摘要:本文从间断点和连续点这两方面分别来讨论如何判断极值点,同时还给出了在连续导函数公式中找不可导点的一个较为实用的办法,最后给出求极值点一般步骤

关键词:鈈可导点间断点极值点极值

作为导数的应用,求导函数公式极值可以解决很在点x=0处取锝极大值2。一定是初等导函数公式)

多实际的问题。我們都知道驻点和不可导点是导函数公式可能的极值点,其中驻点的判断比较简单,但不可导点的情况就要复杂得多下面谈谈如何判断不可导點是否为极值点。

当然首先要找出所有的不可导点事实上,不连续的点即间断点一定是不可导点,而连续的点也有可能是不可导点,下面对这兩种情况分别讨论。

间断点分为第一类间断点和第二类间断点,而第二类间断点显然不会是极值点,故此时只讨论第一类间断点的情况

根据攵f纠有如下判断方法:

极大值可以类似讨论。下面举例说明例1求导函数公式,∞=IT:.Oo(-iP,五P)内的极值.

例2.讨论导函数公式在处的极值情况.

单调减少.所以f(x)茬点x=O处取得极大值。

2连续点处的极值笋惝f

对于连续的点几乎所有高等数学教材中

都给出了判断极值的办法,这里不再赘述,

但是初学者往往很難找准不可导点,这里简

单叙述如何找连续点中的不可导点先看下

例2求导函数公式,(z)=每?刘z2的极值.

.解,’(力。等焘“1

以x=0是不可导点.下略.

(似乎導导函数公式无定义的点即为不可导点,

答案是否定的。请看下面的例子)

(注:此例也说明了初等导函数公式的导导函数公式不

因此导导函数公式无定义的点只是可疑的不

可导点。实际中我们只要利用求导公式或法

则形式上求出导导函数公式,再利用导数定义验证无

定义的点即鈳。事实上,求极值时不一定要验

证该点是否为真正的不可导点直接利用极值

的判定定理即可。对于例4,因为当

根据上面的叙述,我们可以得絀求导函数公式

极值点的一般步骤首先。找出所有可能的

极值点一驻点与不可导点(对于连续导函数公式只

需找出导导函数公式无定义的點)I然后,判断哪

些是连续点,哪些是间断点若是连续点则

直接利用【1】中的极值判定定理,若是间断点

(只考虑第一类)贝Ⅱ可利用本文提到的判萣

【1】《高等数学》编写组.高等数学(第一册)苏

【2】赵奎奇.初等导函数公式的导数是初等导函数公式吗.大

【3】王金金任春丽.导函数公式在间斷点处的极值问

题.高等数学研究-12

一号桥的流民习勤所。抗战胜利后,为纪念原会长李恩浩,又创办了慈开织造训练所(李的道名为慈开)此外,南丠两办事处所设的妇女部开办了缝纫刺绣所,用以训练提高妇女的生存技能。所有这些工厂都是以培训染织、木器,缝纫、革履等一些简单的技能为主,这也是符合当时的中国的社会现状的

上海分会的主要措施有施米、施衣、施药、施粥等。从明清以来,每届严冬及春初,各地方的善心人士往往会设立粥厂等机构来救济无力生活的贫民世界红字会也延续了这一救济传统。上海分会虽未设立专门的机构来实施这些救濟措施但同样施放了大量的粥米。其他一些临时性的救济措施大致如下:

施棺——凡贫民死亡,无力置棺者,则给棺木

施药——常年配制各種药品,随时施舍。

冬赈——每届冬令,则募集粮米,救济贫民

以上只是世界红坼字会上海分会的一些慈善活动的概况。红婿字会全国有几百個分会,在面对一些重大灾难发生的时候,能联合起来还是发挥了不小的作用。

世界红坼字会最著名的社会救济活动不在上述各项平时的措施,而是在各种战争爆

发时,组织战地的伤患救护、照顾流民的工

作红蛹字会救济队的设置起源于1924年的

直奉战争。红刑字会各个分会都设有救济

队.,一旦有大规模的战事发生,能联合各分会

的力量,组织联合救济队,开赴前线开展救护

难民和伤兵工作并负责掩埋尸体。红坼字

会的救濟队先后参加了十几次中国近代史上

在直奉战争中,红刑字会分别在昆山、

浏河,宜兴,,嘉兴、上海,丹阳、常州、

杭州,榆关等地.设立救护站,收容治疗

并在下关,北平、天津、镇江等地,设立临

时医院,共计收容伤兵八千余名,治疗伤兵

七千余名。掩埋死亡病民三千余名设难

民收容所五┿余处,收容妇孺二万五千余

1932年,上海爆发“一?二八事变。,红

刑字会一共组织10个救济大队,在凇沪各

地成立临时医院六处,收容所6处,一共救

道院茬其存在的几十年当中,正值中

国处于兵荒马乱之中其各种救济措施正

是顺应了社会的需要。而各种慈善救济活

动,无疑扩大了道院在中国社会的影响

从以上的论述我们可以看到,一方面,

道院在教义上极力宣扬“五教合一”、。实

现世界和平”,迎合了民众的心理需求,正如

马林諾夫斯基所言宗教“与人以

马林诺夫斯基所言。宗教“与人以强大的团

结力,使人能支配命运,并克服人生的烦恼1,

另一方面,面对中国动荡不咹的现实,利用覆

盖全国的组织系统,积极开张社会救济活动,

救民众于水深火热之中,很好的填补了当时政

府力量的空白正是由于这两个方面嘚原

因,遭院这个组织在解放以前能够得到很充分

的发展。从某种意义上讲,它是顺应了历史的

【I】马林诺夫斯基.文化论,费孝通译,中国民

【2】馬林诺夫斯基.巫术,科学,宗教与神话,李

安宅译,中国民间文艺出版社,1986.

【3】邵雍中国会道门,上海人们出版社,1997.

【4】马西沙,韩秉.中国民间宗教史,上海人民

【5】世界红疋字会中华总会一览,页5。1935.

思维的火花瞬间将这几个概念联系起来了于是窥见了精彩的一幕。

很久以前就对导数的意义感兴趣

一阶导数是切线，是增减性是速度

二阶导数是凹凸性，是曲率昰加速度

三阶导数是挠度，是加加速度

之后就很难定义其几何或物理意义了

可是，泰勒公式是与无穷阶导数想联系的

他告诉我们只要知噵一点处足够高阶的导数就可以将整个导函数公式画出来。

那时就幻想着这样的哲学问题。部分等于整体那个想法驱使着我去寻找答案，可是一直求之不得只得搁置。

但是现在，我找到了这个联系经过这么多年的学习后。

在不知第几次翻看复变导函数公式希朢得到深刻理解，希望看到物理的或是几何的图景

终于，看到了那一丝亮光几年努力也算是有了结果。

解析导函数公式就是无穷阶可導导函数公式

虽然一个是复数中的概念一个是实数中的，但是由柯西积分公式高阶导数公式，可以知道解析导函数公式的导数依然是解析导函数公式也就意味着他是无穷阶可导的导函数公式。

之后的定理则从理论上说明了部分等于整体的奇妙景象

只要一个解析导函數公式在某点及其邻域内是已知的，那么他就在整个复平面上是已知的，并且他的表示形式是唯一的

所以将它运用到实数域中去，得箌无穷阶可导导函数公式只要知道他在一点的任意阶导数，那么就可以确定他在整个实数轴上的图像

于是，实数与复数之间的桥梁就建成了一些在实数范围内成立的泰勒公式可以直接运用到复数域内，只要这个实变导函数公式在复数域内解析这也是为什么那些泰勒展开是如此的一致，似乎与数域没有关系

并且，经由这个定理还可以得到解析延拓的方法，在部分区域有定义的解析导函数公式可以補充定义得到复平面上的解析导函数公式，并且表示形式唯一

这就是解析导函数公式最为奇妙的地方，复数不是实数的简单推广他囿些极为深刻的内容。

我感到很高兴可以在长时间努力之后解决自己提出的问题，这个问题一度是认为没有意义的但是终于他是有意義的，而且有些很深的意义大概这就是学习与探究的快乐。