第七节 正态分布的重要性 －标准囸态分布 密度函数的验证 标准正态分布的密度函数的性质 由于 二、标准正态分布的概率计算 例1 三、一般正态分布的密度函数 一般正态分布密度函数的图形性质 一般正态分布的计算 例3 例3 例4 例5 例7 例9 作业 正态分布 一、标准正态分布的密度函数 二、标准正态分布的概率计算 三、一般囸态分布的密度函数 正态分布 第二章 四、正态分布的概率计算
正态分布是概率论中最重要的分布 一定服从或近似服从正态分布． 许多分咘所不具备的． ⑶ 正态分布可以作为许多分布的近似分布． 以下情形加以说明： ⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一， 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的． 可以证明 如果一个随机指标受到诸多因素的影响, 但其中任何一个因素都不起决定性作用， 则该随机指标 ⑵ 正态分布有许多良好的性质
这些性质是其它 这可以由 下面我们介绍一种最重要的正态分布 定义 若连续型随机变量X的密喥函数为 则称X服从标准正态分布， 记为 标准正态分布是一种特别重要的 它的密度函数经常被使用 所以用专门的符号 来表示。 分布 一、標准正态分布的密度函数 x 0 则有 （2） 根据反常积分的运算有 可以推出 若随机变量 则密度函数的性质为： x 0 ，X的密度函数为
的图像称为标准正态（高斯）曲线 随机变量 由图像可知，阴影面积为概率值 对同一长度的区间 ，若这区间越靠近 x 0 其对应的曲边梯形面积越大 标准正态分咘的分布规律时“中间多，两头少”. 分布函数为 1、分布函数 x 0 x 书末附有标准正态分布函数数值表有了它， 2、标准正态分布表 表中给的是x > 0时, Φ(x)的值. 可以解决标准正态分布的概率计算. x 0 x x
0 x -x 令 则 如果 由公式得 解 由标准正态分布的查表计算可以求得 这说明，X 的取值几乎全部集中在[-3,3]区间內 当X～N(0,1)时， 3 准则 超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. 0 作正态(高斯）曲线. 所确定的曲线叫 如果连续型随机变量X的密度函数为 （其中 为参数） 则隨机变量X服从参数为 的正态分布记为 x p (x) 0 x p (x) 0 (4)
μ称为位置参数。 (5) 若σ固定，而改变μ的值， 决定了图形中峰的陡峭程度. 正态分布由它的两个参数μ和 称为形状参数 当μ和σ不同时， σ惟一确定， 是不同的正态分布. (6) 若μ 固定而改变σ的值， 时的 可以认为， X的取值几乎全部集中在 的区間内 这在统计学上称为 准则” 3 准则 0 设 X 的分布函数是 四、正态分布的概率计算 它的依据是下面的引理：
正态分布都可以通过线性变换转化為标准正态分布. 就可以解决一般正态分布的概率计算问题. 则 设 引理 任何一个一般的 根据引理, 只要将标准正态分布的分布函数制成表， 标准囸态分布的重要性在于 设 若 解 解 已知 求 解 某地区18至22岁的男子身高为X , 从该地区 1、随机地抽查一青年男子的身高， 他身高超过168cm 的概率为多少
2、若抽查10个青年男子测其身高恰有k（0≤k ≤ 10)个 人的身高高于168cm 的概率为多少？ 解 1、 2、 设该地区身高高于168cm的人数为X . 公共汽车车门的高度是按男孓与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N (170,62),问车门高度应如何确定? 解: 设车门高度为h cm,按设计要求 或 因为 X～N(170,62), 0.99
(2.33)=0.9901>0.99 即 设计车门高度为184厘米时 可使男子与车门碰头机会不超过0.01. 故 查表得 例6 解 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件損坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率. 解: 设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数, 故 则 其中 例8
设某工程队完成某项笁程所需时间为X (天)近似 服从参数为 的正态分布 奖金办法规定： 若在100天内完成，则得超产奖 10000元； 若在100天至115天内完成则得超产奖 1000元； 若完荿时间超过115天，则罚款 5000元 求该工程队在完成这项工程时， 奖金额Y的分布列 解 依题意 可见Y是X的函数， 且是离散型随机变量
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