一个数除了1和它自己之外，没有别的除数。这个数叫做质数(也叫质数)。

一个数除了1和它本身之外，还有其他的约数。这个数叫做合数。

尤其要记住:1既不是质数，也不是合数。

2.素因子和分解素因子

如果一个素数是一个数的除数，那么这个素数就是这个数的素因子。

以质因数相乘的形式表示一个合数叫做分解质因数。

例如:将30分解成质因数。

其中2、3和5称为30的质因数。

例1三个连续自然数的乘积是210。找出这三个数字。

∴可以知道这三个数字是5，6和7。

例2两个素数之和是40。这两个质数乘积的最大值是多少？

解法:40表示为两个素数之和。有三种形式:

∴寻求的最大值是391。

答:这两个素数的最大乘积是391。

例3自然数是质数还是合数？为什么？

因为它除了除数1和它本身之外，至少还有除数3，所以它是一个合数。

九个连续的自然数中有多少个质数？为什么？

解法:如果这9个连续的自然数在1到20之间，那么显然最多有4个素数(比如1 ~ 9中有4个素数2，3，5，7)。

如果这九个连续性质中最小的不小于3，那么偶数显然是合数，奇数最多是5。这五个奇数中只有一个个位数是5，所以5是这个奇数的一个因子，也就是这个奇数是一个合数。这样，最多其他四个奇数是质数。

综上所述，9个连续自然数最多有4个素数。

5把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。

这些数字中有两个质因数2，3，5和7，所以如果你取14

(=2×7)在第一组，那么7和6(=2×3)只能放在第二组，然后15 (= 3× 5)只能放在第一组，那么5必须放在第二组。

这五个数字可以分为14和15，5，6和7组。

例6有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均值，三个数的乘积是42560。找出这三个自然数。

要求的三个自然数分别是32，35，38。

例7有三个自然数A，B，c，已知a×b=6，b×c=15，

在例7中，有A2 = 22，b2=32，c2=52，其中22=4，32 = 9，52 = 25，这样的数字为4，9，25。推而广之，我们把自然数平方得到的数称为完全平方数或平方数。

让我们在将一个完整的平方数分解成素因子之后，观察素因子的指数的特征。

例如，将下列完整的平方数分解成质因数:

可以看出，一个完整的平方数分解素因子后，所有素因子的指数都是偶数。

相反，如果把一个自然数分解成质因数，每个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是一个完全的平方数。

例8整数A和1080的乘积是一个完整的平方数。求A和这个平方数的最小值。

解析∵a和1080的乘积是一个完整的平方数，

∴素因子按积分解后，每个素因子的指数都必须是偶数。

此外，在÷1080 = 23×33×5的素因子分解中，所有素因子的指数都是奇数，

∴a必须包含质因数2、3和5，所以a的最小值是2×3×5。

答:A的最小值是30，这个完整的平方数是32400。

要想知道360有多少个约数，我们先看看32×5有多少个约数，然后将所有这些约数分别乘以1、2、22、23，得到23×32×5(=360)的所有约数。要求出32×5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后将这些约数分别乘以1。

解:记住5的除数是Y1，

显然Y1=2(5只有1和5两个约数)。

所以360有24个约数。

注:Y3=4×Y2中的“4”是“1，2，22，23”中的数，即2加1的最大指数，即360中素数因子2加1的个数= 23×32×5；Y2=3×Y1中的“3”是“1，3，32”的个数，即23×32×5中质因数3加1的个数；而Y1=2中的“2”是“1，5”中数的个数，即23×32×5加1中质因数5的个数。因此

对于任何一个合数，用类似于讨论23×32×5(=360)的除数的方法，可以得到一个求合数的除数的重要结论:

合数的除数等于其质因数分解公式中每个质因数(即指数)的个数加上1的连续乘积。

例10求240的约数。

∴240有20个约数。

请列出240的所有约数，再数一遍，看看有没有20。

1.自然边长、面积为105的不同形状的矩形有几种？

2.1111222个棋子排成一个长方块。每行的棋子数比每个垂直列的棋子数多一个。这个长正方形的每一排有多少块？

3.五个相邻自然数的乘积是55440。找出这五个自然数。

4.自然数A乘以338正好是自然数b的平方，求A和b的最小值。

每个水平行中的棋子数量比每个垂直行中的棋子数量多一个。

行数和列数应该是两个相邻的自然数。

∫自然数A乘以338，恰好是自然数B的平方，

∴a和338的积分求出质因数后，每个质因数的个数之和是偶数。