考研数学重难点：求不定积分的方法
不定积分关于有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法，是考试的难点、重点。不定积分为后面有关定积分的计算、求解一阶线性微分方程奠定了基础。因为定积分的计算方法与不定积分是一样的，所以掌握不定积分的计算方法很重要。而一阶微分线性微分方程，作为微积分的应用之一，会用到不定积分求法。现分别从涉及的知识点、考查方式、求法、真题链接等四个方面进行分析。
一、涉及的知识点及考查形式
可涉及的知识点有，原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公示，不定积分的换元积分法与分部积分法，有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分虽然是数一、二的要求，但在求有关积分的计算时很有用，数三的同学最好也能掌握。，
考查形式根据数学类型有所不同，数二、数三主要是解答题的形式，直接考查，而数一一般不直接考查，间接应用计算方法。
不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查，考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题，尤其是综合性的习题，才能真正掌握知识点，并应用于考研。
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关于不定积分教学的思考
　　【摘要】不定积分是高等数学教学中的重要内容，其计算方法灵活多变，技巧性强，是教学的重点和难点.本文针对学生学习不定积分存在的一些问题展开分析讨论，旨在帮助学生更好地掌握各种积分方法. 中国论文网 /9/view-4507967.htm　　【关键词】不定积分；换元积分；分部积分 　　【中图分类号】G642 　　【文献标识码】A 　　不定积分是微积分学的重要组成部分，在整个微积分中起到承上启下的作用.一方面，不定积分运算与导数运算互为逆运算；另一方面，不定积分的知识和方法是后续定积分学习的基础.在教学中，笔者发现许多学生对这一部分的内容掌握情况欠佳，学习中存在很多困难，以下是关于不定积分教学的几点思考. 　　一、深刻理解不定积分法则 　　不定积分的法则如下： 　　法则1∫kf（x）dx=k∫f（x）dx（k为常数） 　　法则2∫[f（x）±g（x）]dx=∫f（x）dx±∫g（x）dx （可推广到有限项） 　　法则1指被积函数中含有常数时，常数可以直接提到积分符号的外面.但需要注意的是：积分号内部的函数不能提出.讲解这个法则时，学生可能觉得很简单，但在后续课程的学习中，学生往往会不由自主地把函数也提出来.例如，求不定积分∫111+4x2dx时，正确解法是： 　　∫111+4x2dx=∫111+（2x）2dx=112∫111+（2x）2d（2x）=112arctan2x+C. 　　有的学生凑微分可能凑的是d（1+4x2），并且发现d（1+4x2）=8xdx，因此把原式写成118x∫111+4x2d（1+4x2）的形式.其实，118x是积分号内部的函数，它根本不能提到积分符号的外面，所以这种解法与不定积分的法则1相违背，是不正确的. 　　法则2指和差的不定积分等于不定积分的和差，导数运算也具有这样四则运算法则，但不定积分并没有乘除法的运算法则，这也是造成不定积分计算难度大的重要原因.绝对不能把乘积的不定积分写成不定积分的乘积，如计算∫2xexdx时，不能写成∫2xdx·∫exdx.很容易验证它们是不相等的：∫2xdx=2x1ln2+C，∫exdx=ex+C，而2xex1ln2′=2xex（ln2+1）1ln2，这并不等于2xex.正确做法应该是把被积函数写成（2e）x，然后按照指数函数的积分公式进行计算. 　　对于被积函数为乘积（或商）的形式，尽量化为和差形式后再积分，如果不能化简，可考虑换元积分和分部积分法解决. 　　二、根据被积函数的特征选取合适的积分方法 　　求解不定积分的常用积分方法有直接积分法、第一类换元积分法（凑微分法）、第二类换元积分法、分部积分法等.许多学生对这几种求不定积分的方法都已经掌握，但关键问题在于不知该用哪种方法计算，解题不知从何下手.笔者认为正确的思考顺序应该是： 　　直接积分法1 凑微分法 1 第二类换元积分法/分部积分法. 　　直接积分法是最简单、最基本的积分方法，是直接利用不定积分的公式和法则对被积函数进行积分，部分函数需要先适当变形后再直接积分.如果通过对被积函数的观察分析，确实不能直接积分的，可以考虑凑微分法.能够用凑微分法计算的不定积分，被积函数大多都是乘积（或商）的形式，这也正是积分法则不能解决的积分问题.这些函数的因式之间一般具有某种特殊关系，我们用式子∫f[φ（x）]φ′（x）dx来表示，通过凑φ（x）的微分，然后换元解之.即∫f[φ（x）]φ′（x）dx凑微分∫f[φ（x）]dφ（x）令φ（x）=t∫f（t）dt积分F（t）+C还原F[φ（x）]+C.在解题时，需要结合常用形式的凑微分来寻找这种关系. 　　直接积分和凑微分的方法因为步骤简单，书写方便，所以在解题时应首先考虑这两种方法.第二类换元积分法，解决被积函数含有根式的积分问题.当然，并不是被积函数中含有根式就必须用二类换元，前两种方法也能处理部分含有根式的积分，如∫11xdx，∫sinx1xdx，∫111-x2dx.如果不能使用直接积分和凑微分法，被积函数中含有根式的，可使用第二类换元积分法解题，目的是通过换元去掉根式. 　　分部积分法是通过分部积分公式，将积分∫udv转化为积分∫vdu，从而降低积分难度.分部积分法大多也是解决被积函数为乘积形式的积分问题，与凑微分的区别在于被积函数各因式之间没有什么关系，相互不能凑微分.但转化为积分∫vdu的过程又与凑微分相似，因此，初学者容易将这两种方法混淆.另外，熟悉使用分部积分法的常见题型，也是掌握这部分内容的关键.如∫xsinxdx，∫xexdx，∫xlnxdx，∫arctanxdx，∫excosxdx等都是使用分部积分法的常规类型. 　　三、灵活掌握各积分方法，综合利用它们解决积分问题 　　不定积分的公式是求解各类积分的基础，在解题过程中会反复使用.所以，要求学生一定要牢牢记住，并熟悉将这些公式中变量x换成其他形式时所使用的公式原型.如积分公式∫dx=x+C大家可能很熟悉，而积分∫dex就觉得陌生了，其实，只需令ex=u，则∫dex=∫du=u+C=ex+C，它们使用的是同一个公式原型.这样的情况在积分问题中常会遇到，需要学生有扎实的基本功和敏锐的洞察力. 　　凑微分是积分方法中使用起来最灵活的一种，基本积分公式结合常用凑微分，使得积分题目千变万化，表示如下： 　　例如：∫113x+1dx，∫11xlnxdx，∫ex11+exdx三个题中，分别使用dx=113d（3x+1），11xdx=dlnx，exdx=d（ex+1）这三种不同形式的凑微分，但最终利用的积分公式都是∫11xdx=ln|x|+C.积分公式与常用凑微分交叉使用，使得凑微分神奇多变.此外，同一种形式的凑微分，也不是一成不变的.如：cosxdx=dsinx=d（sinx+1）=112d（2sinx-3），需根据已知函数中出现的函数形式来决定凑微分的形式. 　　在解一道不定积分题时，可能会同时使用两种以上的积分方法，这需要学生思路清晰，有综合驾驭各积分方法的能力.如：∫arcsinxdx=xarcsinx-∫xdarcsinx=xarcsinx-∫x11-x2dx=xarcsinx+112∫111-x2d（1-x2）=xarcsinx+1-x2+C.此题先后利用分部积分法和凑微分法，要想做到融会贯通，需要通过大量的练习熟悉这些积分方法的常见题型，并在练习中不断巩固. 　　总之，不定积分的教学具有一定难度和挑战性，教师应精心设计教学环节，对积分方法进行归类比较，正确引导学生学习思考，通过对被积函数进行分析，选取合适的积分方法，并灵活应用，从而提高解题的能力. 　　【参考文献】 　　＼[1＼]胡刚.被积表达式为乘积式的不定积分求解分析＼[J＼].读与算，2012（7）：26-27. 　　＼[2＼]张燕，陈雪娇.浅谈不定积分分部积分法的教学＼[J＼].数学学习与研究，2012（13）：3.
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这个不定积分怎么解?有图
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如何解这个不定积分?这题需要用到不定积分中的换元积分法和分部积分法技巧,不懂可以问啊。解法:http://hiphotos.baidu.com/fin3574/pic/item/fde91cecefb9567.jpg大神给解一下这个不定积分dx/x*根号下的不定积分怎么解看做x^(负指数)求积指数幂函数求相同不定积分这题如何解,换元吗?向左转|向右转根号下的不定积分怎么解:这个好积的,没有那个r就不太好积了令x=r^2,0&=x&=2dx=2rdr原式=(1/2)∫根号...y∈[-π/2,π/2],dx=cosydy1-x^2=cos^2y开根=cosy因为cosy在这区间上非负原积分...这个不定积分怎么解?有图(图2)这个不定积分怎么解?有图(图4)这个不定积分怎么解?有图(图7)这个不定积分怎么解?有图(图9)这个不定积分怎么解?有图(图11)这个不定积分怎么解?有图(图14)这是用户提出的一个数学问题,具体问题为:这个不定积分怎么解?有图学路网 www.xue63.com 学路网 www.xue63.com 根号下的不定积分怎么解:这个好积的,没有那个r就不太好积了令x=r^2,0&=x&=2dx=2rdr原式=(1/2)∫根号...y∈[-π/2,π/2],dx=cosydy1-x^2=co防抓取，学路网提供内容。我们通过互联网以及本网用户共同努力为此问题提供了相关答案,以便碰到此类问题的同学参考学习,请注意,我们不能保证答案的准确性,仅供参考,具体如下:求这个不定积分的解要有过程谢谢∵∫e^xsin3xdx=∫sin3xd(e^x)=e^xsin3x-∫e^xd(sin3x)=e^xsin3x-3∫e^xcos3xdx=e^xsin3x-3∫cos3防抓取，学路网提供内容。用户都认为优质的答案:谁来解一下这个不定积分我出全部分数!∫dx/(1+x^4)=[∫(1+x^2)/(1+x^4)dx+∫(1-x^2)/(1+x^4)dx]/2=[∫(1+1/x^2)/(1/x^2+x^2)dx+∫(防抓取，学路网提供内容。求不定积分∫dx/√[x(1+x)]请问不定积分fsecxdx如何解?∫secxdx=∫secx?(secx+tanx)/(secx+tanx)dx=∫(secxtanx+sec^2x)/(secx+tanx)dx=∫d(secx+ta防抓取，学路网提供内容。原式=∫dx/√(x²+x)=∫dx/√[(x+1/2)²-1/4]=2∫dx/√[4(x+1/2)²-1]arcsinx的平方的不定积分怎么解?x-2∫xarcsinx/√(1-x²)dx=xarcsin²x-∫arcsinx/√(1-x²)d(x²防抓取，学路网提供内容。令2(x+1/2)=secu,则x=(1/2)secu-(1/2),dx=(1/2)secutanudu；代入原式,得：请问这个不定积分里常数C是怎么等出来的!如果令C2=C,则f(x)在x=-1处连续:左右极限相等1/2+C1=C-1/2即C1=C-1其他类似!防抓取，学路网提供内容。原式=∫(secutanu)du/√(sec²u-1)=∫secudu=ln(secu+tanu)+C不定积分高手进，这是不可积的吗？问：e^sinx的原函数。答：wolf可以明确告诉你，不可积。扔一个积分进去，如果不定积分存在，他会给出来。而且是复数域内都可以。。这个不可积。防抓取，学路网提供内容。=ln[(2x+1)+2√(x²+x)]+C24不定积分怎么积答：好吧，又见面了防抓取，学路网提供内容。======以下答案可供参考======求这个不定积分，要解答过程！答：设根号cosx=t,则x=arccost^2,dx=-2tdt/根号（1-t^4）,被积函数化为-2t^2/根号（1-t^4）,即-2（t^2）*[（1-t^4）^(-防抓取，学路网提供内容。供参考答案1:求证明:积的不定积分不等于不定积分的积！答：f(x)=1g(x)=1∫f(x)g(x)dx=∫dx=x+C∫f(x)dx.∫g(x)dx=∫dx.∫dx=(x+C1)(x+C2)=x^2+(C1+C2防抓取，学路网提供内容。答：∫ 1/√[x(1+x)] dx这个不定积分求出的原函数定义域和被积函数定义域...答：首先，不定积分它只是一个关系式（更确切的说它代表的是一个函数族），我们更关心的是这个关系式，而不是它的定义域，所以这里不必纠结它的定义域。更不必防抓取，学路网提供内容。=∫ 1/[(x+1/2)^2-1/4] d(x+1/2)不定积x²/根号下1-x²问：一个是我写的答案，请问步骤问题出在哪里，想不明白少掉的1/2是哪里漏了...答：你用错了公式防抓取，学路网提供内容。=ln |x+1/2+√(x^2+x) |+C高数题。高数题中不定积！希望数学达人和学霸帮...问：高数题。高数题中不定积！希望数学达人和学霸帮帮我。希望可以详细写...答：∫x/(1+cos²x)dx这个不是初等函数，不能求不定积分。防抓取，学路网提供内容。求这个不定积分的解要有过程谢谢∵∫e^xsin3xdx=∫sin3xd(e^x)=e^xsin3x-∫e^xd(sin3x)=e^xsin3x-3∫e^xcos3xdx=e^xsin3x-3∫cos3xd(e^x)=e^xsin3x-3e^xcos3x+3∫e^xd(cos3x)=e^xsin3x-3e^xcos3x-9∫e...谁来解一下这个不定积分我出全部分数!∫dx/(1+x^4)=[∫(1+x^2)/(1+x^4)dx+∫(1-x^2)/(1+x^4)dx]/2=[∫(1+1/x^2)/(1/x^2+x^2)dx+∫(1-1/x^2)/(-x^2-1/x^2)dx]/2={∫[d(x-1/x)]/[(x-1/x)^2+2]+∫[d(x+1/x)]/[2-(x+1/x)^2]}/2=(√2/4...请问不定积分fsecxdx如何解?∫secxdx=∫secx?(secx+tanx)/(secx+tanx)dx=∫(secxtanx+sec^2x)/(secx+tanx)dx=∫d(secx+tanx)/(secx+tanx)=ln|secx+tanx|+Carcsinx的平方的不定积分怎么解?x-2∫xarcsinx/√(1-x²)dx=xarcsin²x-∫arcsinx/√(1-x²)d(x²)=xarcsin²x+2∫arcsinxd(√(1-x²))分部积分=xarcsin&#17...
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