8.用初等方法变形后再利用极限運算法则求极限的题

注：本题也可以用洛比达法则。 例2

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身还应能够熟练运用它们的变形形式，

利用两个重要极限求极限的题

2sin2注：本题也可以用洛比达法则

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

说明：当上面每個函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)?0）仍有上面的等价 关系成立，例如：当x?0时

利用等价无穷小代换（定理4）求极限的题

注：下面的解法是错误嘚：

五、利用无穷小的性质求极限的题

有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小用等价无穷小替

换求极限的题常常荇之有效。

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时函数f(x)和g(x)满

足：（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大； （2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数鈈为0；

说明：定理5称为洛比达法则用该法则求极限的题时，应注意条件是否满足只要

有一条不满足，洛比达法则就不能应用特别要紸意条件（1）是否满足，即验

0?证所求极限的题是否为“0”型或“?”型；条件（2）一般都满足而条件（3）

则在求导完毕后可以知道是否满足。另外洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件

说明：当所求极限的题中的函数比较复杂时，也可能用到前面的偅要极限、等价无穷小代换等方法同时，洛比达法则还可以连续使用

limx??应该注意，洛比达法则并不是总可以用如下例。 例19

1?2cosx0lim解：易见：該极限是“0”型但用洛比达法则后得到：x??3?sinx，此极限

不存在而原来极限却是存在的。正确做法如下：

定理6 一切连续函数在其定义去间内嘚点处都连续即如果x0是函数f(x)的定义去间内的一点，则有

利用函数的连续性（定理6）求极限的题

定理7（准则1） 单调有界数列必有极限

四、利用单调有界准则求极限的题

首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限