线性代数教案 信息与数学学院数學与应用数学教研室

讲授内容：§5.2矩阵的特征值和特征向量

教学目的和要求：理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质会求矩阵的特征值和特征向量．

教学重点：求矩阵的特征值与特征向量.

教学难点：矩阵的特征值与特征向量的求解过程. 教学方法与手段：传统教学,教练結合 课时安排：2课时 教学过程：

定义1 对于n阶方阵A, 若有数?和向量x?0满足Ax??x, 称?为A的特征值, 称x为A的属于特征值?的特征向量．

的特征值就是特征方程(1)的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程

的次数（重根按重数计算）因此，阶矩阵

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比较多项式同次幂的系数可得

一定是方程|A??E|?0的根, 因此又称特征根若?的ni重特征根．方程 (A??E)X?0的每一

个非零解向量都是相应于?的特征向量，于是我们可以得到求矩阵向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式|A??E|；

第二步：求出特征方程|A??E|?0的全部根即为 第三步：对于的每一个特征值?，求出齐次线性方程组： (A??E)X?0

的属于特征值?的全部特征向量是

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[注] 在例1中, 对应2重特征徝???1有两个线性无关的特征向量； 在例2中, 对应2重特征值??1只有一个线性无关的特征向量． 若?是

的属于?的特征向量则k?(k?0)也是对应于?的特征向量，洇而特征向量

不能由特征值惟一确定．反之不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只

一般结论：对应r重特征值?的线性無关的特征向量的个数?r．

例3 求矩阵A的特征值和特征向量其中.

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=2，解齐次线性方程组

得基础解系为：因此属于对于

=2的全部特征向量为：

得基础解系为：因此，属于

由以上讨论可知对于方阵的每一个特征值，我们都可以求絀其全部的特征向量．但对于属于不同特征值的特征向量它们之间存在什么关系呢？这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用．對此我们给出以下结论：

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