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内容不能少于3个字
方程组的几何解释
乘法和逆矩阵
转置-置换-向量空间R
列空间和零空间
求解Ax=0：主变量、特解
求解Ax=b：可解性和解的结构
线性相关性、基、维数
四个基本子空间
矩阵空间、秩1矩阵和小世界图
正交向量与子空间
子空间投影
投影矩阵和最小二乘
[第17课]正交矩阵和Gram-Schmidt正交化
正交矩阵和Gram-Schmidt正交化
行列式及其性质
行列式公式和代数余子式
克拉默法则、逆矩阵、体积
特征值和特征向量
对角化和A的幂
微分方程和exp(At)
马尔可夫矩阵;.傅立叶级数
对称矩阵及正定性
复数矩阵和快速傅里叶变换
正定矩阵和最小值
相似矩阵和若尔当形
奇异值分解
线性变换及对应矩阵
基变换和图像压缩
单元检测3复习
左右逆和伪逆
学校：麻省理工学院
讲师：Gilbert Strang
授课语言：英文
类型：数学 国际名校公开课
课程简介：“线性代数”，同微积分一样，是高等数学中两大入门课程之一，不仅是一门非常好的数学课程，也是一门非常好的工具学科，在很多领域都有广泛的用途。它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。本课程讲述了矩阵理论及线性代数的基本知识，侧重于那些与其他学科相关的内容，包括方程组、向量空间、行列式、特征值、相似矩阵及正定矩阵。
扫描左侧二维码下载客户端大学线性代数二次型中最后正交变换x=cy得出标准型,怎么算出来那个形式的 我知道如果用正交法的话标准型的系数是特征值 那
问题描述：
大学线性代数二次型中最后正交变换x=cy得出标准型,怎么算出来那个形式的 我知道如果用正交法的话标准型的系数是特征值 那如果用配方法呢?另外 k1y1 +k2y2 +k3y3的特征值顺序是随变的吗
问题解答：
1怎么算出哪个形式：求特征向量然后施密特正交化2配方法出来的会是规范形,3是的
我来回答：
剩余:2000字
1怎么算出哪个形式：求特征向量然后施密特正交化2配方法出来的会是规范形,3是的
x1x2这项为例,系数是-2,除以2=-1,所以a12=a21=-1其余项照这个写,剩下的写0若有x1^2项系数为C,则a11=C, 再问： 非常感谢！ 再答： 不客气！
有问题可以追问,望采纳
我解答的，还是我再解释吧。图中1， 观察法可得。若不嫌麻烦计算，可设 ξ2 = (p, q, r)^T 与 ξ3 正交，得 p+r = 0， q 任意， 取 q = 1， p = r =0 即得 ξ2 = (0, 1, 0)^T， 且已单位化。 当然， 也可取 p = 1， q = 0， r = -1， 单位化后即为
这并不一定,要看标准型是通过什么转换完成的.如果是正交变换,那变换出来的系数是特征值.如果是配方法,那系数就不是特征值. 再问： 配方法的系数有没有什么意义？ 再答： 要说意义的话，配方法转换要比正交转换简单，毕竟不需要求特征值和特征向量，只要保证转换矩阵可逆就行了。对于解题来说，如果题目没有明确要求使用正交法求标准型
同济版线性代数,第五章关于二次型那节有例子,注意的是最后变换的矩阵C必须是可逆的,如果不可逆,说明你变换有误,需要重新选取
学特征值了木有 再答： y前的系数就是A的特征值再问： 学了 可是这个用初等变换法不用求特征值啊 还是一定要算特征值才能出来呀 再答： 再答： 算一下CTAC就好了啊
( a1+b1 2c1 2d1 )A+B=( a2+b2 2c2 2d2 )( a3+b3 2c3 2d3 )|a1+b1 2c1 2d1 ||A+B|=|a2+b2 2c2 2d2 ||a3+b3 2c3 2d3 ||a1 2c1 2d1 | |b1 2c1 2d1|= |a2 2c2 2d2 | + |b2 2c2
没有这么一说,是你做的那道题里A有特征值λ为1吧
如图,化为下三角形
若A可逆,则|A|≠0从而|A^2|=|A|^2≠0即A^2一定可逆
加一列1之后还应该加一行第一列为 1 的 0 否则不成其为行列式了.（这种方法也不比另一个方法简单）r2-r1、r3-r1、...、r n-r1 成《爪形》Dn=|b1+a1 a2 a3 ...an|-b1 b2 0 ...0-b1 0 b3 ...0.-b1 0 0 ...bnr1-r2*a2/b2-r3-a3/b3
我们自动化控制的在系统建模,现代控制里有用到. 再问： 能告诉我么？ 再答： 你要什么？你是学什么专业的？
你要先知道配方法的基本规则就是必须有二次项,一次项和其他项可以没有,文中只有一次项的乘积,所以首先要先化成二次项的和,x1和x2的积化成y1和y2的平方和最好的方法就是如图所示,虽然方法不是唯一的,但却是最好的 再问： 但是这个x1/2/3怎么构造的？再问： 随便等于什么样的y1/2/3都可以？再问： 我也不是很明白
亲,首先你要弄懂矩阵和行列式的区别,矩阵说实在的就是个表格,行列式呢,就是一个运算,或者说就是一个数.矩阵变换,他是一种变换,而不是一直运算,如果你要硬把他说成一直运算的话,那就是矩阵乘以初等矩阵,必然你说的i行乘以k,那么他就在起左边乘以一个第i行为k的初等矩阵.而对于数乘来说是所有的都乘以k,这是两个不同的概念呢,
1、满足x^2+yz=0的三维列向量(x,y,z)'的集合B不能构成R^3的子空间.因为B对于向量的加法不封闭.比如在B中取(0,1,0)'与(0,0,1)',相加得(0,1,1)',不再属于B.2、微分方程的解构成的集合不是F的子空间.这里想找出具体的解有点麻烦,但是这里的微分方程是二阶非齐次线性微分方程,根据它的解
选A.非奇异线性变换只是合同,不是相似.合同是一种等价关系,正因如此,秩相等.正交变换是非奇异变换的一种.二次型里面的矩阵一定是对称阵,这是由二次型对应矩阵的定义所决定的,你可以看看它的定义. 再问： 对称矩阵合同和相似不一样吗？再问： 再问： 不是这个样子的嘛？ 再答： 你写的是正交变换，P是正交阵再问： 再答： 合
A的特征值为: 10,1,1特征向量分别为 a1=(1,2,-2)',a2=(2,-1,0)',a3=(2,4,5)--已正交P= 1/3 2√5 2/√45 2/3 -1√5 4/√45-2/3 0 5/√45则X=PY是正交变换,且 f=10y1^2+y2^2+y3^2字数限制 无奈
X' = （x1,x2,x3） 1 2 3 x1f(x1,x2,x3) = (x1,x2,x3) (4 5 6) (x2) 7 8 9 x3然后就是按照矩阵的乘法计算得到了 再问： 请问x'是列矩阵还是x是列矩阵呢？他们是转置的关系对么？ 再答： x'是行矩阵x是列矩阵再问： 奥谢谢
对二次型来说, 变换需要是合同变换.正交变换既是相似变换也是合同变换所以标准形是对的, 但对二次型来说一般需要把特征向量正交化和单位化 再问： 在考研论坛看见的 http://（去掉我）bbs.kaoyan.com/t 请教大家一道李永乐复习全书上的题(数三P385第三大题第2小题）。我觉得书上的解答
也许感兴趣的知识线性代数，求一个正交变换将下列二次型化成标准形_百度知道
线性代数，求一个正交变换将下列二次型化成标准形
线性代数，求一个正交变换将下列二次型化成标准形麻烦将过程详细写一下，不胜感激
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做出对应的矩阵，然后求特征值，然后求特征向量，然后对特征向量正交化，单位化，最后写出来标准型就可以了。
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。这篇最早是在知乎上写的一个，在这展开总结总结吧。从线性代数的角度，试着直观地理解傅里叶变换和相关的公式。在理解傅里叶变换前，首先回顾一个线性代数里的简单概念：
正交基(Orthogonal Basis)
考虑如下的向量表达式：\[\left( \begin{matrix}&& 23& \\&& -11& \\&& 6& \\\end{matrix} \right)=6\cdot \left( \begin{matrix}&& 0& \\&& 0& \\&& 1& \\\end{matrix} \right)+\left( -11 \right)\cdot \left( \begin{matrix}&& 0& \\&& 1& \\&& 0& \\\end{matrix} \right)+23\cdot \left( \begin{matrix}&& 1& \\&& 0& \\&& 0& \\\end{matrix} \right)\]一个简单的向量被分解成了3个向量的线性和。特别的，在这个例子中，注意到，分解开的三个向量两两之间互相的内积等于零，于是这三个向量就是一组简单的正交基。至于正交和内积为零，不妨这么理解，内积指的是一个向量(在另一个向量上)的投影乘上另一个向量的模(可以理解为向量的长度)，如果内积为零，意思是互相之间没有投影。具体到上面例子，就是想象一个三维空间中，三个坐标轴是互相垂直，每个正交基向量前的系数正是原始向量在每个向量方向上的投影。那么正交基是不是唯一的呢，并非如此，比如下面的表达式：\[\left( \begin{matrix}&& 23& \\&& -11& \\&& 6& \\\end{matrix} \right)=7\cdot \left( \begin{matrix}&& \frac{2}{7}& \\&& \frac{3}{7}& \\&& \frac{6}{7}& \\\end{matrix} \right)+14\cdot \left( \begin{matrix}&& \frac{6}{7}& \\&& \frac{2}{7}& \\&& -\frac{3}{7}& \\\end{matrix} \right)+21\cdot \left( \begin{matrix}&& \frac{3}{7}& \\&& -\frac{6}{7}& \\&& \frac{2}{7}& \\\end{matrix} \right)\]一般来说，一个向量都可以表达成如下的形式：\[v=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+...+a_{k}v_{k}\]其中\(v \in R^{k}, (v_{1}, v_{2}, ..., v_{k})\)是一组正交基。特别地，注意到上面两个例子中，每组正交基中的向量，其模(可以认为是长度)的大小都是1，这样的情况称为标准正交基。
理解了正交基之后，我们试着做下面一件事，求正交基向量对应的系数，还是以第一个表达式为例：\[\left( \begin{matrix}&& 23& \\&& -11& \\&& 6& \\\end{matrix} \right)=a\cdot \left( \begin{matrix}&& 0& \\&& 0& \\&& 1& \\\end{matrix} \right)+b\cdot \left( \begin{matrix}&& 0& \\&& 1& \\&& 0& \\\end{matrix} \right)+c\cdot \left( \begin{matrix}&& 1& \\&& 0& \\&& 0& \\\end{matrix} \right)\]比如我们想求b的值是多少，回忆前面说的系数就是在基向量上的投影(也就是分量)和基向量模的比值，具体到前面的例子，因为基向量的模都是1，于是求系数就变得非常简单，就是求内积而已：\[b=\left\langle \left( \begin{matrix}&& 23& \\&& -11& \\&& 6& \\\end{matrix} \right),\left( \begin{matrix}&& 0& \\&& 1& \\&& 0& \\\end{matrix} \right) \right\rangle =23\times 0+\left( -11 \right)\times 1+6\times 0=-11\]对第二个表达式也可以做类似的事情：\[\left\langle \left( \begin{matrix}&& 23& \\&& -11& \\&& 6& \\\end{matrix} \right),\left( \begin{matrix}&& \frac{6}{7}& \\&& \frac{2}{7}& \\&& -\frac{3}{7}& \\\end{matrix} \right) \right\rangle =23\times \frac{6}{7}+\left( -11 \right)\times \frac{2}{7}+6\times \left( -\frac{3}{7} \right)=\frac{138}{7}-\frac{22}{7}-\frac{18}{7}=14\]
总结如下：如果B是某个实线性空间中的一组正交基，那么对该空间中的任一x，有：
\[x=\sum\limits_{b\in B}{\frac{\left\langle x,b \right\rangle }{\left\langle b,b \right\rangle }b}=\sum\limits_{b\in B}{\frac{\left\langle x,b \right\rangle }{{{\left| b \right|}^{2}}}b}\]也就是说，基向量前的系数是信号和基向量的内积比基向量和自身的内积(也就是模的平方)。特别地，如果正交基中的向量都是单位向量，也就是\(\left| b \right|=1\)，那么每个正交基向量前的系数就是x和b的内积，即：
\[x=\sum\limits_{b\in B}{\left\langle x,b \right\rangle b}\]
傅立叶级数(Fourier Series)
傅里叶级数的定义到处都是，我就不赘述了。直观上来理解，傅里叶级数将一段周期性的信号分解为用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数，wiki上的示意图很清晰地展示了这一点：
据说傅里叶最早提出这个东西是在他关于热传导的著作里，目的是解偏微分方程，他可能也没想到后来这么个小数学工具成了许许多多学科中的重要手段。为什么是三角函数呢，因为三角函数的一个性质：二次导数就是自身乘个系数。如果抛开数学和傅里叶变换的起源，三角函数代表的是简谐振动，而简谐振动是宏观物理世界里最常见的一种振动，这大概也是傅里叶变换为什么应用这么广的原因之一。有点跑题，回到傅里叶级数，先回想前面提到过的公式：\[v=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+...+a_{k}v_{k}\]如果我们想象一段离散地、有限的时间信号，假设采样点有k个，我们不妨把这段时间信号看做是一个大小为k的向量，于是这段时间信号应该也可以用如上的表达式表达出来，其中\(v(t)\)就是在第t个时间点(第t维)的值，于是有如下：\[v(t)=a_{1}v_{1}(t)+a_{2}v_{2}(t)+...+a_{k}v_{k}(t)\]再做点简单修改，设想有个向量\[f=v+\frac{1}{2}{{a}_{0}}\left( \begin{matrix} 1 \\ \vdots \\ 1 \\ \end{matrix} \right)\]其中\(f, v \in R^{2k} \)， 那么\(f(t)\)可以表达如下\[f(t)=\frac{1}{2}a_{0}+a_{1}v_{1}(t)+a_{2}v_{2}(t)+...+a_{k}v_{k}(t)+b_{1}w_{1}(t)+b_{2}w_{2}(t)+...+b_{k}w_{k}(t)\]有没有觉得很眼熟？设想如果这个信号恰好是个周期为\(2\pi \)，那么把\(v_{n}(t)\)换成\(\cos(nx)\)，\(w_{n}(t)\)换成\(\sin(nx)\)，也就是在频域按频率的分解近似，得到如下：\[f(t)=\frac{1}{2}a_{0}+ \sum_{n=1}^k a_{n}\cos(nt) + \sum_{n=1}^k b_{n}\sin(nt)\]记得我们前面提到过正交基的概念，那么三角级数构成的基是否正交基呢？答案是肯定的，一般来讲，对于自然数m, n，如果\(m\ne n\)则有：\[\int\limits_{-\pi }^{\pi }{\cos \left( mx \right)\cos \left( nx \right)}dx=0 \\\int\limits_{-\pi }^{\pi }{\sin \left( mx \right)\sin \left( nx \right)}dx=0 \\\int\limits_{-\pi }^{\pi }{\cos \left( mx \right)\sin \left( nx \right)}dx=0 \] 看到这里可能要问了，这个是内积吗？答案：是，在连续实区间\(\left[ a,b \right]\)上的内积就是这么定义的：\(\left\langle f,g \right\rangle =\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)g\left( x \right)dx}\)。直观的解释就是求内积后再除以维数，也就是说求每一维上乘积的平均值，再推广到无限维来类比连续区间，就变成了乘积的积分。回到上面的三个公式，证明很简单，就是利用积化和差的公式将乘积化成两个三角函数，然后求最积分，这里就略过了，有兴趣看更多可以点击，在此附上wiki的直观动画解释一幅：将以上推广到\(k\rightarrow \infty\)，得到如下：\[f(t)=\frac{1}{2}a_{0}+ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\cos(nt) + \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin(nt)\]这正是傅里叶级数。再次回想之前总结的，正交基向量前的系数就是信号在基向量上的投影和基向量模的比值，而内积则是投影乘以基向量模的大小，那么系数就是内积除以模的平方(也就是第一部分最后的那个公式)。所以我们随便挑出一个基\(\cos(nt) \)，那么它的模是多少呢？在这里再不严谨地推广一下，想象在\(\left[ -\pi ,\pi& \right)\)上的一个基向量，k个等间隔采样的情况下，该向量的模就是每个采样值的平方和开根号。那么系数呢，就是内积除以模的平方，也就是内积除以基向量所有维上的平方和，如下：\[{{a}_{n}}=\frac{\left\langle f,\cos \left( nt \right) \right\rangle }{{{\left| \cos \left( nt \right) \right|}^{2}}}=\frac{\left\langle f,\cos \left( nt \right) \right\rangle }{\left\langle \cos \left( nt \right),\cos \left( nt \right) \right\rangle }=\frac{\sum{f\left( t \right)\cos \left( nt \right)}}{\sum{{{\cos }^{2}}\left( nt \right)}}\]求和之后的比值和求平均之后的比值是一回事，所以又有如下：\[{{a}_{n}}=\frac{\frac{1}{k}\sum{f\left( t \right)\cos \left( nt \right)}}{\frac{1}{k}\sum{{{\cos }^{2}}\left( nt \right)}}\]事实上，上两个式子就已经能求出离散情况的近似系数了，不过更一般地，我们可以不严谨地推广一下到无限分割的情况，是不是就觉得眼熟了，又是积分(其实就是前面提到的连续函数内积)：\[{{a}_{n}}=\frac{\int\limits_{-\pi }^{\pi }{f\left( t \right)\cos \left( nt \right)dt}}{\int\limits_{-\pi }^{\pi }{{{\cos }^{2}}\left( nt \right)dt}}\]同样地利用积化和差公式\(\int\limits_{-\pi }^{\pi }{{{\cos }^{2}}\left( nt \right)dt}\)的值不难求出来，反正我用求了一下，答案是\(\pi \)，于是得到系数的表达式：\[{{a}_{n}}=\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\pi }^{\pi }{f\left( t \right)\cos \left( nt \right)dt}\]类似的对\(\sin(nt) \)项进行推导，也能得到：\[{{b}_{n}}=\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\pi }^{\pi }{f\left( t \right)\sin \left( nt \right)dt}\]
推广到傅里叶变换
从傅里叶级数到傅里叶变换其实基本上就是教科书上那一套了，首先将\(2\pi \)周期推广到任一周期，然后到周期无穷大的推广(正交基的推广会比较复杂)，同频率的\(\sin \)和\(\cos \)项合并，并引入复振幅和相位便于计算，还有离散情况的推广等等，和线性代数的关系不大，所以就不展开讲了。总之万变不离其宗，只要记住傅里叶分解之后的每个频率上的分量其实本质上就是投影；而各项相加或积分，本质上就是线性空间上的相加，一切就变得直观易懂了。
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