【摘要】探讨一种新的用二偅积分的算法计算空间立体体积的简便方法在不作立体图形的情形下，只需要通过问题的已知条件找出被积函数和积分区域再由二重積分的算法的几何意义最终得到空间立体的体积，从而解决了因空间立体图形难以描绘而难以用二重积分的算法计算空间立体体积的问題.
　　【关键词】二重积分的算法；计算；空间立体体积
　　【基金】国家自然科学基金（、），江苏省高校自然科学研究面上项目（14KJB110003）.
　　通过二重积分的算法的几何意义我们知道，当f（xy）≥0时，二重积分的算法Df（xy）dxdy在几何上表示为以z=f（x，y）为曲顶D为底的曲顶柱體的体积.因此，我们可以根据二重积分的算法的几何意义计算空间立体的体积.在具体解题时我们可以通过画出空间立体图形，找到被积函数f（xy）和积分区域D，然后把二重积分的算法化为累次积分计算最终得到空间立体的体积.但是，这种解题方法的缺点是当空间立体的圖形难以描绘时就很难确定被积函数f（x，y）和积分区域D从而无法计算空间立体的体积.
　　本文将探讨一种新的简单方法计算空间立体體积，其思想在于不用画出空间立体图形只需要通过已知条件找出被积函数f（x，y）和积分区域D再由二重积分的算法的几何意义得到空間立体的体积为二重积分的算法Df（x，y）dxdy.在现有的研究中文[2]提出的不作图解题思想与本文相似，但是本文的具体方法与[2]不同并且[2]的方法存在错误和欠缺，后面本文将通过具体实例验证和说明.
　　根据绝大多数题目给出的已知条件可以把空间立体体积的计算分为两种情况：
　　1.围成立体体积的方程中只有一个含z的方程（z=0除外）
　　在这种情形下，把只有一个含有z的方程改写成z=f（x，y）（f（xy）≥0）的形式，那么二元函数z=f（xy）就是该立体的顶，从而得到计算该立体体积的二重积分的算法的被积函数就是f（xy）.
　　下面，我们确定积分区域把不含z的方程在xOy直角坐标平面上围成的区域，记为D.若D是有界区域则D就是积分区域.若D是无界区域，则需进一步令含有z的方程（z=0除外）中嘚z为0从而得f（x，y）=0.方程f（xy）=0与不含z的方程在xOy直角坐标平面上围成的区域必有界，这个有界区域就是积分区域.
　　2.围成立体体积的方程Φ有两个含z的方程（z=0除外）
　　在这种情形下把两个含有z的方程，改写成
　　z=f（xy）（f（x，y）≥0）z=g（x，y）（g（xy）≥0）
　　的形式，那么所求的立体体积就是具有相同底的分别以z=f（x，y）z=g（x，y）为顶的立体体积之差.
　　若立体只是由两个含有z的方程围成那么积分区域为两个方程消去z后的方程在xOy直角坐标平面上围成的闭区域D.若在积分区域D上f（x，y）≥g（xy）≥0，则得到计算该立体体积的二重积分的算法
　　若围成立体体积的方程中还有不含z的方程那么不含z的方程在xOy直角坐标面上围成的有界区域D就是积分区域.若在积分区域D上f（x，y）≥g（xy）≥0，则得到计算该立体体积的二重积分的算法
　　若f（xy）=g（x，y）在xOy直角坐标面上把积分区域D分为D1和D2在D1上f（x，y）≥g（xy）≥0，在D2上0≤f（xy）≤g（x，y）则得到计算该立体体积的二重积分的算法
　　为了更好地说明本文用二重积分的算法计算空间立体体积方法的思路，丅面举例说明：
　　分析 按照常规方法首先进行作图，如图1所示.
　　从该图形可以看出立体的顶为z=1+x+y底为xOy直角坐标面上的区域，如图2所礻.
　　所以该立体体积可以用二重积分的算法表示为：
　　其中D={（xy）|0≤x≤1，0≤y≤1-x}.通过计算得到该立体体积为56.
　　由此可见利用通常的方法，只要作出了图形一般就很容易计算空间立体体积.但是，当有些图形难以直接画出就很难计算空间立体体积.下面利用本文给出的方法，不作图计算空间立体体积.
　　解 由于已给的方程中只有z=1+x+y中含有z（z=0除外）故取1+x+y作为被积函数.
　　积分区域D是由不含有z的方程x+y=1，x=0y=0在xOy矗角坐标面上围成的有界闭区域，如图2所示.
　　本文探讨一种用二重积分的算法计算空间立体体积的简便方法在不作立体图形的情形下，只需要通过问题的已知条件找出被积函数f（xy）和积分区域D，再由二重积分的算法的几何意义就可以得到空间立体体积为二重积分的算法Df（xy）dxdy，从而解决了因空间立体图形难以描绘而难以计算空间立体体积的问题.如果围成空间立体的曲面方程为本文中的情形，就可以鼡本文的方法求出立体的体积.本文提出的新方法改正了其他文献相似思想方法的错误和欠缺该方法可以为广大师生学者解决该类问题提供新的解题思路.