集合用于包含一组无序的对象。要创建集合，可使用set()函数并像下面这样提供一系列的项：

与列表和元组不同，集合是无序的，也无法通过数字进行索引。此外，集合中的元素不能重复。例如，如果检查前面代码中t集合的值，结果会是：

集合支持一系列标准操作，包括并集、交集、差集和对称差集，例如：

• c = t – s # 求差集（项在t中，但不在s中）
• d = t ^ s #对称差集（项在t或s中，但不会同时出现在二者中）

1、添加新的元素，.add()用于添加单个元素、.update()用于批量添加元素，如果喂给add的是‘avda’这种多字符串可以成为一个元素，但是喂给update会对字符串去重操作

2、使用remove()可以删除一项，只能一个一个删掉

6、并集（|）、（union），项在t中或者在s中

7、差集（-）、（difference），项在s中，但不在t中

8、对称差集（^）、（sysmmetric_difference），项在t或s中，但不会同时出现在二者中

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也称投影(Projection)，集合A,B的笛卡尔积A×B的子集叫做A到B的映射。映射可以理解为“影子”，一个人可以有一个或多个影子，也可以没有影子。影子总是与光源相对应，在某一确定光源的照射下，每个人都会有不同的影子。同样，集合A里的元素，在集合B里也会有影子，光源可以理解为产生投影的函数。

对于函数的概念，通过映射可以给出更为精确的定义：f:A→B (?x ∈A, ?!y∈B) 读作：对于集合A中所有的元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应。

[注] A→B、A?B 或 A=>B 代表蕴涵(Imply)、命题逻辑的假言命题、能够推出、如果…那么(If)、只有…才(If only)等含义。
而f:A→B 代表集合映射、从…到…，“→”代表函数。

也称模糊集，是传统集合论的扩充版，它的主要特点是模糊了集合的边界。对于传统集合论，x要么属于A，要么不属于A，只有这两种情况；而模糊集合多出一个隶属度的概念，隶属度是个介于0~1的数值(和概率有点像)，因此，x可以100%隶属于A，也可以20%隶属于A。模糊集合给传统二值分类法加了一个度，对冷热、轻重、高矮、长短等属性值的分辨，由阈值变成了灰度。

定义：一个模糊集合A={U, μ} (代表A由U和μ两个成份组成，U代表一个全集)，μ:U→[0,1] (表示μ是从U到[0,1]的映射，也就是说全集U中的每一个元素，都有一个输出值范围为0~1之间的函数μ与之对应)。对于?x∈U (U中的每个元素x) ，函数μ(x)叫做模糊集合A的隶属函数(Membership Function)，μ(x)的输出值叫做x的隶属度(Membership

[注] 模糊集合中文教程一般把“全集”称为“论域”，英文资料常把“元素(Element)”称为“成员(Member)”。

模糊数学的概念是加利福尼亚大学控制论专家扎德(Lotfi. A. Zadeh)于1965年首先提出的。英语中的“模糊(Fuzzy)”一词是有些贬义的，所以这种理论在英语国家不太受欢迎，推动模糊控制理论发展的主要是日、韩等亚洲国家，中国也有份。

问题的提出：人类的自然语言中存在大量的模糊词汇，假如一个厨师指导你如何烘烤出完美的奶酪面包，他也许会这么说：

1. 把面包切成中等厚度的两片。
2. 把平底锅的加热按钮调到高档。
3. 烤面包切片的一面，直到它变成金黄色的。
4. 把面包切片翻过来，并添加大量的奶酪。
5. 把面包切片放回原处继续烤，直到上面的奶酪变成微褐色。
6. 拿走面包切片，洒上少量的黑胡椒粉，并开始吃。

用粗体显示的字都是一些模糊术语。我们遵循这些指令，就可以做出一份美味的快餐。那么我们对一个可编程的机器人下达这些指令可以吗？有编程经验的人都知道这是不行的。编程时，我们必须明确指定“中等厚度”到底有多厚，“高档”具体是几档，“金黄色”的RGB值是多少等等，总之是要明确的数值或数值范围才行。在给出明确数字的过程中，我们的大脑根据经验把这些模糊的词汇转换成了具体的数值。想象一下，如果计算机可以模仿我们的大脑，直接对模糊的词汇进行处理，自动完成这一转换过程并执行命令那该有多酷！

为此，模糊数学迈出了精妙的一步，它制定了一种模糊词汇的转换格式和一系列的模糊推理方式，为解决这类问题做出很大的贡献。然而，对于如何自动设置模糊词汇的数值范围(自动生成隶属函数)，包括如何采集数据训练模糊范围、如何自适应模糊数值、如何调整和纠错等一系列问题，它还存在着很大欠缺。

扎德：“我们一般认为数学应当是精确的，很难和模糊概念联系在一起。但事实上实际生活中，特别是人的问题，更多使用的是模糊思维。我觉得需要解决这个问题，应该把数学和生活联系起来，就去找一些数学家来聊。结果他们都不感兴趣，我只好自己来研究。这个研究从1964年开始，1965年发表了第一篇文章《模糊集合》。就这么开始了。”

例：对人的年龄定义，16岁之前为年幼，16岁到32岁的年龄段为年轻，传统集合的描述(Def1)：年幼={x|1<x<16}, 年轻={x|16<x<32}，如果一个孩子只有3岁(a=3)，可以说：a∈年幼, a?年轻。

以上都是用传统的清晰集合来描述的，在模糊数学中，把这种清晰集合称为清脆集合(Crisp Set)。清脆集合忽略了我们平时比较在乎的程度问题，按Def2的定义如果说18岁年幼或13岁年轻都觉得有些不恰当，但如果说13岁是非常年轻，18岁是比较年轻似乎感觉更恰当一些。为解决此问题，我们引入模糊集合的处理方式。

对于非常、很、比较、有点等程度副词，模糊集合用了一个0~1之间的数字来描述。比如11岁可以用年轻度0.1来表示，12岁为年轻度0.2，13岁0.3……直到20岁以后年轻度为1，10岁以前年轻度为0，可以用下面这个表达式(Zadeh 记法)来表示：

注意：Zadeh记法的+号和分数线不是运算符，只是分隔符，相当于逗号。

从上面的Zadeh表达式中可以看出，年轻度(分子)和年龄(分母)之间有很明显的函数关系，年轻度 = A(x) = (年龄-10)/10。函数A(x)称为隶属函数，年轻度为隶属度，年龄为论域(全集)中的元素。

也许你对此例的年幼、年轻是几岁到几岁的定义很不认同，那没关系，因为你完全可以凭着的自己的感觉来重新定义，也可以反复调整。对于隶属函数的选择和设定没有绝对的标准，主要是由程序设计者的经验和偏好来决定，具有很强的主观性。当然这种主观性也是导致它难以被数学界接受的重要原因。

隶属函数既可以是线性函数，也可以是曲线函数；函数图形可以是梯形，也可以是三角形、钟形、马蹄形等多种形式。下图是Matlab中支持的11种隶属函数形状(mfdemo)。

模糊集合也有一套求交集、并集、补集的集合运算法则，这套法则是模糊逻辑和模糊推理的基础。

模糊推理完成时，会有一步清晰化(去模糊)的运算，即把最终的模糊运算结果(例如上图的红色区域)转换为一个具体数值(期望值)，可视为求这个结果区域的平均值。整个流程是这样的：输入→模糊化→模糊规则(推理)→去模糊→输出。

表现两组事物相似度的对比关系，可以使用模糊矩阵。{苹果, 球, … , 四棱锥}7个对象，用传统的布尔矩阵只能表示它们是相似(1)还是不似(0)，而模糊矩阵用来表示它们的相似度。

模糊数学是一门新兴学科，最早是应用在自动控制技术领域，后来在信息检索、医学、生物学、气象学、结构力学、心理学等各个领域都展开了广泛的应用，然而模糊数学最重要的应用领域是计算机智能，不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。

模糊数学还远没有成熟，人们对它还存在着各种不同的意见和看法，不过它也存在很大的拓展空间，有很大的潜力，有待大家的进一步深入完善。

《模糊集合2.ppt》(不错的模糊推理教程) -
《模糊集合的基本概念与模糊关系》(模糊矩阵教程) -
《游戏人工智能编程案例精粹》 第10章 模糊逻辑

排列：从n个元素中，抽取r个元素组成新的集合，不用按顺序抽取。也称置换。
组合：从n个元素中，抽取r个元素组成新的集合，要按顺序抽取。

公式中，n和r代表从n个元素中取出r个元素，P(n,r)和C(n,r)代表组成所有排列或组合的可能性数量，!代表阶乘。

例：从{a,b,c,d}这4个元素(n=4)的集合里挑出两个元素(r=2)，一共可以组成多少个排列和组合？