其实在生活中，有很多概念和常识性的知识都是大多人不知道的，比如30的因数是什么，这也说明大家逐渐关注起因数是什么，那么30的因数有哪些?跟着小编的脚步一起往下看看吧。

30的因数一共有8个，分别是1、2、3、5、6、10、15、30。在数学中，两个正整数相乘，那么这两个数都是积的因数，也叫做约数，比如2×6=12，那么2和6就是12的因数，因为12是2的倍数，同时也是6的倍数，30的因数就是1×30、2×15、3×10、5×6。

两个正整数相乘，这两个数就叫做积的因数，就是一整数被另外一整数整除，那么后者为前者的因数，比如1、3、5、15都是15的因数，而1、2、5、10为10 的因数。如果是将一个合数分为好几个质数相乘的形式，这几个质数就是这个合数的质因数。

1只有因数1，所以其不是质数也不是合数。

合数是除了1和它本身还有其它正因数。

质数是恰好有两个正因数的自然数。

1个非零自然数的正因数的个数是有限的，其中最小的是1，最大的是它本身。

所有不为零的整数都是0的因数(具有争议)。

整除是指两个整数相除余数为0。

除0以外，如果两个自然数只有公因数1，那么就叫做互质数。

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写这篇文章完全是有感而发，很小的时候就知道有质数这么一个东西，它不能被分解，做数学题计算的时候也是最怕遇到这个东西，遇到了证明它除不尽了，得出来的答案很可能就不是正确答案了。但是最近在 上面做了几道质数相关的编程题，感觉自己知道的还是太少，今天就简单介绍一些质数的基本性质，然后结合几道编程题来看看吧。

维基百科上面给出的质数的定义是 “除了 1 和自身外，无法被其他自然数整数的自然数”，这个定义你可能很早很早的时候就理解了，但是我要往深了问，你可能一下子不能马上反应过来，比如问题 “如何快速判断给定的一个数是不是质数？”，还有 “质数在所有的数中分布是怎样的，我们怎么通过算法高效地找到他们？”，这些问题其实某些时候很有用，比如如果我们知道一个数是质数，我们就知道它不能被更小的数整除，我们就会对我们写的程序计算更有把握，另外有一点很重要的就是所有大于 1 的自然数都可以写成质数的乘积，比如 4 = 2 * 2, 15 = 3 * 5, 20 = 2 * 2 * 5 ...，你会发现一个数我们可以用一个质数的集合（允许有重复的元素）来表示，换句话说只要我们找到了一个范围内的所有质数，那么这个范围的所有数都可以通过这些质数来求得，现在看来质数是自然数的基石。

接下来我们看一下质数的一些基本的性质，对于你理解质数会更有帮助：

• 除了 2 以外，所有的质数都是奇数
• 所有大于 3 的质数都可以写成 6k +/- 1 的形式
• 任意一个大于 1 的自然数 n，最多只能有一个，除其本身外，大于 的质数因子

这些东西不难，但是很有意思，我们一条一条看，首先第一条，这个不难理解，除了奇数就是偶数，偶数都会被 2 整除，那么大于 2 的偶数就会有 2 这个质数因子，因此偶数一定不是质数，奇数不一定是质数。

看到第二条，你可能会打个问号，真的吗？注意这里 6k +/- 1 只是 “一个数是质数” 的必要条件，并不是充分条件，也就是说只要是质数就必须满足 6k +/- 1，但是满足这个条件的数不一定是质数，比如 25 就不是质数。你可能会问为什么是这样，其实证明也非常的简单，一个数不能被写成 6k +/- 1，那它肯定能被写成 6k +/- 2, 6k +/- 3, 6k +/- 4，一看看过去，你发现这三个表达式都是有质数因子 2 或者 3 的，因此他们表示的数肯定不是质数。

最后一条可以帮助我们缩小我们寻找一个数的质数因子的范围，比如你判断 101 这个数是不是质数，你只需要考虑这个数能不能整除 2 ～ 10 这个范围内的数，是不是一下子把搜索的时间降下来了？为什么这个性质成立呢？我们知道一个数可以写成几个或者多个数的乘积，比如 a = b * c = * ，假如 b > , 那么 c 肯定是要比 小的，不然等式不成立，这样我们只需要在 2 ~ 的范围内寻找质数因子 c 即可，注意我这里说的是质数，不是 2 ~ 内所有的数。接下来，我们来看几道实际的编程题来理解一下这些性质具体有啥用。

给定一个数，求这个数的最大质数因子，比如 100 的最大质数因子是 5。

很直接的一道题，最暴力的解法就是找到给定数范围内的所有质数，然后从大到小去看这些质数是不是给定数的因子，如果是就直接返回。这种解法既耗空间又耗时间，而且题目并没有要求我们找出所有的质数，更好一点的解法是根据性质来看，任何数都可以表示成质数乘积的形式，比如给定一个数 a，可以分解为 b c d e 三种质数，a = b * c * d * b * c * e，这样我们就从小到大一个个排除就行了，废话不多说，先上代码

这里我应用了两个之前提到的性质，就是所有的偶数都不是质数，你可以看到第二个 for 循环从 3 开始，逐次加 2，这样可以保证跳过偶数，当然写的极致一些的话，你可以考虑应用上面提到的 “所有的质数都可以表示成 6k +/- 1” 这个性质，这里应用的另外一个性质就是，一个数大于 的质数因子最多只可能有一个，这样我们只需要考虑去整除小于或等于 的质数，如果有大于 的质数因子的话，那么除剩下来的就是，这样又节省了不少时间。有些人可能会问，你怎么能保证你除的都是质数，如果不是质数怎么办？这个很好解释，之前提到过，所有的数都可表示成质数的乘积，从小到大，每次遇到的数如果不是质数，那么这个数可以拆成比自身小的质数，这些质数早在之前就约掉了，所以这里不需要过多的考虑。

这次是真的要找质数了，这个是没辙的，从头到尾找，因为质数的分布其实是没有啥规律的（至少目前还没有发现），但是应用上面提到的一些性质能够让这个寻找的过程变得高效，我们一起来根据代码看看：

这里我一开始创建了一个 list 来存当前找到的质数。为什么要找之前所有的质数，其实这个不是必要的，但是所有的数都可以写成质数的乘积，如果你当前考虑的数没有任何一个质数因子，那么说明当前考虑的数是质数，注意这里我们只需要考虑质数因子，因此需要用 list 记录质数，不然又得回头去一个个看，重复考虑之前找到的数，这样就会浪费时间，所以记录还是很有必要的。另外第二层 while 循环还是应用了之前的性质去缩小考虑范围。

计算出 2 百万以下所有质数的和

这题和上面一题没啥特别的地方，还是找，直接上代码：