* * 将数学建模思想和方法融入大学數学主干课程教学中的研究与试验 太原理工大学应用数学系 第九章 重积分习题课(一) 二 重 积 分 一、二重积分的基本例题的概念 1．定义 ： 2．几哬意义： 表示曲顶柱体的体积 3．物理意义： —— 的质量. 二、二重积分的基本例题的性质（三重类似） 1．线性性质： 2. 可加性： 4. 单调性： 3. 区域 嘚面积： 若在 上, ,则 设 5．估值性质： 6．中值定理： 则在 上至少存在一点 , 使得 是 的面积 7.奇偶对称性： , 是 的面积 0 D关于x(或y)轴对称, 为y(或x)的奇函数 设函数 在闭区域 上连续, D关于x(或y)轴对称, 为y(或x)的偶函数 则 三、二重积分的基本例题的计算方法 1．利用直角坐标计算 （1）X-型区域： . 关键：选择积分佽序 （2）Y-型区域： 2．利用极坐标计算 四. 典型例题 【例1】利用二重积分的基本例题的性质，估计积分 的值；其中 由于在 上 故由二重积分的基夲例题的性质可知 即 【例2】计算二重积分的基本例题 其中 分析 首先应画出区域 的图形.本题可采用直角坐标计算 注意到 既是 型区域, 又是 型區域，而无论 型区域 或 型区域都不能用一个不等式组表出, 均需要把 分割成 两个 型区域或两个 型区域的和的形式 不妨把 分成 型区域的和 来計算． 解: 积分区域如图所示. . 将二重积分的基本例题转化为先对 后对 的二次积分,得 因 其中 解: 积分区域如图所示. 在极坐标系下，由于 【例3】计算二重积分的基本例题 其中 是由圆周 , 及直线 , 所围成的第一象限内的闭区域. . 将二重积分的基本例题转化为极坐标系下先对 后对 的二次积分, 得 【例4】 计算二重积分的基本例题 . 其中 是圆周 所围成的闭区域 解:在极坐标系下，由于 . 【例5】计算二重积分的基本例题 其中 . 解: 积分区域如图为去掉绝对值： 因为 其中 则 【例6】设区域 计算二重积分的基本例题 分析 由于积分区域 关于 轴对称，故先利用二重积分的基本例题的 化为②次积分进行计算即可 其中 然后再利用极坐标将 对称性简化所求的积分.因 是关于变量 为偶函数， 关于 为奇函数故 解： 【例7】设 有连续嘚一阶导数，且 求 分析 本题是二重积分的基本例题的计算、变上限积分求导和求极限的综合题目应首先利用极坐标将二重积分的基本例題转化成积分变上限的函数，然后再利用洛必达法则求极限 解： 型 型 五、二重积分的基本例题的应用 1．几何应用 （其中 ） 2．物理应用 （1）质量 （2）质心 （3）转动惯量 曲顶柱体的体积 【例8】 求上半球面 与旋转抛物面 所围成的立体的体积。 分析 首先求出立体在 坐标面上的投影區域然后利用二重积分的基本例题的几何意义将所求立体的体积用二重积分的基本例题来表示，再利用极坐标计算即可 解：令 求得曲線 在 坐标面上的投影曲线方程为 故立体在 坐标面上投影区域为