天平上找次品，8个物品为什么4个4个分呢？

点击联系发帖人 时间：2022-07-04 09:42

通过天平找伪币

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1、精选优质文档-倾情为你奉上找次品教学设计 -徐怀涛教学目标：1、通过比较、猜测、验证等活动，探索解决问题的策略，渗透优化思想，感受解决问题策略的多样性，培养观察、分析、推理的能力。2、学习用图形，符号等直观方式清晰、简明的表示数学思维的过程，培养逻辑思维的能力。教学重点：体会解决问题策略的多样性及优思想教学难点：观察归纳找次品的最优策略课前交流：师：上课之前老师想先考考大家的眼力，看看谁的眼力最棒？师：请不同。生：（回答）师：咦，怎么回事？生：不好确定。师：刚才这位同学分析的很对，从外观上看，它们一模一样，可实际上其中有一瓶少了3片，在生产生活当中我们把这种不合格的产品称为“次品“，那当遇

2、见次品时需要把它找出来吗？生：需要。师：大家的声音里感觉少点什么，请看大屏幕（播放航天飞机事故图片）师：看完后你想说点什么？生：次品的危害很大。师：再问大家一次，当有次品的时候要不要把它找出来？生：要。师：从同学们的回答声中老师感受到大家的社会责任感，今天我们就一起来研究找次品（板书）（宣布上课）师：大家请看课题，你希望从这节课的学习中了解到什么？生：找次品的方法，如何最快找到次品。师：那我们带着这样的学习目标咱们开始今天的学习，一、探究新知（一）探究2和3师：这两瓶钙片，谁有办法找出其中的次品？生：掂一掂，数一数。生：可以用天平师：天平咱们在以前的学习中已经接触过了，天平长什么样？谁能用身

3、体模仿一下？生：用身体模仿师：多么美丽的一架天平啊，那么如何用天平找出其中的次品呢？谁来当天平给大家找一找？生：天平两端各放1瓶，哪边轻就是次品。师：你把钙片分成了几份？生：两份。师：天平这时候会出现什么情况呢？生：（用身体表现出倾斜）师：次品在哪里？指一指师：如果次品多了几片呢？生：哪边重就是次品。师：需要称几次？生：1次师：看来从两瓶里找次品，只需要称1次就一定能找到。如果是3瓶呢？请看屏幕，需要称几次？师：猜一下？生：2次，1次？师：独立思考一会，然后跟大家说说你称的方法，你分成了几组? 需要称几次？生：分成了三份，天平两端各放一瓶，如果天平平衡，那么剩下的就是次品，（指一指）如

4、果天平不平衡，那么上升的就是次品，（抖一抖）需要称一次师：称1次可能会出现几种情况？生：两种，平衡或不平衡师：不论天平平衡或不平衡，只需称1次就能找出次品。师：咱们一起来体验一下他的称法，伸出手，架起天平，任选两瓶放在天平两端，如果天平不平衡，那么次品在？如果天平平衡次品在？师：称1次能保证找到次品吗?生：能。师：大家观察次品的位置，你发现了什么？师：就是说次品不在天平上就在。生：天平外师：那么次品一定是我们用天平称出来的吗?生：不是。师：从表面上看，咱们比较的是天平上的两份，但加以科学推理咱同时比较的其实是三份。这里有几个位置可以利用？师：多好的方法，咱们用数学的方式记录下来，同学们

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最近有个小朋友问了我一个问题：

“在12个小球里有一个次品，重量与其他11个球不同。用一个没有砝码的天平，最少称几次，才能保证找到那个次品，并且区分出次品是轻还是重呢？”

这个问题看似简单，做起来还真不容易。

我们首先来研究一个简化版本，这是在小学五年级课本上的一道题：

“已知有9个球中有一个次品球比其他球更重，用天平至少称几次才能保证找到那个次品球？”

相比于标准问题，简化版本多了一个条件——我们知道次品球比其他球更重。这样问题就简单多了，你还记得答案吗？

也许有人说：我可以用二分法，先把球均分成两堆，上天平比较，找到重的一堆，次品就在这里。再把重的一堆均分成两堆，上天平比较…这样，每次就能把球去掉一半，就能最快找到次品啦！

其实，二分法并不是步骤最少的。因为天平称一次，有三种状态：左边重、右边重或者平衡。二分法只利用了其中的两种情况。我们应该在每一次测量的时候充分利用天平的特点，减小问题的不确定性，我们大约可以把它称为“三分法”。

以9球为例：首先将9个球编号1-9，然后把它们分成均匀的三堆：1、2、3号一堆、4、5、6号一堆、7、8、9号一堆。

第一次测量时：把1、2、3号球放在天平左盘，4、5、6号球放在天平右盘，7、8、9号球放在一边。

因为次品球更重，所以如果天平向左边倾斜，就说明次品在1、2、3号中；如果向右边倾斜，说明次品在4、5、6号中；如果平衡，说明次品在7、8、9号中。

第一次测量的结果和对应可能

我们发现：无论出现哪一种结果，我都把“从9个球中找次品”的问题转化成“从3个球中找次品”的问题，不确定性大大缩小了。

第二次测量时，假设次品在1、2、3号球中，我们就需要再把这三个球再平均分成三份，每一份就只有一个球了。然后，把1号球放在天平左端，2号球放在天平右端，3号球放在一边，进行第二次测量。

如果天平向左边倾斜，1号球是次品；天平向右侧倾斜，2号是次品；天平平衡，3号是次品。第二次测量，我们把次品的可能范围从3个球压缩到1个球。

利用每次均分成3份的方法，我们只需要2次测量，就能从9个球中找到那个较重的次品了。

根据以上的例子，我们发现：如果在已知次品轻重的前提下，想最快找到次品，应该每次将剩余的球均分成三堆，通过天平测量，理想情况下可以把次品的可能性压缩到其中的1/3。

假如有N个球，每测一次，次品可能性就被压缩到1/3，测量k次后，次品的可能性小于等于1，我们就保证找到了这个次品。所以，需要满足的条件是：

反过来，测量k次，最多能从N个球中找到一个已知轻重的次品球，N必须满足条件：

我们可以列一个表格，帮助大家快速寻找答案。

已知次品轻重时测量次数和小球总数的关系

*注意：如果球的数量不能均分，只需要把不相等的数放在天平下即可。例如有26个球，可以分成9-9-8三堆，9和9上天平，8球在下方，结果不变。

消除不确定性，其实是信息熵的作用。大家是否玩过一个游戏，叫做我想你猜。我心里想个人物，你问我问题，我回答是或者否。例如：

每一次是或者否，都能消除一半的不确定度。如果我只认识1024个人，那么你最多问我10个问题，就能猜到我心里想的是谁。同样，在天平称小球的问题中，因为每次有三种可能结果，所以每次消除的不确定性更多。如果问题有是、否、不确定三种回答，理论上10个问题，可以从59049个人物中找到答案。

如果我们只知道次品重量不同，但是不知道是轻是重。至少需要测量多少次，才能保证找到次品，并且测出次品的轻重呢？

显然，如果不知道次品的轻重，那么问题的不确定性就多了。我们还是从简单的情况开始：

有6个球，从中找到一个次品，次品的可能性共有12种：

1号球轻、2号球轻、3号球轻、4号球轻、5号球轻、6号球轻；

1号球重、2号球重、3号球重、4号球重、5号球重、6号球重。

第一次测量：将六个球中1、2号放在天平左边，3、4号放在天平右边，5、6号放在旁边。这样分配的原则与之前相同：尽量充分利用平衡的三种可能结果。

测量结果和可能性我列在下表：

第一次测量结果和对应可能

这样，无论获得什么结果，第一次测量后，我都把12种可能压缩为4种了。

2.1 若第一次测量，天平不平衡。

如果第一次测量天平左侧重，我们就知道坏球在1、2、3、4之间，而5和6是好球。第二次测量可以使用这样的策略：1号和3号球放在天平左侧，4号球和一个好球（如5号球）放在天平右侧。

第一次测量左侧重时，第二次测量

根据之间已经获得的信息，容易分析出这时三种结果对应的情况：

第一次左侧重时，第二次测量结果和对应可能

这样，我们就把四种情况又分为2-1-1三类了。

如果第一次测量，天平右侧重，方法是类似的。

2.2 若第一次测量，天平平衡

如果第一次测量天平平衡，我们知道坏球在5、6号球中，对应四种可能。此时我们可以用5号球与一个好球（比如1号）比较：

第一次测量平衡时，第二次测量

第一次测量平衡时，第二次测量结果和对应可能

按照这样的方法，在第二次测量结束后，我们把四种情况压缩到1种或者2种情况之中了。

如果只剩下1种情况，那么我们就找到了次品，并且知道了次品的轻重。

如果还剩下两种情况，我们只需要让它和好球比一比，就能找到最终答案了。例如：只剩下1号球重和4号球轻两种情况，我们只要拿一个好球和1号球比较就可以了。

综上所述：N=6时，我们只需要3次测量，就能保证找到次品，并且知道轻重。

现在我们开始讨论最一般的情况：如果N个球中有一个次品，不知道次品的轻重，那么最初的可能性有2N种。

理想情况下，如果每次测量都能将可能性压缩为1/3, 经过k次测量，找到次品球并区分轻重，那么需要满足：

反过来，测量k次最多能从N个球中选出那个不知轻重的次品并区分轻重，N需要满足：

然而，这只是N的上限，受到N为整数的限制，这个上限不一定能取到。

我们再来详细讨论一下：

假如一共有N个球，其中有一个次品不知轻重，我们测量k次保证能找出这个次品，那么

1. 第一次测量：将N个球分为N=a+a+b，天平两边各放上a个球比较

不知次品轻重时第一次测量

坏球一定位于天平下方的b个球里，情况有2b种。

因为再测量k-1次，必须保证找到坏球，所以有：

反过来，b需要满足条件

大家注意，右边3^k-1是一个奇数，除以2并不能得到整数，但是b必须是整数。所以，这个条件可以进行放缩：

这样右边是个整数。上面两个表达式其实没有区别。

2.2 如果天平不平衡

如果天平左边重，说明左侧的a个球中有一个比较重的次品，或者右侧的a个球中有一个比较轻的次品，情况有2a种。再经过k-1次测量，必须找到坏球，所以与刚刚的推导类似，我们依然有：

现在我们已经知道了a和b满足的条件，因为N=2a+b，所以这就是测量k次最多能从多少个球中找到那个不知道轻重的次品了。

你可以从表中快速找到这个问题的答案：

N个球不知次品轻重，需要的测量次数k

从表中很容易找到：如果有12个球，那么3次测量就能找到次品，并且区分出次品的轻重了。

对于这个问题，其实还有许多值得讨论的地方。

例如：我们在讨论出N个不知轻重的球找次品的公式时，进行了一步放缩。为什么只进行一次放缩，而不是测量几次就进行几次放缩呢？

其次，我们现在的问题是：寻找到次品，并且区分次品的轻重。如果我们只想找到这个次品，而不关心它是轻是重，结论又应该是怎样？

还有一个更直接的问题：12个不知道轻重的小球，测量3次就保证找到次品，并且区分轻重，这个结论我们已经得到了。可是，具体通过什么步骤，才能找到这个次品呢？这个问题依然需要耗费一点脑细胞。

对于这几个问题，有想法的同学，欢迎在评论区里留言讨论。

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