高考中涉及外接球的几何体常以彡棱锥为主（立方体外接球半径的外接球太简单可以忽略不计）而规整的三棱锥例如四面体的高和外接球的半径有公式可以直接求出，洇此高考题中给出的三棱锥一般都不会是规整的因此在备考时需要重点注意不规整的三棱锥的外接球的球心怎么找，半径如何求以及求內接三棱锥中的最值问题

正方体和长方体的外接球的半径很容易求出，若一个三棱锥可以补全成正方体一个或长方体则三棱锥外接球嘚半径即为立方体外接球半径的半径，这是一种求外接球半径的方法另外若不能补全为立方体外接球半径，则题目就有点麻烦了先看┅下什么样的三棱锥能补全为立方体外接球半径：

上图为长方体，长方体六个面了两对的两个面全等，故相对的两个长方形的对角线相等若一个三棱锥的六条棱由长方体的六条对角线组成，则此类的三棱锥可补全为长方体

即：对棱长相等的三棱锥可以补全为一个立方體外接球半径，上图中的对棱相等为：BA=SC,BC=AS,BS=AC

正四面体可补全为一个正方体，这个非常简单不再给出配图，但是有个结论需要几下来：

在上圖立方体外接球半径中若三棱锥的四个顶点全部都在立方体外接球半径的定点上，且三棱锥四个面中有两个互相垂直则此类的三棱锥鈳以补全为一个立方体外接球半径，注意两个条件缺一不可

若三棱锥无法补全为立方体外接球半径，则我们要手动确定球心的位置或计算出外接球的半径

情况一：有的三棱锥能够直接找得出球心的位置，例：

对上面题目的解析：既然是三棱锥的外接球则球心到四个顶點的距离全部相等，特别注意在直角三角形中到直角三角形三个顶点距离都相等的点位于斜边的中点处因此若三棱锥中存在直角三角形，也要试图看看能否直接找出球心的位置

情况二：最一般的三棱锥，需要手动找出球心的位置计算出外接球的半径。

计算外接球半径倒是其次因为只要能确定出外接球球心的位置，利用三角形中学过的知识是可以求出半径长度的关键是球心在哪里。

三棱锥共四个面且每个面都在外接球的球面上，所以每个面都可以看成是三角形的外接圆若能找得出外接圆的圆心，则从圆心出发做一条垂直于这个媔的直线则直线上所有的点到三角形三点的距离都相等，若三棱锥的四个面同时做出这样的直线则这四条直线相交的点即为球心所在嘚位置，但是题目一般不会这么麻烦例：

对上题目的解读：△DBC为直角三角形，所以这个面中外接圆的圆心在斜边的中点处因此以这个為出发点，从外接圆的圆心做一条垂直于这个面的直线然后在这条直线上找出到四个顶点距离都相等的点即可。

对上题目的解读：即便昰高考题涉及三棱锥的外接球问题也经常出现直角三角形，题目需要求出外接球的半径由于给出了一条过球心的棱长，且棱长还是两個直角三角形的公共斜边所以若将SBC作为底面，则底面积跟外接球的半径有关所以再求出三棱锥的高即可，根据所学过的面面垂直的知識可以判定出AO为高即可求出半径。

总结：本文中所给出将三棱锥补全为立方体外接球半径然后求半径的方法也适用于求体积这种方法即为文科数学中求体积常用的补法，无论能否补全为立方体外接球半径也无论能否直接找出外接球的球心，其实这种题目都很简单很哆学生对此类问题无解，只要从最基本的三角形的外接圆入手求出三棱锥的外接球只不过将求外接圆的过程放大了而已，关于三棱锥外接球中关于最值的问题下次课给出。

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