艾一若点点一点点A(2,7),B(-√3,5)在函数y=ax²+b的图象上,则a= b= 。
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时间：2018-05-14 11:51
& 二次函数综合题知识点 & “（2014o嘉定区一模）在平面直角坐标系...”习题详情
246位同学学习过此题，做题成功率77.6%
（2014o嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知A（-1，3），B（2，n）两点在二次函数y=13x2+bx+4的图象上．（1）求b与n的值（2）联结OA、OB、AB，求△AOB的面积；（3）若点P（不与点A重合）在题目中给出的二次函数的图象上，且∠POB=45°，求点P的坐标．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2014-嘉定区一模
分析与解答
习题“（2014o嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知A（-1，3），B（2，n）两点在二次函数y=1/3x2+bx+4的图象上．（1）求b与n的值（2）联结OA、OB、AB，求△AOB的面积；（3）若...”的分析与解答如下所示：
（1）根据A、B两点在函数图象上，可将将两点坐标代入，即可求出b和n的值；（2）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，可求出梯形ODEB的面积，然后求出△AEB和△ADO的面积，相减即可求出△AOB的面积；（3）求证△AOB为直角三角形，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，根据∠POB=45°，求出∠OAD的度数，然后设P点坐标，将其代入到函数中，即可求出P的坐标．
解：（1）∵点A（-1，3）在二次函数y=-13x2+bx+4的图象上，∴3=-13(-1)2-b+4，解得b=23；∴二次函数y=-13x2+23x+4∵B（2，n）两点在二次函数y=-13x2+23x+4的图象上∴n=-13×4+23×2+4即n=4．（2）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图①所示，由题意可知OD=1，AD=3，BE=1+2=3，ED=4，AE=4-3=1，∴梯形ODEB的面积为SODEB=12(OD+BE)oDE=12×4×4=8∵S△ADO=12ADoDO=12×3×1=32S△AEB=12AEoBE=12×1×3=32∴S△AOB=S梯形ODEB-S△ADO-S△AEB=8-32-32=5．∴△AOB的面积为5．（3）∵AO=√AD2+OD2=√9+1=√10AB=√AE2+BE2=√9+1=√10OB=√22+42=√20∴AO2+AB2=10+10=20=OB2∴△AOB为等腰直角三角形，且∠BAO=90°，∠AOB=∠ABO=45°∵点P不与点A重合，且∠POB=45°∴∠AOP=∠AOB+∠POB=90°过P点作PH⊥x轴，垂足为H，如图②所示，∵∠POH+∠AOD=90°∠OAD+∠AOD=90°∴∠POH=∠OAD∴PHOH=tan∠POH=tan∠OAD=ODAD=13设PH=k，则OH=3k，P点坐标为（3k，k）将P点（3k，k）代入二次函数y=-13x2+23x+4得k=-13(3k)2+23o3k+4整理得，3k2-k+4=0解关于k的方程得，k=-1，k=43∴P点坐标为（-3，-1）或（4，43）经检验（-3，-1）不符合题意舍去，故所求P点坐标为（4，43）．
本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多，有一点的难度．
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（2014o嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知A（-1，3），B（2，n）两点在二次函数y=1/3x2+bx+4的图象上．（1）求b与n的值（2）联结OA、OB、AB，求△AOB的面积...
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经过分析，习题“（2014o嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知A（-1，3），B（2，n）两点在二次函数y=1/3x2+bx+4的图象上．（1）求b与n的值（2）联结OA、OB、AB，求△AOB的面积；（3）若...”主要考察你对“二次函数综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
与“（2014o嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知A（-1，3），B（2，n）两点在二次函数y=1/3x2+bx+4的图象上．（1）求b与n的值（2）联结OA、OB、AB，求△AOB的面积；（3）若...”相似的题目：
[2002o广州o模拟]直线y=x与抛物线y=x2-2的两个交点的坐标分别是（ ）（2，2），（1，1）（2，2），（-1，-1）（-2，-2），（1，1）（-2，-2），（-l，-1）
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“（2014o嘉定区一模）在平面直角坐标系...”的最新评论
该知识点好题
1（2013o淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
2二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于12的点P共有（ ）
3如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（ ）
该知识点易错题
1（2012o南浔区二模）如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（ ）
2如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x&…&-3&-2&1&2&…&y&…&-52&-4&-52&0&…&（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
3如图，已知直线y=-12x+1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过A、D、C作抛物线L1．（1）请直接写出点C、D的坐标；（2）求抛物线L1的解析式；（3）若正方形以每秒√5个长度单位的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形在运动过程中落在x轴下方部分的面积为S．求S关于滑行时间t的函数关系式；（4）在（3）的条件下，抛物线L1与正方形一起平移，同时停止，得到抛物线L2．两抛物线的顶点分别为M、N，点&P是x轴上一动点，点Q是抛物线L1上一动点，是否存在这样的点P、Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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二次函数y=ax²+k(a≠0)的图像经过点A(1,-1),B(2,5) 、、、急、、、、急、、二次函数y=ax²+k(a≠0)的图像经过点A(1,-1),B(2,5) (1)求该函数的表达式 2、若点C（-2,m）(n,7)也在函数图像,求m,n的值3、点E（2,6）是否在这个图像上?为什么?
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(1)把A(1,-1),B(2,5) 代入y=ax²+k得a=2,k=-3则y=2x²-3（2）把C（-2,m）(n,7)代入y=2x²-3得m=5,n=5^1/2(3)把x=2代入y=2x²-3得y=5则E（2,6）不在这个图像上
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Copyright (C) 2017 Baidu如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
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【知识点】
如图，在平面直角坐标系xoy中，O为原点，?ABCD的边AB在x轴上，点D在y轴上，点A的坐标为（﹣2，0），AB=6，∠BAD=60°，点E是BC边上一点，CE=3EB，⊙P过A、O、D三点，抛物线y=ax2+bx+c过点A、B、D三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：DE是⊙P的切线；（3）若将△CDE绕点D顺时针旋转90°，点E的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗？请说明理由；（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在矩形OABC中，点O为原点，边OA的长度为8，对角线AC=10，抛物线y=x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式并求出S最大时的m值；②在S最大的情况下，在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，O是平面直角坐标系的原点．在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于C，A（1，1），B（3，1），动点P从O点出发，沿x轴正方向以2个单位/秒的速度运动．设P点运动的时间为t秒（0＜t＜2）．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；（2）过P作PD⊥OA于D，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，⊙P在点P的右侧与x轴交于点Q．①则P点的坐标为_____，Q点的坐标为_____；（用含t的代数式表示）②试求t为何值时，⊙P与四边形OABC的两边同时相切；③设△OPD与四边形OABC重叠的面积为S，请直接写出S与t的函数解析式．&&&&
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B利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的单调性 (1)计算题 1、 （2011?浙江）设函数 f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若 x=-1 为函数 y=f（x）ex 的一个极值点，则下列图象不可能为 y=f （x）的图象是（ ）A、B、C、D、解答：解：由 y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）?y'=f'（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（b+2a）x+b+c]，由 x=-1 为函数 f（x）ex 的一个极值点可得，-1 是方程 ax2+（b+2a）x+b+c=0 的一个根，所以有 a-（b+2a）+b+c=0?c=a． 法一：所以函数 f（x）=ax2+bx+a，对称轴为 x=- b2a，且 f（-1）=2a-b，f（0）=a．对于 A，由图得 a＞0，f（0）＞0，f（-1）=0 符合要求，对于 B，由图得 a＜0，f（0）＜0，f（-1）=0 不矛盾，对于 C，由图得 a＜0，f（0）＜0，x=- b2a＞0?b＞0?f（-1）＜0 不矛盾，对于 D，由图得 a＞0，f（0）＞0，x=- b2a＜-1?b＞2a?f（-1）＜0 于原图中 f（-1）＞0 矛盾，D 不对． 法二：所以函数 f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为 1，对照四个选项发现，D 不成立故选 D． 4、 （2009?天津）设函数 f（x）= 13x-lnx（x＞0），则 y=f（x）（ ）A、在区间（ 1e，1），（l，e）内均有零点B、在区间（ 1e，1），（l，e）内均无零点C、在区间（ 1e，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点 D、在区间（ 1e，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点解答：解：由题得 f′(x)=x-33x，令 f′（x）＞0 得 x＞3；令 f′（x）＜0 得 0＜x＜3；f′（x）=0 得 x=3，故知函数 f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，在点 x=3 处有极小值 1-ln3＜0；又 f(1)=13＞0， f(e)=e3-1＜0， f(1e)=13e+1＞0．故选 C．5、 （2009?湖南）若函数 y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（ ）A、B、 C、D、解答：解：∵函数 y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的 a＜x′＜x″＜b，有 f′（a）＜f′（x′）＜f′（x″）＜f′（b），∴A 满足上述条件，B 存在 f′（x′）＞f′（x″），C 对任意的 a＜x′＜x″＜b，f′（x′）=f′（x″），D 对任意的 x∈[a，b]，f′（x）不满足逐项递增的条件，故选 A．11、 （2007?江西）设 p：f（x）=x3+2x2+mx+1 在（-∞，+∞）内单调递增，函数 q：g（x）=x2-4x+3m 不存在零点则 p 是 q 的（ ） A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件解答：解：f（x）在（-∞，+∞）内单调递增，则 f′（x）≥0 在（-∞，+∞）上恒成立， 即 3x2+4x+m≥0 在（-∞，+∞）上恒成立，即△1=16-12m≤0，即 m≥43；g（x）不存在零点，则△2=16-12m＜0，即 m＞43． 故 p 成立 q 不一定成立，q 成立 p 一定成立，故 p 是 q 的必要不充分条件．故选 B．13、 （2005?江西）已知函数 y=xf′（x）的图象如图所示（其中 f′（x）是函数 f（x）的导函数），下面四个图象中 y=f（x）的图象大 致是（ ）A、B、C、D、14、 （2005?湖北）若 0＜x＜π2，则 2x 与 3sinx 的大小关系（ ）A、2x＞3sinxB、2x＜3sinx C、2x=3sinxD、与 x 的取值有关解答：解：令 f（x）=2x-3sinx，则 f′（x）=2-3cosx当 cosx＞23 时，f′（x）＜0，当 cosx=23 时，f′（x）=0，当 cosx＜23 时，f′（x）＞0即当 0＜x＜π2 时，f（x）先递增再递减， 而 f（0）=0， f(π2)=π-3＞02x＞3sinx故选 A．15、 （2005?广东）函数 f（x）=x3-3x2+1 是减函数的区间为（ ）A、（2，+∞）B、（-∞，2）C、（-∞，0）D、（0，2）解答：解：由 f′（x）=3x2-6x＜0，得 0＜x＜2∴函数 f（x）=x3-3x2+1 是减函数的区间为（0，2）．故答案为 D．17、 已知函数 y=f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导函数为 f（x），且对任意正数 X 均有 f，(x)＞f(x)x，则下列结论中正确的 是（ ）A、.y=f（x）在（0，+∞）上为增函数B、.y= f(x)x 在（0，+∞）上为减函数C、若 x1，x2∈（0，+∞）则 f（（x1）+f（x2）＞f（x1+x2） D、若 x1，x2∈（0，+∞），则 f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）解答：解：由 f′（x）＞ f(x)x? xf′(x)-f(x)x＞0，又 x＞0? xf′(x)-f(x)x2＞0 即： [f′(x)x2]′＞0? f(x)x 在（0，+∞）上单调递增，又 x1，x2∈（0，+∞）? f(x1)x1＜f(x1+x2)x1+x2 即：（x1+x2）f（x1）＜x1f（x1+x2）① 同理：（x1+x2）f（x2）＜x2f（x1+x2）② ①+②得：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）． 故答案选 D18、 若命题 P：函数 f（x）=x3-ax-2 在区间（1，+∞）内是增函数；则命题 P 成立的充要条件是（ ）A、a∈（-∞，3]B、a∈（-∞，9]C、a∈（-1，∞）D、a∈（-∞，3）解答：解：f′（x）=3x2+a，令 f′（x）=3x2+a＞0 即 x2＞-a3，当 a≥0，x∈R；当 a＜0 时，解得 x＞-a3，或 x＜--a3；因为函数在区间（1，+∞）内是增函数，所以-a3≤1，解得 a≥-3，所以实数 a 的取值范围是[-3，+∞）故选 A20、 函数 f（x）= sinxx，则（ ）A、f（x）在（0，π）内是减函数B、f（x）在（0，π）内是增函数C、f（x）在（- π2， π2）内是减函数D、f（x）在（- π2， π2）内是增函数 解答：解： f′(x)=(sinx)′x-sinx?x′x2= xcosx-sinxx2∵x∈（0，π）∴f'（x）＜0∴f（x）在（0，π）内是减函数故选 A22、 若命题 P：函数 f（x）=x3-ax-2 在区间（1，+∞）内是增函数；则命题 P 成立的充要条件是（ ）A、a∈（-∞，3]B、a∈（-∞，9]C、a∈（-1，∞）D、a∈（-∞，3）解答：解：f′（x）=3x2+a，令 f′（x）=3x2+a＞0 即 x2＞-a3，当 a≥0，x∈R；当 a＜0 时，解得 x＞-a3，或 x＜--a3；因为函数在区间（1，+∞）内是增函数，所以-a3≤1，解得 a≥-3，所以实数 a 的取值范围是[-3，+∞）故选 A24、 函数 f（x）= sinxx，则（ ）A、f（x）在（0，π）内是减函数B、f（x）在（0，π）内是增函数C、f（x）在（- π2， π2）内是减函数D、f（x）在（- π2， π2）内是增函数解答：解： f′(x)=(sinx)′x-sinx?x′x2= xcosx-sinxx2∵x∈（0，π）∴f'（x）＜0∴f（x）在（0，π）内是减函数故选 A25、 函数 f（x）=x3-ax 在 R 上增函数的一个充分不必要条件是（ ） A、a≤0B、a＜0C、a≥0D、a＞0解答：解：∵函数 f（x）=x3-ax 的导函数为f'（x）=3x2-a， 当 a＜0 时，f'（x）＞0 恒成立，则函数 f（x）=x3-ax 在 R 上增函数 但函数 f（x）=x3-ax 在 R 上增函数时，f'（x）≥0 恒成立，故 a≤0故选 B29、 函数 f（x）=ex-ex，x∈R 的单调递增区间为（ ）A、（0，+∞）B、（-∞，0）C、（-∞，1）D、（1，+∞）分析：用导数求函数的单调区间，先求函数的导数，再令其大于 0，解出不等式的解集，即得其单调区间． 解答：解：f′（x）=ex-e，令 f′（x）＞0 得 x＜1，∴函数 f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．故选 D．33、 函数 y=xlnx+2 的单调递增区间是（ ）A、（ 1e，+∞）B、（e，0）C、（0， 1e）D、（ 1e，e） 解答：解：由函数 f（x）=2+xlnx 得：f（x）=lnx+1，令 f′（x）=lnx+1＞0 即 lnx＞-1=ln 1e，根据 e＞1 得到此对数函数为增函数，所以得到 x＞1e，即为函数的单调递增区间．故选 A． 119、 函数 f(x)=lnxx（ ）（e 是自然对数的底数）A、在（0，e）上是减函数B、在（0，+∞）上是增函数C、在（e，+∞）上是减函数D、在（0，+∞）上是减函数解答：解：f′（x）= 1-lnxx2，当 x＞e 时，f′（x）＞0，∴f（x）在（e，+∞）上是减函数．故选 C． 120、 设 y=8x2-lnx，则此函数在区间（0， 14）和（ 12，1）内分别（ ）A、单调递增，单调递减B、单调递增，单调递增C、单调递减，单调递增D、单调递减，单调递减解答：解：y′=16x- 1x．当 x∈（0， 14）时，y′＜0，y=8x2-lnx 为减函数； 当 x∈（ 12，1）时，y′＞0，y=8x2-lnx 为增函数．故选 C． 121、 函数 y= sinx-3cosx-2 的定义域为[0， π2]，则函数的值域为（ ）A、[ 23，4]B、[1，3]C、[ 43，2]D、[2- 233，2+ 233] 解答：解：数形结合法：y= sinx-3cosx-2 的可看作：点（2，3）与圆 x2+y2=1 上的点（cosx，sinx）x∈[0， π2]的连线的斜率的范围如图，圆上的点只取第一象限内的部分．由图可知，当圆上的点处在 B 处时，直线 AB 的斜率最大，为 3；当圆上的点处在 C 时，直线 AC 斜率最小，为 1；则函数的值域为[1，3]．故选 B．133、 已知函数 y=13x3+x2-8x 的图象 C 上存在一个定点 P 满足：若过定点 P 的直线 l 与曲线 C 交于不同于 P 的两点 M（x1，y1）， N（x2，y2），就恒有 y1+y2 为定值 y0，则 y0 的值为（ ）A、- 13B、 523C、 -43D、-2解答：解：P 为定点，y1+y2 为定值，∴MN 两点关于 P 点对称 y′=x2+2x-8y〃=2x+2三次函数的对称中心的二阶导数为 0y〃=2x+2=0 x=-1故 P 点为（-1， 263）∴y1+y2=2× 263= 523151、 f（x）=x3，f′（x0）=6，则 x0=（ 错误！未找到引用源。A、 2 ） 错误！未找到引用源。C、± 2 错误！未找到引用源。D、±1错误！未找到引用源。B、- 2解答：解：f′（x）=3x2f′（x0）=3x02=6x0=± 2 故选项为 C152、 函数 y=xcos2x 在点(π4，0)处的切线方程是（ 错误！未找到引用源。A、4πx+16y-π2=0 ） 错误！未找到引用源。B、4πx-16y-π2=0错误！未找到引用源。C、4πx+8y-π2=0错误！未找到引用源。D、4πx-8y-π2=0解答：解：∵y′=cos2x-2xsin2x，∴ k=y′|x=π4=-π2，?L：y-0=-π2(x-π4)， 整理得：4πx+8y-π2=0，故选 C．153、 曲线 y=x3 的切线中斜率等于 1 的直线（ 错误！未找到引用源。A、不存在 ） 错误！未找到引用源。B、存在，有且仅有一条错误！未找到引用源。C、存在，有且恰有两条错误！未找到引用源。D、存在，但条数不确定 解答：解：根据题意得 f′（x）=3x2，设切点（m，n）则曲线 y=f（x）上点（m，n）处的切线的斜率 k=3m2， ∴3m2=1，m=± 33，故切点的坐标有两解．由直线的方程可得中斜率等于 1 的直线有两条，故选 C．154、 曲线 y=x2-3x 上在点 P 处的切线平行于 x 轴，则 P 的坐标为（ 错误！未找到引用源。A、 （ -32，94） ） 错误！ 未找到引用源。 （ 32， D、 94）错误！ 未找到引用源。 （ 32， 错误！未找到引用源。C、 B、 -94） （ -32，-94）解答：解：y′=2x-3，令 y′=0．即 2x-3=0，得 x= 32． 代入曲线方程 y=x2-3x，得 y=- 94．故选 B．155、 若函数 f（x）= 13x3+ 12f′（1）x2-f′（2）x+3，则 f（x）在点（0，f（0））处切线的倾斜角为（ ）错误！未找到引用源。A、 π4 错误！未找到引用源。B、 π3 错误！ 未找到引用源。 C、 2π3 错误！ 未找到引用源。 D、 34π解答：解析：由题意得：f′（x）=x2+f′（1）x-f′（2） ，令 x=0，得 f′（0）=-f′（2） ，令 x=1，得 f′（1）=1+f′（1）-f′（2） ，∴f′（2）=1，∴f′（0）=-1，即 f（x）在点（0，f（0） ）处切线的斜率为-1， ∴倾斜角为 34π．故选 D．156、 y=x3 在点 P 处切线的斜率为 3，则点 P 的坐标为（）错误！ 未找到引用源。 （-2， 错误！ A、 未找到引用源。 （-1， 错误！未找到引用源。C、 B、 （2， 错误！未找到引用源。D、 （1， -8） -1），（1，1） 8） 1）解答：解：由题意可知，y=x3则 y′=3x2 曲线 y=x3 在点 P（x，y）处的切线斜率 k=y′（x）=3， ∴3x2=3，x=± 1，∴P 点坐标为（1，1）或（-1，-1）故选 B．157、 某汽车启动后的路程 s 与时间 t 的函数关系为 s（t）=2t3-5t2+2 其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么汽车在 2 秒末的加速度 是（ ） 错误！未找到引用源。B、 10m/s2错误！未找到引用源。A、 14m/s2错误！ 未找到引用源。 6m/s2 错误！ C、 未找到引用源。 4m/s2 D、分析：先由函数 s（t）=2t3-5t2+2，求导数 S′（t）=6t2-10t，再求 S′（2） ． 解答：解；∵函数 s（t）=2t3-5t2+2S′（t）=6t2-10t ∴S′（2）=6×22-10×2=4故选 A158、 若曲线 y=x3+px+q 与 x 轴相切，则 p，q 之间的关系满足（ 错误！未找到引用源。A、 (p3)2+(q2)2=0 ） 错误！未找到引用源。B、 (p2)2+(q3)3=0错误！未找到引用源。C、2p-3q2=0错误！未找到引用源。D、2q-3p2=0解答：解：y′=3x2+p令 y′=3x2+p=0 得 x= -p3 或- -p3∵y=0 是切线 ∴切点为（ -p3，0）或（- -p3，0） 代入曲线 y=x3+px+q 得(p3)2+(q2)2=0故选项为 A159、 函数 f（x）=x3+x 在点 x=1 处的切线方程为（ 错误！未找到引用源。A、 4x-y+2=0 ） 错误！未找到引用源。C、 4x+y+2=0 错误！未找到引用源。D、 4x+y-2=0错误！未找到引用源。B、 4x-y-2=0解答：解：∵f（x）=x3+x∴f′（x）=3x2+1∴容易求出切线的斜率为 4当 x=1 时，f（x）=2利用点斜式，求出切线方程为 4x-y-2=0故选 B．160、 若函数 f（x）的导函数为 f′（x）=-sinx，则函数图象在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（ 错误！未找到引用源。C、锐 错误！未找到引用源。A、90° 错误！未找到引用源。B、0° 角 角 ） 错误！未找到引用源。D、钝解答：解：根据题意得 f′（x）=-sinx，则曲线 y=f（x）上点（4，f（4） ）处的切线的斜率 k=tanα=-sin4， 结合正切函数的图象由图可得 α∈（0， π2） ，故选 C． 161、 函数 y=xcos2x 在点(π4，0)处的切线方程是（ 错误！未找到引用源。A、4πx+16y-π2=0 ） 错误！未找到引用源。B、4πx-16y-π2=0错误！未找到引用源。C、4πx+8y-π2=0错误！未找到引用源。D、4πx-8y-π2=0解答：解：∵y′=cos2x-2xsin2x，∴ k=y′|x=π4=-π2，?L：y-0=-π2(x-π4)， 整理得：4πx+8y-π2=0，故选 C．162、 曲线 y=x3 的切线中斜率等于 1 的直线（ 错误！未找到引用源。A、不存在 ） 错误！未找到引用源。B、存在，有且仅有一条错误！未找到引用源。C、存在，有且恰有两条错误！未找到引用源。D、存在，但条数不确定解答：解：根据题意得 f′（x）=3x2，设切点（m，n）则曲线 y=f（x）上点（m，n）处的切线的斜率 k=3m2， ∴3m2=1，m=± 33，故切点的坐标有两解．由直线的方程可得中斜率等于 1 的直线有两条，故选 C．163、 曲线 y=x2-3x 上在点 P 处的切线平行于 x 轴，则 P 的坐标为（ 错误！未找到引用源。A、 （ -32，94） ） 错误！ 未找到引用源。 （ 32， D、 94）错误！ 未找到引用源。 （ 32， 错误！未找到引用源。C、 B、 -94） （ -32，-94）解答：解：y′=2x-3，令 y′=0． 即 2x-3=0，得 x= 32． 代入曲线方程 y=x2-3x，得 y=- 94．故选 B．164、 y=x3 在点 P 处切线的斜率为 3，则点 P 的坐标为（ ）错误！ 未找到引用源。 （-2， 错误！ A、 未找到引用源。 （-1， 错误！未找到引用源。C、 B、 （2， 错误！未找到引用源。D、 （1， -8） -1），（1，1） 8） 1）解答：解：由题意可知，y=x3则 y′=3x2 曲线 y=x3 在点 P（x，y）处的切线斜率 k=y′（x）=3， ∴3x2=3，x=± 1，∴P 点坐标为（1，1）或（-1，-1）故选 B．165、 某汽车启动后的路程 s 与时间 t 的函数关系为 s（t）=2t3-5t2+2 其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么汽车在 2 秒末的加速度 是（ ） 错误！未找到引用源。B、 10m/s2错误！未找到引用源。A、 14m/s2错误！ 未找到引用源。 6m/s2 错误！ C、 未找到引用源。 4m/s2 D、解答：解；∵函数 s（t）=2t3-5t2+2S′（t）=6t2-10t ∴S′（2）=6×22-10×2=4故选 A166、 若曲线 y=x3+px+q 与 x 轴相切，则 p，q 之间的关系满足（ 错误！未找到引用源。A、 (p3)2+(q2)2=0 ） 错误！未找到引用源。B、 (p2)2+(q3)3=0 错误！未找到引用源。C、2p-3q2=0错误！未找到引用源。D、2q-3p2=0解答：解：y′=3x2+p令 y′=3x2+p=0 得 x= -p3 或- -p3∵y=0 是切线∴切点为（ -p3，0）或（- -p3，0） 代入曲线 y=x3+px+q 得(p3)2+(q2)2=0故选项为 A167、 若函数 f（x）的导函数为 f′（x）=-sinx，则函数图象在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（ 错误！未找到引用源。C、锐 错误！未找到引用源。A、90° 错误！未找到引用源。B、0° 角 角 ） 错误！未找到引用源。D、钝解答：解：根据题意得 f′（x）=-sinx，则曲线 y=f（x）上点（4，f（4） ）处的切线的斜率 k=tanα=-sin4，结合正切函数的图象由图可得 α∈（0， π2） ，故选 C．168、 已知函数 f(x)={ax2+bx+c，x≥1f(-x-2)，x＜-1 其图象在点（1，f（1））处的切线方程为 y=2x+1，则它在点（-3，f（-3））处 的切线方程为（ ） 错误！未找到引用源。B、 错误！未找到引用源。C、 错误！未找到引用源。D、错误！未找到引用源。A、 y=-2x-3y=-2x+3y=2x-3y=2x+3解答：解：∵图象在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y=2x+1∴f（1）=2+1=3∵f（-3）=f（3-2）=f（1）=3∴（-3，f（-3） ）即为（-3，3）∴在点（-3，f（-3） ）处的切线过（-3，3）将（-3，3）代入选项通过排除法得到点（-3，3）只满足 A故选 A169、 曲线 y= sinxx 在点（π，0）处的切线与直线 ax+y+c=0 垂直，则 a=（ 错误！未找到引用源。A、π 错误！未找到引用源。B、-π ） 错误！未找到引用源。D、 1π错误！未找到引用源。C、π2解答：解：∵ y′=xcosx-sinxx2∴y′|x=π=- 1π ∵直线 ax+y+c=0 的斜率为-a又∵切线与直线 ax+y+c=0 垂直∴-a=π∴a=-π故选项为 B170、 已知函数 y=f（x）在区间（a，b）内可导，且 x0∈（a，b）且 limh→0f(x0+h)-f(x0-h)h=1 则 f′（x0）的值为（ 错误！未找到引用源。A、-1 错误！未找到引用源。B、 12 错误！未找到引用源。C、2 ）错误！未找到引用源。D、1解答：解：由题意， limh→0f(x0+h)-f(x0-h)h=2limf(x0+h)-f(x0-h)2h=1根据导数的定义，可知 f′（x0）= limh→0f(x0+h)-f(x0-h)2h ∴f′（x0）= 12 故选 B． 171、 函数 y=xcos2x 在点(π4，0)处的切线方程是（ 错误！未找到引用源。A、4πx+16y-π2=0 ） 错误！未找到引用源。B、4πx-16y-π2=0错误！未找到引用源。C、4πx+8y-π2=0错误！未找到引用源。D、4πx-8y-π2=0解答：解：∵y′=cos2x-2xsin2x，∴ k=y′|x=π4=-π2，?L：y-0=-π2(x-π4)， 整理得：4πx+8y-π2=0，故选 C．172、 曲线 y=x3 的切线中斜率等于 1 的直线（ 错误！未找到引用源。A、不存在 ） 错误！未找到引用源。B、存在，有且仅有一条错误！未找到引用源。C、存在，有且恰有两条错误！未找到引用源。D、存在，但条数不确定解答：解：根据题意得 f′（x）=3x2，设切点（m，n）则曲线 y=f（x）上点（m，n）处的切线的斜率 k=3m2， ∴3m2=1，m=± 33，故切点的坐标有两解．由直线的方程可得中斜率等于 1 的直线有两条，故选 C．173、 曲线 y=x2-3x 上在点 P 处的切线平行于 x 轴，则 P 的坐标为（ 错误！未找到引用源。A、 （ -32，94） ） 错误！ 未找到引用源。 （ 32， D、 94）错误！ 未找到引用源。 （ 32， 错误！未找到引用源。C、 B、 -94） （ -32，-94）解答：解：y′=2x-3，令 y′=0．即 2x-3=0，得 x= 32． 代入曲线方程 y=x2-3x，得 y=- 94． 故选 B．174、 y=x3 在点 P 处切线的斜率为 3，则点 P 的坐标为（ ）错误！ 未找到引用源。 （-2， 错误！ A、 未找到引用源。 （-1， 错误！未找到引用源。C、 B、 （2， 错误！未找到引用源。D、 （1， -8） -1），（1，1） 8） 1）解答：解：由题意可知，y=x3则 y′=3x2 曲线 y=x3 在点 P（x，y）处的切线斜率 k=y′（x）=3， ∴3x2=3，x=± 1，∴P 点坐标为（1，1）或（-1，-1）故选 B．175、 某汽车启动后的路程 s 与时间 t 的函数关系为 s（t）=2t3-5t2+2 其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么汽车在 2 秒末的加速度 是（ ） 错误！未找到引用源。B、 10m/s2错误！未找到引用源。A、 14m/s2错误！ 未找到引用源。 6m/s2 错误！ C、 未找到引用源。 4m/s2 D、解答：解；∵函数 s（t）=2t3-5t2+2S′（t）=6t2-10t ∴S′（2）=6×22-10×2=4故选 A176、 若曲线 y=x3+px+q 与 x 轴相切，则 p，q 之间的关系满足（ 错误！未找到引用源。A、 (p3)2+(q2)2=0 ） 错误！未找到引用源。B、 (p2)2+(q3)3=0错误！未找到引用源。C、2p-3q2=0错误！未找到引用源。D、2q-3p2=0解答：解：y′=3x2+p令 y′=3x2+p=0 得 x= -p3 或- -p3 ∵y=0 是切线∴切点为（ -p3，0）或（- -p3，0） 代入曲线 y=x3+px+q 得(p3)2+(q2)2=0故选项为 A178、 已知函数 f(x)={ax2+bx+c，x≥1f(-x-2)，x＜-1 其图象在点（1，f（1））处的切线方程为 y=2x+1，则它在点（-3，f（-3））处 的切线方程为（ ） 错误！未找到引用源。B、 y=-2x+3 错误！未找到引用源。C、 y=2x-3 错误！未找到引用源。D、 y=2x+3错误！未找到引用源。A、 y=-2x-3解答：解：∵图象在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y=2x+1∴f（1）=2+1=3∵f（-3）=f（3-2）=f（1）=3∴（-3，f（-3） ）即为（-3，3）∴在点（-3，f（-3） ）处的切线过（-3，3）将（-3，3）代入选项通过排除法得到点（-3，3）只满足 A故选 A179、 曲线 y= sinxx 在点（π，0）处的切线与直线 ax+y+c=0 垂直，则 a=（ 错误！未找到引用源。A、π 错误！未找到引用源。B、-π ） 错误！未找到引用源。D、 1π错误！未找到引用源。C、π2解答：解：∵$y′=\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$∴y′|x=π=-$\frac{1}{π}$ ∵直线 ax+y+c=0 的斜率为-a又∵切线与直线 ax+y+c=0 垂直∴-a=π ∴a=-π故选项为 B 180、 已知函数 y=f（x）在区间（a，b）内可导，且 x0∈（a，b）且 limh→0f(x0+h)-f(x0-h)h=1 则 f′（x0）的值为（ 错误！未找到引用源。A、-1 错误！未找到引用源。B、 12 错误！未找到引用源。C、2 ）错误！未找到引用源。D、1解答：解：由题意， limh→0f(x0+h)-f(x0-h)h=2limf(x0+h)-f(x0-h)2h=1根据导数的定义，可知 f′（x0）= limh→0f(x0+h)-f(x0-h)2h ∴f′（x0）= 12 故选 B．181、 曲线 y=x3 的切线中斜率等于 1 的直线（ 错误！未找到引用源。A、不存在 ） 错误！未找到引用源。B、存在，有且仅有一条错误！未找到引用源。C、存在，有且恰有两条错误！未找到引用源。D、存在，但条数不确定解答：解：根据题意得 f′（x）=3x2，设切点（m，n）则曲线 y=f（x）上点（m，n）处的切线的斜率 k=3m2， ∴3m2=1，m=± 33，故切点的坐标有两解．由直线的方程可得中斜率等于 1 的直线有两条，故选 C．182、 曲线 y=x2-3x 上在点 P 处的切线平行于 x 轴，则 P 的坐标为（ 错误！未找到引用源。A、 （ -32，94） ） 错误！ 未找到引用源。 （ 32， D、 94）错误！ 未找到引用源。 （ 32， 错误！未找到引用源。C、 B、 -94） （ -32，-94）解答：解：y′=2x-3，令 y′=0．即 2x-3=0，得 x= 32． 代入曲线方程 y=x2-3x， 得 y=- 94．故选 B．183、 某汽车启动后的路程 s 与时间 t 的函数关系为 s（t）=2t3-5t2+2 其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么汽车在 2 秒末的加速度 是（ ） 错误！未找到引用源。B、 10m/s2错误！未找到引用源。A、 14m/s2错误！ 未找到引用源。 6m/s2 错误！ C、 未找到引用源。 4m/s2 D、解答：解；∵函数 s（t）=2t3-5t2+2S′（t）=6t2-10t ∴S′（2）=6×22-10×2=4故选 A184、 若曲线 y=x3+px+q 与 x 轴相切，则 p，q 之间的关系满足（ 错误！未找到引用源。A、 (p3)2+(q2)2=0 ） 错误！未找到引用源。B、 (p2)2+(q3)3=0错误！未找到引用源。C、2p-3q2=0错误！未找到引用源。D、2q-3p2=0解答：解：y′=3x2+p令 y′=3x2+p=0 得 x= -p3 或- -p3∵y=0 是切线∴切点为（ -p3，0）或（- -p3，0） 代入曲线 y=x3+px+q 得(p3)2+(q2)2=0故选项为 A 185、 已知函数 f(x)={ax2+bx+c，x≥1f(-x-2)，x＜-1 其图象在点（1，f（1））处的切线方程为 y=2x+1，则它在点（-3，f（-3））处 的切线方程为（ ） 错误！未找到引用源。B、 y=-2x+3 错误！未找到引用源。C、 y=2x-3 错误！未找到引用源。D、 y=2x+3错误！未找到引用源。A、 y=-2x-3 解答：解：∵图象在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y=2x+1∴f（1）=2+1=3∵f（-3）=f（3-2）=f（1）=3∴（-3，f（-3） ）即为（-3，3）∴在点（-3，f（-3） ）处的切线过（-3，3）将（-3，3）代入选项通过排除法得到点（-3，3）只满足 A故选 A186、 曲线 y= sinxx 在点（π，0）处的切线与直线 ax+y+c=0 垂直，则 a=（ 错误！未找到引用源。A、π 错误！未找到引用源。B、-π ） 错误！未找到引用源。D、 1π错误！未找到引用源。C、π2解答：解：∵ y′=xcosx-sinxx2∴y′|x=π=- 1π ∵直线 ax+y+c=0 的斜率为-a又∵切线与直线 ax+y+c=0 垂直∴-a=π∴a=-π故选项为 B187、 设 P 为曲线 C： 2+2x+3 上的点， 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为[ π4， 则点 P 横坐标的取值范围为 （ y=x π2]， ）错误！ 未找到引用源。 （-∞， 错误！未找到引用源。B、[-1， 错误！未找到引用源。C、[0， 错误！ A、 未找到引用源。 [ 12， D、 12] 0] 1] +∞]解答：解：设点 P 的横坐标为 x0，∵y=x2+2x+3，∴y' |x=x0=2x0+2， 利用导数的几何意义得 2x0+2=tanα（α 为点 P 处切线的倾斜角） ， 又∵ α∈[π4，π2]，∴1≤2x0+2， ∴x0∈[ 12，+∞） 故选 D．188、 在函数 y=16x3-4x 的图象上，其切线的倾斜角小于 π4 的点中，横坐标为整数的点有（ 错误！未找到引用源。A、7 错误！未找到引用源。B、5 ） 错误！未找到引用源。D、2错误！未找到引用源。C、4解答：解：y′= 12x2-4∵切线的倾斜角小于 π4∴0≤ 12x2-4＜1 解得 -10＜x≤-22 或 22≤x＜10∴横坐标为整数的点有-3，3 共两个点故选项为 D．189、 若 f（x），g（x）满足 f'（x）=g'（x），则 f（x）与 g（x）满足（ 错误！未找到引用源。A、f（x）=g（x） ）错误！未找到引用源。B、f（x）-g（x）为常数错误！未找到引用源。C、f（x）=g（x）=0错误！未找到引用源。D、f（x）+g（x）为常数解答：解：由 f′（x）=g′（x） ，得 f′（x）-g′（x）=0，即[f（x）-g（x）]′=0，所以 f（x）-g（x）=C（C 为常数） ．故选 B． 190、 已知点 P 在曲线 y= 43ex+1 上，α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是（ ）错误！未找到引用源。A、[0， 错误！ 未找到引用源。 [π3， 错误！ B、 未找到引用源。 (π2， 错误！未找到引用源。D、 C、 π3） π2) 2π3] [2π3，π)解答：解：根据题意得 f′（x）=-$\frac{4\sqrt{3}{e}^{x}}{{e}^{2x}+2{e}^{x}+1}$，∵k=-$\frac{4\sqrt{3}}{{e}^{x}\;+\frac{1}{{e}^{x}}+2}≥-\frac{4\sqrt{3}}{2+2}=-\sqrt{3}$ $k=-\frac{4}{{e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}+2}≥\;-\fra c{4}{2+2}=-1$， 则曲线 y=f（x）上切点处的切线的斜率 k≥-$\sqrt{3}$，又∵k=tanα，∴α∈[$\frac{2π}{3}$，π）故选 D． 191、 曲线 y=x3 的切线中斜率等于 1 的直线（ 错误！未找到引用源。A、不存在 ） 错误！未找到引用源。B、存在，有且仅有一条错误！未找到引用源。C、存在，有且恰有两条错误！未找到引用源。D、存在，但条数不确定解答：解：根据题意得 f′（x）=3x2，设切点（m，n）则曲线 y=f（x）上点（m，n）处的切线的斜率 k=3m2， ∴3m2=1，m=± 33，故切点的坐标有两解．由直线的方程可得中斜率等于 1 的直线有两条，故选 C．192、 曲线 y=x2-3x 上在点 P 处的切线平行于 x 轴，则 P 的坐标为（ 错误！未找到引用源。A、 （ -32，94） ） 错误！ 未找到引用源。 （ 32， D、 94）错误！ 未找到引用源。 （ 32， 错误！未找到引用源。C、 B、 -94） （ -32，-94）解答：解：y′=2x-3，令 y′=0．即 2x-3=0，得 x= 32． 代入曲线方程 y=x2-3x，得 y=- 94．故选 B．193、 某汽车启动后的路程 s 与时间 t 的函数关系为 s（t）=2t3-5t2+2 其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么汽车在 2 秒末的加速度 是（ ） 错误！未找到引用源。A、 14m/s2错误！未找到引用源。B、 10m/s2错误！ 未找到引用源。 6m/s2 错误！ C、 未找到引用源。 4m/s2 D、解答：解；∵函数 s（t）=2t3-5t2+2S′（t）=6t2-10t ∴S′（2）=6×22-10×2=4故选 A194、 若曲线 y=x3+px+q 与 x 轴相切，则 p，q 之间的关系满足（ 错误！未找到引用源。A、 (p3)2+(q2)2=0 ） 错误！未找到引用源。B、 (p2)2+(q3)3=0错误！未找到引用源。C、2p-3q2=0错误！未找到引用源。D、2q-3p2=0解答：解：y′=3x2+p令 y′=3x2+p=0 得 x= -p3 或- -p3∵y=0 是切线∴切点为（ -p3，0）或（- -p3，0） 代入曲线 y=x3+px+q 得(p3)2+(q2)2=0故选项为 A195、 曲线 y= sinxx 在点（π，0）处的切线与直线 ax+y+c=0 垂直，则 a=（ 错误！未找到引用源。A、π 错误！未找到引用源。B、-π ） 错误！未找到引用源。D、 1π错误！未找到引用源。C、π2解答：解：∵ y′=xcosx-sinxx2∴y′|x=π=- 1π ∵直线 ax+y+c=0 的斜率为-a又∵切线与直线 ax+y+c=0 垂直∴-a=π ∴a=-π故选项为 B196、 在函数 y=16x3-4x 的图象上，其切线的倾斜角小于 π4 的点中，横坐标为整数的点有（ 错误！未找到引用源。A、7 错误！未找到引用源。B、5 ） 错误！未找到引用源。D、2错误！未找到引用源。C、4解答：解：y′= 12x2-4∵切线的倾斜角小于 π4 ∴0≤ 12x2-4＜1解得 -10＜x≤-22 或 22≤x＜10∴横坐标为整数的点有-3，3 共两个点故选项为 D．197、 已知点 P 在曲线 y= 43ex+1 上，α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是（ ）错误！未找到引用源。A、[0， 错误！ 未找到引用源。 [π3， 错误！ B、 未找到引用源。 (π2， 错误！未找到引用源。D、 C、 π3） π2) 2π3] [2π3，π)解答：解：根据题意得 f′（x）=- 43exe2x+2ex+1，∵k=- 43ex+1ex+2≥-432+2=-3 k=-4ex+1ex+2≥-42+2=-1， 则曲线 y=f（x）上切点处的切线的斜率 k≥- 3，又∵k=tanα，∴α∈[ 2π3，π）故选 D．198、 曲线 y=sin2x+6 在 x=π4 处的切线的倾斜角是（ ）错误！未找到引用源。A、 π4 错误！ 未找到引用源。 B、 -π4 错误！ 未找到引用源。 C、 3π4 错误！ 未找到引用源。 -3π4 D、 解答：解：令 f（x）Tsin2x+6，∴f′（x）=2sinxcosx=sin2x${f}^{/}（\frac{π}{4}）=sin\frac{π}{2}=1$根据直线的斜率为倾斜角的正切值，可得倾斜角为$\frac{π}{4}$故选 A．199、 如果质点按规律 s（t）=t2-t（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在 3s 时的瞬时速度为（ ）错误！ 未找到引用源。 5m/s 错误！ A、 未找到引用源。 6m/s 错误！ B、 未找到引用源。 7m/s 错误！ C、 未找到引用源。 8m/s D、解答：解：∵S=t2-t，∴s'=2t-1当 t=3 时，v=s'=5故选 A．200、 函数 f（x）=x3+4x+5 的图象在 x=1 处的切线在 x 轴上的截距为（ 错误！未找到引用源。A、10 错误！未找到引用源。B、5 ） 错误！ 未找到引用源。 D、 -37错误！未找到引用源。C、-1解答：解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f′（x）=3x2+4，∴f′（1）=7，即切线的斜率为 7，又 f（1）=10，故切点坐标（1，10） ，∴切线的方程为：y-10=9（x-1） ，当 y=0 时，x=- 37，切线在 x 轴上的截距为- 37，故选 D． 201、 曲线 y=x2-3x 上在点 P 处的切线平行于 x 轴，则 P 的坐标为（ 错误！未找到引用源。A、 （ -32，94） ） 错误！ 未找到引用源。 （ 32， D、 94）错误！ 未找到引用源。 （ 32， 错误！未找到引用源。C、 B、 -94） （ -32，-94） 解答：解：y′=2x-3，令 y′=0．即 2x-3=0，得 x=$\frac{3}{2}$． 代入曲线方程 y=x2-3x，得 y=-$\frac{9}{4}$．故选 B．202、 若曲线 y=x3+px+q 与 x 轴相切，则 p，q 之间的关系满足（ 错误！未找到引用源。A、 (p3)2+(q2)2=0 ） 错误！未找到引用源。B、 (p2)2+(q3)3=0错误！未找到引用源。C、2p-3q2=0错误！未找到引用源。D、2q-3p2=0解答：解：y′=3x2+p令 y′=3x2+p=0 得 x= -p3 或- -p3∵y=0 是切线∴切点为（ -p3，0）或（- -p3，0） 代入曲线 y=x3+px+q 得(p3)2+(q2)2=0故选项为 A203、 曲线 y= sinxx 在点（π，0）处的切线与直线 ax+y+c=0 垂直，则 a=（ 错误！未找到引用源。A、π 错误！未找到引用源。B、-π ） 错误！未找到引用源。D、 1π错误！未找到引用源。C、π2解答：解：∵ y′=xcosx-sinxx2∴y′|x=π=- 1π ∵直线 ax+y+c=0 的斜率为-a又∵切线与直线 ax+y+c=0 垂直∴-a=π ∴a=-π故选项为 B204、 在函数 y=16x3-4x 的图象上，其切线的倾斜角小于 π4 的点中，横坐标为整数的点有（ 错误！未找到引用源。A、7 错误！未找到引用源。B、5 ） 错误！未找到引用源。D、2错误！未找到引用源。C、4解答：解：y′= 12x2-4∵切线的倾斜角小于 π4 ∴0≤ 12x2-4＜1解得 -10＜x≤-22 或 22≤x＜10∴横坐标为整数的点有-3，3 共两个点故选项为 D． 205、 已知点 P 在曲线 y= 43ex+1 上，α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是（ ）错误！未找到引用源。A、[0， 错误！ 未找到引用源。 [π3， 错误！ B、 未找到引用源。 (π2， 错误！未找到引用源。D、 C、 π3） π2) 2π3] [2π3，π)解答：解：根据题意得 f′（x）=- 43exe2x+2ex+1，∵k=- 43ex+1ex+2≥-432+2=-3 k=-4ex+1ex+2≥-42+2=-1，则曲线 y=f（x）上切点处的切线的斜率 k≥- 3，又∵k=tanα，∴α∈[ 2π3，π）故选 D．206、 曲线 y=sin2x+6 在 x=π4 处的切线的倾斜角是（ ）错误！未找到引用源。A、 π4 错误！ 未找到引用源。 B、 -π4 错误！ 未找到引用源。 C、 3π4 错误！ 未找到引用源。 -3π4 D、解答：解：根据题意得 f′（x）=- 43exe2x+2ex+1， ∵k=- 43ex+1ex+2≥-432+2=-3 k=-4ex+1ex+2≥-42+2=-1， 则曲线 y=f（x）上切点处的切线的斜率 k≥- 3，又∵k=tanα，∴α∈[ 2π3，π）故选 D．207、 如果质点按规律 s（t）=t2-t（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在 3s 时的瞬时速度为（ ）错误！ 未找到引用源。 5m/s 错误！ A、 未找到引用源。 6m/s 错误！ B、 未找到引用源。 7m/s 错误！ C、 未找到引用源。 8m/s D、解答：解：∵S=t2-t，∴s'=2t-1当 t=3 时，v=s'=5故选 A．208、 函数 f（x）=x3+4x+5 的图象在 x=1 处的切线在 x 轴上的截距为（ 错误！未找到引用源。A、10 错误！未找到引用源。B、5 ） 错误！ 未找到引用源。 D、 -37错误！未找到引用源。C、-1解答：解：∵S=t2-t，∴s'=2t-1当 t=3 时，v=s'=5故选 A．209、 已知函数 y=f（x）的图象在点 M（1，f（1））处的切线方程是 y=12x+2，则 f（1）+f′（1）的值等于（ 错误！未找到引用源。A、1 错误！未找到引用源。B、 52 错误！未找到引用源。C、3 ）错误！未找到引用源。D、0解答：解：由已知点点 M（1，f（1） ）在切线上，所以 f（1）= 12+2=52，切点处的导数为切线斜率，所以 f′(1)=12，即 f（1）+f'（1）=3，故选 C．210、 一个物体的运动方程为 s=1-t+t2 其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3 秒末的瞬时速度是（ 错误！未找到引用源。A、7 米/秒 错误！未找到引用源。B、6 米/秒 错误！未找到引用源。C、5 米/秒）错误！未找到引用源。D、8 米/秒解答：解：s'（t）=2t-1，s'（3）=2×3-1=5．故答案为 C 211、 已知函数 y=f（x）的图象在点 M（1，f（1））处的切线方程是 y=12x+2，则 f（1）+f′（1）的值等于（ 错误！未找到引用源。A、1 错误！未找到引用源。B、 52 错误！未找到引用源。C、3 ）错误！未找到引用源。D、0解答：解：由已知点点 M（1，f（1） ）在切线上，所以 f（1）= 12+2=52，切点处的导数为切线斜率，所以 f′(1)=12，即 f（1）+f'（1）=3，故选 C．212、 一个物体的运动方程为 s=1-t+t2 其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3 秒末的瞬时速度是（ 错误！未找到引用源。A、7 米/秒 错误！未找到引用源。B、6 米/秒 错误！未找到引用源。C、5 米/秒 ）错误！未找到引用源。D、8 米/秒解答：解：s'（t）=2t-1，s'（3）=2×3-1=5．故答案为 C213、 设曲线 y=ax2 在点（1，a）处的切线与直线 2x-y-6=0 平行，则 a=（ 错误！未找到引用源。A、1 ）错误！未找到引用源。B、 12 错误！ 未找到引用源。 C、 -12 错误！未找到引用源。D、-1解答：解：y'=2ax，于是切线的斜率 k=y'|x=1=2a，∵切线与直线 2x-y-6=0 平行 ∴有 2a=2∴a=1故选项为 A 214、 已知曲线 y= 400+x2+35(100-x)(0≤x≤100)在点 M 处有水平切线，则点 M 的坐标是（ ）错误！ 未找到引用源。 （-15， 错误！ A、 未找到引用源。 （15， 错误！ B、 未找到引用源。 （15， 错误！ C、 未找到引用源。 （15， D、 76） 67） 76） -76）解答：解：设 M（x，y） ）则y′=x400+x2-35∵曲线在点 M 处有水平切线∴在点 M 处的导数为 0∴ x400+x2-35=0解得 x=15代入 y=400+x2+35(100-x)(0≤x≤100)得 y=76M（15，76）故选项为 C215、 曲线 y=x3-4x 在点（1，-3）处的切线倾斜角为（ ）错误！ 未找到引用源。 A、 34π 错误！未找到引用源。B、 π2 错误！未找到引用源。C、 π4 错误！未找到引用源。D、 π6解答：解： y′=3x2-4，k=y′|x=1=-1，tanα=-1，α=34π．故选 A．216、 曲线 f（x）=x3+x-2 在 p0 处的切线平行于直线 y=4x-1，则 p0 点的坐标为（ ）错误！未找到引用源。A、 （1， 错误！未找到引用源。B、 （2， 错误！未找到引用源。C、 （2， 错误！未找到引用源。D、 （1， 0） 8） 8）和（-1，-4） 0）和（-1，-4）解答：解：设切点为 P0（a，b） ，f'（x）=3x2+1，k=f'（a）=3a2+1=4，a=±1，把 a=-1，代入到 f（x）=x3+x-2 得 b=-4； 把 a=1，代入到 f（x）=x3+x-2 得 b=0，所以 P0（1，0）和（-1，-4） ． 故选 D．217、 已知 f′（x）是函数 f（x）的导函数，若函数 f（x）的图象在点 x=5 处的切线方程是 x+y-5=0，则 f（5）+f′（5）=（ 错误！未找到引用源。A、1 错误！未找到引用源。B、-1 错误！未找到引用源。C、-2 ）错误！未找到引用源。D、0解答：解：由题意函数 f（x）的图象在点 x=5 处的切线方程是 x+y-5=0f′（5）=-1，f（5）=0故 f（5）+f′（5）=-1故选 B．218、 设函数 f（x）在 x0 处可导，则 lim△x→0f(x0-△x)-f(x0)△x 等于（ ） 错误！未找到引用源。C、-f′ （x0） 错误！未找到引用源。D、-f （-x0）错误！ 未找到引用源。 f′ 0） 错误！ A、 （x 未找到引用源。 f′ 0） B、 （-x解答：解： lim△x→0f(x0-△x)-f(x0)△x=- lim△x→0f(x0-△x)-f(x0)-△x=-f′（x0） ，故选 C．219、 已知函数 f（x）=x2+bx 的图象在点 A（1，f（1））处的切线斜率为 3，数列{ 1f(n)}的前 n 项为 Sn 则 S2011 的值为（ 错误！未找到引用源。A、
错误！未找到引用源。B、
错误！未找到引用源。C、
）错误！未找到引用源。D、 解答：解：∵f′（x）=2x+b，f′（1）=2+b=3，∴b=1，∴f（x）=x2+x，∴ 1f(n)= 1n2+n= 1n(n+1)= 1n- 1n+1，∴S2011=（1- 12）+（ 12- 13）+…+（ 1）= ， 故选 A．220、 若在曲线 f（x，y）=0（或 y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线线 f（x，y）=0（或 y=f（x））的自公 切线，下列方程的曲线：①x2-y2=1；②y=3sinx+4cosx；③y=x2-|x|；④|x|+1= 4-y2，存在自公切线的是（ ）错误！ 未找到引用源。 ①③ 错误！ A、 未找到引用源。 ①④ 错误！ B、 未找到引用源。 ②③ 错误！ C、 未找到引用源。 ②④ D、解答：解：x2-y2=1 为等轴双曲线，不存在自公切线，故①不存在；函数 y=3sinx+4cosx 的一条自公切线为 y=5，故②存在；函数 y=x2-|x|的图象如下左图显然满足要求，故③存在；对于方程|x|+1= 4-y2，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求，故④不存在．221、 过点 P（1，1）作曲线 y=x3 的两条切线 l1、l2，设它们的夹角为 θ，则 tanθ 的值为（ ）错误！未找到引用源。A、 33 错误！ 未找到引用源。 B、 913 错误！ 未找到引用源。 1513 错误！未找到引用源。D、 95 C、解答：解：因为点 P（1，1）所以点 P 在作曲线 y=x3 上，则过点 P 的切线的斜率为 3， 设点 M（t，t3）为曲线上的另一切点，根据导数的几何意义得，y′=3t2= t3-1t-1=t2+t+1（t≠1） ，即（2t+1） （t-1）=0，得 t=- 12 或 t=1（舍去） ．所以直线 PQ 的斜率为 -18-1-12-1= 34， 则 tanθ=| 3-341+3×34|= 913．故选 B222、 已知二函数 y=3x4+a，y=4x3，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切斜线率为（ 错误！未找到引用源。C、0 错误！未找到引用源。A、0 错误！未找到引用源。B、12 或 12 或1 ）错误！未找到引用源。D、4解答：解：设公共点为 P（x0，y0） ，则在函数 y=3x4+a 中，y′|x=x0=12x03， 则在 P 点处的切线方程为 y-y0=12x03（x-x0） 即 y-（3x04+a）=12x03（x-x0） 化简得，y=12x03x-9x04+a 在函数 y=4x3 中， y′|x=x0=12x02 则在 P 点处的切线方程为 y-y0=12x02（x-x0） 即 y-4x03=12x02（x-x0） 化简得，y=12x02x-8x03 又两个函数在公共点处的切线重合，∴ {12x03=12x02-9x04+a=-8x03∴ {x0=0a=0 或 {x0=1a=1∴切线斜率为 0 或 12． 223、 函数 f（x）=2x2-1nx 的递增区间是解答：解：由题，函数的定义域是（0，+∞）∵f（x）=2x2-1nx∴f′（x）=4x- 1x令 f′（x）＞0，即 4x- 1x＞0解得 x＞ 12 或 x＜- 12又函数的定义域是（0，+∞）∴函数 f（x）=2x2-1nx 的递增区间是 (12，+∞)故答案为 (12，+∞)224、 二次函数 y=ax2+（2a-1）x-5 在[-3，+∞）上递减，则 a 的取值范围是解答：解：∵二次函数 y=ax2+（2a-1）x-5∴对称轴为 x= 1-2a2a． ∵二次函数 y=ax2+（2a-1）x-5 在[-3，+∞）上递减 ∴ {a＜01-2a2a≤-3 解得- 14≤a＜0，故答案为- 14≤a＜0239、 若函数 f（x）=2lnx+x2-5x+c 在区间（m，m+1）上为单调函数，则 m 的取值范围是解答：解：由题得：f′（x）= 2x+2x-5，x∈（0，+∞）如果函数单调增，得到 f′（x）= 2x+2x-5＞0，解得：x＞2 或 0＜x＜ 12； 如果函数单调减，得到 f′（x）= 2x+2x-5＜0，解得： 12＜x＜2；所以区间（m，m+1）分别为（0， 12）（ 12，2）（2，+∞）的子集，即得到①m≥0 且 m+1≤ 12；②m≥ 12 且 m+1≤2；③m≥2， ， ， 由①得到无解；由②解得 12≤m≤1；由③得到 m≥2，综合得到 m∈[ 12，1]∪[2，+∞）故答案为[ 12，1]∪[2，+∞）260、 函数 y=lnxx 的单调增区间为解答：解：f′（x）=ex（x2-2x）+ex（2x-2）=ex（x2-2） ， 令 f′（x）＜0 得- 2＜x＜ 2， ∴函数 f（x）的单调递减区间为（- 2， 2） ． 故答案为： 2， 2） （． 261、 二次函数 y=ax2+（2a-1）x-5 在[-3，+∞）上递减，则 a 的取值范围是解答：解：∵二次函数 y=ax2+（2a-1）x-5 ∴对称轴为 x= 1-2a2a． ∵二次函数 y=ax2+（2a-1）x-5 在[-3，+∞）上递减 ∴ {a＜01-2a2a≤-3 解得- 14≤a＜0， 故答案为- 14≤a＜0268、 函数 y=excosx 在[0，π]上的单调递增区间是． 解答：解：y′=excosx-exsinx=ex（cosx-sinx）＞0 ∵x∈[0，π] ∴y′＞0 解得 x∈（0， π4） ， 故答案为 （0， π4） ．269、 函数 f（x）=lnx-x 的单调减区间是． 解答：解：f′（x）= 1x-1=1-xx 令 f′（x）＜0 得 x＞1 所以函数 f（x）=lnx-x 的单调减区间是（1，+∞） 故答案为（1，+∞）270、 下列图象中，有一个是函数 f（x）= 13x3+ax2+（a2-1）x+1（a∈R，a≠0）的导函数 f′（x）的图象，则 f（-1）=．解答：解：∵f′（x）=x2+2ax+（a2-1） ， ∴导函数 f′（x）的图象开口向上． 又∵a≠0， ∴f（x）不是偶函数，其图象不关于 y 轴对称 其图象必为第三张图．由图象特征知 f′（0）=0， 且对称轴-a＞0， ∴a=-1． 故答案为 f（-1）=- 13-1+1=- 13． 271、 二次函数 y=ax2+（2a-1）x-5 在[-3，+∞）上递减，则 a 的取值范围是 解答：解：∵二次函数 y=ax2+（2a-1）x-5 ∴对称轴为 x= 1-2a2a． ∵二次函数 y=ax2+（2a-1）x-5 在[-3，+∞）上递减 ∴ {a＜01-2a2a≤-3 解得- 14≤a＜0， 故答案为- 14≤a＜0345、 已知函数 y=ax3+bx2+6x+1 的递增区间为（-2，3） ，则 a，b 的值分别为．解答：解：求导得：y′（x）=3ax2+2bx+6， 由（-2，3）是函数的递增区间， 得到 y′（-2）=0，且 y′（3）=0， 即 12a-4b+6=0①，且 27a+6b+6=0②， 联立①②，解得 a=- 13，b= 12． 故答案为：- 13， 12346、 已知函数 f（x）=x3-2x2+ax+1（a∈R） ，若函数 f（x）在区间（ 13，1）内是减函数，则 a 的取值范围是． 解答：解：∵f（x）=x3-2x2+ax+1 ∴f′（x）=3x2-4x+a 又函数 f（x）在区间（ 13，1）内是减函数 ∴当 x∈（ 13，1）时，恒有 f′（x）=3x2-4x+a＜0 即 a＜-3x2+4x 在 x∈（ 13，1）时恒成立 由于令 h（x）=-3x2+4x=-3（x- 23）2+ 43，当 x∈（ 13，1）有 h（x）∈（1， 43] 判断知 a≤1 故答案为（-∞，1] 答347、 设函数 f(x)=13x3+ax2+5x+6 在区间[1，3]上是单调函数，则实数 a 的取值范围是． 解答：解：∵函数 f(x)=13x3+ax2+5x+6 ∴f′（x）=x2+2ax+5 ∵函数 f(x)=13x3+ax2+5x+6 在区间[1，3]上是单调函数 ∴f′（x）=x2+2ax+5≥0 或 f′（x）=x2+2ax+5≤0 在[1，3]上恒成立 即：a≥-（ 52x+x2）或 a≤-（ 52x+x2）在[1，3]上恒成立 ∴a≥[-（ 52x+x2）]max 或 a≤[-（ 52x+x2）]min 而 3≥52x+x2≥5 ∴a≥- 5 或 a≤-3 故答案为： （-∞，-3]∪ [-5，+∞) 348、 若函数 f（x）=ax3-x2+x-5 在 R 上单调递增，则 a 的范围是． 解答：解：由函数 f（x）=ax3-x2+x-5，得到 f′（x）=3ax2-2x+1， 因为函数在 R 上单调递增，所以 f′（x）≥0 恒成立，即 3ax2-2x+1≥0 恒成立， 设 h（x）=3ax2-2x+1， 当 a＞0 时，h（x）为开口向上的抛物线，要使 h（x）≥0 恒成立即△=4-12a≤0，解得 a≥ 13； 当 a=0 时，得到 h（x）=-2x+1≥0，解得 x≤ 12，不合题意； 当 a＜0 时，h（x）为开口向下的抛物线，要使 h（x）≥0 恒成立不可能． 综上，a 的范围为[ 13，+∞） ． 故答案为：[ 13，+∞）349、 若函数 f（x）=x3+ax2-2x+5 在区间（ 13，12）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，则实数 a 的取值范围是．解答：解：∵f（x）=x3+ax2-2x+5 ∴f/（x）=3x2+2ax-2 根据题意，函数在区间（ 13，12）上至少有一个零点 ①若只有一个零点，则 f/(13)?f/(12)＜0，得 a∈ (54，52) ②若有两个不同零点，则 {f/(13)＞0f/(12)＞0△＞013＜-a3＜12，得 a∈? 综上所述，a∈ (54，52) 故答案为： (54，52) 350、 已知：M={a|函数 y=2sinax 在[ -π3，π4]上是增函数}，N={b|方程 3-|x-1|-b+1=0 有实数解}，设 D=M∩N，且定义在 R 上的奇函 数 f(x)=x+nx2+m 在 D 内没有最小值，则 m 的取值范围是． 解答：解：∵M={a|函数 y=2sinax 在[ -π3，π4]上是增函数}所以可得 M={a|a ≤32} ∵N={b|方程 3-|x-1|-b+1=0 有实数解}，所以可得 N={b|1＜b≤2} ∴D=M∩N=（1， 32] ∵ f(x)=x+nx2+m 是定义在 R 上的奇函数∴f（0）=0∴n=0∴f（x）= xx2+m∴f'（x）= m-x2(x2+m)2 ∵ f(x)=x+nx2+m 在 D 内没有最小值∴函数 f（x）在 D 上单调递增∴f'（x）≥0 在 D 上恒成立 ∴ m-x2(x2+m)2≥0?m-x2≥0 在 D 上恒成立∴m≥x2 在 D 上恒成立∴m≥ 94 故答案为：m≥ 94 351、 （2011?浙江）设函数 f（x）=a2lnx-x2+ax，a＞0． （Ⅰ）求 f（x）的单调区间 （Ⅱ）求所有的实数 a，使 e-1≤f（x）≤e2 对 x∈[1，e]恒成立． 注：e 为自然对数的底数． 解答：解： （Ⅰ）因为 f（x）=a2lnx-x2+ax，其中 x＞0． 所以 f'（x）= a2x-2x+a=- (x-a)(2x+a)x． 由于 a＞0，所以 f（x）的增区间为（0，a） ，f（x）的减区间为（a，+∞） ． （Ⅱ）证明：由题得，f（1）=a-1≥e-1，即 a≥e， 由（Ⅰ）知 f（x）在[1，e]内单调递增 要使 e-1≤f（x）≤e2 对 x∈[1，e]恒成立， 只要 {f(1)=a-1≥e-1f(e)=a2-e2+ae≤e2 解得 a=e． 352、 （2011?天津）已知 a＞0，函数 f（x）=lnx-ax2，x＞0． （f（x）的图象连续不断） （Ⅰ）求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）当 a=18 时，证明：存在 x0∈（2，+∞） ，使 f(x0)=f(32)； （Ⅲ）若存在均属于区间[1，3]的 α，β，且 β-α≥1，使 f（α）=f（β） ，证明 ln3-ln25≤a≤ln23． 解答：解： （I） f? (x)=1x-2ax=1-2ax22，x∈(0，+∞)， 令 f? (x)=0，解得 x=2a2a． 当 x 变化时，f'（x） ，f（x）的变化情况如下表：所以，f（x）的单调递增区间是 (0，2a2a)，f(x)的单调递减区间是 (2a2a，+∞)． （II）证明：当 a=18 时，f(x)=lnx-18x2． 由（I）知 f（x）在（0，2）内单调递增， 在（2，+∞）内单调递减． 令 g(x)=f(x)-f(32)． 由于 f（x）在（0，2）内单调递增， 故 f(2)＞f(32)，即 g(2)＞0． 取 x? =32e＞2，则 g(x? )=41-9e232＜0． 所以存在 x0∈（2，x'） ，使 g（x0）=0， 即存在 x0∈(2，+∞)，使 f(x0)=f(32)． （说明：x'的取法不唯一，只要满足 x'＞2，且 g（x'）＜0 即可） （III）证明：由 f（α）=f（β）及（I）的结论知 α＜2a2a＜β， 从而 f（x）在[α，β]上的最小值为 f（a） ． 又由 β-α≥1，α，β∈[1，3]，知 1≤α≤2≤β≤3． 故 {f(2)≥f(α)≥f(1)f(2)≥f(β)≥f(3).即{ln2-4a≥-aln2-4a≥ln3-9a. 从而 ln3-ln25≤a≤ln23． 353、 （2011?陕西）设 f（x）=lnx．g（x）=f（x）+f'（x） ． （Ⅰ）求 g（x）的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论 g（x）与 g(1x)的大小关系； （Ⅲ）求 a 的取值范围，使得 g（a）-g（x）＜ 1a 对任意 x＞0 成立． 解答：解： （Ⅰ）由题设知 f（x）=lnx，g（x）=lnx+ 1x， ∴g'（x）= x-1x2，令 g′（x）=0 得 x=1， 当 x∈（0，1）时，g′（x）＜0， 故（0，1）是 g（x）的单调减区间． 当 x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0， 故（1，+∞）是 g（x）的单调递增区间， 因此，x=1 是 g（x）的唯一值点，且为极小值点， 从而是最小值点，所以最小值为 g（1）=1． （II） g(1x)=-Inx+x 设 h(x)=g(x)-g(1x)=2lnx-x+1x， 则 h'（x）=- (x-1)2x2， 当 x=1 时，h（1）=0 即 g(x)=g(1x)， 当 x∈（0，1）∪（1，+∞）时 h′（1）=0， 因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减， 当 0＜x＜1 时，h（x）＞h（1）=0 即 g(x)＜g(1x)． （III）由（I）知 g（x）的最小值为 1， 所以，g（a）-g（x）＜ 1a，对任意 x＞0，成立?g（a）-1＜ 1a， 即 Ina＜1，从而得 0＜a＜e．354、 （2011?陕西）设函数 f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数 f′（x）= 1x，g（x）=f（x）+f′（x） ． （Ⅰ）求 g（x）的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论 g（x）与 g(1x)的大小关系； （Ⅲ）是否存在 x0＞0，使得|g（x）-g（x0）|＜ 1x 对任意 x＞0 成立？若存在，求出 x0 的取值范围；若不存在请说明理由． 解答：解： （Ⅰ）由题设易知 f（x）=lnx，g（x）=lnx+ 1x， ∴g′（x）= x-1x2，令 g′（x）=0，得 x=1， 当 x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故 g（x）的单调递减区间是（0，1） ， 当 x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故 g（x）的单调递增区间是（1，+∞） ， 因此 x=1 是 g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， ∴最小值为 g（1）=1； （Ⅱ） g(1x)=-lnx+x， 设 h（x）=g（x）- g(1x)=2lnx-x+ 1x， 则 h′（x）= -(x-1)2x2， 当 x=1 时，h（1）=0，即 g（x）= g(1x)， 当 x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（x）＜0，h′（1）=0， 因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减， 当 0＜x＜1，时，h（x）＞h（1）=0，即 g（x）＞ g(1x)， 当 x＞1，时，h（x）＜h（1）=0，即 g（x）＜ g(1x)， （Ⅲ）满足条件的 x0 不存在．证明如下：证法一 假设存在 x0＞0， 使|g（x）-g（x0）|＜ 1x 成立，即对任意 x＞0， 有 Inx＜g(x0)＜Inx+2x， （*）但对上述 x0，取 x1=eg(x0) 时， 有 Inx1=g（x0） ，这与（*）左边不等式矛盾， 因此，不存在 x0＞0，使|g（x）-g（x0）|＜ 1x 成立． 证法二 假设存在 x0＞0，使|g（x）-g（x0）|成＜ 1x 立． 由（Ⅰ）知， eg(x0) 的最小值为 g（x）=1． 又 g(x)=Inx+1x＞Inx， 而 x＞1 时，Inx 的值域为（0，+∞） ， ∴x≥1 时，g（x） 的值域为[1，+∞） ，从而可取一个 x1＞1， 使 g（x1）≥g（x0）+1，即 g（x1）-g（x0）≥1， 故|g（x1）-g（x0）|≥1＞ 1x1，与假设矛盾． ∴不存在 x0＞0，使|g（x）-g（x0）|＜ 1x 成立．355、 （2011?辽宁）已知函数 f（x）=lnx-ax2-（2-a）x． （I）讨论 f（x）的单调性； （II）设 a＞0，证明：当 0＜x＜ 1a 时，f（ 1a+x）＞f（ 1a-x） ； （III）若函数 y=f（x）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x0，证明：f′（ x0）＜0． 解答：解： （I）函数 f（x）的定义域为（0，+∞） ， f′（x）= 1x-2ax-(2-a)=- (2x-1)(ax+1)x， ①若 a≥0，则由 f′（x）=0， ，得 x= 12，且当 x∈（0， 12）时，f′（x）＞0， 当 x∈（ 12，+∞）时，f′（x）＜0， 所以 f（x）在（0， 12）单调递增，在（ 12，+∞）上单调递减； ②当-2＜a＜0 时，由 f′（x）=0， ，得 x= 12，或 x= -1a，且 12＜-1a 当 x∈（0， 12） ，或 x∈（- 1a，+∞）时，f′（x）＞0， x∈（ 12，- 1a）时，f′（x）＜0， ∴f（x）在（0， 12）（- 1a，+∞）单调递增，在（ 12，- 1a）上单调递减； ， ③a=-2 时，f′（x）≥0 恒 成立，因此 f（x）在（0，+∞）单调递增； ④当 a＜-2 时， 12＞-1a 当 x∈（0， -1a） ，或 x∈（ 12，+∞）时，f′（x）＞0， x∈（ -1a， 12）时，f′（x）＜0， ∴f（x）在（0， -1a）（ 12，+∞）单调递增，在（- 1a， 12）上单调递减； ， （II）设函数 g（x）=f（ 1a+x）-f（ 1a-x） ，则 g（x）=ln（1+ax）-ln（1-ax）-2ax， g′（x）= a1+ax+a1-ax-2a= 2a3x21-a2x2， 当 x∈（0， 1a）时，g′（x）＞0，而 g（0）=0， 所以 g（x）＞0， 故当 0＜x＜ 1a 时，f（ 1a+x）＞f（ 1a-x） ； （III）由（I）可得，当 a≤0 时，函数 y=f（x）的图象与 x 轴至多有一个交点， 故 a＞0，从而 f（x）的最大值为 f（ 1a） ，且 f（ 1a）＞0， 不妨设 A（x1，0） ，B（x2，0） ，0＜x1＜x2， 则 0＜x1＜ 1a＜x2， 由（II）得，f（ 2a-x1）=f（ 1a+1a-x1）＞f（x2）=0， 从而 2a-x1＜x2， ，于是 x0= x1+x22＞1a， 由（I）知，f′（ x0）＜0．356、 （2011?江西）设 f(x)=-13x3+12x2+2ax （1）若 f（x）在 (23，+∞)上存在单调递增区间，求 a 的取值范围． （2）当 0＜a＜2 时，f（x）在[1，4]的最小值为 -163，求 f（x）在该区间上的最大值． 解答：解： （1）f′（x）=-x2+x+2a f（x）在 (23，+∞)存在单调递增区间 ∴f′（x）＞0 在 (23，+∞)有解 ∵f′（x）=-x2+x+2a 对称轴为 x=12 ∴ f′(x)=-x2+x+2a 在(23，+∞)递减 ∴ f′(x)＜f′(23)=29+2a＞0 解得 a＞-19．（2）当 0＜a＜2 时，△＞0； f′（x）=0 得到两个根为 -1-1+8a-2； -1+1+8a-2（舍） ∵ -1-1+8a-2∈[1，4] ∴ 1＜x＜-1-1+8a-2 时，f′（x）＞0； -1-1+8a-2＜x＜4 时，f′（x）＜0 当 x=1 时，f（1）=2a+ 16；当 x=4 时，f（4）=8a -403＜f（1） 当 x=4 时最小∴ 8a-403= -163 解得 a=1 所以当 x= -1-1+8a-2=2 时最大为 103357、 （2011?江西）设 f（x）= 13x3+mx2+nx． （1）如果 g（x）=f′（x）-2x-3 在 x=-2 处取得最小值-5，求 f（x）的解析式； （2）如果 m+n＜10（m，n∈N+） ，f（x）在单调递减区间的长度是正整数，试求 m 和 n 的值． （注：区间（a，b）的长度为 b-a） 解答：解： （1）由题意得 g（x）=f′（x）-2x-3=x2+2mx+n-2x-3=（x+m-1）2+（n-3）-（m-1）2， 又 g（x） 在 x=-2 处取得最小值-5， 所以 {m-1=2(m-3)2+(n-3)-(m-1)2=-5，解得 m=3，n=2． 所以 f（x）= 13x3+3x2+2x． （2）因为 f′（x）=x2+2mx+n 且 f（x）的单调递减区间的长度是正整数， 所以方程 f′（x）=0，即 x2+2mx+n=0 必有两不等实根， 则△=4m2-4n＞0，即 m2＞n． 不妨设方程 f′（x）=0 的两根分别为 x1、x2，则|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2=2 m2-n 且为正整数． 又因为 m+n＜10（m，n∈N+） ，所以 m≥2 时才能有满足条件的 m、n． 当 m=2 时，只有 n=3 符合要求； 当 m=3 时，只有 n=5 符合要求； 当 m≥4 时，没有符合要求的 n． 故只有 m=2，n=3 或 m=3，n=5 满足上述要求．358、 （2011?江苏）已知 a，b 是实数，函数 f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和 g'（x）是 f（x） ，g（x）的导函数，若 f'（x） g'（x）≥0 在区间 I 上恒成立，则称 f（x）和 g（x）在区间 I 上单调性一致 （1）设 a＞0，若函数 f（x）和 g（x）在区间[-1，+∞）上单调性一致，求实数 b 的取值范围； （2）设 a＜0，且 a≠b，若函数 f（x）和 g（x）在以 a，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值． 解答：解：f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b． （1）由题得 f'（x）g'（x）≥0 在[-1，+∞）上恒成立．因为 a＞0，故 3x2+a＞0， 进而 2x+b≥0，即 b≥-2x 在[-1，+∞）上恒成立，所以 b≥2． 故实数 b 的取值范围是[2，+∞） （2）令 f'（x）=0，得 x= ±-a3． 若 b＞0，由 a＜0 得 0∈（a，b） ．又因为 f'（0）g'（0）=ab＜0，所以函数 f（x）和 g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．因 此 b≤0． 现设 b≤0，当 x∈（-∞，0）时，g'（x）＜0；当 x∈（-∝，- -a3）时， ，f'（x）＞0． 因此，当 x∈（-∝，- -a3）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得 a≥- -a3 且 b≥- -a3， 从而- 13≤a＜0，于是- 13≤b＜0，因此|a-b|≤ 13，且当 a= 13，b=0 时等号成立， 又当 a= 13，b=0 时，f'（x）g'（x）=6x（x2- 19） ，从而当 x∈（- 13，0）时 f'（x）g'（x）＞0． 故函数 f（x）和 g（x）在（- 13，0）上单调性一致，因此|a-b|的最大值为 13．359、 （2011?湖南）设函数 f(x)=x-1x-aInx(a∈R)． （Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性． （Ⅱ）若 f（x）有两个极值点 x1，x2，记过点 A（x1，f（x1），B（x2，f（x2） ） ）的直线斜率为 k．问：是否存在 a，使得 k=2-a？ 若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由． 解答：解： （I）f（x）定义域为（0，+∞） ， f′（x）=1+ 1x2-ax=x2-ax+1x2， 令 g（x）=x2-ax+1，△=a2-4， ①当-2≤a≤2 时，△≤0，f′（x）≥0，故 f（x）在（0，+∞）上单调递增， ②当 a＜-2 时，△＞0，g（x）=0 的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故 f（x）在（0，+∞）上单调递增， ③当 a＞2 时，△＞0，g（x）=0 的两根为 x1= a-a2-42，x2= a+a2-42， 当 0＜x＜x1 时，f′（x）＞0；当 x1＜x＜x2 时，f′（x）＜0；当 x＞x2 时，f′（x）＞0； 故 f（x）分别在（0，x1）（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减． ， （Ⅱ）由（I）知，a＞2． 因为 f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+ x1-x2x1x2-a（lnx1-lnx2） ， 所以 k= f(x1)-f(x2)x1x2=1+ 1x1x2-a lnx1-lnx2x1-x2， 又由（I）知，x1x2=1．于是 k=2-a lnx1-lnx2x1-x2， 若存在 a，使得 k=2-a，则 lnx1-lnx2x1-x2=1，即 lnx1-lnx2=x1-x2， 亦即 x2-1x2-2lnx2=0(x2＞1) （*）再由（I）知， ，函数 h(t)=t-1t-2Int 在（0，+∞）上单调递增， 而 x2＞1， 所以 x2-1x2-2Inx2＞1-1-2ln1=0，这与（*）式矛盾， 故不存在 a，使得 k=2-a．360、 （2011?广东）设 a＞0，讨论函数 f（x）=lnx+a（1-a）x2-（1+a）x 的单调性． 解答：解：定义域 x＞0 f′（x）= 2a(1-a)x2-(1+a)x+1x （1）当 a=1 时， f′(x)=-2x+1x 令 f′（x）＞0 解得 0＜x＜12；令 f′（x）＜0 得 x＞12 所以递增区间为（ 0，12） ，递减区间为 (12，+∞) （2） 0＜a＜13 时，令 f′（x）＜0 解得 11-a＜x＜12a；令 f′（x）＞0 解得 0＜x＜11-a 或 x＞12a 所以递减区间为 (11-a，12a)；递增区间为 (12a，+∞)和(0，11-a) （3） 13＜a＜1 时，f′（x）＜0 解得 12a＜x＜11-a； 令 f′（x）＞0 解得 0＜x＜12a 或 x＞11-a所以递减区间为 (12a，11-a)；递增区间为 (11-a，+∞)和(0，12a)（4）a＞1 时， ，令 f′（x）＞0 解得 0＜x＜12a；令 f′（x）＜0 解得 x＞12a 所以递减区间为 (12a，+∞)；递增区间为 (0，12a) 总之（1）当 a=1 时递增区间为（ 0，12） ；递减区间为 (12，+∞) （2） 0＜a＜13 时，递减区间为 (11-a，12a)；递增区间为 (12a，+∞)和(0，11-a) （3） 13＜a＜1 时，递减区间为 (12a，11-a)；递增区间为 (11-a，+∞)和(0，12a) （4）a＞1 时递递减区间为 (12a，+∞)；递增区间为 (0，12a)361、 （2011?福建）已知 a，b 为常数，且 a≠0，函数 f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然对数的底数） ． （I）求实数 b 的值； （II）求函数 f（x）的单调区间； （III）当 a=1 时，是否同时存在实数 m 和 M（m＜M） ，使得对每一个 t∈[m，M]，直线 y=t 与曲线 y=f（x） （x∈[ 1e，e]）都有 公共点？若存在，求出最小的实数 m 和最大的实数 M；若不存在，说明理由． 解答：解： （I）由 f（e）=2，代入 f（x）=-ax+b+axlnx， 得 b=2； （II）由（I）可得 f（x）=-ax+2+axlnx，函数 f（x）的定义域为（0，+∞） ， 从而 f′（x）=alnx， ∵a≠0，故 ①当 a＞0 时，由 f′（x）＞0 得 x＞1，由 f′（x）＜0 得 0＜x＜1； ②当 a＜0 时，由 f′（x）＞0 得 0＜x＜1，由 f′（x）＜0 得 x＞1； 综上，当 a＞0 时，函数 f（x）的单调递增区间为（1，+∞） ，单调递减区间为（0，1） ； 当 a＜0 时，函数 f（x）的单调递增区间为（0，1） ，单调递减区间为（1，+∞） ； （III）当 a=1 时，f（x）=-x+2+xlnx，f′（x）=lnx， 由（II）可得，当 x∈（ 1e，e） ，f（x） ，f′（x）变化情况如下表：又 f（ 1e）=2- 2e＜2， 所以 y=f（x）在[ 1e，e]上的值域为[1，2]， 据此可得，若 {m=1M=2，则对每一个 t∈[m，M]，直线 y=t 与曲线 y=f（x） （x∈[ 1e，e]）都有公共点； 并且对每一个 t∈（-∞，m）∪（M，+∞） ，直线 y=t 与曲线 y=f（x） （x∈[ 1e，e]）都没有公共点； 综上当 a=1 时，存在最小实数 m=1 和最大的实数=2M（m＜M） ，使得对每一个 t∈[m，M]，直线 y=t 与曲线 y=f（x） （x∈[ 1e， e]）都有公共点． 362、 （2011?北京）已知函数 f(x)=(x-k)2exk． （Ⅰ）求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若对于任意的 x∈（0，+∞） ，都有 f（x）≤ 1e，求 k 的取值范围． 解答：解： （Ⅰ） f′(x)=2(x-k)exk+1k(x-k)2exk= 1k(x2-k2)exk， 令 f′（x）=0，得 x=±k 当 k＞0 时，f′（x）f（x）随 x 的变化情况如下：所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，-k） ，和（k，+∞） ，单调递减区间是（-k，k） ； 当 k＜0 时，f′（x）f（x）随 x 的变化情况如下：所以，f（x）的单调递减区间是（-∞，k） ，和（-k，+∞） ，单调递增区间是（k，-k） ；（Ⅱ）当 k＞0 时， ，∵f（k+1）= ek+1k＞1e， ∴不会有任意的 x∈（0，+∞） ，都有 f（x）≤ 1e， 当 k＜0 时，由（I）知 f（x）在（0，+∞）上的最大值是 f（-k）= 4k2e， ∴任意的 x∈（0，+∞） ，f（x）≤ 1e，?f（-k）= 4k2e≤ 1e， 解得- 12≤k＜0， 故对于任意的 x∈（0，+∞） ，都有 f（x）≤ 1e，k 的取值范围是- 12≤k＜0．363、 （2011?北京）已知函数 f（x）=（x-k）ex． （Ⅰ）求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）求 f（x）在区间[0，1]上的最小值． 解答：解： （Ⅰ）f′（x）=（x-k+1）ex， 令 f′（x）=0，得 x=k-1， f′（x）f（x）随 x 的变化情况如下：∴f（x）的单调递减区间是（-∞，k-1） ，f（x）的单调递增区间（k-1，+∞） ；（Ⅱ）当 k-1≤0，即 k≤1 时，函数 f（x）在区间[0，1]上单调递增， ∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为 f（0）=-k； 当 0＜k-1＜1，即 1＜k＜2 时，由（I）知，f（x）在区间[0，k-1]上单调递减，f（x）在区间（k-1，1]上单调递增， ∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为 f（k-1）=-ek-1； 当 k-1≥1，即 k≥2 时，函数 f（x）在区间[0，1]上单调递减， ∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为 f（1）=（1-k）e； 综上所述 f（x）min= {-kk≤1-ek-11＜k＜2(1-k)ek≥2．364、 （2010?重庆）已知函数 f(x)=x-1x+a+ln(x+1)，其中实数 a≠1． （1）若 a=2，求曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）若 f（x）在 x=1 处取得极值，试讨论 f（x）的单调性． 解答：解： （1） f′(x)=x+a-(x-1)(x+a)2+1x+1= a+1(x+a)2+1x+1 当 a=2 时，f′（0）= 74，而 f（0）=- 12，所以曲线在点（0，f （0） ）处的切线方程为：y-（- 12）= 74（x-0） ，即 7x-4y-2=0． （2）因为 a≠-1，由（1）可知 f′(1)=a+1(1+a)2+11+1= 1a+1+12 又因为 f（x）在 x=1 处取得极值， 所以 1a+1+12=0 解得 a=-3 此时 f(x)=x-1x-3+ln(x+1)定义域（-1，3）∪（3，+∞） 且， f′(x)=-2(x-3)2+1x+1= (x-1)(x-7)(x-3)2(x+1)，由 f′（x）=0 得 x1=1，x2=7，当-1＜x＜1 或 x＞7 时 f′（x）＞0； 当 1＜x＜7 且 x≠3 时 f′（x）＜0 由上讨论可知 f（x）在（-1，1]，[7，+∞）时是增函数，在[1，3）（3，7]上是减函数． ，365、 （2010?山东）已知函数 f(x)=lnx-ax+1-ax-1（a∈R） ． （Ⅰ）当 a≤12 时，讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）设 g（x）=x2-2bx+4．当 a=14 时，若对任意 x1∈（0，2） ，存在 x2∈[1，2]，使 f（x1）≥g（x2） ，求实数 b 取值范围． 解答：解： （Ⅰ） f(x)=lnx-ax+1-ax-1(x＞0)， f? (x)=lx-a+a-1x2=-ax2+x+a-1x2(x＞0) 令 h（x）=ax2-x+1-a（x＞0） （1）当 a=0 时，h（x）=-x+1（x＞0） ， 当 x∈（0，1） ，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数 f（x）单调递减； 当 x∈（1，+∞） ，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数 f（x）单调递增． （2）当 a≠0 时，由 f′（x）=0，即 ax2-x+1-a=0，解得 x1=1，x2=1a-1． 当 a=12 时 x1=x2，h（x）≥0 恒成立，此时 f′（x）≤0，函数 f（x）单调递减； 当 0＜a＜12 时， 1a-1＞1＞0，x∈（0，1）时 h（x）＞0，f′（x）＜0，函数 f（x）单调递减； x∈(1，1a-1)时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数 f（x）单调递增； x∈(1a-1，+∞)时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数 f（x）单调递减． 当 a＜0 时 1a-1＜0，当 x∈（0，1） ，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数 f（x）单调递减； 当 x∈（1，+∞） ，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数 f（x）单调递增． 综上所述：当 a≤0 时，函数 f（x）在（0，1）单调递减， （1，+∞）单调递增； 当 a=12 时 x1=x2，h（x）≥0 恒成立，此时 f′（x）≤0，函数 f（x）在（0，+∞）单调递减； 当 0＜a＜12 时，函数 f（x）在（0，1）单调递减， (1，1a-1)单调递增， (1a-1，+∞)单调递减．（Ⅱ）当 a=14 时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意 x1∈（0，2） ， 有 f(x1)≥f(1)=-12， 又已知存在 x2∈[1，2]，使 f（x1）≥g（x2） ，所以 -12≥g(x2)，x2∈[1，2]， （※） 又 g（x）=（x-b）2+4-b2，x∈[1，2] 当 b＜1 时，g（x）min=g（1）=5-2b＞0 与（※）矛盾； 当 b∈[1，2]时，g（x）min=g（1）=4-b2≥0 也与（※）矛盾； 当 b＞2 时， g(x)min=g(2)=8-4b≤-12，b≥178． 综上，实数 b 的取值范围是 [178，+∞)．366、 （2010?宁夏）设函数 f（x）=ex-1-x-ax2． （1）若 a=0，求 f（x）的单调区间； （2）若当 x≥0 时 f（x）≥0，求 a 的取值范围 解答：解： （1）a=0 时，f（x）=ex-1-x，f′（x）=ex-1． 当 x∈（-∞，0）时，f'（x）＜0；当 x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0． 故 f（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加 （II）f′（x）=ex-1-2ax 由（I）知 ex≥1+x，当且仅当 x=0 时等号成立．故 f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x， 从而当 1-2a≥0，即 a≤12 时，f′（x）≥0（x≥0） ，而 f（0）=0， 于是当 x≥0 时，f（x）≥0． 由 ex＞1+x（x≠0）可得 e-x＞1-x（x≠0） ． 从而当 a＞12 时，f′（x）＜ex-1+2a（e-x-1）=e-x（ex-1） x-2a） （e ， 故当 x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而 f（0）=0，于是当 x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0． 综合得 a 的取值范围为 (-∞，12]．367、 （2010?辽宁）已知函数 f（x）=（a+1）lnx+ax2+1． （Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性； （Ⅱ）设 a≤-2，证明：对任意 x1，x2∈（0，+∞） ，|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|． 解答：解： （Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞） f? ， (x)=a+1x+2ax=2ax2+a+1x． 当 a≥0 时，f′（x）＞0，故 f（x）在（0，+∞）单调增加； 当 a≤-1 时，f′（x）＜0，故 f（x）在（0，+∞）单调减少； 当-1＜a＜0 时，令 f′（x）=0，解得 x= -a+12a．当 x∈（0， -a+12a）时，f′（x）＞0； x∈（ 23，+∞）时，f′（x）＜0，故 f（x）在（0， -a+12a）单调增加，在（ -a+12a，+∞）单调减少． （Ⅱ）不妨假设 x1≥x2．由于 a≤-2，故 f（x）在（0，+∞）单调递减． 所以|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|等价于 f（x1）-f（x2）≥4x2-4x1， 即 f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1． 令 g（x）=f（x）+4x，则 g? (x)=a+1x+2ax+4= 2ax2+4x+a+1x． 于是 g′（x）≤ -4x2+4x-1x= -(2x-1)2x≤0． 从而 g（x）在（0，+∞）单调减少，故 g（x1）≥g（x2） ， 即 f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，故对任意 x1，x2∈（0，+∞） ，|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．368、 （2010?辽宁）已知函数 f（x）=（a+1）lnx+ax2+1 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）设 a＜-1．如果对任意 x1，x2∈（0，+∞） ，|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|，求 a 的取值范围． 解答：解： （Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）. f? (x)=a+1x+2ax=2ax2+a+1x． 当 a≥0 时，f′（x）＞0，故 f（x）在（0，+∞）单调增加； 当 a≤-1 时，f′（x）＜0，故 f（x）在（0，+∞）单调减少； 当-1＜a＜0 时，令 f′（x）=0，解得 x=-a+12a． 则当 x∈(0，-a+12a)时，f'（x）＞0； x∈(-a+12a，+∞)时，f'（x）＜0． 故 f（x）在 (0，-a+12a)单调增加，在 (-a+12a，+∞)单调减少． （Ⅱ）不妨假设 x1≥x2，而 a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少， 从而?x1，x2∈（0，+∞） ，|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2| 等价于?x1，x2∈（0，+∞） ，f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1① 令 g（x）=f（x）+4x，则 g? (x)=a+1x+2ax+4 ①等价于 g（x）在（0，+∞）单调减少，即 a+1x+2ax+4≤0． 从而 a≤-4x-12x2+1=(2x-1)2-4x2-22x2+1=(2x-1)22x2+1-2 故 a 的取值范围为（-∞，-2]． （12 分）369、 （2010?江西）设函数 f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0） ． （1）当 a=1 时，求 f（x）的单调区间． （2）若 f（x）在（0，1]上的最大值为 12，求 a 的值． 解答：解：对函数求导得： f? (x)=1x-12-x+a，定义域为（0，2） （1）当 a=1 时，f′（x）= 1x- 12-x+1， 当 f′（x）＞0，即 0＜x＜ 2 时，f（x）为增函数；当 f′（x）＜0， 2＜x＜2 时，f（x）为减函数． 所以 f（x）的单调增区间为（0， 2） ，单调减区间为（ 2，2） （2）当 x∈（0，1]有最大值，则必不为减函数，且 f? (x)=1x-12-x+a＞0，为单调递增区间． 最大值在右端点取到． fmax=f(1)=a=12 所以 a= 12．370、 （2010?江苏）设 f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为 f′（x） ．如果存在实数 a 和函数 h（x） ，其中 h（x）对 任意的 x∈ （1， +∞） 都有 h （x） ＞0， 使得 f′ x） （ =h（x） 2-ax+1） 则称函数 f （x ， （x） 具有性质 P （a） 设函数 f ， （x） lnx+b+2x+1(x = ＞1)，其中 b 为实数． （1）求证：函数 f（x）具有性质 P（b） ； （2）求函数 f（x）的单调区间． 解答：解： （1）f′（x）= 1x-b+}
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（2014o嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知A（-1，3），B（2，n）两点在二次函数y=13x2+bx+4的图象上．（1）求b与n的值（2）联结OA、OB、AB，求△AOB的面积；（3）若点P（不与点A重合）在题目中给出的二次函数的图象上，且∠POB=45°，求点P的坐标．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2014-嘉定区一模
分析与解答
习题“（2014o嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知A（-1，3），B（2，n）两点在二次函数y=1/3x2+bx+4的图象上．（1）求b与n的值（2）联结OA、OB、AB，求△AOB的面积；（3）若...”的分析与解答如下所示：
（1）根据A、B两点在函数图象上，可将将两点坐标代入，即可求出b和n的值；（2）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，可求出梯形ODEB的面积，然后求出△AEB和△ADO的面积，相减即可求出△AOB的面积；（3）求证△AOB为直角三角形，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，根据∠POB=45°，求出∠OAD的度数，然后设P点坐标，将其代入到函数中，即可求出P的坐标．
解：（1）∵点A（-1，3）在二次函数y=-13x2+bx+4的图象上，∴3=-13(-1)2-b+4，解得b=23；∴二次函数y=-13x2+23x+4∵B（2，n）两点在二次函数y=-13x2+23x+4的图象上∴n=-13×4+23×2+4即n=4．（2）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图①所示，由题意可知OD=1，AD=3，BE=1+2=3，ED=4，AE=4-3=1，∴梯形ODEB的面积为SODEB=12(OD+BE)oDE=12×4×4=8∵S△ADO=12ADoDO=12×3×1=32S△AEB=12AEoBE=12×1×3=32∴S△AOB=S梯形ODEB-S△ADO-S△AEB=8-32-32=5．∴△AOB的面积为5．（3）∵AO=√AD2+OD2=√9+1=√10AB=√AE2+BE2=√9+1=√10OB=√22+42=√20∴AO2+AB2=10+10=20=OB2∴△AOB为等腰直角三角形，且∠BAO=90°，∠AOB=∠ABO=45°∵点P不与点A重合，且∠POB=45°∴∠AOP=∠AOB+∠POB=90°过P点作PH⊥x轴，垂足为H，如图②所示，∵∠POH+∠AOD=90°∠OAD+∠AOD=90°∴∠POH=∠OAD∴PHOH=tan∠POH=tan∠OAD=ODAD=13设PH=k，则OH=3k，P点坐标为（3k，k）将P点（3k，k）代入二次函数y=-13x2+23x+4得k=-13(3k)2+23o3k+4整理得，3k2-k+4=0解关于k的方程得，k=-1，k=43∴P点坐标为（-3，-1）或（4，43）经检验（-3，-1）不符合题意舍去，故所求P点坐标为（4，43）．
本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多，有一点的难度．
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（2014o嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知A（-1，3），B（2，n）两点在二次函数y=1/3x2+bx+4的图象上．（1）求b与n的值（2）联结OA、OB、AB，求△AOB的面积...
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经过分析，习题“（2014o嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知A（-1，3），B（2，n）两点在二次函数y=1/3x2+bx+4的图象上．（1）求b与n的值（2）联结OA、OB、AB，求△AOB的面积；（3）若...”主要考察你对“二次函数综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
与“（2014o嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知A（-1，3），B（2，n）两点在二次函数y=1/3x2+bx+4的图象上．（1）求b与n的值（2）联结OA、OB、AB，求△AOB的面积；（3）若...”相似的题目：
[2002o广州o模拟]直线y=x与抛物线y=x2-2的两个交点的坐标分别是（ ）（2，2），（1，1）（2，2），（-1，-1）（-2，-2），（1，1）（-2，-2），（-l，-1）
[2015o乐乐课堂o练习]直线y=x+2与抛物线y=x2+2x的交点坐标是（ ）（1，3）（-2，0）（1，3）或（-2，0）以上都不是
[2015o乐乐课堂o练习]直线y=2x-1与抛物线y=x2的交点坐标是（ ）（0，0），（1，1）（1，1）（0，1），（1，0）（0，-1），（-1，0）
“（2014o嘉定区一模）在平面直角坐标系...”的最新评论
该知识点好题
1（2013o淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
2二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于12的点P共有（ ）
3如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（ ）
该知识点易错题
1（2012o南浔区二模）如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（ ）
2如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x&…&-3&-2&1&2&…&y&…&-52&-4&-52&0&…&（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
3如图，已知直线y=-12x+1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过A、D、C作抛物线L1．（1）请直接写出点C、D的坐标；（2）求抛物线L1的解析式；（3）若正方形以每秒√5个长度单位的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形在运动过程中落在x轴下方部分的面积为S．求S关于滑行时间t的函数关系式；（4）在（3）的条件下，抛物线L1与正方形一起平移，同时停止，得到抛物线L2．两抛物线的顶点分别为M、N，点&P是x轴上一动点，点Q是抛物线L1上一动点，是否存在这样的点P、Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“（2014o嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知A（-1，3），B（2，n）两点在二次函数y=1/3x2+bx+4的图象上．（1）求b与n的值（2）联结OA、OB、AB，求△AOB的面积；（3）若点P（不与点A重合）在题目中给出的二次函数的图象上，且∠POB=45°，求点P的坐标．”的答案、考点梳理，并查找与习题“（2014o嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知A（-1，3），B（2，n）两点在二次函数y=1/3x2+bx+4的图象上．（1）求b与n的值（2）联结OA、OB、AB，求△AOB的面积；（3）若点P（不与点A重合）在题目中给出的二次函数的图象上，且∠POB=45°，求点P的坐标．”相似的习题。扫二维码下载作业帮
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二次函数y=ax²+k(a≠0)的图像经过点A(1,-1),B(2,5) 、、、急、、、、急、、二次函数y=ax²+k(a≠0)的图像经过点A(1,-1),B(2,5) (1)求该函数的表达式 2、若点C（-2,m）(n,7)也在函数图像,求m,n的值3、点E（2,6）是否在这个图像上?为什么?
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(1)把A(1,-1),B(2,5) 代入y=ax²+k得a=2,k=-3则y=2x²-3（2）把C（-2,m）(n,7)代入y=2x²-3得m=5,n=5^1/2(3)把x=2代入y=2x²-3得y=5则E（2,6）不在这个图像上
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Copyright (C) 2017 Baidu如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
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【知识点】
如图，在平面直角坐标系xoy中，O为原点，?ABCD的边AB在x轴上，点D在y轴上，点A的坐标为（﹣2，0），AB=6，∠BAD=60°，点E是BC边上一点，CE=3EB，⊙P过A、O、D三点，抛物线y=ax2+bx+c过点A、B、D三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：DE是⊙P的切线；（3）若将△CDE绕点D顺时针旋转90°，点E的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗？请说明理由；（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在矩形OABC中，点O为原点，边OA的长度为8，对角线AC=10，抛物线y=x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式并求出S最大时的m值；②在S最大的情况下，在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，O是平面直角坐标系的原点．在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于C，A（1，1），B（3，1），动点P从O点出发，沿x轴正方向以2个单位/秒的速度运动．设P点运动的时间为t秒（0＜t＜2）．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；（2）过P作PD⊥OA于D，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，⊙P在点P的右侧与x轴交于点Q．①则P点的坐标为_____，Q点的坐标为_____；（用含t的代数式表示）②试求t为何值时，⊙P与四边形OABC的两边同时相切；③设△OPD与四边形OABC重叠的面积为S，请直接写出S与t的函数解析式．&&&&
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B利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的单调性 (1)计算题 1、 （2011?浙江）设函数 f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若 x=-1 为函数 y=f（x）ex 的一个极值点，则下列图象不可能为 y=f （x）的图象是（ ）A、B、C、D、解答：解：由 y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）?y'=f'（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（b+2a）x+b+c]，由 x=-1 为函数 f（x）ex 的一个极值点可得，-1 是方程 ax2+（b+2a）x+b+c=0 的一个根，所以有 a-（b+2a）+b+c=0?c=a． 法一：所以函数 f（x）=ax2+bx+a，对称轴为 x=- b2a，且 f（-1）=2a-b，f（0）=a．对于 A，由图得 a＞0，f（0）＞0，f（-1）=0 符合要求，对于 B，由图得 a＜0，f（0）＜0，f（-1）=0 不矛盾，对于 C，由图得 a＜0，f（0）＜0，x=- b2a＞0?b＞0?f（-1）＜0 不矛盾，对于 D，由图得 a＞0，f（0）＞0，x=- b2a＜-1?b＞2a?f（-1）＜0 于原图中 f（-1）＞0 矛盾，D 不对． 法二：所以函数 f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为 1，对照四个选项发现，D 不成立故选 D． 4、 （2009?天津）设函数 f（x）= 13x-lnx（x＞0），则 y=f（x）（ ）A、在区间（ 1e，1），（l，e）内均有零点B、在区间（ 1e，1），（l，e）内均无零点C、在区间（ 1e，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点 D、在区间（ 1e，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点解答：解：由题得 f′(x)=x-33x，令 f′（x）＞0 得 x＞3；令 f′（x）＜0 得 0＜x＜3；f′（x）=0 得 x=3，故知函数 f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，在点 x=3 处有极小值 1-ln3＜0；又 f(1)=13＞0， f(e)=e3-1＜0， f(1e)=13e+1＞0．故选 C．5、 （2009?湖南）若函数 y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（ ）A、B、 C、D、解答：解：∵函数 y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的 a＜x′＜x″＜b，有 f′（a）＜f′（x′）＜f′（x″）＜f′（b），∴A 满足上述条件，B 存在 f′（x′）＞f′（x″），C 对任意的 a＜x′＜x″＜b，f′（x′）=f′（x″），D 对任意的 x∈[a，b]，f′（x）不满足逐项递增的条件，故选 A．11、 （2007?江西）设 p：f（x）=x3+2x2+mx+1 在（-∞，+∞）内单调递增，函数 q：g（x）=x2-4x+3m 不存在零点则 p 是 q 的（ ） A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件解答：解：f（x）在（-∞，+∞）内单调递增，则 f′（x）≥0 在（-∞，+∞）上恒成立， 即 3x2+4x+m≥0 在（-∞，+∞）上恒成立，即△1=16-12m≤0，即 m≥43；g（x）不存在零点，则△2=16-12m＜0，即 m＞43． 故 p 成立 q 不一定成立，q 成立 p 一定成立，故 p 是 q 的必要不充分条件．故选 B．13、 （2005?江西）已知函数 y=xf′（x）的图象如图所示（其中 f′（x）是函数 f（x）的导函数），下面四个图象中 y=f（x）的图象大 致是（ ）A、B、C、D、14、 （2005?湖北）若 0＜x＜π2，则 2x 与 3sinx 的大小关系（ ）A、2x＞3sinxB、2x＜3sinx C、2x=3sinxD、与 x 的取值有关解答：解：令 f（x）=2x-3sinx，则 f′（x）=2-3cosx当 cosx＞23 时，f′（x）＜0，当 cosx=23 时，f′（x）=0，当 cosx＜23 时，f′（x）＞0即当 0＜x＜π2 时，f（x）先递增再递减， 而 f（0）=0， f(π2)=π-3＞02x＞3sinx故选 A．15、 （2005?广东）函数 f（x）=x3-3x2+1 是减函数的区间为（ ）A、（2，+∞）B、（-∞，2）C、（-∞，0）D、（0，2）解答：解：由 f′（x）=3x2-6x＜0，得 0＜x＜2∴函数 f（x）=x3-3x2+1 是减函数的区间为（0，2）．故答案为 D．17、 已知函数 y=f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导函数为 f（x），且对任意正数 X 均有 f，(x)＞f(x)x，则下列结论中正确的 是（ ）A、.y=f（x）在（0，+∞）上为增函数B、.y= f(x)x 在（0，+∞）上为减函数C、若 x1，x2∈（0，+∞）则 f（（x1）+f（x2）＞f（x1+x2） D、若 x1，x2∈（0，+∞），则 f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）解答：解：由 f′（x）＞ f(x)x? xf′(x)-f(x)x＞0，又 x＞0? xf′(x)-f(x)x2＞0 即： [f′(x)x2]′＞0? f(x)x 在（0，+∞）上单调递增，又 x1，x2∈（0，+∞）? f(x1)x1＜f(x1+x2)x1+x2 即：（x1+x2）f（x1）＜x1f（x1+x2）① 同理：（x1+x2）f（x2）＜x2f（x1+x2）② ①+②得：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）． 故答案选 D18、 若命题 P：函数 f（x）=x3-ax-2 在区间（1，+∞）内是增函数；则命题 P 成立的充要条件是（ ）A、a∈（-∞，3]B、a∈（-∞，9]C、a∈（-1，∞）D、a∈（-∞，3）解答：解：f′（x）=3x2+a，令 f′（x）=3x2+a＞0 即 x2＞-a3，当 a≥0，x∈R；当 a＜0 时，解得 x＞-a3，或 x＜--a3；因为函数在区间（1，+∞）内是增函数，所以-a3≤1，解得 a≥-3，所以实数 a 的取值范围是[-3，+∞）故选 A20、 函数 f（x）= sinxx，则（ ）A、f（x）在（0，π）内是减函数B、f（x）在（0，π）内是增函数C、f（x）在（- π2， π2）内是减函数D、f（x）在（- π2， π2）内是增函数 解答：解： f′(x)=(sinx)′x-sinx?x′x2= xcosx-sinxx2∵x∈（0，π）∴f'（x）＜0∴f（x）在（0，π）内是减函数故选 A22、 若命题 P：函数 f（x）=x3-ax-2 在区间（1，+∞）内是增函数；则命题 P 成立的充要条件是（ ）A、a∈（-∞，3]B、a∈（-∞，9]C、a∈（-1，∞）D、a∈（-∞，3）解答：解：f′（x）=3x2+a，令 f′（x）=3x2+a＞0 即 x2＞-a3，当 a≥0，x∈R；当 a＜0 时，解得 x＞-a3，或 x＜--a3；因为函数在区间（1，+∞）内是增函数，所以-a3≤1，解得 a≥-3，所以实数 a 的取值范围是[-3，+∞）故选 A24、 函数 f（x）= sinxx，则（ ）A、f（x）在（0，π）内是减函数B、f（x）在（0，π）内是增函数C、f（x）在（- π2， π2）内是减函数D、f（x）在（- π2， π2）内是增函数解答：解： f′(x)=(sinx)′x-sinx?x′x2= xcosx-sinxx2∵x∈（0，π）∴f'（x）＜0∴f（x）在（0，π）内是减函数故选 A25、 函数 f（x）=x3-ax 在 R 上增函数的一个充分不必要条件是（ ） A、a≤0B、a＜0C、a≥0D、a＞0解答：解：∵函数 f（x）=x3-ax 的导函数为f'（x）=3x2-a， 当 a＜0 时，f'（x）＞0 恒成立，则函数 f（x）=x3-ax 在 R 上增函数 但函数 f（x）=x3-ax 在 R 上增函数时，f'（x）≥0 恒成立，故 a≤0故选 B29、 函数 f（x）=ex-ex，x∈R 的单调递增区间为（ ）A、（0，+∞）B、（-∞，0）C、（-∞，1）D、（1，+∞）分析：用导数求函数的单调区间，先求函数的导数，再令其大于 0，解出不等式的解集，即得其单调区间． 解答：解：f′（x）=ex-e，令 f′（x）＞0 得 x＜1，∴函数 f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．故选 D．33、 函数 y=xlnx+2 的单调递增区间是（ ）A、（ 1e，+∞）B、（e，0）C、（0， 1e）D、（ 1e，e） 解答：解：由函数 f（x）=2+xlnx 得：f（x）=lnx+1，令 f′（x）=lnx+1＞0 即 lnx＞-1=ln 1e，根据 e＞1 得到此对数函数为增函数，所以得到 x＞1e，即为函数的单调递增区间．故选 A． 119、 函数 f(x)=lnxx（ ）（e 是自然对数的底数）A、在（0，e）上是减函数B、在（0，+∞）上是增函数C、在（e，+∞）上是减函数D、在（0，+∞）上是减函数解答：解：f′（x）= 1-lnxx2，当 x＞e 时，f′（x）＞0，∴f（x）在（e，+∞）上是减函数．故选 C． 120、 设 y=8x2-lnx，则此函数在区间（0， 14）和（ 12，1）内分别（ ）A、单调递增，单调递减B、单调递增，单调递增C、单调递减，单调递增D、单调递减，单调递减解答：解：y′=16x- 1x．当 x∈（0， 14）时，y′＜0，y=8x2-lnx 为减函数； 当 x∈（ 12，1）时，y′＞0，y=8x2-lnx 为增函数．故选 C． 121、 函数 y= sinx-3cosx-2 的定义域为[0， π2]，则函数的值域为（ ）A、[ 23，4]B、[1，3]C、[ 43，2]D、[2- 233，2+ 233] 解答：解：数形结合法：y= sinx-3cosx-2 的可看作：点（2，3）与圆 x2+y2=1 上的点（cosx，sinx）x∈[0， π2]的连线的斜率的范围如图，圆上的点只取第一象限内的部分．由图可知，当圆上的点处在 B 处时，直线 AB 的斜率最大，为 3；当圆上的点处在 C 时，直线 AC 斜率最小，为 1；则函数的值域为[1，3]．故选 B．133、 已知函数 y=13x3+x2-8x 的图象 C 上存在一个定点 P 满足：若过定点 P 的直线 l 与曲线 C 交于不同于 P 的两点 M（x1，y1）， N（x2，y2），就恒有 y1+y2 为定值 y0，则 y0 的值为（ ）A、- 13B、 523C、 -43D、-2解答：解：P 为定点，y1+y2 为定值，∴MN 两点关于 P 点对称 y′=x2+2x-8y〃=2x+2三次函数的对称中心的二阶导数为 0y〃=2x+2=0 x=-1故 P 点为（-1， 263）∴y1+y2=2× 263= 523151、 f（x）=x3，f′（x0）=6，则 x0=（ 错误！未找到引用源。A、 2 ） 错误！未找到引用源。C、± 2 错误！未找到引用源。D、±1错误！未找到引用源。B、- 2解答：解：f′（x）=3x2f′（x0）=3x02=6x0=± 2 故选项为 C152、 函数 y=xcos2x 在点(π4，0)处的切线方程是（ 错误！未找到引用源。A、4πx+16y-π2=0 ） 错误！未找到引用源。B、4πx-16y-π2=0错误！未找到引用源。C、4πx+8y-π2=0错误！未找到引用源。D、4πx-8y-π2=0解答：解：∵y′=cos2x-2xsin2x，∴ k=y′|x=π4=-π2，?L：y-0=-π2(x-π4)， 整理得：4πx+8y-π2=0，故选 C．153、 曲线 y=x3 的切线中斜率等于 1 的直线（ 错误！未找到引用源。A、不存在 ） 错误！未找到引用源。B、存在，有且仅有一条错误！未找到引用源。C、存在，有且恰有两条错误！未找到引用源。D、存在，但条数不确定 解答：解：根据题意得 f′（x）=3x2，设切点（m，n）则曲线 y=f（x）上点（m，n）处的切线的斜率 k=3m2， ∴3m2=1，m=± 33，故切点的坐标有两解．由直线的方程可得中斜率等于 1 的直线有两条，故选 C．154、 曲线 y=x2-3x 上在点 P 处的切线平行于 x 轴，则 P 的坐标为（ 错误！未找到引用源。A、 （ -32，94） ） 错误！ 未找到引用源。 （ 32， D、 94）错误！ 未找到引用源。 （ 32， 错误！未找到引用源。C、 B、 -94） （ -32，-94）解答：解：y′=2x-3，令 y′=0．即 2x-3=0，得 x= 32． 代入曲线方程 y=x2-3x，得 y=- 94．故选 B．155、 若函数 f（x）= 13x3+ 12f′（1）x2-f′（2）x+3，则 f（x）在点（0，f（0））处切线的倾斜角为（ ）错误！未找到引用源。A、 π4 错误！未找到引用源。B、 π3 错误！ 未找到引用源。 C、 2π3 错误！ 未找到引用源。 D、 34π解答：解析：由题意得：f′（x）=x2+f′（1）x-f′（2） ，令 x=0，得 f′（0）=-f′（2） ，令 x=1，得 f′（1）=1+f′（1）-f′（2） ，∴f′（2）=1，∴f′（0）=-1，即 f（x）在点（0，f（0） ）处切线的斜率为-1， ∴倾斜角为 34π．故选 D．156、 y=x3 在点 P 处切线的斜率为 3，则点 P 的坐标为（）错误！ 未找到引用源。 （-2， 错误！ A、 未找到引用源。 （-1， 错误！未找到引用源。C、 B、 （2， 错误！未找到引用源。D、 （1， -8） -1），（1，1） 8） 1）解答：解：由题意可知，y=x3则 y′=3x2 曲线 y=x3 在点 P（x，y）处的切线斜率 k=y′（x）=3， ∴3x2=3，x=± 1，∴P 点坐标为（1，1）或（-1，-1）故选 B．157、 某汽车启动后的路程 s 与时间 t 的函数关系为 s（t）=2t3-5t2+2 其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么汽车在 2 秒末的加速度 是（ ） 错误！未找到引用源。B、 10m/s2错误！未找到引用源。A、 14m/s2错误！ 未找到引用源。 6m/s2 错误！ C、 未找到引用源。 4m/s2 D、分析：先由函数 s（t）=2t3-5t2+2，求导数 S′（t）=6t2-10t，再求 S′（2） ． 解答：解；∵函数 s（t）=2t3-5t2+2S′（t）=6t2-10t ∴S′（2）=6×22-10×2=4故选 A158、 若曲线 y=x3+px+q 与 x 轴相切，则 p，q 之间的关系满足（ 错误！未找到引用源。A、 (p3)2+(q2)2=0 ） 错误！未找到引用源。B、 (p2)2+(q3)3=0错误！未找到引用源。C、2p-3q2=0错误！未找到引用源。D、2q-3p2=0解答：解：y′=3x2+p令 y′=3x2+p=0 得 x= -p3 或- -p3∵y=0 是切线 ∴切点为（ -p3，0）或（- -p3，0） 代入曲线 y=x3+px+q 得(p3)2+(q2)2=0故选项为 A159、 函数 f（x）=x3+x 在点 x=1 处的切线方程为（ 错误！未找到引用源。A、 4x-y+2=0 ） 错误！未找到引用源。C、 4x+y+2=0 错误！未找到引用源。D、 4x+y-2=0错误！未找到引用源。B、 4x-y-2=0解答：解：∵f（x）=x3+x∴f′（x）=3x2+1∴容易求出切线的斜率为 4当 x=1 时，f（x）=2利用点斜式，求出切线方程为 4x-y-2=0故选 B．160、 若函数 f（x）的导函数为 f′（x）=-sinx，则函数图象在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（ 错误！未找到引用源。C、锐 错误！未找到引用源。A、90° 错误！未找到引用源。B、0° 角 角 ） 错误！未找到引用源。D、钝解答：解：根据题意得 f′（x）=-sinx，则曲线 y=f（x）上点（4，f（4） ）处的切线的斜率 k=tanα=-sin4， 结合正切函数的图象由图可得 α∈（0， π2） ，故选 C． 161、 函数 y=xcos2x 在点(π4，0)处的切线方程是（ 错误！未找到引用源。A、4πx+16y-π2=0 ） 错误！未找到引用源。B、4πx-16y-π2=0错误！未找到引用源。C、4πx+8y-π2=0错误！未找到引用源。D、4πx-8y-π2=0解答：解：∵y′=cos2x-2xsin2x，∴ k=y′|x=π4=-π2，?L：y-0=-π2(x-π4)， 整理得：4πx+8y-π2=0，故选 C．162、 曲线 y=x3 的切线中斜率等于 1 的直线（ 错误！未找到引用源。A、不存在 ） 错误！未找到引用源。B、存在，有且仅有一条错误！未找到引用源。C、存在，有且恰有两条错误！未找到引用源。D、存在，但条数不确定解答：解：根据题意得 f′（x）=3x2，设切点（m，n）则曲线 y=f（x）上点（m，n）处的切线的斜率 k=3m2， ∴3m2=1，m=± 33，故切点的坐标有两解．由直线的方程可得中斜率等于 1 的直线有两条，故选 C．163、 曲线 y=x2-3x 上在点 P 处的切线平行于 x 轴，则 P 的坐标为（ 错误！未找到引用源。A、 （ -32，94） ） 错误！ 未找到引用源。 （ 32， D、 94）错误！ 未找到引用源。 （ 32， 错误！未找到引用源。C、 B、 -94） （ -32，-94）解答：解：y′=2x-3，令 y′=0． 即 2x-3=0，得 x= 32． 代入曲线方程 y=x2-3x，得 y=- 94．故选 B．164、 y=x3 在点 P 处切线的斜率为 3，则点 P 的坐标为（ ）错误！ 未找到引用源。 （-2， 错误！ A、 未找到引用源。 （-1， 错误！未找到引用源。C、 B、 （2， 错误！未找到引用源。D、 （1， -8） -1），（1，1） 8） 1）解答：解：由题意可知，y=x3则 y′=3x2 曲线 y=x3 在点 P（x，y）处的切线斜率 k=y′（x）=3， ∴3x2=3，x=± 1，∴P 点坐标为（1，1）或（-1，-1）故选 B．165、 某汽车启动后的路程 s 与时间 t 的函数关系为 s（t）=2t3-5t2+2 其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么汽车在 2 秒末的加速度 是（ ） 错误！未找到引用源。B、 10m/s2错误！未找到引用源。A、 14m/s2错误！ 未找到引用源。 6m/s2 错误！ C、 未找到引用源。 4m/s2 D、解答：解；∵函数 s（t）=2t3-5t2+2S′（t）=6t2-10t ∴S′（2）=6×22-10×2=4故选 A166、 若曲线 y=x3+px+q 与 x 轴相切，则 p，q 之间的关系满足（ 错误！未找到引用源。A、 (p3)2+(q2)2=0 ） 错误！未找到引用源。B、 (p2)2+(q3)3=0 错误！未找到引用源。C、2p-3q2=0错误！未找到引用源。D、2q-3p2=0解答：解：y′=3x2+p令 y′=3x2+p=0 得 x= -p3 或- -p3∵y=0 是切线∴切点为（ -p3，0）或（- -p3，0） 代入曲线 y=x3+px+q 得(p3)2+(q2)2=0故选项为 A167、 若函数 f（x）的导函数为 f′（x）=-sinx，则函数图象在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（ 错误！未找到引用源。C、锐 错误！未找到引用源。A、90° 错误！未找到引用源。B、0° 角 角 ） 错误！未找到引用源。D、钝解答：解：根据题意得 f′（x）=-sinx，则曲线 y=f（x）上点（4，f（4） ）处的切线的斜率 k=tanα=-sin4，结合正切函数的图象由图可得 α∈（0， π2） ，故选 C．168、 已知函数 f(x)={ax2+bx+c，x≥1f(-x-2)，x＜-1 其图象在点（1，f（1））处的切线方程为 y=2x+1，则它在点（-3，f（-3））处 的切线方程为（ ） 错误！未找到引用源。B、 错误！未找到引用源。C、 错误！未找到引用源。D、错误！未找到引用源。A、 y=-2x-3y=-2x+3y=2x-3y=2x+3解答：解：∵图象在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y=2x+1∴f（1）=2+1=3∵f（-3）=f（3-2）=f（1）=3∴（-3，f（-3） ）即为（-3，3）∴在点（-3，f（-3） ）处的切线过（-3，3）将（-3，3）代入选项通过排除法得到点（-3，3）只满足 A故选 A169、 曲线 y= sinxx 在点（π，0）处的切线与直线 ax+y+c=0 垂直，则 a=（ 错误！未找到引用源。A、π 错误！未找到引用源。B、-π ） 错误！未找到引用源。D、 1π错误！未找到引用源。C、π2解答：解：∵ y′=xcosx-sinxx2∴y′|x=π=- 1π ∵直线 ax+y+c=0 的斜率为-a又∵切线与直线 ax+y+c=0 垂直∴-a=π∴a=-π故选项为 B170、 已知函数 y=f（x）在区间（a，b）内可导，且 x0∈（a，b）且 limh→0f(x0+h)-f(x0-h)h=1 则 f′（x0）的值为（ 错误！未找到引用源。A、-1 错误！未找到引用源。B、 12 错误！未找到引用源。C、2 ）错误！未找到引用源。D、1解答：解：由题意， limh→0f(x0+h)-f(x0-h)h=2limf(x0+h)-f(x0-h)2h=1根据导数的定义，可知 f′（x0）= limh→0f(x0+h)-f(x0-h)2h ∴f′（x0）= 12 故选 B． 171、 函数 y=xcos2x 在点(π4，0)处的切线方程是（ 错误！未找到引用源。A、4πx+16y-π2=0 ） 错误！未找到引用源。B、4πx-16y-π2=0错误！未找到引用源。C、4πx+8y-π2=0错误！未找到引用源。D、4πx-8y-π2=0解答：解：∵y′=cos2x-2xsin2x，∴ k=y′|x=π4=-π2，?L：y-0=-π2(x-π4)， 整理得：4πx+8y-π2=0，故选 C．172、 曲线 y=x3 的切线中斜率等于 1 的直线（ 错误！未找到引用源。A、不存在 ） 错误！未找到引用源。B、存在，有且仅有一条错误！未找到引用源。C、存在，有且恰有两条错误！未找到引用源。D、存在，但条数不确定解答：解：根据题意得 f′（x）=3x2，设切点（m，n）则曲线 y=f（x）上点（m，n）处的切线的斜率 k=3m2， ∴3m2=1，m=± 33，故切点的坐标有两解．由直线的方程可得中斜率等于 1 的直线有两条，故选 C．173、 曲线 y=x2-3x 上在点 P 处的切线平行于 x 轴，则 P 的坐标为（ 错误！未找到引用源。A、 （ -32，94） ） 错误！ 未找到引用源。 （ 32， D、 94）错误！ 未找到引用源。 （ 32， 错误！未找到引用源。C、 B、 -94） （ -32，-94）解答：解：y′=2x-3，令 y′=0．即 2x-3=0，得 x= 32． 代入曲线方程 y=x2-3x，得 y=- 94． 故选 B．174、 y=x3 在点 P 处切线的斜率为 3，则点 P 的坐标为（ ）错误！ 未找到引用源。 （-2， 错误！ A、 未找到引用源。 （-1， 错误！未找到引用源。C、 B、 （2， 错误！未找到引用源。D、 （1， -8） -1），（1，1） 8） 1）解答：解：由题意可知，y=x3则 y′=3x2 曲线 y=x3 在点 P（x，y）处的切线斜率 k=y′（x）=3， ∴3x2=3，x=± 1，∴P 点坐标为（1，1）或（-1，-1）故选 B．175、 某汽车启动后的路程 s 与时间 t 的函数关系为 s（t）=2t3-5t2+2 其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么汽车在 2 秒末的加速度 是（ ） 错误！未找到引用源。B、 10m/s2错误！未找到引用源。A、 14m/s2错误！ 未找到引用源。 6m/s2 错误！ C、 未找到引用源。 4m/s2 D、解答：解；∵函数 s（t）=2t3-5t2+2S′（t）=6t2-10t ∴S′（2）=6×22-10×2=4故选 A176、 若曲线 y=x3+px+q 与 x 轴相切，则 p，q 之间的关系满足（ 错误！未找到引用源。A、 (p3)2+(q2)2=0 ） 错误！未找到引用源。B、 (p2)2+(q3)3=0错误！未找到引用源。C、2p-3q2=0错误！未找到引用源。D、2q-3p2=0解答：解：y′=3x2+p令 y′=3x2+p=0 得 x= -p3 或- -p3 ∵y=0 是切线∴切点为（ -p3，0）或（- -p3，0） 代入曲线 y=x3+px+q 得(p3)2+(q2)2=0故选项为 A178、 已知函数 f(x)={ax2+bx+c，x≥1f(-x-2)，x＜-1 其图象在点（1，f（1））处的切线方程为 y=2x+1，则它在点（-3，f（-3））处 的切线方程为（ ） 错误！未找到引用源。B、 y=-2x+3 错误！未找到引用源。C、 y=2x-3 错误！未找到引用源。D、 y=2x+3错误！未找到引用源。A、 y=-2x-3解答：解：∵图象在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y=2x+1∴f（1）=2+1=3∵f（-3）=f（3-2）=f（1）=3∴（-3，f（-3） ）即为（-3，3）∴在点（-3，f（-3） ）处的切线过（-3，3）将（-3，3）代入选项通过排除法得到点（-3，3）只满足 A故选 A179、 曲线 y= sinxx 在点（π，0）处的切线与直线 ax+y+c=0 垂直，则 a=（ 错误！未找到引用源。A、π 错误！未找到引用源。B、-π ） 错误！未找到引用源。D、 1π错误！未找到引用源。C、π2解答：解：∵$y′=\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$∴y′|x=π=-$\frac{1}{π}$ ∵直线 ax+y+c=0 的斜率为-a又∵切线与直线 ax+y+c=0 垂直∴-a=π ∴a=-π故选项为 B 180、 已知函数 y=f（x）在区间（a，b）内可导，且 x0∈（a，b）且 limh→0f(x0+h)-f(x0-h)h=1 则 f′（x0）的值为（ 错误！未找到引用源。A、-1 错误！未找到引用源。B、 12 错误！未找到引用源。C、2 ）错误！未找到引用源。D、1解答：解：由题意， limh→0f(x0+h)-f(x0-h)h=2limf(x0+h)-f(x0-h)2h=1根据导数的定义，可知 f′（x0）= limh→0f(x0+h)-f(x0-h)2h ∴f′（x0）= 12 故选 B．181、 曲线 y=x3 的切线中斜率等于 1 的直线（ 错误！未找到引用源。A、不存在 ） 错误！未找到引用源。B、存在，有且仅有一条错误！未找到引用源。C、存在，有且恰有两条错误！未找到引用源。D、存在，但条数不确定解答：解：根据题意得 f′（x）=3x2，设切点（m，n）则曲线 y=f（x）上点（m，n）处的切线的斜率 k=3m2， ∴3m2=1，m=± 33，故切点的坐标有两解．由直线的方程可得中斜率等于 1 的直线有两条，故选 C．182、 曲线 y=x2-3x 上在点 P 处的切线平行于 x 轴，则 P 的坐标为（ 错误！未找到引用源。A、 （ -32，94） ） 错误！ 未找到引用源。 （ 32， D、 94）错误！ 未找到引用源。 （ 32， 错误！未找到引用源。C、 B、 -94） （ -32，-94）解答：解：y′=2x-3，令 y′=0．即 2x-3=0，得 x= 32． 代入曲线方程 y=x2-3x， 得 y=- 94．故选 B．183、 某汽车启动后的路程 s 与时间 t 的函数关系为 s（t）=2t3-5t2+2 其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么汽车在 2 秒末的加速度 是（ ） 错误！未找到引用源。B、 10m/s2错误！未找到引用源。A、 14m/s2错误！ 未找到引用源。 6m/s2 错误！ C、 未找到引用源。 4m/s2 D、解答：解；∵函数 s（t）=2t3-5t2+2S′（t）=6t2-10t ∴S′（2）=6×22-10×2=4故选 A184、 若曲线 y=x3+px+q 与 x 轴相切，则 p，q 之间的关系满足（ 错误！未找到引用源。A、 (p3)2+(q2)2=0 ） 错误！未找到引用源。B、 (p2)2+(q3)3=0错误！未找到引用源。C、2p-3q2=0错误！未找到引用源。D、2q-3p2=0解答：解：y′=3x2+p令 y′=3x2+p=0 得 x= -p3 或- -p3∵y=0 是切线∴切点为（ -p3，0）或（- -p3，0） 代入曲线 y=x3+px+q 得(p3)2+(q2)2=0故选项为 A 185、 已知函数 f(x)={ax2+bx+c，x≥1f(-x-2)，x＜-1 其图象在点（1，f（1））处的切线方程为 y=2x+1，则它在点（-3，f（-3））处 的切线方程为（ ） 错误！未找到引用源。B、 y=-2x+3 错误！未找到引用源。C、 y=2x-3 错误！未找到引用源。D、 y=2x+3错误！未找到引用源。A、 y=-2x-3 解答：解：∵图象在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y=2x+1∴f（1）=2+1=3∵f（-3）=f（3-2）=f（1）=3∴（-3，f（-3） ）即为（-3，3）∴在点（-3，f（-3） ）处的切线过（-3，3）将（-3，3）代入选项通过排除法得到点（-3，3）只满足 A故选 A186、 曲线 y= sinxx 在点（π，0）处的切线与直线 ax+y+c=0 垂直，则 a=（ 错误！未找到引用源。A、π 错误！未找到引用源。B、-π ） 错误！未找到引用源。D、 1π错误！未找到引用源。C、π2解答：解：∵ y′=xcosx-sinxx2∴y′|x=π=- 1π ∵直线 ax+y+c=0 的斜率为-a又∵切线与直线 ax+y+c=0 垂直∴-a=π∴a=-π故选项为 B187、 设 P 为曲线 C： 2+2x+3 上的点， 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为[ π4， 则点 P 横坐标的取值范围为 （ y=x π2]， ）错误！ 未找到引用源。 （-∞， 错误！未找到引用源。B、[-1， 错误！未找到引用源。C、[0， 错误！ A、 未找到引用源。 [ 12， D、 12] 0] 1] +∞]解答：解：设点 P 的横坐标为 x0，∵y=x2+2x+3，∴y' |x=x0=2x0+2， 利用导数的几何意义得 2x0+2=tanα（α 为点 P 处切线的倾斜角） ， 又∵ α∈[π4，π2]，∴1≤2x0+2， ∴x0∈[ 12，+∞） 故选 D．188、 在函数 y=16x3-4x 的图象上，其切线的倾斜角小于 π4 的点中，横坐标为整数的点有（ 错误！未找到引用源。A、7 错误！未找到引用源。B、5 ） 错误！未找到引用源。D、2错误！未找到引用源。C、4解答：解：y′= 12x2-4∵切线的倾斜角小于 π4∴0≤ 12x2-4＜1 解得 -10＜x≤-22 或 22≤x＜10∴横坐标为整数的点有-3，3 共两个点故选项为 D．189、 若 f（x），g（x）满足 f'（x）=g'（x），则 f（x）与 g（x）满足（ 错误！未找到引用源。A、f（x）=g（x） ）错误！未找到引用源。B、f（x）-g（x）为常数错误！未找到引用源。C、f（x）=g（x）=0错误！未找到引用源。D、f（x）+g（x）为常数解答：解：由 f′（x）=g′（x） ，得 f′（x）-g′（x）=0，即[f（x）-g（x）]′=0，所以 f（x）-g（x）=C（C 为常数） ．故选 B． 190、 已知点 P 在曲线 y= 43ex+1 上，α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是（ ）错误！未找到引用源。A、[0， 错误！ 未找到引用源。 [π3， 错误！ B、 未找到引用源。 (π2， 错误！未找到引用源。D、 C、 π3） π2) 2π3] [2π3，π)解答：解：根据题意得 f′（x）=-$\frac{4\sqrt{3}{e}^{x}}{{e}^{2x}+2{e}^{x}+1}$，∵k=-$\frac{4\sqrt{3}}{{e}^{x}\;+\frac{1}{{e}^{x}}+2}≥-\frac{4\sqrt{3}}{2+2}=-\sqrt{3}$ $k=-\frac{4}{{e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}+2}≥\;-\fra c{4}{2+2}=-1$， 则曲线 y=f（x）上切点处的切线的斜率 k≥-$\sqrt{3}$，又∵k=tanα，∴α∈[$\frac{2π}{3}$，π）故选 D． 191、 曲线 y=x3 的切线中斜率等于 1 的直线（ 错误！未找到引用源。A、不存在 ） 错误！未找到引用源。B、存在，有且仅有一条错误！未找到引用源。C、存在，有且恰有两条错误！未找到引用源。D、存在，但条数不确定解答：解：根据题意得 f′（x）=3x2，设切点（m，n）则曲线 y=f（x）上点（m，n）处的切线的斜率 k=3m2， ∴3m2=1，m=± 33，故切点的坐标有两解．由直线的方程可得中斜率等于 1 的直线有两条，故选 C．192、 曲线 y=x2-3x 上在点 P 处的切线平行于 x 轴，则 P 的坐标为（ 错误！未找到引用源。A、 （ -32，94） ） 错误！ 未找到引用源。 （ 32， D、 94）错误！ 未找到引用源。 （ 32， 错误！未找到引用源。C、 B、 -94） （ -32，-94）解答：解：y′=2x-3，令 y′=0．即 2x-3=0，得 x= 32． 代入曲线方程 y=x2-3x，得 y=- 94．故选 B．193、 某汽车启动后的路程 s 与时间 t 的函数关系为 s（t）=2t3-5t2+2 其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么汽车在 2 秒末的加速度 是（ ） 错误！未找到引用源。A、 14m/s2错误！未找到引用源。B、 10m/s2错误！ 未找到引用源。 6m/s2 错误！ C、 未找到引用源。 4m/s2 D、解答：解；∵函数 s（t）=2t3-5t2+2S′（t）=6t2-10t ∴S′（2）=6×22-10×2=4故选 A194、 若曲线 y=x3+px+q 与 x 轴相切，则 p，q 之间的关系满足（ 错误！未找到引用源。A、 (p3)2+(q2)2=0 ） 错误！未找到引用源。B、 (p2)2+(q3)3=0错误！未找到引用源。C、2p-3q2=0错误！未找到引用源。D、2q-3p2=0解答：解：y′=3x2+p令 y′=3x2+p=0 得 x= -p3 或- -p3∵y=0 是切线∴切点为（ -p3，0）或（- -p3，0） 代入曲线 y=x3+px+q 得(p3)2+(q2)2=0故选项为 A195、 曲线 y= sinxx 在点（π，0）处的切线与直线 ax+y+c=0 垂直，则 a=（ 错误！未找到引用源。A、π 错误！未找到引用源。B、-π ） 错误！未找到引用源。D、 1π错误！未找到引用源。C、π2解答：解：∵ y′=xcosx-sinxx2∴y′|x=π=- 1π ∵直线 ax+y+c=0 的斜率为-a又∵切线与直线 ax+y+c=0 垂直∴-a=π ∴a=-π故选项为 B196、 在函数 y=16x3-4x 的图象上，其切线的倾斜角小于 π4 的点中，横坐标为整数的点有（ 错误！未找到引用源。A、7 错误！未找到引用源。B、5 ） 错误！未找到引用源。D、2错误！未找到引用源。C、4解答：解：y′= 12x2-4∵切线的倾斜角小于 π4 ∴0≤ 12x2-4＜1解得 -10＜x≤-22 或 22≤x＜10∴横坐标为整数的点有-3，3 共两个点故选项为 D．197、 已知点 P 在曲线 y= 43ex+1 上，α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是（ ）错误！未找到引用源。A、[0， 错误！ 未找到引用源。 [π3， 错误！ B、 未找到引用源。 (π2， 错误！未找到引用源。D、 C、 π3） π2) 2π3] [2π3，π)解答：解：根据题意得 f′（x）=- 43exe2x+2ex+1，∵k=- 43ex+1ex+2≥-432+2=-3 k=-4ex+1ex+2≥-42+2=-1， 则曲线 y=f（x）上切点处的切线的斜率 k≥- 3，又∵k=tanα，∴α∈[ 2π3，π）故选 D．198、 曲线 y=sin2x+6 在 x=π4 处的切线的倾斜角是（ ）错误！未找到引用源。A、 π4 错误！ 未找到引用源。 B、 -π4 错误！ 未找到引用源。 C、 3π4 错误！ 未找到引用源。 -3π4 D、 解答：解：令 f（x）Tsin2x+6，∴f′（x）=2sinxcosx=sin2x${f}^{/}（\frac{π}{4}）=sin\frac{π}{2}=1$根据直线的斜率为倾斜角的正切值，可得倾斜角为$\frac{π}{4}$故选 A．199、 如果质点按规律 s（t）=t2-t（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在 3s 时的瞬时速度为（ ）错误！ 未找到引用源。 5m/s 错误！ A、 未找到引用源。 6m/s 错误！ B、 未找到引用源。 7m/s 错误！ C、 未找到引用源。 8m/s D、解答：解：∵S=t2-t，∴s'=2t-1当 t=3 时，v=s'=5故选 A．200、 函数 f（x）=x3+4x+5 的图象在 x=1 处的切线在 x 轴上的截距为（ 错误！未找到引用源。A、10 错误！未找到引用源。B、5 ） 错误！ 未找到引用源。 D、 -37错误！未找到引用源。C、-1解答：解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f′（x）=3x2+4，∴f′（1）=7，即切线的斜率为 7，又 f（1）=10，故切点坐标（1，10） ，∴切线的方程为：y-10=9（x-1） ，当 y=0 时，x=- 37，切线在 x 轴上的截距为- 37，故选 D． 201、 曲线 y=x2-3x 上在点 P 处的切线平行于 x 轴，则 P 的坐标为（ 错误！未找到引用源。A、 （ -32，94） ） 错误！ 未找到引用源。 （ 32， D、 94）错误！ 未找到引用源。 （ 32， 错误！未找到引用源。C、 B、 -94） （ -32，-94） 解答：解：y′=2x-3，令 y′=0．即 2x-3=0，得 x=$\frac{3}{2}$． 代入曲线方程 y=x2-3x，得 y=-$\frac{9}{4}$．故选 B．202、 若曲线 y=x3+px+q 与 x 轴相切，则 p，q 之间的关系满足（ 错误！未找到引用源。A、 (p3)2+(q2)2=0 ） 错误！未找到引用源。B、 (p2)2+(q3)3=0错误！未找到引用源。C、2p-3q2=0错误！未找到引用源。D、2q-3p2=0解答：解：y′=3x2+p令 y′=3x2+p=0 得 x= -p3 或- -p3∵y=0 是切线∴切点为（ -p3，0）或（- -p3，0） 代入曲线 y=x3+px+q 得(p3)2+(q2)2=0故选项为 A203、 曲线 y= sinxx 在点（π，0）处的切线与直线 ax+y+c=0 垂直，则 a=（ 错误！未找到引用源。A、π 错误！未找到引用源。B、-π ） 错误！未找到引用源。D、 1π错误！未找到引用源。C、π2解答：解：∵ y′=xcosx-sinxx2∴y′|x=π=- 1π ∵直线 ax+y+c=0 的斜率为-a又∵切线与直线 ax+y+c=0 垂直∴-a=π ∴a=-π故选项为 B204、 在函数 y=16x3-4x 的图象上，其切线的倾斜角小于 π4 的点中，横坐标为整数的点有（ 错误！未找到引用源。A、7 错误！未找到引用源。B、5 ） 错误！未找到引用源。D、2错误！未找到引用源。C、4解答：解：y′= 12x2-4∵切线的倾斜角小于 π4 ∴0≤ 12x2-4＜1解得 -10＜x≤-22 或 22≤x＜10∴横坐标为整数的点有-3，3 共两个点故选项为 D． 205、 已知点 P 在曲线 y= 43ex+1 上，α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是（ ）错误！未找到引用源。A、[0， 错误！ 未找到引用源。 [π3， 错误！ B、 未找到引用源。 (π2， 错误！未找到引用源。D、 C、 π3） π2) 2π3] [2π3，π)解答：解：根据题意得 f′（x）=- 43exe2x+2ex+1，∵k=- 43ex+1ex+2≥-432+2=-3 k=-4ex+1ex+2≥-42+2=-1，则曲线 y=f（x）上切点处的切线的斜率 k≥- 3，又∵k=tanα，∴α∈[ 2π3，π）故选 D．206、 曲线 y=sin2x+6 在 x=π4 处的切线的倾斜角是（ ）错误！未找到引用源。A、 π4 错误！ 未找到引用源。 B、 -π4 错误！ 未找到引用源。 C、 3π4 错误！ 未找到引用源。 -3π4 D、解答：解：根据题意得 f′（x）=- 43exe2x+2ex+1， ∵k=- 43ex+1ex+2≥-432+2=-3 k=-4ex+1ex+2≥-42+2=-1， 则曲线 y=f（x）上切点处的切线的斜率 k≥- 3，又∵k=tanα，∴α∈[ 2π3，π）故选 D．207、 如果质点按规律 s（t）=t2-t（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在 3s 时的瞬时速度为（ ）错误！ 未找到引用源。 5m/s 错误！ A、 未找到引用源。 6m/s 错误！ B、 未找到引用源。 7m/s 错误！ C、 未找到引用源。 8m/s D、解答：解：∵S=t2-t，∴s'=2t-1当 t=3 时，v=s'=5故选 A．208、 函数 f（x）=x3+4x+5 的图象在 x=1 处的切线在 x 轴上的截距为（ 错误！未找到引用源。A、10 错误！未找到引用源。B、5 ） 错误！ 未找到引用源。 D、 -37错误！未找到引用源。C、-1解答：解：∵S=t2-t，∴s'=2t-1当 t=3 时，v=s'=5故选 A．209、 已知函数 y=f（x）的图象在点 M（1，f（1））处的切线方程是 y=12x+2，则 f（1）+f′（1）的值等于（ 错误！未找到引用源。A、1 错误！未找到引用源。B、 52 错误！未找到引用源。C、3 ）错误！未找到引用源。D、0解答：解：由已知点点 M（1，f（1） ）在切线上，所以 f（1）= 12+2=52，切点处的导数为切线斜率，所以 f′(1)=12，即 f（1）+f'（1）=3，故选 C．210、 一个物体的运动方程为 s=1-t+t2 其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3 秒末的瞬时速度是（ 错误！未找到引用源。A、7 米/秒 错误！未找到引用源。B、6 米/秒 错误！未找到引用源。C、5 米/秒）错误！未找到引用源。D、8 米/秒解答：解：s'（t）=2t-1，s'（3）=2×3-1=5．故答案为 C 211、 已知函数 y=f（x）的图象在点 M（1，f（1））处的切线方程是 y=12x+2，则 f（1）+f′（1）的值等于（ 错误！未找到引用源。A、1 错误！未找到引用源。B、 52 错误！未找到引用源。C、3 ）错误！未找到引用源。D、0解答：解：由已知点点 M（1，f（1） ）在切线上，所以 f（1）= 12+2=52，切点处的导数为切线斜率，所以 f′(1)=12，即 f（1）+f'（1）=3，故选 C．212、 一个物体的运动方程为 s=1-t+t2 其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3 秒末的瞬时速度是（ 错误！未找到引用源。A、7 米/秒 错误！未找到引用源。B、6 米/秒 错误！未找到引用源。C、5 米/秒 ）错误！未找到引用源。D、8 米/秒解答：解：s'（t）=2t-1，s'（3）=2×3-1=5．故答案为 C213、 设曲线 y=ax2 在点（1，a）处的切线与直线 2x-y-6=0 平行，则 a=（ 错误！未找到引用源。A、1 ）错误！未找到引用源。B、 12 错误！ 未找到引用源。 C、 -12 错误！未找到引用源。D、-1解答：解：y'=2ax，于是切线的斜率 k=y'|x=1=2a，∵切线与直线 2x-y-6=0 平行 ∴有 2a=2∴a=1故选项为 A 214、 已知曲线 y= 400+x2+35(100-x)(0≤x≤100)在点 M 处有水平切线，则点 M 的坐标是（ ）错误！ 未找到引用源。 （-15， 错误！ A、 未找到引用源。 （15， 错误！ B、 未找到引用源。 （15， 错误！ C、 未找到引用源。 （15， D、 76） 67） 76） -76）解答：解：设 M（x，y） ）则y′=x400+x2-35∵曲线在点 M 处有水平切线∴在点 M 处的导数为 0∴ x400+x2-35=0解得 x=15代入 y=400+x2+35(100-x)(0≤x≤100)得 y=76M（15，76）故选项为 C215、 曲线 y=x3-4x 在点（1，-3）处的切线倾斜角为（ ）错误！ 未找到引用源。 A、 34π 错误！未找到引用源。B、 π2 错误！未找到引用源。C、 π4 错误！未找到引用源。D、 π6解答：解： y′=3x2-4，k=y′|x=1=-1，tanα=-1，α=34π．故选 A．216、 曲线 f（x）=x3+x-2 在 p0 处的切线平行于直线 y=4x-1，则 p0 点的坐标为（ ）错误！未找到引用源。A、 （1， 错误！未找到引用源。B、 （2， 错误！未找到引用源。C、 （2， 错误！未找到引用源。D、 （1， 0） 8） 8）和（-1，-4） 0）和（-1，-4）解答：解：设切点为 P0（a，b） ，f'（x）=3x2+1，k=f'（a）=3a2+1=4，a=±1，把 a=-1，代入到 f（x）=x3+x-2 得 b=-4； 把 a=1，代入到 f（x）=x3+x-2 得 b=0，所以 P0（1，0）和（-1，-4） ． 故选 D．217、 已知 f′（x）是函数 f（x）的导函数，若函数 f（x）的图象在点 x=5 处的切线方程是 x+y-5=0，则 f（5）+f′（5）=（ 错误！未找到引用源。A、1 错误！未找到引用源。B、-1 错误！未找到引用源。C、-2 ）错误！未找到引用源。D、0解答：解：由题意函数 f（x）的图象在点 x=5 处的切线方程是 x+y-5=0f′（5）=-1，f（5）=0故 f（5）+f′（5）=-1故选 B．218、 设函数 f（x）在 x0 处可导，则 lim△x→0f(x0-△x)-f(x0)△x 等于（ ） 错误！未找到引用源。C、-f′ （x0） 错误！未找到引用源。D、-f （-x0）错误！ 未找到引用源。 f′ 0） 错误！ A、 （x 未找到引用源。 f′ 0） B、 （-x解答：解： lim△x→0f(x0-△x)-f(x0)△x=- lim△x→0f(x0-△x)-f(x0)-△x=-f′（x0） ，故选 C．219、 已知函数 f（x）=x2+bx 的图象在点 A（1，f（1））处的切线斜率为 3，数列{ 1f(n)}的前 n 项为 Sn 则 S2011 的值为（ 错误！未找到引用源。A、
错误！未找到引用源。B、
错误！未找到引用源。C、
）错误！未找到引用源。D、 解答：解：∵f′（x）=2x+b，f′（1）=2+b=3，∴b=1，∴f（x）=x2+x，∴ 1f(n)= 1n2+n= 1n(n+1)= 1n- 1n+1，∴S2011=（1- 12）+（ 12- 13）+…+（ 1）= ， 故选 A．220、 若在曲线 f（x，y）=0（或 y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线线 f（x，y）=0（或 y=f（x））的自公 切线，下列方程的曲线：①x2-y2=1；②y=3sinx+4cosx；③y=x2-|x|；④|x|+1= 4-y2，存在自公切线的是（ ）错误！ 未找到引用源。 ①③ 错误！ A、 未找到引用源。 ①④ 错误！ B、 未找到引用源。 ②③ 错误！ C、 未找到引用源。 ②④ D、解答：解：x2-y2=1 为等轴双曲线，不存在自公切线，故①不存在；函数 y=3sinx+4cosx 的一条自公切线为 y=5，故②存在；函数 y=x2-|x|的图象如下左图显然满足要求，故③存在；对于方程|x|+1= 4-y2，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求，故④不存在．221、 过点 P（1，1）作曲线 y=x3 的两条切线 l1、l2，设它们的夹角为 θ，则 tanθ 的值为（ ）错误！未找到引用源。A、 33 错误！ 未找到引用源。 B、 913 错误！ 未找到引用源。 1513 错误！未找到引用源。D、 95 C、解答：解：因为点 P（1，1）所以点 P 在作曲线 y=x3 上，则过点 P 的切线的斜率为 3， 设点 M（t，t3）为曲线上的另一切点，根据导数的几何意义得，y′=3t2= t3-1t-1=t2+t+1（t≠1） ，即（2t+1） （t-1）=0，得 t=- 12 或 t=1（舍去） ．所以直线 PQ 的斜率为 -18-1-12-1= 34， 则 tanθ=| 3-341+3×34|= 913．故选 B222、 已知二函数 y=3x4+a，y=4x3，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切斜线率为（ 错误！未找到引用源。C、0 错误！未找到引用源。A、0 错误！未找到引用源。B、12 或 12 或1 ）错误！未找到引用源。D、4解答：解：设公共点为 P（x0，y0） ，则在函数 y=3x4+a 中，y′|x=x0=12x03， 则在 P 点处的切线方程为 y-y0=12x03（x-x0） 即 y-（3x04+a）=12x03（x-x0） 化简得，y=12x03x-9x04+a 在函数 y=4x3 中， y′|x=x0=12x02 则在 P 点处的切线方程为 y-y0=12x02（x-x0） 即 y-4x03=12x02（x-x0） 化简得，y=12x02x-8x03 又两个函数在公共点处的切线重合，∴ {12x03=12x02-9x04+a=-8x03∴ {x0=0a=0 或 {x0=1a=1∴切线斜率为 0 或 12． 223、 函数 f（x）=2x2-1nx 的递增区间是解答：解：由题，函数的定义域是（0，+∞）∵f（x）=2x2-1nx∴f′（x）=4x- 1x令 f′（x）＞0，即 4x- 1x＞0解得 x＞ 12 或 x＜- 12又函数的定义域是（0，+∞）∴函数 f（x）=2x2-1nx 的递增区间是 (12，+∞)故答案为 (12，+∞)224、 二次函数 y=ax2+（2a-1）x-5 在[-3，+∞）上递减，则 a 的取值范围是解答：解：∵二次函数 y=ax2+（2a-1）x-5∴对称轴为 x= 1-2a2a． ∵二次函数 y=ax2+（2a-1）x-5 在[-3，+∞）上递减 ∴ {a＜01-2a2a≤-3 解得- 14≤a＜0，故答案为- 14≤a＜0239、 若函数 f（x）=2lnx+x2-5x+c 在区间（m，m+1）上为单调函数，则 m 的取值范围是解答：解：由题得：f′（x）= 2x+2x-5，x∈（0，+∞）如果函数单调增，得到 f′（x）= 2x+2x-5＞0，解得：x＞2 或 0＜x＜ 12； 如果函数单调减，得到 f′（x）= 2x+2x-5＜0，解得： 12＜x＜2；所以区间（m，m+1）分别为（0， 12）（ 12，2）（2，+∞）的子集，即得到①m≥0 且 m+1≤ 12；②m≥ 12 且 m+1≤2；③m≥2， ， ， 由①得到无解；由②解得 12≤m≤1；由③得到 m≥2，综合得到 m∈[ 12，1]∪[2，+∞）故答案为[ 12，1]∪[2，+∞）260、 函数 y=lnxx 的单调增区间为解答：解：f′（x）=ex（x2-2x）+ex（2x-2）=ex（x2-2） ， 令 f′（x）＜0 得- 2＜x＜ 2， ∴函数 f（x）的单调递减区间为（- 2， 2） ． 故答案为： 2， 2） （． 261、 二次函数 y=ax2+（2a-1）x-5 在[-3，+∞）上递减，则 a 的取值范围是解答：解：∵二次函数 y=ax2+（2a-1）x-5 ∴对称轴为 x= 1-2a2a． ∵二次函数 y=ax2+（2a-1）x-5 在[-3，+∞）上递减 ∴ {a＜01-2a2a≤-3 解得- 14≤a＜0， 故答案为- 14≤a＜0268、 函数 y=excosx 在[0，π]上的单调递增区间是． 解答：解：y′=excosx-exsinx=ex（cosx-sinx）＞0 ∵x∈[0，π] ∴y′＞0 解得 x∈（0， π4） ， 故答案为 （0， π4） ．269、 函数 f（x）=lnx-x 的单调减区间是． 解答：解：f′（x）= 1x-1=1-xx 令 f′（x）＜0 得 x＞1 所以函数 f（x）=lnx-x 的单调减区间是（1，+∞） 故答案为（1，+∞）270、 下列图象中，有一个是函数 f（x）= 13x3+ax2+（a2-1）x+1（a∈R，a≠0）的导函数 f′（x）的图象，则 f（-1）=．解答：解：∵f′（x）=x2+2ax+（a2-1） ， ∴导函数 f′（x）的图象开口向上． 又∵a≠0， ∴f（x）不是偶函数，其图象不关于 y 轴对称 其图象必为第三张图．由图象特征知 f′（0）=0， 且对称轴-a＞0， ∴a=-1． 故答案为 f（-1）=- 13-1+1=- 13． 271、 二次函数 y=ax2+（2a-1）x-5 在[-3，+∞）上递减，则 a 的取值范围是 解答：解：∵二次函数 y=ax2+（2a-1）x-5 ∴对称轴为 x= 1-2a2a． ∵二次函数 y=ax2+（2a-1）x-5 在[-3，+∞）上递减 ∴ {a＜01-2a2a≤-3 解得- 14≤a＜0， 故答案为- 14≤a＜0345、 已知函数 y=ax3+bx2+6x+1 的递增区间为（-2，3） ，则 a，b 的值分别为．解答：解：求导得：y′（x）=3ax2+2bx+6， 由（-2，3）是函数的递增区间， 得到 y′（-2）=0，且 y′（3）=0， 即 12a-4b+6=0①，且 27a+6b+6=0②， 联立①②，解得 a=- 13，b= 12． 故答案为：- 13， 12346、 已知函数 f（x）=x3-2x2+ax+1（a∈R） ，若函数 f（x）在区间（ 13，1）内是减函数，则 a 的取值范围是． 解答：解：∵f（x）=x3-2x2+ax+1 ∴f′（x）=3x2-4x+a 又函数 f（x）在区间（ 13，1）内是减函数 ∴当 x∈（ 13，1）时，恒有 f′（x）=3x2-4x+a＜0 即 a＜-3x2+4x 在 x∈（ 13，1）时恒成立 由于令 h（x）=-3x2+4x=-3（x- 23）2+ 43，当 x∈（ 13，1）有 h（x）∈（1， 43] 判断知 a≤1 故答案为（-∞，1] 答347、 设函数 f(x)=13x3+ax2+5x+6 在区间[1，3]上是单调函数，则实数 a 的取值范围是． 解答：解：∵函数 f(x)=13x3+ax2+5x+6 ∴f′（x）=x2+2ax+5 ∵函数 f(x)=13x3+ax2+5x+6 在区间[1，3]上是单调函数 ∴f′（x）=x2+2ax+5≥0 或 f′（x）=x2+2ax+5≤0 在[1，3]上恒成立 即：a≥-（ 52x+x2）或 a≤-（ 52x+x2）在[1，3]上恒成立 ∴a≥[-（ 52x+x2）]max 或 a≤[-（ 52x+x2）]min 而 3≥52x+x2≥5 ∴a≥- 5 或 a≤-3 故答案为： （-∞，-3]∪ [-5，+∞) 348、 若函数 f（x）=ax3-x2+x-5 在 R 上单调递增，则 a 的范围是． 解答：解：由函数 f（x）=ax3-x2+x-5，得到 f′（x）=3ax2-2x+1， 因为函数在 R 上单调递增，所以 f′（x）≥0 恒成立，即 3ax2-2x+1≥0 恒成立， 设 h（x）=3ax2-2x+1， 当 a＞0 时，h（x）为开口向上的抛物线，要使 h（x）≥0 恒成立即△=4-12a≤0，解得 a≥ 13； 当 a=0 时，得到 h（x）=-2x+1≥0，解得 x≤ 12，不合题意； 当 a＜0 时，h（x）为开口向下的抛物线，要使 h（x）≥0 恒成立不可能． 综上，a 的范围为[ 13，+∞） ． 故答案为：[ 13，+∞）349、 若函数 f（x）=x3+ax2-2x+5 在区间（ 13，12）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，则实数 a 的取值范围是．解答：解：∵f（x）=x3+ax2-2x+5 ∴f/（x）=3x2+2ax-2 根据题意，函数在区间（ 13，12）上至少有一个零点 ①若只有一个零点，则 f/(13)?f/(12)＜0，得 a∈ (54，52) ②若有两个不同零点，则 {f/(13)＞0f/(12)＞0△＞013＜-a3＜12，得 a∈? 综上所述，a∈ (54，52) 故答案为： (54，52) 350、 已知：M={a|函数 y=2sinax 在[ -π3，π4]上是增函数}，N={b|方程 3-|x-1|-b+1=0 有实数解}，设 D=M∩N，且定义在 R 上的奇函 数 f(x)=x+nx2+m 在 D 内没有最小值，则 m 的取值范围是． 解答：解：∵M={a|函数 y=2sinax 在[ -π3，π4]上是增函数}所以可得 M={a|a ≤32} ∵N={b|方程 3-|x-1|-b+1=0 有实数解}，所以可得 N={b|1＜b≤2} ∴D=M∩N=（1， 32] ∵ f(x)=x+nx2+m 是定义在 R 上的奇函数∴f（0）=0∴n=0∴f（x）= xx2+m∴f'（x）= m-x2(x2+m)2 ∵ f(x)=x+nx2+m 在 D 内没有最小值∴函数 f（x）在 D 上单调递增∴f'（x）≥0 在 D 上恒成立 ∴ m-x2(x2+m)2≥0?m-x2≥0 在 D 上恒成立∴m≥x2 在 D 上恒成立∴m≥ 94 故答案为：m≥ 94 351、 （2011?浙江）设函数 f（x）=a2lnx-x2+ax，a＞0． （Ⅰ）求 f（x）的单调区间 （Ⅱ）求所有的实数 a，使 e-1≤f（x）≤e2 对 x∈[1，e]恒成立． 注：e 为自然对数的底数． 解答：解： （Ⅰ）因为 f（x）=a2lnx-x2+ax，其中 x＞0． 所以 f'（x）= a2x-2x+a=- (x-a)(2x+a)x． 由于 a＞0，所以 f（x）的增区间为（0，a） ，f（x）的减区间为（a，+∞） ． （Ⅱ）证明：由题得，f（1）=a-1≥e-1，即 a≥e， 由（Ⅰ）知 f（x）在[1，e]内单调递增 要使 e-1≤f（x）≤e2 对 x∈[1，e]恒成立， 只要 {f(1)=a-1≥e-1f(e)=a2-e2+ae≤e2 解得 a=e． 352、 （2011?天津）已知 a＞0，函数 f（x）=lnx-ax2，x＞0． （f（x）的图象连续不断） （Ⅰ）求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）当 a=18 时，证明：存在 x0∈（2，+∞） ，使 f(x0)=f(32)； （Ⅲ）若存在均属于区间[1，3]的 α，β，且 β-α≥1，使 f（α）=f（β） ，证明 ln3-ln25≤a≤ln23． 解答：解： （I） f? (x)=1x-2ax=1-2ax22，x∈(0，+∞)， 令 f? (x)=0，解得 x=2a2a． 当 x 变化时，f'（x） ，f（x）的变化情况如下表：所以，f（x）的单调递增区间是 (0，2a2a)，f(x)的单调递减区间是 (2a2a，+∞)． （II）证明：当 a=18 时，f(x)=lnx-18x2． 由（I）知 f（x）在（0，2）内单调递增， 在（2，+∞）内单调递减． 令 g(x)=f(x)-f(32)． 由于 f（x）在（0，2）内单调递增， 故 f(2)＞f(32)，即 g(2)＞0． 取 x? =32e＞2，则 g(x? )=41-9e232＜0． 所以存在 x0∈（2，x'） ，使 g（x0）=0， 即存在 x0∈(2，+∞)，使 f(x0)=f(32)． （说明：x'的取法不唯一，只要满足 x'＞2，且 g（x'）＜0 即可） （III）证明：由 f（α）=f（β）及（I）的结论知 α＜2a2a＜β， 从而 f（x）在[α，β]上的最小值为 f（a） ． 又由 β-α≥1，α，β∈[1，3]，知 1≤α≤2≤β≤3． 故 {f(2)≥f(α)≥f(1)f(2)≥f(β)≥f(3).即{ln2-4a≥-aln2-4a≥ln3-9a. 从而 ln3-ln25≤a≤ln23． 353、 （2011?陕西）设 f（x）=lnx．g（x）=f（x）+f'（x） ． （Ⅰ）求 g（x）的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论 g（x）与 g(1x)的大小关系； （Ⅲ）求 a 的取值范围，使得 g（a）-g（x）＜ 1a 对任意 x＞0 成立． 解答：解： （Ⅰ）由题设知 f（x）=lnx，g（x）=lnx+ 1x， ∴g'（x）= x-1x2，令 g′（x）=0 得 x=1， 当 x∈（0，1）时，g′（x）＜0， 故（0，1）是 g（x）的单调减区间． 当 x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0， 故（1，+∞）是 g（x）的单调递增区间， 因此，x=1 是 g（x）的唯一值点，且为极小值点， 从而是最小值点，所以最小值为 g（1）=1． （II） g(1x)=-Inx+x 设 h(x)=g(x)-g(1x)=2lnx-x+1x， 则 h'（x）=- (x-1)2x2， 当 x=1 时，h（1）=0 即 g(x)=g(1x)， 当 x∈（0，1）∪（1，+∞）时 h′（1）=0， 因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减， 当 0＜x＜1 时，h（x）＞h（1）=0 即 g(x)＜g(1x)． （III）由（I）知 g（x）的最小值为 1， 所以，g（a）-g（x）＜ 1a，对任意 x＞0，成立?g（a）-1＜ 1a， 即 Ina＜1，从而得 0＜a＜e．354、 （2011?陕西）设函数 f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数 f′（x）= 1x，g（x）=f（x）+f′（x） ． （Ⅰ）求 g（x）的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论 g（x）与 g(1x)的大小关系； （Ⅲ）是否存在 x0＞0，使得|g（x）-g（x0）|＜ 1x 对任意 x＞0 成立？若存在，求出 x0 的取值范围；若不存在请说明理由． 解答：解： （Ⅰ）由题设易知 f（x）=lnx，g（x）=lnx+ 1x， ∴g′（x）= x-1x2，令 g′（x）=0，得 x=1， 当 x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故 g（x）的单调递减区间是（0，1） ， 当 x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故 g（x）的单调递增区间是（1，+∞） ， 因此 x=1 是 g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， ∴最小值为 g（1）=1； （Ⅱ） g(1x)=-lnx+x， 设 h（x）=g（x）- g(1x)=2lnx-x+ 1x， 则 h′（x）= -(x-1)2x2， 当 x=1 时，h（1）=0，即 g（x）= g(1x)， 当 x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（x）＜0，h′（1）=0， 因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减， 当 0＜x＜1，时，h（x）＞h（1）=0，即 g（x）＞ g(1x)， 当 x＞1，时，h（x）＜h（1）=0，即 g（x）＜ g(1x)， （Ⅲ）满足条件的 x0 不存在．证明如下：证法一 假设存在 x0＞0， 使|g（x）-g（x0）|＜ 1x 成立，即对任意 x＞0， 有 Inx＜g(x0)＜Inx+2x， （*）但对上述 x0，取 x1=eg(x0) 时， 有 Inx1=g（x0） ，这与（*）左边不等式矛盾， 因此，不存在 x0＞0，使|g（x）-g（x0）|＜ 1x 成立． 证法二 假设存在 x0＞0，使|g（x）-g（x0）|成＜ 1x 立． 由（Ⅰ）知， eg(x0) 的最小值为 g（x）=1． 又 g(x)=Inx+1x＞Inx， 而 x＞1 时，Inx 的值域为（0，+∞） ， ∴x≥1 时，g（x） 的值域为[1，+∞） ，从而可取一个 x1＞1， 使 g（x1）≥g（x0）+1，即 g（x1）-g（x0）≥1， 故|g（x1）-g（x0）|≥1＞ 1x1，与假设矛盾． ∴不存在 x0＞0，使|g（x）-g（x0）|＜ 1x 成立．355、 （2011?辽宁）已知函数 f（x）=lnx-ax2-（2-a）x． （I）讨论 f（x）的单调性； （II）设 a＞0，证明：当 0＜x＜ 1a 时，f（ 1a+x）＞f（ 1a-x） ； （III）若函数 y=f（x）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x0，证明：f′（ x0）＜0． 解答：解： （I）函数 f（x）的定义域为（0，+∞） ， f′（x）= 1x-2ax-(2-a)=- (2x-1)(ax+1)x， ①若 a≥0，则由 f′（x）=0， ，得 x= 12，且当 x∈（0， 12）时，f′（x）＞0， 当 x∈（ 12，+∞）时，f′（x）＜0， 所以 f（x）在（0， 12）单调递增，在（ 12，+∞）上单调递减； ②当-2＜a＜0 时，由 f′（x）=0， ，得 x= 12，或 x= -1a，且 12＜-1a 当 x∈（0， 12） ，或 x∈（- 1a，+∞）时，f′（x）＞0， x∈（ 12，- 1a）时，f′（x）＜0， ∴f（x）在（0， 12）（- 1a，+∞）单调递增，在（ 12，- 1a）上单调递减； ， ③a=-2 时，f′（x）≥0 恒 成立，因此 f（x）在（0，+∞）单调递增； ④当 a＜-2 时， 12＞-1a 当 x∈（0， -1a） ，或 x∈（ 12，+∞）时，f′（x）＞0， x∈（ -1a， 12）时，f′（x）＜0， ∴f（x）在（0， -1a）（ 12，+∞）单调递增，在（- 1a， 12）上单调递减； ， （II）设函数 g（x）=f（ 1a+x）-f（ 1a-x） ，则 g（x）=ln（1+ax）-ln（1-ax）-2ax， g′（x）= a1+ax+a1-ax-2a= 2a3x21-a2x2， 当 x∈（0， 1a）时，g′（x）＞0，而 g（0）=0， 所以 g（x）＞0， 故当 0＜x＜ 1a 时，f（ 1a+x）＞f（ 1a-x） ； （III）由（I）可得，当 a≤0 时，函数 y=f（x）的图象与 x 轴至多有一个交点， 故 a＞0，从而 f（x）的最大值为 f（ 1a） ，且 f（ 1a）＞0， 不妨设 A（x1，0） ，B（x2，0） ，0＜x1＜x2， 则 0＜x1＜ 1a＜x2， 由（II）得，f（ 2a-x1）=f（ 1a+1a-x1）＞f（x2）=0， 从而 2a-x1＜x2， ，于是 x0= x1+x22＞1a， 由（I）知，f′（ x0）＜0．356、 （2011?江西）设 f(x)=-13x3+12x2+2ax （1）若 f（x）在 (23，+∞)上存在单调递增区间，求 a 的取值范围． （2）当 0＜a＜2 时，f（x）在[1，4]的最小值为 -163，求 f（x）在该区间上的最大值． 解答：解： （1）f′（x）=-x2+x+2a f（x）在 (23，+∞)存在单调递增区间 ∴f′（x）＞0 在 (23，+∞)有解 ∵f′（x）=-x2+x+2a 对称轴为 x=12 ∴ f′(x)=-x2+x+2a 在(23，+∞)递减 ∴ f′(x)＜f′(23)=29+2a＞0 解得 a＞-19．（2）当 0＜a＜2 时，△＞0； f′（x）=0 得到两个根为 -1-1+8a-2； -1+1+8a-2（舍） ∵ -1-1+8a-2∈[1，4] ∴ 1＜x＜-1-1+8a-2 时，f′（x）＞0； -1-1+8a-2＜x＜4 时，f′（x）＜0 当 x=1 时，f（1）=2a+ 16；当 x=4 时，f（4）=8a -403＜f（1） 当 x=4 时最小∴ 8a-403= -163 解得 a=1 所以当 x= -1-1+8a-2=2 时最大为 103357、 （2011?江西）设 f（x）= 13x3+mx2+nx． （1）如果 g（x）=f′（x）-2x-3 在 x=-2 处取得最小值-5，求 f（x）的解析式； （2）如果 m+n＜10（m，n∈N+） ，f（x）在单调递减区间的长度是正整数，试求 m 和 n 的值． （注：区间（a，b）的长度为 b-a） 解答：解： （1）由题意得 g（x）=f′（x）-2x-3=x2+2mx+n-2x-3=（x+m-1）2+（n-3）-（m-1）2， 又 g（x） 在 x=-2 处取得最小值-5， 所以 {m-1=2(m-3)2+(n-3)-(m-1)2=-5，解得 m=3，n=2． 所以 f（x）= 13x3+3x2+2x． （2）因为 f′（x）=x2+2mx+n 且 f（x）的单调递减区间的长度是正整数， 所以方程 f′（x）=0，即 x2+2mx+n=0 必有两不等实根， 则△=4m2-4n＞0，即 m2＞n． 不妨设方程 f′（x）=0 的两根分别为 x1、x2，则|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2=2 m2-n 且为正整数． 又因为 m+n＜10（m，n∈N+） ，所以 m≥2 时才能有满足条件的 m、n． 当 m=2 时，只有 n=3 符合要求； 当 m=3 时，只有 n=5 符合要求； 当 m≥4 时，没有符合要求的 n． 故只有 m=2，n=3 或 m=3，n=5 满足上述要求．358、 （2011?江苏）已知 a，b 是实数，函数 f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和 g'（x）是 f（x） ，g（x）的导函数，若 f'（x） g'（x）≥0 在区间 I 上恒成立，则称 f（x）和 g（x）在区间 I 上单调性一致 （1）设 a＞0，若函数 f（x）和 g（x）在区间[-1，+∞）上单调性一致，求实数 b 的取值范围； （2）设 a＜0，且 a≠b，若函数 f（x）和 g（x）在以 a，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值． 解答：解：f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b． （1）由题得 f'（x）g'（x）≥0 在[-1，+∞）上恒成立．因为 a＞0，故 3x2+a＞0， 进而 2x+b≥0，即 b≥-2x 在[-1，+∞）上恒成立，所以 b≥2． 故实数 b 的取值范围是[2，+∞） （2）令 f'（x）=0，得 x= ±-a3． 若 b＞0，由 a＜0 得 0∈（a，b） ．又因为 f'（0）g'（0）=ab＜0，所以函数 f（x）和 g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．因 此 b≤0． 现设 b≤0，当 x∈（-∞，0）时，g'（x）＜0；当 x∈（-∝，- -a3）时， ，f'（x）＞0． 因此，当 x∈（-∝，- -a3）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得 a≥- -a3 且 b≥- -a3， 从而- 13≤a＜0，于是- 13≤b＜0，因此|a-b|≤ 13，且当 a= 13，b=0 时等号成立， 又当 a= 13，b=0 时，f'（x）g'（x）=6x（x2- 19） ，从而当 x∈（- 13，0）时 f'（x）g'（x）＞0． 故函数 f（x）和 g（x）在（- 13，0）上单调性一致，因此|a-b|的最大值为 13．359、 （2011?湖南）设函数 f(x)=x-1x-aInx(a∈R)． （Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性． （Ⅱ）若 f（x）有两个极值点 x1，x2，记过点 A（x1，f（x1），B（x2，f（x2） ） ）的直线斜率为 k．问：是否存在 a，使得 k=2-a？ 若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由． 解答：解： （I）f（x）定义域为（0，+∞） ， f′（x）=1+ 1x2-ax=x2-ax+1x2， 令 g（x）=x2-ax+1，△=a2-4， ①当-2≤a≤2 时，△≤0，f′（x）≥0，故 f（x）在（0，+∞）上单调递增， ②当 a＜-2 时，△＞0，g（x）=0 的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故 f（x）在（0，+∞）上单调递增， ③当 a＞2 时，△＞0，g（x）=0 的两根为 x1= a-a2-42，x2= a+a2-42， 当 0＜x＜x1 时，f′（x）＞0；当 x1＜x＜x2 时，f′（x）＜0；当 x＞x2 时，f′（x）＞0； 故 f（x）分别在（0，x1）（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减． ， （Ⅱ）由（I）知，a＞2． 因为 f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+ x1-x2x1x2-a（lnx1-lnx2） ， 所以 k= f(x1)-f(x2)x1x2=1+ 1x1x2-a lnx1-lnx2x1-x2， 又由（I）知，x1x2=1．于是 k=2-a lnx1-lnx2x1-x2， 若存在 a，使得 k=2-a，则 lnx1-lnx2x1-x2=1，即 lnx1-lnx2=x1-x2， 亦即 x2-1x2-2lnx2=0(x2＞1) （*）再由（I）知， ，函数 h(t)=t-1t-2Int 在（0，+∞）上单调递增， 而 x2＞1， 所以 x2-1x2-2Inx2＞1-1-2ln1=0，这与（*）式矛盾， 故不存在 a，使得 k=2-a．360、 （2011?广东）设 a＞0，讨论函数 f（x）=lnx+a（1-a）x2-（1+a）x 的单调性． 解答：解：定义域 x＞0 f′（x）= 2a(1-a)x2-(1+a)x+1x （1）当 a=1 时， f′(x)=-2x+1x 令 f′（x）＞0 解得 0＜x＜12；令 f′（x）＜0 得 x＞12 所以递增区间为（ 0，12） ，递减区间为 (12，+∞) （2） 0＜a＜13 时，令 f′（x）＜0 解得 11-a＜x＜12a；令 f′（x）＞0 解得 0＜x＜11-a 或 x＞12a 所以递减区间为 (11-a，12a)；递增区间为 (12a，+∞)和(0，11-a) （3） 13＜a＜1 时，f′（x）＜0 解得 12a＜x＜11-a； 令 f′（x）＞0 解得 0＜x＜12a 或 x＞11-a所以递减区间为 (12a，11-a)；递增区间为 (11-a，+∞)和(0，12a)（4）a＞1 时， ，令 f′（x）＞0 解得 0＜x＜12a；令 f′（x）＜0 解得 x＞12a 所以递减区间为 (12a，+∞)；递增区间为 (0，12a) 总之（1）当 a=1 时递增区间为（ 0，12） ；递减区间为 (12，+∞) （2） 0＜a＜13 时，递减区间为 (11-a，12a)；递增区间为 (12a，+∞)和(0，11-a) （3） 13＜a＜1 时，递减区间为 (12a，11-a)；递增区间为 (11-a，+∞)和(0，12a) （4）a＞1 时递递减区间为 (12a，+∞)；递增区间为 (0，12a)361、 （2011?福建）已知 a，b 为常数，且 a≠0，函数 f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然对数的底数） ． （I）求实数 b 的值； （II）求函数 f（x）的单调区间； （III）当 a=1 时，是否同时存在实数 m 和 M（m＜M） ，使得对每一个 t∈[m，M]，直线 y=t 与曲线 y=f（x） （x∈[ 1e，e]）都有 公共点？若存在，求出最小的实数 m 和最大的实数 M；若不存在，说明理由． 解答：解： （I）由 f（e）=2，代入 f（x）=-ax+b+axlnx， 得 b=2； （II）由（I）可得 f（x）=-ax+2+axlnx，函数 f（x）的定义域为（0，+∞） ， 从而 f′（x）=alnx， ∵a≠0，故 ①当 a＞0 时，由 f′（x）＞0 得 x＞1，由 f′（x）＜0 得 0＜x＜1； ②当 a＜0 时，由 f′（x）＞0 得 0＜x＜1，由 f′（x）＜0 得 x＞1； 综上，当 a＞0 时，函数 f（x）的单调递增区间为（1，+∞） ，单调递减区间为（0，1） ； 当 a＜0 时，函数 f（x）的单调递增区间为（0，1） ，单调递减区间为（1，+∞） ； （III）当 a=1 时，f（x）=-x+2+xlnx，f′（x）=lnx， 由（II）可得，当 x∈（ 1e，e） ，f（x） ，f′（x）变化情况如下表：又 f（ 1e）=2- 2e＜2， 所以 y=f（x）在[ 1e，e]上的值域为[1，2]， 据此可得，若 {m=1M=2，则对每一个 t∈[m，M]，直线 y=t 与曲线 y=f（x） （x∈[ 1e，e]）都有公共点； 并且对每一个 t∈（-∞，m）∪（M，+∞） ，直线 y=t 与曲线 y=f（x） （x∈[ 1e，e]）都没有公共点； 综上当 a=1 时，存在最小实数 m=1 和最大的实数=2M（m＜M） ，使得对每一个 t∈[m，M]，直线 y=t 与曲线 y=f（x） （x∈[ 1e， e]）都有公共点． 362、 （2011?北京）已知函数 f(x)=(x-k)2exk． （Ⅰ）求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若对于任意的 x∈（0，+∞） ，都有 f（x）≤ 1e，求 k 的取值范围． 解答：解： （Ⅰ） f′(x)=2(x-k)exk+1k(x-k)2exk= 1k(x2-k2)exk， 令 f′（x）=0，得 x=±k 当 k＞0 时，f′（x）f（x）随 x 的变化情况如下：所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，-k） ，和（k，+∞） ，单调递减区间是（-k，k） ； 当 k＜0 时，f′（x）f（x）随 x 的变化情况如下：所以，f（x）的单调递减区间是（-∞，k） ，和（-k，+∞） ，单调递增区间是（k，-k） ；（Ⅱ）当 k＞0 时， ，∵f（k+1）= ek+1k＞1e， ∴不会有任意的 x∈（0，+∞） ，都有 f（x）≤ 1e， 当 k＜0 时，由（I）知 f（x）在（0，+∞）上的最大值是 f（-k）= 4k2e， ∴任意的 x∈（0，+∞） ，f（x）≤ 1e，?f（-k）= 4k2e≤ 1e， 解得- 12≤k＜0， 故对于任意的 x∈（0，+∞） ，都有 f（x）≤ 1e，k 的取值范围是- 12≤k＜0．363、 （2011?北京）已知函数 f（x）=（x-k）ex． （Ⅰ）求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）求 f（x）在区间[0，1]上的最小值． 解答：解： （Ⅰ）f′（x）=（x-k+1）ex， 令 f′（x）=0，得 x=k-1， f′（x）f（x）随 x 的变化情况如下：∴f（x）的单调递减区间是（-∞，k-1） ，f（x）的单调递增区间（k-1，+∞） ；（Ⅱ）当 k-1≤0，即 k≤1 时，函数 f（x）在区间[0，1]上单调递增， ∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为 f（0）=-k； 当 0＜k-1＜1，即 1＜k＜2 时，由（I）知，f（x）在区间[0，k-1]上单调递减，f（x）在区间（k-1，1]上单调递增， ∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为 f（k-1）=-ek-1； 当 k-1≥1，即 k≥2 时，函数 f（x）在区间[0，1]上单调递减， ∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为 f（1）=（1-k）e； 综上所述 f（x）min= {-kk≤1-ek-11＜k＜2(1-k)ek≥2．364、 （2010?重庆）已知函数 f(x)=x-1x+a+ln(x+1)，其中实数 a≠1． （1）若 a=2，求曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）若 f（x）在 x=1 处取得极值，试讨论 f（x）的单调性． 解答：解： （1） f′(x)=x+a-(x-1)(x+a)2+1x+1= a+1(x+a)2+1x+1 当 a=2 时，f′（0）= 74，而 f（0）=- 12，所以曲线在点（0，f （0） ）处的切线方程为：y-（- 12）= 74（x-0） ，即 7x-4y-2=0． （2）因为 a≠-1，由（1）可知 f′(1)=a+1(1+a)2+11+1= 1a+1+12 又因为 f（x）在 x=1 处取得极值， 所以 1a+1+12=0 解得 a=-3 此时 f(x)=x-1x-3+ln(x+1)定义域（-1，3）∪（3，+∞） 且， f′(x)=-2(x-3)2+1x+1= (x-1)(x-7)(x-3)2(x+1)，由 f′（x）=0 得 x1=1，x2=7，当-1＜x＜1 或 x＞7 时 f′（x）＞0； 当 1＜x＜7 且 x≠3 时 f′（x）＜0 由上讨论可知 f（x）在（-1，1]，[7，+∞）时是增函数，在[1，3）（3，7]上是减函数． ，365、 （2010?山东）已知函数 f(x)=lnx-ax+1-ax-1（a∈R） ． （Ⅰ）当 a≤12 时，讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）设 g（x）=x2-2bx+4．当 a=14 时，若对任意 x1∈（0，2） ，存在 x2∈[1，2]，使 f（x1）≥g（x2） ，求实数 b 取值范围． 解答：解： （Ⅰ） f(x)=lnx-ax+1-ax-1(x＞0)， f? (x)=lx-a+a-1x2=-ax2+x+a-1x2(x＞0) 令 h（x）=ax2-x+1-a（x＞0） （1）当 a=0 时，h（x）=-x+1（x＞0） ， 当 x∈（0，1） ，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数 f（x）单调递减； 当 x∈（1，+∞） ，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数 f（x）单调递增． （2）当 a≠0 时，由 f′（x）=0，即 ax2-x+1-a=0，解得 x1=1，x2=1a-1． 当 a=12 时 x1=x2，h（x）≥0 恒成立，此时 f′（x）≤0，函数 f（x）单调递减； 当 0＜a＜12 时， 1a-1＞1＞0，x∈（0，1）时 h（x）＞0，f′（x）＜0，函数 f（x）单调递减； x∈(1，1a-1)时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数 f（x）单调递增； x∈(1a-1，+∞)时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数 f（x）单调递减． 当 a＜0 时 1a-1＜0，当 x∈（0，1） ，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数 f（x）单调递减； 当 x∈（1，+∞） ，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数 f（x）单调递增． 综上所述：当 a≤0 时，函数 f（x）在（0，1）单调递减， （1，+∞）单调递增； 当 a=12 时 x1=x2，h（x）≥0 恒成立，此时 f′（x）≤0，函数 f（x）在（0，+∞）单调递减； 当 0＜a＜12 时，函数 f（x）在（0，1）单调递减， (1，1a-1)单调递增， (1a-1，+∞)单调递减．（Ⅱ）当 a=14 时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意 x1∈（0，2） ， 有 f(x1)≥f(1)=-12， 又已知存在 x2∈[1，2]，使 f（x1）≥g（x2） ，所以 -12≥g(x2)，x2∈[1，2]， （※） 又 g（x）=（x-b）2+4-b2，x∈[1，2] 当 b＜1 时，g（x）min=g（1）=5-2b＞0 与（※）矛盾； 当 b∈[1，2]时，g（x）min=g（1）=4-b2≥0 也与（※）矛盾； 当 b＞2 时， g(x)min=g(2)=8-4b≤-12，b≥178． 综上，实数 b 的取值范围是 [178，+∞)．366、 （2010?宁夏）设函数 f（x）=ex-1-x-ax2． （1）若 a=0，求 f（x）的单调区间； （2）若当 x≥0 时 f（x）≥0，求 a 的取值范围 解答：解： （1）a=0 时，f（x）=ex-1-x，f′（x）=ex-1． 当 x∈（-∞，0）时，f'（x）＜0；当 x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0． 故 f（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加 （II）f′（x）=ex-1-2ax 由（I）知 ex≥1+x，当且仅当 x=0 时等号成立．故 f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x， 从而当 1-2a≥0，即 a≤12 时，f′（x）≥0（x≥0） ，而 f（0）=0， 于是当 x≥0 时，f（x）≥0． 由 ex＞1+x（x≠0）可得 e-x＞1-x（x≠0） ． 从而当 a＞12 时，f′（x）＜ex-1+2a（e-x-1）=e-x（ex-1） x-2a） （e ， 故当 x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而 f（0）=0，于是当 x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0． 综合得 a 的取值范围为 (-∞，12]．367、 （2010?辽宁）已知函数 f（x）=（a+1）lnx+ax2+1． （Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性； （Ⅱ）设 a≤-2，证明：对任意 x1，x2∈（0，+∞） ，|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|． 解答：解： （Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞） f? ， (x)=a+1x+2ax=2ax2+a+1x． 当 a≥0 时，f′（x）＞0，故 f（x）在（0，+∞）单调增加； 当 a≤-1 时，f′（x）＜0，故 f（x）在（0，+∞）单调减少； 当-1＜a＜0 时，令 f′（x）=0，解得 x= -a+12a．当 x∈（0， -a+12a）时，f′（x）＞0； x∈（ 23，+∞）时，f′（x）＜0，故 f（x）在（0， -a+12a）单调增加，在（ -a+12a，+∞）单调减少． （Ⅱ）不妨假设 x1≥x2．由于 a≤-2，故 f（x）在（0，+∞）单调递减． 所以|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|等价于 f（x1）-f（x2）≥4x2-4x1， 即 f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1． 令 g（x）=f（x）+4x，则 g? (x)=a+1x+2ax+4= 2ax2+4x+a+1x． 于是 g′（x）≤ -4x2+4x-1x= -(2x-1)2x≤0． 从而 g（x）在（0，+∞）单调减少，故 g（x1）≥g（x2） ， 即 f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，故对任意 x1，x2∈（0，+∞） ，|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．368、 （2010?辽宁）已知函数 f（x）=（a+1）lnx+ax2+1 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）设 a＜-1．如果对任意 x1，x2∈（0，+∞） ，|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|，求 a 的取值范围． 解答：解： （Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）. f? (x)=a+1x+2ax=2ax2+a+1x． 当 a≥0 时，f′（x）＞0，故 f（x）在（0，+∞）单调增加； 当 a≤-1 时，f′（x）＜0，故 f（x）在（0，+∞）单调减少； 当-1＜a＜0 时，令 f′（x）=0，解得 x=-a+12a． 则当 x∈(0，-a+12a)时，f'（x）＞0； x∈(-a+12a，+∞)时，f'（x）＜0． 故 f（x）在 (0，-a+12a)单调增加，在 (-a+12a，+∞)单调减少． （Ⅱ）不妨假设 x1≥x2，而 a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少， 从而?x1，x2∈（0，+∞） ，|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2| 等价于?x1，x2∈（0，+∞） ，f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1① 令 g（x）=f（x）+4x，则 g? (x)=a+1x+2ax+4 ①等价于 g（x）在（0，+∞）单调减少，即 a+1x+2ax+4≤0． 从而 a≤-4x-12x2+1=(2x-1)2-4x2-22x2+1=(2x-1)22x2+1-2 故 a 的取值范围为（-∞，-2]． （12 分）369、 （2010?江西）设函数 f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0） ． （1）当 a=1 时，求 f（x）的单调区间． （2）若 f（x）在（0，1]上的最大值为 12，求 a 的值． 解答：解：对函数求导得： f? (x)=1x-12-x+a，定义域为（0，2） （1）当 a=1 时，f′（x）= 1x- 12-x+1， 当 f′（x）＞0，即 0＜x＜ 2 时，f（x）为增函数；当 f′（x）＜0， 2＜x＜2 时，f（x）为减函数． 所以 f（x）的单调增区间为（0， 2） ，单调减区间为（ 2，2） （2）当 x∈（0，1]有最大值，则必不为减函数，且 f? (x)=1x-12-x+a＞0，为单调递增区间． 最大值在右端点取到． fmax=f(1)=a=12 所以 a= 12．370、 （2010?江苏）设 f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为 f′（x） ．如果存在实数 a 和函数 h（x） ，其中 h（x）对 任意的 x∈ （1， +∞） 都有 h （x） ＞0， 使得 f′ x） （ =h（x） 2-ax+1） 则称函数 f （x ， （x） 具有性质 P （a） 设函数 f ， （x） lnx+b+2x+1(x = ＞1)，其中 b 为实数． （1）求证：函数 f（x）具有性质 P（b） ； （2）求函数 f（x）的单调区间． 解答：解： （1）f′（x）= 1x-b+}
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