求90%、95%、99%的威尔逊置信空间间 PC 1 ≤ μ ≤1 =1-α
点击联系发帖人
时间：2018-03-26 12:49
【图文】置信区间(详细定义及计算)_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
置信区间(详细定义及计算)
登录百度文库，专享文档复制特权，财富值每天免费拿！
你可能喜欢扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
统计学题目.怎么根据置信水平算z(a/2)括号里是下标 的值?一般都是90 95 99% 题目突然出现98%不会做 书上也没表格查
作业帮用户
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
z(a/2)指的是标准正态分布的双侧临界值,z(a)当然就是单侧临界值.a（阿尔法）指的是显著水平,一般是0.05、0.01等.而95%、99%指的是置信水平,不要搞混这两个概念!置信水平=1-显著水平.我基本上不用查统计学表格,用Exce...
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)(1)_甜梦文库
经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)(1)
1高等学校财经类专业核心课程教材经济数学基础 概率统计习题解答四川出版集团 四川人民出版社 2001 年?成都 1习 题 一1.?写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次； (3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止； (4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为 M). (1) Ω ={正面，反面} △ {正，反} (2) Ω ={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)} (3) Ω ={(正)，(反，正)，(反，反，正)，?} (4) Ω ={x；0 ≤x≤ m} 2.?掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件 A＝“偶数点”， B＝“奇数点”，C＝“点数小于 5”，D＝“小于 5 的偶数点”，讨论上述 各事件间的关系. 解 Ω ? ?1,2,3,4,5,6?, A ? ?2,4,6?, B ? ?1,3,5?, C ? ?1,2,3,4?, D ? ?2,4?. A 与 B 为对立事件，即 B＝ A ；B 与 D 互不相容；A ? D，C ? D. 3. 事件 Ai 表示某个生产单位第 i 车间完成生产任务，i＝1，2，3，B 表示至少 有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事 件 B 及 B－C 的含义，并且用 Ai(i＝1，2，3)表示出来. 解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任 务. 解B ? A1 A2 ? A2 A3 ? A1 A3B－C 表示三个车间都完成生产任务4. 如图 1－1，事件 A、B、C A＋B＋C，AC＋B，C－AB 用 解 A ? B ? A ? AB图 1－1B ? A1 A2 A3＋A1 A2 A3＋A1 A2 A3＋A1 A2 A3 C ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3都相容，即 ABC≠Φ ，把事件 A＋B， 一些互不相容事件的和表示出来.A ? B ? C ? A ? AB ? A BCB ? C ? A1 A2 A3AC ? B ? B ? ABC C ? AB ? A BC ? ABC ? ABC5.?两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明. 解 两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发 生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不 一定同时不发生. 在本书第 6 页例 2 中 A 与 D 是对立事件， C 与 D 是互不相容事 件. 6.?三个事件 A、B、C 的积是不可能事件，即 ABC＝Φ ，问这三个事件是否一定 互不相容?画图说明. 解 不一定. A、B、C 三个事件 互不相容是指它们中任何两个 事件均互不相容， 即两两互不相 容.如图 1－2，事件 ABC＝Φ ， 但是 A 与 B 相容. 7. 事件 A 与 B 相容，记 C＝ AB，D＝A+B，F＝A－B. 说明事 图 1－2 件 A、C、D、F 的关系. 2解 由于 AB ? A ? A+B， A－B ? A ? A+B， AB 与 A－B 互不相容， 且 A＝AB＋(A－B). 因 此有 A＝C+F，C 与 F 互不相容，D ? A ? F，A ? C.8. 袋内装有 5 个白球，3 个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不 同的概率. 解 记事件 A 表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件 A 的样本点数目 ＃A＝ C51C31 .而组成试验的样本点总数为＃Ω ＝ C52?3 ，由古典概率公式有P(A)＝ # A ?#?1 1 C5 C3 15 ? C82 28(其中＃A， ＃Ω 分别表示有利于 A 的样本点数目与样本空间的样本点总数， 余下同) 9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率. 解 设事件 B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件 B 的样本点数为＃ B ? C52 .P( B) ? 1－P( B) ? 1 ? C52 9 ? 2 C8 1410. 抛掷一枚硬币，连续 3 次，求既有正面又有反面出现的概率. 解 设事件 A 表示 “三次中既有正面又有反面出现” , 则 A 表示三次均为正面或 三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有 8 种不同的等可能结果，即＃Ω ＝8， 因此P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? ＃A 2 3 ? 1? ? #? 8 411. 10 把钥匙中有 3 把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率. 解 设事件 A 表示 “门锁能被打开” . 则事件 A 发生就是取的两把钥匙都不能打 开门锁.P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? C2 8 ＃A ? 1－ 7 ? 2 ＃? 15 C10从 9 题－11 题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较 方便. 12. 一副扑克牌有 52 张，不放回抽样，每次一张，连续抽取 4 张，计算下列事 件的概率： (1)四张花色各异； (2)四张中只有两种花色. 解 设事件 A 表示“四张花色各异” ；B 表示“四张中只有两种花色”.4 1 1 1 1 # Ω ? C52 ， # A ? C13 C13 C13 C13 ，2 1 3 1 2 2 # B ? C（ 4 C2 C13C13＋C13C13 ）P( A) ?P( B) ?# A 134 ? 4 ? 0.105 # Ω C52#B 6 （ 7436 ＋6048 ） ? ? 0. 300 4 #Ω C5213. 口袋内装有 2 个伍分、3 个贰分，5 个壹分的硬币共 10 枚，从中任取 5 枚， 3解求总值超过壹角的概率. 设事件 A 表示“取出的 5 枚硬币总值超过壹角”.3 1 3 1 2 2 # Ω ? C 10， # A＝C2 (C3 C5＋C3 C5 ) 2 C8 ＋C2 5＃A 126 P( A)＝ ＝ ＝0.5 ＃Ω 25214. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下 列事件的概率：A＝“三次都是红球” △ “全红” ，B＝“全白” ， C＝“全黑” ，D＝“无红” ，E＝“无白” ， F＝“无黑” ，G＝“三次颜色全相同” ， H＝“颜色全不相同” ，I＝“颜色不全相同”. 3 解 ＃Ω ＝3 ＝27，＃A＝＃B＝＃C＝1， ＃D＝＃E＝＃F＝23＝8， ＃G＝＃A＋＃B＋＃C＝3， ＃H＝3！＝6，＃I＝＃Ω －＃G＝24P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( D) ? P( E) ? P( F ) ? 1 27 8 27P(G ) ?3 1 6 2 24 8 ? , P( H ) ? ? , P( I ) ? ? 27 9 27 9 27 915. 一间宿舍内住有 6 位同学，求他们中有 4 个人的生日在同一个月份的概率. 解 设事件 A 表示“有 4 个人的生日在同一个月份”. 1 ＃Ω ＝126，＃A＝ C64C12 112P( A) ? # A 21780 ＝ ＝0.0073 #Ω 12616. 事件 A 与 B 互不相容，计算 P ( A ? B) . 解 由于 A 与 B 互不相容，有 AB＝Φ ，P(AB)＝0 17. 证P( A ? B) ? P( AB) ? 1 ? P( AB) ? 1. 设事件 B ? A，求证 P(B)≥P(A）. ∵B ? A∴P(B-A)＝P(B) - P(A) ∵P(B-A)≥0 ∴P(B)≥P(A) 18. 已知 P(A)＝a，P(B)＝b，ab≠0 (b＞0.3a)， P(A－B)＝0.7a，求 P(B+A)，P(B-A)，P( B ＋ A ). 解 由于 A－B 与 AB 互不相容，且 A＝(A-B)＋AB，因此有 P(AB)＝P(A)-P(A-B)＝0.3a P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7a＋b P(B-A)＝P(B)-P(AB)＝b-0.3a P( B ＋ A )＝1-P(AB)＝1-0.3a 19. 50 个产品中有 46 个合格品与 4 个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品 的概率. 解 设事件 A 表示“取到废品” ，则 A 表示没有取到废品，有利于事件 A 的样本 43 点数目为＃ A ＝ C46 ，因此P(A)＝1-P( A )＝1- ＃A ＝1－ C46 3＃Ω C503＝0.2255 20. 已知事件 B ? A，P(A)＝lnb ≠ 0，P(B)＝lna，求 a 的取值范围. 解 因 B ? A，故 P(B)≥P(A)，即 lna≥lnb, ? a≥b，又因 P(A)＞0，P(B)≤1， 可得 b＞1，a≤e，综上分析 a 的取值范围是： 1＜b≤a≤e 21. 设事件 A 与 B 的概率都大于 0，比较概率 P(A)，P(AB)， P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等号把它们连接起来). 解 由于对任何事件 A，B，均有 AB ? A ? A+B 且 P(A+B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)，P(AB)≥0，因此有 P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)＋P(B) 22. 一个教室中有 100 名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一 年以 365 天计算). 解 设事件 A 表示“100 名学生的生日都不在元旦” ，则有利于 A 的样本点数目 为 ＃ A ＝ 3 6 4 1 0 0 ， 而 样 本 空 间 中 样 本 点 总 数 为 ＃Ω ＝365100，所求概率为P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? #A 364100 ? 1? #? 365100= 0.2399 23. 从 5 副不同手套中任取 4 只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率. 解 设事件 A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副” ，则 A 表示“四只手 套中任何两只均不能配成一副”.P( A) ?1 1 1 1 # A C54C2 C2C2C2 80 ? ? 4 #Ω C10 210P( A) ? 1 ? P( A) ? 0.6224. 某单位有 92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中 仍有 85％的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸. 解 设事件 A 表示“任找的一名职工订阅报纸” ，B 表示“订阅杂志” ，依题意 P(A)＝0.92，P(B)＝0.93，P(B｜ A )＝0.85 P(A＋B)＝P(A)＋P( A B)＝P(A)＋P( A )P(B｜ A ) ＝0.92＋0.08×0.85＝0.988 P(A B )＝P(A＋B)-P(B)＝0.988－0.93＝0.058 25. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件 A 表示数学 成绩优秀， B 表示外语成绩优秀， 若 P(A)＝P(B)＝0.4， P(AB)＝0.28， 求 P(A｜ B)，P(B｜A)，P(A＋B). 解 P(A｜B)＝ P ( AB) ? 0.28 ? 0.7P( B) 0 .4P(B｜A)＝ P( AB) ? 0.7P ( A)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)＝0.52 26. 设 A、B 是两个随机事件. 0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1， 5P(A｜B)＋P( A ｜ B )＝1. 求证 P(AB)＝P(A)P(B). 证 ∵P ( A｜ B )＋P ( A ｜ B )＝1 且 P ( A｜B )＋P( A ｜ B )＝1 ∴P ( A｜B )＝P (A｜ B )P( AB) P( AB) P( A) ? P( AB) ? ? P( B) 1 ? P( B) P( B)P(AB)［1-P(B)］＝P( B)［P( A)-P( AB)］整理可得 P(AB)＝P( A) P( B) 27. 设 A 与 B 独立，P( A)＝0.4，P( A＋B)＝0.7，求概率 P (B). 解 P( A＋B)＝P(A)＋P( A B)＝P( A)＋P( A ) P( B) ? ? 0.7＝0.4＋0.6P( B ) ? ?P( B )＝0.5 28. 设事件 A 与 B 的概率都大于 0，如果 A 与 B 独立，问它们是否互不相容，为 什么? 解 因 P ( A )，P ( B )均大于 0，又因 A 与 B 独立，因此 P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故 A 与 B 不可能互不相容. 29. 某种电子元件的寿命在 1000 小时以上的概率为 0.8，求 3 个这种元件使用 1000 小时后，最多只坏了一个的概率. 解 设事件 Ai 表示“使用 1000 小时后第 i 个元件没有坏” ， i＝1，2，3，显然 A1，A2，A3 相互独立，事件 A 表示“三个元件中最多只坏了一 个” ， 则 A＝A1A2A3＋ A1 A2A3＋A1 A2 A3＋A1A2 A3 ， 上面等式右边是四个两两互不相容事 件的和，且 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8 P( A)＝ ?P( A1 )?3 ? 3?P( A1 )?2 P( A1 ) ＝0.83＋3×0.82×0.2 ＝0.896 30. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别 为 0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关， 求零件的合格率. 解 设事件 A 表示“任取一个零件为合格品” ，依题意 A 表示三道工序都合格. P(A)＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.448 31. 某单位电话总机的占线率为 0.4，其中某车间分机的占线率为 0.3，假定二 者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打 通的概率以及第 m 次才能打通的概率(m 为任何正整数). 解 设事件 Ai 表示“第 i 次能打通” ，i＝1，2，?，m，则 P(A1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42 P(A2)＝0.58 × 0.42＝0.2436 P(Am)＝0.58m－1 × 0.42 32. 一间宿舍中有 4 位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼 镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率. 解 设 Ai 表示“第 i 人拿到自己眼镜”，i＝1,2,3,4. P ( Ai )＝ 1 ，设事件 B4表示 “每个人都没有拿到自己的眼镜”. 显然 B 则表示 “至少有一人拿到自己的 眼镜”. 且 B ＝A1＋A2＋A3＋A4. P( B )＝P(A1＋A2＋A3＋A4) 4 ＝ ? p( Ai ) ? ? P( Ai Ai ) ? ? P( Ai Aj Ak ) ? P( A1 A2 A3 A4 )i ?1 1?i＜j ?4 1?i＜j＜k ?4 6P(AiAj) ? P(Ai)P(Aj｜Ai)= 1?1 ?4 3 1 (1 ? i＜j ? 4) 12P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj｜Ai)P(Ak｜AiAj) = 1 × 1 × 1 ? 1 （1≤i＜j＜k≤4） P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) ×P(A4｜A1A2A3)4 3 2 1 1 1 1 5 2 3 P( B) ? 4 ? ? C4 ? ? C4 ? ? ? 4 12 24 24 8 3 P ( B) ? 1 ? P( B ) ? 8 43224= 1 ? 1 ? 1 ?1 ?1 2433. 在 1，2，?，3000 这 3000 个数中任取一个数，设 Am＝“该数可以被 m 整 除”，m＝2，3，求概率 P(A2A3)，P(A2＋A3)，P(A2－A3). 解 依题意 P(A2)＝ 1 ，P(A3)＝ 123P(A2A3)＝P(A6)＝ 1 6 P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)－P(A2A3)＝1?1?1 ? 22 3 6 3P(A2－A3)＝P(A2)－P(A2A3)＝ 1 ? 1 ? 12 6334. 甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为 0.8， 0.7，0.6，计算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中. 解 设事件 A、B、C 分别表示“甲投中” 、 “乙投中” 、 “丙投中” ，显然 A、B、C 相互独立.设 Ai 表示“三人中有 i 人投中” ，i＝0,1,2,3,依题意，P( A0 ) ? P( A B C) ? P( A)P(B)P(C)P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C ) =0.8×0.7×0.6 ? 0.336 P(A2)=P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC)=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6 ? 0.452 (1) P(A1)＝1－P(A0)－P(A2)－P(A3) ＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188 (2) P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝0.024＋0.188＝0.212 (3) P(A＋B＋C)＝P( A0 )＝1－P (A0)＝0.976 35. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为 0.4 及 0.5，问 谁先投中的概率较大，为什么? 解 设事件 A2n-1B2n 分别表示“甲在第 2n－1 次投中”与“乙在第 2n 次投中” ，显然 A1，B2，A3，B4，?相互独立.设事件 A 表示“甲先投中”.P( A) ? P( A1 ) ? P( A1 B 2 A3 ) ? P( A1 B 2 A3 B 4 A5 ) ? ? ? 0.4＋0.6 ? 0.5 ? 0.4＋(0.6 ? 0.5)2 ? 0.4＋?? 0.2×0.3×0.4× ? 0.024 7?计算得知 P(A)＞0.5，P( A )＜0.5，因此甲先投中的概率较大. 36. 某高校新生中，北京考生占 30％，京外其他各地考生占 70％，已知在北京学生 中，以英语为第一外语的占 80％，而京外学生以英语为第一外语的占 95％， 今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率. 解 设事件 A 表示“任选一名学生为北京考生” ，B 表示“任选一名学生，以英 语为第一外语”. 依题意 P(A)＝0.3，P( A )＝0.7，P(B｜A)＝0.8，P(B｜ A )＝ 0.95. 由全概率公式有 P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P( A )P(B｜ A ) ＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.905 37. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为 9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为 4?，2?， 5?，求 A 地的甲种疾病的发病率. 解 设事件 A1，A2，A3 分别表示从 A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区， 易见 A1，A2，A3 两两互不相容，其和为 Ω .?设事件 B 表示“任选一名居民其患 有甲种疾病” ，依题意： P(A1)＝0.45，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.2， P(B｜A1)＝0.004，P(B｜A2)＝0.002，P(B｜A3)＝0.005 3 ＝ ? P( Ai ) P( B | Ai )i ?10.4 4 ? 1 ? 0.3 7＝ 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005 ＝0.0035 38. 一个机床有三分之一的时间加工零件 A，其余时间加工零件 B，加工零件 A 时，停机的概率为 0.3，加工零件 B 时停机的概率为 0.4，求这个机床停机 的概率. 解 设事件 A 表示“机床加工零件 A” ，则 A 表示“机床加工零件 B” ，设事件 B 表示“机床停工”.P ( B) ? P ( A ) P (B | A) ? P ( A ) P ( B | A) 1 2 ? 0.3 ? ? 0.4 ? ? 0.37 3 339. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 3 个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个 1 号球，1 个 2 号 球与 1 个 3 号球，Ⅱ号袋内装有两个 1 号球和 1 个 3 号球，Ⅲ号袋内装有 3 个 1 号球与两个 2 号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球，放入与球 上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几 号球的概率最大，为什么? 解 设事件 Ai 表示“第一次取到 i 号球” ，Bi 表示第二次取到 i 号球，i＝1，2， 3.依题意，A1，A2，A3 构成一个完全事件组.1 1 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? P( A3 ) ? 2 4 1 1 P( B1 | A1 ) ? , P( B2 | A1 ) ? P( B3 | A1 ) ? 2 4 1 1 P( B1 | A2 ) ? , P( B2 | A2 ) ? P( B3 | A2 ) ? 2 4 1 1 1 P( B1 | A3 ) ? , P( B2 | A3 ) ? , P( B3 | A3 ) ? 2 3 6 8应用全概率公式 P( B j ) ? ? P( Ai ) P( B j | Ai ) 可以依次计算出 P(B1 ) ? 1 ,3 i ?12P( B2 ) ?13 11 . , P( B3 ) ? 48 48因此第二次取到 1 号球的概率最大. 40. 接 37 题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为 5％(即一个 甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为 5％)；对无甲种疾病的人用此 检验法误诊为甲种疾病患者的概率为 1％，在一次健康普查中，某人经此检 验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率. 解 设事件 A 表示“受检人患有甲种疾病” ，B 表示“受检人被查有甲种疾病” ，由 37 题计算可知 P(A)＝0.0035，应用贝叶斯公式P( A | B) ? P( A) P( B | A) P( A) P( B | A) ? P( A) P( B | A)?0. 0.＋0.? 0.2541. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比 为 5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为 94％，90％，95％， 现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概 率. 解 设事件 A1，A2，A3 分别表示“受检零件为甲机床加工” ， “乙机床加工” ， “丙 机床加工” ，B 表示“废品” ，应用贝叶斯公式有P( A1 | B) ? P( A1 ) P( B | A1 )i ?1? P( Ai ) P( B | Ai )30.5 ? 0.06 3 ? 0.5 ? 0.06＋0.3 ? 0.1 ＋0.2 ? 0.05 7 4 P( A1 | B) ? 1 ? P( A1 | B) ? 7 ?42. 某人外出可以乘坐飞机、 火车、 轮船、 汽车 4 种交通工具， 其概率分别为 5％， 15％，30％，50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为 100％， 70％，60％与 90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率. 解 设事件 A1，A2，A3，A4 分别表示外出人“乘坐飞机” ， “乘坐火车” ， “乘坐轮 船” ， “乘坐汽车” ，B 表示“外出人如期到达”.P( A2 | B) ? P( A2 ) P( B | A2 ) ? P( Ai ) P( B | Ai )i ?1 4?0.15? 0.3 0.05 ? 0 ? 0.15 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.1=0.209 43. 接 39 题，若第二次取到的是 1 号球，计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率. 解 39 题计算知 P(B1)＝ 1 ，应用贝叶斯公式2 1 1 ? P( A1 ) P( B1 | A1 ) 2 2 1 P( A1 | B1 ) ? ? ? 1 P( B1 ) 2 244. 一箱产品 100 件，其次品个数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中随 机地抽取 10 件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已 9知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率. 解 设事件 Ai 表示一箱中有 i 件次品，i＝0, 1, 2. B 表示“抽取的 10 件中无 次品” ，先计算 P ( B )10 10 2 C99 C98 1 P( B) ? ? P( Ai ) P( B | Ai ) ? ? (1 ? 10 ? 10 ) i ?0 3 C100 C100P ( A0 | B ) ?1 ? 0.37 3P ( B )45. 设一条昆虫生产 n 个卵的概率为pn ??nn!e ??n=0, 1, 2, ?其中 λ ＞0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于 p(0＜p＜1). 如果卵的 孵化是相互独立的，问此虫的下一代有 k 条虫的概率是多少? 解 设事件 An＝“一个虫产下几个卵” ，n＝0，1，2?.BR＝“该虫下一代有 k 条 虫” ，k＝0，1，?.依题意P ( An ) ? p n ??nn!e ??0 ? P( Bk | An ) ? ? k k n?k ?Cn p q?k＞n 0?k ?n?其中 q=1－p. 应用全概率公式有P( Bk ) ? ? P( An ) P( Bk | An ) ? ? P( An ) P( Bk | An )n ?0 n ?k??n ?l?n! ? ?? e p k q n?k n! k !( n ? k ) !n(?p) k ?? ? (?q) n?k e ? k! n ? k (n ? k ) !由于 ? (?q)?(?q) n?k ? e ?q ，所以有 n ? k ( n ? k ) ! n ? k ?0 ( n ? k ) ! ( ? p ) k ? ? ? q ( ? p ) p ? ?p P( Bk ) ? e e ? e k ? 0, 1, 2,? k! k ???n?k 10习 题 二 1. 已知随机变量 X 服从 0－1 分布，并且 P{X≤0}＝0.2，求 X 的概率分布. 解 X 只取 0 与 1 两个值， P{X＝0}＝P{X≤0}－P{X＜0}＝0.2， P{X＝1}＝1－P{X ＝0}＝0.8. 2. 一箱产品 20 件，其中有 5 件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两 次，求取到的优质品件数 X 的概率分布. 解 X 可以取 0, 1, 2 三个值. 由古典概型公式可知 C m C 2? m P ? X ? m ? ? 5 215 (m ? 0, 1, 2)C20依次计算得 X 的概率分布如下表所示：X P021 38115 3822 383. 上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为 X 件，求随机变量 X 的概率分布. 解 X 的取值仍是 0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是 1/4，取到非优质 品的概率是 3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有9 ?3? P?X ? 0? ? ? ? ? 4 16 ? ? 6 1 ? 1 ?? 3 ? P ? X ? 1 ? ? C2 ? ?? ? ? ? 4 ?? 4 ? 16 1 ?1? P ? X ? 2 ?? ? ? ? 4 16 ? ?2 24. 第 2 题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数 X 的概率分布. 解 X 可以取 1, 2, ?可列个值. 且事件{X = n}表示抽取 n 次，前 n－1 次均 3? 1 . 因此 X 的概率分布为 未取到优质品且第 n 次取到优质品，其概率为 ? ? ? ?n ?1? 4?41?3? P ?X ? n ? ? ? ? 4? 4?n?1n ? 1, 2, ?5. 盒内有 12 个乒乓球，其中 9 个是新球，3 个为旧球，采取不放回抽取，每次 一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布. (1)抽取次数 X； (2)取到的旧球个数 Y . 解 (1)X 可以取 1, 2, 3, 4 各值. 3 3 9 9 P ? X ? 1 ?? P ?X ? 2 ? ? ? ?4 12 11 3 2 9 9 P ? X ? 3 ?? ? ? ? 12 11 10 220 44 11P ? X ? 4 ??3 2 1 9 1 ? ? ? ? 12 11 10 9 220(2) Y 可以取 0, 1, 2, 3 各值 .3 4 9 P ?Y ? 1 ?? P ? X ? 2 ?? 44 9 P ?Y ? 2 ?? P ? X ? 3 ?? 220 1 P ?Y ? 3 ?? P ? X ? 4 ?? 220 P ?Y ? 0 ?? P ? X ? 1 ??6. 上题盒中球的组成不变， 若一次取出 3 个， 求取到的新球数目 X 的概率分布. 解 X 可以取 0, 1, 2, 3 各值. C3 1 P ?X ? 0 ? ? 3 ? 3C121 9220P ?X ? 1 ? ? P ?X ? 2 ? ? P ?X ? 3 ? ?CC 27 ? 3 C12 2201 C92C3 108 ? 3 C12 220 3 C9 84 ? 3 C12 2202 37. 已知 P{X＝n}＝pn，n＝1, 2, 3, ?, 求 p 的值. ? 解 根据 ? P ? X ? n ?＝1 , 有n?11 ? ? Pn ?n ?1?p 1? p解上面关于 p 的方程，得 p＝0.5. 8. 已知 P{X＝n}=pn， n＝2, 4, 6, ?，求 p 的值. 2 解 p2 ? p4 ? p6 ? ? ? p 2 ? 11? p解方程，得 p= ? 2 /2 9. 已知 P{X＝n}=cn, n=1, 2, ?, 100, 求 c 的值. 100 解 1 ? ? cn ? c ( 1 ? 2 ? ? ? 100 ) ＝5050cn?1解得 c＝1/5050 . 10. 如果 pn＝cn＿2，n=1, 2, ?, 问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么? ? ? ? ? ? 解 ? pn ? c ? 12 , 由于级数 ? 12 收敛 , 若记 ? 12 =a, 只要取 c ? 1 , 则有 ? pn =1, 且n?1 n?1nn?1nn?1nan ?1pn＞0. 所以它可以是一个离散型概率分布. 11. 随机变量 X 只取 1, 2, 3 共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等 并又组成等差数列，求 X 的概率分布. 解 设 P{X＝2}＝a，P{X＝1}＝a－d, P{X=3}=a+d. 由概率函数的和为 1，可知 a= 1 , 但是 a－d 与 a+d 均需大于零,因此｜d｜＜ 1 , X 的概率分布为3 3X123 12P1 －d 31 331 +d 3其中 d 应满足条件：0＜｜d｜＜ 1 12. 解m 已知 P ? X ? m ? ? cλ e ?? ,m m!=1, 2, ?, 且 λ ＞0, 求常数 c.1 ? ? p?X ? m? ? ?m ?1 ??c?m ?? e m ?1 m !?由于 ???mm ?0 m !? 1? ???mm?1 m !? e?, 所以有c?m ?? e ? c(e ? ? 1)e ?? ? c(1 ? e ?? ) ? 1 ? m ! m?1 1 解得 c? 1 ? e ??13. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人 投篮的命中率分别为 0.4 及 0.5，求： (1)二人投篮总次数 Z 的概率分布； (2)甲投篮次数 X 的概率分布； (3)乙投篮次数 Y 的概率分布. 解 设事件 Ai 表示在第 i 次投篮中甲投中， j 表示在第 j 次投篮中乙投中， i=1, 3, 5, ?, j=2, 4, 6,?,且 A1, B2, A3, B4，?相互独立. (1) P?Z ? 2k ?1? ? p?A1 B1 ? A2k ?3 B2k ?2 A2k ?1? ? (0.6×0.5) k ?1 ?0.4 = 0.4(0.3) k ?1 k=1, 2, ? P?Z ? 2k? ? p( A1 B1 ? A2k ?3 B 2k ?2 A2k ?1 B2k ) k ? 0.5×0.6×(0.6×0.5) k ?1 =0.3 k=1, 2, ? (2) P?X ? n? ? p?A1 B1 ?A2n?3 B2n?2 A2n?1?? p A1 B1 ? A2n?3 B 2n?2 A2n?1B2n ? (0.6 ? 0.5)n?1 (0.4 ? 0.6 ? 0.5) ? 0.7 ? 0.3n?1 n ? 1, 2, ? (3) P ? Y ? 0 ? ? P( A1 ) ? 0.4 P ? Y ? n ? ? P A1 B1 ? A2n?1B2n ? P A1 B1 ? A2n?1 B 2n A2n?1 ? (0.6 ? 0.5)n?1 ? 0.6 ? (0.5 ? 0.5 ? 0.4) ? 0.42 ? 0.3n?1 n ? 1, 2， ????? ??14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经 过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为 0.6，遇到红灯或黄灯则停止 前进，其概率为 0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信 号灯数目 X 的概率分布(不计其他因素停车). 解 X 可以取 0, 1, 2, 3, 4 . P { X＝0 } ＝0.4 P { X＝1 }＝0.6×0.4＝0.24 2 P { X＝2 } ＝0.6 ×0.4＝0.144 P { X＝3 } ＝0.63×0.4＝0.0864 P { X＝4 } ＝0.64＝0.1296 15.?sin x , f ( x) ? ? ? 0, x ? [ a , b] ， 其他 . 13问 f(x)是否为一个概率密度函数，为什么?如果 (1) a ? 0 , b ? π ; (2) a ? 0 , b ? π ; (3) a ? π , b ? 3 π .2 2解π在［0,π 2］与［0,π π ］上，sinx≥0,但是 ? 0 sin xdx ? 1,? 3 2 sin xdx ? 1, 而在 ? π, ?0 ? 2? π ? 上,sinx ?≤0.因此只有(1)中的 a, b 可以使 f (x)是一个概率密度函数. 16.?x ? x , ? e 2c f ( x) ? ? c ? 0, ?2x＞0 ， x ? 0.其中 c＞0，问 f(x)是否为密度函数，为什么? 解 易见对任何 x∈(－∞ , ＋∞) , f ( x )?0??≥ 0，又x e c?x2 2cdx ? 1f(x)是一个密度函数 .17. 问 f ( x )是否为密度函数，若是，确定 a 的值；若不是，说明理由. 解 如果 f ( x )是密度函数，则 f ( x )≥0，因此 a≥0，但是，当 a ≥0 时，2 a ?2 ? a 2 ? dx ? x |a ? 4a ? 4 ? 4 a?2?2 x , f ( x) ? ? ? 0，a＜x ＜a ? 2. 其他 .由于 ??? f ??( x) dx 不是1，因此 f ( x )不是密度函数.a＜x＜? ? , 其 他.18. 设随机变量 X～f ( x )2 ? , ? f ( x ) ? ? π ( 1 ? x2 ) ? 0, ?确定常数 a 的值，如果 P { a ＜ x 解＜ b } ＝0.5，求 b 的值.??? a?? 2 2 2 π dx ? arctanx ? ? ( ? arctana) 2 a π(1 ? x ) π ? 2解方程 得2 ?π ? ? －arctana ? =1 π ?2 ?( x ) dx ? 2 2 arctan x |b arctan b 0? π πa = 0 b P ? 0 ＜ x ＜ b ? ? ?0 f解关于 b 的方程： 2 arctanb=0.5π得 b=1. 19. 某种电子元件的寿命 X 是随机变量，概率密度为?100 ? f ( x ) ? ? x2 ? ? 0, x ? 100 , x＜ 100 .3 个这种元件串联在一个线路中，计算这 3 个元件使用了 150 小时后仍能使 14线路正常工作的概率. 解 串联线路正常工作的充分必要条件是 3 个元件都能正常工作. 而三个元件 的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件 A 表示“线路正常工 作” ，则P ( A) ?[ P ( X ＞ 150) ]3 2 ?? 100 P ? X ＞150 ?＝? 150 2 dx ? x 3 8 P ( A) ? 2720. 设随机变量 X ～ f ( x ) ， f ( x ) ＝ Ae － |x| ，确定系数 A ；计算 P { |X | ≤1 }. ? ?? 解 1 ? ? ??? Ae? | x |dx ? 2 A ? 0 e ? x dx ? 2 A 解得 A＝ 121 ?1 1 1 ?|x| e dx ? ? e ? x dx 0 2P ?| X | ?1 ?? ?21. 设随机变量 Y 服从［0, 5］上的均匀分布，求关于 x 的二次方程 4x2＋ 4xY+Y+2=0 有实数根的概率. 解 4x2+4xY+Y+2=0. 有实根的充分必要条件是 △＝b2－4ac =16Y2－16(Y+2)=16Y2－16Y－32≥0 设事件 P(A)为所求概率.则 P( A) ? P ?16Y 2 ? 16Y ? 32 ? 0 ?? P ? Y ? 2 ?? P ? Y ? ?1 ? =0.6 22. 设随机变量 X ～ f ( x )，? c , ? f ( x) ? ? 1 ? x 2 ? 0, ? | x | ＜1， 其他 .? 2?? 1 ? e ?1 ? 0.6321 ? 确定常数 c，计算 P ? ? | X |? ?.解1 ? ??11c 1? x1 π2dx ? c arcsin x |1 ?1 ? cπc =1? 1 2 ? P ? | X | ? ? ? ? 21 dx ? arcsin x 2 2? ? 2 ? 1? x ? ?11 2 0?1 323. 设随机变量 X 的分布函数 F ( x )为? 0, ? F ( x) ? ? A x , ? 1, ? x＜0 ， 0＜x＜1 , x ? 1.确定系数 A，计算 P ? 0 ? X ? 0.25 ?，求概率密度 f ( x ). 解 连续型随机变量 X 的分布函数是连续函数，F F (1－0)，有 A＝1.(1)＝ 15? 1 , ? f ( x ) ? ?2 x ? 0, ?0＜x＜1 , 其他 .P ? 0 ? X ? 0.25 ? ? F ( 0.25 ) ? F ( 0 ) ? 0.524. 求第 20 题中 X 的分布函数 F ( x ) . 解 F ( x ) ? P ? X ? x ? ? ? ?x? 1 e? | t |dt2当t≤ 0 时，1 x 1 F ( x ) ? ? ?? et dt ? e x 2 2当 t＞0 时，x 1 0 1 x1 F ( x ) ? ? ?? e ? | t | dt ? ? ?? e ?t dt ? ?0 e -t dt 2 2 2 1 1 1 ? ? (1 ? e ? x ) ? 1 ? e ?x 2 2 225. 函数(1+x2)－1 可否为连续型随机变量的分布函数，为什么? 解 不能是分布函数，因 F (－∞)＝ 1 ≠ 0. a 26. 随机变量 X～f ( x )，并且 f ( x ) ? ,确定 a 的值；求分布函数 2π (1? x )F ( x )；计算 P ? | X | ＜1 ? .解1 ? ? ????a a dx ? arctan x π ( 1? x2 ) π?? ???a因此 a =1F ( x) ? ? ??x1 1 dt ? arctan t π ( 1? t 2 ) πx ??1 1 ? arctan x 2 π 1 1 1 1 P ? | X | ＜1 ? ? ? ?1 dx ? 2 ? 0 dx 2 π ( 1? x ) π ( 1? x2 ) 2 1 ? arctan x 01 ? π 2 ?27. 随机变量 X 的分布函数 F ( x )A ? ?1 ? , F ( x) ? ? x 2 ? ? 0, x＞2 ， x ? 2.为：确定常数 A 的值，计算 P ? 0 ? X ? 4 ? . 解 由 F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得1? A ?0, 4 A?4P ? 0 ? X ? 4 ? ? P ? 0＜X ? 4 ? ? F ( 4 ) ? F ( 0 )? 0.7528. 随机变量 X～f ( x )，f ( x )＝A , 确定 e x ? e?xA 的值；求分布函数F ( x ) . 16解1 ? ? ??因此A ex ? d x ? A dx ? ?? e x ? e?x 1 ? e2 x π ? A a r ce xt ? a ?n A ?? 2 A＝ 2 ， π?x ??F (x)??2 2 dt ? arctanet π ( et ? e ?t ) πx ??2 ? arctan e x π29. 随机变量 X～f ( x )，? 2x ? , 0＜x＜a f ( x ) ? ? π2 ? 其他 . ? 0 , 其他确定 a 的值并求分布函数 F ( x ) . 解1 ? ?0a因此，a = π 当 0＜x＜π 时，F ( x ) ?0 2t x2 d t ? π2 π2 ?0, x ? 0 ? 2 ?x F ( x) ? ? 2 , 0＜x＜π ?π ? ?1, x ? πx2x x2 dx ? 2 2 π πa 0?a2 π230. 随机变量 X 的分布函数为?0 , ? F ( x ) ? ? a 2 x 2 ? 2ax ? 2 ?ax e , ?1 ? 2 ??x?0 x＞0 (a＞0)1 ? 求 X 的概率密度并计算 P ? ? 0＜X＜ ? . a ?解当 x ≤ 0 时，X 的概率密度 f ( x ) ＝0； 当 x ＞ 0 时，f ( x ) ＝F? ( x )? 0, ? f ( x ) ? ? a 3 x 2 ?ax e , ? ? 2 x?0, x＞0 .1 ? 1 ? 1 ? ? P ? 0＜x＜ ? ? P ? 0＜x ? ? ? F ( ) ? F ( 0 ) a ? a ? a ? ?31. 随机变量 X 服从参数为 0.7 的 0－1 分布，求 X2，X2－2X 的概率分布. 解 X2 仍服从 0－1 分布，且 P { X2＝0 } ＝P { X＝0 } ＝0.3，P{X25 ? 1 ? e?1 ? 0.08 2 17＝1}＝P{X＝1}＝0.7 X2－2X 的取值为－1 与 0 , P{X2－2X＝0} ＝P { X＝0 } ＝0.3 P { X2－2X＝－1 } ＝1－P { X＝0 } ＝0.7 32. 已知 P { X＝10n } ＝P { X＝10-n }＝ 1n , n ? 1 , 2 , ? , 解Y=lgX，求 Y 的概率分布. Y 的取值为±1, ±2 , ? P { Y=n } =P { lgX=n } =P { X=10n } = 1-n333P { Y=－n } =P { lgX=－n } =P { x=10 } ＝ 1n＝1 , 2 , ? 33. X 服从［a , b］上的均匀分布，Y=ax+b (a≠0)，求证 Y 也服从均匀分布. 证 设 Y 的概率密度为 fY ( y ) ， X 的概率密度为 fX ( x ) ，只要 a ≠ 0，y = ax + b 都是 x 的单调函数. 当 a ＞ 0 时，Y 的取值为 ［a2+b , ab+b］,x?h( y)? 1 1 ( y ? b ) , h? ( y ) ? x? y ? a a 1 f Y ( y ) ? h? ( y ) f X [ h ( y ) ] ? , y ? [ a 2 ? b , ab ? b ], a (b?a )当y ?[ a 2 ? b , ab ? b ]时 ，fY ( y ) =0.类似地，若 a＜0，则 Y 的取值为［ ab+b , a2+b ］? ?1 , ? f Y ( y) ? ? a(b ? a) ? 0, ? ab ? b ? y ? a 2 ? b , 其他 .因此，无论 a＞0 还是 a＜0，ax+b 均服从均匀分布. 34. 随机变量 X 服从［0 ,?2］上的均匀分布 Y=cosX , 求 Y 的概率密度fY ( y ). 解 y=cosx 在［0, h? ( y ) =. 因此2 ? , ? fY ( y ) ? ? π 1 ? y 2 ? 0， ?π 2］上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccosy?121? y,fx ( x ) =2 π,0≤x ≤π 20＜ y ＜1 , 其他 .35. 随机变量 X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y=ex , Z =｜lnX｜，分别求 随机变量 Y 与 Z 的概率密度 fY ( y ) 及 fZ ( z ) . 解 y = ex 在 (0 , 1) 内 单 调 , x=lny 可 导 ， 且x?y =1 y, fX ( x ) =1 180＜ x ＜ 1 ,?1 ? , fY ( y ) ? y ? 0, ?因此有1＜ y ＜ e , 其他 .在(0 , 1)内 lnx ＜ 0｜lnx｜=-lnx 单调，且 x = e ? z ，x?z＝－e ? z ，因此有?e ? z ， fz ( z ) ? ? ? 0, 0 ＜ z ＜ ? ?, 其他 .36. 随机变量 X～f ( x ) ，?e ? x , f (x)?? ? 0, x＞0 x?02 X , Z = X Y = , 分别计算随机变量 Y 与 Z 的概率密度 fy ( y ) 与 f Z ( z ) . 解 当 x ＞ 0 时，y = x 单调，其反函数为 x = y2 , x?y = 2y? ?2 y e ? y , fY ( y ) ? ? ? ? 0,2y ＞0 , y ? 0.z当x＞ 0 时 z＝x2 也是单调函数，其反函数为 x =z, x?z=1 2 z? 1 ? e ? f z ( z) ? ? 2 z ? 0, ?z＞0 ， z ? 0.(x)? 2 , ? (1 ? x 2 )37.随机变量 X～f ( x )，当 x ≥ 0 时, fY=arctanX ,与Z =1 X, 分 别 计 算 随 机 变 量 Y 与 Z 的 概 率 密 度 fY ( y )fz ( z ) . 解 由于 y = arctanx 是单调函数，其反函数 x=tany , x? 2 ? π? ? ? 0, ? 内恒不为零，因此，当 0 ＜ y ＜ 时，? 2?y=sec2y 在πf Y ( y ) ? sec2 y2 2 ? π(1 ? tan 2 y ) π即 Y 服从区间(0 ,π 2)上的均匀分布. , x?zz =fz ( z ) ?1 在 x＞0 时也是 x 的单调函数，其反函数 x= 1 x z= ?1 . 2z因此当 z＞0 时，?1 2 2 ? 2 z π [ 1? ( 1 )2 ] π ( 1? z 2 ) z 2 ? , z＞0 ? f z ( z ) ? ? π(1 ? z 2 ) ? 0, z?0 ? 19即Z =38. 一个质点在半径为 R，圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点 横坐标 X 的密度函数 fX ( x ) . ? 的长记为 L，显然 L 是一个连续型随 解 如图，设质点在圆周位置为 M，弧 MA 机变量，L 服从［0，π R］上的均匀分布.?1 ? , f L ( l ) ? ? πR ? ? 0, 0 ? l ? πR ， 其他 .1 X与 X 同分布.M 点的横坐标 X 也是一个数，且图 2-1随机变量，它是弧长 L 的函X ＝ Rcosθ＝ Rcos函数 x = Rcosl / R 是 l 的单调函数 ( 0＜ l ＜ 反函数为 l ＝ Rarccos xR?? lx ?R R2 ? x2L Rπ R ) ,其当－R ＜ x ＜ R 时，L?x ≠ 0，此时有fX ( x ) ? ?R R ?x2 2?1 1 ? πR π R 2 ? x 2当 x ≤ －R 或 x ≥ R 时，fX ( x ) ＝0 . 39. 计算第 2 , 3 , 5 , 6 , 11 各题中的随机变量的期望. 解 根据第 2 题中所求出的 X 概率分布，有EX ? 0 ? 21 15 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 38 38 38 2亦可从 X 服从超几何分布，直接计算EX ? n N1 5 1 ? 2? ? N 20 2 ? 1? 6 1 1 ? 2? ? 16 16 16 2 1 亦可从 X 服从二项分布(2， )，直接用期望公式计算： 4 1 1 EX ? np ? 2 ? ? 4 2在第 3 题中 EX ? 0 ? 9在第 5 题中 (1) EX ? 1 ? 3 ? 2 ? 9 (2) 在第9 1 ? 4? ? 1.3 4 44 220 220 3 9 9 1 EY ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3? ? 0.3 4 44 220 220 6 题中， EX ? 0 ? 1 ?1 ? 27 ? 2 ? 108 ? 3? 84 ? 2.25 220 220 220 220 ? 3? 201 1 ? ?1 ? 在第 11 题中， EX ? 1 ? ? ? ? d? ? 2 ? ? 3? ? ? d? ?3 ?? 2 ? 2d?3 1 0＜｜d｜＜ 3 3?40. P { X = n } = c , n=1, 2, 3, 4, 5, 确定 C 的值并计算 EX. 解n c c c c c 137c ?1 ? ?c? ? ? ? ? n?1 n 2 3 4 5 605C?60 1375 n?1EX ? ? n ?41. 随机变量 X 只取－1, 0, 1 三个值，且相应概率的比为 1 : 2 : 3，计算 EX. 解 设 P { X ＝－1 } ＝ a，则 P { X ＝0 } ＝2a, P { X＝ 1 } ＝3a ( a＞0 ) ，因 a + 2a + 3a = 1 , 故 a ＝1/6EX ? ?1 ?c 300 ? 5C ? n 13742. 随机变量 X 服从参数为 0.8 的 0－1 分布，通过计算说明 EX2 是否等于 ( EX )2 ? 解 EX＝P { X＝1 } ＝0.8，( EX )2 ＝0.64 EX2＝1×0.8＝0.8＞( EX )2 43. 随机变量 X～f ( x ) ，f ( x ) ＝0.5e- | x |，计算 EXn，n 为正 整数. 解 当 n 为奇数时， x n fEX n ? ? ?? 0.5x n e ? | x | dx ? 0?? ? ( x ) 是奇函数，且积分 ? 0 x n e? x dx 收敛，因此1 2 3 1 ? 0 ? ? 1? ? 6 6 6 3当 n 为偶数时，EX n ? ? ?? 0.5x n e? | x |dx ? 2? 0 0.5x n e ? x dx?? ??? ?0??x n e? x dx ? ? ( n ? 1 ) ? n !0 ? x ?1, 1＜x＜2 , 其他 . 其他44. 随机变量 X～f ( x ) ，? x, ? f ( x ) ? ?2 ? x , ? 0, ?计算 EXn(n 为正整数) . 解EX n ? ? ?? x n f ( x ) dx ? ? 0 x n?1dx ? ?1 ( 2 ? x ) x n dx1 2 ???1 2 1 ? ( 2n?1 ? 1 ) ? ( 2 n? 2 ) ? 1 n ? 2 n ?1 n?2 2 n?2 ? 2 ? ( n ?1) ( n ? 2 )45. 随机变量 X～f ( x ) ，?cx b , f (x)?? ? 0, 0 ? x ?1, 其他 其他 . 21b,c 均大于 0，问 EX 可否等于 1，为什么?解 而EX ? ? 0 cx b?1dx ?1 b ? ?? f ( x )dx ? ? 0 cx dx ? 1 ??c ?1 b ?1c b?2由于方程组? c ?1 ? ?b ? 1 ? ? c ?1 ? ?b ? 2无解，因此 EX 不能等于 1. 46. 计算第 6，40 各题中 X 的方差 DX . 解 在第 6 题中，从第 39 题计算知 EX＝ 9 ，4 27 4 ? 108 9 ? 84 1215 EX ? ? ? ? 220 220 220 2202DX＝EX2－( EX )2≈0.46 在第 40 题中，已计算出 EX＝ 300137EX 2 ? ? n 2 ?n?1 5,c 5 ? ? cn ? 15c n n?1= 900DX=EX -(EX)2≈1.7747. 计算第 23，29 各题中随机变量的期望和方差. 解 在第 23 题中，由于 f ( x ) ＝ 1 （0＜x＜1）,因此2 x EX ? ? 0121371 dx ? 3 2 x1xEX 2 ? ? 0x2 2 xdx ?1 5DX = EX2－ ( EX )2 =在第 29 题中，由于 f ( x )EX ? ? 0 2x 2 2 dx ? π 2 π 3 3 2 x π2 π EX 2 ? ? 0 2 dx ? π 2π 24 45＝ 2x ( 0＜x＜π 2π) , 因此DX＝EX2－ ( EX )2= π解? 1 yfY ( y ) dy ? ? 0 EY= ? ???182 π48. 计算第 34 题中随机变量 Y 的期望和方差.2y π 1? y2dy ?EY2= ? 012y2 2π 1? ydy ?1 2 22DY= 1 ?24 π2 ? 8 ? π2 2π 20, ? ? 2 ?1 ? x ? x , 2 2 =? ? 2 ? 1 ? x－ x ， ?2 2 ? 1, ? x＜ ? 1， ? 1 ? x＜0 ， 0 ? x＜1， x ? 1.49. 已知随机变量 X 的分布函数 F ( x ) 为：F ( x )计算 EX 与 DX . 解 依题意，X 的密度函数 f ( x ) 为：?1 ? x , ? f ( x ) ? ?1 ? x , ? 0， ? ? 1 ? x＜0 ， 0 ? x＜1， 其他 .解EX＝ ? ?01 x ( 1 ? x ) dx ? ? ?01 x ( 1 ? x ) dx ? 0 EX2= ? ?01 x2 ( 1 ? x ) dx ? ? 01 x2 ( 1 ? x ) dx ? 1 DX= 1 6650. 已知随机变量 X 的期望 EX＝μ ，方差 DX＝σ 2，随机变量 Y =X ???, 求EY 和 DY . 解 EY = 1 ( EX－μ?) ＝0DY =DX?2=11 ) 451. 随机变量 Yn～B ( n,,分别就 n=1, 2, 4, 8, 列出 Yn 的概率分布表，并画出概率函数图 .解Y1 P Y3 P Y4 P03 411 4Y2 P127 6409 1616 1621 16027 6429 6431 64081 2561108 256254 256312 25641 256 23Y8 P01234567841 12 252 24 a a 6a 2a 8a a a a a其中 a = 1/65536 . 图略 . 52. 设每次试验的成功率为 0.8，重复试验 4 次，失败次数记为 X，求 X 的概率 分布 . 解 X 可以取值 0, 1, 2, 3, 4 .相应概率为 P ( X＝m ) ＝ C44?m ? 0.84?m ? 0.2m ( m=0, 1, 2, 3, 4 ) 计算结果列于下表X P0 1 2 3 4 0.6 0.6 0.001653. 设每次投篮的命中率为 0.7，求投篮 10 次恰有 3 次命中的概率 ；至少命 中 3 次的概率 . 解 记 X 为 10 次投篮中命中的次数，则 X～B ( 10 , 0.7 ) . 3 P ? X ? 3 ? ? C10 0.730.37 ? 0.009 P ? X ? 3 ?? 1? P ? X ? 0 ?? P ? X ? 1 ?? P ? X ? 2 ? =1－0.310－10×0.7×0.39－45×0.72×0.38 ≈0.9984 54．掷四颗骰子，求“6 点”出现的平均次数及“6 点”出现的最可能（即概率 最大）次数及相应概率. 解 掷四颗骰子，记“6 点”出现次数为 X，则 X～B（4， 1 ）.6EX = np=2 35 6由于 np + p =P ? X ? 0 ?? (，其 X 的最可能值为［ np + p ］=05 4 625 ) ? 6
若计算 P ? X ? 1 ? ? ，显然 P ? x ? 2 ? , P ? x ? 3 ? , 1296 P ? x ? 4 ? 概率更小.55．已知随机变量 X～B（n, p） ，并且 EX=3，DX=2，写出 X 的全部可能取值， 并计算 P ? X ? 8 ? . 解 根据二项分布的期望与方差公式，有?np ? 3 ? ?npq ? 2解方程，得 q= 2 ，p= 1 ，n=9 .33X 的全部可能取值为 0, 1, 2, 3, ?, 9 .P ? X ? 8 ?? 1? P ? X ? 9 ?= 1－ ( 1 ) 9 ≈30.999956．随机变量 X～B（n，p） ，EX=0.8，EX2=1.28，问 X 取什么值的概率最大，其 24解概率值为何? 由于 DX = EX2－(EX)2=0.64,?npq ? 0.64 ? ?np ? 0.8EX=0.8,即解得 q = 0.8，p = 0.2，n = 4 . 由于 np+p=1，因此 X 取 0 与取 1 的概率最大，其概率值为 P ? X ? 0 ? ? P ? X ? 1 ? ? 0.84 ? 0.4096 57．随机变量 X～B（n, p） ，Y=eaX，计算随机变量 Y 的期望 EY 和方差 DY . 解 随机变量 Y 是 X 的函数，由于 X 是离散型随机变量，因此 Y 也是离散型随 机变量，根据随机变量函数的期望公式，有i i n ?i EY ? ? e ai P｛X ? i｝ ? ? e aiC n pq i ?0 n i ?0 i ? ? Cn (e a p ) i q n ?i ? (e a p ? q ) n i ?0 n nEY ? ? (e ai ) 2 P｛X ? i｝2 i ?0 i ? ? Cn ( e 2 a p ) i q n ? i ? (e 2 a p ? q ) n i ?0 nnDY ? (e 2ap ? q) n ? (e ap ? q) 2n58. 从一副扑克牌（52 张）中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量 X，Y 分 别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数，分别求 X，Y 的概 率分布以及期望和方差. 解 X 服从超几何分布，Y 服从二项分布 B（4， 1 ）.2P｛X ? m｝ ? C C Cm 26 4?m 26 4 52m 1 m 1 4? m (m ? 0,1,2,3,4) P｛Y ? m｝ ? C4 ( ) ( ) (m ? 0,1,2,3,4) 2 2具体计算结果列于下面两个表中.X P Y PEX ? n0 1 2 3 4 46/833 208/833 325/833 208/833 46/833 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/160 1/16, m ? 0,1,2,3,4 并与 59. 随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布， 查表写出概率 P｛X ? m｝ 上题中的概率分布进行比较.N1 26 ? 4? ?2 N 52 N N N ?n 26 26 48 16 DX ? n 1 ? 2 ? ? 4? ? ? ? N N N ?1 52 52 51 17 1 EY ? np ? 4 ? ? 2 DY ? npq ? 1 2XP0 1 2 3 4 0.7 0.4 0.090260．从废品率是 0.001 的 100000 件产品中，一次随机抽取 500 件，求废品率不 超过 0.01 的概率. 解 设 500 件中废品件数为 X，它是一个随机变量且 X 服从 N=100000， N1 =100， 25n=500 的超几何分布.由于 n 相对于 N 较小， 因此它可以用二项分布 B （500， 0.001） 近似.又因在二项分布 B（500，0.001）中，n=500 比较大，而 p=0.001 非常小， 因此该二项分布又可用泊松分布近似，其分布参数 λ =np=0.5. ? X P? ? 0.001 ? ? P｛X ? 5｝? 500 5 0.5 m ? ? e ?0.5 ? 0.999986 m ?0 m!61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有 0.8 个疵点，若 规定疵点数不超过 1 个为一等品，价值 10 元；疵点数大于 1 不多于 4 为二 等品，价值 8 元；4 个以上者为废品，求： （1）产品的废品率； （2）产品价值的平均值? 解 设 X 为一件产品表面上的疵点数目， ? 1 ? P｛X ? 3 ｝ （1） P｛X＞4｝? 1 ? ? P｛X ? m｝ ? 0.0014m ?0 3（2）设一件产品的产值为 Y 元，它可以取值为 0，8，10.EY ? 0 ? P｛Y ? 0｝ ? 8 ? P｛Y ? 8｝ ? 10 ? P｛Y ? 10 ｝ ? 8P｛ 1＜X ? 4｝ ? 10P｛X ? 1 ｝ ? 8 ? 0.1898? 10 ? 0.8088 ? 9.61(元)62．设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布，经统计发现在某 本书上，有一个印刷错误的页数与有 2 个印刷错误的页数相同，求任意检验 4 页，每页上都没有印刷错误的概率. 解 设一页书上印刷错误为 X ， 4 页中没有印刷错误的页数为 Y ，依题意，P｛X ? 1 ｝ ? P｛X ? 2｝即?e ?? ??22!e ??解得 λ =2，即 X 服从 λ =2 的泊松分布.p ? P｛X ? 0｝ ? e ?2显然 Y～B (4, e ?2 )P｛Y ? 4｝ ? p 4 ? e ?863．每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布，若已知一个粮仓内，有一只老鼠的概 率为有两只老鼠概率的两倍，求粮仓内无鼠的概率. 解 设 X 为粮仓内老鼠数目，依题意P｛X ? 1 ｝ ? 2P｛X ? 2｝?e ?? ? 2 ??22!e ??解得 λ =1.P｛X ? 0｝ ? e ?164．上题中条件不变，求 10 个粮仓中有老鼠的粮仓不超过两个的概率. 解 接上题，设 10 个粮仓中有老鼠的粮仓数目为 Y，则 Y～B（10，p） ，其中P? ｛X＞0｝ ? 1 ? P｛X ? 0｝ ? 1 ? e ?1 , q ? e ?1 P｛Y ? 2｝ ? P｛Y ? 0｝ ? P｛Y ? 1 ｝ ? P｛Y ? 2｝? e ?8 (36e ?2 ? 80e ?1 ? 45) 2665．设随机变量 X 服从 ?2, 3? 上的均匀分布，计算 E(2X)，D（2X） ， D(2 X ) 2 . 解1 76 , EX 2 ? DX ? ( EX ) 2 ? 12 12 1 E(2X)=5，D(2X)=4DX= ， 3 D(2 X ) 2 ? D(4 X 2 ) ? 16DX 2 ? 16 EX 4 ? ( EX 2 ) 2 211 3 EX 4 ? ? 2 x 4 dx ? 5 211
DX 2 ? EX 4 ? ( EX 2 ) 2 ? ? ? 5 144 720 1504 D (2 X ) 2 ? 16DX 2 ? 45EX=2.5，DX=??66．随机变量 X 服从标准正态分布，求概率 P . ｛X ? 3 ｝ ,P ｛2.35 ? X ? 5 ｝ ,P ｛X ? 1 ｝ ,P ｛X ? ?7｝ 解 P ｛X ? 3 ｝ ? Φ (3) ? 0.9987P ｛ 2.35 ? X ? 5 ｝ ? Φ (5) ? Φ (2.35) ? 0.0094P ｛X ? 1 ｝ ? Φ (1) ? 0.8413P ｛X ? ?7 ｝ ? 1 ? Φ (7) ? 067．随机变量 X 服从标准正态分布，确定下列各概率等式中的 a 的数值： ? 0.9; ； （1） P｛X ? a｝ （2） P? X ? a?? 0.9; （3） P?X ? a? ? 0.97725; （4） P? X ? a?? 0.1; 解 （1） P?X ? a? ? Φ (a) ? 0.9 ，查表得 a=1.28 （2 ） P ?X ? a? ? 2Φ (a ) ? 1 ? 0.9 ，得Φ （a）=0.95，查表得 a=1.64 （3） P?X ? a? ? Φ (a) ? 0.97725 ，查表得 a =2（4） P? X ? a?? 2?(a) ?1 ? 0.1，得 Φ (a)= 0.55， 查表得 a = 0.13 68. 随机变量 X 服从正态分布 N (5,2 2 ) ，求概率 P?5＜X＜8?, P?X ? 0? , P? X ? 5＜2?. 解?8?5? ?5?5? P?5＜X＜8? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? ? 2 ?? Φ (1.5) ? Φ (0) ? 0.4332P ?X ? 0? ? ? ?? 2.5? ? 1 ? ? ?2.5? ? 0.0062? X ?5 ? P? X ? 5＜2? ? P ? ? 1? ? 2?(1) ? 1 ? 2 ?=0.6826 69．随机变量 X 服从正态分布 N (? ,? 2 ) ，若 P?X＜9? ? 0.975 , P?X＜2? ? 0.062 ，计算 μ 和 σ 的值，求 P?X＞6? . ?9?? ? P?X＜9? ? ? ? 解 ? ? 0.975? ? ? ?2?? ? ? ? ?2? P?X＜2? ? ?? ? ? 0.062, ?? ? ? 0.938 ? ? ? ? ? ? 27查表得：?9 ? ? ? 1.96 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 1.54 ? ? ?解以 μ 和 σ 为未知量的方程组，得 μ =5.08，σ =2. P?X＞6? ? 1 ? P?X ? 6? ? 1 ? ?(0.46) =0.3228 70．已知随机变量 X～N (10,22 ) ， P?X ? 10＜c? ? 0.95 ， P?X＜d? ? 0.023，确定 c 和 d 的值.? X ? 10 c ? P? X ? 10＜c? ? P? ＜ ? 2? ? 2 c? = 2? ? ? ? ? 1 ? 0.95 ?2? ?c? ? ? ? ? 0.975， ?2? 查表得 c ? 1.96, c ? 3.92 2 ? d ? 10 ? P?X＜d? ? ? ? ? ? 0.023 ? 2 ?解? 10 ? d ? ? ? 0.977 ? 2 ? 10 ? d ? 查表得 ? ? ? ? 2, d ? 6 ? 2 ???71．假定随机变量 X 服从正态分布 N (? ,? 2 ) ，确定下列各概 率等式中 a 的数值： （1） P?? ? a?＜X＜? ? a? ? ? 0.9; （2） P?? ? a?＜X＜? ? a? ? ? 0.95; （3） P?? ? a?＜X＜? ? a? ? ? 0.99; 解? X ?? ? P?? ? a?＜X＜? ? a? ? ? P? ＜a ? ? ? ?=2Φ (a) -1 （1）2Φ (a)-1=0.9，Φ (a)=0.95，a=1.64； （2）2Φ (a)-1=0.95，Φ (a)=0.975,?a=1.96； （3）2Φ (a)-1=0.99，Φ (a)=0.995，a=2.58. 72．某科统考的考试成绩 X 近似服从正态分布 N (70, 102 ) , 第 100 名的成绩为 60 分，问第 20 名的成绩约为多少分? 60 ? 70 ? 解 P?X ? 60? ? 1 ? P?X ? 60? ? 1 ? ? ? ? ?? 10 ?= ? (1) = 0.8413 .设参加统考人数为 n，则 100 =0.8413，n= 100 ? 19n0.8413设第 20 名成绩约为 a 分，则? 2820 ? 0.1681 n P?X ? a? ? 0.8319 P?X ? a? ?? a ? 70 ? ? ? 0.8319 ? 10 ? 查表得 a ? 70 ? 0.96 10??a=79.6因此第 20 名的成绩约为 80 分. 29习 题 三1．袋内有四张卡片，分别写有数字 1，2，3，4，每次从中任取一张，不放回地 抽取两次，记 X、Y 分别表示两次取到的卡片上数字的最小值与最大值，求 （X，Y）的概率分布. 解 （X，Y）可以取值为（1，2） ， （1，3） ，?，(3，4).事件 ?X ? 1,Y ? 2? 是两个 互不相容事件“第一次取到数字 1 且第二次取到数字 2”与“第一次取到数字 2 且第二次取到数字 1”的和，其概率为 1/6，类似地可以计算出其他 pij 的值（见 下表）.?YX2 1 2 31 631 6 1 641 6 1 6 1 63 6p i.3 6 2 6 1 60 01 602 6p.j2．求上题中随机变量 X 与 Y 的边缘分布.并计算期望 EX，EY 与方差 DX，DY. 解 在（X，Y）的联合分布表中，将每一行对各列求和，得到 X 的边缘分布 pi. （i=1，2，3）.类似地，可以得到关于 Y 的边缘分布，其具体结果见上题联合 分布表. EX= 1? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 1 ? 5 EX 2 ? 106 6 6 3 3 1 2 3 10 35 EY ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? EY 2 ? 6 6 6 3 3 5 5 DX ? EX 2 ? ( EX )2 ? DY ? 9 93．一个袋内有 10 个球，其中有红球 4 个，白球 5 个，黑球 1 个，不放回地抽 取两次，每次一个，记 X 表示两次中取到的红球数目，Y 表示取到的白球数 目，求随机向量（X，Y）的概率分布及 X、Y 的边缘概率分布. 解 显然（X，Y）的全部取值为（0，1） ， （0，2） ，?（2，0）.P?X ? 0, Y ? 1? ?1 C5 5 ? 2 C10 45类似地可以计算出其他 pij 的值（见下表） ：X Y0 04 4515 45 20 45210 450 10 3026 45004．上题中试验条件不变，若记?0 第i次取到红球 ? X i ? ?1 第i次取到白球 ?2 第i次取到黑球 ?解 式i=1，2，求随机向量 ( X 1 , X 2 ) 的概率分布，计算两次取到的球颜色相同的概率.P?X ? i,Y ? j? ? P?X ? j?P? Y ? i X ? i?易见 ( X 1 , X 2 ) 的全部可能取值为（0，0） ， （0，1） ，?（2，1）. 应用乘法公不难计算出 pij 的全部值（见下表） ：X20120 90 20 90 5 9016 4524 90 5 90X10 1 212 90 20 90 4 900P?X 1 ? X 2 ? ? P?X 1 ? 0, X 2 ? 0?? P?X 1 ? 1, X 2 ? 1? ?5．第 3 题中袋内球的组成及抽取次数不变，但是改为有放回抽取，求第 4 题中 定义的随机向量 ?X 1 , X 2 ? 的概率分布. 解 ?X 1 , X 2 ? 的取值为(0，0)，(0，1)，? (2，2)． 且 P?X 1 ? i, X 2 ? j? ? P?x ? i?P?x ? j?，因此， ?X 1 , X 2 ? 的联合概率分布为下表所示：X201 0.20 0.25 0.052 0.04 0.05 0.01X10 1 2 0.16 0.20 0.046．将 3 个球随机地放入四个盒子，记 X i 表示第 i 个盒子内球的个数，i=1，2， 求随机变量 X 1 与 X 2 的联合概率分布及关于 X 2 的边缘分布. 解 ?X 1 , X 2 ? 取值为（0，0） ， （0，1） ，?（3，0）P?X 1 ? 0, X 2 ? 0? ? 23 8 ? 43 64 311 C3 ? 2 2 12 ? 3 4 64 2 1 C C 6 P?X 1 ? 0, X 2 ? 2? ? P?X 1 ? 2, X 2 ? 0? ? 3 3 2 ? 4 64 1 1 1 C C 2 C 2 12 P?X 1 ? 1, X 2 ? 1? ? 3 3 ? 4 64 1 C3 3 P?X 1 ? 1, X 2 ? 2? ? P?X 1 ? 2, X 2 ? 1? ? 3 ? 4 64 1 1 P?X 1 ? 0, X 2 ? 3? ? P?X 1 ? 3, X 2 ? 0? ? 3 ? 4 64P?X 1 ? 0, X 2 ? 1? ? P?X 1 ? 1, X 2 ? 0? ?列成联合分布表如下，表中最下一列为 X2 的边缘分布 P?X 2 ? j? ? p.j，j=0，1，2， 3.X208 64 12 64 6 64 1 64 27 64112 64 12 64 3 6426 64 3 6431 64X10 1 2 3 0 0 01 640 09 64027 64p.j7．将 3 个球随机地放入四个盒子，设 X 表示第一个盒子内球的个数，Y 表示有 球的盒子个数，求随机向量（X，Y）的概率分布. 解 （X，Y）的取值为（0，1） ， （0，2） ， （0，3） ， （1，2） ， （1，3） ， （2，2） ．P?X ? 0, Y ? 1? ?1 C3 3 ? 3 4 64类似地可以依次计算出 pij 的值（见下表） ：Y X0 1 2 313 64218 64 9 64 9 6436 64 18 640 01 640 008.已知随机向量（X，Y）只取（0，0） ， （-1，1） ， （-1，2）及（2，0）四对值，相 32应概率依次为 1 ， 1 ， 1 和 5 .列出（X， Y）的概率分布表，求 Y 的边缘分布及12 6312X+Y 的概率分布.解Y X-1 0 20 01 12 5 12 1 211 621 30 01 60 01 3p.j（X，Y）的联合概率分布如上表所示，表中最下一行为 Y 的边缘分布，X+Y 的分 布见下表：X+Y P01 411 325 129．袋中有 10 张卡片，其中有 m 张卡片上写有数字 m，m=1，2，3，4，从中不重 复地抽取两次，每次一张，记 Xi 表示第 i 次取到的卡片上数字，i=1，2. 求 ?X 1 , X 2 ? 的概率分布以及 X1+X2，X1X2 的概率分布. 解 ?X 1 , X 2 ? 可以取（1，2） ， （1，3） ，?（4，4） ，其相应概率见下表：X21 02 90 3 90 4 9022 90 2 90 6 90 8 9033 90 6 90 6 90 12 9044 90 8 90 12 90 12 90X11 2 3 4X1+X2 可以取 3，4，?，8 各值，X1X2 可以取 2，3，4，6，8，9，12，16 各值，其相应概率见以下二表：X1 ? X 2345678 33P2 454 45X1 X 210 4511 4512 456 4522 4533 4545 4566 4588 4593 4512 1612 45 6 45PA (1 ? x 2 )(1 ? y 2 )10．随机向量（X，Y）～f（x, y） ，f ( x, y ) ?x, y＞0A dxdy (1 ? x 2 )(1 ? y 2 )确定系数 A 的值，求联合分布函数 F(x, y). 解?? ? ?? ? f ( x, y )dxdy ? ?0 ?0?? ?? ?? ???π2 A ?1 4 4 A? 2 π?4 ? arctanx arctany, x, y＞0 F ( x, y) ? ? π 2 ? ， 其他. ?011．随机向量（X，Y）服从区域 D 上的均匀分布，求分布密度 f（x,y）, 其中 D 为下面给定的区域： （1） D ? ?( x, y), ? 1 ? x ? 1, 1 ? y ? 2? （2） D ? ?( x, y), x? ?24?（3） D ? ?( x, y), x 2 ? y 2 ? 2 y? 解?1 , （1） S D ? 2, f ( x, y) ? ? ?2 ? ?0, ( x, y) ? D, ( x, y) ? D;? y2 ? 1? 9 ??1 , ( x, y) ? D, （2） S D ? 6π, f ( x, y) ? ? ? 6π ? ?0, ( x, y) ? D; ?1 , ( x, y) ? D, （3） S D ? π, f ( x, y) ? ? ?π ? ?0, ( x, y) ? D.12．求上题中关于 X 及关于 Y 的边缘密度. 解 （1）?1 ? , ? 1 ? x ? 1, f X ( x) ? ? 2 ? ?0, 其他;?1, 1 ? y ? 2, f Y ( y) ? ? ?0, 其他;（2） f X ( x) ? 3?x2 4 x2 ? 1? 4 1?1 1 dy ? 4 ? x 2 , x ? 2, 6π 2π 34当｜x｜＞2 时，fx（x）=0，类似地?2 9 ? y 2， ? fY ( y ) ? ? 9π ? 0， ? y ?3 y ＞32 1 ? x2 π（3）当｜x｜≤1 时，f X ( x) ? ?1? 1? x 2211? 1? x?dy ?当｜x｜＞1 时，fX（x）=0，类似地，?2 2 ? 2y ? y , f Y ( y) ? ? π ? 0， ? 0 ? y ? 2， 其他；13．计算第 11 题（3）中的 EX 及 EY. 解EX ? ? xf X ( x)dx ? ??? ??2x 1 ? x 2 dx ? 0 ?1 π1EY ? ?0214．分别判断第 3、7、8 各题中的随机变量 X 与 Y 是否独立? 解 在第 3 题中， P? x ? 0, y ? 0 ? ? 0 而 P?X ? 0?P? Y ? 0? ? 0 ,因此 X 与 Y 不独立； 同样方法可以判断出第 7 与第 8 题中 的 X 与 Y 均不独立. 15．判断第 10，11 各题中的随机变量 X 与 Y 是否独立? 解 在第 10 题中， FX ( x) ? P?X ? x? ? ? ?π? ? ?2 arctan x, x＞0, 0, x ? 0.2y 2 y ? y 2 dy ? 1 π?2 ? arctan y, y＞0, FY ( y) ? ? π ? 0, y ? 0. ?由于对任何 x、y 均有 F(x, y)=FX(x)FY(y)，因此随机变量 X 与 Y 独立； 在第 11 题（1）中的 f（x, y）=fX (x) fY (y)，因此 X 与 Y 是独立的，而在 第 11 题的（2）与（3）中，不能对于所有 x,y 均满足等式 f（x,y）= fX (x) fY (y) ,因此（2）与（3）中的 X，Y 是不独立的. X2 ， 16． 设随机变量 X1 与 X2 独立， 其概率分布由下面两表确定， 令 X ? X 1 ? X 2 ,Y ? X 1? 求随机向量（X1，X2）的概率分布及 X、Y 的概率分布.X1 P解0 0.61 0.4X2 P1 0.52 0.33 0.2由于 X1 与 X2 独立，因此有 P?X ? i ,Y ? j? ? P?X ? i?P? Y ? j? 具体计算结果列于下表X2123 35X10 1 0.30 0.20 0.18 0.12 0.12 0.08X 的取值为 1，2，3，4.P?X ? 1? ? P?X 1 ? X 2 ? 1? ? P?X 1 ? 0, X 2 ? 1?=0.30 类似地，可以计算出 P? X ? i ?,i ? 2, 3, 4 列于下表XP1 0.302 0.383 0.244 0.08随机变量 Y 可以取 0，1，2，3 各值. P? Y ? 0? ? P?X 1 X 2 ? 0? ? P?X 1 ? 0? ? 0.60 P? Y ? 1? ? P?X 1 X 2 ? 1? ? P?X 1 ? 1, X 2 ? 1? ? 0.20 P? Y ? 2? ? P?X 1 X 2 ? 2? ? P?X 1 ? 1, X 2 ? 2? ? 0.12 P? Y ? 3? ? P?X 1 X 2 ? 3? ? P?X 1 ? 1, X 2 ? 3? ? 0.08 17．有一种两版面的报纸，每版印刷错误数服从参数为 1 的泊松分布，假定各 版印刷错误相互独立，求一份这种报纸上印刷错误总数 X 的概率分布. 解 设 X1，X2 分别表示第 1、第 2 版面上的印刷错误，X= X1+X2，X 可以取一切非负整数. P?X ? n? ? P?X 1 ? X 2 ? n? n ? ? P?X 1 ? k , X 2 ? n ? k ?k ?0 n? ? P?X 1 ? k ?P?X 2 ? n ? k ?k ?0??1 ?1 1 e ?2 n n! e e ?1 ? ? k ? 0 k! ?n ? k ?! n! k ?0 k!?n ? k ?!n?18．设随机变量 X1 与 X2 独立，且 Xi～B(2,0.8) ,i=1,2 令 X=X1+X2，Y=X1?X2， 求 X、Y 的概率分布. 解 X 可以取 0，1，2，3，4 各值 k P?X ? k? ? P?X 1 ? X 2 ? k ? ? ? P?X 1 ? m, X 2 ? k ? m?m ?0e ?2 n k 2n ?2 ? Cn ? e n! k ?0 n!?n ? 0,1,2,??? ? P?X 1 ? m?P?X 2 ? k ? m?k m ?0 k m k ?m ? ? C2 0.8m ? 0.2 2?m ? C2 0.8k ?m ? 0.22?k ?mm k ?m ? ? C2 C2 ? 0.8k ? 0.2 4?km ?0 k?k ? 0,1,2,3,4? Y 可以取 0，1，2，4 各值k ? C4 0.8k ? 0.2 4?km ?0 36P?Y ? 0? ? P?? X 1 ? 0? ? ? X 2 ? 0??? P?X 1 ? 0? ? P?X 2 ? 0? ? P?X 1 ? 0?P?X 2 ? 0?? 0.0784 P?Y ? 1? ? P?X 1 ? 1?P?X 2 ? 1? ? 0.1024P?Y ? 4? ? P?X 1 ? 2?P?X 2 ? 2? ? 0.4096 ? 0.4096P?Y ? 2? ? 1 ? P?y ? 0? ? P?y ? 1? ? P?y ? 4?19．求上题随机向量（X,Y）的协差矩阵 V. 解 由上题知，X～B（4，0.8） ，EX=3.2，DX=0.64 EY=2.56，DY=1.7408 2 EXY ? E ? X 1 ? X 2 ?X 1 X 2 ? EX 12 X 2 ? EX 1 X 2Cov? X , Y ? ? EXY ? EXEY ? 1.0242 ? EX 12 EX 2 ? EX 1 EX 2 ? 2 EX 12 EX 1 ? 9.216?0.64 1.024 ? V ?? ? ?1.024 1.7408?20．求第 6 题中随机向量（X1，X2）的协差矩阵 V. 解 EX1 ? EX 2 ? 3 , EX12 ? EX 22 ? 9 , DX1 ? DX 2 ? 94 82163 3 ?3? 3 ,Cov? X 1 , X 2 ? ? ? ? ? ? ? 8 8 ?4? 16 3? ?9 ?16 ? 16 ? V ?? ? ?? 3 9 ? ? ? 16 16 ? ? EX 1 X 2 ?21．求第 7、8 各题中随机向量（X，Y）的均值向量及协差矩阵. 解 在第 7 题中， EX ? 3 , EX 2 ? 9 , DX ? 94 8 37 91 87 2 EY ? , EY ? , DY ? 16 16 256 111 EXY ? , Cov? X , Y ? ? EXY ? EXEY ? 0 64 ?9 ? ?3 ? 0 ? ? ? ? EX ? ? 16 4 μ ? ? ? ? ? ? ,V ? ? ? 37 EY 87 ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 16 ? ? 256? ? ? ? 1 13 37 EX ? , EX 2 ? , DX ? 3 6 18 5 3 29 2 EY ? , EY ? , DY ? 6 2 36 5 10 EXY ? ? , Cov? X , Y ? ? ? 6 9 1 37 10 ? ? ? ? ? ? ?3 ? ? 18 9 μ?? ? V ?? ? 5 10 29 ? ? ?? ? ?6? ? ? 9 ? 36 ? ? ? 16在第 8 题中 3722.计算第 11 题（3）中随机向量（X，Y）的协差矩阵 V. 解2 1 EX ? ??1 x ? 1 ? x 2 dx ? 0 π 2 2 1 1 2x 1 4x DX ? EX 2 ? ??1 1 ? x 2 dx ? ?0 1 ? x 2 dx ? π π 4 22y EY ? ?0 2 y ? y 2 dy ? 1 π 2 5 22y EY 2 ? ?0 2 y ? y 2 dy ? π 4 1 2 DY ? EY 2 ? ?EY ? ? 4 ? ? ?? 2 2 y ? y xy EXY ? ??? ??? xyf ?x, y ?dxdy ? ?0 dy ?? 2 y? y dx ? 0 π Cov? X , Y ? ? EXY ? EXEY ? 02 2?1 ? V ? ?4 ?0 ? ?? 0? ? 1? ? 4?23．设随机向量（X，Y）～f（x,y）? Axy 2 0 ? x ? 2,0 ? y ? 1 f ?x , y ? ? ? 其他 ?0 其他求系数 A，X 的边缘概率密度 f1(x)，并计算（X，Y）在以（0，0） ， （0，2） ， （2，1）为顶点的三角形内取值的概率. 2A ?? ? ? 1 2 2 解 ??? ??? f ?x, y ?dxdy ? ?0 dy ?0 Axy dx ?3 2 A ? 1, 3 A ? 1.5当 0≤x≤2 时， 1 f X ?x? ? ?01.5xy 2 dy ? 0.5x 当 x＜0 或 x＞2 时，fX(x)=0 记所求概率为 p，则有p ? ?0 dy ?0 1.5xy 2 dx ? 0.61 2y24．计算上题中随机向量（X，Y）的均值向量及协差矩阵. 解 EX ? ?020.5x 2 dx ? 43EX ? ? 0.5 x dx ? 2, DX ?2 2 0 32 9Cov? X , Y ? ? 03 4 3 3 1 2 EY 2 ? ?0 dy ?0 1.5 xy 4 dx ? , DY ? 5 80 1 2 2 3 EXY ? ?0 dy ?0 1.5 x y dx ? 1 EX ? ?0 dy ?0 1.5 xy 2 dx ?1 2 38?4? ?3? μ?? ? ?3? ?4? ? ??2 ?9 V ?? ?0 ? ?? 0 ? ? 3? ? 80 ?25．随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从［0，2］上的均匀分布，Y 服从 λ =2 的指 数分布，写出随机向量（X，Y）的概率密度，计算概率 P{X≤Y}. 解?1 ? , 0 ? x ? 2, f X ?x ? ? ? 2 ?0, 其他； ? ?2e ?2 y , y＞0 fY ? y ? ? ? y?0 ?0,由于 X 与 Y 独立，因此有P?X ? Y ? ? ?? f ?x, y ? dxdyx? y?e ?2 y ,0 ? x ? 2, y＞0, f ?x、y ? ? f X ?x ? fY ? y ? ? ? ?0, 其他.2 ?? 21 ? ?0 dx ?x e ?2 y dy ? ?0 e ?2 x dx 2 1 ? 1 ? e ?4 4??26．已知随机向量（X，Y）的协差矩阵 V 为?4 V ?? ?6 ? 6? ? 9? ?计算随机向量（X+Y，X-Y）的协差矩阵. 解 D ( X+Y ) =DX+2Cov ( X，Y ) +DY = 25 D ( X-Y ) =DX-2Cov ( X，Y ) +DY = 1 Cov ( X+Y，X-Y ) = DX-DY = -5?25 V ?? ?? 5 ? 5? 1? ?27．设随机变量 Y 是 X 的线性函数，Y=aX+b， （a≠0） ，且随机变量 X 存在期望 2 EX=μ ，方差 DX=σ ，求随机向量（X，Y）的协差矩阵. 解 DY ? a 2 DX ? a 2σ 2 Cov? X , Y ? ? Cov? X , aX ? b ? ? aDX ? aσ 2?σ 2 aσ 2 ? V ? ? 2 2 2? ? ?aσ a σ ? ?28．一个靶面由五个同心圆组成，半径分别为 5，10，15，20，25（单位：厘米） ， 假定射击时弹着点的位置为（X，Y） ，且（X，Y）服从二维正态分布，其密 度为? 1 f ? x, y ? ? e 200π x2 ? y2 200现规定弹着点落入最小的圆域得 5 分，落入其他各圆环（从小到大）的得分 依次为 4 分、3 分、2 分及 1 分，求 1 次射击的平均得分. 解 设随机变量 W 为一次射击的得分，则 W 可以取 0，1，2，3，4，5 各值. 39P? W ? 0? ?x 2 ? y 2＞625?? f ?x, y ?dxdy 令x ? r cos? , y ? r sin?? ?0 d? ?252???r ? 200 e dr ? 0.πr2同样方法可以计算出 P? W ? 1? ? 0.0914, P? W ? 2? ? 0.1893, P? W ? 3? ? 0.2819, P? W ? 4? ? 0.2760, P? W ? 5? ? 0.1175. 5 EW ? ? iP? W ? i? ? 3.0072i ?029．上题中设 Z 为弹着点到靶心的距离，求 Z 的概率密度 fZ（z）及期望 EZ. 解 依题意随机变量 Z 是 X 与 Y 的函数，且Z ? X 2 ?Y 2当 z＞0 时， FZ ?z ? ? P?Z ? z? ? 令 x=rcosθ ，y=rsinθ? r ? 200 FZ ?z ? ? ? d? ? e dr ? 1 ? e 200π ? z ? z ? e 200 , z＞0 f Z ?z ? ? ?100 ? 0, z?0 ? 2? 0 z 02x2 ? y2 ? z 2??1 ? e 200πx2 ? y 2 200dxdyr2z2 200z2 ? EZ ? ? zf Z ?z ? ? ? e 100?? ?? ?? 0z2 200dz ? 5 2π30．随机向量（X，Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别是? 0? μ?? ? 0? ? ? ? ?16 V ?? ?12 ? 12 ? ? 25? ?求出密度函数 f ( x, y) 的表示式 解 ? ? Cov?x , y ? ? 0.6? 1? 2将 μ 1= μ 2 =0， ? 12 ? 16,? 22 ? 25 ，ρ =0.6 代入二维正态分布的概率密度公式，得? ? 16 ? 50 xy ? 25 ? 1 ? 32? ? f ? x, y ? ? e ? 32π 25? x 2 3 y2 ?31．设随机向量（X，Y）～f（x,y） ，f ? x, y ? ?2x 1 ?? e ? 2π ?2? 3 x ? y ?1??1 ? y ?1?2 ? ? 2 ?求（X，Y）的均值向量与协差矩阵. 解 易见（X，Y）服从二维正态分布 μ 1=0，μ 2=1 且 σ 1，σ 2，ρ 满足下列等 式： 40? 1 ?2 ? 2 2 ? 2(1 ? ? ) ? 1 ? ? 2? ? ? 3 ? 2 ? 2(1 ? ? ) ? 1? 2 ? 1 1 ? ? 2 2 ? 2 ( 1 ? ? ) ? 2 2 ?解上面方程组，得 ? 1 ? 1,? 2 ? 2, ? ? ?Cov? X , Y ? ? ?? 1? 2 ? ? ?0? μ?? ? ?1 ? 3 ? 1? 2 ? ? 3 2 ?1 ? 3? V ?? ? ? 4? ?? 3 ?2 23 232．随机向量（X，Y）～f（x,y） ，确定 A 的值，并求 X 与 Y 的相关矩阵.其中 ??? x?5 ? ?8? x?5 ?? y ?3??25? y ?3? ? f ?x, y ? ? Ae ?? 解法一： ???? f ?x, y ?dxdy ? ???? A??? ??? e ? ?? x ?5 ? ?8? x ?5 ?? y ?3 ?? 25? y ?3 ? ?dxdy?? ?? ??2 2? A??? dy ??? e ??? x ?5 ?? 4 ? y ?3 ?? e ?9 ? y ?3 ? dx??2 2? A π ??? e ?9 ? y ?3 ? dy ???2Aπ ?1 3A?3 π2 2?? 3 f Y ? y ? ? ??? e ? ?? x ?5 ? ?8? x ?5 ?? y ?3?? 25? y ?3? ?dx π 3 ?9 ? y ?3 ? ? e π 1 2 EY ? ? 2 ? 3 DY ? ? 2 ? 182类似地f X ?x ? ? ??? f ?x, y ?dy ???3 5 πe?9 ? x ?5 ?2 2525 28 ?? ?? Cov? X , Y ? ? ??? ??? ?x ? 5?? y ? 3? f ?x, y ?dxdy EX ? ?1 ? ?5, DX ? ? 12 ? ? 3?? ?s ?-? ?-? ste ?? ??2?8 st ? 25t 2?dsdt? XY ?2 9 Cov? X , Y ? ?? DX DY??4 5计算表明 X 与 Y 的相关系数矩阵 R 为4? ? ?1 ? 5 ? R?? ? ?? 4 1? ? ? ? 5 ?解法二：与 31 题解法相同，略. 33．随机向量（X，Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为 41??1 ? μ?? ? ?? 2 ?? ? 12 ?? 1? 2 ? V ?? ? 2 ? ?? 1? 2 ? 2 ? ? ?求随机向量（9X+Y，X-Y）的均值向量与协差矩阵. 解 E（9X+Y）=9EX+EY=9μ 1+μ 2 E（X-Y）=EX-EY=μ 1-μ 2 D（9X+Y）=81DX+18Cov ( X，Y ) +DY2 ? 81 ? 12 ? 18?? 1? 2 ? ? 2D（X-Y）=DX-2Cov（X，Y）+DY2 ? ? 12 ? 2?? 1? 2 ? ? 2Cov（9X+Y，X-Y）=9DX-8Cov（X，Y）-DY? E ?9 X ? Y ?? ?9?1 ? ?2 ? μ ?? ? ??? ? E ? X ? Y ? ? ??1 ? ?2 ?2 ?81? 2 ? 18?? 1? 2 ? ? 2 V ? ? 21 2 ?9? 1 ? 18?? 1? 2 ? ? 2 ?2 9? 12 ? 8?? 1? 2 ? ? 2*34．随机变量 X～N（0，1） ，Xi=Xi，i=1，2，3.求三维随机向量（X1，X2，X3） 的均值向量与协差矩阵. 解 EX1 ? EX ? 0,EX 2 ? EX 2 ? DX ? ?EX ?2 ? 1EX 3 ? EX ? ? x3 ?? ?? 32 ? 9? 12 ? 18?? 1? 2 ? ? 2 ? 2 2 ? 1 ? 2?? 1? 2 ? ? 2 ? ?1 2πe?x2 2dx ? 0DX 1 ? DX ? 1EX 4 ? ?????x4 2πx6e?x2 2dx ? 3DX 2 ? DX 2 ? EX 4 ? EX 2 EX 6 ? ??????? ?2?22πex2 ? 2dx ? 15DX 3 ? DX 3 ? EX 6 ? EX 32 3?2? 15 Cov? X 2 , X 3 ? ? 00 3 ? 2 0? ? 0 15? ?EX 1 X 2 ? EXX ? EX ? 0, EX 2 X 3 ? EX ? 0,5Cov? X 1 X 2 ? ? 0EX 1 X 3 ? EX ? 34Cov? X 1 X 3 ? ? 3?1 V ?? ?0 ? ?3? EX1 ? ?0? ? ? ? μ ? ? EX 2 ? ? ? ?1 ? ? ?0 ? ? ? EX 3 ? ? ?*35．随机变量 X1，X2，?，Xn 相互独立，期望和方差都存在，求证 X1，X2，?， Xn 的相关矩阵为 n 阶单位矩阵. 证 由于 X1，X2，?，Xn 相互独立，因此 EXiXj=EXiEXj 42Cov?X j , X j ? ? EX i X j ? EX i EX j ? 0? X X ? 0, i ? j, i ? 1,2,?, ni j? X Xi ? 1, i ? 1,2,?, ni36．随机变量序列 X1，X2，?，Xn，?相互独立同正态分布 N ?? ,? 2 ? ，当 n 充分大 n 时，可否认为 ? X i ，近似服从正态分布 N ??,? 2 ? ，为什么? 解 可以，事实上，由于 X1，?，Xn 相互独立，同正态分布 N ??,? 2 ? ，不论 n 是否 n 充分大， ? X i 都一定服从正态分布 N ?n? ,n? 2 ? ，不仅仅是近似服从正态分布.i ?1 i ?1?? X X ? R ? ?? ?? ? XX1 n1?X X12?1?X Xn2? ? X Xn ? ?1 0 ? 0 ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ? ?X X ? ? ?0 0 ? 1 ?1 n n37 ． 设 随 机 变 量 序 列 X1 ， X2 ， ? ， Xn ， ? 相 互 独 立 同 分 布 ， 其 概 率 密 度 1 f ? xi ? ? , i ? 1,2,?， 问它们是否满足中心极限定理，为什么? 2π 1 ? xi??解 因此不满足.由于 Xi 的期望不存在.这是由于积分?????x dx ? ?? 1? x2??? x f ?x?dx ? ????对于期望不存在的随机变量序列不满足中心极限定理. 38．200 个新生儿中，求男孩数在 80 到 120 之间的概率（假定生男、生女的机 会相同）. 解 令 Xi ? ??1, 第i名新生儿为男孩 ?0, 其他200 i ?1X 表示 200 名新生儿中男孩数目，则 X ? ? X i1? X～B ? ? 200, ? , ，EX=100，DX=50 由于 n 相当大，X 近似服从正态分布 N（100， ? 2?50）P?80＜X＜120? ? P? X ? 100＜20?? X ? 100 20 ? ? P? ＜ ? ? 2??2.83? ? 1 50 50 ? ? ? 0.99539．从一大批废品率为 3％的产品中随机地抽取 1000 个，求废品数在 20 到 40 个之间的概率. 解 设 1000 个中的废品个数为 X，则 X 服从超几何分布，由于整批产品数量很 大，而抽取数目 1000 相对于一大批产品是很少的.因此 X 近似服从二项分布 B(). EX=30，DX =29.1. 由 n=1000，X 近似服从正态分布 N(30，29.1).? X ? 30 10 ? P?20＜X＜40? ? P? ＜ ? 29.1 ? ? 29.1 ? 2??1.85? ? 1 ? 0.936 4340．随机变量 X1，X2，?，X100 相互独立同分布，EX1=μ ，DX1=16，求 P? X ? ? ? 1?， 其中 X ? 解X根据中心极限定理 ? X i 近似服从正态分布 N ?100? ,402 ?,100 i ?11 100 ? Xi . 100 i ?1近似服从分布 N ?? ,0.42?? ? ? X ?? ? P X ? ? ? 1 ? P? ? 2.5? 0 . 4 ? ? ? ? ? 2??2.5? ? 1 ? 0.988??41．袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为 500 克，标准差为 10 克，一箱内装 100 袋，求一箱食盐净重超过 50250 克的概率. 解 设箱中第 i 袋食盐净重为 Xi 克，i=1，?，100.则 X1，?，X100 相互独立同 100 分布.EXi=500， DXi=100， 设一箱食盐净重为 X 克， 则 X ? ? Xi ， EX=50000， DX=10000， i ?1 由于 n=100，X 近似服从中心极限定理 ? ? 1 ? P?X ? 50250? P?X＞50250? X ? 50000 ? ? 1 ? P? ? 2.5? 100 ? ? ? 1 ? ? ?2.5? ? 0.00642．计算机有 120 个终端，每个终端在一小时内平均有 3 分钟使用打印机，假 定各终端使用打印机与否相互独立，求至少有 10 个终端同时需使用打印机 的概率. 解 依题意， 在某一时刻每个终端使用打印机的概率为 1 ,且 120 个终端同时需20使用打印机的数目1 ? X～B ? EX=6， DX=5.7， X ?120, ? ， 20 ? ?近似服从正态分布 N （6， 5.7） .?X ?6 4 ? P?X ? 10? ? 1 ? P?X＜10? ? 1 ? P ? ＜ ? 5.7 ? ? 5.7? 1 ? ??1.68? ? 0.04643．一大批种子中，良种占 20％，从中任选 5000 粒，计算其良种率与 20％之 差小于 1％的概率. 解 设 5000 粒中良种数目为 X ，则 X 近似服从二项分布 B（） ，由于 n=5000，故 X 又近似服从正态分布 N（）.? X ? ? X - 1000 ? P? ? 0.2 ＜0.01? ? P ? ＜0.01? ? 500 ? ? 5000 ? ? X ? 1000 50 ? ? P? ＜ ? ? 2??1.77? - 1 800 800 ? ? ? 0.92344．上题中在所取的 5000 粒中，若以 99％的把握断定其良种率与规定的良种率 20％误差的范围，问此时良种数所在的范围为何? 解 接上题，设 a 满足概率等式：? X ? P? ? 0.2 ? a ? ? 0.99 ? 5000 ? 44即? X ? a ? P? ? ? ? 0.99 800 800 ? ? ? 5000a ? 2? ? ? ? 1 ? 0.99 ? 800 ?
? 2.58 a? 800 0? 5000a ? X ? aＸ在 927 与 1073 之间.45．第一章表 1－2 中曾记录了皮尔孙掷硬币 12000 次正面出现 6019 次，若我 们现在重复他的试验，求正面出现的频率与其概率之差的绝对值，不大于 当年皮尔孙试验所发生的偏差的概率. 解 设随机变量 X 表示掷硬币 12000 次中正面出现的次数， 则 X～B （12000， 0.5） ， 且 X 近似服从正态分布 N（）.? X 1 19 ? P? ? ? ? ? 00? ? X - 6000 19 ? ? P? ? ? 3000 ? ? 3000 ? 2??0.35? ? 1 ? 0.27446．电话交换台有 10 条外线，若干台分机，在一段时间内，每台分机使用外线 的概率为 10％，问最多可装多少台分机才能以 90％的把握使外线畅通. 解 设最多可装 n 台分机， 记 X 为 n 台分机中同时使用外线的数目， 则 X～B （n， 0.1） ，一般 n 不会太小，可以认为 X 近似服从正态分布 N(0.1n，0.09n).n 应满 足下面概率等式： P?X ? 10? ? 0.90 即? X ? 0.1n 10 ? 0.1n ? P?X ? 10? ? P ? ? ? 0.3 n ? ? 0.3 n ? 10 ? 0.1n ? ? ??? ? ? ? 0.90 ? 0.3 n ?10 ? 0.1n 0 .3 n ? 1.28解以 n 为未知量的方程：得到 n≈68. 47．某车间有同型号机床 200 部，每部开动的概率为 0.7，假定各机床开关是相 互独立的，开动时每部要消耗电能 15 个单位，问电厂最少要供应该车间多 少单位电能，才能以 95％的概率保证不致因供电不足而影响生产? 解 设随机变量 X 表示 200 部机床中同时开动的机床数目， 则 X～B （200， 0.7） ， 且 X 近似服从正态分布 N（140，42） ，令 m 满足下列概率等式： P?X ? m? ? 0.95 即 45? X ? 140 m ? 140? P?X ? m? ? P ? ? ? 42 ? ? 42 ? m ? 140 ? ? ??? ? ? 42 ? ??? ?? m ? 140 ? ? ? ? 0.95 42 ? ? m ? 140 ? 1.64, m ? 151. 42计算得知，电厂最少要供应该车间 2265 单位电能. 48．计算机在进行加法时，每个加数取整数（按四舍五入取最为接近它的整数） ， 设所有加数的取整误差是相互独立的，且它们都服从［-0.5，0.5］上的均 匀分布. （1）若将 300 个数相加，求误差总和的绝对值超过 15 的概率； （2）至多几个数加在一起，其误差总和的绝对值小于 10 的概率为 0.9. 解 设 Xi 为第 i 个加数的取整误差，i=1，2，?，300.X 表示 300 个加数的误差 300 1 总和，则有 X1，?，X300 相互独立，EXi=0， DX i ? ，X= ? X i ，EX=0，DX=25.X 近 i ?1 12 似服从分布 N ?0,52 ?. （1） P? X ＞15?? 1 ? P? X? 15??X ? ? 1 ? P? ? 3? ? 5 ? ? 1 ? ?2? ?3? ? 1? ? 0.0027（2）设 n 为所求的加数个数，则 n 应满足下面概率等式：?n ? P ? ? X i ＜10? ? 0.9 i ? 1 ? ?但是i ?1? Xinn? 近似服从分布 N ? ? 0 , ? ，因此自 ? 12 ?即? 12 ? ? 12 n ? ?n ? P ? ? X i ＜10? ? P ? ? X i ＜10 ? n? ? ? i ?1 ? ? n i ?1 ? ? 10 12 ? ? ?1 ? 2? ? ? ? n ? ? ? 10 12 ? ? ? 1 ? 0.9 2? ? ? ? n ? ? ? 10 12 ? ? ? 0.95 ?? ? ? n ? ?10 12 n ? 1.64n ? 44649．设有 30 个电子器件，它们的使用寿命（单位：小时）T1，T2，?，T30，都 服从 λ =0.1 的指数分布，其使用情况是第一个损坏，第二个立即使用，第 二个损坏，第三个立即使用等等，令 T 为 30 个器件使用的总计时间，计算 T 超过 360 小时的概率. 46解 计算 30 个相互独立同指数分布随机变量之和的分布已超出本书范围，尽管 n 为 30 不是足够大，但我们仍用正态分布近似计算.ETi ? ??1 ? 10, DTi ? ??2 ? 100 ETi ? 30ETi ? 300, DT ? 30DTi ? 3000T 近似服从分布 N（300，3000）.? T ? 300 60 ? P?T＞360? ? 1 ? P?T ? 360? ? 1 ? P ? ? ? 3000 ? ? 3000 ? 1 ? ? ?1.10? ? 0.135750．某产品次品率为 10％，应取多少件，才能使合格品不少于 100 件的概率达 到 95％? 解 设应取 n 件产品，n 件产品中合格品数为 X，则 X～B（n，0.9）.EX=0.9n DX=0.09n，依题意，n 应满足下面概率等式： P?X ? 100? ? 0.95 即? X ? 0.9n 100 ? 0.9n ? ? 100 ? 0.9n ? ? P? ? ? ? 1 ?? ? ? ? ? 0.95 0.3 n ? ? 0.3 n ? 0.3 n ??? ?? 0.9n ? 100 ? ? ? ? 0.95 ? 0.3 n ? 0.9n ? 100 ? 1.64 0.3 n n ? 11851．随机地掷 10 颗骰子，用切比雪夫不等式估计点数总和在 20 和 50 之间的概 率. 解 设第 i 颗骰子的点数为 Xi，i=1，2，?，10，X 表示 10 颗骰子点数总和，X1 ， ? ， X10 相 互 独 立 同 分 布 ：EX i ? 7 35 175 , DX i ? , EX ? 35, DX ? 2 12 6 P?20＜X＜50? ? P? X ? 35＜ 15?? 1 ? 1 175 ? 225 6P?X i ? n? ?1 6， n=1,2, ? ,6.P?20＜X＜50? ? 0.87 即 52．用切比雪夫不等式估计第 38、39、40 三题中的概率. 解 在第 38 题中，X～B（200，0.5） ，EX=100，DX=50 P?80＜X＜ 120? ? P? X ? 100＜20?? 1?50 ? 0.875 400在第 39 题中，X 近似服从分布 B（） ，EX=30，DX=29.1 P?20＜X＜40? ? P? X ? 30＜ 10? 在第 4029.1 ? 0.709 100 题中， EX ? ? , DX ? 0.16 ? 1?P X ? ? ? 1 ? 1 ? 0.16 ? 0.84?? 4753．设 P(A)=p，p 未知，若试验 1000 次，用 A 发生的频率代替概率 p，估计所 产生的误差小于 10％的概率为多少? 解 设 1000 次试验中事件 A 发生次数为 X，X～B（1000，p） ，EX=1000p， DX=1000p(1-p).由于 p 未知，用切比雪夫不等式估计.? X ? P? ? p ＜0.1? ? 1000 ? ? P?X ? 1000p ＜100? ? 1?最后一步是由于 p 的二次函数 p(1-p)当 p=0.5 时取最大值 0.25.1000p?1 ? p ? 250 ?1? ? 0.975
48习 题 四 1．设总体 X 服从正态分布 N ?10,32 ?, X1, X 2 ,?, X 6 是它的一组样本， X ? 1 ? X i66 i ?1（1）写出 X 所服从的分布； （2）求 X ＞11 的概率.3 解 （1） X ～N ? ?10, ? ?， ? 6? ?2?即X? ～N ? ?10, ?3? ? ?. 2?? ? ? ? X ? 10 11 ? 10 ? （2） P ?X＞11? ? 1 ? P ?X ? 11? ? 1 ? P? ? ? ? 3 3 ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 11 ? 10 ? ? 1 ? ?? ? 3 ? ? ? 2 ? ?=1-Φ (0.8165) . 解法一：P?X＞ 11? ? 1 ? ??0.82? ? 1 ? 0.7939 ? 0.2061.解法二： 查表得： Φ (0.81) = 0.7910， Φ (0.82) = 0.7939， 可以求出一条过点（0.81，0.7910） 、 （0.82，0.7939）的直线，其方程为：y ? 0.7910 ? 0.7939 ? 0.7910 ?x ? 0.81?, 0.82 ? 0.81对于 x∈(0.81，0.82)，我们用上述直线方程近似 Φ (x)，则有 Φ (0.9 ? 0.5? 0.81? ? 0.7910 ?0.82 ? 0.81 ? 0.7929.故P?X＞ 11? ? 1 ? ??0.8165? ? 1 ? 0.7929 ? 0.2071这种方法，称为线性插值法；利用线性插值法，可以提高查表精度. 492. 设 X1，X2，?，Xn 是总体 X 的样本，X ?1 n ? Xi n i ?1，分别按总体服从下列指定分布求 E( X )，D( X ). （1）X 服从 0-1 分布： P?X ? k? ? p k ?1 ? p?1?k ,k ? 0,1 ； m?k k k （2）X 服从二项分布： P?X ? k? ? Cm p ?1 ? p? ,k ? 0, 1，2，?，m； （3）X 服从泊松分布： P?X ? k ? ? ? （4）X 服从均匀分布：fk（5）X 服从指数分布：f (x) = ?e??x ?x＞0, ?＞0?. 解 （1）X 服从 0-1 分布，k! ? 1 , a ? x ? b, (x) = ? ?b ? a ? 0, 其他 其他； ?e ?? , ?＞0, k =0，1，2，?；EX=p，DX=p(1-p),故?1 n ? EX ? E ? ? X i ? ? n i ?1 ? n 1 ? ? E? ?? Xi ? i ? 1 ? ? n 1 n ? ? EX i n i ?1 1 ? ? np n ? p.?1 n ? DX ? D? ? X i ? ? n i ?1 ? n 1 ? ? 2 D? ?? Xi ? i ? 1 ? n ? 1 n ? 2 ? DX i n i ?1 1 ? 2? np?1 ? p ? n 1 ? p ?1 ? p ?. n（2）X 服从二项分布， EX=mp，DX=mp (1-p)， 同（1） ，可以求得 1 EX ? mp, DX ? mp?1 ? p?. n （3）X 服从泊松分布 EX=λ ，DX=λ ， 同（1） ，可以求得： E X =λ ，D X = 1 λ . n （4）X 服从均匀分布 50EX ??b ? a ? a?b , DX ? 2 122，同（1） ，可以求得 ?b ? a ?2 . a?b EX ? , DX ?2 12n（5）X 服从指数分布 1 1 EX ? , DX ? 2 ,?1?同（1） ，可以求得EX ??, DX ?1 n?2.? 1 n ? Xi n i ?1注一般地讲，设 X1，X2，?，Xn 是总体 X 的样本， XEX ? EX , DX ? 1 DX . n，若 X 的样本与方差均存在，则 对于本题，也可以先证明上述一般结果，再把一般结果分别应用到各个小题. 3．设总体 X 服从正态分布 N ?? ,0.32 ?，X1，X2，?，Xn 是总体 X 的一组样本， X 是 样本均值，试问：样本容量 n 至少应取多大，才能使P X ? ? ＜0.1 ? 0.95.??? ? ? ?解X～N ?? ,0.32 ?，? 0.3 2 X～N ? ??, n ?故P X ? ? ＜0.1??? ? 0.1 X ?? 0.1 ? ? P? ＜ ＜ ? ? 0.3 / n 0.3 / n 0.3 / n ? ? n? ? ? ? ?? ? ? n ? ??? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n? ? ? ?? ? ? ?1 ? ? ? n ?? ??? ? 3 ? ? ? 3 ?? ? ? ? ? ?? ? n? ? ? 1. ? 2? ? ? 3 ? ? ?根据题目的要求? n? ? ? 1 ? 0.95, 2? ? ? 3 ? ? ? ? n? ? ? 0.975, ?? ? 3 ? ? ?查表得 Φ (1.96)=0.975. 故 51n ? 1.96 ， 3 n ? 34.57.因为 n 只能取正整数，所以，样本容量 n 至少应取 35. 6 2 ? 4．设 X1，X2，?，X6 为正态总体 N ?0,2 2 ? 的一个样本，求 P? ?? X i ＞6.54? . 解 由 Xi～N ?0， ， 2 ?（i=1，2，?，6）2?i ?1?知 X i ? 0 ～N（0，1） （i=1，2，?，6） ，2且它们相互独立，故1 2 X i ～X 2 ?1? , 4 1 6 2 2 ? X i ～X（6） 4 i ?1 6 2 ? 所以 P? ?? X i ＞6.54? ?i?1 ? 6 1 ? ? ＝P ? ? X i2＞1.635? ? 4 i ?1 ?=0.95 5．设总体 X 和 Y 相互独立，都服从正态分布 N（30，32） ，X1，X2，?，X20，Y1， Y2，?，Y25 分别是来自 X 和 Y 的样本.求 X ? Y ＞0.4 的概率. 解 由 Xi～N（30，32） （i=1，2，?，20） ， 2 Yi～N（30，3 ） （i=1，2，?，25） ， 知32 ), 20 32 Y ～N (30, ), 25 X～N (30,又 X 与 Y 相互独立，所以 X 与 Y 也相互独立. 从而 即X ? Y～N (0,0.92 ).32 32 X－Y～N (0， ＋ )， 20 25故P X ? Y ? 0.4?? 2? P X ? Y ? 0.4? 2 ?1 ? P X ? Y ? 0.4? ? 0.4 ? 0 ?? ? 2 ?1 ? Φ? ?? ? 0.9 ?? ?? 2 ?1 ? Φ?0.4444?? ? 2 ?1 ? 0.67?? 0.66 .???????6． 设 X 和 Y 是来自正态总体 N(μ , σ 2)的容量为 n 的两个样本均值.试确定 n， 使得两个样本均值之差超过 σ 的概率大约为 0.01. 52解? 1 ? X ~ N ? ? , ? 2 ?, ? n ? ? 1 ? Y ~ N ? ? , ? 2 ?, ? n ? ? 2 ? X ? Y ~ N ? 0, ? 2 ?, ? n ?因为 X，Y 是两个不同的样本，故 X 与 Y 相互独立， X 与 Y 也相互独立. 从而 故P? X ?Y ???? ?? 2P X ? Y ? ???? ? ? ? ? ?? 2 1? P X ?Y ??? ? ? ? ? ? ?? ?0? ? ? 2 1 ? Φ? ? 2 ? ? ?? ? ? ? ? n ? ?? ? n?? ? . ? 2 ?1 ? Φ ? ? 2?? ? ? ?? ? ???根据题设? ? n?? ? ? 0.01, 2 ?1 ? ? ? ? 2?? ? ? ?? ? ? ? n? ? ? 0.995, Φ? ? 2? ? ?查表得n ? 2.58, 2n=13.3128. 所以 n 可以取 13 或 14. 7.设 X 服从正态分布 N（ ? ,? 2 ） ， X1, X 2 ,?, X10 是 X 的样本.试求下列概论：2 （1 ） P ? ?0.25? ??1 10 2 2? ? ? X? i ? ? ? ? 2.3? ? . 10 i ?1 ? 1 10 ? Xi ? X 10 i ?12 （2 ） p ? ?0.25? ?解(1) X i ~ N ??,? 2 ? ?i ? 1,2,?,10? ,Xi ? ????2? ? 2.3? 2 ? . ??~ N 0,12? ? ?i ? 1,2?,10? ,2从而 即1? X ??? ? ~ ? 2 ?10? , ? ? i i ?1 ? ? ?10?2i ?1? ? X i ? ? ? ~ ? ?10? .10 22记W?1?2i ?12 ? ? X i ? ? ? , 则 W ~ ? ?10? . 于是, 10 2 531 10 ? ? 2 P ?0.25? 2 ? ? ? X i ? ? ? ? 2.3? 2 ? i ? 1 10 ? ? 1 10 ? ? 2 ? P ?2.5 ? 2 ? ? X i ? ? ? ? 23? ? i ?1 ? ?? P? 2.5 ? W ? 23? ? P? W ? 23? ? P? W ? 2.5? ? ?1 ? P? W ? 23?? ? ?1 ? P? W ? 2.5? ?? P? W ? 2.5? ? P? W ? 23?? 0.99 ? 0.01 （查 ? 2分布表，n ? 10）? 0.98.(2) 根据样本方差的性质，1?22 ? X i ? X ~ ? ?10 ? 1?, 10 2 i ?1??2记W?1?2 ? X i ? X , 则 W ~ x ?9?, 于是, 10 2 i ?1??2 1 10 ? ? P ?0.25? 2 ? ? X i ? X ? 2.3? 2 ? i ? 1 10 ? ? 10 2 1 ? ? ? P ?2.5 ? 2 ? X i ? X ? 23? i ? 1 ? ? ?????? P? 2.5 ? W ? 23? ? P? W ? 23? ? P? W ? 2.5? ? ?1 ? P? W ? 23?? ? ?1 ? P? W ? 2.5??? P? W ? 2.5? ? P? W ? 23?? 0.975 ? 0.005 ? 0.97.8.用附表 4 求下列各式中的 ? 值： （ 1 ） P? ? 2 ?9? ? ??? 0.95; （2） P? ? 2 ?9? ? ??? 0.01; （3） P? ? 2 ?15? ? ??? 0.025; （4） P? ? 2 ?15? ? ??? 0.025; 解 （1） 直接查表得 ?＝3.325. （2）由 P? ? 2 ?9? ? ??? 0.01, 得 P? ? 2 ?9? ? λ?? 0.99, 查表得 λ ? 2.088. （3）直接查表， λ ? 27.488. （4）由 P? ? 2 ?15? ? λ?? 0.025, 得 P?? 2 (5)＞λ? ＝0.975 ， 查表得 ? ? 6.262. 9.用附表 5 求下列各}
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
置信区间(详细定义及计算)
登录百度文库，专享文档复制特权，财富值每天免费拿！
你可能喜欢扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
统计学题目.怎么根据置信水平算z(a/2)括号里是下标 的值?一般都是90 95 99% 题目突然出现98%不会做 书上也没表格查
作业帮用户
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
z(a/2)指的是标准正态分布的双侧临界值,z(a)当然就是单侧临界值.a（阿尔法）指的是显著水平,一般是0.05、0.01等.而95%、99%指的是置信水平,不要搞混这两个概念!置信水平=1-显著水平.我基本上不用查统计学表格,用Exce...
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)(1)_甜梦文库
经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)(1)
1高等学校财经类专业核心课程教材经济数学基础 概率统计习题解答四川出版集团 四川人民出版社 2001 年?成都 1习 题 一1.?写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次； (3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止； (4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为 M). (1) Ω ={正面，反面} △ {正，反} (2) Ω ={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)} (3) Ω ={(正)，(反，正)，(反，反，正)，?} (4) Ω ={x；0 ≤x≤ m} 2.?掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件 A＝“偶数点”， B＝“奇数点”，C＝“点数小于 5”，D＝“小于 5 的偶数点”，讨论上述 各事件间的关系. 解 Ω ? ?1,2,3,4,5,6?, A ? ?2,4,6?, B ? ?1,3,5?, C ? ?1,2,3,4?, D ? ?2,4?. A 与 B 为对立事件，即 B＝ A ；B 与 D 互不相容；A ? D，C ? D. 3. 事件 Ai 表示某个生产单位第 i 车间完成生产任务，i＝1，2，3，B 表示至少 有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事 件 B 及 B－C 的含义，并且用 Ai(i＝1，2，3)表示出来. 解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任 务. 解B ? A1 A2 ? A2 A3 ? A1 A3B－C 表示三个车间都完成生产任务4. 如图 1－1，事件 A、B、C A＋B＋C，AC＋B，C－AB 用 解 A ? B ? A ? AB图 1－1B ? A1 A2 A3＋A1 A2 A3＋A1 A2 A3＋A1 A2 A3 C ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3都相容，即 ABC≠Φ ，把事件 A＋B， 一些互不相容事件的和表示出来.A ? B ? C ? A ? AB ? A BCB ? C ? A1 A2 A3AC ? B ? B ? ABC C ? AB ? A BC ? ABC ? ABC5.?两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明. 解 两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发 生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不 一定同时不发生. 在本书第 6 页例 2 中 A 与 D 是对立事件， C 与 D 是互不相容事 件. 6.?三个事件 A、B、C 的积是不可能事件，即 ABC＝Φ ，问这三个事件是否一定 互不相容?画图说明. 解 不一定. A、B、C 三个事件 互不相容是指它们中任何两个 事件均互不相容， 即两两互不相 容.如图 1－2，事件 ABC＝Φ ， 但是 A 与 B 相容. 7. 事件 A 与 B 相容，记 C＝ AB，D＝A+B，F＝A－B. 说明事 图 1－2 件 A、C、D、F 的关系. 2解 由于 AB ? A ? A+B， A－B ? A ? A+B， AB 与 A－B 互不相容， 且 A＝AB＋(A－B). 因 此有 A＝C+F，C 与 F 互不相容，D ? A ? F，A ? C.8. 袋内装有 5 个白球，3 个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不 同的概率. 解 记事件 A 表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件 A 的样本点数目 ＃A＝ C51C31 .而组成试验的样本点总数为＃Ω ＝ C52?3 ，由古典概率公式有P(A)＝ # A ?#?1 1 C5 C3 15 ? C82 28(其中＃A， ＃Ω 分别表示有利于 A 的样本点数目与样本空间的样本点总数， 余下同) 9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率. 解 设事件 B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件 B 的样本点数为＃ B ? C52 .P( B) ? 1－P( B) ? 1 ? C52 9 ? 2 C8 1410. 抛掷一枚硬币，连续 3 次，求既有正面又有反面出现的概率. 解 设事件 A 表示 “三次中既有正面又有反面出现” , 则 A 表示三次均为正面或 三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有 8 种不同的等可能结果，即＃Ω ＝8， 因此P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? ＃A 2 3 ? 1? ? #? 8 411. 10 把钥匙中有 3 把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率. 解 设事件 A 表示 “门锁能被打开” . 则事件 A 发生就是取的两把钥匙都不能打 开门锁.P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? C2 8 ＃A ? 1－ 7 ? 2 ＃? 15 C10从 9 题－11 题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较 方便. 12. 一副扑克牌有 52 张，不放回抽样，每次一张，连续抽取 4 张，计算下列事 件的概率： (1)四张花色各异； (2)四张中只有两种花色. 解 设事件 A 表示“四张花色各异” ；B 表示“四张中只有两种花色”.4 1 1 1 1 # Ω ? C52 ， # A ? C13 C13 C13 C13 ，2 1 3 1 2 2 # B ? C（ 4 C2 C13C13＋C13C13 ）P( A) ?P( B) ?# A 134 ? 4 ? 0.105 # Ω C52#B 6 （ 7436 ＋6048 ） ? ? 0. 300 4 #Ω C5213. 口袋内装有 2 个伍分、3 个贰分，5 个壹分的硬币共 10 枚，从中任取 5 枚， 3解求总值超过壹角的概率. 设事件 A 表示“取出的 5 枚硬币总值超过壹角”.3 1 3 1 2 2 # Ω ? C 10， # A＝C2 (C3 C5＋C3 C5 ) 2 C8 ＋C2 5＃A 126 P( A)＝ ＝ ＝0.5 ＃Ω 25214. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下 列事件的概率：A＝“三次都是红球” △ “全红” ，B＝“全白” ， C＝“全黑” ，D＝“无红” ，E＝“无白” ， F＝“无黑” ，G＝“三次颜色全相同” ， H＝“颜色全不相同” ，I＝“颜色不全相同”. 3 解 ＃Ω ＝3 ＝27，＃A＝＃B＝＃C＝1， ＃D＝＃E＝＃F＝23＝8， ＃G＝＃A＋＃B＋＃C＝3， ＃H＝3！＝6，＃I＝＃Ω －＃G＝24P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( D) ? P( E) ? P( F ) ? 1 27 8 27P(G ) ?3 1 6 2 24 8 ? , P( H ) ? ? , P( I ) ? ? 27 9 27 9 27 915. 一间宿舍内住有 6 位同学，求他们中有 4 个人的生日在同一个月份的概率. 解 设事件 A 表示“有 4 个人的生日在同一个月份”. 1 ＃Ω ＝126，＃A＝ C64C12 112P( A) ? # A 21780 ＝ ＝0.0073 #Ω 12616. 事件 A 与 B 互不相容，计算 P ( A ? B) . 解 由于 A 与 B 互不相容，有 AB＝Φ ，P(AB)＝0 17. 证P( A ? B) ? P( AB) ? 1 ? P( AB) ? 1. 设事件 B ? A，求证 P(B)≥P(A）. ∵B ? A∴P(B-A)＝P(B) - P(A) ∵P(B-A)≥0 ∴P(B)≥P(A) 18. 已知 P(A)＝a，P(B)＝b，ab≠0 (b＞0.3a)， P(A－B)＝0.7a，求 P(B+A)，P(B-A)，P( B ＋ A ). 解 由于 A－B 与 AB 互不相容，且 A＝(A-B)＋AB，因此有 P(AB)＝P(A)-P(A-B)＝0.3a P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7a＋b P(B-A)＝P(B)-P(AB)＝b-0.3a P( B ＋ A )＝1-P(AB)＝1-0.3a 19. 50 个产品中有 46 个合格品与 4 个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品 的概率. 解 设事件 A 表示“取到废品” ，则 A 表示没有取到废品，有利于事件 A 的样本 43 点数目为＃ A ＝ C46 ，因此P(A)＝1-P( A )＝1- ＃A ＝1－ C46 3＃Ω C503＝0.2255 20. 已知事件 B ? A，P(A)＝lnb ≠ 0，P(B)＝lna，求 a 的取值范围. 解 因 B ? A，故 P(B)≥P(A)，即 lna≥lnb, ? a≥b，又因 P(A)＞0，P(B)≤1， 可得 b＞1，a≤e，综上分析 a 的取值范围是： 1＜b≤a≤e 21. 设事件 A 与 B 的概率都大于 0，比较概率 P(A)，P(AB)， P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等号把它们连接起来). 解 由于对任何事件 A，B，均有 AB ? A ? A+B 且 P(A+B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)，P(AB)≥0，因此有 P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)＋P(B) 22. 一个教室中有 100 名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一 年以 365 天计算). 解 设事件 A 表示“100 名学生的生日都不在元旦” ，则有利于 A 的样本点数目 为 ＃ A ＝ 3 6 4 1 0 0 ， 而 样 本 空 间 中 样 本 点 总 数 为 ＃Ω ＝365100，所求概率为P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? #A 364100 ? 1? #? 365100= 0.2399 23. 从 5 副不同手套中任取 4 只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率. 解 设事件 A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副” ，则 A 表示“四只手 套中任何两只均不能配成一副”.P( A) ?1 1 1 1 # A C54C2 C2C2C2 80 ? ? 4 #Ω C10 210P( A) ? 1 ? P( A) ? 0.6224. 某单位有 92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中 仍有 85％的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸. 解 设事件 A 表示“任找的一名职工订阅报纸” ，B 表示“订阅杂志” ，依题意 P(A)＝0.92，P(B)＝0.93，P(B｜ A )＝0.85 P(A＋B)＝P(A)＋P( A B)＝P(A)＋P( A )P(B｜ A ) ＝0.92＋0.08×0.85＝0.988 P(A B )＝P(A＋B)-P(B)＝0.988－0.93＝0.058 25. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件 A 表示数学 成绩优秀， B 表示外语成绩优秀， 若 P(A)＝P(B)＝0.4， P(AB)＝0.28， 求 P(A｜ B)，P(B｜A)，P(A＋B). 解 P(A｜B)＝ P ( AB) ? 0.28 ? 0.7P( B) 0 .4P(B｜A)＝ P( AB) ? 0.7P ( A)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)＝0.52 26. 设 A、B 是两个随机事件. 0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1， 5P(A｜B)＋P( A ｜ B )＝1. 求证 P(AB)＝P(A)P(B). 证 ∵P ( A｜ B )＋P ( A ｜ B )＝1 且 P ( A｜B )＋P( A ｜ B )＝1 ∴P ( A｜B )＝P (A｜ B )P( AB) P( AB) P( A) ? P( AB) ? ? P( B) 1 ? P( B) P( B)P(AB)［1-P(B)］＝P( B)［P( A)-P( AB)］整理可得 P(AB)＝P( A) P( B) 27. 设 A 与 B 独立，P( A)＝0.4，P( A＋B)＝0.7，求概率 P (B). 解 P( A＋B)＝P(A)＋P( A B)＝P( A)＋P( A ) P( B) ? ? 0.7＝0.4＋0.6P( B ) ? ?P( B )＝0.5 28. 设事件 A 与 B 的概率都大于 0，如果 A 与 B 独立，问它们是否互不相容，为 什么? 解 因 P ( A )，P ( B )均大于 0，又因 A 与 B 独立，因此 P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故 A 与 B 不可能互不相容. 29. 某种电子元件的寿命在 1000 小时以上的概率为 0.8，求 3 个这种元件使用 1000 小时后，最多只坏了一个的概率. 解 设事件 Ai 表示“使用 1000 小时后第 i 个元件没有坏” ， i＝1，2，3，显然 A1，A2，A3 相互独立，事件 A 表示“三个元件中最多只坏了一 个” ， 则 A＝A1A2A3＋ A1 A2A3＋A1 A2 A3＋A1A2 A3 ， 上面等式右边是四个两两互不相容事 件的和，且 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8 P( A)＝ ?P( A1 )?3 ? 3?P( A1 )?2 P( A1 ) ＝0.83＋3×0.82×0.2 ＝0.896 30. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别 为 0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关， 求零件的合格率. 解 设事件 A 表示“任取一个零件为合格品” ，依题意 A 表示三道工序都合格. P(A)＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.448 31. 某单位电话总机的占线率为 0.4，其中某车间分机的占线率为 0.3，假定二 者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打 通的概率以及第 m 次才能打通的概率(m 为任何正整数). 解 设事件 Ai 表示“第 i 次能打通” ，i＝1，2，?，m，则 P(A1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42 P(A2)＝0.58 × 0.42＝0.2436 P(Am)＝0.58m－1 × 0.42 32. 一间宿舍中有 4 位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼 镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率. 解 设 Ai 表示“第 i 人拿到自己眼镜”，i＝1,2,3,4. P ( Ai )＝ 1 ，设事件 B4表示 “每个人都没有拿到自己的眼镜”. 显然 B 则表示 “至少有一人拿到自己的 眼镜”. 且 B ＝A1＋A2＋A3＋A4. P( B )＝P(A1＋A2＋A3＋A4) 4 ＝ ? p( Ai ) ? ? P( Ai Ai ) ? ? P( Ai Aj Ak ) ? P( A1 A2 A3 A4 )i ?1 1?i＜j ?4 1?i＜j＜k ?4 6P(AiAj) ? P(Ai)P(Aj｜Ai)= 1?1 ?4 3 1 (1 ? i＜j ? 4) 12P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj｜Ai)P(Ak｜AiAj) = 1 × 1 × 1 ? 1 （1≤i＜j＜k≤4） P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) ×P(A4｜A1A2A3)4 3 2 1 1 1 1 5 2 3 P( B) ? 4 ? ? C4 ? ? C4 ? ? ? 4 12 24 24 8 3 P ( B) ? 1 ? P( B ) ? 8 43224= 1 ? 1 ? 1 ?1 ?1 2433. 在 1，2，?，3000 这 3000 个数中任取一个数，设 Am＝“该数可以被 m 整 除”，m＝2，3，求概率 P(A2A3)，P(A2＋A3)，P(A2－A3). 解 依题意 P(A2)＝ 1 ，P(A3)＝ 123P(A2A3)＝P(A6)＝ 1 6 P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)－P(A2A3)＝1?1?1 ? 22 3 6 3P(A2－A3)＝P(A2)－P(A2A3)＝ 1 ? 1 ? 12 6334. 甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为 0.8， 0.7，0.6，计算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中. 解 设事件 A、B、C 分别表示“甲投中” 、 “乙投中” 、 “丙投中” ，显然 A、B、C 相互独立.设 Ai 表示“三人中有 i 人投中” ，i＝0,1,2,3,依题意，P( A0 ) ? P( A B C) ? P( A)P(B)P(C)P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C ) =0.8×0.7×0.6 ? 0.336 P(A2)=P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC)=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6 ? 0.452 (1) P(A1)＝1－P(A0)－P(A2)－P(A3) ＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188 (2) P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝0.024＋0.188＝0.212 (3) P(A＋B＋C)＝P( A0 )＝1－P (A0)＝0.976 35. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为 0.4 及 0.5，问 谁先投中的概率较大，为什么? 解 设事件 A2n-1B2n 分别表示“甲在第 2n－1 次投中”与“乙在第 2n 次投中” ，显然 A1，B2，A3，B4，?相互独立.设事件 A 表示“甲先投中”.P( A) ? P( A1 ) ? P( A1 B 2 A3 ) ? P( A1 B 2 A3 B 4 A5 ) ? ? ? 0.4＋0.6 ? 0.5 ? 0.4＋(0.6 ? 0.5)2 ? 0.4＋?? 0.2×0.3×0.4× ? 0.024 7?计算得知 P(A)＞0.5，P( A )＜0.5，因此甲先投中的概率较大. 36. 某高校新生中，北京考生占 30％，京外其他各地考生占 70％，已知在北京学生 中，以英语为第一外语的占 80％，而京外学生以英语为第一外语的占 95％， 今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率. 解 设事件 A 表示“任选一名学生为北京考生” ，B 表示“任选一名学生，以英 语为第一外语”. 依题意 P(A)＝0.3，P( A )＝0.7，P(B｜A)＝0.8，P(B｜ A )＝ 0.95. 由全概率公式有 P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P( A )P(B｜ A ) ＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.905 37. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为 9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为 4?，2?， 5?，求 A 地的甲种疾病的发病率. 解 设事件 A1，A2，A3 分别表示从 A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区， 易见 A1，A2，A3 两两互不相容，其和为 Ω .?设事件 B 表示“任选一名居民其患 有甲种疾病” ，依题意： P(A1)＝0.45，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.2， P(B｜A1)＝0.004，P(B｜A2)＝0.002，P(B｜A3)＝0.005 3 ＝ ? P( Ai ) P( B | Ai )i ?10.4 4 ? 1 ? 0.3 7＝ 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005 ＝0.0035 38. 一个机床有三分之一的时间加工零件 A，其余时间加工零件 B，加工零件 A 时，停机的概率为 0.3，加工零件 B 时停机的概率为 0.4，求这个机床停机 的概率. 解 设事件 A 表示“机床加工零件 A” ，则 A 表示“机床加工零件 B” ，设事件 B 表示“机床停工”.P ( B) ? P ( A ) P (B | A) ? P ( A ) P ( B | A) 1 2 ? 0.3 ? ? 0.4 ? ? 0.37 3 339. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 3 个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个 1 号球，1 个 2 号 球与 1 个 3 号球，Ⅱ号袋内装有两个 1 号球和 1 个 3 号球，Ⅲ号袋内装有 3 个 1 号球与两个 2 号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球，放入与球 上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几 号球的概率最大，为什么? 解 设事件 Ai 表示“第一次取到 i 号球” ，Bi 表示第二次取到 i 号球，i＝1，2， 3.依题意，A1，A2，A3 构成一个完全事件组.1 1 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? P( A3 ) ? 2 4 1 1 P( B1 | A1 ) ? , P( B2 | A1 ) ? P( B3 | A1 ) ? 2 4 1 1 P( B1 | A2 ) ? , P( B2 | A2 ) ? P( B3 | A2 ) ? 2 4 1 1 1 P( B1 | A3 ) ? , P( B2 | A3 ) ? , P( B3 | A3 ) ? 2 3 6 8应用全概率公式 P( B j ) ? ? P( Ai ) P( B j | Ai ) 可以依次计算出 P(B1 ) ? 1 ,3 i ?12P( B2 ) ?13 11 . , P( B3 ) ? 48 48因此第二次取到 1 号球的概率最大. 40. 接 37 题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为 5％(即一个 甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为 5％)；对无甲种疾病的人用此 检验法误诊为甲种疾病患者的概率为 1％，在一次健康普查中，某人经此检 验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率. 解 设事件 A 表示“受检人患有甲种疾病” ，B 表示“受检人被查有甲种疾病” ，由 37 题计算可知 P(A)＝0.0035，应用贝叶斯公式P( A | B) ? P( A) P( B | A) P( A) P( B | A) ? P( A) P( B | A)?0. 0.＋0.? 0.2541. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比 为 5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为 94％，90％，95％， 现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概 率. 解 设事件 A1，A2，A3 分别表示“受检零件为甲机床加工” ， “乙机床加工” ， “丙 机床加工” ，B 表示“废品” ，应用贝叶斯公式有P( A1 | B) ? P( A1 ) P( B | A1 )i ?1? P( Ai ) P( B | Ai )30.5 ? 0.06 3 ? 0.5 ? 0.06＋0.3 ? 0.1 ＋0.2 ? 0.05 7 4 P( A1 | B) ? 1 ? P( A1 | B) ? 7 ?42. 某人外出可以乘坐飞机、 火车、 轮船、 汽车 4 种交通工具， 其概率分别为 5％， 15％，30％，50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为 100％， 70％，60％与 90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率. 解 设事件 A1，A2，A3，A4 分别表示外出人“乘坐飞机” ， “乘坐火车” ， “乘坐轮 船” ， “乘坐汽车” ，B 表示“外出人如期到达”.P( A2 | B) ? P( A2 ) P( B | A2 ) ? P( Ai ) P( B | Ai )i ?1 4?0.15? 0.3 0.05 ? 0 ? 0.15 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.1=0.209 43. 接 39 题，若第二次取到的是 1 号球，计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率. 解 39 题计算知 P(B1)＝ 1 ，应用贝叶斯公式2 1 1 ? P( A1 ) P( B1 | A1 ) 2 2 1 P( A1 | B1 ) ? ? ? 1 P( B1 ) 2 244. 一箱产品 100 件，其次品个数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中随 机地抽取 10 件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已 9知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率. 解 设事件 Ai 表示一箱中有 i 件次品，i＝0, 1, 2. B 表示“抽取的 10 件中无 次品” ，先计算 P ( B )10 10 2 C99 C98 1 P( B) ? ? P( Ai ) P( B | Ai ) ? ? (1 ? 10 ? 10 ) i ?0 3 C100 C100P ( A0 | B ) ?1 ? 0.37 3P ( B )45. 设一条昆虫生产 n 个卵的概率为pn ??nn!e ??n=0, 1, 2, ?其中 λ ＞0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于 p(0＜p＜1). 如果卵的 孵化是相互独立的，问此虫的下一代有 k 条虫的概率是多少? 解 设事件 An＝“一个虫产下几个卵” ，n＝0，1，2?.BR＝“该虫下一代有 k 条 虫” ，k＝0，1，?.依题意P ( An ) ? p n ??nn!e ??0 ? P( Bk | An ) ? ? k k n?k ?Cn p q?k＞n 0?k ?n?其中 q=1－p. 应用全概率公式有P( Bk ) ? ? P( An ) P( Bk | An ) ? ? P( An ) P( Bk | An )n ?0 n ?k??n ?l?n! ? ?? e p k q n?k n! k !( n ? k ) !n(?p) k ?? ? (?q) n?k e ? k! n ? k (n ? k ) !由于 ? (?q)?(?q) n?k ? e ?q ，所以有 n ? k ( n ? k ) ! n ? k ?0 ( n ? k ) ! ( ? p ) k ? ? ? q ( ? p ) p ? ?p P( Bk ) ? e e ? e k ? 0, 1, 2,? k! k ???n?k 10习 题 二 1. 已知随机变量 X 服从 0－1 分布，并且 P{X≤0}＝0.2，求 X 的概率分布. 解 X 只取 0 与 1 两个值， P{X＝0}＝P{X≤0}－P{X＜0}＝0.2， P{X＝1}＝1－P{X ＝0}＝0.8. 2. 一箱产品 20 件，其中有 5 件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两 次，求取到的优质品件数 X 的概率分布. 解 X 可以取 0, 1, 2 三个值. 由古典概型公式可知 C m C 2? m P ? X ? m ? ? 5 215 (m ? 0, 1, 2)C20依次计算得 X 的概率分布如下表所示：X P021 38115 3822 383. 上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为 X 件，求随机变量 X 的概率分布. 解 X 的取值仍是 0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是 1/4，取到非优质 品的概率是 3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有9 ?3? P?X ? 0? ? ? ? ? 4 16 ? ? 6 1 ? 1 ?? 3 ? P ? X ? 1 ? ? C2 ? ?? ? ? ? 4 ?? 4 ? 16 1 ?1? P ? X ? 2 ?? ? ? ? 4 16 ? ?2 24. 第 2 题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数 X 的概率分布. 解 X 可以取 1, 2, ?可列个值. 且事件{X = n}表示抽取 n 次，前 n－1 次均 3? 1 . 因此 X 的概率分布为 未取到优质品且第 n 次取到优质品，其概率为 ? ? ? ?n ?1? 4?41?3? P ?X ? n ? ? ? ? 4? 4?n?1n ? 1, 2, ?5. 盒内有 12 个乒乓球，其中 9 个是新球，3 个为旧球，采取不放回抽取，每次 一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布. (1)抽取次数 X； (2)取到的旧球个数 Y . 解 (1)X 可以取 1, 2, 3, 4 各值. 3 3 9 9 P ? X ? 1 ?? P ?X ? 2 ? ? ? ?4 12 11 3 2 9 9 P ? X ? 3 ?? ? ? ? 12 11 10 220 44 11P ? X ? 4 ??3 2 1 9 1 ? ? ? ? 12 11 10 9 220(2) Y 可以取 0, 1, 2, 3 各值 .3 4 9 P ?Y ? 1 ?? P ? X ? 2 ?? 44 9 P ?Y ? 2 ?? P ? X ? 3 ?? 220 1 P ?Y ? 3 ?? P ? X ? 4 ?? 220 P ?Y ? 0 ?? P ? X ? 1 ??6. 上题盒中球的组成不变， 若一次取出 3 个， 求取到的新球数目 X 的概率分布. 解 X 可以取 0, 1, 2, 3 各值. C3 1 P ?X ? 0 ? ? 3 ? 3C121 9220P ?X ? 1 ? ? P ?X ? 2 ? ? P ?X ? 3 ? ?CC 27 ? 3 C12 2201 C92C3 108 ? 3 C12 220 3 C9 84 ? 3 C12 2202 37. 已知 P{X＝n}＝pn，n＝1, 2, 3, ?, 求 p 的值. ? 解 根据 ? P ? X ? n ?＝1 , 有n?11 ? ? Pn ?n ?1?p 1? p解上面关于 p 的方程，得 p＝0.5. 8. 已知 P{X＝n}=pn， n＝2, 4, 6, ?，求 p 的值. 2 解 p2 ? p4 ? p6 ? ? ? p 2 ? 11? p解方程，得 p= ? 2 /2 9. 已知 P{X＝n}=cn, n=1, 2, ?, 100, 求 c 的值. 100 解 1 ? ? cn ? c ( 1 ? 2 ? ? ? 100 ) ＝5050cn?1解得 c＝1/5050 . 10. 如果 pn＝cn＿2，n=1, 2, ?, 问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么? ? ? ? ? ? 解 ? pn ? c ? 12 , 由于级数 ? 12 收敛 , 若记 ? 12 =a, 只要取 c ? 1 , 则有 ? pn =1, 且n?1 n?1nn?1nn?1nan ?1pn＞0. 所以它可以是一个离散型概率分布. 11. 随机变量 X 只取 1, 2, 3 共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等 并又组成等差数列，求 X 的概率分布. 解 设 P{X＝2}＝a，P{X＝1}＝a－d, P{X=3}=a+d. 由概率函数的和为 1，可知 a= 1 , 但是 a－d 与 a+d 均需大于零,因此｜d｜＜ 1 , X 的概率分布为3 3X123 12P1 －d 31 331 +d 3其中 d 应满足条件：0＜｜d｜＜ 1 12. 解m 已知 P ? X ? m ? ? cλ e ?? ,m m!=1, 2, ?, 且 λ ＞0, 求常数 c.1 ? ? p?X ? m? ? ?m ?1 ??c?m ?? e m ?1 m !?由于 ???mm ?0 m !? 1? ???mm?1 m !? e?, 所以有c?m ?? e ? c(e ? ? 1)e ?? ? c(1 ? e ?? ) ? 1 ? m ! m?1 1 解得 c? 1 ? e ??13. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人 投篮的命中率分别为 0.4 及 0.5，求： (1)二人投篮总次数 Z 的概率分布； (2)甲投篮次数 X 的概率分布； (3)乙投篮次数 Y 的概率分布. 解 设事件 Ai 表示在第 i 次投篮中甲投中， j 表示在第 j 次投篮中乙投中， i=1, 3, 5, ?, j=2, 4, 6,?,且 A1, B2, A3, B4，?相互独立. (1) P?Z ? 2k ?1? ? p?A1 B1 ? A2k ?3 B2k ?2 A2k ?1? ? (0.6×0.5) k ?1 ?0.4 = 0.4(0.3) k ?1 k=1, 2, ? P?Z ? 2k? ? p( A1 B1 ? A2k ?3 B 2k ?2 A2k ?1 B2k ) k ? 0.5×0.6×(0.6×0.5) k ?1 =0.3 k=1, 2, ? (2) P?X ? n? ? p?A1 B1 ?A2n?3 B2n?2 A2n?1?? p A1 B1 ? A2n?3 B 2n?2 A2n?1B2n ? (0.6 ? 0.5)n?1 (0.4 ? 0.6 ? 0.5) ? 0.7 ? 0.3n?1 n ? 1, 2, ? (3) P ? Y ? 0 ? ? P( A1 ) ? 0.4 P ? Y ? n ? ? P A1 B1 ? A2n?1B2n ? P A1 B1 ? A2n?1 B 2n A2n?1 ? (0.6 ? 0.5)n?1 ? 0.6 ? (0.5 ? 0.5 ? 0.4) ? 0.42 ? 0.3n?1 n ? 1, 2， ????? ??14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经 过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为 0.6，遇到红灯或黄灯则停止 前进，其概率为 0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信 号灯数目 X 的概率分布(不计其他因素停车). 解 X 可以取 0, 1, 2, 3, 4 . P { X＝0 } ＝0.4 P { X＝1 }＝0.6×0.4＝0.24 2 P { X＝2 } ＝0.6 ×0.4＝0.144 P { X＝3 } ＝0.63×0.4＝0.0864 P { X＝4 } ＝0.64＝0.1296 15.?sin x , f ( x) ? ? ? 0, x ? [ a , b] ， 其他 . 13问 f(x)是否为一个概率密度函数，为什么?如果 (1) a ? 0 , b ? π ; (2) a ? 0 , b ? π ; (3) a ? π , b ? 3 π .2 2解π在［0,π 2］与［0,π π ］上，sinx≥0,但是 ? 0 sin xdx ? 1,? 3 2 sin xdx ? 1, 而在 ? π, ?0 ? 2? π ? 上,sinx ?≤0.因此只有(1)中的 a, b 可以使 f (x)是一个概率密度函数. 16.?x ? x , ? e 2c f ( x) ? ? c ? 0, ?2x＞0 ， x ? 0.其中 c＞0，问 f(x)是否为密度函数，为什么? 解 易见对任何 x∈(－∞ , ＋∞) , f ( x )?0??≥ 0，又x e c?x2 2cdx ? 1f(x)是一个密度函数 .17. 问 f ( x )是否为密度函数，若是，确定 a 的值；若不是，说明理由. 解 如果 f ( x )是密度函数，则 f ( x )≥0，因此 a≥0，但是，当 a ≥0 时，2 a ?2 ? a 2 ? dx ? x |a ? 4a ? 4 ? 4 a?2?2 x , f ( x) ? ? ? 0，a＜x ＜a ? 2. 其他 .由于 ??? f ??( x) dx 不是1，因此 f ( x )不是密度函数.a＜x＜? ? , 其 他.18. 设随机变量 X～f ( x )2 ? , ? f ( x ) ? ? π ( 1 ? x2 ) ? 0, ?确定常数 a 的值，如果 P { a ＜ x 解＜ b } ＝0.5，求 b 的值.??? a?? 2 2 2 π dx ? arctanx ? ? ( ? arctana) 2 a π(1 ? x ) π ? 2解方程 得2 ?π ? ? －arctana ? =1 π ?2 ?( x ) dx ? 2 2 arctan x |b arctan b 0? π πa = 0 b P ? 0 ＜ x ＜ b ? ? ?0 f解关于 b 的方程： 2 arctanb=0.5π得 b=1. 19. 某种电子元件的寿命 X 是随机变量，概率密度为?100 ? f ( x ) ? ? x2 ? ? 0, x ? 100 , x＜ 100 .3 个这种元件串联在一个线路中，计算这 3 个元件使用了 150 小时后仍能使 14线路正常工作的概率. 解 串联线路正常工作的充分必要条件是 3 个元件都能正常工作. 而三个元件 的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件 A 表示“线路正常工 作” ，则P ( A) ?[ P ( X ＞ 150) ]3 2 ?? 100 P ? X ＞150 ?＝? 150 2 dx ? x 3 8 P ( A) ? 2720. 设随机变量 X ～ f ( x ) ， f ( x ) ＝ Ae － |x| ，确定系数 A ；计算 P { |X | ≤1 }. ? ?? 解 1 ? ? ??? Ae? | x |dx ? 2 A ? 0 e ? x dx ? 2 A 解得 A＝ 121 ?1 1 1 ?|x| e dx ? ? e ? x dx 0 2P ?| X | ?1 ?? ?21. 设随机变量 Y 服从［0, 5］上的均匀分布，求关于 x 的二次方程 4x2＋ 4xY+Y+2=0 有实数根的概率. 解 4x2+4xY+Y+2=0. 有实根的充分必要条件是 △＝b2－4ac =16Y2－16(Y+2)=16Y2－16Y－32≥0 设事件 P(A)为所求概率.则 P( A) ? P ?16Y 2 ? 16Y ? 32 ? 0 ?? P ? Y ? 2 ?? P ? Y ? ?1 ? =0.6 22. 设随机变量 X ～ f ( x )，? c , ? f ( x) ? ? 1 ? x 2 ? 0, ? | x | ＜1， 其他 .? 2?? 1 ? e ?1 ? 0.6321 ? 确定常数 c，计算 P ? ? | X |? ?.解1 ? ??11c 1? x1 π2dx ? c arcsin x |1 ?1 ? cπc =1? 1 2 ? P ? | X | ? ? ? ? 21 dx ? arcsin x 2 2? ? 2 ? 1? x ? ?11 2 0?1 323. 设随机变量 X 的分布函数 F ( x )为? 0, ? F ( x) ? ? A x , ? 1, ? x＜0 ， 0＜x＜1 , x ? 1.确定系数 A，计算 P ? 0 ? X ? 0.25 ?，求概率密度 f ( x ). 解 连续型随机变量 X 的分布函数是连续函数，F F (1－0)，有 A＝1.(1)＝ 15? 1 , ? f ( x ) ? ?2 x ? 0, ?0＜x＜1 , 其他 .P ? 0 ? X ? 0.25 ? ? F ( 0.25 ) ? F ( 0 ) ? 0.524. 求第 20 题中 X 的分布函数 F ( x ) . 解 F ( x ) ? P ? X ? x ? ? ? ?x? 1 e? | t |dt2当t≤ 0 时，1 x 1 F ( x ) ? ? ?? et dt ? e x 2 2当 t＞0 时，x 1 0 1 x1 F ( x ) ? ? ?? e ? | t | dt ? ? ?? e ?t dt ? ?0 e -t dt 2 2 2 1 1 1 ? ? (1 ? e ? x ) ? 1 ? e ?x 2 2 225. 函数(1+x2)－1 可否为连续型随机变量的分布函数，为什么? 解 不能是分布函数，因 F (－∞)＝ 1 ≠ 0. a 26. 随机变量 X～f ( x )，并且 f ( x ) ? ,确定 a 的值；求分布函数 2π (1? x )F ( x )；计算 P ? | X | ＜1 ? .解1 ? ? ????a a dx ? arctan x π ( 1? x2 ) π?? ???a因此 a =1F ( x) ? ? ??x1 1 dt ? arctan t π ( 1? t 2 ) πx ??1 1 ? arctan x 2 π 1 1 1 1 P ? | X | ＜1 ? ? ? ?1 dx ? 2 ? 0 dx 2 π ( 1? x ) π ( 1? x2 ) 2 1 ? arctan x 01 ? π 2 ?27. 随机变量 X 的分布函数 F ( x )A ? ?1 ? , F ( x) ? ? x 2 ? ? 0, x＞2 ， x ? 2.为：确定常数 A 的值，计算 P ? 0 ? X ? 4 ? . 解 由 F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得1? A ?0, 4 A?4P ? 0 ? X ? 4 ? ? P ? 0＜X ? 4 ? ? F ( 4 ) ? F ( 0 )? 0.7528. 随机变量 X～f ( x )，f ( x )＝A , 确定 e x ? e?xA 的值；求分布函数F ( x ) . 16解1 ? ? ??因此A ex ? d x ? A dx ? ?? e x ? e?x 1 ? e2 x π ? A a r ce xt ? a ?n A ?? 2 A＝ 2 ， π?x ??F (x)??2 2 dt ? arctanet π ( et ? e ?t ) πx ??2 ? arctan e x π29. 随机变量 X～f ( x )，? 2x ? , 0＜x＜a f ( x ) ? ? π2 ? 其他 . ? 0 , 其他确定 a 的值并求分布函数 F ( x ) . 解1 ? ?0a因此，a = π 当 0＜x＜π 时，F ( x ) ?0 2t x2 d t ? π2 π2 ?0, x ? 0 ? 2 ?x F ( x) ? ? 2 , 0＜x＜π ?π ? ?1, x ? πx2x x2 dx ? 2 2 π πa 0?a2 π230. 随机变量 X 的分布函数为?0 , ? F ( x ) ? ? a 2 x 2 ? 2ax ? 2 ?ax e , ?1 ? 2 ??x?0 x＞0 (a＞0)1 ? 求 X 的概率密度并计算 P ? ? 0＜X＜ ? . a ?解当 x ≤ 0 时，X 的概率密度 f ( x ) ＝0； 当 x ＞ 0 时，f ( x ) ＝F? ( x )? 0, ? f ( x ) ? ? a 3 x 2 ?ax e , ? ? 2 x?0, x＞0 .1 ? 1 ? 1 ? ? P ? 0＜x＜ ? ? P ? 0＜x ? ? ? F ( ) ? F ( 0 ) a ? a ? a ? ?31. 随机变量 X 服从参数为 0.7 的 0－1 分布，求 X2，X2－2X 的概率分布. 解 X2 仍服从 0－1 分布，且 P { X2＝0 } ＝P { X＝0 } ＝0.3，P{X25 ? 1 ? e?1 ? 0.08 2 17＝1}＝P{X＝1}＝0.7 X2－2X 的取值为－1 与 0 , P{X2－2X＝0} ＝P { X＝0 } ＝0.3 P { X2－2X＝－1 } ＝1－P { X＝0 } ＝0.7 32. 已知 P { X＝10n } ＝P { X＝10-n }＝ 1n , n ? 1 , 2 , ? , 解Y=lgX，求 Y 的概率分布. Y 的取值为±1, ±2 , ? P { Y=n } =P { lgX=n } =P { X=10n } = 1-n333P { Y=－n } =P { lgX=－n } =P { x=10 } ＝ 1n＝1 , 2 , ? 33. X 服从［a , b］上的均匀分布，Y=ax+b (a≠0)，求证 Y 也服从均匀分布. 证 设 Y 的概率密度为 fY ( y ) ， X 的概率密度为 fX ( x ) ，只要 a ≠ 0，y = ax + b 都是 x 的单调函数. 当 a ＞ 0 时，Y 的取值为 ［a2+b , ab+b］,x?h( y)? 1 1 ( y ? b ) , h? ( y ) ? x? y ? a a 1 f Y ( y ) ? h? ( y ) f X [ h ( y ) ] ? , y ? [ a 2 ? b , ab ? b ], a (b?a )当y ?[ a 2 ? b , ab ? b ]时 ，fY ( y ) =0.类似地，若 a＜0，则 Y 的取值为［ ab+b , a2+b ］? ?1 , ? f Y ( y) ? ? a(b ? a) ? 0, ? ab ? b ? y ? a 2 ? b , 其他 .因此，无论 a＞0 还是 a＜0，ax+b 均服从均匀分布. 34. 随机变量 X 服从［0 ,?2］上的均匀分布 Y=cosX , 求 Y 的概率密度fY ( y ). 解 y=cosx 在［0, h? ( y ) =. 因此2 ? , ? fY ( y ) ? ? π 1 ? y 2 ? 0， ?π 2］上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccosy?121? y,fx ( x ) =2 π,0≤x ≤π 20＜ y ＜1 , 其他 .35. 随机变量 X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y=ex , Z =｜lnX｜，分别求 随机变量 Y 与 Z 的概率密度 fY ( y ) 及 fZ ( z ) . 解 y = ex 在 (0 , 1) 内 单 调 , x=lny 可 导 ， 且x?y =1 y, fX ( x ) =1 180＜ x ＜ 1 ,?1 ? , fY ( y ) ? y ? 0, ?因此有1＜ y ＜ e , 其他 .在(0 , 1)内 lnx ＜ 0｜lnx｜=-lnx 单调，且 x = e ? z ，x?z＝－e ? z ，因此有?e ? z ， fz ( z ) ? ? ? 0, 0 ＜ z ＜ ? ?, 其他 .36. 随机变量 X～f ( x ) ，?e ? x , f (x)?? ? 0, x＞0 x?02 X , Z = X Y = , 分别计算随机变量 Y 与 Z 的概率密度 fy ( y ) 与 f Z ( z ) . 解 当 x ＞ 0 时，y = x 单调，其反函数为 x = y2 , x?y = 2y? ?2 y e ? y , fY ( y ) ? ? ? ? 0,2y ＞0 , y ? 0.z当x＞ 0 时 z＝x2 也是单调函数，其反函数为 x =z, x?z=1 2 z? 1 ? e ? f z ( z) ? ? 2 z ? 0, ?z＞0 ， z ? 0.(x)? 2 , ? (1 ? x 2 )37.随机变量 X～f ( x )，当 x ≥ 0 时, fY=arctanX ,与Z =1 X, 分 别 计 算 随 机 变 量 Y 与 Z 的 概 率 密 度 fY ( y )fz ( z ) . 解 由于 y = arctanx 是单调函数，其反函数 x=tany , x? 2 ? π? ? ? 0, ? 内恒不为零，因此，当 0 ＜ y ＜ 时，? 2?y=sec2y 在πf Y ( y ) ? sec2 y2 2 ? π(1 ? tan 2 y ) π即 Y 服从区间(0 ,π 2)上的均匀分布. , x?zz =fz ( z ) ?1 在 x＞0 时也是 x 的单调函数，其反函数 x= 1 x z= ?1 . 2z因此当 z＞0 时，?1 2 2 ? 2 z π [ 1? ( 1 )2 ] π ( 1? z 2 ) z 2 ? , z＞0 ? f z ( z ) ? ? π(1 ? z 2 ) ? 0, z?0 ? 19即Z =38. 一个质点在半径为 R，圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点 横坐标 X 的密度函数 fX ( x ) . ? 的长记为 L，显然 L 是一个连续型随 解 如图，设质点在圆周位置为 M，弧 MA 机变量，L 服从［0，π R］上的均匀分布.?1 ? , f L ( l ) ? ? πR ? ? 0, 0 ? l ? πR ， 其他 .1 X与 X 同分布.M 点的横坐标 X 也是一个数，且图 2-1随机变量，它是弧长 L 的函X ＝ Rcosθ＝ Rcos函数 x = Rcosl / R 是 l 的单调函数 ( 0＜ l ＜ 反函数为 l ＝ Rarccos xR?? lx ?R R2 ? x2L Rπ R ) ,其当－R ＜ x ＜ R 时，L?x ≠ 0，此时有fX ( x ) ? ?R R ?x2 2?1 1 ? πR π R 2 ? x 2当 x ≤ －R 或 x ≥ R 时，fX ( x ) ＝0 . 39. 计算第 2 , 3 , 5 , 6 , 11 各题中的随机变量的期望. 解 根据第 2 题中所求出的 X 概率分布，有EX ? 0 ? 21 15 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 38 38 38 2亦可从 X 服从超几何分布，直接计算EX ? n N1 5 1 ? 2? ? N 20 2 ? 1? 6 1 1 ? 2? ? 16 16 16 2 1 亦可从 X 服从二项分布(2， )，直接用期望公式计算： 4 1 1 EX ? np ? 2 ? ? 4 2在第 3 题中 EX ? 0 ? 9在第 5 题中 (1) EX ? 1 ? 3 ? 2 ? 9 (2) 在第9 1 ? 4? ? 1.3 4 44 220 220 3 9 9 1 EY ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3? ? 0.3 4 44 220 220 6 题中， EX ? 0 ? 1 ?1 ? 27 ? 2 ? 108 ? 3? 84 ? 2.25 220 220 220 220 ? 3? 201 1 ? ?1 ? 在第 11 题中， EX ? 1 ? ? ? ? d? ? 2 ? ? 3? ? ? d? ?3 ?? 2 ? 2d?3 1 0＜｜d｜＜ 3 3?40. P { X = n } = c , n=1, 2, 3, 4, 5, 确定 C 的值并计算 EX. 解n c c c c c 137c ?1 ? ?c? ? ? ? ? n?1 n 2 3 4 5 605C?60 1375 n?1EX ? ? n ?41. 随机变量 X 只取－1, 0, 1 三个值，且相应概率的比为 1 : 2 : 3，计算 EX. 解 设 P { X ＝－1 } ＝ a，则 P { X ＝0 } ＝2a, P { X＝ 1 } ＝3a ( a＞0 ) ，因 a + 2a + 3a = 1 , 故 a ＝1/6EX ? ?1 ?c 300 ? 5C ? n 13742. 随机变量 X 服从参数为 0.8 的 0－1 分布，通过计算说明 EX2 是否等于 ( EX )2 ? 解 EX＝P { X＝1 } ＝0.8，( EX )2 ＝0.64 EX2＝1×0.8＝0.8＞( EX )2 43. 随机变量 X～f ( x ) ，f ( x ) ＝0.5e- | x |，计算 EXn，n 为正 整数. 解 当 n 为奇数时， x n fEX n ? ? ?? 0.5x n e ? | x | dx ? 0?? ? ( x ) 是奇函数，且积分 ? 0 x n e? x dx 收敛，因此1 2 3 1 ? 0 ? ? 1? ? 6 6 6 3当 n 为偶数时，EX n ? ? ?? 0.5x n e? | x |dx ? 2? 0 0.5x n e ? x dx?? ??? ?0??x n e? x dx ? ? ( n ? 1 ) ? n !0 ? x ?1, 1＜x＜2 , 其他 . 其他44. 随机变量 X～f ( x ) ，? x, ? f ( x ) ? ?2 ? x , ? 0, ?计算 EXn(n 为正整数) . 解EX n ? ? ?? x n f ( x ) dx ? ? 0 x n?1dx ? ?1 ( 2 ? x ) x n dx1 2 ???1 2 1 ? ( 2n?1 ? 1 ) ? ( 2 n? 2 ) ? 1 n ? 2 n ?1 n?2 2 n?2 ? 2 ? ( n ?1) ( n ? 2 )45. 随机变量 X～f ( x ) ，?cx b , f (x)?? ? 0, 0 ? x ?1, 其他 其他 . 21b,c 均大于 0，问 EX 可否等于 1，为什么?解 而EX ? ? 0 cx b?1dx ?1 b ? ?? f ( x )dx ? ? 0 cx dx ? 1 ??c ?1 b ?1c b?2由于方程组? c ?1 ? ?b ? 1 ? ? c ?1 ? ?b ? 2无解，因此 EX 不能等于 1. 46. 计算第 6，40 各题中 X 的方差 DX . 解 在第 6 题中，从第 39 题计算知 EX＝ 9 ，4 27 4 ? 108 9 ? 84 1215 EX ? ? ? ? 220 220 220 2202DX＝EX2－( EX )2≈0.46 在第 40 题中，已计算出 EX＝ 300137EX 2 ? ? n 2 ?n?1 5,c 5 ? ? cn ? 15c n n?1= 900DX=EX -(EX)2≈1.7747. 计算第 23，29 各题中随机变量的期望和方差. 解 在第 23 题中，由于 f ( x ) ＝ 1 （0＜x＜1）,因此2 x EX ? ? 0121371 dx ? 3 2 x1xEX 2 ? ? 0x2 2 xdx ?1 5DX = EX2－ ( EX )2 =在第 29 题中，由于 f ( x )EX ? ? 0 2x 2 2 dx ? π 2 π 3 3 2 x π2 π EX 2 ? ? 0 2 dx ? π 2π 24 45＝ 2x ( 0＜x＜π 2π) , 因此DX＝EX2－ ( EX )2= π解? 1 yfY ( y ) dy ? ? 0 EY= ? ???182 π48. 计算第 34 题中随机变量 Y 的期望和方差.2y π 1? y2dy ?EY2= ? 012y2 2π 1? ydy ?1 2 22DY= 1 ?24 π2 ? 8 ? π2 2π 20, ? ? 2 ?1 ? x ? x , 2 2 =? ? 2 ? 1 ? x－ x ， ?2 2 ? 1, ? x＜ ? 1， ? 1 ? x＜0 ， 0 ? x＜1， x ? 1.49. 已知随机变量 X 的分布函数 F ( x ) 为：F ( x )计算 EX 与 DX . 解 依题意，X 的密度函数 f ( x ) 为：?1 ? x , ? f ( x ) ? ?1 ? x , ? 0， ? ? 1 ? x＜0 ， 0 ? x＜1， 其他 .解EX＝ ? ?01 x ( 1 ? x ) dx ? ? ?01 x ( 1 ? x ) dx ? 0 EX2= ? ?01 x2 ( 1 ? x ) dx ? ? 01 x2 ( 1 ? x ) dx ? 1 DX= 1 6650. 已知随机变量 X 的期望 EX＝μ ，方差 DX＝σ 2，随机变量 Y =X ???, 求EY 和 DY . 解 EY = 1 ( EX－μ?) ＝0DY =DX?2=11 ) 451. 随机变量 Yn～B ( n,,分别就 n=1, 2, 4, 8, 列出 Yn 的概率分布表，并画出概率函数图 .解Y1 P Y3 P Y4 P03 411 4Y2 P127 6409 1616 1621 16027 6429 6431 64081 2561108 256254 256312 25641 256 23Y8 P01234567841 12 252 24 a a 6a 2a 8a a a a a其中 a = 1/65536 . 图略 . 52. 设每次试验的成功率为 0.8，重复试验 4 次，失败次数记为 X，求 X 的概率 分布 . 解 X 可以取值 0, 1, 2, 3, 4 .相应概率为 P ( X＝m ) ＝ C44?m ? 0.84?m ? 0.2m ( m=0, 1, 2, 3, 4 ) 计算结果列于下表X P0 1 2 3 4 0.6 0.6 0.001653. 设每次投篮的命中率为 0.7，求投篮 10 次恰有 3 次命中的概率 ；至少命 中 3 次的概率 . 解 记 X 为 10 次投篮中命中的次数，则 X～B ( 10 , 0.7 ) . 3 P ? X ? 3 ? ? C10 0.730.37 ? 0.009 P ? X ? 3 ?? 1? P ? X ? 0 ?? P ? X ? 1 ?? P ? X ? 2 ? =1－0.310－10×0.7×0.39－45×0.72×0.38 ≈0.9984 54．掷四颗骰子，求“6 点”出现的平均次数及“6 点”出现的最可能（即概率 最大）次数及相应概率. 解 掷四颗骰子，记“6 点”出现次数为 X，则 X～B（4， 1 ）.6EX = np=2 35 6由于 np + p =P ? X ? 0 ?? (，其 X 的最可能值为［ np + p ］=05 4 625 ) ? 6
若计算 P ? X ? 1 ? ? ，显然 P ? x ? 2 ? , P ? x ? 3 ? , 1296 P ? x ? 4 ? 概率更小.55．已知随机变量 X～B（n, p） ，并且 EX=3，DX=2，写出 X 的全部可能取值， 并计算 P ? X ? 8 ? . 解 根据二项分布的期望与方差公式，有?np ? 3 ? ?npq ? 2解方程，得 q= 2 ，p= 1 ，n=9 .33X 的全部可能取值为 0, 1, 2, 3, ?, 9 .P ? X ? 8 ?? 1? P ? X ? 9 ?= 1－ ( 1 ) 9 ≈30.999956．随机变量 X～B（n，p） ，EX=0.8，EX2=1.28，问 X 取什么值的概率最大，其 24解概率值为何? 由于 DX = EX2－(EX)2=0.64,?npq ? 0.64 ? ?np ? 0.8EX=0.8,即解得 q = 0.8，p = 0.2，n = 4 . 由于 np+p=1，因此 X 取 0 与取 1 的概率最大，其概率值为 P ? X ? 0 ? ? P ? X ? 1 ? ? 0.84 ? 0.4096 57．随机变量 X～B（n, p） ，Y=eaX，计算随机变量 Y 的期望 EY 和方差 DY . 解 随机变量 Y 是 X 的函数，由于 X 是离散型随机变量，因此 Y 也是离散型随 机变量，根据随机变量函数的期望公式，有i i n ?i EY ? ? e ai P｛X ? i｝ ? ? e aiC n pq i ?0 n i ?0 i ? ? Cn (e a p ) i q n ?i ? (e a p ? q ) n i ?0 n nEY ? ? (e ai ) 2 P｛X ? i｝2 i ?0 i ? ? Cn ( e 2 a p ) i q n ? i ? (e 2 a p ? q ) n i ?0 nnDY ? (e 2ap ? q) n ? (e ap ? q) 2n58. 从一副扑克牌（52 张）中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量 X，Y 分 别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数，分别求 X，Y 的概 率分布以及期望和方差. 解 X 服从超几何分布，Y 服从二项分布 B（4， 1 ）.2P｛X ? m｝ ? C C Cm 26 4?m 26 4 52m 1 m 1 4? m (m ? 0,1,2,3,4) P｛Y ? m｝ ? C4 ( ) ( ) (m ? 0,1,2,3,4) 2 2具体计算结果列于下面两个表中.X P Y PEX ? n0 1 2 3 4 46/833 208/833 325/833 208/833 46/833 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/160 1/16, m ? 0,1,2,3,4 并与 59. 随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布， 查表写出概率 P｛X ? m｝ 上题中的概率分布进行比较.N1 26 ? 4? ?2 N 52 N N N ?n 26 26 48 16 DX ? n 1 ? 2 ? ? 4? ? ? ? N N N ?1 52 52 51 17 1 EY ? np ? 4 ? ? 2 DY ? npq ? 1 2XP0 1 2 3 4 0.7 0.4 0.090260．从废品率是 0.001 的 100000 件产品中，一次随机抽取 500 件，求废品率不 超过 0.01 的概率. 解 设 500 件中废品件数为 X，它是一个随机变量且 X 服从 N=100000， N1 =100， 25n=500 的超几何分布.由于 n 相对于 N 较小， 因此它可以用二项分布 B （500， 0.001） 近似.又因在二项分布 B（500，0.001）中，n=500 比较大，而 p=0.001 非常小， 因此该二项分布又可用泊松分布近似，其分布参数 λ =np=0.5. ? X P? ? 0.001 ? ? P｛X ? 5｝? 500 5 0.5 m ? ? e ?0.5 ? 0.999986 m ?0 m!61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有 0.8 个疵点，若 规定疵点数不超过 1 个为一等品，价值 10 元；疵点数大于 1 不多于 4 为二 等品，价值 8 元；4 个以上者为废品，求： （1）产品的废品率； （2）产品价值的平均值? 解 设 X 为一件产品表面上的疵点数目， ? 1 ? P｛X ? 3 ｝ （1） P｛X＞4｝? 1 ? ? P｛X ? m｝ ? 0.0014m ?0 3（2）设一件产品的产值为 Y 元，它可以取值为 0，8，10.EY ? 0 ? P｛Y ? 0｝ ? 8 ? P｛Y ? 8｝ ? 10 ? P｛Y ? 10 ｝ ? 8P｛ 1＜X ? 4｝ ? 10P｛X ? 1 ｝ ? 8 ? 0.1898? 10 ? 0.8088 ? 9.61(元)62．设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布，经统计发现在某 本书上，有一个印刷错误的页数与有 2 个印刷错误的页数相同，求任意检验 4 页，每页上都没有印刷错误的概率. 解 设一页书上印刷错误为 X ， 4 页中没有印刷错误的页数为 Y ，依题意，P｛X ? 1 ｝ ? P｛X ? 2｝即?e ?? ??22!e ??解得 λ =2，即 X 服从 λ =2 的泊松分布.p ? P｛X ? 0｝ ? e ?2显然 Y～B (4, e ?2 )P｛Y ? 4｝ ? p 4 ? e ?863．每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布，若已知一个粮仓内，有一只老鼠的概 率为有两只老鼠概率的两倍，求粮仓内无鼠的概率. 解 设 X 为粮仓内老鼠数目，依题意P｛X ? 1 ｝ ? 2P｛X ? 2｝?e ?? ? 2 ??22!e ??解得 λ =1.P｛X ? 0｝ ? e ?164．上题中条件不变，求 10 个粮仓中有老鼠的粮仓不超过两个的概率. 解 接上题，设 10 个粮仓中有老鼠的粮仓数目为 Y，则 Y～B（10，p） ，其中P? ｛X＞0｝ ? 1 ? P｛X ? 0｝ ? 1 ? e ?1 , q ? e ?1 P｛Y ? 2｝ ? P｛Y ? 0｝ ? P｛Y ? 1 ｝ ? P｛Y ? 2｝? e ?8 (36e ?2 ? 80e ?1 ? 45) 2665．设随机变量 X 服从 ?2, 3? 上的均匀分布，计算 E(2X)，D（2X） ， D(2 X ) 2 . 解1 76 , EX 2 ? DX ? ( EX ) 2 ? 12 12 1 E(2X)=5，D(2X)=4DX= ， 3 D(2 X ) 2 ? D(4 X 2 ) ? 16DX 2 ? 16 EX 4 ? ( EX 2 ) 2 211 3 EX 4 ? ? 2 x 4 dx ? 5 211
DX 2 ? EX 4 ? ( EX 2 ) 2 ? ? ? 5 144 720 1504 D (2 X ) 2 ? 16DX 2 ? 45EX=2.5，DX=??66．随机变量 X 服从标准正态分布，求概率 P . ｛X ? 3 ｝ ,P ｛2.35 ? X ? 5 ｝ ,P ｛X ? 1 ｝ ,P ｛X ? ?7｝ 解 P ｛X ? 3 ｝ ? Φ (3) ? 0.9987P ｛ 2.35 ? X ? 5 ｝ ? Φ (5) ? Φ (2.35) ? 0.0094P ｛X ? 1 ｝ ? Φ (1) ? 0.8413P ｛X ? ?7 ｝ ? 1 ? Φ (7) ? 067．随机变量 X 服从标准正态分布，确定下列各概率等式中的 a 的数值： ? 0.9; ； （1） P｛X ? a｝ （2） P? X ? a?? 0.9; （3） P?X ? a? ? 0.97725; （4） P? X ? a?? 0.1; 解 （1） P?X ? a? ? Φ (a) ? 0.9 ，查表得 a=1.28 （2 ） P ?X ? a? ? 2Φ (a ) ? 1 ? 0.9 ，得Φ （a）=0.95，查表得 a=1.64 （3） P?X ? a? ? Φ (a) ? 0.97725 ，查表得 a =2（4） P? X ? a?? 2?(a) ?1 ? 0.1，得 Φ (a)= 0.55， 查表得 a = 0.13 68. 随机变量 X 服从正态分布 N (5,2 2 ) ，求概率 P?5＜X＜8?, P?X ? 0? , P? X ? 5＜2?. 解?8?5? ?5?5? P?5＜X＜8? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? ? 2 ?? Φ (1.5) ? Φ (0) ? 0.4332P ?X ? 0? ? ? ?? 2.5? ? 1 ? ? ?2.5? ? 0.0062? X ?5 ? P? X ? 5＜2? ? P ? ? 1? ? 2?(1) ? 1 ? 2 ?=0.6826 69．随机变量 X 服从正态分布 N (? ,? 2 ) ，若 P?X＜9? ? 0.975 , P?X＜2? ? 0.062 ，计算 μ 和 σ 的值，求 P?X＞6? . ?9?? ? P?X＜9? ? ? ? 解 ? ? 0.975? ? ? ?2?? ? ? ? ?2? P?X＜2? ? ?? ? ? 0.062, ?? ? ? 0.938 ? ? ? ? ? ? 27查表得：?9 ? ? ? 1.96 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 1.54 ? ? ?解以 μ 和 σ 为未知量的方程组，得 μ =5.08，σ =2. P?X＞6? ? 1 ? P?X ? 6? ? 1 ? ?(0.46) =0.3228 70．已知随机变量 X～N (10,22 ) ， P?X ? 10＜c? ? 0.95 ， P?X＜d? ? 0.023，确定 c 和 d 的值.? X ? 10 c ? P? X ? 10＜c? ? P? ＜ ? 2? ? 2 c? = 2? ? ? ? ? 1 ? 0.95 ?2? ?c? ? ? ? ? 0.975， ?2? 查表得 c ? 1.96, c ? 3.92 2 ? d ? 10 ? P?X＜d? ? ? ? ? ? 0.023 ? 2 ?解? 10 ? d ? ? ? 0.977 ? 2 ? 10 ? d ? 查表得 ? ? ? ? 2, d ? 6 ? 2 ???71．假定随机变量 X 服从正态分布 N (? ,? 2 ) ，确定下列各概 率等式中 a 的数值： （1） P?? ? a?＜X＜? ? a? ? ? 0.9; （2） P?? ? a?＜X＜? ? a? ? ? 0.95; （3） P?? ? a?＜X＜? ? a? ? ? 0.99; 解? X ?? ? P?? ? a?＜X＜? ? a? ? ? P? ＜a ? ? ? ?=2Φ (a) -1 （1）2Φ (a)-1=0.9，Φ (a)=0.95，a=1.64； （2）2Φ (a)-1=0.95，Φ (a)=0.975,?a=1.96； （3）2Φ (a)-1=0.99，Φ (a)=0.995，a=2.58. 72．某科统考的考试成绩 X 近似服从正态分布 N (70, 102 ) , 第 100 名的成绩为 60 分，问第 20 名的成绩约为多少分? 60 ? 70 ? 解 P?X ? 60? ? 1 ? P?X ? 60? ? 1 ? ? ? ? ?? 10 ?= ? (1) = 0.8413 .设参加统考人数为 n，则 100 =0.8413，n= 100 ? 19n0.8413设第 20 名成绩约为 a 分，则? 2820 ? 0.1681 n P?X ? a? ? 0.8319 P?X ? a? ?? a ? 70 ? ? ? 0.8319 ? 10 ? 查表得 a ? 70 ? 0.96 10??a=79.6因此第 20 名的成绩约为 80 分. 29习 题 三1．袋内有四张卡片，分别写有数字 1，2，3，4，每次从中任取一张，不放回地 抽取两次，记 X、Y 分别表示两次取到的卡片上数字的最小值与最大值，求 （X，Y）的概率分布. 解 （X，Y）可以取值为（1，2） ， （1，3） ，?，(3，4).事件 ?X ? 1,Y ? 2? 是两个 互不相容事件“第一次取到数字 1 且第二次取到数字 2”与“第一次取到数字 2 且第二次取到数字 1”的和，其概率为 1/6，类似地可以计算出其他 pij 的值（见 下表）.?YX2 1 2 31 631 6 1 641 6 1 6 1 63 6p i.3 6 2 6 1 60 01 602 6p.j2．求上题中随机变量 X 与 Y 的边缘分布.并计算期望 EX，EY 与方差 DX，DY. 解 在（X，Y）的联合分布表中，将每一行对各列求和，得到 X 的边缘分布 pi. （i=1，2，3）.类似地，可以得到关于 Y 的边缘分布，其具体结果见上题联合 分布表. EX= 1? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 1 ? 5 EX 2 ? 106 6 6 3 3 1 2 3 10 35 EY ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? EY 2 ? 6 6 6 3 3 5 5 DX ? EX 2 ? ( EX )2 ? DY ? 9 93．一个袋内有 10 个球，其中有红球 4 个，白球 5 个，黑球 1 个，不放回地抽 取两次，每次一个，记 X 表示两次中取到的红球数目，Y 表示取到的白球数 目，求随机向量（X，Y）的概率分布及 X、Y 的边缘概率分布. 解 显然（X，Y）的全部取值为（0，1） ， （0，2） ，?（2，0）.P?X ? 0, Y ? 1? ?1 C5 5 ? 2 C10 45类似地可以计算出其他 pij 的值（见下表） ：X Y0 04 4515 45 20 45210 450 10 3026 45004．上题中试验条件不变，若记?0 第i次取到红球 ? X i ? ?1 第i次取到白球 ?2 第i次取到黑球 ?解 式i=1，2，求随机向量 ( X 1 , X 2 ) 的概率分布，计算两次取到的球颜色相同的概率.P?X ? i,Y ? j? ? P?X ? j?P? Y ? i X ? i?易见 ( X 1 , X 2 ) 的全部可能取值为（0，0） ， （0，1） ，?（2，1）. 应用乘法公不难计算出 pij 的全部值（见下表） ：X20120 90 20 90 5 9016 4524 90 5 90X10 1 212 90 20 90 4 900P?X 1 ? X 2 ? ? P?X 1 ? 0, X 2 ? 0?? P?X 1 ? 1, X 2 ? 1? ?5．第 3 题中袋内球的组成及抽取次数不变，但是改为有放回抽取，求第 4 题中 定义的随机向量 ?X 1 , X 2 ? 的概率分布. 解 ?X 1 , X 2 ? 的取值为(0，0)，(0，1)，? (2，2)． 且 P?X 1 ? i, X 2 ? j? ? P?x ? i?P?x ? j?，因此， ?X 1 , X 2 ? 的联合概率分布为下表所示：X201 0.20 0.25 0.052 0.04 0.05 0.01X10 1 2 0.16 0.20 0.046．将 3 个球随机地放入四个盒子，记 X i 表示第 i 个盒子内球的个数，i=1，2， 求随机变量 X 1 与 X 2 的联合概率分布及关于 X 2 的边缘分布. 解 ?X 1 , X 2 ? 取值为（0，0） ， （0，1） ，?（3，0）P?X 1 ? 0, X 2 ? 0? ? 23 8 ? 43 64 311 C3 ? 2 2 12 ? 3 4 64 2 1 C C 6 P?X 1 ? 0, X 2 ? 2? ? P?X 1 ? 2, X 2 ? 0? ? 3 3 2 ? 4 64 1 1 1 C C 2 C 2 12 P?X 1 ? 1, X 2 ? 1? ? 3 3 ? 4 64 1 C3 3 P?X 1 ? 1, X 2 ? 2? ? P?X 1 ? 2, X 2 ? 1? ? 3 ? 4 64 1 1 P?X 1 ? 0, X 2 ? 3? ? P?X 1 ? 3, X 2 ? 0? ? 3 ? 4 64P?X 1 ? 0, X 2 ? 1? ? P?X 1 ? 1, X 2 ? 0? ?列成联合分布表如下，表中最下一列为 X2 的边缘分布 P?X 2 ? j? ? p.j，j=0，1，2， 3.X208 64 12 64 6 64 1 64 27 64112 64 12 64 3 6426 64 3 6431 64X10 1 2 3 0 0 01 640 09 64027 64p.j7．将 3 个球随机地放入四个盒子，设 X 表示第一个盒子内球的个数，Y 表示有 球的盒子个数，求随机向量（X，Y）的概率分布. 解 （X，Y）的取值为（0，1） ， （0，2） ， （0，3） ， （1，2） ， （1，3） ， （2，2） ．P?X ? 0, Y ? 1? ?1 C3 3 ? 3 4 64类似地可以依次计算出 pij 的值（见下表） ：Y X0 1 2 313 64218 64 9 64 9 6436 64 18 640 01 640 008.已知随机向量（X，Y）只取（0，0） ， （-1，1） ， （-1，2）及（2，0）四对值，相 32应概率依次为 1 ， 1 ， 1 和 5 .列出（X， Y）的概率分布表，求 Y 的边缘分布及12 6312X+Y 的概率分布.解Y X-1 0 20 01 12 5 12 1 211 621 30 01 60 01 3p.j（X，Y）的联合概率分布如上表所示，表中最下一行为 Y 的边缘分布，X+Y 的分 布见下表：X+Y P01 411 325 129．袋中有 10 张卡片，其中有 m 张卡片上写有数字 m，m=1，2，3，4，从中不重 复地抽取两次，每次一张，记 Xi 表示第 i 次取到的卡片上数字，i=1，2. 求 ?X 1 , X 2 ? 的概率分布以及 X1+X2，X1X2 的概率分布. 解 ?X 1 , X 2 ? 可以取（1，2） ， （1，3） ，?（4，4） ，其相应概率见下表：X21 02 90 3 90 4 9022 90 2 90 6 90 8 9033 90 6 90 6 90 12 9044 90 8 90 12 90 12 90X11 2 3 4X1+X2 可以取 3，4，?，8 各值，X1X2 可以取 2，3，4，6，8，9，12，16 各值，其相应概率见以下二表：X1 ? X 2345678 33P2 454 45X1 X 210 4511 4512 456 4522 4533 4545 4566 4588 4593 4512 1612 45 6 45PA (1 ? x 2 )(1 ? y 2 )10．随机向量（X，Y）～f（x, y） ，f ( x, y ) ?x, y＞0A dxdy (1 ? x 2 )(1 ? y 2 )确定系数 A 的值，求联合分布函数 F(x, y). 解?? ? ?? ? f ( x, y )dxdy ? ?0 ?0?? ?? ?? ???π2 A ?1 4 4 A? 2 π?4 ? arctanx arctany, x, y＞0 F ( x, y) ? ? π 2 ? ， 其他. ?011．随机向量（X，Y）服从区域 D 上的均匀分布，求分布密度 f（x,y）, 其中 D 为下面给定的区域： （1） D ? ?( x, y), ? 1 ? x ? 1, 1 ? y ? 2? （2） D ? ?( x, y), x? ?24?（3） D ? ?( x, y), x 2 ? y 2 ? 2 y? 解?1 , （1） S D ? 2, f ( x, y) ? ? ?2 ? ?0, ( x, y) ? D, ( x, y) ? D;? y2 ? 1? 9 ??1 , ( x, y) ? D, （2） S D ? 6π, f ( x, y) ? ? ? 6π ? ?0, ( x, y) ? D; ?1 , ( x, y) ? D, （3） S D ? π, f ( x, y) ? ? ?π ? ?0, ( x, y) ? D.12．求上题中关于 X 及关于 Y 的边缘密度. 解 （1）?1 ? , ? 1 ? x ? 1, f X ( x) ? ? 2 ? ?0, 其他;?1, 1 ? y ? 2, f Y ( y) ? ? ?0, 其他;（2） f X ( x) ? 3?x2 4 x2 ? 1? 4 1?1 1 dy ? 4 ? x 2 , x ? 2, 6π 2π 34当｜x｜＞2 时，fx（x）=0，类似地?2 9 ? y 2， ? fY ( y ) ? ? 9π ? 0， ? y ?3 y ＞32 1 ? x2 π（3）当｜x｜≤1 时，f X ( x) ? ?1? 1? x 2211? 1? x?dy ?当｜x｜＞1 时，fX（x）=0，类似地，?2 2 ? 2y ? y , f Y ( y) ? ? π ? 0， ? 0 ? y ? 2， 其他；13．计算第 11 题（3）中的 EX 及 EY. 解EX ? ? xf X ( x)dx ? ??? ??2x 1 ? x 2 dx ? 0 ?1 π1EY ? ?0214．分别判断第 3、7、8 各题中的随机变量 X 与 Y 是否独立? 解 在第 3 题中， P? x ? 0, y ? 0 ? ? 0 而 P?X ? 0?P? Y ? 0? ? 0 ,因此 X 与 Y 不独立； 同样方法可以判断出第 7 与第 8 题中 的 X 与 Y 均不独立. 15．判断第 10，11 各题中的随机变量 X 与 Y 是否独立? 解 在第 10 题中， FX ( x) ? P?X ? x? ? ? ?π? ? ?2 arctan x, x＞0, 0, x ? 0.2y 2 y ? y 2 dy ? 1 π?2 ? arctan y, y＞0, FY ( y) ? ? π ? 0, y ? 0. ?由于对任何 x、y 均有 F(x, y)=FX(x)FY(y)，因此随机变量 X 与 Y 独立； 在第 11 题（1）中的 f（x, y）=fX (x) fY (y)，因此 X 与 Y 是独立的，而在 第 11 题的（2）与（3）中，不能对于所有 x,y 均满足等式 f（x,y）= fX (x) fY (y) ,因此（2）与（3）中的 X，Y 是不独立的. X2 ， 16． 设随机变量 X1 与 X2 独立， 其概率分布由下面两表确定， 令 X ? X 1 ? X 2 ,Y ? X 1? 求随机向量（X1，X2）的概率分布及 X、Y 的概率分布.X1 P解0 0.61 0.4X2 P1 0.52 0.33 0.2由于 X1 与 X2 独立，因此有 P?X ? i ,Y ? j? ? P?X ? i?P? Y ? j? 具体计算结果列于下表X2123 35X10 1 0.30 0.20 0.18 0.12 0.12 0.08X 的取值为 1，2，3，4.P?X ? 1? ? P?X 1 ? X 2 ? 1? ? P?X 1 ? 0, X 2 ? 1?=0.30 类似地，可以计算出 P? X ? i ?,i ? 2, 3, 4 列于下表XP1 0.302 0.383 0.244 0.08随机变量 Y 可以取 0，1，2，3 各值. P? Y ? 0? ? P?X 1 X 2 ? 0? ? P?X 1 ? 0? ? 0.60 P? Y ? 1? ? P?X 1 X 2 ? 1? ? P?X 1 ? 1, X 2 ? 1? ? 0.20 P? Y ? 2? ? P?X 1 X 2 ? 2? ? P?X 1 ? 1, X 2 ? 2? ? 0.12 P? Y ? 3? ? P?X 1 X 2 ? 3? ? P?X 1 ? 1, X 2 ? 3? ? 0.08 17．有一种两版面的报纸，每版印刷错误数服从参数为 1 的泊松分布，假定各 版印刷错误相互独立，求一份这种报纸上印刷错误总数 X 的概率分布. 解 设 X1，X2 分别表示第 1、第 2 版面上的印刷错误，X= X1+X2，X 可以取一切非负整数. P?X ? n? ? P?X 1 ? X 2 ? n? n ? ? P?X 1 ? k , X 2 ? n ? k ?k ?0 n? ? P?X 1 ? k ?P?X 2 ? n ? k ?k ?0??1 ?1 1 e ?2 n n! e e ?1 ? ? k ? 0 k! ?n ? k ?! n! k ?0 k!?n ? k ?!n?18．设随机变量 X1 与 X2 独立，且 Xi～B(2,0.8) ,i=1,2 令 X=X1+X2，Y=X1?X2， 求 X、Y 的概率分布. 解 X 可以取 0，1，2，3，4 各值 k P?X ? k? ? P?X 1 ? X 2 ? k ? ? ? P?X 1 ? m, X 2 ? k ? m?m ?0e ?2 n k 2n ?2 ? Cn ? e n! k ?0 n!?n ? 0,1,2,??? ? P?X 1 ? m?P?X 2 ? k ? m?k m ?0 k m k ?m ? ? C2 0.8m ? 0.2 2?m ? C2 0.8k ?m ? 0.22?k ?mm k ?m ? ? C2 C2 ? 0.8k ? 0.2 4?km ?0 k?k ? 0,1,2,3,4? Y 可以取 0，1，2，4 各值k ? C4 0.8k ? 0.2 4?km ?0 36P?Y ? 0? ? P?? X 1 ? 0? ? ? X 2 ? 0??? P?X 1 ? 0? ? P?X 2 ? 0? ? P?X 1 ? 0?P?X 2 ? 0?? 0.0784 P?Y ? 1? ? P?X 1 ? 1?P?X 2 ? 1? ? 0.1024P?Y ? 4? ? P?X 1 ? 2?P?X 2 ? 2? ? 0.4096 ? 0.4096P?Y ? 2? ? 1 ? P?y ? 0? ? P?y ? 1? ? P?y ? 4?19．求上题随机向量（X,Y）的协差矩阵 V. 解 由上题知，X～B（4，0.8） ，EX=3.2，DX=0.64 EY=2.56，DY=1.7408 2 EXY ? E ? X 1 ? X 2 ?X 1 X 2 ? EX 12 X 2 ? EX 1 X 2Cov? X , Y ? ? EXY ? EXEY ? 1.0242 ? EX 12 EX 2 ? EX 1 EX 2 ? 2 EX 12 EX 1 ? 9.216?0.64 1.024 ? V ?? ? ?1.024 1.7408?20．求第 6 题中随机向量（X1，X2）的协差矩阵 V. 解 EX1 ? EX 2 ? 3 , EX12 ? EX 22 ? 9 , DX1 ? DX 2 ? 94 82163 3 ?3? 3 ,Cov? X 1 , X 2 ? ? ? ? ? ? ? 8 8 ?4? 16 3? ?9 ?16 ? 16 ? V ?? ? ?? 3 9 ? ? ? 16 16 ? ? EX 1 X 2 ?21．求第 7、8 各题中随机向量（X，Y）的均值向量及协差矩阵. 解 在第 7 题中， EX ? 3 , EX 2 ? 9 , DX ? 94 8 37 91 87 2 EY ? , EY ? , DY ? 16 16 256 111 EXY ? , Cov? X , Y ? ? EXY ? EXEY ? 0 64 ?9 ? ?3 ? 0 ? ? ? ? EX ? ? 16 4 μ ? ? ? ? ? ? ,V ? ? ? 37 EY 87 ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 16 ? ? 256? ? ? ? 1 13 37 EX ? , EX 2 ? , DX ? 3 6 18 5 3 29 2 EY ? , EY ? , DY ? 6 2 36 5 10 EXY ? ? , Cov? X , Y ? ? ? 6 9 1 37 10 ? ? ? ? ? ? ?3 ? ? 18 9 μ?? ? V ?? ? 5 10 29 ? ? ?? ? ?6? ? ? 9 ? 36 ? ? ? 16在第 8 题中 3722.计算第 11 题（3）中随机向量（X，Y）的协差矩阵 V. 解2 1 EX ? ??1 x ? 1 ? x 2 dx ? 0 π 2 2 1 1 2x 1 4x DX ? EX 2 ? ??1 1 ? x 2 dx ? ?0 1 ? x 2 dx ? π π 4 22y EY ? ?0 2 y ? y 2 dy ? 1 π 2 5 22y EY 2 ? ?0 2 y ? y 2 dy ? π 4 1 2 DY ? EY 2 ? ?EY ? ? 4 ? ? ?? 2 2 y ? y xy EXY ? ??? ??? xyf ?x, y ?dxdy ? ?0 dy ?? 2 y? y dx ? 0 π Cov? X , Y ? ? EXY ? EXEY ? 02 2?1 ? V ? ?4 ?0 ? ?? 0? ? 1? ? 4?23．设随机向量（X，Y）～f（x,y）? Axy 2 0 ? x ? 2,0 ? y ? 1 f ?x , y ? ? ? 其他 ?0 其他求系数 A，X 的边缘概率密度 f1(x)，并计算（X，Y）在以（0，0） ， （0，2） ， （2，1）为顶点的三角形内取值的概率. 2A ?? ? ? 1 2 2 解 ??? ??? f ?x, y ?dxdy ? ?0 dy ?0 Axy dx ?3 2 A ? 1, 3 A ? 1.5当 0≤x≤2 时， 1 f X ?x? ? ?01.5xy 2 dy ? 0.5x 当 x＜0 或 x＞2 时，fX(x)=0 记所求概率为 p，则有p ? ?0 dy ?0 1.5xy 2 dx ? 0.61 2y24．计算上题中随机向量（X，Y）的均值向量及协差矩阵. 解 EX ? ?020.5x 2 dx ? 43EX ? ? 0.5 x dx ? 2, DX ?2 2 0 32 9Cov? X , Y ? ? 03 4 3 3 1 2 EY 2 ? ?0 dy ?0 1.5 xy 4 dx ? , DY ? 5 80 1 2 2 3 EXY ? ?0 dy ?0 1.5 x y dx ? 1 EX ? ?0 dy ?0 1.5 xy 2 dx ?1 2 38?4? ?3? μ?? ? ?3? ?4? ? ??2 ?9 V ?? ?0 ? ?? 0 ? ? 3? ? 80 ?25．随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从［0，2］上的均匀分布，Y 服从 λ =2 的指 数分布，写出随机向量（X，Y）的概率密度，计算概率 P{X≤Y}. 解?1 ? , 0 ? x ? 2, f X ?x ? ? ? 2 ?0, 其他； ? ?2e ?2 y , y＞0 fY ? y ? ? ? y?0 ?0,由于 X 与 Y 独立，因此有P?X ? Y ? ? ?? f ?x, y ? dxdyx? y?e ?2 y ,0 ? x ? 2, y＞0, f ?x、y ? ? f X ?x ? fY ? y ? ? ? ?0, 其他.2 ?? 21 ? ?0 dx ?x e ?2 y dy ? ?0 e ?2 x dx 2 1 ? 1 ? e ?4 4??26．已知随机向量（X，Y）的协差矩阵 V 为?4 V ?? ?6 ? 6? ? 9? ?计算随机向量（X+Y，X-Y）的协差矩阵. 解 D ( X+Y ) =DX+2Cov ( X，Y ) +DY = 25 D ( X-Y ) =DX-2Cov ( X，Y ) +DY = 1 Cov ( X+Y，X-Y ) = DX-DY = -5?25 V ?? ?? 5 ? 5? 1? ?27．设随机变量 Y 是 X 的线性函数，Y=aX+b， （a≠0） ，且随机变量 X 存在期望 2 EX=μ ，方差 DX=σ ，求随机向量（X，Y）的协差矩阵. 解 DY ? a 2 DX ? a 2σ 2 Cov? X , Y ? ? Cov? X , aX ? b ? ? aDX ? aσ 2?σ 2 aσ 2 ? V ? ? 2 2 2? ? ?aσ a σ ? ?28．一个靶面由五个同心圆组成，半径分别为 5，10，15，20，25（单位：厘米） ， 假定射击时弹着点的位置为（X，Y） ，且（X，Y）服从二维正态分布，其密 度为? 1 f ? x, y ? ? e 200π x2 ? y2 200现规定弹着点落入最小的圆域得 5 分，落入其他各圆环（从小到大）的得分 依次为 4 分、3 分、2 分及 1 分，求 1 次射击的平均得分. 解 设随机变量 W 为一次射击的得分，则 W 可以取 0，1，2，3，4，5 各值. 39P? W ? 0? ?x 2 ? y 2＞625?? f ?x, y ?dxdy 令x ? r cos? , y ? r sin?? ?0 d? ?252???r ? 200 e dr ? 0.πr2同样方法可以计算出 P? W ? 1? ? 0.0914, P? W ? 2? ? 0.1893, P? W ? 3? ? 0.2819, P? W ? 4? ? 0.2760, P? W ? 5? ? 0.1175. 5 EW ? ? iP? W ? i? ? 3.0072i ?029．上题中设 Z 为弹着点到靶心的距离，求 Z 的概率密度 fZ（z）及期望 EZ. 解 依题意随机变量 Z 是 X 与 Y 的函数，且Z ? X 2 ?Y 2当 z＞0 时， FZ ?z ? ? P?Z ? z? ? 令 x=rcosθ ，y=rsinθ? r ? 200 FZ ?z ? ? ? d? ? e dr ? 1 ? e 200π ? z ? z ? e 200 , z＞0 f Z ?z ? ? ?100 ? 0, z?0 ? 2? 0 z 02x2 ? y2 ? z 2??1 ? e 200πx2 ? y 2 200dxdyr2z2 200z2 ? EZ ? ? zf Z ?z ? ? ? e 100?? ?? ?? 0z2 200dz ? 5 2π30．随机向量（X，Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别是? 0? μ?? ? 0? ? ? ? ?16 V ?? ?12 ? 12 ? ? 25? ?求出密度函数 f ( x, y) 的表示式 解 ? ? Cov?x , y ? ? 0.6? 1? 2将 μ 1= μ 2 =0， ? 12 ? 16,? 22 ? 25 ，ρ =0.6 代入二维正态分布的概率密度公式，得? ? 16 ? 50 xy ? 25 ? 1 ? 32? ? f ? x, y ? ? e ? 32π 25? x 2 3 y2 ?31．设随机向量（X，Y）～f（x,y） ，f ? x, y ? ?2x 1 ?? e ? 2π ?2? 3 x ? y ?1??1 ? y ?1?2 ? ? 2 ?求（X，Y）的均值向量与协差矩阵. 解 易见（X，Y）服从二维正态分布 μ 1=0，μ 2=1 且 σ 1，σ 2，ρ 满足下列等 式： 40? 1 ?2 ? 2 2 ? 2(1 ? ? ) ? 1 ? ? 2? ? ? 3 ? 2 ? 2(1 ? ? ) ? 1? 2 ? 1 1 ? ? 2 2 ? 2 ( 1 ? ? ) ? 2 2 ?解上面方程组，得 ? 1 ? 1,? 2 ? 2, ? ? ?Cov? X , Y ? ? ?? 1? 2 ? ? ?0? μ?? ? ?1 ? 3 ? 1? 2 ? ? 3 2 ?1 ? 3? V ?? ? ? 4? ?? 3 ?2 23 232．随机向量（X，Y）～f（x,y） ，确定 A 的值，并求 X 与 Y 的相关矩阵.其中 ??? x?5 ? ?8? x?5 ?? y ?3??25? y ?3? ? f ?x, y ? ? Ae ?? 解法一： ???? f ?x, y ?dxdy ? ???? A??? ??? e ? ?? x ?5 ? ?8? x ?5 ?? y ?3 ?? 25? y ?3 ? ?dxdy?? ?? ??2 2? A??? dy ??? e ??? x ?5 ?? 4 ? y ?3 ?? e ?9 ? y ?3 ? dx??2 2? A π ??? e ?9 ? y ?3 ? dy ???2Aπ ?1 3A?3 π2 2?? 3 f Y ? y ? ? ??? e ? ?? x ?5 ? ?8? x ?5 ?? y ?3?? 25? y ?3? ?dx π 3 ?9 ? y ?3 ? ? e π 1 2 EY ? ? 2 ? 3 DY ? ? 2 ? 182类似地f X ?x ? ? ??? f ?x, y ?dy ???3 5 πe?9 ? x ?5 ?2 2525 28 ?? ?? Cov? X , Y ? ? ??? ??? ?x ? 5?? y ? 3? f ?x, y ?dxdy EX ? ?1 ? ?5, DX ? ? 12 ? ? 3?? ?s ?-? ?-? ste ?? ??2?8 st ? 25t 2?dsdt? XY ?2 9 Cov? X , Y ? ?? DX DY??4 5计算表明 X 与 Y 的相关系数矩阵 R 为4? ? ?1 ? 5 ? R?? ? ?? 4 1? ? ? ? 5 ?解法二：与 31 题解法相同，略. 33．随机向量（X，Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为 41??1 ? μ?? ? ?? 2 ?? ? 12 ?? 1? 2 ? V ?? ? 2 ? ?? 1? 2 ? 2 ? ? ?求随机向量（9X+Y，X-Y）的均值向量与协差矩阵. 解 E（9X+Y）=9EX+EY=9μ 1+μ 2 E（X-Y）=EX-EY=μ 1-μ 2 D（9X+Y）=81DX+18Cov ( X，Y ) +DY2 ? 81 ? 12 ? 18?? 1? 2 ? ? 2D（X-Y）=DX-2Cov（X，Y）+DY2 ? ? 12 ? 2?? 1? 2 ? ? 2Cov（9X+Y，X-Y）=9DX-8Cov（X，Y）-DY? E ?9 X ? Y ?? ?9?1 ? ?2 ? μ ?? ? ??? ? E ? X ? Y ? ? ??1 ? ?2 ?2 ?81? 2 ? 18?? 1? 2 ? ? 2 V ? ? 21 2 ?9? 1 ? 18?? 1? 2 ? ? 2 ?2 9? 12 ? 8?? 1? 2 ? ? 2*34．随机变量 X～N（0，1） ，Xi=Xi，i=1，2，3.求三维随机向量（X1，X2，X3） 的均值向量与协差矩阵. 解 EX1 ? EX ? 0,EX 2 ? EX 2 ? DX ? ?EX ?2 ? 1EX 3 ? EX ? ? x3 ?? ?? 32 ? 9? 12 ? 18?? 1? 2 ? ? 2 ? 2 2 ? 1 ? 2?? 1? 2 ? ? 2 ? ?1 2πe?x2 2dx ? 0DX 1 ? DX ? 1EX 4 ? ?????x4 2πx6e?x2 2dx ? 3DX 2 ? DX 2 ? EX 4 ? EX 2 EX 6 ? ??????? ?2?22πex2 ? 2dx ? 15DX 3 ? DX 3 ? EX 6 ? EX 32 3?2? 15 Cov? X 2 , X 3 ? ? 00 3 ? 2 0? ? 0 15? ?EX 1 X 2 ? EXX ? EX ? 0, EX 2 X 3 ? EX ? 0,5Cov? X 1 X 2 ? ? 0EX 1 X 3 ? EX ? 34Cov? X 1 X 3 ? ? 3?1 V ?? ?0 ? ?3? EX1 ? ?0? ? ? ? μ ? ? EX 2 ? ? ? ?1 ? ? ?0 ? ? ? EX 3 ? ? ?*35．随机变量 X1，X2，?，Xn 相互独立，期望和方差都存在，求证 X1，X2，?， Xn 的相关矩阵为 n 阶单位矩阵. 证 由于 X1，X2，?，Xn 相互独立，因此 EXiXj=EXiEXj 42Cov?X j , X j ? ? EX i X j ? EX i EX j ? 0? X X ? 0, i ? j, i ? 1,2,?, ni j? X Xi ? 1, i ? 1,2,?, ni36．随机变量序列 X1，X2，?，Xn，?相互独立同正态分布 N ?? ,? 2 ? ，当 n 充分大 n 时，可否认为 ? X i ，近似服从正态分布 N ??,? 2 ? ，为什么? 解 可以，事实上，由于 X1，?，Xn 相互独立，同正态分布 N ??,? 2 ? ，不论 n 是否 n 充分大， ? X i 都一定服从正态分布 N ?n? ,n? 2 ? ，不仅仅是近似服从正态分布.i ?1 i ?1?? X X ? R ? ?? ?? ? XX1 n1?X X12?1?X Xn2? ? X Xn ? ?1 0 ? 0 ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ? ?X X ? ? ?0 0 ? 1 ?1 n n37 ． 设 随 机 变 量 序 列 X1 ， X2 ， ? ， Xn ， ? 相 互 独 立 同 分 布 ， 其 概 率 密 度 1 f ? xi ? ? , i ? 1,2,?， 问它们是否满足中心极限定理，为什么? 2π 1 ? xi??解 因此不满足.由于 Xi 的期望不存在.这是由于积分?????x dx ? ?? 1? x2??? x f ?x?dx ? ????对于期望不存在的随机变量序列不满足中心极限定理. 38．200 个新生儿中，求男孩数在 80 到 120 之间的概率（假定生男、生女的机 会相同）. 解 令 Xi ? ??1, 第i名新生儿为男孩 ?0, 其他200 i ?1X 表示 200 名新生儿中男孩数目，则 X ? ? X i1? X～B ? ? 200, ? , ，EX=100，DX=50 由于 n 相当大，X 近似服从正态分布 N（100， ? 2?50）P?80＜X＜120? ? P? X ? 100＜20?? X ? 100 20 ? ? P? ＜ ? ? 2??2.83? ? 1 50 50 ? ? ? 0.99539．从一大批废品率为 3％的产品中随机地抽取 1000 个，求废品数在 20 到 40 个之间的概率. 解 设 1000 个中的废品个数为 X，则 X 服从超几何分布，由于整批产品数量很 大，而抽取数目 1000 相对于一大批产品是很少的.因此 X 近似服从二项分布 B(). EX=30，DX =29.1. 由 n=1000，X 近似服从正态分布 N(30，29.1).? X ? 30 10 ? P?20＜X＜40? ? P? ＜ ? 29.1 ? ? 29.1 ? 2??1.85? ? 1 ? 0.936 4340．随机变量 X1，X2，?，X100 相互独立同分布，EX1=μ ，DX1=16，求 P? X ? ? ? 1?， 其中 X ? 解X根据中心极限定理 ? X i 近似服从正态分布 N ?100? ,402 ?,100 i ?11 100 ? Xi . 100 i ?1近似服从分布 N ?? ,0.42?? ? ? X ?? ? P X ? ? ? 1 ? P? ? 2.5? 0 . 4 ? ? ? ? ? 2??2.5? ? 1 ? 0.988??41．袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为 500 克，标准差为 10 克，一箱内装 100 袋，求一箱食盐净重超过 50250 克的概率. 解 设箱中第 i 袋食盐净重为 Xi 克，i=1，?，100.则 X1，?，X100 相互独立同 100 分布.EXi=500， DXi=100， 设一箱食盐净重为 X 克， 则 X ? ? Xi ， EX=50000， DX=10000， i ?1 由于 n=100，X 近似服从中心极限定理 ? ? 1 ? P?X ? 50250? P?X＞50250? X ? 50000 ? ? 1 ? P? ? 2.5? 100 ? ? ? 1 ? ? ?2.5? ? 0.00642．计算机有 120 个终端，每个终端在一小时内平均有 3 分钟使用打印机，假 定各终端使用打印机与否相互独立，求至少有 10 个终端同时需使用打印机 的概率. 解 依题意， 在某一时刻每个终端使用打印机的概率为 1 ,且 120 个终端同时需20使用打印机的数目1 ? X～B ? EX=6， DX=5.7， X ?120, ? ， 20 ? ?近似服从正态分布 N （6， 5.7） .?X ?6 4 ? P?X ? 10? ? 1 ? P?X＜10? ? 1 ? P ? ＜ ? 5.7 ? ? 5.7? 1 ? ??1.68? ? 0.04643．一大批种子中，良种占 20％，从中任选 5000 粒，计算其良种率与 20％之 差小于 1％的概率. 解 设 5000 粒中良种数目为 X ，则 X 近似服从二项分布 B（） ，由于 n=5000，故 X 又近似服从正态分布 N（）.? X ? ? X - 1000 ? P? ? 0.2 ＜0.01? ? P ? ＜0.01? ? 500 ? ? 5000 ? ? X ? 1000 50 ? ? P? ＜ ? ? 2??1.77? - 1 800 800 ? ? ? 0.92344．上题中在所取的 5000 粒中，若以 99％的把握断定其良种率与规定的良种率 20％误差的范围，问此时良种数所在的范围为何? 解 接上题，设 a 满足概率等式：? X ? P? ? 0.2 ? a ? ? 0.99 ? 5000 ? 44即? X ? a ? P? ? ? ? 0.99 800 800 ? ? ? 5000a ? 2? ? ? ? 1 ? 0.99 ? 800 ?
? 2.58 a? 800 0? 5000a ? X ? aＸ在 927 与 1073 之间.45．第一章表 1－2 中曾记录了皮尔孙掷硬币 12000 次正面出现 6019 次，若我 们现在重复他的试验，求正面出现的频率与其概率之差的绝对值，不大于 当年皮尔孙试验所发生的偏差的概率. 解 设随机变量 X 表示掷硬币 12000 次中正面出现的次数， 则 X～B （12000， 0.5） ， 且 X 近似服从正态分布 N（）.? X 1 19 ? P? ? ? ? ? 00? ? X - 6000 19 ? ? P? ? ? 3000 ? ? 3000 ? 2??0.35? ? 1 ? 0.27446．电话交换台有 10 条外线，若干台分机，在一段时间内，每台分机使用外线 的概率为 10％，问最多可装多少台分机才能以 90％的把握使外线畅通. 解 设最多可装 n 台分机， 记 X 为 n 台分机中同时使用外线的数目， 则 X～B （n， 0.1） ，一般 n 不会太小，可以认为 X 近似服从正态分布 N(0.1n，0.09n).n 应满 足下面概率等式： P?X ? 10? ? 0.90 即? X ? 0.1n 10 ? 0.1n ? P?X ? 10? ? P ? ? ? 0.3 n ? ? 0.3 n ? 10 ? 0.1n ? ? ??? ? ? ? 0.90 ? 0.3 n ?10 ? 0.1n 0 .3 n ? 1.28解以 n 为未知量的方程：得到 n≈68. 47．某车间有同型号机床 200 部，每部开动的概率为 0.7，假定各机床开关是相 互独立的，开动时每部要消耗电能 15 个单位，问电厂最少要供应该车间多 少单位电能，才能以 95％的概率保证不致因供电不足而影响生产? 解 设随机变量 X 表示 200 部机床中同时开动的机床数目， 则 X～B （200， 0.7） ， 且 X 近似服从正态分布 N（140，42） ，令 m 满足下列概率等式： P?X ? m? ? 0.95 即 45? X ? 140 m ? 140? P?X ? m? ? P ? ? ? 42 ? ? 42 ? m ? 140 ? ? ??? ? ? 42 ? ??? ?? m ? 140 ? ? ? ? 0.95 42 ? ? m ? 140 ? 1.64, m ? 151. 42计算得知，电厂最少要供应该车间 2265 单位电能. 48．计算机在进行加法时，每个加数取整数（按四舍五入取最为接近它的整数） ， 设所有加数的取整误差是相互独立的，且它们都服从［-0.5，0.5］上的均 匀分布. （1）若将 300 个数相加，求误差总和的绝对值超过 15 的概率； （2）至多几个数加在一起，其误差总和的绝对值小于 10 的概率为 0.9. 解 设 Xi 为第 i 个加数的取整误差，i=1，2，?，300.X 表示 300 个加数的误差 300 1 总和，则有 X1，?，X300 相互独立，EXi=0， DX i ? ，X= ? X i ，EX=0，DX=25.X 近 i ?1 12 似服从分布 N ?0,52 ?. （1） P? X ＞15?? 1 ? P? X? 15??X ? ? 1 ? P? ? 3? ? 5 ? ? 1 ? ?2? ?3? ? 1? ? 0.0027（2）设 n 为所求的加数个数，则 n 应满足下面概率等式：?n ? P ? ? X i ＜10? ? 0.9 i ? 1 ? ?但是i ?1? Xinn? 近似服从分布 N ? ? 0 , ? ，因此自 ? 12 ?即? 12 ? ? 12 n ? ?n ? P ? ? X i ＜10? ? P ? ? X i ＜10 ? n? ? ? i ?1 ? ? n i ?1 ? ? 10 12 ? ? ?1 ? 2? ? ? ? n ? ? ? 10 12 ? ? ? 1 ? 0.9 2? ? ? ? n ? ? ? 10 12 ? ? ? 0.95 ?? ? ? n ? ?10 12 n ? 1.64n ? 44649．设有 30 个电子器件，它们的使用寿命（单位：小时）T1，T2，?，T30，都 服从 λ =0.1 的指数分布，其使用情况是第一个损坏，第二个立即使用，第 二个损坏，第三个立即使用等等，令 T 为 30 个器件使用的总计时间，计算 T 超过 360 小时的概率. 46解 计算 30 个相互独立同指数分布随机变量之和的分布已超出本书范围，尽管 n 为 30 不是足够大，但我们仍用正态分布近似计算.ETi ? ??1 ? 10, DTi ? ??2 ? 100 ETi ? 30ETi ? 300, DT ? 30DTi ? 3000T 近似服从分布 N（300，3000）.? T ? 300 60 ? P?T＞360? ? 1 ? P?T ? 360? ? 1 ? P ? ? ? 3000 ? ? 3000 ? 1 ? ? ?1.10? ? 0.135750．某产品次品率为 10％，应取多少件，才能使合格品不少于 100 件的概率达 到 95％? 解 设应取 n 件产品，n 件产品中合格品数为 X，则 X～B（n，0.9）.EX=0.9n DX=0.09n，依题意，n 应满足下面概率等式： P?X ? 100? ? 0.95 即? X ? 0.9n 100 ? 0.9n ? ? 100 ? 0.9n ? ? P? ? ? ? 1 ?? ? ? ? ? 0.95 0.3 n ? ? 0.3 n ? 0.3 n ??? ?? 0.9n ? 100 ? ? ? ? 0.95 ? 0.3 n ? 0.9n ? 100 ? 1.64 0.3 n n ? 11851．随机地掷 10 颗骰子，用切比雪夫不等式估计点数总和在 20 和 50 之间的概 率. 解 设第 i 颗骰子的点数为 Xi，i=1，2，?，10，X 表示 10 颗骰子点数总和，X1 ， ? ， X10 相 互 独 立 同 分 布 ：EX i ? 7 35 175 , DX i ? , EX ? 35, DX ? 2 12 6 P?20＜X＜50? ? P? X ? 35＜ 15?? 1 ? 1 175 ? 225 6P?X i ? n? ?1 6， n=1,2, ? ,6.P?20＜X＜50? ? 0.87 即 52．用切比雪夫不等式估计第 38、39、40 三题中的概率. 解 在第 38 题中，X～B（200，0.5） ，EX=100，DX=50 P?80＜X＜ 120? ? P? X ? 100＜20?? 1?50 ? 0.875 400在第 39 题中，X 近似服从分布 B（） ，EX=30，DX=29.1 P?20＜X＜40? ? P? X ? 30＜ 10? 在第 4029.1 ? 0.709 100 题中， EX ? ? , DX ? 0.16 ? 1?P X ? ? ? 1 ? 1 ? 0.16 ? 0.84?? 4753．设 P(A)=p，p 未知，若试验 1000 次，用 A 发生的频率代替概率 p，估计所 产生的误差小于 10％的概率为多少? 解 设 1000 次试验中事件 A 发生次数为 X，X～B（1000，p） ，EX=1000p， DX=1000p(1-p).由于 p 未知，用切比雪夫不等式估计.? X ? P? ? p ＜0.1? ? 1000 ? ? P?X ? 1000p ＜100? ? 1?最后一步是由于 p 的二次函数 p(1-p)当 p=0.5 时取最大值 0.25.1000p?1 ? p ? 250 ?1? ? 0.975
48习 题 四 1．设总体 X 服从正态分布 N ?10,32 ?, X1, X 2 ,?, X 6 是它的一组样本， X ? 1 ? X i66 i ?1（1）写出 X 所服从的分布； （2）求 X ＞11 的概率.3 解 （1） X ～N ? ?10, ? ?， ? 6? ?2?即X? ～N ? ?10, ?3? ? ?. 2?? ? ? ? X ? 10 11 ? 10 ? （2） P ?X＞11? ? 1 ? P ?X ? 11? ? 1 ? P? ? ? ? 3 3 ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 11 ? 10 ? ? 1 ? ?? ? 3 ? ? ? 2 ? ?=1-Φ (0.8165) . 解法一：P?X＞ 11? ? 1 ? ??0.82? ? 1 ? 0.7939 ? 0.2061.解法二： 查表得： Φ (0.81) = 0.7910， Φ (0.82) = 0.7939， 可以求出一条过点（0.81，0.7910） 、 （0.82，0.7939）的直线，其方程为：y ? 0.7910 ? 0.7939 ? 0.7910 ?x ? 0.81?, 0.82 ? 0.81对于 x∈(0.81，0.82)，我们用上述直线方程近似 Φ (x)，则有 Φ (0.9 ? 0.5? 0.81? ? 0.7910 ?0.82 ? 0.81 ? 0.7929.故P?X＞ 11? ? 1 ? ??0.8165? ? 1 ? 0.7929 ? 0.2071这种方法，称为线性插值法；利用线性插值法，可以提高查表精度. 492. 设 X1，X2，?，Xn 是总体 X 的样本，X ?1 n ? Xi n i ?1，分别按总体服从下列指定分布求 E( X )，D( X ). （1）X 服从 0-1 分布： P?X ? k? ? p k ?1 ? p?1?k ,k ? 0,1 ； m?k k k （2）X 服从二项分布： P?X ? k? ? Cm p ?1 ? p? ,k ? 0, 1，2，?，m； （3）X 服从泊松分布： P?X ? k ? ? ? （4）X 服从均匀分布：fk（5）X 服从指数分布：f (x) = ?e??x ?x＞0, ?＞0?. 解 （1）X 服从 0-1 分布，k! ? 1 , a ? x ? b, (x) = ? ?b ? a ? 0, 其他 其他； ?e ?? , ?＞0, k =0，1，2，?；EX=p，DX=p(1-p),故?1 n ? EX ? E ? ? X i ? ? n i ?1 ? n 1 ? ? E? ?? Xi ? i ? 1 ? ? n 1 n ? ? EX i n i ?1 1 ? ? np n ? p.?1 n ? DX ? D? ? X i ? ? n i ?1 ? n 1 ? ? 2 D? ?? Xi ? i ? 1 ? n ? 1 n ? 2 ? DX i n i ?1 1 ? 2? np?1 ? p ? n 1 ? p ?1 ? p ?. n（2）X 服从二项分布， EX=mp，DX=mp (1-p)， 同（1） ，可以求得 1 EX ? mp, DX ? mp?1 ? p?. n （3）X 服从泊松分布 EX=λ ，DX=λ ， 同（1） ，可以求得： E X =λ ，D X = 1 λ . n （4）X 服从均匀分布 50EX ??b ? a ? a?b , DX ? 2 122，同（1） ，可以求得 ?b ? a ?2 . a?b EX ? , DX ?2 12n（5）X 服从指数分布 1 1 EX ? , DX ? 2 ,?1?同（1） ，可以求得EX ??, DX ?1 n?2.? 1 n ? Xi n i ?1注一般地讲，设 X1，X2，?，Xn 是总体 X 的样本， XEX ? EX , DX ? 1 DX . n，若 X 的样本与方差均存在，则 对于本题，也可以先证明上述一般结果，再把一般结果分别应用到各个小题. 3．设总体 X 服从正态分布 N ?? ,0.32 ?，X1，X2，?，Xn 是总体 X 的一组样本， X 是 样本均值，试问：样本容量 n 至少应取多大，才能使P X ? ? ＜0.1 ? 0.95.??? ? ? ?解X～N ?? ,0.32 ?，? 0.3 2 X～N ? ??, n ?故P X ? ? ＜0.1??? ? 0.1 X ?? 0.1 ? ? P? ＜ ＜ ? ? 0.3 / n 0.3 / n 0.3 / n ? ? n? ? ? ? ?? ? ? n ? ??? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n? ? ? ?? ? ? ?1 ? ? ? n ?? ??? ? 3 ? ? ? 3 ?? ? ? ? ? ?? ? n? ? ? 1. ? 2? ? ? 3 ? ? ?根据题目的要求? n? ? ? 1 ? 0.95, 2? ? ? 3 ? ? ? ? n? ? ? 0.975, ?? ? 3 ? ? ?查表得 Φ (1.96)=0.975. 故 51n ? 1.96 ， 3 n ? 34.57.因为 n 只能取正整数，所以，样本容量 n 至少应取 35. 6 2 ? 4．设 X1，X2，?，X6 为正态总体 N ?0,2 2 ? 的一个样本，求 P? ?? X i ＞6.54? . 解 由 Xi～N ?0， ， 2 ?（i=1，2，?，6）2?i ?1?知 X i ? 0 ～N（0，1） （i=1，2，?，6） ，2且它们相互独立，故1 2 X i ～X 2 ?1? , 4 1 6 2 2 ? X i ～X（6） 4 i ?1 6 2 ? 所以 P? ?? X i ＞6.54? ?i?1 ? 6 1 ? ? ＝P ? ? X i2＞1.635? ? 4 i ?1 ?=0.95 5．设总体 X 和 Y 相互独立，都服从正态分布 N（30，32） ，X1，X2，?，X20，Y1， Y2，?，Y25 分别是来自 X 和 Y 的样本.求 X ? Y ＞0.4 的概率. 解 由 Xi～N（30，32） （i=1，2，?，20） ， 2 Yi～N（30，3 ） （i=1，2，?，25） ， 知32 ), 20 32 Y ～N (30, ), 25 X～N (30,又 X 与 Y 相互独立，所以 X 与 Y 也相互独立. 从而 即X ? Y～N (0,0.92 ).32 32 X－Y～N (0， ＋ )， 20 25故P X ? Y ? 0.4?? 2? P X ? Y ? 0.4? 2 ?1 ? P X ? Y ? 0.4? ? 0.4 ? 0 ?? ? 2 ?1 ? Φ? ?? ? 0.9 ?? ?? 2 ?1 ? Φ?0.4444?? ? 2 ?1 ? 0.67?? 0.66 .???????6． 设 X 和 Y 是来自正态总体 N(μ , σ 2)的容量为 n 的两个样本均值.试确定 n， 使得两个样本均值之差超过 σ 的概率大约为 0.01. 52解? 1 ? X ~ N ? ? , ? 2 ?, ? n ? ? 1 ? Y ~ N ? ? , ? 2 ?, ? n ? ? 2 ? X ? Y ~ N ? 0, ? 2 ?, ? n ?因为 X，Y 是两个不同的样本，故 X 与 Y 相互独立， X 与 Y 也相互独立. 从而 故P? X ?Y ???? ?? 2P X ? Y ? ???? ? ? ? ? ?? 2 1? P X ?Y ??? ? ? ? ? ? ?? ?0? ? ? 2 1 ? Φ? ? 2 ? ? ?? ? ? ? ? n ? ?? ? n?? ? . ? 2 ?1 ? Φ ? ? 2?? ? ? ?? ? ???根据题设? ? n?? ? ? 0.01, 2 ?1 ? ? ? ? 2?? ? ? ?? ? ? ? n? ? ? 0.995, Φ? ? 2? ? ?查表得n ? 2.58, 2n=13.3128. 所以 n 可以取 13 或 14. 7.设 X 服从正态分布 N（ ? ,? 2 ） ， X1, X 2 ,?, X10 是 X 的样本.试求下列概论：2 （1 ） P ? ?0.25? ??1 10 2 2? ? ? X? i ? ? ? ? 2.3? ? . 10 i ?1 ? 1 10 ? Xi ? X 10 i ?12 （2 ） p ? ?0.25? ?解(1) X i ~ N ??,? 2 ? ?i ? 1,2,?,10? ,Xi ? ????2? ? 2.3? 2 ? . ??~ N 0,12? ? ?i ? 1,2?,10? ,2从而 即1? X ??? ? ~ ? 2 ?10? , ? ? i i ?1 ? ? ?10?2i ?1? ? X i ? ? ? ~ ? ?10? .10 22记W?1?2i ?12 ? ? X i ? ? ? , 则 W ~ ? ?10? . 于是, 10 2 531 10 ? ? 2 P ?0.25? 2 ? ? ? X i ? ? ? ? 2.3? 2 ? i ? 1 10 ? ? 1 10 ? ? 2 ? P ?2.5 ? 2 ? ? X i ? ? ? ? 23? ? i ?1 ? ?? P? 2.5 ? W ? 23? ? P? W ? 23? ? P? W ? 2.5? ? ?1 ? P? W ? 23?? ? ?1 ? P? W ? 2.5? ?? P? W ? 2.5? ? P? W ? 23?? 0.99 ? 0.01 （查 ? 2分布表，n ? 10）? 0.98.(2) 根据样本方差的性质，1?22 ? X i ? X ~ ? ?10 ? 1?, 10 2 i ?1??2记W?1?2 ? X i ? X , 则 W ~ x ?9?, 于是, 10 2 i ?1??2 1 10 ? ? P ?0.25? 2 ? ? X i ? X ? 2.3? 2 ? i ? 1 10 ? ? 10 2 1 ? ? ? P ?2.5 ? 2 ? X i ? X ? 23? i ? 1 ? ? ?????? P? 2.5 ? W ? 23? ? P? W ? 23? ? P? W ? 2.5? ? ?1 ? P? W ? 23?? ? ?1 ? P? W ? 2.5??? P? W ? 2.5? ? P? W ? 23?? 0.975 ? 0.005 ? 0.97.8.用附表 4 求下列各式中的 ? 值： （ 1 ） P? ? 2 ?9? ? ??? 0.95; （2） P? ? 2 ?9? ? ??? 0.01; （3） P? ? 2 ?15? ? ??? 0.025; （4） P? ? 2 ?15? ? ??? 0.025; 解 （1） 直接查表得 ?＝3.325. （2）由 P? ? 2 ?9? ? ??? 0.01, 得 P? ? 2 ?9? ? λ?? 0.99, 查表得 λ ? 2.088. （3）直接查表， λ ? 27.488. （4）由 P? ? 2 ?15? ? λ?? 0.025, 得 P?? 2 (5)＞λ? ＝0.975 ， 查表得 ? ? 6.262. 9.用附表 5 求下列各}
我要回帖
更多推荐
- ·为什么现在的口袋妖怪口味对照表游戏这么没有味道啊？
- ·谁是《破产姐妹别名叫什么》里的人物名字？
- ·马骏说孙子兵法电子书图书信息
- ·蔡徐坤Q版小黑子壁纸ikun专属头像来啦😍
- ·45级刷天赋重要还是刷武器重要开启大部分了都升级好了，为啥攻击没有武器之后也没拿武器攻击？
- ·led灯珠7D2led灯珠w和y是什么意思思
- ·食道静脉瘤是什么能吃燕窝吗
- ·宝宝第三脑室和后颅锅池及上鞍池扩大会怎么样
- ·我家宝宝205个月宝宝荨麻疹，是不是得了寻麻疹
- ·辽宁省第六届华育杯“华育杯”中小学生好作文网络征集展评二等奖吴悦涵的作品《成功的喜悦》内容
- ·mutab1ee中文怎么读
- ·张家铎duo罗马好看还是都铎王朝yi
- ·宿舍限寝室一般限电多少瓦电吗
- ·阑尾炎手术前禁食多久手术后多长时间可以吃东西
- ·125×56怎么简便计算算怎么算2365
- ·感冒后期痰多痰多宝宝能游泳吗
- ·不吃饭经期偏头疼怎么回事啊
- ·心脏不好一抽烟就胸闷已经不胸闷了还要背holter吗
- ·我的儿子老是咳嗽流鼻涕吃什么药不好吃什么药都不好
- ·重庆有哪些好点的重庆正规心理咨询机构构
- ·求90%、95%、99%的威尔逊置信空间间 PC 1 ≤ μ ≤1 =1-α
- ·有谁知道那种免费网址上面字叫什么？
- ·文员：开什么店比较清闲闲，没什么压力
- ·哪些英语单词双写加ing的单词规律变ing的
- ·一岁三四个月宝宝不吃奶可以吃五维葡钙吗
- ·AED嘛，安耐晒为什么变成水了了AOP
- ·什么厌倦的四字词语近义词四字词语
- ·右肾中盏内见正常肾脏大小是多少约6X6mm的无回声，是什么意思
- ·把接近100的数看作100加减智库设计工作室几。101x53
- ·晚上休息不好影响血压吗，血压有点低，吃什么药好
- ·心脏颤抖，腿发软腿软心慌是怎么回事事
- ·糖尿病高血压病能做剧烈运动吗糖可以做剧烈运动吗
- ·我得了阑尾炎一般输什么液我已输了七天液怎么才知道
- ·宝宝43天便秘吃小儿消食颗粒怎么样和妈咪爱一起吃可以吗
- ·什么字最哪些字容易写错错
- ·骨折是骨头断了吗裂，可以房事吗
