圆锥曲线焦点弦的六个性质_图文_百度文库
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圆锥曲线焦点弦的六个性质
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＞＞＞设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|..
设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（　　）A．12或32B．23或2C．12或2D．23或32
题型：单选题难度：中档来源：福建
依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲线为椭圆则2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=32t则e=ca=12，若曲线为双曲线则，2a=4t-2t=2t，a=t，c=32t∴e=ca=32故选A
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据魔方格专家权威分析，试题“设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|..”主要考查你对&&圆锥曲线综合&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
圆锥曲线综合
圆锥曲线的综合问题：
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法： （1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部； （2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。 2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。直线与圆锥曲线的位置关系：
(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ&0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ&0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．
直线与圆锥曲线相交的弦长公式：
若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．&
发现相似题
与“设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|..”考查相似的试题有：
758695620533836873562246847661627943硕士/研究生
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圆锥曲线焦点弦公式及应用
华附在线学习中心圆锥曲线焦点弦公式及应用湖北省阳新县高级中学邹生书焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。（1）当焦点内分弦时。如图1，，所以。华附在线学习中心图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。如图2，，所以。图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（）华附在线学习中心解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。例3（08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3华附在线学习中心解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。定理2已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为。过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹角为，则有。华附在线学习中心证明设点在准线上的射影分别为，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点。由圆锥曲线的统一定义得，，所以。图4（1）当焦点内分弦时。如图4，，。，所以较长焦半径，较短焦半径。所以。（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。华附在线学习中心图5如图5，，。所以，所以较长焦半径，较短焦半径。所以。综合（1）（2）知，较长焦半径，较短焦半径。焦点弦的弦长公式为。特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距就是径之半，较长焦半径，较短焦半径，焦点弦的弦长公式为。当曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为。注由上可得，当焦点内分弦时，有。当焦点外分弦时，有。华附在线学习中心例6（2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿解由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。例7（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知。（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程。解（1）这里，，由定理1的公式得，解得。（2）将，代入焦点弦的弦长公式得，，解得，即，所以①，又，设，代入①得，所以，所以，故所求椭圆方程为。华附在线学习中心例8（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿解易知均在右支上，因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。由焦半径公式得，。例9（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿解因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。注意到分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，。例10（2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且。求四边形面积的最小值。华附在线学习中心图6解由方程可知，，则。设直线与轴的夹角为，因为，所以直线与轴的夹角为。代入弦长公式得，，。故四边形的面积为，。所以四边形面积的最小值为。
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椭圆焦点三角形
椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1,F2与椭圆上任意一点P为定点组成的三角形。
椭圆焦点三角形定义
椭圆的焦点三角形是指
以椭圆的两个焦点F1,F2与椭圆上任意一点P为顶点组成的三角形。
椭圆焦点三角形性质
（1）|PF1|+|PF2|=2a
(2) 4c?=|PF1|?+|PF2|?-2|PF1|·|PF2|·cosθ
（3）周长 2a+2c
椭圆焦点三角形证明
椭圆焦点三角形运用公式
设P为椭圆上的任意一点，
角F2F1P=α ，F1F2P=β， F1PF2=θ，
则有e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)，
焦点三角形面积S=b^2*（tan(θ/2)）。
证明方法　
对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n
在△F1PF2中,由:
(正弦定理的三角形面积公式)
椭圆焦点三角形例题
F1，F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a&b&0)的焦点，PQ是过F1的一条弦，求三角形PQF2面积的最大值
【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2 * |y2-y1| * 2c=c*|y2-y1|
△QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c，之后是联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 】
请你看下面的一个具体例题，会对你有所启发的。
设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值。
【解】a^2=3,b^2=2,c^2=3-2=1→→c=1 ∴F1F2=2c=2
假设A在x上方，B在下方直线过(1,0)
设直线是x-1=m(y-0)x=my+1
代入2x^2+3y^2=6(2m^2+3)y^2+4my-4=0→→y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3)
△F1AB=△F1F2A+△F1F2B 他们底边都是F1F2=2 则面积和最小就是高的和最小（即 |y1|+|y2|最小）
∵AB在x轴两侧,∴一正一负→→|y1|+|y2|=|y1-y2| (y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=16m^2/(2m^2+3)2+16/(2m^2+3) →→|y1-y2|=4√[m2+(2m2+3)]/(2m2+3)=4√3*√(m2+1)]/(2m2+3)
令√(m^2+1)=p 2m^2+3=2p^2+1且p&=1则p/(2p^2+1)=1/(2p+1/p) (分母是对勾函数)
∴p=√(1/2)=√2/2时最小这里p&=1→→p=1,2p+1/p最小=3
此时p/(2p2+1)最大=1/3→→|y1-y2|最大=4√3*1/3∴最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3
在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形．在椭圆的顶焦点三角形中有许多与椭圆焦点三角形相类似的几何特征，蕴涵着椭圆很多几何性质，在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中，都曾出现过以“顶焦点三角形”为载体的问题．本文对椭圆的顶焦点三角形的性质加以归纳与剖析．
金美琴．二次曲线的定点弦．《》2003（7）
人民教育出版社．数学：人民教育出版社，2012
金美琴．二次曲线的定点弦．《数学通报》2003（7）
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