高数二重积分，第十题，θ的范围是怎么求的？_百度知道
高数二重积分，第十题，θ的范围是怎么求的？
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高数二重积分，想问一下这道题的详细解题过程
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hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/55e736d12f2eb938f75d42abdfdd6fb2.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=f330f5b5db00baa1ba794fbde736d12f2eb938f75d42abdfdd6fb2.jpg" esrc="http://e.hiphotos.baidu.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="http://e.hiphotos://e<a href="http.baidu
是不是把12xy给丢了
因为y的范围关于原点对称，而12xy是y的奇函数，故此积分为0
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2006年成人高考高等数学（一）复习指导四
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2006年高等数学（一）复习指导四
　　五、多元函数微积分学　　（一）多元函数微分学　　1.知识范围　　（1）多元函数　　多元函数的定义 二元函数的几何意义 二元函数极限与连续的概念　　（2）偏导数与全微分　　偏导数 全微分 二阶偏导数　　（3）复合函数的偏导数　　（4）隐函数的偏导数　　（5）二元函数的无条件极值与条件极值　　2.要求　　（1）了解多元函数的概念、二元函数的几何意义。会求二次函数的表达式及定义域。了解二元函数的极限与连续概念（对计算不作要求）。　　（2）理解偏导数概念，了解偏导数的几何意义，了解全微分概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。　　（3）掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法。　　（4）掌握复合函数一阶偏导数的求法。　　（5）会求二元函数的全微分。　　（6）掌握由方程 所确定的隐函数 的一阶偏导数的计算方法。　　（7）会求二元函数的无条件极值。会用拉格朗日乘数法求二元函数的条件极值。　　（二）二重积分　　1.知识范围　　（1）二重积分的概念　　二重积分的定义二重积分的几何意义　　（2）二重积分的性质　　（3）二重积分的计算　　（4）二重积分的应用　　2.要求　　（1）理解二重积分的概念及其性质。　　（2）掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。　　（3）会用二重积分解决简单的应用问题（限于空间封闭曲面所围成的有界区域的体积、平面薄板质量）。
（责任编辑：何以笙箫默）
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第十一章 曲线积分与曲面积分 高等数学下册 国家级精品课程教案 41页
高等数学教案曲线积分与曲面积分第十一章 【教学目标与要求】曲线积分与曲面积分1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2.掌握计算两类曲线积分的方法。 3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。 4.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法， 了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。 5.知道散度与旋度的概念，并会计算。 6.会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。【教学重点】1.两类曲线积分的计算方法； 2.格林公式及其应用； 3.两类曲面积分的计算方法； 4.高斯公式、斯托克斯公式； 5.两类曲线积分与两类曲面积分的应用。【教学难点】1.两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系； 2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； 3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 4.应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； 5.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。 6.两类曲线积分的计算方法，两类曲线积分的关系； 7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 8.两类曲面积分的计算方法及两类曲面积分的关系； 9.高斯公式、斯托克斯公式，应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； 10.两类曲线积分与两类曲面积分的应用； 11.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。【教学课时分配】第 1 次课 第 4 次课 第 7 次课(14 学时)第 2 次课 第 5 次课 §2 §5 第 3 次课 第 6 次课 §3 §6§１ §4 习题课【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.高等数学教案曲线积分与曲面积分[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社§ 11.1 对弧长的曲线积分一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量? 设一曲线形构件所占的位置在 xOy 面内的一段曲线弧 L 上? 已知曲线形构件在点(x? y) 处的线密度为?(x? y)? 求曲线形构件的质量? 把曲线分成 n 小段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn(?si 也表示弧长)? 任取(?i ? ?i)??si? 得第 i 小段质量的近似值?(?i ? ?i)?si? 整个物质曲线的质量近似为 M ? ? ? (?i ,?i )?si ?i ?1 n令 ??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}?0? 则整个物质曲线的质量为M ? lim ? ?(?i ,?i )?si ?? ?0 i ?1n这种和的极限在研究其它问题时也会遇到? 定义 设函数 f(x? y)定义在可求长度的曲线 L 上? 并且有界?， 将 L 任意分成 n 个弧段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn? 并用 ?si 表示第 i 段的弧长 ? 在每一弧段 ?si 上任取一点 (?i? ?i)? 作和? f (?i ,?i )?si ?i ?1n令 ??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}? 如果当 ??0 时? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数 f(x? y)在曲线弧 L 上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分? 记作?L f (x, y)ds ? 即n?Lf (x, y)ds ? lim ? f (?i ,?i )?si ?? ?0 i ?1其中 f(x? y)叫做被积函数? L 叫做积分弧段? 曲 线 积 分 的 存 在 性 ? 当 f(x? y) 在 光 滑 曲 线 弧 L 上 连 续 时 ? 对 弧 长 的 曲 线 积 分高等数学教案曲线积分与曲面积分?L f (x, y)ds 是存在的?中?(x? y)为线密度?以后我们总假定 f(x? y)在 L 上是连续的?根据对弧长的曲线积分的定义?曲线形构件的质量就是曲线积分?L ?(x, y)ds 的值?其对弧长的曲线积分的推广???f (x, y, z)ds ? lim ? f (?i ,?i ,? i )?si ?? ?0 i ?1n如果 L(或?)是分段光滑的? 则规定函数在 L(或?)上的曲线积分等于函数在光滑的各段 上的曲线积分的和? 例如设 L 可分成两段光滑曲线弧 L1 及 L2? 则规定?L ? L12f (x, y)ds? ? f (x, y)ds ? ? f (x, y)ds ?L1 L2闭曲线积分? 如果 L 是闭曲线? 那么函数 f(x? y)在闭曲线 L 上对弧长的曲线积分记作?L f (x, y)ds ?对弧长的曲线积分的性质? 性质 1 设 c1、c2 为常数? 则?L[c1 f (x, y) ? c2 g(x, y)]ds ? c1?L f (x, y)ds ? c2 ?L g(x, y)ds ?性质 2 若积分弧段 L 可分成两段光滑曲线弧 L1 和 L2? 则?L f (x, y)ds ? ?L f (x, y)ds? ?L1f (x, y)ds ?2性质 3 设在 L 上 f(x? y)?g(x? y)? 则?L f (x, y)ds ? ?L g(x, y)ds ?特别地? 有| ? f (x, y)ds|? ? | f (x, y) | dsL L二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义? 如果曲线形构件 L 的线密度为 f(x? y)? 则曲线形构件 L 的质量为?L f (x, y)ds ?x??(t)? y?? (t) (??t??)?另一方面? 若曲线 L 的参数方程为 则质量元素为高等数学教案曲线积分与曲面积分f (x, y)ds ? f [?(t),? (t)] ??2(t) ?? ?2(t)dt ?曲线的质量为???即f [?(t),? (t)] ??2(t) ?? ?2(t)dt ? f (x, y)ds ? ? f [?(t),? (t)] ??2(t) ?? ?2(t)dt ?? ??L定理 设 f(x? y)在曲线弧 L 上有定义且连续? L 的参数方程为 x??(t)? y??(t) (??t??)? 其中 ?(t)、?(t)在[?? ?]上具有一阶连续导数? 且 ??2(t)???2(t)?0? 则曲线积分 在? 且?L f (x, y)ds 存?L讨论?f (x, y)ds? ? f [?(t),? (t)] ? ?2(t) ?? ?2 (t)dt (?&?)???应注意的问题? 定积分的下限 ? 一定要小于上限 ??(1)若曲线 L 的方程为 y??(x)(a?x?b)? 则 提示? L 的参数方程为 x?x? y??(x)(a?x?b)??L f (x, y)ds ???L f (x, y)ds? ?a f [x,? (x)] 1?? ?2(x)dx ?(2)若曲线 L 的方程为 x??(y)(c?y?d)? 则 提示? L 的参数方程为 x??(y)? y?y(c?y?d)?b?L f (x, y)ds ???L f (x, y)ds? ?c则df [?( y), y] ? ?2( y) ?1dy ?(3)若曲 ? 的方程为 x??(t)? y??(t)? z??(t)(??t??)??? f (x, y, z)ds ??提示???f (x, y, z)ds ? ? f [?(t),? (t),?(t)] ? ?2(t) ?? ?2(t) ???2 (t)dt ???例 1 计算?Ly ds ? 其中 L 是抛物线 y?x2 上点 O(0? 0)与点 B(1? 1)之间的一段弧?解 曲线的方程为 y?x2 (0?x?1)? 因此?L1 1 y ds? ? x2 1? (x2)?2 dx ? ? x 1? 4x2 dx ? 1 (5 5 ?1) ? 0 0 12高等数学教案曲线积分与曲面积分例 2 计算半径为 R、中心角为 2? 的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I(设线密度为??1)?解 取坐标系如图所示? 则 I ??L y 2ds ?曲线 L 的参数方程为x?Rcos?? y?Rsin? (????&?)? 于是I ? ? y 2ds ? ? R2 sin 2 ? (?R sin? )2 ? (R cos? )2 d?L???? R3 ? sin 2?d? ?R3(??sin? cos?)????例 3 计算曲线积分?? (x2 ? y2 ? z 2)ds ? 其中 ? 为螺旋线 x?acost、y?asint、z?kt 上相应于 t 从 0 到达 2?的一段弧? 解 在曲线?上有 x2?y2?z2?(a cos t)2?(a sin t)2?(k t)2?a2?k 2t 2? 并且ds ? (?a sin t)2 ? (a cost)2 ? k 2 dt ? a2 ? k 2 dt ?于是??(x2 ? y 2 ? z 2 )ds ? ? (a2 ? k 2t 2) a2 ? k 2 dt02?? 2 ? a2 ? k 2 (3a2 ? 4? 2k 2) ? 3小结用曲线积分解决问题的步骤? (1)建立曲线积分? (2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) ? 确定参数的变化范围? (3)将曲线积分化为定积分? (4)计算定积分?教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例，反复讲解。师生活动设计x2 y2 ? ? 1 周长为 a，求 ? (2xy ? 3x 2 ? 4 y 2 )ds 。 1.已知椭圆 L : 4 3 L2. 设 C 是 由 极 坐 标 系 下 曲 线 r ? a,? ? 0 及 ? ??4所围成区域的边界，求高等数学教案曲线积分与曲面积分I ? ?eCx2 ? y2ds讲课提纲、板书设计 作业 P190: 3（1） （3） （5） （7）§ 11? 2 对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功? 设一个质点在 xOy 面内在变力 F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j 的作用下从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B? 试求变力 F(x? y)所作的功? 用曲线 L 上的点 A?A0? A1? A2? ? ? ?? An?1? An?B 把 L 分成 n 个小弧段? 设 Ak?(xk ? yk)? 有向线段 Ak Ak ?1 的长度为?sk? 它与 x 轴的夹角为 ?k ? 则Ak Ak ?1 ?{cos? k , sin? k }?sk (k?0? 1? 2? ? ? ?? n?1)?? ?? 显然? 变力 F(x? y)沿有向小弧段 Ak Ak ?1 所作的功可以近似为F (xk , yk ) ? Ak Ak ?1 ?[P(xk , yk ) cos? k ? Q(xk , yk ) sin? k ]?sk ??高等数学教案曲线积分与曲面积分于是? 变力 F(x? y)所作的功W ? ? F (xk , yk ) ? Ak Ak ?1 ? ?[P(xk , yk ) cos? k ? Q(xk , yk ) sin? k ]?sk ?k ?1 k ?1 n ?1 ? n ?1从而W ? ?L[P(x, y) cos? ? Q(x, y) sin? ]ds ?这里 ???(x? y)? {cos?? sin?}是曲线 L 在点(x? y)处的与曲线方向一致的单位切向量? 把 L 分成 n 个小弧段? L1? L2? ? ? ?? Ln?变力在 Li 上所作的功近似为? F(?i? ?i)??si?P(?i? ?i)?xi?Q(?i? ?i)?yi ? 变力在 L 上所作的功近似为??[P(?i ,?i )?xi ? Q(?i ,?i )?yi ] ?i ?1n变力在 L 上所作的功的精确值?W ? lim ?[P(?i ,?i )?xi ? Q(?i ,?i )?yi ] ?? ?0i ?1n其中?是各小弧段长度的最大值? 提示? 用?si?{?xi??yi}表示从 Li 的起点到其终点的的向量? 用?si 表示?si 的模? 对坐标的曲线积分的定义? 定义 设函数 f(x? y)在有向光滑曲线 L 上有界? 把 L 分成 n 个有向小弧段 L1? 点? ? 为各小弧段长度的最大值? 如果极限 lim L2? ? ? ?? Ln? 小弧段 Li 的起点为(xi?1? yi?1)? 终点为(xi? yi)? ?xi?xi?xi?1? ?yi?yi?yi?1? (?i? ?)为 Li 上任意一? ?0? f (?i ,?i )?xi 总存在? 则称此极限为函数 f(x? y)在有向曲线 L 上对坐标i ?1nx 的曲线积分? 记作?Lf (x, y)dx ? 即 ? f (x, y)dx? lim ? f (?i ,?i )?xi ?Ln? ?0i ?1设 L 为 xOy 面上一条光滑有向曲线? {cos?? sin?}是与曲线方向一致的单位切向量? 函数 P(x? y)、Q(x? y)在 L 上有定义? 如果下列二式右端的积分存在? 我们就定义?L P(x, y)dx ? ?L P(x, y) cos ? ds ?高等数学教案曲线积分与曲面积分?L Q(x, y)dy ? ?L Q(x, y) sin? ds ?前者称为函数 P(x? y)在有向曲线 L 上对坐标 x 的曲线积分? 后者称为函数 Q(x? y)在有向曲 线 L 上对坐标 y 的曲线积分? 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分? 定义的推广? 设 ? 为空间内一条光滑有向曲线? {cos?? cos?? cos?}是曲线在点(x? y? z)处的与曲线方向 一致的单位切向量? 函数 P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在 ? 上有定义? 我们定义(假如各式 右端的积分存在)?? P(x, y, z)dx ? ?? P(x, y, z) cos ?ds ? ?? Q(x, y, z)dy ? ?? Q(x, y, z) cos ?ds ? ?? R(x, y, z)dz ? ?? R(x, y, z) cos ?ds ?n n?L ?Lf (x, y, z)dx? lim ? f (?i ,?i ,? i )?xi ?? ?0i ?1 n?Lf (x, y, z)dy ? lim ? f (?i ,?i ,? i )?yi ?? ?0i ?1f (x, y, z)dz ? lim ? f (?i ,?i ,? i )?zi ?? ?0i ?1对坐标的曲线积分的简写形式??L P(x, y)dx ? ?L Q(x, y)dy ? ?L P(x, y)dx ? Q(x, y)dy ? ?? P(x, y, z)dx ? ?? Q(x, y, z)dy ? ?? R(x, y, z)dz? ? P(x, y, z)dx ? Q(x, y, z)dy ? R(x, y, z)dz ??对坐标的曲线积分的性质? (1) 如果把 L 分成 L1 和 L2? 则?L Pdx? Qdy? ?L Pdx? Qdy? ?L Pdx? Qdy ?1 2(2) 设 L 是有向曲线弧? ?L 是与 L 方向相反的有向曲线弧? 则?? L P(x, y)dx ? Q(x, y)d ? ??L P(x, y)dx ? Q(x, y)dy ?两类曲线积分之间的关系?高等数学教案曲线积分与曲面积分设{cos?i? sin?i}为与?si 同向的单位向量? 我们注意到{?xi? ?yi}??si? 所以 ?xi?cos?i??si? ?yi?sin?i??si??Lf (x, y)dx? lim ? f (?i ,?i )?xi? ?0i ?1n? lim ? f (?i ,?i ) cos? i ?si ? ? f (x, y) cos? ds ?? ?0i ?1 Lnlim ? f (?i ,?i )?yi ?L f (x, y)dy? ? ?0 i ?1 ? lim ? f (?i ,?i ) sin? i ?si ? ? f (x, y) sin? ds ?? ?0i ?1 L nn即 或?L Pdx ? Qdy ? ?L[P cos ? ? Q sin? ] ds ? ?LA?dr ? ?LA?t ds ?其中 A?{P? Q}? t?{cos?? sin?}为有向曲线弧 L 上点(x? y)处单位切向量? dr?tds?{dx? dy}? 类似地有?? Pdx ? Qdy ? Rdz ? ??[P cos ? ? Q cos ? ? R cos ? ] ds ?或??A?dr ? ??A?t ds? ?? At ds ?其中 A?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}为有向曲线弧 ? 上点(x? y? z)处单们切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }? A t 为向量 A 在向量 t 上的投影? 二、对坐标的曲线积分的计算? 定理? 设 P(x? y)、 Q(x? y)是定义在光滑有向曲线 L? x??(t)? y??(t)? 上的连续函数? 当参数 t 单调地由 ? 变到 ? 时? 点 M(x? y)从 L 的起点 A 沿 L 运动到终点 B? 则??L P(x, y)dx? ?? P[?(t),? (t)]??(t)dt ? ?LQ(x, y)dy? ? Q[?(t),? (t)] ? ?(t)dt ?? ?高等数学教案曲线积分与曲面积分讨论? 提示??L P(x, y)dx ? Q(x, y)dy ?？?L P(x, y)dx? Q(x, y)dy? ?? {P[?(t),? (t)]??(t) ? Q[?(t),? (t)]? ?(t)}dt ???定理? 若 P(x? y)是定义在光滑有向曲线 L? x??(t)? y??(t)(??t??)上的连续函数? L 的 方向与 t 的增加方向一致? 则?L P(x, y)dx? ?? P[?(t),? (t)]??(t)dt ?简要证明? 不妨设 ???? 对应于 t 点与曲线 L 的方向一致的切向量为{??(t)? ??(t)}? 所以cos? ???(t) ? ??2(t) ?? ?2(t)从而?L P(x, y)dx ? ?L P(x, y) cos ?ds? ? P[? (t),? (t)]???? ?(t) ? ?2(t) ?? ?2(t)dt 2 2 ? ? (t) ?? ? (t)? ? P[? (t),? (t)] ??(t)dt ??应注意的问题? 下限 a 对应于 L 的起点? 上限 ? 对应于 L 的终点? ? 不一定小于 ? ? 讨论? 若空间曲线 ? 由参数方程 x??t)? y =? (t)? z??(t)给出? 那么曲线积分?? P(x, y, z)dx ? Q(x, y, z)dy ? R(x, y, z)dz ?？如何计算？ 提示??? P(x, y, z)dx ? Q(x, y, z)dy ? R(x, y, z)dz? ?(t) ? R[?(t),? (t),?(t)]??(t)}dt ? ? ? {P[?(t),? (t),?(t)] ??(t) ? Q[?(t),? (t),?(t)]? ?其中 ? 对应于 ? 的起点? ? 对应于 ? 的终点? 例题? 例 1?计算?L xydx ? 其中 L 为抛物线 y ?x 上从点 A(1? ?1)到点 B(1? 1)的一段弧?2例 2? 计算?L y 2dx ?高等数学教案曲线积分与曲面积分(1)L 为按逆时针方向绕行的上半圆周 x2+y2=a2 ? (2)从点 A(a? 0)沿 x 轴到点 B(?a? 例 3 计算 0)的直线段?2?L 2xydx ? x2dy ? (1)抛物线 y?x 上从 O(0? 0)到 B(1? 1)的一段弧? (2)抛物线2? 1)到点 B(0? 0? 0)的直线段x?y2 上从 O(0? 0)到 B(1? 1)的一段弧? (3)从 O(0? 0)到 A(1? 0)? 再到 R (1? 1)的有向折线 OAB ? 例 4? 计算?? x3dx ? 3zy 2dy ? x2 ydz ? 其中 ? 是从点 A(3?AB ?例 5? 设一个质点在 M(x? y)处受到力 F 的作用? F 的大小与 M 到原点 O 的距离成正比? F 的方向恒指向原点? 此质点由点 A(a? 0)沿椭圆 求力 F 所作的功 W? 三、两类曲线积分之间的联系 由定义? 得x 2 ? y 2 ?1 按逆时针方向移动到点 B(0? b)? a 2 b2?L Pdx ? Qdy ? ?L (P cos ? ? Q sin? )ds? ? {P, Q}?{cos ? , sin ?}ds ? ? F ? dr ?L L其中 F?{P? Q}? T?{cos?? sin?}为有向曲线弧 L 上点(x? y)处单位切向量? dr?Tds?{dx? dy}? 类似地有?? Pdx ? Qdy ? Rdz ? ?? (P cos ? ? Q cos ? ? R cos ? )ds? ? {P, Q, R}?{cos ? , cos ? , cos ? }ds ? ? F ? dr ?? ?其中 F?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}为有向曲线弧 ? 上点(x? y? z)处单们切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }?小结1.第二类曲线积分的定义； 2. 第二类曲线积分的计算方法。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意第二类曲线积分的定义和计算方法，要结合实例，反复讲解。师生活动设计高等数学教案曲线积分与曲面积分1. 已知 ? 为折线 ABCOA，计算 I ? dx ? dy ? ydz??讲课提纲、板书设计 作业 P200: 3（1） （3） （5） （7） ，4§ 11?3 格林公式及其应用一、格林公式 单连通与复连通区域? 设 D 为平面区域? 如果 D 内任一闭曲线所围的部分都属于 D? 区域? 否则称为复连通区域? 对平面区域 D 的边界曲线 L? 我们规定 L 的正向如下? 当观察者沿 L 的这个方向行走 时? D 内在他近处的那一部分总在他的左边? 区域 D 的边界曲线 L 的方向? 定理 1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成? 函数 P(x? y)及 Q(x? y)在 D 上具有一阶连 续偏导数? 则有 则称 D 为平面单连通?? ( ?x ? ?y )dxdy? ?L Pdx?Qdy ?D?Q ?P其中 L 是 D 的取正向的边界曲线? 简要证明? 仅就 D 即是 X－型的又是 Y－型的区域情形进行证明? 设 D?{(x? y)|?1(x)?y??2(x)? a?x?b}? 因为?P 连续? 所以由二重积分的计算法有 ?yb a?? ?y dxdy? ?a{?? (x)D1?Pb? 2 ( x) ?P(x, y)?ydy}dx? ? {P[x,?2 (x)]? P[x,?1(x)]} dx ?另一方面? 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有?LPdx? ?L Pdx? ?LPdx? ?a P[x,?1(x)]dx? ?b P[x,?2(x)]dx1 2ba? ? {P[x,?1(x)]? P[x,?2(x)]} dx ?ab因此? ?? ?P dxdy? ? Pdx? L ?yD高等数学教案曲线积分与曲面积分设 D?{(x? y)|?1(y)?x??2(y)? c?y?d}? 类似地可证?? ?x dxdy? ?L Qdx ?D?Q由于 D 即是 X－型的又是 Y－型的? 所以以上两式同时成立? 两式合并即得? ?dxdy? ? Pdx? Qdy ? ?? ? L ? ?x ?y ?D? ?Q ?P ?应注意的问题? 对复连通区域 D? 格林公式右端应包括沿区域 D 的全部边界的曲线积分? 且边界的方向对 区域 D 来说都是正向? 设区域 D 的边界曲线为 L? 取 P??y? Q?x? 则由格林公式得2?? dxdy ?? xdy ? ydx ? 或 A ? ?? dxdy? 1 ? xdy? ydx ? L 2 L DD例 1? 椭圆 x?a cos? ? y?b sin? 所围成图形的面积 A? 分析? 只要?Q ?P ?Q ? ?1 ? 就有 ?? ( ? ?P )dxdy? ?? dxdy? A ? ?x ?y ?x ?yD D例 2 设 L 是任意一条分段光滑的闭曲线? 证明?L 2xydx ? x2dy ? 0 ?例 3? 计算?? e? y dxdy ? 其中 D 是以 O(0? 0)? A(1? 1)? B(0? 1)为顶点的三角形闭区域?2D分析? 要使?Q ?P ? y 2 2 ? ? e ? 只需 P?0? Q ? xe? y ? ?x ?yxdy ? ydx ? 其中 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线? x2 ? y 2例 4 计算?LL 的方向为逆时针方向? 解? 令 P ??y ?Q y 2 ? x2 ?P x 2 2 Q ? ? ? 则当 x ? y ? 0 时 ? 有 ? ? ? ?x (x2 ? y 2 )2 ?y x2 ? y 2 x2 ? y 2高等数学教案曲线积分与曲面积分记 L 所围成的闭区域为 D? 当(0? 0)?D 时? 由格林公式得?Lxdy? ydx ?0 ? x2 ? y 2当(0? 0)?D 时? 在 D 内取一圆周 l? x2?y2?r 2(r&0)? 由 L 及 l 围成了一个复连通区域 D 1? 应用格林公式得?L其中 l 的方向取逆时针方向? 于是xdy? ydx xdy? ydx ? ?0 ? x2 ? y 2 ?l x2 ? y 2?L2 2? 2 xdy? ydx xdy? ydx r 2 sin 2 ? d? ? ? 2 2 ? ? r cos ? ? ?2?? 2 2 2 0 l x ?y r x ?y记 L 所围成的闭区域为 D? 当(0? 0)?D 时? 由格林公式得?L分析? 这里 P ?xdy? ydx ?Q ? ??( ? ?P )dxdy? 0 ? 2 2 ?x ?y x ?y D?y y 2 ? x2 ?P x ? 当 x2?y2?0 时? 有 ?Q Q ? ? ? ? ? ?x (x2 ? y 2 )2 ?y x2 ? y 2 x2 ? y 2二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关? 设 G 是一个开区域? P(x? y)、 Q(x? y)在区域 G 内具有一阶连续偏导数? 如果对于 G 内任 意指定的两个点 A、B 以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L 1、L 2? 等式?L Pdx? Qdy? ?L Pdx? Qdy1 2恒成立? 就说曲线积分 设曲线积分 的曲线? 则有?L Pdx ? Qdy 在 G 内与路径无关? 否则说与路径有关?1和?L Pdx ? Qdy 在 G 内与路径无关? LL 2 是 G 内任意两条从点 A 到点 B?L Pdx?Qdy? ?L Pdx?Qdy ?1 2因为?L Pdx? Qdy? ?L Pdx? Qdy ? ?L Pdx? Qdy? ?L Pdx? Qdy? 01 2 1 2高等数学教案曲线积分与曲面积分??L Pdx?Qdy? ?L1?2Pdx? Qdy ? 0 ? ?L1 ?(L2 ? )Pdx? Qdy ? 0 ?所以有以下结论? 曲线积分?L Pdx ? Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任意 ?L Pdx ? Qdy 等于零?闭曲线 C 的曲线积分定理 2 设开区域 G 是一个单连通域? 函数 P(x? y)及 Q(x? y)在 G 内具有一阶连续偏导 数? 则曲线积分?L Pdx ? Qdy 在 G 内与路径无关（或沿 G 内任意闭曲线的曲线积分为零）?P ? ?Q ?y ?x的充分必要条件是等式在 G 内恒成立? 充分性易证? 若?P ? ?Q ? 则 ?Q ? ?P ? 0 ? 由 格 林 公 式 ? 对 任 意 闭 曲 线 L? 有 ?y ?x ?x ?y? ?dxdy? 0 ? ?L Pdx? Qdy? ?? ? ? ?x ?y ?D? ?Q ?P ?必要性? 假设存在一点 M0?G? 使?Q ?P ?Q ?P ? ?? ? 0 ? 不妨设 ?&0? 则由 ? 的连续性? 存在 ?x ?y ?x ?y ?Q ?P ? ? ? ? 于是沿邻域 U(M0, ?)边界 l 的 ?x ?y 2M0 的一个 ? 邻域 U(M0, ?)? 使在此邻域内有 闭曲线积分?l Pdx?Qdy? ??(U (M 0 ,? )?Q ?P ? ? )dxdy? ??? 2 ? 0 ? ?x ?y 2?Q ?P ? ?0 ? ?x ?y这与闭曲线积分为零相矛盾? 因此在 G 内高等数学教案曲线积分与曲面积分应注意的问题? 定理要求? 区域 G 是单连通区域? 且函数 P(x? y)及 Q(x? y)在 G 内具有一阶连续偏导数? 如果这两个条件之一不能满足? 那么定理的结论不能保证成立? 破坏函数 P、Q 及?P ?Q 、 连续性的点称为奇点? ?y ?x2例 5 计算?L 2xydx ? x2dy ? 其中 L 为抛物线 y?x 上从 O(0? 0)到 B(1? 1)的一段弧?解? 因为?P ? ?Q ? 2x 在整个 xOy 面内都成立? ?y ?x所以在整个 xOy 面内? 积分?L 2xydx ? x2dy 与路径无关??L 2xydx? x2dy ? ?OA 2xydx? x2dy? ?AB 2xydx? x2dy? ? 12 dy ?1?0 1讨论? 设 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线? L 的方向为逆时针方 向? 问?Lxdy? ydx ? 0 是否一定成立？ x2 ? y 2 ?y x 在点(0? 0)不连续? 和Q? 2 2 x ? y2 x ?y2提示? 这里 P ?因为当 x2?y2?0 时??Q y 2 ? x2 ? 2 2 2 ? ?P ? 所以如果(0? 0)不在 L 所围成的区域内? 则结论 ?x (x ? y ) ?y成立? 而当(0? 0)在 L 所围成的区域内时? 结论未必成立? 三、二元函数的全微分求积 曲线积分在 G 内与路径无关? 表明曲线积分的值只与起点从点(x0? y0)与终点(x? y)有关? 如果( x, y)0?L Pdx ? Qdy 与路径无关? 则把它记为 ?(x , y ) Pdx? Qdy0即?L Pdx?Qdy? ?(x , y ) Pdx? Qdy?0 0(x, y)若起点(x0? y0)为 G 内的一定点? 终点(x? y)为 G 内的动点? 则高等数学教案( x, y)0曲线积分与曲面积分u(x? y) ? 为 G 内的的函数??(x , y ) Pdx? Qdy0二元函数 u(x? y)的全微分为 du(x? y)?ux(x? y)dx?uy(x? y)dy? 表达式 P(x? y)dx+Q(x? y)dy 与函数的全微分有相同的结构? 但它未必就是某个函数的 全微分? 那么在什么条件下表达式 P(x? y)dx+Q(x? y)dy 是某个二元函数 u(x? y)的全微分呢？ 当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？ 定理 3 设开区域 G 是一个单连通域? 函数 P(x? y)及 Q(x? y)在 G 内具有一阶连续偏导 数? 则 P(x? y)dx?Q(x? y)dy 在 G 内为某一函数 u(x? y)的全微分的充分必要条件是等式? P ? ?Q ?y ? x在 G 内恒成立? 简要证明? 必要性? 假设存在某一函数 u(x? y)? 使得 du?P(x? y)dx?Q(x? y)dy? 则有?P ? ? ( ?u ) ? ? 2u ? ?Q ? ? ( ?u ) ? ? 2u ? 因为 ? 2u ? ?P 、 ? 2u ? ?Q 连续? ?y ?y ?x ?x?y ?x ?x ?y ?y?x ?x?y ?y ?y?x ?x ? 2u ? ? 2u ? 即 ?P ? ?Q ? ?y ?x ?x?y ?y?x所以充分性? 因为在 G 内?P ? ?Q ? 所以积分 P(x, y)dx ? Q(x, y)dy 在 G 内与路径无关? ?L ?y ?x在 G 内从点(x0? y0)到点(x? y)的曲线积分可表示为 u(x? y) ? 因为 u(x? y) ?y?(x , y ) P(x, y)dx?Q(x, y)dy ?0 0(x, y)?(x , y ) P(x, y)dx?Q(x, y)dy0 0(x, y)? ? Q(x0, y)dy? ? P(x, y)dx ?y0 x0x所以?u ? ? y Q(x , y)dy? ? x P(x, y)dx? P(x, y) ? 0 ?x ?x ?y0 ?x ?x0 ?u ? Q( x, y) 类似地有 ? 从而 du ?P(x? y)dx?Q(x? y)dy? 即 P(x? y)dx?Q(x? y)dy 是某一函 ?y求原函数的公式?数的全微分?高等数学教案(x, y)曲线积分与曲面积分u(x, y) ? ?(x0 , y0 ) x x0 yP(x, y)dx? Q(x, y)dy ?y y0 xu(x, y) ? ? P(x, y0)dx? ? Q(x, y)dy ? u(x, y) ? ? Q(x0, y)dy? ? P(x, y)dx ?y0 x0例 6 验证? 数?xdy? ydx 在右半平面(x&0)内是某个函数的全微分? 并求出一个这样的函 x2 ? y 2解? 这里 P ??y x ? ? Q? 2 2 x ? y2 x ?y2因为 P、Q 在右半平面内具有一阶连续偏导数? 且有?Q y 2 ? x2 ? 2 2 2 ? ?P ? ?x (x ? y ) ?y所以在右半平面内?xdy? ydx 是某个函数的全微分? x2 ? y 2取积分路线为从 A(1? 0)到 B(x? 0)再到 C(x? y)的折线? 则所求函数为u( x, y) ? ?( x, y)(1, 0)y xdy xdy? ydx y ? 0 ? ? 2 2 ? arctan ? 2 2 0 x ?y x ?y x问? 为什么(x0? y0)不取(0? 0)? 例 7 验证? 在整个 xOy 面内? xy2dx?x2ydy 是某个函数的全微分? 并求出一个这样的函 数? 解 这里 P?xy2? Q?x2y? 因为 P、Q 在整个 xOy 面内具有一阶连续偏导数? 且有?Q ? 2xy ? ?P ? ?x ?y所以在整个 xOy 面内? xy2dx?x2ydy 是某个函数的全微分? 取积分路线为从 O(0? 0)到 A(x? 0)再到 B(x? y)的折线? 则所求函数为(x, y)y yu(x, y) ? ?(0, 0)xy2dx? x2 ydy ? 0 ? ? x2 ydy ? x2 ? ydy ?0 0x2 y 2 ? 2高等数学教案曲线积分与曲面积分思考与练习?1?在单连通区域 G 内? 如果 P(x? y)和 Q(x? y)具有一阶连续偏导数? 且恒有?Q ?P ? ? 那么 ?x ?y(1)在 G 内的曲线积分?L P(x, y)dx ? Q(x, y)dy 是否与路径无关? ?L P(x, y)dx ? Q(x, y)dy 是否为零??Q ?P ? ? ?x ?y(2)在 G 内的闭曲线积分(3) 在 G 内 P(x? y)dx?Q(x? y)dy 是否是某一函数 u(x? y)的全微分? 2?在区域 G 内除 M0 点外? 如果 P(x? y)和 Q(x? y)具有一阶连续偏导数? 且恒有 G1 是 G 内不含 M0 的单连通区域? 那么 (1)在 G 1 内的曲线积分?L P(x, y)dx ? Q(x, y)dy 是否与路径无关? ?L P(x, y)dx ? Q(x, y)dy 是否为零?(2)在 G 1 内的闭曲线积分(3) 在 G 1 内 P(x? y)dx?Q(x? y)dy 是否是某一函数 u(x? y)的全微分? 3? 在单连通区域 G 内? 如果 P(x? y)和 Q(x? y)具有一阶连续偏 导数??P ? ?Q ? 但 ?Q ? ?P 非常简单? 那么 ?y ?x ?x ?y(1)如何计算 G 内的闭曲线积分? (2)如何计算 G 内的非闭曲线积分? (3)计算?L (e x sin y ? 2 y)dx ? (e x cos y ? 2)dy ? 其中 L 为逆时针方向的上半圆周(x?a)2?y2?a 2? y?0?小结1.格林公式?? ?Q ? P ? P d x ? Q d y ? ?? ? ?d xd y ? L D? ?x ?y ? ? ?2. 格林公式中的等价条件。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意格林公式和其中的等价条件，要结合实例，反复讲解。师生活动设计 讲课提纲、板书设计 作业 P214: 2 (1); 3 ; 4 (3) ;高等数学教案曲线积分与曲面积分5 (1) , (4) ; 6 (2) , (5)§ 11? 4 对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质 物质曲面的质量问题? 设 ? 为面密度非均匀的物质曲面? 其面密度为 ?(x? y? z)? 求其质 量? 把曲面分成 n 个小块? ?S1? ?S2 ? ? ? ?? ?Sn (?Si 也代表曲面的面积)?求质量的近似值?? ? (?i ,?i ,? i )?Sii ?1 nn((?i??i? ?i ) 是 ?Si 上 任 意 一 点 )? 取 极 限 求 精 确 值 ?M ? lim ? ? (?i ,?i ,? i )?Si (? 为各小块曲面直径的最大值)?? ?0 i ?1定义 设曲面 ? 是光滑的? 函数 f(x? y? z)在 ? 上有界? 把 ? 任意分成 n 小块? ?S1? ?S2 ? ? ? ?? ?Sn (?Si 也代表曲面的面积)? 在?Si 上任取一点(?i? ?i? ?i )? 如果当各小块曲面的直径的最 大值??0 时? 极限 lim ? f (?i ,?i ,? i )?Si 总存在? 则称此极限为函数 f(x? y? z)在曲面?上对? ?0 i ?1n面积的曲面积分或第一类曲面积分? 记作n?? f (x, y, z)dS ? 即??? f (x, y, z)dS ? lim ? f (?i,?i,? i )?Si ??? ?0 i ?1其中 f(x? y? z)叫做被积函数? ? 叫做积分曲面? 对面积的曲面积分的存在性? 我们指出当f(x? y? z)在光滑曲面?上连续时对面积的曲面积分是存在的? 今后总假定f(x? y? z)在?上连续?高等数学教案曲线积分与曲面积分根据上述定义面密度为连续函数?(x? y? z)的光滑曲面?的质量M可表示为?(x? y? z)在?上 对面积的曲面积分?M ? ?? f ( x, y, z)dS?如果 ? 是分片光滑的我们规定函数在 ? 上对面积的曲面积分等于函数在光滑的 各片曲面上对面积的曲面积分之和? 例如设 ? 可分成两片光滑曲面 ?1 及 ?2(记作 ???1??2) 就规定?1 ? ? 2?? f (x, y, z)dS ? ?? f (x, y, z)dS ? ?? f (x, y, z)dS ??1 ?2对面积的曲面积分的性质? (1)设 c 1、c 2 为常数? 则??[c1 f (x, y, z) ? c2 g(x, y, z)]dS ? c1 ?? f (x, y, z)dS ? c2 ?? g(x, y, z)dS ?? ? ?(2)若曲面?可分成两片光滑曲面 ?1 及 ?2? 则?? f (x, y, z)dS ? ?? f (x, y, z)dS ? ?? f (x, y, z)dS ?? ?1 ?2(3)设在曲面?上 f(x? y? z)?g(x? y? z)? 则?? f (x, y, z)dS ? ?? g(x, y, z)dS ?? ?(4)?? dS ? A ? 其中 A 为曲面?的面积??二、对面积的曲面积分的计算 面密度为 f(x? y? z)的物质曲面的质量为 M ? lim ? f (?i ,?i ,? i )?Si ?? ?0 i ?1n?? f (x, y, z)dS ??另一方面? 如果 ? 由方程 z?z(x? y)给出? ? 在 xOy 面上的投影区域为 D ? 那么 曲面的 面积元素为2 dA ? 1? z x ( x, y) ? z 2 y ( x, y) dxdy ?质量元素为2 f [x, y, z(x, y)]dA ? f [x, y, z( x, y)] 1? z x ( x, y) ? z 2 y ( x, y) dxdy ?根据元素法? 曲面的质量为高等数学教案曲线积分与曲面积分2 M ? ?? f [x, y, z(x, y)] 1? z x (x, y) ? z 2 y ( x, y) dxdy ? D因此y ( x, y) dxdy ? ?? f (x, y, z)dS ? ?? f [x, y, z(x, y)] 1? zx2(x, y) ? z 2 ? D化曲面积分为二重积分? 设曲面 ? 由方程 z?z(x? y)给出? ? 在 xOy 面上的投影区域为 Dxy? 函数 z?z(x? y)在 Dxy 上具有连续偏导数? 被积函数 f(x? y? z)在 ? 上连续? 则y ( x, y)dxdy? ?? f (x, y, z)dS ? ?? f [x, y, z(x, y)] 1? zx2(x, y) ? z 2 ? Dxy如果积分曲面 ? 的方程为 y?y(z? x)? Dzx 为?在 zOx 面上的投影区域? 则函数 f(x? y? z)在 ? 上对面积的曲面积分为?? f (x, y, z)dS ? ?? f [x, y(z, x), z]? Dzx2 2 1? yz (z, x) ? yx (z, x)dzdx ?如果积分曲面 ? 的方程为 x?x(y? z)? Dyz 为?在 yOz 面上的投影区域? 则函数 f(x? y? z)在 ? 上对面积的曲面积分为?? f (x, y, z)dS ? ?? f [x( y, z), y, z]? Dyz2 1? x2 y ( y, z) ? xz ( y, z)dydz?例 1 计算曲面积分 z?h(0?h?a)截出的顶部??? z dS ? 其中 ? 是球面 x ?y ?z ?a 被平面2 2 2 21?解 ? 的方程为 z ? a2 ? x2 ? y 2 ? Dxy ? x2?y2?a2?h2? 因为zx ??y ?x ? zy ? ? a2 ? x2 ? y 2 a 2 ? x2 ? y 2a dxdy? a ? x2 ? y 222 dS ? 1? zx ? z2 y dxdy?所以?? z dS ? ?? a2 ? x2 ? y2 dxdy? Dxy1a高等数学教案2? a 2 ?h2曲线积分与曲面积分2 2 rdr ? 2?a[? 1 ln(a2 ? r 2)]0 a ?h ? 2?a ln a ? a2 ? r 2 h 2? a? d? ?00提示?2 1? zx ? z2 y ? 1?y2 x2 a ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 a ?x ? y a ?x ? y a ? x2 ? y 2例 2 计算 边界曲面??? xyzdS ? 其中 ? 是由平面 x?0? y?0? z?0 及 x?y?z?1 所围成的四面体的整个?解 整个边界曲面 ? 在平面 x?0、y?0、z?0 及 x?y?z?1 上的部分依次记为 ?1、?2、?3 及 ?4? 于是?? xyzdS ? ?? xyzdS ? ?? xyzdS ? ?? xyzdS ? ?? xyzdS? ?1 ?2 ?3 ?4? 0 ? 0 ? 0 ? ?? xyzdS ? ?? 3xy(1? x ? y)dxdy?4Dxy? 3? xdx?011? x0y(1? x ? y)dy ? 3 ? x ?01(1? x)3 dx ? 3 ? 6 120提示? ?4? z?1?x?y?2 2 dS ? 1? z? y 3d x d ?y x ? z? y d x d?小结1. 对面积的曲面积分的定义和计算 2. 格林公式中的等价条件。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意利用球面坐标、 柱面坐标、 对称性、 重心公式， 简化计算的技巧. ， 要结合实例，反复讲解。师生活动设计课后习题：1，3，7讲课提纲、板书设计 作业 P218: 4(3); 5(2);6(1), (3), (4);8高等数学教案曲线积分与曲面积分§ 11? 5 对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念与性质 有向曲面? 通常我们遇到的曲面都是双侧的? 例如由方程 z?z(x? y) 表示的曲面分为上 侧与下侧? 设 n?(cos?? cos?? cos?)为曲面上的法向量? 在曲面的上侧 cos??0? 在曲面的下侧 cos??0? 闭曲面有内侧与外侧之分? 类似地? 如果曲面的方程为 y?y(z? x)?则曲面分为左侧与右侧? 在曲面的右侧 cos??0? 在曲面的左侧 cos??0? 如果曲面的方程为 x?x(y? z)? 则曲面分为前侧与后侧? 在曲面的前侧 cos ??0? 在曲面的后侧 cos??0? 设 ? 是有向曲面? 在 ? 上取一小块曲面?S? 把?S 投影到 xOy 面上得一投影区域? 这投 影区域的面积记为(??)xy?假定?S 上各点处的法向量与 z 轴的夹角 ? 的余弦 cos? 有相同的符 号(即 cos? 都是正的或都是负的)? 我们规定?S 在 xOy 面上的投影(?S)xy 为? (?? ) xy ? (?S ) xy ? ?? (?? ) xy ? 0 ?及(?S)zx?cos? ? 0 cos? ? 0 ? cos? ? 0其中 cos??0 也就是(??)xy?0 的情形? 类似地可以定义?S 在 yOz 面及在 zOx 面上的投影(?S)yz 流向曲面一侧的流量? 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 v(x? y? z)?(P(x? y? z) ? Q(x? y? z) ? R(x? y? z))高等数学教案曲线积分与曲面积分给出? ? 是速度场中的一片有向曲面? 函数 P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)都在 ? 上连续? 求 在单位时间内流向 ? 指定侧的流体的质量? 即流量?? 如果流体流过平面上面积为 A 的一个闭区域? 且流体在这闭区域上各点处的流速为 (常向量)v? 又设 n 为该平面的单位法向量? 那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一 个底面积为 A、斜高为|v|的斜柱体? 当(v?^n) ?? ?? 时? 这斜柱体的体积为2A|v|cos??A v?n? 当(v?^n) ? 故??Av?n? 当(v?^n) ?? 时? 显然流体通过闭区域 A 的流向 n 所指一侧的流量?为零? 而 Av?n?0,2? 时? Av?n?0? 这时我们仍把 Av?n 称为流体通过闭区域 A 流向 n 所指一侧的2流量? 它表示流体通过闭区域 A 实际上流向?n 所指一侧? 且流向?n 所指一侧的流量为 ?Av?n? 因此? 不论(v?^n)为何值? 流体通过闭区域 A 流向 n 所指一侧的流量均为 Av?n ? 把曲面 ? 分成 n 小块? ?S1? ?S2? ? ? ?? ?Sn(?Si 同时也代表第 i 小块曲面的面积)? 在 ? 是 光滑的和 v 是连续的前提下? 只要?Si 的直径很小? 我们就可以用?Si 上任一点(?i, ?i, ?i )处 的流速 vi?v(?i, ?i, ?i )?P(?i, ?i, ?i )i?Q(?i, ?i, ?i )j?R(?i, ?i, ?i )k 代替?Si 上其它各点处的流速? 以该点(?i, ?i, ?i )处曲面 ? 的单位法向量 ni?cos?i i?cos?i j? cos?i k 代替?Si 上其它各点处的单位法向量? 从而得到通过?Si 流向指定侧的流量的近似值为 vi?ni?S i (i?1, 2, ? ? ? ,n) 于是? 通过 ? 流向指定侧的流量? ? ? vi ?ni ?Sii ?1n? ?[P(?i ,?i ,? i ) cos?i ? Q(?i ,?i ,? i ) cos?i ? R(?i ,?i ,? i ) cos? i ]?Si ?i ?1n但cos?i??Si?(?Si)yz ? cos?i??Si?(?Si)zx ? cos?i??Si?(?Si)xy ?因此上式可以写成高等数学教案曲线积分与曲面积分? ? ?[P(?i ,?i ,? i )(?Si ) yz ? Q(?i ,?i ,? i )(?Si ) zx ? R(?i ,?i ,? i )(?Si ) xy ] ?i ?1n令 ??0 取上述和的极限? 就得到流量?的精确值? 这样的极限还会在其它问题中遇到? 抽去它们的具体意义? 就得出下列对坐标的曲面积分的概念? 提示? 把?Si 看成是一小块平面? 其法线向量为 ni? 则通过?Si 流向指定侧的流量近似 地等于一个斜柱体的体积? 此斜柱体的斜高为|vi|? 高为|vi|cos(vi?^ni)?vi?ni? 体积为 vi?ni?Si ? 因为 ni?cos?i i?cos?i j? cos?i k? vi?v(?i, ?i, ?i )?P(?i, ?i, ?i )i?Q(?i, ?i, ?i )j?R(?i, ?i, ?i )k? vi?ni?Si?[P(?i, ?i, ?i)cos?i?Q(?i, ?i, ?i)cos?i?R(?i, ?i, ?i)cos?i]?Si ? 而 cos?i??Si?(?Si)yz ? cos?i??Si?(?Si)zx ? cos?i??Si?(?Si)xy ? 所以 vi?ni?Si?P(?i, ?i, ?i)(?Si)yz?Q(?i, ?i, ?i)(?Si)zx?R(?i, ?i, ?i)(?Si)xy ? 对于 ? 上的一个小块 ?? 显然在?t 时间内流过 ? 的是一个弯曲的柱体? 它的体积近似 于以 ? 为底? 而高为 (|V|?t)cos(V?^n)?V?n ?t 的柱体的体积? V?n?t?S? 这里 n?(cos?? cos?? cos?)是 ? 上的单位法向量? ?S 表示 ? 的面积? 所以单位时间内流向 ? 指定侧的流体的质量近似于 V?n?S?(P(x? y? z)cos??Q(x? y? z)cos? ?R(x? y? z)cos? )?S ? 如果把曲面 ? 分成 n 小块 ?i(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 单位时间内流向 ? 指定侧的流体的质量近似于? ? ?{P(xi , yi , zi ) cos?i ? Q(xi , yi , zi ) cos?i ? R(xi , yi , zi ) cos? i}?S ?i ?1n按对面积的曲面积分的定义?? ? ??{P( x, y, z) cos ? ? Q(x, y, z) cos ? ? R(x, y, z) cos ? }dS ? ??V ? ndS ?? ?舍去流体这个具体的物理内容? 我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念? 定义 设 ? 为光滑的有向曲面? 函数 R(x? y? z)在 ? 上有界? 把 ? 任意分成 n 块小曲面 ?Si(?Si 同时也代表第 i 小块曲面的面积)? 在 xOy 面上的投影为(?Si)xy? (?i, ?i, ?i )是?Si 上任 意取定的一点? 如果当各小块曲面的直径的最大值 ??0 时?高等数学教案曲线积分与曲面积分? ?0 i ?1lim ? R(?i ,?i ,? i )(?Si ) xyn总存在? 则称此极限为函数 R(x? y? z)在有向曲面 ? 上对坐标 x、y 的曲面积分:? 记作?? R(x, y, z)dxdy ??即 类似地有?? R(x, y, z)dxdy? lim ? R(?i,?i,? i )(?Si )xy ??n? ?0 i ?1?? P(x, y, z)dydz? lim ? P(?i,?i,? i )(?Si ) yz ??n? ?0 i ?1n??Q(x, y, z)dzdx? lim ?Q(?i,?i,? i )(?Si )zx ??? ?0 i ?1其中 R(x? y? z)叫做被积函数? ? 叫做积分曲面? 定义 设 ? 是空间内一个光滑的曲面? n?(cos? ? cos? ? cos?)是其上的单位法向量? V(x? y? z)?(P(x? y? z)? Q(x? y? z)? R(x? y? z))是确在 ? 上的向量场? 如果下列各式右端的积分存在? 我 们定义?? P(x, y, z)dydz ? ?? P(x, y, z) cos ? dS ?? ??? Q(x, y, z)dzdx ? ?? Q(x, y, z) cos ? dS ?? ??? R(x, y, z)dxdy ? ?? R(x, y, z) cos ? dS ?? ?并称?? P(x, y, z)dydz 为 P 在曲面 ? 上对坐标 y、z 的曲面积分? ?? Q(x, y, z)dzdx 为 Q 在? ?曲面 ? 上对坐标 z、x 的曲面积分??? R(x, y, z)dxdy 为 R 在曲面 ? 上对坐标 y、z 的曲面积?分? 其中 P、Q、R 叫做被积函数? ? 叫做积分曲面? 以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分? 对坐标的曲面积分的存在性? 对坐标的曲面积分的简记形式? 在应用上出现较多的是高等数学教案曲线积分与曲面积分?? P(x, y, z)dydz ? ?? Q(x, y, z)dzdx ? ?? R(x, y, z)dxdy? ? ?? ?? P( x, y, z)dydz ? Q( x, y, z)dzdx ? R( x, y, z)dxdy ??流向 ? 指定侧的流量?可表示为 ?? 一个规定??? P(x, y, z)dydz ? Q(x, y, z)dzdx ? R(x, y, z)dxdy ??如果 ? 是分片光滑的有向曲面? 我们规定函数在 ? 上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和? 对坐标的曲面积分的性质? 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质? 例如 (1)如果把 ? 分成 ? 1 和 ?2? 则?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy?? ?? Pdydz? Qdzdx? Rdxdy? ?? Pdydz? Qdzdx? Rdxdy??1 ?2(2)设 ? 是有向曲面? ?? 表示与 ? 取相反侧的有向曲面? 则???? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy ? ??? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy ??这是因为如果n?(cos? ? cos? ? cos?)是?的单位法向量? 则??上的单位法向量是 ?n ?(? cos? ? ?cos? ? ?cos?)????? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy?? ???{P( x, y, z) cos ? ? Q( x, y, z) cos ? ? R( x, y, z) cos ? }dS ? ??? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy?二、对坐标的曲面积分的计算法 将曲面积分化为二重积分? 设积分曲面 ? 由方程 z?z(x? y)给出的? ? 在 xOy 面上的投影 区域为 Dxy ? 函数 z?z(x? y)在 Dxy 上具有一阶连续偏导数? 被积函数 R(x? y? z)在 ? 上连续? 则 有?? R(x, y, z)dxdy? ? ?? R[x, y, z(x, y)]dxdy ?? Dxy高等数学教案曲线积分与曲面积分其中当 ? 取上侧时? 积分前取“?”? 当 ? 取下侧时? 积分前取“?”? 这是因为? 按对坐标的曲面积分的定义? 有?? R(x, y, z)dxdy ? lim ? R(?i ,?i ,? i )(?Si )xy ??n? ?0i ?1当 ? 取上侧时? cos ??0? 所以(?Si)xy ?(??i)xy?又因(?i, ?i, ?i)是 ? 上的一点? 故 ?i?z(?i, ?i)? 从而有? R(?i ,?i ,? i )(?Si )xy ? ? R[?i ,?i , z(?i ,?i )](?? i )xy ?i ?1 i ?1nn令 ??0 取上式两端的极限? 就得到?? R(x, y, z)dxdy? ?? R[x, y, z(x, y)]dxdy?? Dxy同理当 ? 取下侧时? 有?? R(x, y, z)dxdy? ? ?? R[x, y, z(x, y)]dxdy ?? Dxy因为当 ? 取上侧时? cos??0? (?Si)xy?(??i)xy? 当(?i, ?i, ?i)?? 时? ?i?z(?i, ?i)? 从而有lim ? R(?i ,?i ,? i )(?Si ) xy ?? R(x, y, z)dxdy? ? ?0 i ?1?n? lim ? R[?i ,?i , z(?i ,?i )](?? i ) xy ? ?? R[x, y, z(x, y)]dxdy ?? ?0i ?1 Dxyn同理当 ? 取下侧时? 有?? R(x, y, z)dxdy? ? ?? R[x, y, z(x, y)]dxdy ?? Dxy这是因为 n?(cos?? cos? ? cos?) ? ?1 1 ? {?zx , ? z y , 1} ? cos? ? ? 2 2 2 1? zx ? z y 1? zx ? z2 y2 dS ? 1? z x ? z2 y dxdy ?高等数学教案曲线积分与曲面积分?? R(x, y, z)dxdy? ?? R(x, y, z) cos?dS ? ? ?? R[x, y, z(x, y)]dxdy?? ? Dxy类似地? 如果 ? 由 x?x(y? z)给出? 则有?? P(x, y, z)dydz? ? ?? P[x( y, z), y, z]dydz ?? D yz如果 ? 由 y?y(z? x)给出? 则有?? Q(x, y, z)dzdx? ? ?? Q[x, y(z, x), z]dzdx ?? Dzx应注意的问题? 应注意符号的确定? 例 1? 计算曲面积分?? x2dydz ? y 2dzdx ? z 2dxdy?? 其中 ? 是长方体?的整个表面的外侧? ??((x? y? z) |0?x?a? 0?y?b? 0?z?c )? 解? 把?的上下面分别记为 ?1 和 ?2? 前后面分别记为 ?3 和 ?4? 左右面分别记为 ?5 和 ?6? ?1? z?c (0?x?a? 0?y?b)的上侧? ?2? z?0 (0?x?a? 0?y?b)的下侧? ?3? x?a (0?y?b? 0?z?c)的前侧? ?4? x?0 (0?y?b? 0?z?c)的后侧? ?5? y?0 (0?x?a? 0?z?c)的左侧? ?6? y?b (0?x?a? 0?z?c)的右侧? 除 ?3、?4 外? 其余四片曲面在 yO z 面上的投影为零? 因此?? x2dydz? ?? y2dydz? ?? x2dyd ? ?? a2dydz? ?? 0dydz ?a bc ?2??3?4D yzD yz类似地可得?? y 2dzdx ? b2ac ? ?? z 2dxdy ? c2ab ?? ?于是所求曲面积分为(a?b?c)abc? 例 2 计算曲面积分?? xyzdxdy?? 其中 ? 是球面 x2?y2?z2?1 外侧在 x?0? y?0 的部分?解 把有向曲面 ? 分成以下两部分??1 ? z ? 1? x2 ? y 2 (x?0? y?0)的上侧? ?2 ? z ? ? 1? x 2 ? y 2 (x?0? y?0)的下侧?高等数学教案曲线积分与曲面积分?1 和 ?2 在 xOy 面上的投影区域都是 Dxy ? x2?y2?1(x?0? y?0)? 于是?? xyzdxdy? ?? xyzdxdy? ?? xyzdxdy? ?1 ?2? ?? xy 1? x2 ? y 2 dxdy? ?? xy(? 1? x2 ? y 2 )dxdyDxy Dxy1 ? 2 ?? xy 1? x ? y dxdy ? 2? 2 d? ? r 2 sin? cos ? 1? r 2 rdr ? 2 ? 0 0 15 D22?xy三、两类曲面积分之间的联系 设积分曲面 ? 由方程 z?z(x? y)给出的? ? 在 xOy 面上的投影区域为 Dxy ? 函数 z?z(x? y) 在 Dxy 上具有一阶连续偏导数? 被积函数 R(x? y? z)在 ? 上连续? 如果 ? 取上侧? 则有?? R(x, y, z)dxdy? ?? R[x, y, z(x, y)]dxdy?? Dxy另一方面? 因上述有向曲面 ? 的法向量的方向余弦为cos? ?? zx2 1? zx ? z2 y? cos ? ?? zy2 1? z x ? z2 y? cos? ?1 ? 2 1? zx ? z2 y故由对面积的曲面积分计算公式有?? R(x, y, z) cos?dS ? ?? R[x, y, z(x, y)]dxdy?? Dxy由此可见? 有?? R(x, y, z)dxdy ? ?? R(x, y, z) cos ?dS ?? ?如果 ? 取下侧? 则有?? R(x, y, z)dxdy? ? ?? R[x, y, z(x, y)]dxdy ?? Dxy但这时 cos? ??1 ? 因此仍有 2 1? zx ? z2 y高等数学教案曲线积分与曲面积分?? R(x, y, z)dxdy ? ?? R(x, y, z) cos ?dS ?? ?类似地可推得?? P(x, y, z)dydz ? ?? P(x, y, z) cos ?dS ?? ??? Q(x, y, z)dzdx ? ?? P(x, y, z) cos ?dS ?? ?综合起来有?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy ? ?? (P cos ? ? Q cos ? ? R cos ? )dS ?? ?其中 cos ?、cos ?、cos ? 是有向曲面 ? 上点(x? y? z)处的法向量的方向余弦? 两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式??? A? dS ? ?? A? ndS ? 或 ?? A? dS ? ?? AndS ?? ? ? ?其中 A?(P? Q? R)? n?(cos ?? cos ?? cos ?)是有向曲面 ? 上点(x? y? z)处的单位法向量? dS?ndS?(dydz? dzdx? dxdy)? 称为有向曲面元? An 为向量 A 在向量 n 上的投影? 例 3 计算曲面积分?? (z 2 ? x)dydz ? zdxdy ? 其中 ? 是?曲面 z ? (x2 ? y 2 ) 介于平面 z?0 及 z?2 之间的部分的下侧? 提示? 曲面上向下的法向量为(x? y? ?1) )1 2c o? s?x ?1 ? cos? ? ? dS ? 1? x2 ? y 2 dxdy? 2 2 1? x ? y 1? x2 ? y 2故?? (z 2 ? x)dydz ? zdxdy ? ??[( z 2 ? x)(?x) ? z]dxdy? ??x 2 ? y 2 ?4??{[ 1 (x2 ? y 2)2 ? x]?(?x) ? 1 (x2 ? y 2)}dxdy 4 22? 2 [x2 ? 1 (x2 ? y 2)]dxdy ? ? d? ? (r 2 cos2 ? ? 1 r 2)rdr ?8?? 0 0 2 2??x 2 ? y 2 ?4??小结高等数学教案曲线积分与曲面积分1.两类曲面积分及其联系； 2.常用计算公式及方法，注意：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意二重积分是第一类曲面积分的特殊情况，两类曲面积分及其联 系，要结合实例，反复讲解。师生活动设计1.两类曲线积分的定义一个与 ? 的方向无关, 一个与 ? 的方向有关,与书中联系公 式是否矛盾 ? 2.课后习题：2，3讲课提纲、板书设计 作业 P228: 3 (1) ,(2) ,(4) ;4§ 11? 6 高斯公式高斯公式 定理 1 设空间闭区域 ? 是由分片光滑的闭曲面 ? 所围成? 函数 P(x, y, z)、Q(x, y, z)、 R(x, y, z)在 ? 上具有一阶连续偏导数? 则有? ? ?( ?x ? ?y ? ?z )dv ? ?? Pdydz? Qdzdx? Rdxdy?? ??P?Q?R或? ? ?( ?x ? ?y ? ?z )dv??P?Q?R??? ( P cos ? ? Q cos ? ? R cos ? )dS ??简要证明 设 ? 是一柱体? 上边界曲面为 ?1? z?z2(x, y)? 下边界曲面为 ?2? z?z1(x, y)? 侧面为柱面 ?3? ?1 取下侧? ?2 取上侧? ?3 取外侧? 根据三重积分的计算法? 有??? ?z dv ? ?? dxdy?? D xy?R?R dz z 1 ( x , y ) ?zz 2 ( x, y )高等数学教案曲线积分与曲面积分?另一方面? 有D xy?? {R[ x, y, z2( x, y )] ? R[ x, y, z 1 ( x, y )]}dxdy??? R( x, y, z)dxdy ? ? ?? R[ x, y, z ( x, y)]dxdy?1 ?1 Dxy?? R( x, y, z)dxdy ? ?? R[ x, y, z?2 Dxy2( x, y )]dxdy ??? R( x, y, z )dxdy ? 0 ??3以上三式相加? 得?? R( x, y, z)dxdy ? ?? {R[ x, y, z? Dxy2( x, y )] ? R[ x, y, z1 ( x, y )]}dxdy ?所以??? ?z dv? ?? R(x, y, z)dxdy?? ??R类似地有??? ?x dv? ?? P(x, y, z)dydz?? ??P??? ?y dv? ?? Q(x, y, z)dzdx?? ??Q把以上三式两端分别相加? 即得高斯公式? 例 1 利用高斯公式计算曲面积分?? (x ? y)dxdy ?( y ? z)xdydz ? 其中 ? 为柱面 x ?y ?12 2?及平面 z?0? z?3 所围成的空间闭区域 ? 的整个边界曲面的外侧? 解 这里 P?(y?z)x? Q?0? R?x?y??P ? y ? z ? ?Q ? 0 ? ?R ? 0 ? ?y ?x ?z由高斯公式? 有高等数学教案曲线积分与曲面积分?? (x ? y)dxdy ?( y ? z)dydz ? ??? ( y ? z)dxdydz ? ??? (? sin? ? z)?d?d?dz? ? ?? ? d? ? ?d? ? (? sin? ? z)dz ? ? 9? ? 0 0 0 22? 1 3例 2 计算曲面积分?? (x2 cos ? ? y 2 cos ? ? z 2 cos ? )dS ? 其中 ? 为锥面 x ?y ?z 介于2 2 2?平面 z?0 及 z?h (h&0)之间的部分的下侧? cos?、cos?、cos? 是 ? 上点(x, y, z)处的法向量的 方向余弦? 解 设 ?1 为 z?h(x2?y2?h 2)的上侧? 则 ? 与 ?1 一起构成一个闭曲面? 记它们围成的空间 闭区域为 ?? 由高斯公式得?? ( x?2cos? ? y 2 cos ? ? z 2 cos? )dSdxdy?h x2 ? y?2x 2 ? y 2 ?h 2??(x ? y ? z)dz ? 2 21x 2 ? y 2 ?h 24??dxdy?h x2 ? y 2zdz?hx 2 ? y 2 ?h2?? (h2 ? x2 ? y2)dxdy ? 2 ?h(x ? y)dz ? 0 ?提示?2x ? y ?h2??2dxdy?x2 ? y2而?? (x2 cos? ? y2 cos? ? z 2 cos? )dS ? ?? z 2dS ? ?? h2dxdy??h4 ??1 ?1 x 2 ? y 2 ?h2因此?? (x2 cos? ? y2 cos? ? z 2 cos? )dS ? 2 ?h4 ??h4 ? ? 2 ?h4 ??11例 3 设函数 u(x, y, z)和 v(x, y, z)在闭区域 ? 上具有一阶及二阶连续偏导数? 证明??? u?vdxdydz? ?? u ?n dS ? ??? ( ?x ?x ? ?y ?y ? ?z ?z )dxdydz?? ? ??v?u ?v ?u ?v ?u ?v其中 ? 是闭区域 ? 的整个边界曲面??v 为函数 v(x, y, z)沿 ? 的外法线方向的方向导数? 符 ?n高等数学教案曲线积分与曲面积分号 ??? ? ? ? ? ? 称为拉普拉斯算子? 这个公式叫做格林第一公式? ?x 2 ?y 2 ?z 2?v ? ?v cos ? ? ?v cos ? ? ?v cos ? ? ?n ?x ?y ?z证? 因为方向导数其中 cos?、cos?、cos? 是 ? 在点(x? y? z)处的外法线向量的方向余弦? 于是曲面积分?? u ?n dS ? ?? u( ?x cos? ? ?y cos? ? ?z cos? )dS? ??v?v?v?v? ??[(u ?v ) cos? ? (u ?v ) cos? ? (u ?v ) cos? ]dS ? ?x ?y ?z?利用高斯公式? 即得?? u ?n dS ? ???[ ?x (u ?x ) ? ?y (u ?y ) ? ?z (u ?z )]dxdydz? ??v??v??v??v? ??? u?vdxdydz? ??? ( ?u ?v ? ?u ?v ? ?u ?v )dxdydz? ?x ?x ?y ?y ?z ?z? ?将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式?小结1.高斯公式及其应用条件； 2. 高斯公式应用的对象。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意高斯公式及其应用条件和对象，要结合实例，反复讲解。师生活动设计1. 设 ? 是一光滑闭曲面,所围立体 ? 的体积为 V,? 是 ? 外法线向量与点 ( x , y ,? z ) 的向径 r 的夹角, r ?x 2 ? y 2 ? z 2 ，试证1 r cos ? d S ? V . 3 ???讲课提纲、板书设计 作业 P236: 1（1） （4） （5）高等数学教案曲线积分与曲面积分§ 11? 7 斯托克斯公式斯托克斯公式 定理 1 设 ? 为分段光滑的空间有向闭曲线? ? 是以 ? 为边界的分片光滑的有向曲面? ? 的正向与 ? 的侧符合右手规则? 函数 P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在曲面 ?(连同边界)上 具有一阶连续偏导数? 则有??( ?y ? ?z )dydz? ( ?z ? ?x )dzdx? ( ?x ? ?y )dxdy ? ? Pdx ? Qdy ? Rdz ????R ?Q?P ?R?Q ?P记忆方式?dydz dzdx dxdy ? ? ? ?? ?x ?y ?z ? ? Pdx? Qdy? Rdz? ? ? P Q R高等数学教案曲线积分与曲面积分或cos? cos? cos? ? ? ? ?? ?x ?y ?z dS ? ? Pdx? Qdy? Rdz? ? ? P Q R讨论? 如果 ? 是 xOy 面上的一块平面闭区域? 斯托克斯公式将变成什么? 例 1 利用斯托克斯公式计算曲线积分 zdx ? xdy ? ydz ? 其中 ? 为平面 x?y?z?1 被三?其中 n?(cos? ? cos? ? cos?)为有向曲面 ? 的单位法向量??个坐标面所截成的三角形的整个边界? 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手 规则? 解 设 ? 为闭曲线 ? 所围成的三角形平面? ? 在 yOz 面、zOx 面和 xOy 面上的投影区 域分别为 Dyz、Dzx 和 Dxy ? 按斯托克斯公式? 有dydz dzdx dxdy ? ? ? ? zdx ? xdy ? ydz ? ?? ?x ?y ?z ? ? z x y? ?? dydz ? dzdx ? dxdy ? ?? dydz? ?? dzdx? ?? dxdy? 3 ?? dxdy ? 3 ? 2 ?Dyz Dzx Dxy Dxy例 2 利用斯托克斯公式计算曲线积分I ? ? ( y 2 ? z 2 )dx ? ( z 2 ? x 2 )dy ? ( x 2 ? y 2 )dz ??其中 ? 是用平面 x ? y ? z ? 的正向看去取逆时针方向?3 截立方体? 0?x?1? 0?y?1? 0?z?1 的表面所得的截痕? 若从 x 轴 23 的上侧被 ? 所围成的部分? ? 的单位法向量 n ? 1 (1, 1, 1) ? 2 3解 取 ? 为平面 x ? y ? z ? 即 cos ? ? cos ? ? cos ? ?1 ? 按斯托克斯公式? 有 3I ? ???1 1 1 3 3 3 ? ? ? dS ? ? 4 ( x ? y ? z)dS ? ?x ?y ?z 3 ?? ? 2 2 2 2 2 2 y ?x z ?x x ? y高等数学教案曲线积分与曲面积分? ? 4 ? 3 ?? dS ? ?2 3 ?? 3dxdy? 3 2? Dxy其中 Dxy 为 ? 在 xOy 平面上的投影区域? 于是I ? ?6 ?? dxdy? ?6? 3 ? ? 9 ? 4 2Dxydydz dzdx dxdy ? ? ? ?2 ( y ? z)dydz? ( x ? z)dzdx? ( x ? y)dxdy I ? ?? ? ?? ?x ?y ?z ? 2 ? 2 2 2 2 2 y ?z z ?x x ? y cos? cos? cos? ? ? ? ? ? 4 ( x ? y ? z) ? 提示 ? dS ? 12 ?12 ?12 dxdy? ?x ?y ?z 3 y 2 ? x2 z 2 ? x2 x2 ? y 2I ? ? 4 ?? (x ? y ? z)dS ? ? 4 ? 3 ?? dS ? ?2 3 ?? 3dxdy? ?6 ?? dxdy? ? 9 ? 2 3 ? 3 2? D Dxy xy小结1.斯托克斯公式及其应用条件； 2. 斯托克斯公式应用的对象。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意斯托克斯公式及其应用条件和对象，要结合实例，反复讲解。师生活动设计课后习题：1讲课提纲、板书设计 作业 P245: 2（1） （3） （4）习题课一、曲线积分的计算法 1. 基本方法高等数学教案曲线积分与曲面积分曲线积分 ?一 类（ 对 弧 长 ）? ?第 ? 定 积 分 ? ??? 二 类（ 对 坐 标 ） ? 转化 ?第参 数 方 程 ? 用 ? 直 角 坐 标 方 程 (1) 统一积分变量 ?用 ? 用 坐 标 方 程 ? 极(2) 确定积分上下限 ?一 类 ： 下 小 上 大 ?第 二 类 ： 下 始 上 终 ?第2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 . 二、曲面积分的计算法 1. 基本方法 曲面积分 ?一 类（ 对 面 积 ）? ?第 ? 二 重 积 分 ? ??? 二 类（ 对 坐 标 ） ? 转化 ?第 一 类 ： 始 终 非 负 ?第 二 类 ： 有 向 投 影 ?第(1) 统一积分变量 ― 代入曲面方程 (2) 积分元素投影 ?(3) 确定二重积分域 ― 把曲面积分域投影到相关坐标面 2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 (2) 利用高斯公式 ?意 公 式 使 用 条 件 ?注 加 辅 助 面 的 技 巧 ?添(辅助面一般取平行坐标面的平面) (3) 两类曲面积分的转化 三．例题分析 1.P246 题 3 (1), (3), (6)，4（1） ， （3） ， （4） ，6，7 2.计算 I ? ( x ? y ? z )ds ，其中 ? 为曲线。2 2 ??高等数学教案曲线积分与曲面积分3.计算 I ? ( x 2 ? y)dx ? ( y 2 ? x)dy ，其中 L 是沿逆时针方向以原点为中心，L?a 为半径的上半圆周.作业：P246： 3 (2) , (4) ; 5 ; 8 4 (2)
第十一章 曲线积分与曲面积分_理学_高等教育_教育...其 重庆三峡学院高等数学课程建设组 高等数学教案 §...P(x? y)i?Q(x? y)j 的作用下从点 A 沿...0 下的极值 L ( x , y ) ? f ( x , y ) ? ?? ( x , y ) ...第十一章曲线积分与曲面积分 - 8 - 高等数学(一)教案 期末总复习 曲线积分与...高等数学精品课程 教案课程代码 7100350 任课班级 交运 ,3 内容 制作 发布 时间 8-2 偏导数 邹兆南 教授 基础部 高等数学精品课程建设小组 2005 年 ...高等数学精品课教案 96页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 高等数学第十章曲线积分与曲面积分教案 参考...高等数学教案 § 曲线积分与曲面积分 10 第十章教学目的: 1. 2. 3. 4. 5. 曲线积分与曲面积分 理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线...《高等数学》下册期末总... 16页 免费高...高等数学(一)教案 期末总复习 第八章 向量与解析...第十一章曲线积分与曲面积分 - 7 - 高等数学(一)...[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南(下)》,第六版.高等教育出版社 ...高等数学课程建设组 高等数学教案 曲线积分与曲面积分 整个物质曲线的质量近似为 ...高等数学教案ch 10 曲线积... 42页 免费 第10章 曲线积分与曲面积分... 31...但由于对坐标的曲线积分是和所沿 曲线的方向有关,因此,在确定定积分的上、下...同济六版高数下册复习资料_理学_高等教育_教育专区。同济版,高等数学, ...(一)教案 期末总复习 第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 积分类型 ...高等数学下册 郭正光高等数学下册 郭正光隐藏&& 曲线积分与曲面积分习题详解习题 9-1 1 计算下列对弧长的曲线积分: (1) I = ∫ C y ds ,其中 C 是抛物线 ...
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