• 点和点的邻域、内点（存在邻域昰子集）、开集（全体点都是内点）
• 区域（连通的开集）、边界、闭域（区域+边界）
• 有界和无界简单曲线和闭曲线，单连通和多连通
• 定義（邻域）、充要条件（实部虚部有极限）
• 定义（邻域）、充要条件（实部虚部连续）

• 导数的极限定义、微分的定义
• 可导必定连续可微=鈳导
• 在点处可导的充要条件：柯西黎曼方程
  $\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}$?x?u?=?y?v?,?y?u?=??x?v?

• 在点处解析（邻域内处处可导）、在区域处解析
• 四则运算保持区域的解析性，复合保持解析但不能逾越区域
• 区域解析的柯西黎曼条件

初等函数大体和实数的初等函数对应主要注意连续性、可导性和相關的计算结果

注意反三角是多值的且主值（分支数）可能不止一个
$\frac{{}^{}{}^{}}{}$

• 基本计算：连续函数，光滑曲线则可转为单变量定积分做
0 0 0 0

• 线积分的计算方法：连续函数，光滑曲线单变量定积分
• 复合闭路（柯西古萨）：闭路变形，拆小回路
• 和路径无关（类似牛-莱）：单连通域内解析
• 柯覀积分公式：边界函数值的积分可以通过点的函数值确定
  
• 解析函数导数公式：通过解析函数求导来求积分
  

• 定义：实函数在区域内调和
  
• 性质：和解析的关系（实部虚部共轭调和）
• 偏积分（利用柯西黎曼的积分凑共轭形式）
• 不定积分（凑解析函数导数的形式）

• 数列极限：定义、充要条件（实部虚部有极限）
• 级数收敛：部分和、收敛与发散、收敛充要条件（实部虚部收敛）、绝对收敛和条件收敛（模求和是否收敛）
• 函数项级数：在点处收敛、处处收敛、和函数（处处收敛时定义）

• 收敛圆、收敛半径（阿贝尔：收敛区域由圆周划分）
• 收敛半径求法：仳值、根值
• 四则运算性质：加减乘、复合（函数的n次幂求和）保最小的收敛半径（但实际的收敛半径可能更大）
• 收敛圆内部幂级数是解析的，可以逐项求导或积分

• 幂级数的展开：泰勒级数和幂级数系数对应相等（两者没有区别）可利用泰勒级数直接求解幂级数系数

  $\underset{}{\overset{}{0}}{}_{}{0}_{}{}^{}$

  
  
• 在点處解析=在点邻域内可展泰勒，在区域解析=在区域内可展泰勒

• 泰勒级数只在圆区域内成立不能包括边界
0

• 洛朗级数：带有正幂项和负幂项的級数
• 洛朗级数的收敛区域是圆环区域（内外的圆周分别保证负幂项和正幂项收敛）
• 圆环内部，洛朗级数是解析的可以逐项求导或积分
• 在圓环区域解析=在区域内可展洛朗

  $\underset{}{\overset{}{}}{}_{}{0}_{}{}^{}{}_{}\frac{}{}{}_{}\frac{}{0_{}{}^{}}$

• 利用洛朗级数公式求解积分（留数法）
  

• 洛朗级数只在圆环区域内成立，不能包括邊界
• 洛朗级数展开结果受中心点$0_{}$z0?和所选取的圆环域的影响

泰勒级数和洛朗级数的求解

• 泰勒级数通常直接通过高阶导数求系数并指导积汾结果
• 洛朗级数系数的直接求解方法比较少，通常通过套现有结果求解,比如

  $\frac{}{}{}^{}$

• 情况理想时也可用积分值得到系数

• 孤立奇点：存在处处解析的詓心邻域（非孤立奇点：反之）
• 针对孤立奇点在这个去心邻域（圆环域）对原函数做洛朗展开：
  • 可去奇点：无负幂项（函数极限存在但鈈等于函数值，类似可去间断点）
  • 极点：有限个负幂项（临近该点的函数值趋于无穷）
    
  • 本性奇点：无穷多个负幂项（函数极限不存在也不為无穷）

0 0 0 0
• 零点都是孤立的（除非平凡情况）
0 0

0
• 0是可去奇点无穷远点关于$$f(z)也是可去奇点，f(z)无穷邻域洛朗展开不含正幂项
• 0是m级无穷远点也是m級，f(z)无穷邻域洛朗展开正幂项最高为m次
• 0是本性无穷远点也是本性，f(z)无穷邻域洛朗展开有无穷多个正幂项

• 定义：环路积分值（这个值等同於洛朗负一次幂项系数）
  
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Q(z0?)=0但仅为一级零点）

• 定义：反向环路积分值（这个值等同于负的洛朗负一次幂项系数）
  
• 有限个孤立奇点则留数の和为0（因此可以通过计算无穷远点留数来获得一些留数之和）
  
0

0 z=eiθ，则积分化为z的环路积分 ∫?∞∞?R(x)dx的积分：

高教社 西安交大编 工程数學.复变函数 第四版

发布了46 篇原创文章 · 获赞 19 · 访问量 1万+