无穷小量究竟是否为零？ - 知乎319被浏览<strong class="NumberBoard-itemValue" title="9分享邀请回答44 条评论分享收藏感谢收起11633 条评论分享收藏感谢收起后使用快捷导航没有帐号？
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求教大侠们关于无穷小量的问题
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有一道题我一直没有弄明白这题是这样的：
两个无穷小量α和β之和α+β（）
A.仍是无穷小量，且至少与α，β中的一个同阶。
B.仍是无穷小量且可能比α，β的阶数都高。
C.仍是无穷小量且可能比α，β的阶数都低。
D.仍是无穷小量且和α，β的某一个等价。
望各位大侠能够帮忙解答一下，希望能有具体的证明过程。
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本帖最后由 崽崽喔喔 于
22:24 编辑
选B吗- -！之前我搞错了 a= x+x^2+[0(x)]^2.另一个b=-x+x^2+[0(x)]^2?
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A，怎么感觉像在做文科的题目
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崽崽喔喔 发表于
选B吗- -！之前我搞错了 a= x+x^2+[0(x)]^2.另一个b=-x+x^2+[0(x)]^2?
答案是B但是能不能用理论推倒出来啊！
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哈工大{2012} 发表于
答案是B但是能不能用理论推倒出来啊！
就是令一个无穷小a(x)=x+x^2+[0(x)]^2这种形式，另一个展开为 b(x)=-x+x^2+[0(x)]^2。他们一加消掉了一些项是高于a(x),b(x)
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A,不同阶的无穷小量的线性组合为低阶的无穷小，当阶数相同时和还是同阶。不要管减号，减号拿到0()里去。如o(x)-o(x)=o(x)
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D吧，o（x?）+o（x?）=o（x?）&&我在上黄庆怀辅导班的时候特意讲过的，无论怎么变都是根据大的来。因为x趋向0
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华夏不倒翁 发表于
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无穷小量，这个概念无疑困扰着一代又一代受过现代数学训练的同胞们。这是很自然的事情，因为它可以让人从直觉上意识得到，却又难于精确地把握：无穷小是什么？是不是可以精确定义的数学概念？它是一个数？还是一段长度？能不能对无穷小做计算？诸如此类等等。由于这个概念几乎天然的和各种哲学式的思辨联系在一起，使得甚至哲学家们也对它颇为关注。
关于无穷小的讨论者，最著名的大概莫过于莱布尼茨，他花了大把的精力试图精确阐述无穷小的概念，并以此作为整个微积分学的基石。在莱布尼茨看来，无穷小是一个比任何数都小但是不等于零的量，对它可以做四则运算，尤为关键的是可以做除法：两个相关的无穷小量的比值就是一个函数的导数。以此为基本语言，他开始建立微积分学的基本理论，算是基本上成功了。直至今天，数学家采用的关于微分的记号仍然来自莱布尼茨，而数学学科内部关于微积分学的专门称呼—“分析学”—也来自于莱布尼茨自己对他的理论的叫法—“无穷小分析”。
可是，也许你想不到的一件吊诡的事情是：尽管莱布尼茨在微积分学的建立过程里做出如此重要的贡献，他的思想的基石——无穷小量——却是一个在今天的数学语言里被完全抛弃了的概念。
时至今日，这个词尽管在很多数学书里仍然会出现，但是这时它仅仅作为一个纯粹修辞上的词汇而不是严格的数学概念，人们通常用它来指代“极限为零的变量”，也有的时候它被用来作为对微积分运算中的某些符号的称呼，但是无论何时，人们在使用它的时候都明确的知道自己想说什么，更关键的是，人们知道自己并不需要它，而只是偶尔像借助一个比喻一样借助它罢了。
时光得回到17世纪，当莱布尼兹基于无穷小建立微积分理论之后，人们发现，这个词汇除了带来混乱之外并没有什么特别的用处。于是作为一种语言，它被丢弃了。事实上，即使在莱布尼茨的同时期人看来，无穷小也是一个有点让人不舒服的词：比任何大于零的数都小，却不是零。
我们当然可以把它仅仅作为一种人为的逻辑概念来使用，可是这样一个怪东西的存在，既使得数学的基本对象——实数的结构变得混乱，也在很多场合带来了麻烦的难于回答的问题（尽管它也确实带来了不少方便）。更为重要的是，无穷小量的概念违背了阿基米德公理。我们先跑偏几步，来看看阿基米德公理是何许人也。
在分析学蓬勃发展的十八世纪，一代又一代数学大师为此争论不休，大家混乱而各行其是地使用这个词，却没人能说清楚它的精确含义。终于从十九世纪初期开始，以柯西（Cauchy）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）为代表的一大批数学家开始为微积分学的严密化做出了大量的工作，他们试图在完全不采用“无穷小量”这个概念的前提下重新建立整个微积分学，而是以“极限”这个概念作为微积分的基础，这也是我们现在高等数学课本中一直采用的。
那么，回到这个词最本源的意义：到底有没有这样一个量，比一切给定的正实数都小却又不是零？或者这个问题还有一系列等价的提法：在直线上存不存在两个“相邻”的点，其距离比任何正实数都要小？存不存在“长度”的最小构成单位？
在今天我们已经能够确定无疑的回答这些问题了：不，不存在。是不是数学家说无穷小量不存在，这个词就没意义了呢？这又回到了前面我们屡次面对的那个关于数学断言的权威性的问题。如果承认无穷小是一个有关数的概念，那么，数学家的工作已经告诉我们，在实数理论中没有无穷小的位置。只不过现在我们从高等数学老师那里听到的，只是老师们为了表述方便，但正是因为这样，也增加了误导我们的概率。
资料来源：
https://www.zhihu.com/question//answer/
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利用等价无穷小量求极限时应注意的问题及错误剖析
&&数学分析教材中无穷小这部分内容所占篇幅仅仅几页,对其的讲解也只是一带而过,未作深入解析,学生在学习过程中难免对这一概念理解不够,在应用时往往会出现一些这样那样的错误,本文对错误的根源做了比较详细的分析,给出了应用等价无穷小量在求极限中应注意的几个问题,这对于学生掌握等价无穷小量代换方法有着重要的意义.
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无穷小量怎么理解
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无穷小量是一种很小的量，即以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量X无限接近X0或X的绝对值无限增大时，函数f(x)与0无限接近。即f(x)→0（趋近于0）或f(x)=0
它是一个什么具体的数吗？
不是，是一个趋近0的变量，而不是具体的数。
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来自团队：
无穷小量就是一个函数的变量极限是0请注意,这里是变量的极限是0,而不是数量是0当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量
它是一个具体的数吗？
还是一个函数？
你看到变量就应该知道是个函数啊
这个数无限小，接近于0，但不是0
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无穷小分析的著作
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