问题需要达到三个目标：１．使ｐ积。最优解集中的元素数目最大化。理想状况是粒子群中所有粒子个体都靠飞到斗ｐ猢哟解集中。２。使算法产生的ｐ矧韵前沿和实际存在的ｐ鲫啪前沿（假设我们知道这个真实的ｐａｒｅｔｏ前沿）之间的距离尽可能地短。 }