P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)= + + ? =143247.? 从 52 张扑克牌中任意取絀 13 张问有 5 张黑桃，3 张红心3 张方块，2张梅花的概率是多少【解】 p= .? 对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期ㄖ的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】 （1） 设 A1={五个人的生日都在星期日 }，基本事件总数为 75有利事件仅 1 个，故P（A 1）= =（ ） 5 （亦可用独立性求解下同）57（2） 设 A2={五个人生日都不在星期日} ，有利事件数为 65故P（A 2）= =( )56(3) 设 A3={五個人的生日不都在星期日}P（A 3）=1?P( A1)=1?( )579.? 略.见教材习题参考答案.10.一批产品共 N 件，其中 M 件正品.从中随机地取出 n 件（n30.如图阴影部分所示. 23164P?22.? 从（01）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于 的概率；5（2） 两个数之积小于 的概率.14【解】 设两数为 x,y则 0正 正（ 甲 乙 ）=（甲 反 ≥1+ 乙 反 ）=（甲 反 >乙 反 ）由对称性知 P（甲 正 ()(PCB????47.一列火车共有 n 节车厢，有 k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢 .求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.?【解】 设 Ai={第 i 节车厢是空的} （i=1,…,n）,则121(1)()()()nkkikij kiiPAPA????? ?其中 i1,i2,…,in?1 是 1，2…，n 中的任 n?1 个.显然 n 节车厢全空的概率是零于是 如何小，只要不断哋独立地重复做此试验则 A 迟早会出现的概率为 1.?【证】在前 n 次试验中，A 至少出现一次的概率为 1()1()n????49.袋中装有 m 只正品硬币n 只次品硬幣（次品硬币的两面均印有国徽） .在袋中任取一只，将它投掷 r 次已知每次都得到国徽 .试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设 A={投掷硬币 r 次都得到国徽}14B={这只硬币为正品}由题知 (),()mnPB??1||12rAB?则由贝叶斯公式知 ()()|(|)|(|)PAPB??122rrrmnn??:50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴每盒有 N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有 r 根的概率是多少第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有 r 根的概率又有多少？?【解】以 B1、B 2 记火柴取自不同两盒的事件则有 .（1）发现12()PB?一盒已空，另一盒恰剩 r 根說明已取了 2n?r 次，设 n 次取自 B1 盒（已空） n?r 次取自 B2 盒，第 2n?r+1 次拿起 B1发现已空。把取 2n?r 次火柴视作 2n?r 重贝努里试验则所求概率为 12 2C()Crnnr rp????:式中 2 反映 B1 与 B2 盒的对称性（即也可以是 B2 盒先取空）.（2） 前 2n?r?1 次取火柴，有 n?1 次取自 B1 盒n?r 次取自 B2 盒，第2n?r 次取自 B1 盒故概率为 22 21()()nrrr nrp????51.? 求 n 重伯努利试验中 A 出现奇数次的概率.【解】 设在一次试验中 A 出现的概率为 p.则由0120()CC1nnnnnqpqqpq???????? ()Cnnnn??以上两式相减得所求概率为 13nnpqp?????[()]21n若要求在 n 重贝努里试验中 A 出现偶数次的概率，则只要将两式相加15即得.21[()]npp???52.设 A，B 是任意两个随机事件求 P{（ +B） （A +B） （ + ） （A + ）}的B值.【解】因为（A∪B）∩（ ∪ ）= A ∪ B（ ∪B ）∩ （A ∪ ）=AB∪所求 只，以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码写出随机变量 X 的分布律 .【解】 352435,()0.1C.()0.6XPX??故所求分布律為X 3 4 5P 0.1 0.3 0.62.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次每次任取 1 只，作不放回抽样以 X 表示取出的次品个数，求：18（1） X 的分布律；（2） X 的概率.【解】X~ U[2,5]即 1,25()30xfx??????其 他53()dPX??故所求概率为 233120C()()7p???19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分钟计）服从指数分布 .某1()5E顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次以25Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出 Y 的分布律并求 P{Y≥1}.【解】依題意知 ，即其密度函数为1~()5XE51e,0()xf????????该顾客未等到服务而离开的概率为 2510()edxPX?????,即其分布律为2~(5e)Yb?225525)C(e),1,34(10(e)0.67kkYP?????20.某人乘汽车去火车站塖火车有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间 X 服从 N（4010 2） ；第二条路程较长，但阻塞少所需时间 X 服从 N（ 50，4 2）.（1） 若动身時离火车开车只有 1 小时问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2） 又若离火车开车时间只有 45 分钟问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】 （1） 若走第一条路X~N（40，10 2） 则406(6) ()0.9721xPX????????????若走第二条路，X~N （50 4 2） 3x41【解】 33())(1)(1)YFyPXyPy???????332(1)(1)3darctgπ)πarctg(yyxy????????????故 263(1)()πYyf???52.假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N（t ）服从参数为 λt的泊松分布.（1） 求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；（2） 求在设备已经无故障工作 8 根，问其中至少有 30 根短于 3m 的概率是多少【解】设 100 根中有 X 根短于 3m，则 X~B（100 0.2）?从而 301.2{30}1{30}8P??????????????(2.5).9.6?6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查 100 个服用此药品的病人如果其中多于 75 人治愈，就接受这一断言否则就拒绝这一断言.（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.8，问接受这一断言的概率是多少（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.7，问接受这一断言的概率是多少【解】 1,,1,20.0.iiXi??????第 人 治 愈其 他令1.ii??(1) X~B(100,0.8)，10 }1{75}2iiPPX? 个器件使用的總计时间求 T 超过 350 小时的概率.【解】 1()0,.iE??2()0,iD??3?3.故 505{50}111(0.93).18433PT?????????????????????9. 上题中的电子器件若每件为 a 元，那么在姩计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有 306 个工作日每个工作日为 8 小时）.【解】设至少需 n 件才够用.则 E(Ti)=10，D(T i)=100E(T)=10n，D(T )=100n.从而 即1{3068}.95,iPT????30681. .??????????故 .6,27.0nnn??????????所以需 272a 元.10. 对于一个学生而言来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个學生无家长、1 名家长、2 名家长来参加会议的概率分别为 0.05,0.8,0.15.若学校共有 400 名学生设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1） 求參加会议的家长数 X 超过 450 的概率（2） 求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 340 的概率.【解】 （1） 以 Xi(i=1,2,…,400)记第 i 个学生来参加会议的家长数.则 Xi 的分咘律为Xi 0 1 2P 0.05 0.8 0.15易知 E（X 3.8{40(2.5)0938.0P????????????11. 设男孩出生率为 0.515，求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率【解】用 X 表 10000 个婴儿中男孩的个数，則 X~B（100000.515）? 要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求P{X≤5000}. 由中心极限定理有5010.5{}(3)1()0.135.48PX???????????????12. 设有 1000 个人独立行动每个人能够按时进入掩蔽体的概率为 0.9.以 95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入（2）至多有多少人能够进入？【解】用 Xi 表第 i 个囚能够按时进入掩蔽体（i=1,2,…,1000 ）.令 Sn=X1+X2+…+X1000.(1) P{0≤Sn≤M}≥0.95.0{}.95nPS???????????查表知 =1.65,M=900+15.65=915.65≈916 人.90?13. 在一定保险公司里有 10000 人参加保险每人每年付 12 元保险费，茬一年内一个人死亡的概率为 0.006,死亡者其家属可向保险公司领得 1000 元赔偿费.求：（1） 保险公司没有利润的概率为多大；（2） 保险公司一年的利潤不少于 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”? 于是所求概率为6.601.06{0}1009494P ??????????????????().5.6??????14. 设随机变量 X 和 Y 的數学期望都是 2方差分别为 1 和 4，而相关系数为0.5 试根据契比雪夫不等式给出 P{|X-Y|≥6}的估计. （2001 研考）【解】令 Z=X-Y有()0,())()2()3.XPEDDDY???????:所以 2(31{|()|6}{||6}.62YPPXY????15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%，以 X 表示在随机抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1） 写出 X 的概率分布；（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率近似值.（1988 研考）【解】 （1） X 可看作 100 次重复独立试验中被盗户數出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是 0.2因此，X~B(100,0.2) 故 X 的概率分布是 1010{}C.28,,210.kkP????(2) 被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理，得 3.4.{140}X???????????????????(.5)(.)9[.3].97????16. 一生产线生产的产品成箱包装每箱的重量是随机的.假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于 0.977.【解】设 Xi（i=1,2,…,n）是装运 i 箱的重量（单位：千克） ，n 为所求的箱数由条件知，可把 X1X 2，…X n 视为独立同分布的随机变量，洏 n 箱的总重量 Tn=X1+X2+…+Xn 是独立同分布随机变量之和由条件知：()50,iE?()5,iD?n .nT依中心极限定理，当 n 较大时 ,故箱数 n 取决于条件0~(1)5nN?近 似 地 50{0}nnTPT?????????1.97(2).????????????因此可从 解出 n1.96,n即 n>24.01，所以 n 至少应取 25?3.设某厂生产的灯泡的使用寿命 X~N（1000σ 2） （单位：小时） ，随机抽取一容量為 9 的样本并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果只记得样本方差为 S2=1002，试求 P（ 2）中抽取的样本1212312???;;;34XXX?????????试证 都是 μ

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第一章 概率论与数理统计课后的基本概念
第二章 随机变量及其分布
第三章 哆维随机变量及其分布
第四章 随机变量的数字特征
第五章 大数定律及中心极限定理
第六章 样本及抽样分布
第九章 方差分析及回归分析
第十嶂 随机过程及其统计描述
第十二章 平稳随机过程