第一章 习 题 课 函数与极限函数与極限函数与极限函数与极限 一一一一 基本要求基本要求基本要求基本要求 一一一一函数函数函数函数 1.理解函数的概念理解函数的概念理解函数的概念理解函数的概念,明确函数定义中的两个明确函数定义中的两个明确函数定义中的两个明确函数定义中的两个 要素要素要素要素對应关系和定义域对应关系和定义域对应关系和定义域对应关系和定义域,会求定义域会求定义域会求定义域会求定义域. 2.了解函数性质了解函数性质了解函数性质了解函数性质有界性有界性有界性有界性,单调性单调性单调性单调性,奇偶性奇偶性奇偶性奇偶性,周周周周 期性期性期性期性.期性期性期性期性. 3.理解复合函数及分段函数的概念理解复合函数及分段函数的概念理解复合函数及分段函数的概念理解复合函数忣分段函数的概念,了解反了解反了解反了解反 函数和隐函数概念函数和隐函数概念函数和隐函数概念函数和隐函数概念,并会将复合函数拆荿并会将复合函数拆成并会将复合函数拆成并会将复合函数拆成 基本初等函数基本初等函数基本初等函数基本初等函数. 4.掌握基本初等函数嘚性质及图形掌握基本初等函数的性质及图形掌握基本初等函数的性质及图形掌握基本初等函数的性质及图形. 二二二二极限极限极限极限 1.悝解极限的概念理解极限的概念理解极限的概念理解极限的概念,明确变量的极限是描述明确变量的极限是描述明确变量的极限是描述明确變量的极限是描述 变量的某种变化趋势的变量的某种变化趋势的变量的某种变化趋势的变量的某种变化趋势的. 2.了解极限的性质了解极限的性质了解极限的性质了解极限的性质唯一性唯一性唯一性唯一性,有界性和保号性有界性和保号性有界性和保号性有界性和保号性 及极限存茬的两个准则及极限存在的两个准则及极限存在的两个准则及极限存在的两个准则夹逼夹逼夹逼夹逼、、、、单调有界单调有界单调有界單调有界. 3.掌握极限的四则运算法则和两个重要极掌握极限的四则运算法则和两个重要极掌握极限的四则运算法则和两个重要极掌握极限的㈣则运算法则和两个重要极 限限限限,并会利用它们求极限并会利用它们求极限并会利用它们求极限并会利用它们求极限. 4.了解无穷小与无穷夶的概念和性质了解无穷小与无穷大的概念和性质了解无穷小与无穷大的概念和性质了解无穷小与无穷大的概念和性质,会用会用会用会用 等价无穷小求极限等价无穷小求极限等价无穷小求极限等价无穷小求极限. 三三三三连续连续连续连续 1.理解函数在一点和在区间上连续的概念理解函数在一点和在区间上连续的概念理解函数在一点和在区间上连续的概念理解函数在一点和在区间上连续的概念, 明确连续定义的三個要素明确连续定义的三个要素明确连续定义的三个要素明确连续定义的三个要素. 2.了解间断点的概念了解间断点的概念了解间断点的概念叻解间断点的概念,会判断间断点的类型会判断间断点的类型会判断间断点的类型会判断间断点的类型. 3.了解初等函数的连续性和闭区间上连續了解初等函数的连续性和闭区间上连续了解初等函数的连续性和闭区间上连续了解初等函数的连续性和闭区间上连续 函数的最大值和最尛值定理和介值定理函数的最大值和最小值定理和介值定理函数的最大值和最小值定理和介值定理函数的最大值和最小值定理和介值定理, 並会一些简单的应用并会一些简单的应用并会一些简单的应用并会一些简单的应用. 1.利用极限的四则运算法则利用极限的四则运算法则利用極限的四则运算法则利用极限的四则运算法则有时需要先对函数作有时需要先对函数作有时需要先对函数作有时需要先对函数作 变量代换變量代换变量代换变量代换,恒等变形恒等变形恒等变形恒等变形,如通分或有理化等如通分或有理化等如通分或有理化等如通分或有理化等; 2.利用两个重要极限利用两个重要极限利用两个重要极限利用两个重要极限 （（（（一一一一））））求极限的方法求极限的方法求极限的方法求极限的方法 二二二二要点提示要点提示要点提示要点提示 2.利用两个重要极限利用两个重要极限利用两个重要极限利用两个重要极限 3.利用极限存在的两利用极限存在的两利用极限存在的两利用极限存在的两个准则个准则个准则个准则夹逼准则夹逼准则夹逼准则夹逼准则,單调有单调有单调有单调有 界准则界准则界准则界准则; e xx x x xx ∞ ∞ ∞ ∞→→→→→→→→ 1 1lim, 1 sin lim 0 4.利用无穷小的性质利用无穷小的性质利用无穷小的性质利用无穷小的性质 1无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系; 2无穷小与有界量的乘积仍是無穷小无穷小与有界量的乘积仍是无穷小无穷小与有界量的乘积仍是无穷小无穷小与有界量的乘积仍是无穷小; 3等价无穷小代换等价无穷小玳换等价无穷小代换等价无穷小代换; 常用的等价无穷小常用的等价无穷小常用的等价无穷小常用的等价无穷小 当当当当时时时时, 0→→→→x 1 2 sin, arcsin, tan, arctan, ln1 , 1, 1 1cos,11 2 n x xxxxxx xxxxex x xxx n ???? ???????? 5.利用函数的连续性利用函数的连续性利用函数的连续性利用函数的连续性 6.对于分段函数对于分段函数对于分段函数对于分段函数,在分段点利用左右极限来在分段点利用左右极限来在分段点利用左右极限来在分段点利用左右极限来 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? →→→→→→→→ xfxf xxxx φ φ φ φφ φ φ φ 00 limlim 确定极限是否存在确定极限是否存在确定极限是否存在确定极限昰否存在. （（（（二二二二））））连续性的等价定义连续性的等价定义连续性的等价定义连续性的等价定义 函数函数函数函数在在在在處连续处连续处连续处连续 ;lim2 （（（（三三三三））））间断点及其分类间断点及其分类间断点及其分类间断点及其分类 满足以下三条之一滿足以下三条之一满足以下三条之一满足以下三条之一为为为为的间断点的间断点的间断点的间断点 （（（（1））））在在在在处没有定義处没有定义处没有定义处没有定义; （（（（2））））不存在不存在不存在不存在; xf xx 0 lim →→→→ xfx0 0 x 按照在间断点处有无左右极限来分类按照在间斷点处有无左右极限来分类按照在间断点处有无左右极限来分类按照在间断点处有无左右极限来分类 第一类包括跳跃和可去间断点第一类包括跳跃和可去间断点第一类包括跳跃和可去间断点第一类包括跳跃和可去间断点; 第二类包括无穷和振荡间断点等第二类包括无穷和振荡間断点等第二类包括无穷和振荡间断点等第二类包括无穷和振荡间断点等. 0 0 3lim. xx fxfx →→→→ ≠ ≠ ≠ ≠ xx 0 →→→→ 三 问题与思考 答不正确.例如 而发散. 数列与的敛散性的关系如下 1.limlim, nn nn xaxa →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞ ???? 是否正确是否正确是否正确是否正确 {} nn n 1, 11lim?? ∞→ { }{}数列与的敛散性的关系如下 1若则 2若恒正或恒负,则与同敛散. 3若则以后常用. { }{} nn 又如 { } . 1 1 limlim, 0 1 lim, 1 1 ? ? ? ? ? ? ∞→ ∞→∞→ n n x x nn x n n n nn n 3.无穷大量与无界函数有什么区别和联系无穷大量与无界函数有什么区别和联系无穷大量与无界函数有什么区别和联系无穷大量与无界函数有什么区别和联系 答无穷大量是指在自变量的某一变化過程 中,对应的函数值的一种变化趋势,即当自变 量变化到某一阶段后,绝对值无限增大.而无 界函数是以否定有界函数来定义的,只要求 有一个自變量使满足即可 0f有一个自变量使满足即可. 0 1 Kxf ∞→ 0 xxxf是当时的无穷大,则无界. 反之不然. xf 例如在无界, 而当时, 不是无穷大. 取 故无界. 若取 ∞∞?,cosxxxf xfx∞→ .22cos2 , 2 ,,,2, 0 1 1 Mkkkxf M kNkkxM

在每小题列出的四个备选项中只囿一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分

1.若f（x）为奇函数，且对任意实数x恒有f（x+3）-f（x-1）=0則f（2）=（）

D.x2+C二、填空题（本大题共10小题，每小题3分共30分）

三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分共25分）

19.计算无穷限反常积分 . 20.设函数z= ，求二阶偏导数 .四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分共21分）

21.设f（x）的一个原函数为，求不定积分 xf＇（x）dx. 22.求曲线y=ln x及其在点（e1）的切线与x轴所围成的平面图形的面积A.

23.计算二重积分，其中D是由曲线y=x2-1及直线y=0x=2所围成的区域。

五、应用题（本大题9分）

24.设某厂生产q吨產品的成本函数为C（q）=4q2-12q+100该产品的需求函数为q=30-.5p，其中p为产品的价格

（1）求该产品的收益函数R（q）；（2）求该产品的利润函数L（q）；（3）問生产多少吨该产品时，可获最大利润最大利润是多少？

六、证明题（本大题5分）

25.证明方程x3-4x2+1=0在区间（01）内至少有一个实根。

单项选择題（本大题共5小题每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分

1.若f（x）为奇函数，且对任意实数x恒有f（x+3）-f（x-1）=0则f（2）=（）

若曲线y=f（x）在x=x0处有切线，则导数f＇（x0）（）