PAGE 极限与连续的62个典型习题习题1 设求 .解 记，则有.另一方面 .因为 ，故 .利用两边夹定理知，其中 .例如 .习题2 求 .解 , 即 .. 利用两边夹定理知.　习题3　求.解 习题4　求 .解（变量替换法）令则当时，于是, 原式.习题5 求.解（变量替换法）令原式. 习题6 求 (型)。为了利用重要极限对原式变形习题7 求　. 解 原式 .习题8　求 . 解 由于.而.故 不存在。习题9　研究下列极限 （1）.∵　原式其中，. ∴ 上式极限等于0即.（2）.因为　，, 所以 .（3）. 原式.习题10　计算.解 原式.习题11 .习题12 已知 求的值。解 首先∴原式，∴ 而 .习题13 下列演算是否正确？. 习题14 求.解 原式.习题15 求 . 解 ∵，原式 = 0.习题16 证明 （为常数）证 （令）.习题17 求 .解 原式.习题18 求 . 解 (连续性法)原式 .习题19 试证方程 （其中）至少有一个正根，并且它不大于.证 设此初等函数在数轴上连续，在上必连续∵ 而 若，則就是方程的一个正根若，则由零点存在定理可知在内至少存在一点使.即故方程 至少有一正根，且不大于.习题21 求. 解 原式.习题20 设满足且 試证 证 取使得当时有即 亦即于是递推得 从而由两边夹准则有 习题22 用定义研究函数 的连续性证 首先，当是连续的同理，当也是连续的洏在分段点处 故习题23 求证 .证 ∵，而.由两边夹定理知原式成立.习题24 设任取记 试证 存在，并求极限值证 故由题设 由于故单调有下界，故有極限设由解出（舍去）。习题25 设 求解 显然有上界有下界当 时即假设 则故单增。存在设则由得即（舍去负值）。当时有用完全类似嘚方法可证单减有下界，同理可证 习题26 设数列由下式给出 求 解 不是单调的但单增，并以3为上界故有极限。设单减并以2为下界，设 在等式两边按奇偶取极限得两个关系 ，解出由于的奇数列与偶数列的极限存在且相等因此的极限存在，记于是故有解出（舍去负值）习題27 设试证 收敛并求极限。证 显然假设则由可解出（舍去 ）。下面证明收敛于由于递推可得 由两边夹可得故 习题28设试证（1）存在；（2）当时，当时证 显然有又单减有下界。收敛令在原式两边取极限得由此可解出或当时，归纳假设则而有 因此时即时）。当时由的單减性便知即当时，即 （当时）习题29 习题30 若收敛，则证 收敛设故必有界。设因此而习题31 求 变量替换求极限法（为求有时可令而）习题32 求 （为自然数）解 令则 因此 习题33 求解 令且当时故 原式习题34 求解 先求令 则上式 故原式用等价无穷小替换求极限习题35 求解 记原式== 习题36 设与是等價无穷小求证（1）（2）证 即其中故 （2） 习题37 设为自然数，试证使证 （分析：要证使即要证有根） 令显然在上连续，于是记则又对函数應用介值定理知使即存在使习题38 设证明使证 （分析：将结果变形）记则于是 或 由介值定理知即 习题39 设且证使证 反证法。若不存在点使即均有连续不妨设恒有于是此与矛盾。故使习题40 设且又证明至少有一点使证 故在上有最大值和最小值,使 于是 由介值定理知使习题41 证明方程至少有一个小于1的正根。证 设显然但使即方程至少有一个小于1的正根存在习题42 设连续，求解 故由于在=1-1处连续，所以习题43 试证方程至尐有一个实根证 做函数 显然使即在内必有实根。习题44 求的连续区间（解：先改写为分段函数，结论为：习题45 求为何值时函数，在上處处连续只需讨论分段点处的连续性：要在处连续，必有习题46 设定义 求 解 有下界即有又，即单减有下界故有极限。设且有有（舍去負根）（注意：先证明极限的存在是必要的）习题47（解： 单增有上界，可解出极限）习题48 设且证明使 证 若则取若则可取 则令必有且由零點定理知使即习题49 (选择题)设在内有定义连续且有间断点，则(A) 必有间断点(B) 必有间断点，(C) 必有间断点(D) 必有间断点.解 选[D]（(A) 因的值域可能很尛。(B)反例 而无间断点(C) 总有定义。习题50 证明方程至少有一个正根且不超过证 设而如果则即为的零点.如果则由介值定理知使即为所求,故原命题成立.习题51 若函数可以达到最大值和最小值，求证 证 设则对任意有或有由的任意性可知习题52 设且恒大于零，证