高等数学中值定理问题_百度知道
高等数学中值定理问题
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证：由题设 f(x) 在（A,B）内可导知，一元函数f(x) 在开区间（A,B）上连续
又 f(x) 在点a、点b处可导，且 A&a&b&B
∴f(x)在 闭区间 [a,b] 上连续，在开区间（a,b）上可导，满足拉格朗日中值定理条件
又c∈(a,b)
∴f `(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)
即曲线在点 c 处的切线平行于弦ab
故 f `(c) =(f(b) - f(a)) / (b - a) =
(f(c) - f(a) ) / (c - a)
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核心提示：考数学的同学们，不管你是数一数二还是数三，中值定理的证明你是怎么都躲不过的。作为必考难点，同学们对于中值定理心里是否已经有了一个梳理图？对于微分中值定理、积分中值定理和变限积分中值定理同学们是否分得清？接下来为大家理清思路，希望同学们可以在这个考点拿到满分。
还有不到40天就到了2016考研初试的时间了，为了让学生能够更好地应对考研，本文将讨论一下中值定理这块的相应证明题的一般解题思路。
中值定理这块一直都是很多考生的"灾难区"，一直没有弄清楚看到一个题目到底怎么思考处理，因此也是考研得分比较低的一块内容，如果考生能把中值定理的证明题拿下，那么我们就会比其他没做上的同学要高一个台阶，也可以说这是一套"拉仇恨"的题目。
一、具体考点分析
首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么，相当于我们的工具，那需要哪些工具呢?
第一：闭区间连续函数的性质：
最值定理：闭区间连续函数的必有最大值和最小值。
推论：有界性(闭区间连续函数必有界)。
介值定理：闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数，都可以在区间上找到一点，使得这一点的函数值与之相对应。
零点定理：闭区间连续函数，区间端点函数值符号相异，则区间内必有一点函数值为零。
第二：微分中值定理(一个引理，三个定理)：
费马引理：函数f(x)在点ξ的某邻域U(ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'(ξ)=0。
罗尔定理：如果函数f(x)满足：
(1)在闭区间[a,b]上连续;
(2)在开区间(a,b)内可导;
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a&ξ，使得 f?(ξ)="0.
几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 (方程为 )是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明：
弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的。
拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：
(1)在闭区间[a,b]上连续;
(2)在开区间(a,b)内可导;
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a&ξ
第三：积分中值定理：
如果函数 f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立
加强版：如果函数 f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在 (a, b)上至少存在一个点 ξ，使下式成立
第四：变限积分求导定理：&
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数，并且导数为：
第五：牛顿--莱布尼茨公式：
如果函数f(x) 在区间[a,b] 上连续，并且存在原函数F(x) ，则
以上定理要求理解并掌握定理内容和相应证明过程。
二、注意事项
针对上文中具体的考点，佟老师再给出几点注意事项，这几个注意事项也是在证明题中的"小信号"，希望大家理解清楚并掌握：
1. 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。
2. 拉格朗日中值定理是函数f(x)与导函数f'(x)之间的桥梁。
3. 积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁。
4. 罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数，而柯西中值定理处理的对象是两个函数，如果结论中有两个函数，形式与柯西中值定理的形式类似，这时就要想到我们的柯西中值定理。
5. 积分中值定理的加强版若在定理证明中应用，必须先证明。
其次对于中值定理证明一般分为两大类题型：第一应用罗尔定理证明，也可又分为两小类：证明结论简单型和复杂型，简单型一般有证明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k为任意常数)，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，
像这样的结论一般只需要找罗尔定理的条件就可以了，一般罗尔定理的前两个条件题目均告知，只是要需找两个不同点的函数值相等，需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质、积分中值定理、拉格朗日中值定理、极限的性质、导数的定义等知识点。复杂型就是结论比较复杂，需要建立辅助函数，再使辅助函数满足罗尔定理的条件。辅助函数的建立一般借助于解微分方程的思想。第二就是存在两个点使之满足某表达式。这样的题目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，处理思想把结论中相同字母放到等是一侧首先处理。
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责任编辑：班闻颖
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【考研】详细讲解高等数学七大中值定理
来源：沈阳新东方
作者：小编
　　考研数学中高等数学七大中值定理一般是考试中必考的，包括零点定理、介值定理、三大微分中值定理、泰勒定理与积分中值定理，但一般情况得分率不高，希望考生好好把握，下面我们分别来解读下。
　　学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。
　　1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。
　　2、介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。
　　3、用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。在微分中值定理证明问题时，需要注意下面几点：
　　(1)当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理;
　　(2)当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的;
　　(3)当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明;
　　(4)当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注意区间的选择，两次使用中值定理的区间应当不同;
　　(5)使用微分中值定理的难点在于如何构造函数，如何选择区间。对此我的体会是应当从需要证明的结论入手，对结论进行分析。我们总感觉证明题无从下手，我认为证明题其实不难，因为证明题的结论其实是对你的提示，只要从证明结论入手，逐步分析，必然会找到证明方法。
　　4、积分中值定理其实是微分中值定理的推广，对变上限函数使用微分中值定理或者泰勒定理就可以得到积分中值定理甚至类似于泰勒定理的形式。因此看到有积分形式，并且带有中值的证明题时，一定是对某个变上限积分在某点处展开为泰勒展开式或者直接使用积分中值定理。当证明结论中仅有积分与被积函数本身时，一般使用积分中值定理;当结论中有积分与被积函数的导数时，一般需要展开变上限积分为泰勒展开式。
　　零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。
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【2017年整理】D3_1中值定理高等数学
第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式第三节推广微分中值定理与导数的应用一、罗尔ROLLE定理第一节机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理三、柯西CAUCHY中值定理中值定理第三章费马FERMAT引理一、罗尔ROLLE定理且存在证设则费马目录上页下页返回结束证毕罗尔（ROLLE）定理满足1在区间A,B上连续2在区间A,B内可导3FAFB使证故在A,B上取得最大值M和最小值M若MM,则因此在A,B内至少存在一点机动目录上页下页返回结束若MM,则M和M中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意1定理条件条件不全具备,结论不一定成立例如,则由费马引理得机动目录上页下页返回结束使2定理条件只是充分的本定理可推广为在A,B内可导,且在A,B内至少存在一点证明提示设证FX在A,B上满足罗尔定理机动目录上页下页返回结束例1证明方程有且仅有一个小于1的正实根证1存在性则在0,1连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2唯一性假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真设机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理1在区间A,B上连续满足2在区间A,B内可导至少存在一点使思路利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在A,B上连续,在A,B内可导,且证问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立拉氏目录上页下页返回结束证毕拉格朗日中值定理的有限增量形式推论若函数在区间I上满足则在I上必为常数证在I上任取两点日中值公式,得由的任意性知,在I上为常数令则机动目录上页下页返回结束例2证明等式证设由推论可知常数令X0,得又故所证等式在定义域上成立自证经验欲证时只需证在I上机动目录上页下页返回结束例3证明不等式证设中值定理条件,即因为故因此应有机动目录上页下页返回结束三、柯西CAUCHY中值定理分析及1在闭区间A,B上连续2在开区间A,B内可导3在开区间A,B内至少存在一点使满足要证柯西目录上页下页返回结束证作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考柯西定理的下述证法对吗两个?不一定相同错机动目录上页下页返回结束上面两式相比即得结论柯西定理的几何意义注意弦的斜率切线斜率机动目录上页下页返回结束例4设至少存在一点使证结论可变形为设则在0,1上满足柯西中值定理条件,因此在0,1内至少存在一点?,使即证明机动目录上页下页返回结束例5试证至少存在一点使证法1用柯西中值定理则FX,FX在1,E上满足柯西中值定理条件,令因此即分析机动目录上页下页返回结束例5试证至少存在一点使法2令则FX在1,E上满足罗尔中值定理条件,使因此存在机动目录上页下页返回结束内容小结1微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2微分中值定理的应用1证明恒等式2证明不等式3证明有关中值问题的结论关键利用逆向思维设辅助函数费马引理机动目录上页下页返回结束思考与练习1填空题1函数在区间1,2上满足拉格朗日定理条件,则中值2设有个根,它们分别在区间机动目录上页下页返回结束上方程2设且在内可导,证明至少存在一点使提示由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件设机动目录上页下页返回结束3若可导,试证在其两个零点间一定有的零点提示设欲证使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件机动目录上页下页返回结束4思考在即当时问是否可由此得出不能因为是依赖于X的一个特殊的函数因此由上式得表示X从右侧以任意方式趋于0应用拉格朗日中值定理得上对函数机动目录上页下页返回结束作业P,12,14,15提示题15题14考虑第二节目录上页下页返回结束费马法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献他特别爱好数论,他提出的费马大定理至今尚未得到普遍的证明他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的拉格朗日法国数学家他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一柯西法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯西全集共有27卷其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积分在几何上的应用等,有思想有创建,响广泛而深远对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展复变函数和微分方程方面一生发表论文800余篇,著书7本,备用题求证存在使1设可导，且在连续，证因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得机动目录上页下页返回结束设证明对任意有证2不妨设机动目录上页下页返回结束
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?&/span>&span id=&_baidu_bookmark_start_4& style=&display: line-height: 0&>?&/span>&p>&span style=&font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>& & 鉴于本网发布稿件来源广泛、数量较多, 系统审核过程只针对存在明显违法有害内容（如色情、暴力、反动、危害社会治安及公共安全等公安部门明文规定的违法内容）进行处理，难以逐一核准作者身份及核验所发布的内容是否存在侵权事宜, 如果著作权人发现本网已转载或摘编了其拥有著作权的作品或对稿酬有疑议, 请及时与本网联系删除。&/span>&/p>&p>&strong style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 white-space: background-color: rgb(255, 255, 255);&>& & 侵权处理办法参考版权提示一文：&/strong>&a href=&http://www.jinchutou.com/h-59.html& target=&_blank& textvalue=&http://www.jinchutou.com/h-59.html&>http://www.jinchutou.com/h-59.html&/a>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>&&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>1、如涉及内容过多，需要发送邮箱，请电子邮箱到，我们会及时处理；&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>2、系统一旦删除后，文档肯定是不能下载了的，但展示页面缓存需要一段时间才能清空，请耐心等待2-6小时；&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>3、请版权所有人（单位）提供最起码的证明（证明版权所有人），以便我们尽快查处上传人；&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>4、请文明对话，友好处理；&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>5、为了杜绝以前再有类似的侵权事情，可以为我们提供相应的关键字，便于管理人员添加到系统后能有效排除和抵制与您（贵单位）相关版权作品上传；&/span>&/p>&span id=&_baidu_bookmark_end_5& style=&display: line-height: 0&>?&/span>&span id=&_baidu_bookmark_end_3& style=&display: line-height: 0&>?&/span>" />
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