教材作为师生进行教学活动的主要参考资料
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学校编号 学 号10394图书分类号 密 级全日制学术学位研究生硕士学位论文高中教材中数学史的研究 Study on history of mathematics in high school textbooks学 科 专 业： 课程与教学论 研 究 方 向： 数学课程与教学论 指 导 教 师： 申请学位级别： 教育学硕士论文提交日期： 论文评阅人： 论文答辩日期： 答辩委员会主席： 学位授予单位： 学位授予日期：年 年月 月日 日福建师范大学 年 月 日2014 年 4 月&&&&摘要中文摘要《普通高中数学课程标准 （实验） 》 指出： 数学课程应适当介绍数学发展的历史、 应用和趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展 的推动作用，数学学科的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神??数学 史作为数学文化的重要组成部分，在诠释数学文化和推动素质教育方面发挥着重要 作用. 本文从比较研究的角度对人教 A 版和苏教版高中数学教材（必修）中的数学史 进行了系统研究.首先，在分析教材中数学史特点的基础上，结合已有研究总结出教 材中数学史的功能.其次，对教材中数学史的数量、分布、类型，数学史涉及的历史 人物、信息载体、设计模式等进行了统计和分析. 研究发现，教材中数学史主要有三方面功能：激励功能、认知功能、文化功能. 教材中数学史主要分布在阅读与思考部分，出现在例题、习题中的数学史较少；数 学史中的历史人物多是中国、德国、英国和法国的数学家，其它东方文明古国较少； 数学史主要以文字形式呈现， 图形和图表较少； 数学史涉及的领域渗透到各个方面， 尤其是计算科学和物理学等.人教 A 版数学史较苏教版更细致，多联系本节知识学 习；最后给出编写教材的若干建议.关键词：数学史，教材，功能，分布，结构I&&&&摘要AbstractThe “Ordinary High School Mathematics Curriculum Standards (trial version) ” points out that mathematics curriculum should introduce properly the history of mathematics, application and tendency, the mutual promotion between society and mathematics, the ideological system of mathematics, the value of mathematics aesthetics and the creative spirit of mathematician......As an important part of mathematical culture, the history of mathematics plays an important role in explaining the mathematical culture and giving impetus to the Character Building Education. Research on the history of mathematics in high school mathematics textbooks of people’s education press(A) and Jiangsu education press is the purpose of this paper , and this paper is from the perspective of comparative study. First of all, this paper finds out the functions of the history of mathematics in textbooks which is based on the analysis on the characteristics of the history of mathematics and the current research. Secondly, this paper give statistics and analysis systematically on the number and type, distribution, the persons in history, information carrier and design patterns about the history of mathematics. Research found that there are three functions in the history of mathematics of textbooks: excitation, cognition and culture. the history of mathematics mainly in the part of Reading and Thinking, and the history in example and exercise is less. Mathematicians involving in history mainly come from China, England, French, German, and the other ancient nations’ are less. The history of mathematics is mainly presented in the form of text, and graphs and charts are less. Many fields are refers to the history of mathematics, especially the computation and physics. The history of people’s education press(A) is more detailed than the Jiangsu education press’ history, at the same time which often focus on the textbook knowledge. Finally, combining with the results of the study, I give some reasonable suggestions about compilation of textbook.Keywords:the history of mathematics, textbook, function, distribution, constructionIII&&&&中文文摘中文文摘数学史是数学文化的重要组成部分， 《普通高中数学课程标准（实验稿） 》明确 强调数学文化在中学数学教学中的重要作用，相应的在选修课程中也特别安排了数 学史选讲内容； 目前， 以数学史为主题的论文也广泛见诸相关数学教学杂志和会议， 特别是自 2005 年以来， 国内每隔两年举办一次的数学史与数学教育国际研讨会更是 引起了相关人士对数学史融入数学教学的关注；实践中，以数学史为素材进行的教 学设计也得到了许多一线教师的青睐，取得了良好的效果 .但相对其它相关研究而 言，对数学史融入数学教学的关注度还不够，甚至存在许多误解，诸如认为课堂上 讲数学史是浪费时间，讲数学史只是为了唤起学生的好奇心，对成绩的提高没有太 大帮助等等.归根结底，问题的产生还是对数学史融入教学的价值、意义、途径和方 法等没有深入研究. 教材作为师生进行教学活动的主要参考资料，是进行数学史融入数学教学的重 要载体.本文就数学教材中数学史的功能、 内容分布、 数量、 结构等进行了系统研究， 希望唤起广大教师对数学史融入数学教学的重视，加深对教材中数学史的理解，同 时对自身专业素养的提高也有积极作用. 本文主要针对高中数学教材中数学史功能和教材中数学史内容分布及其结构进 行研究.在绪论部分阐述了数学史融入教学的价值、途径、原则和效果等，并给出本 文的研究视角和方法.具体研究框架见图 1.V&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文人教 A 版与苏教版教材数学史的比较研究相关研究综述教材中数学史功能数学史内容分布及结构研究数 学 史 融 入 教 学 的 价 值数 学 史 融 入 教 学 的 途 径数 学 史 融 入 教 学 的 原 则数 学 史 融 入 教 学 的 效 果激 励 功 能认 知 功 能文 化 功 能正 文 中 的 数 学 史习 题 中 的 数 学 史阅 读 材 料 中 的 数 学 史数 学 史 中 的 历 史 人 物数 学 史 的 呈 现 视 角数 学 史 的 内 容 载 体数 学 史 的 设 计 模 式图 1 本文研究框架 笔者以数学史为主题词对《数学教育学报》和《数学通报》年的47篇 相关文章进行了统计，发现数学教育领域对数学史融入教学的关注度逐年增加，但 多集中于相关理论的阐释和思辨研究，针对中小学课堂教学实践和相关课程开发的 研究较少. 在数学史融入教学的功能部分，结合已有研究，发现其主要体现在三个方面： 激励功能、认知功能和文化功能.具体而言数学家的趣闻轶事可以激起学生的好奇 心，数学家的精神可以帮助学生树立学习的信心等；通过数学史可以帮助学生深入 理解数学知识的发展过程和概念的本质，还可以借用数学史中的思想方法作为教学 设计的素材等；数学史的文化属性有助于学生从人文的角度理解数学，感悟数学和 人文的联系. 数学史融入教学的方式主要体现在课堂教学和教材设计两方面，根据汪晓勤等 人的研究，数学史的运用依次划分为以下几种水平：点缀式、附加式、复制式、顺 应式和重构式.国内运用数学史的方式主要是点缀式和附加式.数学史融入教学应遵 循科学性、思想性、多样性、可接受性、趣味性等基本原则.数学史融入教学的效果 不太理想，主要体现为以下四点矛盾：融入数学史所占用的时间和教学进度之间的 矛盾；学生对成绩的关注和数学史学习能否有效提高成绩之间的矛盾；教材编排顺 序和数学历史发展顺序之间的矛盾；教师对数学史教学设计的期望和缺乏必要的参VI&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文考资料和人员协助之间的矛盾. 关于教材中数学史功能的研究，笔者结合教材中的具体实例，总结出三点：激 励功能、 认知功能和文化育人功能.最后给出在把握教材中数学史功能的同时要注意 的几点问题：数学史各项功能的发挥需要相辅相成，逐渐渗透，不可喧宾夺主；数 学史教学功能的发挥需要教师的主动学习和有效引导；研究数学史教育功能应该以 有效利用数学史为归宿. 关于教材中数学史的内容分布及其结构是本研究的重点内容，本章对两套必修 教材的数学史从多角度进行了比较研究.根据教材中数学史所处的位置和组成， 依次 确定了以下比较维度：正文中的数学史、习题中的数学史、阅读材料中的数学史、 数学史中的历史人物、数学史的呈现视角、数学史的信息载体、数学史的设计模式. 在每一维度， 又根据数学史的具体表现形式进行了详细划分， 具体如表 1 所示.其次， 笔者对细分后的维度又从数量方面进行了统计和比较，并结合相关理论进行了定性 分析. 表 1 比较维度的划分 正文中的数学史 引 言、例 题、其 它 数学史中的历史人物 人 物、国 度、职业 习题中的数学史 习 题、实习作业 阅读材料中的数学史 注 记、阅读与思考 设计模式数学史呈现视角数学史的信息载体绘画、游戏、计算机、 文字、图文、图像、 K ? H、 H ? K、 天文、生物、军事、 图片、图形 生活 K ?H研究发现两套教材中的数学史设置既有相同点又各具特色.首先， 数学史数量基 本相同，且在必修 3 分布较多.两套教材在正文中的数学史主要以引言的形式出现， 以例题和其它形式出现的数学史较少.以习题形式出现的数学史并不多，但相对来 讲，苏教版比人教 A 版多一些，该部分的数学史可进一步分为：史料改编、古算、 背景材料和数学与其它相关领域. 以阅读材料形式出现的数学史是教材中数学史的主要组成部分，由注记和阅读 与思考两部分构成，主要集中在阅读与思考，为此笔者对该部分数学史内容的侧重 点和构成进行了细致研究，按照其内容的侧重点分为四个方面：数学概念发展、思 想方法介绍、数学故事和数学与其它，按照其构成又分为七个方面：研究背景、方 法与思路、困难与曲折、不足或失误、个性或感受、数学争论、对过程的评论.研究VII&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文发现，两套教材关于阅读与思考部分数学史内容的侧重点和构成所关注的方面基本 相同；且都比较关注研究背景和方法思路的介绍，较少反映数学家遇到的困难挫折 和失误. 数学史中的历史人物， 涉及相关人物的职业及其国度.研究发现， 两套教材都提 到一些数学发展史中的关键人物；且西方数学家明显多于东方数学家，东方数学家 以中国最多；个别数学史适当涉及其他领域的历史人物，但不是很多. 数学史的呈现视角被定义为数学在人类生活中的应用，该部分对涉及到数学应 用的数学史进行了划分和统计，主要体现在七个方面（见表 1） ，研究发现大部分数 学史能结合具体数学知识对相关领域进行一定剖析，便于学生理解. 统计发现文字表述是数学史呈现方式的主要载体， 这是符合高中生认知特点的， 但辅以适当的图形和图表更能增强数学史的亲和力. 数学史的设计模式总结为三类：数学史引出数学知识（简记 H ? K，主要集中 在章节前的引言部分） 、数学知识引出数学史（简记 K ? H，主要集中在注记和部分 阅读与思考栏目） 、数学知识和数学史相互渗透（简记 K ? H，主要集中在数学史 案例设计和一些专题中）.统计发现以数学知识引出数学史的设计模式最多，而相互 渗透的设计模式最少；其次对 K ? H 模式进行了重点分析，并给出若干教学建议. 最后结合以上研究， 笔者提出教材编写的若干建议： （1)数学史的选取应有利于 教师在实际教学中的具体操作， 同时考虑到学生的理解能力； （2)阅读材料中的数学 史应尽可能体现数学家遭遇困惑、 挫折或失败的经历； （3)数学史的内容设置应考虑 史料的可读性和趣味性； （4)数学史应适当体现少数民族的历史文化特色； （5)数学 史的呈现方式应该更加丰富多彩； （6)数学史应适当增加近现代数学家的数学成就和 数学在现代生活中的广泛应用； （7)不同版本教材的数学史设计既要体现特色， 更要 注重统一.VIII&&&&目录目录中文摘要 .............................................................................................................................. I Abstract ............................................................................................................................ III 中文文摘 .............................................................................................................................V 目录 ................................................................................................................................... IX 绪论 ................................................................................................................................. - 1 第一节 研究背景 ........................................................................................................... - 1 第二节 研究内容 ......................................................................................................... - 3 第三节 相关研究综述 ................................................................................................. - 3 3.1 数学史融入数学教学的价值 .................................................................................. - 5 3.2 数学史融入数学教学的途径 .................................................................................. - 7 3.3 数学史融入数学教学的原则 ................................................................................ - 10 3.4 数学史融入数学教学的效果 ................................................................................ - 11 第四节 研究方法和思路 ............................................................................................. - 12 第五节 相关概念界定 ................................................................................................. - 13 第一章 教材中数学史教育功能研究 ....................................................................... - 15 -第一节 激励功能 ......................................................................................................... - 15 1.1 励志功能 ................................................................................................................ - 15 1.2 激趣功能 ................................................................................................................ - 16 第二节 认知功能 ......................................................................................................... - 17 2.1 有利于了解数学概念产生的历史背景 ................................................................ - 17 2.2 有利于理解数学概念的本质 ................................................................................ - 18 2.3 有利于掌握数学思想方法 .................................................................................... - 20 第三节 文化育人功能 ................................................................................................. - 22 第四节 结论与建议 ..................................................................................................... - 24 第二章 教材中数学史的内容分布及结构研究 ......................................................... - 27 第一节 教材中数学史的内容分布研究 .................................................................... - 27 1.1 正文中的数学史 .................................................................................................... - 28 -IX&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文1.2 习题中的数学史 .................................................................................................... - 30 1.3 阅读材料中的数学史 ............................................................................................ - 31 第二节 教材中数学史的内容结构研究 ..................................................................... - 37 2.1 数学史中的历史人物 ............................................................................................ - 38 2.2 数学史的呈现视角 ................................................................................................ - 40 2.3 数学史的信息载体 ................................................................................................ - 41 2.4 数学史内容的设计模式 ........................................................................................ - 42 第三节 结论与建议 ..................................................................................................... - 44 第三章 总结与展望 ..................................................................................................... - 47 第一节 研究的主要结论 ............................................................................................. - 47 第二节 研究的不足 ..................................................................................................... - 48 附录 1 人教 A 版教材中的数学史 ............................................................................. - 49 附录 2 苏教版教材中的数学史 .................................................................................. - 53 参考文献 ....................................................................................................................... - 57 -X&&&&第一章 教材中数学史教育功能研究绪论本章主要介绍了研究的出发点与目的、研究的主要问题和范围，并以文献综述 的形式阐述了数学史融入数学教学的价值、途径、原则和效果等，最后给出本研究 的研究视角和研究的基本思路.第一节 研究背景数学是一门被公认的高度抽象和难学的科目，正因为抽象所以难学.较之其它学 科，高中数学的学习需要学生付出更多的时间和精力，因此培养学生对数学的兴趣， 加深学生对数学的认识就显得尤为重要，很难想象一个对数学学习存在畏难情绪的 学生能将数学学习坚持三年之久，也很难想象这样的学生（即认为数学是由单纯的 逻辑推理和繁琐的计算过程来描绘的）能体验到数学真正的美，即便是可以，其所 体验到的痛苦也是可想而知的！数学可以被教得很好，令学生乐此不疲；数学也可 以被教得很差，让学生望而生畏.传统的以知识传授为主要目的，以方法和技能训练 为主要手段的数学教学方式，不能不说是造成许多学生厌恶数学的主要原因之一.实 际教学中， 教师呈现给学生的往往是严谨的逻辑推理过程以及完美无缺的数学结论， 缺乏概念产生时的火热思考以及数学家所经历的挫折与困惑；教师教给学生的往往 是一些最终会被学生遗忘的方法技巧， 却忽略了让学生终身受用的数学思想的渗透； 教师传授给学生的是具体的数学知识，却忽视了从宏观上对数学知识的梳理和把握. 从广义上看，文化即是人类创造的所有物质文明和精神文明的总和.数学本来具 有文化的属性，具体体现在数学发展和人类历史文明发展之间的相互作用.但在实际 教学中，这种文化属性却被淹没在形式化的海洋里.数学家丁石孙教授指出：我们长 期以来不仅没有认识到数学的文化价值.甚至不了解数学是一种文化……这种状况 在相当程度上影响了数学研究和数学教学.齐民友先生也指出：一种没有相当发达的 数学文化的民族是注定要衰落的，一个不把掌握数学作为一种文化的民族也是注定 要衰落的.我们无意于否定数学在培养学生逻辑思维方面无法取代的地位，但数学的 文化属性终究决定了数学是有可能被教的更好、更讨学生喜欢、更具有人文气息的！ 数学史是数学文化的主要载体，有时甚至和数学文化等同使用.数学史主要研究 数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化 的联系，给人以启迪和明鉴.作为教育取向的数学史关注如何将数学史的学术形态转-1-&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文化为教育形态，进而有效地指导数学教学，比如：在课堂教学中适当呈现与数学相 关的历史图片、介绍数学家的生平、历史上的趣闻轶事、以数学史为背景设计数学 问题等都可以激发学生的学习兴趣；尤其是数学家的奋斗史和克服困难的过程可以 很好的激励学生；同时数学史中蕴含着丰富的数学思想方法，如运用祖暅原理推导 球体和锥体的体积公式、受勾股定理证明过程的启发而推导余弦公式等；数学史为 我们展示了数学发展的全貌，站在历史的高度可以更好的审视数学概念产生和发展 的全过程， 厘清各数学分支的区别和联系， 构建合理的学科知识体系.可以肯定的是， 多掌握一些数学史知识的教师在解决问题时就会多一些想法和思路，在教学中会更 加游刃有余，传授给学生一些更富有启发意义的知识，使自己的课堂充满哲学思考 和人文气息，给学生以春风化雨之感觉.总而言之，数学的文化特性决定了数学史可 以作为数学教学的有效载体，发挥更加积极的作用. 近年来，关于数学史融入数学教学的理论和实证研究屡见不鲜，但对数学史“高 评价，低利用”的现象却时有发生.究其原因，一方面和广大中学数学教师自身的数 学史素养有关；同时也受到应试教育大背景的影响，由于数学史不能对提高学生成 绩带来立竿见影的效果，所以教师也就无暇顾及数学史的教学.但数学史对学生理解 数学进而树立正确的数学学习观起着举足轻重的作用，因此，就不得不引起广大教 师的重视.有研究表明，学生获得数学史知识的渠道主要是从课堂上、图书馆阅览或 通过网络学习, 其中56.6%的学生数学史知识的获得主要来源于教师在课堂上的介 绍，可见教师的引导作用对学生获得数学史知识的重要影响.教材中的数学史作为教 育取向的数学史的典型代表，其中蕴含着丰富的教育素材，是研究数学史融入数学 教学的重要素材， 同时也可以帮助教师理解教学内容， 创造性的使用教材， 做到 “用 教材教”而不是“教教材”[1].① 李保军，叶雪梅.人教 A 版与苏教版函数概念的比较研究[J].中学数学月刊.-48.-2-&&&&绪论第二节研究内容教材是教师进行教学活动的重要资源，对教材的合理利用可以使教学收到事半 功倍的效果.在《普通高中数学课程标准（实验）》指导下编写的数学教材设置了大 量与数学史相关的内容，广泛分布在教材的各章节.由于教材中的数学史是经过课程 专家精心筛选和经过教学法加工过的，所以能较好的体现新课程理念，且方便在教 学实践中的具体操作，因此成为广大教师首选的数学史教学资源.但实际情况却是， 教师在进行正文知识讲解时，往往对教材中的数学史只做轻描淡写的讲述或用三言 两语一带而过，有时为了节省课堂教学时间甚至弃之不用，这样就使数学史应有的 教育功能的发挥大打折扣或使其形同虚设.究其原因，主要是广大教师对数学史教育 功能、数学史在整个高中数学课程中的分布情况以及如何有效利用教材中的数学史 缺乏认识或理解偏颇. 基于以上分析，本文拟对高中数学必修教材中数学史功能、数学史的内容分布 及其结构和设计模式等问题进行系统研究.考虑到国内不同版本教材的编写特色和 设计模式的差异，同时为了增强研究的效度和信度，本文选取在国内被广泛使用的 人教A版和苏教版高中数学必修教材进行研究.第三节相关研究综述国外关于数学史融入数学教学的研究最早可以追溯到20世纪初， 甚至18世纪末， 但真正对此进行大规模的研究则是在20世纪80年代后，这既与国际数学教育研究的 日渐成熟有关，也是与一些著名的数学教育组织如NCTM和ICMI的积极呼吁分不开-3-&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文的[1]． 1972年， 数学史与数学教学关系国际研究小组 （International Study Group on the Relation between History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM）的成立，标志着 数学史和数学教育关系作为一个学术领域的出现.国内关于数学史与数学教学关系 的探讨可以追溯到1929年的《高级中学算学课程标准》以及1936年的《初级中学算 学课程标准》的教学建议，其中强调：凡教材具有特别历史兴味者，教师最好能随 时提及，以引起学生之兴趣[2].之后，关于数学史与数学教学的讨论时有出现，但有 针对性的研究并不多.2004年颁布的《普通高中数学课程标准（实验稿） 》指出：“数 学课程应适当介绍数学发展的历史、应用和趋势，数学对推动社会发展的作用，数 学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美 学价值，数学家的创新精神……”，并且设置了选修课《数学史选讲》，自此数学史 与数学教学的研究正式被广大中学教师和教学科研人员所关注.2005年4月第一届数12 学史与数学教育国际研讨会在西安召开，标志着我国数学史与数学教育关系的研究 10 得到很大发展，此后每隔两年都会举行一次，至今已经连续举办了 5届.近年来关于 8 数学史融入数学教学的研究时常会见于各种数学教育类杂志 .笔者对国内数学教育 数目类核心杂志《数学教育学报》和《数学通报》2004年至2013年间数学史与数学教育 相关文章进行统计，涉及相关文章47篇.具体见图2.2 0 46通过图2我们发现，数学史与数学教育类文章的数量基本上呈逐年递增趋势，尤 其是2009年、2012年和2013年最多，分别是7篇、10篇和9篇，窥一斑而见全豹，由①张晓贵，张雪.国外数学教学中引入数学史的研究概述[J].数学教育学报.-54. 65-68.① 康世刚，胡桂花.对我国“数学史与中小学数学教育”研究的现状分析与思考[J]. 数学教育学报. 04 年 20 05 年 20 06 年 20 07 年 20 08 年 20 09 年 20 10 年 20 11 年 20 12 年 20 13 年图2 年“数学史与数学教育”类文章统计-4-&&&&绪论此也反映出国内广大教师和教研人员对数学史融入数学教学的关注度逐渐增加. 进 一步研究发现，每篇文章所关注的角度不尽相同，有些文章注重理论分析和思辨研 究（简记“数学教育”），如讨论数学史融入数学教学的作用或设计模式；有些文章 针对某一学段的具体问题展开分析（一般这类文章的摘要或题目中会明确提及是哪 一学段），总结问题，提出建议，统计发现，这类文章主要涉及大学、高中、初中、 小学等不同学段，有的文章没有具体说明是哪一学段，但从文章所涉及的内容特点 可以发现其主要针对“中学数学”统一论述（简记“综合”）. 表2 所选文章范围及其归属 年 份 数 学 教 育 06 09 12 2013 合计 0 0 0 1 1 3 2 1 4 4 16 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 大 学 综 合 1 1 1 0 0 3 1 4 1 0 12 中 学 高 中 0 1 0 0 0 1 2 0 1 4 9 初 中 0 0 1 1 1 0 0 0 3 0 6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 小 学由表2容易发现，针对数学史融入数学教学的理论研究最多，共16篇；其次是关 于中学数学教学中融入数学史的研究， 其中又以综合论述中学数学教学类文章较多， 其次是高中数学类和初中数学类，最少的是小学类，只有一篇；我们欣喜的发现， 有3篇文章专门论述数学史融入大学数学教学，这在 HPM研究普遍关注中小学数学 教学的情况下是不多见的.由此可见，国内数学史融入数学教学的研究所关注的焦点 主要集中在中学数学教学以及对相关理论和一些基本问题的讨论 . 而对小学数学和 大学数学中融入数学史关注的比较少.当然这和中学数学知识的特点、不同学段学生 的认知水平以及相关数学能力培养的要求等因素有关. 3.1 数学史融入数学教学的价值 在数学教学中融入数学史的目的是为了提高数学教育质量，克服传统数学教学-5-&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文中存在的一些弊端，如：数学教学中的“掐头去尾，烧中段”；注重知识技能的掌握 和训练，而忽视知识产生的背景和在社会历史上的应用，缺少对数学思想方法的体 悟；人为地割断数学学科与人文学科之间天然的联系，使数学学习缺少人文气息等. 数学史融入数学教学的研究关注的内容包括：数学与其它学科的关系、多元文化的 数学、数学史与学生的认知发展、发生教学法、数学史与学生的困难、数学原始文 本在教学中的应用等[1].数学史融入数学教学研究的内容决定了数学史在提高数学教 育质量方面可以发挥更加积极的作用，同时对数学史融入数学教学价值的深刻认识 能够促使广大教师更加主动地运用数学史. 汪晓勤从课堂教学的角度论述了数学史的价值[2]，认为数学教育取向的数学史 可以为数学课堂教学提供相关材料，供数学教师课堂教学参考，如教学中可以穿插 讲解平面概念的历史、角概念的历史、向量概念的历史、均值概念的历史、均值不 等式的历史等；同时数学教育取向的数学史有助于获取相关知识点（概念、公式、 定理等）的教学启示,如有研究者通过对负数历史的研究得出启示：代数教学中，负 数的图形表示十分重要，如果不用线段、温度等来说明负数，现在的中学生就会与 早期代数学家一样，认为它们是荒谬的东西，又如初学函数概念时，将函数理解成 特定的表达式不应被认为是一个严重的错误. 罗增儒等从四个方面论述数学史在数学教育中的价值[3].首先数学史料有助于理 解数学发展，认识数学发展中的关键步骤和重大问题，并且对一些看似没有关系的 数学片段建构完整的认识，同时通过介绍数学家的故事，帮助学生认识到数学发展 并非一帆风顺，而是充满了困难与曲折，进而增强学生学习数学的信心.其次数学史 有助于学生认识数学思想的重要作用，如通过对相关数学发展的整体介绍，体会符 号化思想、坐标思想、微积分思想、方程思想、函数思想等.再次数学史有助于开发 学生的数学思维，如通过介绍数学家发明发现的生动过程，有助于学生理解掌握创 造方法、技巧，从而增强其创造力.最后，数学史在课堂中也可以发挥积极的作用. 台湾师范大学数学系洪万生认为[4]，教师运用数学史至少可以分为三个层次:说 故事，对学生的人格成长会有启发作用；在历史的脉络中比较数学家所提供的不同 方法，拓宽学生的视野，培养全方位的认知能力与思考弹性；从历史角度注入数学① 张维忠，汪晓勤.文化传统与数学教育现代化[M].北京大学出版社.. ② 汪晓勤，张小明.HPM 研究的内容与方法[J].数学教育学报.-18. ③ 张楠，罗增儒.对数学史与数学教育的思考[J].数学教育学报.-75. ④ 冯振举，曲京安.HPM视野下的数学新课程内容构成[J].课程.教材.教法.-56.-6-&&&&绪论知识活动的文化意义，在数学教育过程中实践多远文化关怀的理想.杨渭清从五个方 面论述数学史在数学教育中的价值[1]： 良好数学观形成的阶梯;学习热情激发的养料； 数学思想方法培养的载体；人文思想教育的参考；教师数学素养的精神源泉.傅海伦 从《全日制义务教育数学课程标准》的一个实例入手，重点论述了数学史在数学探 究活动中的作用，以及如何进一步实现情感态度和价值观的目标、体现数学知识之 间的联系、渗透数学思想方法教学等[2].朱哲，宋乃庆认为数学史的核心价值在于培 养学生的创新思维和创造能力[3],主要表现在用历史上的思想方法解决一个现在的数 学问题，从历史上的数学问题和方法中得到启示，提出一个新问题. 分析已有研究，我们发现数学史融入数学教育的价值主要体现在三个方面：(1) 激励功能.数学家的趣闻轶事可以激发学生的学习兴趣，数学家经历的困难挫折以及 克服困难的勇气可以帮助学生正确认识数学发展的过程，进而树立正确的数学观和 数学学习观.(2)认知功能.对相关数学概念发展线索的梳理有助于从宏观上把握概念 的发展和完善过程，对重大数学发现的剖析有助于从微观上认识和学习数学家发明 创造的过程，同时从历史的角度加深对数学思想方法的理解；以数学史为背景设计 教学可以培养学生的探究思维和创新能力.(3)文化功能.数学与人类社会发展有着千 丝万缕的联系，数学在发展过程中无疑会打上人类文化的烙印，在教学中渗透数学 史可以很好的发挥数学史的文化育人功能. 3.2 数学史融入数学教学的途径 数学史如何融入数学教学的研究主要集中在两个方面，即数学史在课堂教学中 的运用研究和数学史在数学教材中的运用研究. 汪晓勤在《HPM的若干研究与展望》一文中，通过对国内外相关研究的分析， 归纳出在课堂教学中运用数学史的四种模式[4]，具体见表3. 表3 课堂教学中运用数学史的四种模式 类 别 附加式 复制式 顺应式 描 述 展示数学家的图片， 讲述趣闻轶事等， 去掉后对教学内容没有影响. 0 直接采用历史上的数学问题、解法等 0 1 . 根据历史材料，编制数学问题. 0 1 00 ⑤ 杨渭清.数学史在数学教育中的教育价值[J].数学教育学报.2009 ，08：31-33.① ②0 1 0 傅海伦，陈焕法.发挥数学史在实现新课程整体目标中的作用— 0 兼谈《全日制义务教育数学课程标准》一个 实例的补充意见[J].数学教育学报.-73. 0 1 朱哲，宋乃庆.数学史融入数学课程[J].数学教育学报. ：11-14. 0 1③ 汪晓勤.HPM 的若干研究与展望[J].中学数学月刊.-32. 1 -7-&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文重构式借鉴或重构知识的发生、发展等.许多一线教师认为，在教学中运用数学史就是讲点数学家的故事以激发学生的 1 学习兴趣，其实这只是数学史较低层次的运用水平，属于附加式运用，况且有调查 0 表明学生对数学史感兴趣，并不表明他们对相关的数学内容也有兴趣 .学习“数列”和 0 “算法”时，在考虑到学生的认知水平前提下，可直接利用数学史中的相关问题引入 1 教学.学习三棱锥体积公式的证明时，可以讲一下欧几里得的 “穷竭法”，也可以讲讲 0 中国古代的“祖暅原理”和“阳马术”.像这样，教师直接采用了数学史问题和解法，属 于复制式.在“空间向量的坐标运算”的教学设计中，可以利用我国古代数学中的基本 立体图形“鳖臑（臑音闹）”编制数学问题，这种用法就属于顺应式. 在学习复数概念时[1]，南京一中孔凡海老师根据复数概念的发展历史设计教学， 让学生经历复数的产生和发展过程，认识数系扩充的必要性和相关的思想方法.这就 体现了数学史运用的最高水平—重构式，即所谓的“发生教学法”，原本的历史发展 往往很复杂，而发生法所重构的历史却是线性的，主要呈现历史发展的关键步骤和 重要思想，同时考虑学生的认知发展水平. 浙江省诸暨中学张小明老师与汪晓勤教授合作对高一学生进行数学史融入课堂 教学的行动研究，总结出数学史融入课堂教学的基本模式[2]，具体流程见图3. 选定合适的教学单 元 历史上该部分内容 的发展过程为何？ 查找历史材料 进行小组会议讨论 如何安排课堂教学 才能有效发挥历史 在课堂中的作用？ 设计教案 实施课堂教学 历史对学生的认知 活动产生了什么作 用？ 历史上该部分内容 的发展过程为何？ 学生反馈资料分析 教师课后反思及讨 论 改进下一轮行动方 案 本次教学活动的成功经 验和失败教训是什么？ 哪些教 学内 容和教 学 问 题适合 从历 史的角 度 分 析解决？ 数学内容的发展历史与 学生对该内容的认知过 程以及教材的安排有什 么关系？ 当历史真正融入课堂教 学时发生了什么？① 孔凡海.一堂基于数学史的教学设计课例：复数（第1课）[J].中学数学刊.-28. ② 张小明，汪晓勤.中学数学教材中融入数学史的行动研究[J].数学教育学报.-92.-8-&&&&绪论图3 课堂教学中融入数学史模式设计 该模式运用系统方法，综合考虑数学教育领域、数学史领域和学生认知领域等 多方面问题，是对以上四种模式的综合运用，具有较强的可操作性，对课堂教学中 融入数学史具有较好的指导意义. 数学史在教材中如何运用是研究数学史融入数学教学的另一方面 . 蒲淑萍和汪 晓勤在《数学史怎样融入数学教材：以中、法初中数学教材为例》一文中，将数学 教材运用数学史分为五种水平[1]，具体见表4. 表4 数学教材运用数学史的五种方式和水平 类 别 点缀式 水 平 A 描 述 孤立的图片，如数学家画像、数学图案、反映数学主题的绘 画或摄影作品等. 附加式 B 文字阅读材料，包括数学家生平、数学概念、符号、思想的 源泉、历史上的数学问题和思想方法等. 复制式 C 正文各栏目中直接采用历史上的数学问题、问题解法、定理 证法等. 顺应式 D 正文各栏目中对历史上数学问题进行改编， 使之具有适合于 今日课堂教学的情景或属性. 重构式 E 正文各栏目中借鉴或重构知识的发生、发展历史，以发生法 来呈现知识（“发生法”认为人们学习数学知识的过程与该知识的 历史发展过程具有某种相似性）. 研究发现，国内教材中的数学史主要以点缀式和附加式的形式出现；其次是以 例、习题形式出现的复制式；顺应式常出现在正文之前，通过改编作为导入课题的 素材；重构式作为教材运用数学史的最高水平，隐藏于某些知识学习的整体脉络之 中，体现数学知识的形成和发展过程.如在学习“零积方程”概念[2]—一边为两个一次 因式乘积，一边为零的方程.据相关史料，零积方程先于因式分解法产生，正是零积 方程导致了因式分解法的产生，因此先于因式分解呈现零积方程，符合历史发展规① 蒲淑萍，汪晓勤.数学史怎样融入数学教材：以中、法初中数学教材为例[J].课程.教材.教法.2012，08： 63-68. ② 蒲淑萍，汪晓勤.法国数学教材中的“乘法公式和零积方程”[J].数学教学.-10.-9-&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文律，同时让学生认识到学习因式分解的必要性.需要指出的是，这五种运用方式只有 水平上的差异，并没有优劣之分，在教材编写时需要综合考虑. 国内关于数学史融入数学教材的研究状况如何？笔者通过对《数学教育学报》 和《数学通报》年间的47篇数学史与数学教学相关文章进行统计，发现 有9篇（19.1%）是针对现行版本教材中数学史的研究，这在一定程度上反映出广大 教师和科研人员参与课程编制意识的逐渐提高. 进一步分析发现，有四篇文章专门研究国内有关版本教材的数学史分布情况， 文章涉及数学史在教材中的位置、选材、数量、呈现方式、设计模式等方面[1][2][3][4]. 有三篇文章介绍国外或香港教材中的数学史[5][6][7]，其中一篇从比较研究的视角介绍 中、法教材中“方程”所涉及的数学史，另外两篇分别介绍法国和香港教材数学史的 内容特点及分布情况 .另有两篇从理论的视角探讨数学史融入教材的编写模式或编 写理念[8][9]，其中朱哲认为数学史在数学课程中应该以数学课本、数学读本、选修课 程、专题研究等多种形式出现. 总而言之，数学史融入数学教学有不同的层次和表现形式，而实际教学和教材 编写更要关注数学史与数学知识之间的关系，挖掘数学史中的思想方法，引领学生 发现通俗易懂的数学史背后隐藏的“大道理”；数学史不同运用水平之间本来没有优 劣之分，综合运用才能发挥更好地效果，但对数学史顺应式和重构式的运用应该成 为我们关注的焦点. 3.3 数学史融入数学教学的原则 作为数学学习辅助材料的数学史要发挥其应有的作用，必须坚持一定的原则， 基于本章第二节的分析，笔者认为数学史融入数学教学所坚持的原则具体体现在两 个方面，即课堂教学中应坚持的原则和教材编写时应坚持的原则. 张楠和罗增儒认为数学史教学应遵循科学性、实用性、趣味性和广泛性的原则① 陈碧芬，唐恒钧.北京师范大学版初中数学教材中数学史的研究[J].数学教育学报.-97. ② 杨豫晖，魏佳，宋乃庆.小学数学教材中数学史的内容及呈现方式探究[J].数数学教育学报.-83. ③ 罗新兵等.高中数学教材中数学史分布的特征和模式研究—以北师大版数学必修教材为例[J].数学教育学报. -33. ④ 刘云，朱维宗.高中数学必修教科书中数学史内容的呈现方式探究[J].数学教育学报.-89. ⑤ 蒲淑萍.中、法数学教材“方程”内容中的数学史[J].数学通报.-7. ⑥ 汪晓勤.法国初中数学教材中的数学史[J].数学通报.-23. ⑦ 谢益民.香港数学教科书中数学史的编排特征与启示[J].数学教育学报.-70. ⑧ 徐章韬，梅全雄．HPM视角下的数学教材编写[J].数学教育学报.-17. ⑨ 朱哲.基于“数学史融入数学课程”的教科书编写[J].数学教育学报.-13.- 10 -&&&&绪论[1].其中科学性是第一位的，体现了数学学科严谨性的要求，即不把数学史当成趣味故事，随意编造；实用性要求数学史的选择要有侧重点，体现重要数学思想且内涵 丰富，容易引申，如无理数的发现和确立、圆周率、勾股定理、笛卡尔坐标思想、 函数概念演变、非欧几何创立等史实内容丰富、思想深刻，非常适合课堂教学使用； 趣味性是保证数学史教学效果的前提，平淡无味的叙述和内容平平的史实是无法激 起学生兴趣的，跌宕起伏的情节和环环相扣的教学引导才能激发学生的火热思考； 广泛性要求数学史的选材不分国度和年代，根据需要广泛择取，不可厚此薄彼. 王振辉和汪晓勤认为[2]，数学史在中学数学教材中的分布应具有连续性、综合 性，重点介绍蕴含重要数学思想方法的历史，同时多增加历史图片，唤起学生对数 学家及数学史的亲近和肃穆感，具体而言，连续性要求不同学段要呈现一定量的数 学史，同时涉及相关知识的数学史呈现尽量保证完整性，如高中介绍“复数的发展历 史”，初中自然有“复数的历史”和“无理数的历史”.在内容选择上,首先要力求体现数 学多元文化，把握各民族文化发展的历史进程，具体而言，要体现不同时空数学家 对同一课题的研究，体现数学家遭遇困难、挫折和失败的经历；其次要增加史料的 可读性，增加历史知识的介绍形式，如选择古算作为例、习题出现，呈现印有数学 家的邮票等. 朱哲认为数学史融入数学课程的教科书编写要关注 “史学形态转化为教育形态” 以及“数学思想方法”[3].李明振认为中学数学教材中数学史内容的选取原则应遵循： 科学定论原则、匹配协同原则、功能符合原则、时空多元原则、可读激趣原则[4],其 中匹配协同原则要求涉及重大数学思想方法的史料要重点引入，功能复合原则体现 为选取的数学史应尽可能发挥知、情、意等多方面功能. 总而言之，无论在课堂教学或教材编写中，数学史的选取都应遵循科学性、思 想性、多样性、可接受性、趣味性等基本原则. 3.4 数学史融入数学教学的效果 对数学史融入数学教学的功能、方式以及原则的探讨更多的涉及理论和应然层 面的诉求，而实际教学效果如何？实践中又会出现哪些问题？这才是应重点关注的 问题.⑩ 张楠，罗增儒.对数学史与数学教育的思考[J].数学教育学报.-75. ① 王振辉，汪晓勤.数学史如何融入中学数学教材[J].数学通报.-21. ② 朱哲.基于“数学史融入数学课程”的教科书编写[J].数学教育学报.-13. ③ 李明振，庞坤.数学史融入中学数学教材的原则、方式与问题[J].-25.- 11 -&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文首先，从教师方面来看，有研究者对少数民族中学数学教师数学史素养进行调 查研究[1]，研究发现：首先教师对数学史认识不深或存在理解偏差，教学中没有触 及到数学思想方法和数学精神层面的内容；其次教师自身的数学史知识欠缺，很少 有获得必备数学史知识的途径或机会，即使大学时学过，由于不经常应用或所学数 学史知识实践性不强，大部分已经淡忘；最后教师缺乏主动开发数学史的意识、能 力和时间，运用数学史的手段主要是讲故事，读史料等浅层次方面，不具备结合数 学史讲数学知识的能力.事实上，该研究结果也反映了广大教师在运用数学史时普遍 存在的问题. 其次，从学生方面来看，有研究表明[2]大部分高中学生对教学中融入数学史持 肯定态度，其中对于介绍历史命题以及历史上各种数学方法是最为赞同的，同时学 生最希望数学史能够发挥认知功能，而对于情感态度和文化领域功能的发挥不够重 视. 也有研究表明大部分初中生和小学生对教学中以各种形式融入数学史都比较感 兴趣，高中数学史教育不如初中数学史教育乐观.另一方面，还有研究表明数学史知 识掌握得多少与数学成绩的高低无必然关系 ,且数学史对学习成绩的影响随年级的 升高相关度越小[3]. 事实上，以上分析集中反映了如下四对矛盾：融入数学史所占用的时间和教学 进度之间的矛盾；学生对成绩的关注和数学史学习能否有效提高成绩之间的矛盾； 教材的编排顺序和数学的历史发展顺序之间的矛盾；教师对数学史教学设计的期望 和缺乏必要的参考资料和人员协助之间的矛盾.目前，关于数学史融入数学教学的实 证研究并不多，而思辨研究的结论和建议有待于在教学实践中进一步验证和改进.但 毫无疑问的是在教学中融入数学史应当成为教师进行教学设计时的一种积极选择以 及提高教师专业发展的一个重要途径.第四节 研究方法和思路基于以上分析，本文针对教科书中数学史进行的系统研究理应成为考察数学史 融入数学教学的一个重要视角，同时也是提高笔者参与数学课程编制意识和能力的 一个重要途径.④ 徐君，赵志云等.少数民族中学数学教师数学史素养调查研究—以内蒙古自治区包头市部分中学蒙古族教师 为例[J].-83. ① 张小明，汪晓勤.中学数学教材中融入数学史的行动研究[J].数学教育学报.-92. ② 康世刚，胡桂花.对我国“数学史与中小学数学教育”研究的现状分析与思考[J]. 数学教育学报.2009，10： 65-68.- 12 -&&&&绪论从研究内容来看，以往关于教材中数学史的研究多是从数学史的数量、分布、 表现形式等浅层次方面进行统计研究，或者针对某个知识点所涉及的数学史进行重 点论述；而本研究不仅涉及以往研究所关注的内容，还注意到被以往研究所忽视的 细节，如数学史中的历史人物、国度、数学与社会文化的联系等；更是在已有研究 的基础上，进一步总结出教材中数学史的设计模式，最后给出教材编写的若干建议. 需要指出的是，为了对教材中数学史有一个整体和理性的认识，同时也为了引起对 数学史教育功能的重视，本文专门从三个方面论述教材中数学史的功能. 从研究方法来看，本文采用文献分析法（对明显传播的文字资料进行定量和定 性研究）、定量描述与定性分析相结合，同时经历完整的资料搜集，整理，分析， 综合和概括的科学研究过程 .以往研究多从定量角度进行描述 (笔者在统计过程中发 现一些研究的统计结果存在疏漏)， 而结合相关理论和实例进行的定性分析较少.笔者 在对数学史进行分类统计的基础上，结合相关理论和数学知识对其加以分析，尽量 做到“夹叙夹议”.考虑到不同版本教材数学史的设计风格可能不同，为了开发不同版 本教材的优质资源，发现其中的特色素材，用于教学设计，真正做到“用教材教， 而不是教教材”[1]也为了增强研究的信度和效度，本文选取在国内被广泛使用的人 教A版和苏教版必修教材进行比较研究.第五节 相关概念界定数学史：数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单的说就是研究 数学的历史.它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响 这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明带来的影响. 教材：教材有广义和狭义之分，广义上的教材是指课堂上和课堂外教师和学生 使用的所有教学资料，比如课本、练习册、参考书等，狭义的教材即教科书，它是 一门课程的核心教学材料，本文所指的教材指的是教科书.① 李保军，叶雪梅.人教 A 版与苏教版教材“几何概型”微观比较研究.中学数学教学.-3.- 13 -&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文- 14 -&&&&第一章 教材中数学史教育功能研究第一章教材中数学史教育功能研究高中必修教材中的数学史主要以阅读材料、章节引言、例习题等形式分布在教 材的正文、和课后阅读部分；其呈现方式主要是文字形式，部分数学史附带数学家 的图像和相关历史图片；内容涉及数学家的生平、数学概念的产生发展、历史趣题、 数学故事和数学在其它领域的应用等.分析发现，教材中数学史的功能可以分为三个 方面，即数学史的激励功能、认知功能和文化育人功能.第一节 激励功能爱因斯坦说过：兴趣是最好的老师，它永远胜过责任心.美国数学家魏尔德也认 为：数学课堂上只强调数学的技术是不够的，要使学生被数学所吸引，一定要运用 数学历史知识.传统的数学教材给人以逻辑严密，无懈可击的感觉，在用逻辑的方法 和形式化的语言构建的知识体系中适当添加数学史，相当于在数学的火锅中添加一 剂特别的作料，可以使数学教学体现出别具风格的意蕴；一则简短的数学历史典故， 便能将学生带入深深的数学思考之中，一首精悍的数学诗歌便能博得学生会心一 笑.“数学予知，历史予智”，讲的就是这层意思. 1.1 励志功能 数学家的趣闻轶事是学生最感兴趣的话题，其中蕴含着数学家的执着和智慧， 体现着数学家奋斗过程的艰辛和获得成功后的喜悦，是激励学生学好数学的一剂良 药，是帮助学生树立学习信心的良好楷模. 人教A版在阅读材料“对数的发明”中，讲到数学家纳皮尔用对数制作了 0? ? 90? 每隔 1? 的八位三角函数表.应当说，纳皮尔仅仅凭借手工运算得到这个三角函数表的 工作量是非常大的，这也显示出他超人的毅力和为科学献身的精神.法国著名数学 家、天文学家拉普拉斯评价说：对数可以缩短计算时间，在时效上等于把天文学家 的寿命延长了许多倍.由此可见数学家工作之艰辛和贡献之伟大.像这样的数学史在 教学时顺带讲一讲，必然会增加学生的兴趣，唤起学生的共鸣. 人教A版在阅读材料“割圆术”中， 讲到中国古代数学家在计算圆周率方面的伟大 贡献.从理论上讲，运用“割圆术”可以把 ? 的值计算到任意精度.刘徽一直计算到192 边形，得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，化成分数为这就是著名的- 15 -&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文“徽率”.我国南北朝时期的数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求得 ? 的范 围为 3.1415926 ? ? ? 3.1415927 ，后人曾推算，若单纯使用“割圆术”，需要计算到圆 内接正12288边形，才能得到这样精确的结果，这不但是当时最精密的圆周率，而且 在世界上处于领先地位达1000多年.像这样的数学史不仅可以唤起学生的民族自豪 感，更可以让学生感受到数学家的智慧和对数学研究的执着. 苏教版在阅读材料“尚克斯算错了吗”中，也讲到历史上关于圆周率的计算问题. 英国数学家尚克斯精于数值计算，尤以计算圆周率 ? 的值闻名，他在1853年利用公 式将 ? 值计算到608位小数，1873年又将 ? 值计算到707位，像他这样数十年如一日 的精神令人赞叹.1937年的巴黎博览会上，曾把这707位小数刻在“发现馆”的天井院 内，供人瞻仰.1940年，一位英国大学生弗格森出于好奇，对尚克斯1853年算得的 ? 值的608个数字作了统计，结果得出每个不同数字出现的次数如表1-1： 表1-1 数 字 出现次数 0 60 1 62 2 67 3 68 4 64 5 56 6 62 7 44 8 58 9 67这一结果出乎他的意料.他原来猜想这10个数字出现的次数应大致相等.数字7的 出现次数怎么会这样少呢？他想：上帝总不会对7怀有歧视吧！尚克斯的计算是否有 误？于是他用当时最好的公式和最先进的计算工具（当时电子计算机尚未问世） ，花 了1年时间算出了710位小数.结果发现尚克斯计算的 ? 值从第528位开始出现错误.后 来他和美国人伦奇合作，于1948年1月共同发表了 ? 的808位小数值.再次统计的结果 表明，数字7出现的次数并不明显少于其它数字.像这样的数学史素材，不仅有趣， 更能启发学生的思考：数学家也是会犯错误的、许多数学结论是可以怀疑的、好奇 心是取得任何成就的关键、一般人也可以在数学上做出突出贡献、概率知识在生活 和科学研究中是多么有用！进而激发学生对概率学习的兴趣和应用概率知识解决实 际问题的欲望. 1.2 激趣功能 运用数学史创设问题情境或直接引用历史上的数学名题进行教学可以激发学生 的学习兴趣.对历史故事和新鲜事物的好奇是学生的天性，而这种天性往往体现在人 文学科中，很难在数学课堂上展现出来，数学史的引入在人文学科和数学学科之间 搭建起了一道桥梁.如苏教版在讲解案例设计“韩信点兵—孙子问题”时，花很大篇幅 介绍了韩信点兵的历史背景，且叙述上是以讲故事的形式进行的，并附以历史插图，- 16 -&&&&第一章 教材中数学史教育功能研究加之适当的问题引导， 让学生在欣赏历史故事的同时不知不觉进入数学知识的学习， 这样的设计比单刀直入式的讲解更富有人文关怀，更容易被学生所接受，也更容易 在学生的记忆里留下深刻印象. 在苏教版的课后习题中， 有多道题目是以古算为背景出现的.如我国古代用诗歌 形式提出的一个数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一， 试问塔顶几盏灯？题目的表现形式简洁明快，且饶有趣味，让学生在学习知识之余， 感受古人的智慧和中国诗歌文化的博大精深.再如：1934年，东印度（今孟加拉国） 学者森德拉姆发现了“正方形筛子”： 4 7 10 13 16 … 7 12 17 22 27 … 10 17 24 31 38 … 13 22 31 40 49 … 16 27 38 49 60 … … … … … … …（这个方筛的奥妙在于：如果某个自然数 n 出现在表中，那么 2n ? 1 肯定不是质数； 如果 n 在表中不出现，那么 2n ? 1 肯定是质数.）问题是：这个“正方形筛子”的每一行 有什么特点？每一列呢？“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？像这样 以古算为背景的题目，并不涉及多么深奥的知识，却非常有趣，为传统的习题设计 模式注入了新的活力.第二节 认知功能吴文俊院士曾说：假如你对数学的历史发展，对一个领域的发生和发展，对于 一个理论的兴旺和衰落，对一个概念的来龙去脉，对一种重要思想的产生和影响等 许多历史因素都弄清楚了，我想就会对数学了解多了，对数学的现状就会知道得更 清楚、更深刻，还可以对数学的现状及未来起到一种知道的作用[1]；数学学科的精 髓在于其思想方法之深刻，而思想方法往往体现在知识的产生和发展过程中，通过 数学史的引入，再现数学发展的关键步骤，让学生体验历史、逻辑和思想的统一. 2.1 有利于了解数学概念产生的历史背景 有研究者认为：如果不知道数学概念为什么出现以及以何种方式出现，想学好① 吴文俊.在教育部的全国高校中外数学史讲习班开学典礼上的讲话[A].中国数学史论文集（二）山东：山 东教育出版社.1986，02.- 17 -&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文它几乎是不可能的[1].学生只有清楚了概念产生的历史背景，才能将知识学习得更明 白，记忆得更深刻，而数学史恰恰为我们提供了一个从历史的角度审视概念产生和 发展的良好契机. 函数概念的产生和发展经历了漫长的历史过程，从最初的变量说到后来的对应 说直至现在许多大学数学专业课中普遍采用的关系说，经历了不断的创造与否定、 争论与完善的过程，学生通过阅读函数概念的发展史，加之教师的适当引导，就会 对各种函数定义的局限性有一个清醒的认识，明确初中函数定义的合理性和不足， 进而加深对高中数学用集合定义函数概念的理解. 高中数学教材中，指数概念的学习是先于对数的，而历史上指数的产生要远远 晚于对数，学生通过学习课后阅读材料“对数的发明”，会明确引入对数运算的重要 意义，认识到对数的发明之所以早于指数，是由于在当时的天文和航海等领域，涉 及到许多复杂的乘除法计算，而加减法运算较简单，能不能把乘除法转化为加减法 呢，于是纳皮尔经过研究，发现了可以简化运算的“对数”，无怪乎后人将对数的发 现称之为延长天文学家寿命的一项发现.教材之所以先讲指数，也只是考虑到学生之 前的知识结构和认知发展的需要.教学时适当引导学生阅读对数的发展史，会加深学 生对指数和对数关系的理解. 教材中还安排了许多相关概念的历史发展等阅读材料，如：解析几何的发展史、 向量的产生、三角学的发展、历史上的方程求解等.对相关数学史的学习可以使学生 在头脑中对一些表面上看起来毫无关系的数学知识之间建立起联系，进而学得更明 白，即使会占用一些课堂时间，但从学生的长远发展和素质教育的培养目标来看还 是值得的. 2.2 有利于理解数学概念的本质 数学史更深层次的意义在于加深学生对数学概念本质的理解.许多学生将数学 学习了很多年，到头来并不清楚所学知识的意义，当问起某一数学概念的本质是什 么的时候，并不能给出满意的回答，甚至从来没有思考过这个问题，这也是数学学 习中“会而不懂”现象的一种具体体现.教材中许多章节以阅读与思考的形式展现了核 心概念的发展历史，其中不乏对概念本质的揭示. 欧几里得《原本》是一部划时代的著作，其伟大的历史意义是它在人类数学史 中第一次给出了公理化的数学体系，教材在对《原本》简单介绍的基础上，重点归① 张晓贵，张雪.国外数学教学中引入数学史的研究概述[J].数学教育学报.-54.- 18 -&&&&第一章 教材中数学史教育功能研究纳了其中蕴含的公理化思想的本质，摘录如下： 数学公理化方法，就是从尽可能少的原始概念（基本概念）和尽可能少的一组 不加证明的原始命题（公理、公设）出发，应用严格的逻辑推理，推导出其余的命 题， 使某一数学分支成为演绎系统的一种方法……公理化方法主要有以下三个作用： （1）概括整理数学知识.《原本》就是欧几里得用公理化方法把零碎的几何知识归 为一类，树立了以公理化方法研究数学的典范.（2）促进新理论的创立.由于公理化 方法把数学分支的基础分析得十分清楚，结构严谨有序，这就有利于比较各数学分 支实质上的异同， 从而推动和促进新理论的产生， 促进数学基础的研究与探索.例如， 非欧几何就是在研究和应用公理化的过程中产生的.（3）对其它学科有示范作用.由 于数学公理化方法表述数学理论的简洁性、条理性以及结构的和谐性，为其它科学 理论的表述起了示范作用，其它科学纷纷效法，建立了自己的公理化方法. 笛卡尔的解析几何思想对数学学习和研究甚至对相关数学分支的建立都有着重 要的指导作用，对其本质的理解和把握有助于学生从宏观上认识该思想的精髓，有 利于创造性思维的培养.苏教版在阅读与思考中对该思想进行重点阐述，摘录如下： 笛卡尔的解析几何有两个基本思想：（1）用有序数对表示点的坐标；（2）把 相互关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一条曲线……我们知道，曲线可 以看做是按照某种规律运动点的集合或轨迹.在平面直角坐标系中，设动点 P 的坐标 是 ( x, y) ，点 P 在运动，它的坐标 x 和 y 也随之相应的变化，由于点 P 是按照某种规 律在运动，因此 x 和 y 这两个变量相互依赖和制约，也就是说，它们之间应满足一 定的关系，这种关系用代数方法表示出来，就可以得到一个含有 x ， y 两个变量的 方程 F ( x, y) ? 0 ，这样就建立了曲线和方程之间的对应关系. 需要指出的是，通过数学史让学生理解数学概念的本质，需要发挥教师的积极 引导作用，需要教师结合具体知识对阅读材料中的数学史进行讲解，这样才能将数 学史教育功能的发挥落到实处.教材中的数学史是经过教学法加工，在尊重历史事实 的基础上改造成的学生易于接受的教育形态的数学史，这就为广大教师提供了数学 史融入教学的模板，由于教材中反映数学概念本质的数学史数量有限，因此教师在 分析数学知识内涵的基础上，通过查阅文献，参考教材中数学史的设计思路，可以 设计出更多反映概念本质的数学史.- 19 -&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文2.3 有利于掌握数学思想方法 数学的发展史就是数学家不断提出问题和解决问题的历史，其中不乏数学家对 思想方法的创新和对推理过程的精彩演绎.数学史中的思想方法是与教学知识联系 最为紧密的内容，最有可能转化为实际的教学资源，可以毫不夸张的说，高中数学 所涉及的大部分思想方法都是对历史上相应方法的复制和重演.只是我们在繁重的 教学压力和无休止的解题活动中忽视了从历史的角度对数学思想方法进行考察和反 思，也就无法看到数学家的创造性思维过程和思想方法本来的博大精深.通过数学史 再现一些重要思想方法的产生过程， 并且设计成相应的教学活动， 让学生在“做数学” 的过程中，有意识的体会学习数学思想方法的重要意义. 挖掘数学史中的思想方法编制数学题目，是一种比较直接地利用数学史的方式. 学生通过相应数学史的学习掌握了其中的思想方法，再通过具体的解题实践加深了 对思想方法的理解.人教A版有一则阅读与思考是关于“祖暅原理与柱体、 锥体和球体 的体积”，通过自主阅读和教师的适当引导，学生掌握了“祖暅原理”的思想和具体操 作，教师不妨设计以下问题[1]： 例 1 我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前 5 ? 6 世纪）提出了一条原理“幂势既 同，则积不容异.”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于 这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几 何体的体积相等.设由曲线 x 2 ? 4 y 和直线 x ? 4 ， y ? 0 所围成的平面图形绕 y 轴旋转 一周所得到的旋转体为 ?1 ，由同时满足 x ? 0, x 2 ? y 2 ? 16, x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 的点 ( x, y) 构成的平面图形，绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体为 ? 2 ，根据祖暅原理等知识，通 过考察 ? 2 可以得到 ?1 的体积为__________. 许多涉及数学思想方法的数学史具有很好的探究价值，可以作为教学知识的适 当延伸，培养学生的数学探究能力.教材中有许多非常成功的教学案例，如算法一章 的案例分析、祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积、割圆术，托勒密与弦表等，都 可以作为进一步探究的材料. 古希腊盛行用几何作图证明代数结论，在学习了两角和与差的正余弦公式后， 引导学生学习课后阅读材料“托勒密与弦表”，了解弦表的用途以及用几何方法证明① 李保军，叶雪梅.从高考新题型看数学阅读理解能力的考查角度[J].课程教学研究.-67.- 20 -&&&&第一章 教材中数学史教育功能研究代数结论的思想，让学生重温古人对该知识的探究过程，于是设计如下探究问题[1]： 例 2 阅读托勒密与弦表，我们简单了解了用构造几何图形的方法证明代数结论 的思想，请思考以下问题： （1）图1-1展示的是两角和的正弦公式的证明方法，你能说明其证明过程吗？ （2）参考上述证法，再看看图1-2能得到什么结论呢？ （3）现存第一张三角函数的弦表，就是古代托勒密利用相当于和差角公式的结 果计算出来的，你能利用题1与题2的结果计算出 sin 75? 和 cos75? 的值吗？ （4）求 sin 25? cos 65? ? cos 25? sin 65? 和 cos 40? cos35? ? sin 40? sin 35? 的值． （5）上述结果是否对任意的角 ? 和 ? 都成立？ （6）课本中给出的证明方法是19世纪法国著名数学家柯西给出的，请将以上两 种证法进行比较，你感觉那个证法更好？理由是什么？A Sin( α+β) α cosαsinβ A α1PB1PB sinαcosββ α O C D Oβ α C Dsin(? ? ? )A α?sin ? cos ? ? cos ? sin ?A α图 1-11PB1PBβ α O C Dβ α图 1-2OCD需要指出的是，运用数学史中的思想方法进行教学设计，需要紧密联系教学知 识，不可喧宾夺主，无谓地增加学生的学习负担；其次要考虑学生的可接受性，数① 张小明，汪晓勤.中学数学教材中融入数学史的行动研究[J].数学教育学报.-92.- 21 -&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文学史的引入，是为了更好地促进数学教学，如果史料本身的内容过难过偏，只会平 添学生的认知负担，反而起不到激发学习兴趣的作用，其效果自然适得其反.第三节 文化育人功能我们认为，数学教学研究可以基于这样两个视角，即心理学的视角和历史文化 的视角，前者从微观角度考察在数学学习过程中学生头脑中认知结构发生了哪些变 化，是如何表现在外部的教学活动中的，教师如何发挥外部活动的效用，以便积极 的影响学生的内部活动，进而促进学生知识结构的良好建构；后者从宏观角度审视 学科的历史发展，为数学教学提供历史借鉴，使学生从文化的角度理解数学知识产 生的历史必然性以及与其它领域的广泛联系. 传统的数学学习观认为数学是与社会 文化毫无关系的，数学史的引入在一定程度上改变了这种观念. 数学家 M.克莱因认为：在人类文明中，数学如果脱离了其丰富的文化基础，就 会简化成一系列的技巧，它的形象也就被完全歪曲了，由于外行人很少使用数学技 巧及其知识，因此他们对这些通常显得枯燥无味的东西很反感.这样一来，对于数学 这样一门基础性的、富有生命力的、崇高的学科，就连一些受过良好教育的人也持 无视甚至轻蔑态度.克莱因想努力表达这样一个观点：在西方文明中，数学一直是一 种主要的文化力量.我们知道， 在西方许多数学家本来就是大哲学家或者在其它人文 领域有着重要建树.莱布尼兹既是数学家又是伟大的哲学家；牛顿的数学名著《自然 哲学的数学原理》是以哲学命名的；我们所熟知的“罗素悖论”是由诺贝尔文学奖得 主罗素发现的，他被誉为抽象数学的代表人物；“傅里叶级数”是以理想社会主义的 代表人物傅里叶的名字命名的；历届诺贝尔奖得主或菲尔兹奖得主所做的演讲往往 不是专业的数学课题，而是关于哲学或文学如何影响其获得发现的；丘成桐先生曾 说：“我本人曾经深受中国古代文学、古代诗词歌赋的影响，从《诗经》我看到比兴 的方法对寻找数学方向的重要性，吟诵《楚辞》和《史记》激励起我对数学的感情， 激励起我向大自然追寻真和美的感受”，可见数学与文化有着天然的联系. 从文化的角度认识数学，能使学生了解数学在各种社会领域中的角色，进而理 解数学是出自于人们实际需求与需要.三教学的起源、发展与天文学密不可分，它是 天文观测结果推算的一种方法，最早的三角学主要是球面三角学，这不但是因为航- 22 -&&&&第一章 教材中数学史教育功能研究海、历法推算以及天文观测等人类实践活动的需要，而且也因为宇宙的奥秘对人类 的巨大吸引力，后来由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角.古老的斐波 那契数列是由数学家斐波那契在研究动物的繁殖问题时引出的，但人们在研究它的 过程中，发现了许多意想不到的结果，如树苗在第一年长出一条新枝，新枝成长一 年后变为老枝，老枝每年都长出一条新枝，每一条树枝都按照这个规律成长，则每 年的分枝数正好构成了斐波那契数列.自然界中许多生物现象都和斐波那契数列有 关，如蜂房问题、花瓣问题等，这就促使人们深入研究这个数列的特点，在西方有 很长一段时间，对该数列的研究形成了一种风气. 从文化角度认识数学，让学生学会对各族历史文化成就的欣赏，以及对自身文 化遗产的骄傲.中西方历史上有许多著名的古建筑，它们是历代能工巧匠智慧的结 晶，少数民族的服饰中也蕴藏着丰富的几何图案，它们是各族人民对美的追求和对 美好生活的向往的体现，其中不乏巧夺天工的设计和精妙绝伦的几何图形，将其挖 掘出来呈现在教材中，作为阅读材料或设计成相应的数学作业，让学生在学习知识 之余，拓宽了人文知识视野，提高了文化素养，激发了对美好事物的追求.同时，在 教材中融入少数民族的文化遗产，可以建立少数民族学生们的自信，也促使他们对 数学更有兴趣[1]. 正如之前所说，数学与历史、语言、艺术、哲学等主题有着天然的联系，凭借 这种联系，可以使学习更有意义.著名物理学家杨振宁说：“站在制高点，文学与数 学是相通的.”许多历史典故蕴含着深刻的数学思想，从中可以寻觅数学解题方法和 策略的蛛丝马迹.历史故事“田忌赛马”中，蕴含着一定的概率知识，苏教版将其设计 成课后习题， 经过计算发现田忌胜出的概率竟远远大于齐王的； 历史故事“韩信点兵” 中蕴含着丰富的算法思想，教材将其设计成算法案例.用数学知识解释生活现象，让 学生感受逻辑推理和精确计算的力量，增强对事实的说服力.我国古代的唐诗宋词， 言简意赅、朗朗上口、意境优美，在吟诵之时，我们可以从理性思维的角度去欣赏、 评论和感受相应数学思想的意境[2].“雁击长空，鱼翔浅底，万类霜天竞自由”蕴含着 朴素的集合思想；“明月松间照，清泉石上流”体现着数学中的对偶原理；“举杯邀明 月，对影成三人”可以用射影原理去解释；“无边落木萧萧下，无尽长江滚滚来”正好 映射着数学中的无限思想.我国古代的哲学思想博大精深， 《道德经》中“道生一，一① 张维忠，孙庆括.多元文化视野下的数学教科书编制问题邹议[J].全球教育展望.-89. ② 虞涛.数学思想方法的人文解读[M].上海教育出版社.2011，07.- 23 -&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文生二， 二生三， 三生万物”不正是公理化思想在哲学领域的具体写照吗？在这里， “道” 即万物之源，对应着数学中的“公理”，万事万物都是由道衍生而来的，而几何学中 的众多定理就是通过公理推导出来的； 《庄子.天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万 世不竭”，从哲学意义上看，是指人类对事物的认识无止尽，而从数学角度认识，不 正体现着一定的极限思想吗？课堂教学中，教师在讲授数学知识的同时，顺便启发 学生思考该知识点与相关历史文化之间的联系，或从人文角度对知识点进行剖析， 即使稍加提及，也会增强数学知识的灵性，使其平易近人.第四节 结论与建议（1）数学史各项功能的发挥需要相辅相成，逐渐渗透，不可喧宾夺主. “历史使人明智，数学使人周密”，作为师生阅读和学习的主要参考资料的数学 教材，在培养学生的理性思维和逻辑思维中发挥着不可估量的作用，而数学史的引 入正是为了以上作用的更好发挥.需要指出的是， 数学史三个方面功能的发挥并不是 自成一体的，需要在发挥各自独特功能的基础上相辅相成、互相渗透.激励功能的发 挥要以认知功能的发挥为基础，否则数学史教学将表现为华而不实，流于形式；文 化育人功能的发挥是一个潜移默化的过程，不可一蹴而就，需要结合前者的功能逐 渐渗透，不可喧宾夺主. （2）数学史教学功能的发挥需要教师的主动学习和有效引导. 数学的发展过程与人类文明的发展过程有着千丝万缕的联系，对数学史的讲授 必然涉及到其它学科或社会生活的方方面面，要增强数学史的的教学效果，使其更 有吸引力，就需要教师从多角度对数学史所涉及的知识进行刻画，简单的照本宣科 和单薄的史实呈现不会引起学生太多注意力，这就要求教师在平时多涉猎各学科知 识，增加相关知识储备，提高课堂教学的有效性，其实，从教师自身的专业发展来 看，这也是必要的.另一方面，教材为我们安排了丰富的数学史知识，但考虑到学生 的知识经验水平和现实的教学情况，加强教师在学生数学史学习中的引导作用是很 有必要的，教师的引导作用主要表现在适时地引导学生阅读、解释说明、提出问题、 启发思考等方面. （3）研究数学史的教育功能应该以有效利用数学史为归宿. 研究数学史的功能是为了更有效地利用数学史.之所以出现对数学史“高评价， 低利用”的现象，一部分原因就是缺乏对如何利用数学史的研究 .之前提到，运用数 学史进行教学设计就是一种很好地尝试，但前提是要明确哪些数学史可以进一步设- 24 -&&&&第一章 教材中数学史教育功能研究计成相关课题.有研究指出具有以下特征的数学史可以转化为教学资源[1]：数学史料 中的思想方法与数学知识具有较大的相通性；数学史料中的问题有助于深入理解数 学概念等知识；数学史料中的问题可作为数学知识的应用.当然，教材中不同位置的 数学史有不同的功用，所以运用的方式也就不尽相同，至于如何利用，需要教师针 对史料本身的特点、数学知识和学生的特点进行具体研究.① 罗新兵等.高中数学教材中数学史分布的特征和模式研究—以北师大版数学必修教材为例[J].数学教育学 报.-33.- 25 -&&&&第二章 教材中数学史的内容分布及结构研究第二章 教材中数学史的内容分布及结构研究本章从比较研究的角度对两套教材数学史的内容分布及其结构和设计模式等进 行定量统计和定性分析.第一节 教材中数学史的内容分布研究[1][2]统计发现，人教 A 版从必修 1 到必修 5 有 57 处出现数学史，每册出现次数依 次为：8,14,17,3,15，平均出现 11.4 处，出现次数差别比较大，其中必修 3 出现数学 史次数最多，有 17 处，占必修教材数学史总量的 29.8%，且大部分集中在《算法初 步》一章，有 11 处，占必修 3 数学史总量的 64.7%，必修 4 出现数学史次数最少， 只有 3 处. 苏教版从必修 1 到必修 5 有 52 处涉及数学史，出现次数依次为：7,7,23,6,9，平 均每册出现 10.4 处，出现次数差别也比较大，同人教 A 版一样，必修 3 出现数学史 次数最多，共 23 处，占数学史总量的 44.2%，且大部分集中在《算法初步》一章， 有 15 处，占必修 3 数学史总量的 65.2%，必修 1 和必修 2 出现数学史次数最少，各 有 7 处. 两套教材在数学史的整体分布上具有一定的相似性，但在具体的数量、内容设 置、呈现方式上却存在一定的差异，这也成为进一步比较研究的基础.分析发现，两 套教材的数学史主要集中在正文、习题和阅读材料三部分，而每一部分数学史又可 以按照该部分在教学中的功能进一步细分.具体分布情况见表 2-1 和表 2-2. 表 2-1 教材中数学史按模块统计 必修 1 人教 A 版 苏 教 版 8 7 必修 2 14 7 必修 3 17 23 必修 4 3 6 必修 5 15 9 合 计 57 52① 李保军，叶雪梅.文化视野下高中数学教材数学史分布的比较研究[J].教学与管理.-52. ② 李保军，叶雪梅.高中数学教材数学史内容及其分布研究[J].课程教学研究.2014，03.- 27 -&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文表 2-2 教材中数学史分布 类 引 正 习 文 题 例 其 习 注 合 1.1 正文中的数学史 正文中的数学史主要集中在每一章或节的引言、例题和“其它”部分.“其它”部分 的数学史穿插在正文中，对相关概念起到解释说明的作用，如人教 A 版在讲到解三 角形一章时，引用古代天文学家测量地月距离的例子说明合理选取基线的重要性. 需要指出的是，人教 A 版有一则数学史，位于小节部分，考略到小节部分在教学中 的重要意义，以及该数学史所起到的解释说明的作用，故将其归为“其它”部分. 同时每一则数学史又可以按照其所展现的主要方面分为：介绍某一数学分支的 发展史 （简记“数学发展”） 、 对某一数学分支核心思想的简要概括 （简记“总结概括”） 、 从数学史中提炼数学问题（简记“数学问题”） 、数学小故事、数学在其它学科中的应 用（简记“数学应用”）. 统计发现，人教 A 版从必修 1 到必修 5 在正文部分出现数学史次数依次为： 1,1,5,0,8，共 15 处，占数学史总量的 26.3%，苏教版在正文中出现数学史次数依次 为：0,1,3,0,2，共 6 处，占数学史总量的 11.5%，可见人教 A 版比较重视数学史在 正文中的渗透.具体内容和分布见表 2-3 和 2-4. 别 言 题 它 题 记 计 人教 A 版 （数量） 苏教版（数量） 8 5 2 3 1 20 18 57 3 2 1 11 2 16 17 52实习作业 阅读材料 阅读与思考- 28 -&&&&第二章 教材中数学史内容分布及结构研究表 2-3 正文中的数学史 对数与指数（其它，数学发展） 、解析几何简介（引言，总结概括） 、 算法历史简介（引言，数学发展） 、“海伦—秦九韶公式”（例题，数 人 教 A 版 学问题） 、辗转相除法与更相减损术（例题，数学问题） 、秦九韶算法 （例题，数学发展） 、进位制（例题，数学发展） 、解三角形简介（引 言，数学问题） 、基线与天文测量（其它，数学应用） 、三角形数和正 方形数（引言，数学故事） 、谢宾斯基三角形（例题，数学问题） 、高 斯与等差数列（引言，数学故事） 、一尺之棰（引言，数学问题） 、棋 盘上的数学（引言，数学问题） 、赵爽弦图（引言，数学问题） 苏 教 版 “东方红一号”的运行轨道（其它，数学应用） 、“鸡兔同笼”问题（引 言，数学问题） 、韩信点兵—孙子问题（例题，数学故事） 、欧几里得 辗转相除法（例题，数学问题） 、解三角形简史（引言，数学应用） 、 一尺之棰（引言，数学问题） 表 2-4 正文中数学史分布 数 学 发 展 人教 A版 引 言 例 题 其 它 苏 教 版 引 言 例 题 其 它 1 1 1 0 0 0 总 结 概 括 1 0 0 0 0 0 数 学 问 题 0 8 0 2 1 0 数 学 故 事 2 0 0 0 1 0 数 学 应 用 0 0 1 1 0 1 4 9 2 3 2 1 合 计两套教材在正文部分的数学史主要是通过引言的形式实现的， 其中人教 A 版有 8 处，占正文部分的 53.3%；苏教版有 3 处，占正文部分的 50.0%，以引言形式出现 的数学史有利于学生在学习新知识之前，站在历史的角度总览某一数学分支的发展 历史，理解某一数学概念产生的历史必然性，或者通过数学史呈现新的问题情境， 激发学生学习新知识的兴趣. 以“其它形式”出现的数学史最少，人教 A 版只有 2 处，占正文部分的 13.3%； 苏教版只有一处，占正文部分的 16.7%，将数学史内容穿插在概念讲解或问题说明 中，有利于学生及时了解概念产生的背景，理解概念的内涵和外延，更好得体会其- 29 -&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文中的思想方法.遗憾的是两套教材都只重视数学史作为背景材料的作用， 忽视数学史 在解释相关数学概念方面的功能，而这恰恰是挖掘史料所蕴含的数学思想方法的最 好时机，是将学术形态的数学史转化为教育形态的数学史的重要途径. 苏教版除在算法一章设置 2 道数学史例题（案例）外，在其它章节没有安排相 关数学史例题，人教 A 版在算法一章设置了 4 道数学史例题，在数列一章设置了 1 道. 例题是数学教材的重要组成部分，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要 资源，是数学教材中概念、命题与习题之间的桥梁和纽带，在例题中渗透数学史能 较好的体现数学史的思想方法，发挥其深层次的育人价值，因此以数学史为背景的 例题应该在教材各章节中广泛渗透. 1.2 习题中的数学史 以习题形式融入数学史改变了以往单纯以学科知识为背景的习题设置模式，为 习题教学增添了一抹亮色.统计发现， 习题中的数学史主要集中在课后习题和实习作 业两部分，以课后习题部分居多.习题中的数学史主要表现为：从相关史料中挖掘教 学资源，设计成数学问题，该问题在历史上可能不曾有过（简记“史料改编”） ；直接 引用历史上著名的数学问题 （简记“古算”） ； 以数学史为背景引出数学问题 （简记“背 景材料”） ；挖掘其它学科或领域（如天文、音乐、建筑等）中的数学元素设计成数 学问题（简记“数学与其它”）.具体内容和分布见表 2-5 和 2-6. 表 2-5 习题中的数学史 人教 A版 牛顿的冷却模型 （实习作业， 背景材料） 、 以赵州桥为背景的习题 （习题， 数学与其它） 、回文数（习题，史料改编） 、莱因德纸草书中的数学问题 （习题，古算） 以数学史为线索撰写小论文（实习作业，背景材料） 、以赵州桥为背景的 习题（习题，数学与其它） 、“三斜求积公式”和“海伦面积公式”（习题、 苏 教 版 史料改编） 、百鸡问题（习题、古算） 、田忌赛马中的概率问题（习题， 史料改编） 、商高数（习题，史料改编） 、贝特朗问题（习题，史料改编） 、 平面向量和空间向量发展史（实习作业，背景材料） 、证明 “三斜求积公 式”（习题，史料改编） 、谢宾斯基三角形（习题，史料改编） 、正方形筛 子（习题，史料改编） 、中国古算（习题，古算） 、竹九节问题（习题， 古算）- 30 -&&&&第二章 教材中数学史内容分布及结构研究表 2-6 习题数学史分布 史料改编 人教 A版 苏教 版 习 题 1 0 7 0 古 算 1 0 3 0 背景材料 0 1 0 2 数学与其它 它 1 0 1 0 合 计 3 1 11 2实习作业 习 题实习作业统计发现，人教 A 版从必修 1 到必修 5 在习题部分出现数学史的次数依次为： 1,1,1,0,1，共 4 处，占教材中数学史总量的 7.5%，苏教版在习题部分出现次数依次 为：1,1,5,1,5，共 13 处，占教材中数学史总量的 26.5%，可见苏教版教材更重视在 习题中渗透数学史.两套教材在习题中的数学史内容和分布情况见表 2-5 和表 2-6. 习题中的数学史多以史料改编的形式出现，苏教版共有 7 处，人教 A 版只有 1 处，这也是我国教材在习题中融入数学史的主要方式，即：以历史名题为模板，将 情景或属性换成学生熟悉的现代场景的“顺应式”融入，这样的方式增强了数学史融 入教学的可操作性，是一种较好的融入方式；以古算形式出现的数学史直接引用与 教学内容相关的古代数学题，不经过任何加工，以原汁原味的形式呈现给学生，颇 有趣味，值得玩味；以数学文化为背景的习题通过挖掘人类历史文明中的数学元素 设计成问题，两套教材各只有 1 处，且选材相同，都是以我国古建筑—赵州桥为题 材.其实， 在我国许多少数民族的历史文化中有许多相关元素可以设计出很好的数学 问题（如少数民族服饰或建筑上的几何图案） ，因此，从数学史应当体现数学文化多 元性的角度考虑，史料的选择应尽可能体现不同民族和人类文明不同领域的数学文 化.需要注意的是，以西方数学史为素材的习题侧重推理和猜想等思维策略，以中国 数学史为素材的史料侧重计算，凸显数学的实际应用价值[1]，这一点在习题设计中 也有所体现. 1.3 阅读材料中的数学史 以阅读材料形式出现的数学史，主要包括数学家生平，数学概念、符号、思想 的渊源，历史上的数学问题、思想方法等.在该部分出现的数学史主要集中在“阅读 与思考”和“注记”部分.统计发现从必修 1 到必修 5，人教 A 版以阅读材料形式出现① 李保军，叶雪梅.2013 年高考数学新背景试题赏析[J].高中数学教与学.-38.- 31 -&&&&福建师范大学 xxx 硕士学位论文的数学史次数依次为：6,12,11,3,6，共 38 处，占教材中数学史总量的 66.7%，其中 有 18 处以“阅读与思考”的形式出现，20 处以“注记”的形式出现.苏教版出现次数依 次为：6,5,15,5,2，共 33 处，占教材中数学史总含量的 63.5%，其中 17 处以“阅读与 思考”形式出现，16 处以“注记”形式出现，注记中的数学史主要介绍数学家生平或 数学概念的发展简史等，阅读与思考中的数学史综合介绍多方面内容. 首先，通过研究注记研究注记中的数学史分布，我们发现，按照内容的侧重点 可以将其分为介绍数学符号、数学术语、概念发展、数学家或相关历史人物以及数 学名著，其中数学家或历史人物的介绍一般会附以人物的图像.需要注意的是，部分 数学史在正文的基础上会附以注记,考虑到这类注记在性质上和其它注记的一致性 , 故将其和正文部分的数学史分开计算，因此涉及同一内容的数学史可能会被计算两 次；苏教版有一则注记以书影的形式介绍了“唐代牙算筹”，为了方便统计，将其归 为数学名著一类；将遗传学家孟德尔归为数学家一类. 表 2-7 注记中的数学史 函数符号的由来（数学符号） 、 《代数积拾级》书影（数学名著） 、对 数符号的由来（数学符号） 、“公理”（数学术语） 、“公理方法”（数学 术语） 、欧几里得图像（数学}