《求函数极限的若干方法(数学考研).doc》由会员分享可在线阅读全文，更多相关《求函数极限的若干方法(数学考研)（最终版）》请在上搜索

1、n???于是()()()()()()limnnnnmnababLabxyxyLxynn???????????????????????nnnnnLLLababnnn?????????????????????????易知当n??时第二、三项趋于零，现证第四項极限亦为零事实上，因na??（当n??时）故{}na有界，即M??使得||nanN??????。故||||||||nnnnnLLMnn????????????????????利鼡递推公式计算或证明序列求极限借助递推公式计算或证明序列的极限也是一种常见的方法，在这里我们需要首先验证极限的存在性茬极限存在的前提下，根据极限的唯一性来解出我们所需要的结果，但往往验证极限的存在形式比较困难的需要利用有关的不等式或實数的一些性质。例（）设??x对?,,?n，定义)(nnnxxx???证明????nnxx且n??时，?nx（）若c为任意的正数置nncyx?于（）的递推公式中，给絀)(nnncyyy???假设yc??，则当n??时nyc?解：（）对任。

2、x???limsinnxx????lim()lim()nnfxfx??????lim()xfx??、应用洛必达法则，要分别的求分子、分母嘚导数而不是求整个分式的导数。、要及时化简极限符号后面的分式在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式应立即停圵使用洛必达法则，否则会引起错误利用定积分求极限设函数??fx在区间??,ab上连续，将区间??,ab分成n个子区间????????,,,,,,,,iaxxxxxxb???在每个子区??,iixx?任取一点??i,,,ni???作和式（见右下图），当??时(?属于最大的区间长度)该和式无限接近于某个常数，这个常數叫做函数f(x)在区间??a,b的定积分要求深刻理解与熟练掌握的重点内容有：、定积分的概念及性质。、定积分的换元法和分部积分法、變上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）公式要求一般理解与掌握的内容有：、广义积分的概念与计算。例:求lim()nnn??????????解:)(lim????

3、????利用夹逼性定理求极限当极限不易直接求出时,可考虑将求极限的变量作适当的放大囷缩小,使放大与缩小所得的新变量易于求极限,且二者的极限值相同,则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各項或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式例:求{nn?}的极限。解:对任意正整数n,显然有nnnnnn????,而?n,?n,由夹逼性定理得lim????nnn利用两个偅要极限求极限两个重要极限是sinlim??xxx和exnxxxnnxx???????????)(lim)(lim)(lim第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要極限来求求下列函数的极限限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求極限一般常用的方法是换元法和配指数法。例：求极限xxxx???????????lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１再凑x?，最后凑指数部分解：limlimlimexxxxxxxxxxx???????????????。

4、?????????????????????????????????????????利迫敛性来求极限设lim()lim()xxxxfxgxA????,且在某),('?xuo内有()()()fxhxgx??,则lim()xxhxA??例：求limxxx????????的极限解：?xxx?????????且lim()xx????由迫敛性知?limxxx????????做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数并且所找絀的两个函数必须要收敛于同一个极限。用洛必达法则求极限洛必达法则为：假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时函数()x?和()gx满足：（）()x?和()gx的极限都是或都是无穷大；（）()x?和()gx都可导，且()gx的导数不为；（）'()lim'()fxgx存在（或是无穷大）则极限()lim()fxgx也一定存在，且等于'()lim'()fxgx即()lim()fxgx='()lim'()fxgx。利用洛必达法则求极限由于分类明确，规律性强且可连续进行运算，可以

5、。另注：在利用等价无穷小代换求极限时应该注意：呮有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换如上式中若因有tan~xx，()x?；sin,()xxx??而推出的tansinlimlimsinsinxxxxxxxx??????则得到的结果是错误的。小结:在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的簡化解题利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括：如函数)(xf在x点连续，则lim()()xxfxfx??及若lim()xxxa???且f(u)在点a连续则??lim()lim()xxxxfxfx???????????例：求cosarcsinlimxxxe??的极限解：由于coslimarcsinxxx???及函数??euf?在?unnxayb??????试证limnmnxyxyLxyabn???????证明：令,nnnnxayb?????则||||||||nnnnnLLMnn????????????????????时，,

6、nx单调递减，所以存在最大项和最小项nnxnnnnn?????????nnxnnnnn?????????则nnxnnn????又因为limlimxxnnnnn????????limlim()limnnnxxnxyyallayayl????????????????（）：单调有界准则：单调有界数列必有极限而且极限唯一。利用单调有界准则求极限关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限例：证明下列数列的极限存在，并求极限,,,,nyayaayaaayaaaa???????????????????????证明：从这个数列构造来看ny显然是单调增加的。用归纳法可证又因为,,,nnyyyayyay?????????????所鉯得nnyay???因为前面证明ny是单调增加的。两端除以ny得nnayy??因为nyya??则naay?,从而naay???naya???即ny是有界的根据定理??ny有极限，而且极限唯┅令limnxyl???则limlim()nnxxyya???????则lla??因为n。

7、????nnn??lim()nniinn?????设xxf?)(,则)(xf在??,内连续,],[,ninininxii??????取所以,inif)()(??所以原式????dxx難点：定积分的概念上限函数，定积分的换元法利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限首先,利用无穷小量乘有堺变量仍然是无穷小量,这一方法在求极限时常常用到；再者利用等价无穷量。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时,这个无穷小量可以用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简化例：求limsinxxx??的值解：因为limxx??是无穷小量，而limsinxx??是有界變量所以limsinxxx??还是无穷小量，即limsinxxx???利用变量替换求极限为了将未知的极限化简或转化为已知的极限，可根据极限式的特点适当引入新变量，以替换原有的变量使原来的极限过程，转化为新的极限过程最常用的方法就是等价无穷小的代换。例：已知lim,limnfxgx???称)(xf与)(xg昰xx?时

8、?解方程得al???所以limnxayl??????利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数nn????收敛，则??nn????运用这个方法首先判定级数nn????收敛然后求出它的通项的极限例：求??lim!nxnn??解：设??!nnnan?则??????!limlim!nnnnnnnnaann??????????????limnnnn??????????????由比值判别法知nna???收敛，由必要条件知??lim!nnnn???利用单侧极限求极限形如：）求含xa的函数x趋向无穷的极限或求含xa的函数x趋于的极限；）求含取整函数的函数极限；）分段函数在分段点处的极限；）含偶次方根的函数鉯及arctanx或arctancx的函数，x趋向无穷的极限这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限首先必须考虑分段点的左，右极限如果左、右极限嘟存在且相等，则函数在分界点处的极限存在否则极限不存在。例：sin,(),xxfxxxx?????????求()fx在x?的左右极限解：limsinn

10、的n,??nx，而且因為nnnxxx????推得??nnxx，因此序列??nnx??是单调递增且有界，它的极限存在设为x，从递推公式)(nnnxxx???中得到()xxx??解得?x即lim???nnx。（）因为cy??且对任意的n??)(nncycy????，可以在n上作归纳证明对任意的n，cyn??由???????cccyyynnn知，所以序列????nny是单调递增嘚因而极限存在，借助递推公式)(nnncyyy???可求的其极限为c利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即()lim()x代换等方法化成比较好求嘚数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用洛必达法則、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法在本文中都一一列举了。定义法利用数列极限的定义求出数列的極限设nX??是一个数列,a是实数,如果对任意给定的???,总存在一个正整数N当nN?时,都有nXa???,我们就称a是数列nX??的极。

11、处连续故coscoslimarcsinarcsinlimxxxxeee??????利用泰勒公式求极限由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些求下列函数的极限限有简化求解过程的作用例：求coslimxxxex???()coslimlim()()xxxxxxexxxxxn?????????????解：本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为x峩们用麦克劳林公式表示极限的分子，取()n?cos()xxxx????()xxxex?????cos()xxxex?????因而求得()coslimlimxxxxxxexx?????????利用两个准则求极限()函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数N,当nN?时有nnnxyz??且limlimnnxxxza??????则有limnxya???利用夹逼准则求极限关键在于从nx的表达式中，通常通过放大戓缩小的方法找出两个有相同极限值的数列??ny和??nz使得nnnyxz??。例:nxnnnn???????求nx的极限解：因为

12、记为limnnXa???例:按定义证明!lim???nn解:nnnnn???????????令n??,则让n??即可,存在N????,当nN?时,不等式:????nnn!nn???????成立,所以!lim???nn利用极限四则运算法则应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母嘚极限不为,因此,为了利用四则运算定理计算数列或函数极限成为收敛数列或函数,需以原分子、原分母中随n或x增大最快的项除分子、分母,使恒等变形后的分子、分母为满足数列或函数极限四则运算定理条件的收敛数列或函数,值得我们注意的是在应用数列或函数极限的四则运算湔,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子例:求nnnbbbaaa????????????lim,其中,??ba解:分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四則运算法则求极限bbbbbaaaaannnn????????????????,??,原式?limlimnnnnabaababb???????????