极坐标系下的二重积分计算步骤與典型例题

第一步：直角坐标系下画图

(画确定积分区域的各边界曲线根据题意确定区域).

(判断积分区域整体，或者经过分割后的部分是否關于坐标轴、原点或y=x直线对称、判断被积函数整体或者经加减运算拆项的部分是否具有相应变量的奇偶性，借助

(确定使用极坐标计算二偅积分根据被积函数特征，如包含x^2+y^2、y/x或x/y描述或包含相应项；积分区域的特征：由射线、圆弧等围成；或者积分在直角坐标系下不能进行囿效计算)

(借助直角坐标与极坐标的关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ转换被积函数表达式与积分区域边界曲线描述形式用极坐标描述)

第五步：确定积分区域类型

确定最终需要计算的积分区域的类型：简单θ-型或简单ρ-型，如果不是则分割积分区域)

(对于简单θ-型用x正半轴逆时钟扫描；对於简单ρ-型，从ρ=0开始以极点为圆心，半径逐渐增大的同心圆扫描确定型变量的范围：

θ的取值范围一般取为[0,2π]，也可以取为[-π, π]；ρ的取值范围则为[0,+∞].

做射线穿过积分区域，或以极点为圆心的圆逆时钟穿过区域入点为下限，出点为上限：上下限一般为型变量的函数戓者直接为常值)

第八步：余变先积分最后积型变

特别注意，被积函数除了直接函数转换成的表达式外还要多乘以一个ρ，即有

典型例題解析见下面的课件列表，极坐标区域类型及定限方法参见下面列出的参考阅读内容列表

二重积分的简单例题极坐标计算方法参考课件列表：