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经典求极限方法
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3秒自动关闭窗口洛必达法则定义定理公式及应用
求极限时怎么用
洛必塔法则是解决求解“00”型与“∞∞”型极限的一种有效方法，利用洛必塔法则求极限只要注意以下三点：
1、在每次使用洛必塔法则之前，必须验证是“00”型与“∞∞”型极限。否则会导致错误；
2、洛必塔法则是分子与分母分别求导数，而不是整个分式求导数；
3、使用洛必塔法则求得的结果是实数或∞（不论使用了多少次），则原来极限的结果就是这个实数或∞，求解结束；如果最后得到极限不存在（不是∞的情形），则不能断言原来的极限也不存在，应该考虑用其它的方法求解。
其他答案（共3个回答）
分母同时求导、可多次求导，注意在求导过程中要不断寻找等价无穷小，或削去无穷因子
我们知道,在求极限时,常会遇到两个无穷小之比的极限或两个无穷大之比的极限.这些极限有的存在,有的不存在.通常称这类极限为"未定式".利用第一章的方法求未定式的极限通常是困难的,本节介绍一种简单而有效的方法——洛必达(L'Hospital)法则.
1.型未定式的极限求法
若当()时,与均趋于0,则称相应的极限为型未定式.
洛必达法则I 若与满足:
(2) 在点的某去心邻域内,与均存在,且;
(3) 存在(或为),
法则I的证明从略.
注 法则I是对时的型未定式给出的,对于()时的型未定式同样适应.
例1 求下列极限:
(1) ; (2) .
解 (1) 该极限为型,故
(2) 由于时,,故此极限为型.因此
在利用洛必达法则求极限时,若仍为型未定式,且函数与满足法则I的条件,则可再使用该法则.但在连续应用洛必达法则时,应注意每一步检验是否仍为未定式,不是未定式时不能再用该法则.
在利用洛必达法则求极限时,还要注意尽量将式子化简以利于求导.
例3 求极限
(1) ; (2) .
解 (1) 原式
2.型未定式的极限求法
若当()时,与均趋于,则称相应的极限为型未定式.
洛必达法则II 若与满足:
(2) 在点的某去心邻域内,与均存在,且;
(3) 存在(或为),
注 法则II对于()时的型未定式同样适应.
例4 求极限.
例5 设,求.
解 当时,对数函数于幂函数()均为增函数且趋于.原极限为型未定式.
由例5可知,当时,对数函数的增长速度比幂函数慢.
例6 设,求.
解 由于,指数函数和幂函数当时均为增函数,且当时均趋于.故
由例6可知,当时,指数函数的增长速度比幂函数快.
在使用洛必达法则求未定式极限时,必须注意一个问题:当不存在时,不一定不存在.
解 此极限为型未定式.若用洛必达法则,则得极限
由于为周期函数,上式的极限不存在,也不为.但是
即原极限存在.
一般当用洛必达法则求不出未定式的极限时,要想其他办法求极限.
某些极限可以先化为型或型未定式,再用洛必达法则求极限.
3.型和型未定式
例8 求下列极限:
(1) ; (2) .
解 (1)这是型未定式,将其变形为
则当时视为型未定式,因此
(2) 这是型未定式,可先通分化为型,再求极限.
例9 求极限:
(1) ; (2) .
解 (1) 原式.
*4.型未定式
例10 求下列极限:
(1) ; (2) .
解 (1) 这是型未定式,将其变形为
则当时视为型未定式,因此
(2) 这是型未定式,可先通分化为型,再求极限.
例11 求极限
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
解 (1) 原式
(3) 原式=1.
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副标题要不要极限计算器
极限计算器
请输入一个函数并计算极限:
极限计算器:计算函数在指定点的极限，可计算单侧极限和双侧极限。指定点可以用数或者简单的表达式写出。例如：pi/4。也可以计算在正无穷大（inf）、负无穷大（minf）以及复数极限（infinity）。
极限计算器范例
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