第三题 求微分方程的通解 高数_百度知道
第三题 求微分方程的通解 高数
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高等数学微分和生活的联系怎么样
09-10-17 &匿名提问
浅淡数学课堂教学中学生创新能力培养陈秀第三次全国教育工作会议明确提出要全面推进素质教育，抓住了教育发展和人才培养的核心问题，从当前的实际情况看，实施素质教育，应着力培养学生的创新精神，江泽民同志指出：“面对世界科技飞速发展的挑战，我们必须把增强民族创新能力提高到关系中华民族兴衰存忙的高度来以识，缺乏创新精神的民族是没有希望的，因此，作为教师，应在培养学生创新精神下功夫，在课堂教学中培养学生的创新精神我以为可以从几下几个方面着手。一、树立创造信心和勇气。要使工作，学习获得成功，首要的是树立信心和勇气，创造能力的培养也是如此，在教学中，教师要重视学生自信心的培养，还要注意爱护和培养学生的好奇心，求知欲，对一些学生提出的一些怪想法、不要训斥，轻易否定，那些看起来似乎很奇怪的，出乎老师意料之外的想法或问题，正是学生一瞬间产生的实现创造性思维的火花，例如，在教学比较小数的大小时，如0.28和0.3谁大，我教学生从高位起一位一位比下去的方法，十分位上的3比2大，取么这个小数就大，但也有的同学立刻就想到0.3可以化为0.30元，那么0.30就比0.08大，虽然我觉得加0的方法可能麻烦一点，但想到加0后学生看起来比较直观、容易理解，所以，也支持他们可用其他的方法。并适当加以表扬这位爱动脑筋的同学，这样，当学生小有成绩时，辅以表扬，是创造的积极性、主动性得以保护发挥。学生有勇气和信心战胜困难，勇于创新，这本身就是创造发明的良好开端。二、创设创新的气氛和环境教师要帮助学生自主学习，独立思考，保护学生的探索精神和创新思维，创设轻松、愉快、活跃的气氛，为学生禀赋和潜能的充分开发营造宽松的环境。宽松、和谐、自由、平等、竞争的环境，利于激发学生的思维和灵感，易于知识的新创，例如在数学活动课中，提出问题，分小组进行解答，让他们讨论中得出结果，这是其中一种做法，又例如，在教学新课时，先放手让他们根据已学的知识，加上自己的推想，把要学的先解答出来，然后各自把自己的思维过程发表，也不失为一种好的办法。具体方面又要做到以下几点：首先，应极力避免引起学生害怕的心理压力。制造和谐宽松的气氛，自由的环境，害怕会阻碍学生通向新的思维，不利于发现和创新。其次，教学中要创造一种平行、民主的师生关系，使教学相长，促进创新能力的发展。若教师的创设意识淡薄，制造出不平等、不民主的师生关系，则无益于学生创新能力的培养。第三，跨世纪的学生，应具有强烈的竞争意识和竞争能力。知困然后能自强，如果学生从小就不具有竞争意识和竞争能力，则很难适应形势的发展。三、培养学生自己动手的能力，开展多种创造性的活动。杨振宁博士曾作过这样的对比，中国学生学习成绩比一起学习的美国学生好得多，然后，十年后，科研成果却比人家少得多，原因何在？就在于美国的学生思维活跃，动手能力和创新能力强。因此，我们的教育应向美国吸取一些好的方法，多给学生一些自由时间，让学生多做一些创造性的工作，教师要让学生积极参与课堂，开动脑筋，拓宽思维，并发现自己在分析问题，解决问题时正确认识不足之处。例如，在讲解应用题时教学生，尽量让学生能一题多解，又或者把原题改题，编题，变题等于灵活变通，从而增强学生对新知识的理解程度和探索新知识的兴趣，这个过程不仅训练了学生的直觉思维和简单的逻辑思维能力。也培养了学生对事物认识的独创性和跳跃性思维品质。除此外，还应培养学生动手动脑的创造能力，如进行小制作、小发明，并经常表扬学生的劳动成果，这样，就能激发学生的创造发明欲望。提高学生动手操作能力。美国的一位小学教师对他的中国学生说：“一个是要知道有两件东西比死记硬背更重要，一个是要知道通过何种方法去获取建立起来人的记忆能力的知识，再一个是综合使用这些知识创新的能力。”
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抓住微积分，它是高数的核心，理解好导数和积分的含义。 题记―――高等数学，是某些自考专业的重要课程。但对于如何通过考试，如何学好这门课程，许多朋友都是百展莫愁，头痛不已。而高数及格率又是所有科目中及格率最低的几门之一，成为许多考生能否顺利完成专业课程的主要障碍。 数学，是一门深奥而又有趣的课程。如果增加对这门课程的自信心，不要畏惧它，你会很容易接受这门课，你也会发觉其实这门课程并不难，这对于学好数学是一个非常必要的条件。 培根说，“数学是科学的大门和钥匙。”的确，数学是科学技术的基础。高等数学与应用数学（包括线性代数、概率论与数理统计、复变函数、数学物理方程，等等）是各专业的重要基础理论课。在会计专业里，比如财务成本管理，审计，评估，管理会计，……等等科目里都有高等数学的影子；在经济学领域里，更是如此。无论微观经济还是宏观经济的经典理论里都有高等数学的烙印。大凡经济学大家们，数学功底都极深。比如，约翰·纳什，萨缪尔逊，中国的茅于轼，……都是数学家或者有相当深厚的数学功底。即使是有些敌视数理经济学的张五常，也免不了要创造一个“张式数学”（这是俺给的名字）来加强论文说服力和逻辑性。 数学学科的特点是高度的抽象理论与严密的逻辑推理，要通过学习数学提高抽象思维能力，逻辑推理能力，数学运算能力以及应用数学解决实际问题的能力。任何一门数学课的内容都是由基本概念(定义)、基本理论(性质与定理)、基本运算(计算)及应用四部分组成，要学好数学就要在这四个部分上认真钻研刻苦努力，多下功夫。 基本概念要清楚，要读懂，要理解透彻、叙述准确，不能似是而非、一知半解。数学的推理完全靠基本概念，基本概念不清楚，很多内容就学不懂，无法掌握和运用。例如，线性代数中向量组的线性相关性、线性无关性，向量组的秩与极大无关组，矩阵的相似对角形等，初学者往往掌握不深不透，这就要通过复习与作习题的过程中逐步深入、反复思考、彻底读懂。 基本理论是数学推理论证的核心，是由一些概念、性质与定理组成的，有些定理并不要求每位初学者都会证明，但定理的条件和结论一定要清楚，要熟悉定理并学会使用定理，有些内容是必须牢记的。例如，矩阵的初等变换是线性代数的重要内容之一。求逆方阵、求矩阵的秩，解线性方程组等都离不开矩阵的初等变换，要懂得其中的道理，为什么可以用初等变换解决以上问题，理论依据是什么？是作初等行变换还是列变换。又如，线性方程组解的存在定理及解的结构定理，判断向量组线性相关与线性无关的有关定理，都是必须牢记的。在概率论的学习中，微积分知识对于理解概率统计的理论很重要。 掌握数学概念和理论并学会运用主要靠作题，在读懂了内容后要作题，而且要作一定数量的题，才能不断加深对内容的理解，提高解题能力，熟才能生巧，捷径是没有的，“不作题等于没学数学”这是大家公认的事实。在解题过程中要不断总结思路和方法，掌握解题规律性，通过作题提高分析问题、解决问题的能力，也就是逐步提高数学素养。我大学时期的数学老师是北大的研究生（当时正准备去美国读数学博士），福建省当年高考的状元，他高考数学是120分（满分），物理99分，……他告诉我学习微积分的经验就是作四万道题，保证微积分通过（包括考研微积分部分）。——作题的重要性可见一般。 要学好数学就要认真对待学习的各个环节。首先是听课，听课要精神集中，如能预习效果会更好，要抓住教师讲课中对问题的分析，作好笔记，学会自己动手，边听边记，特别要记下没有听懂的部分。第二个环节是复习整理笔记及作题，课下结合教材和笔记进行复习，要对笔记进行整理按自己的思路，整理出这一次课的内容。在复习好并掌握了内容后再作习题，切忌边翻书边看例题，照猫画虎式地完成练习册上的习题，这样做是收不到任何效果的。要用作题来检验自己的学习，是真懂了还是没完全懂。对于没有彻底读懂的地方再反复思考，直到完全读懂。（当然，我不鼓励象我一样，自己一个人看书，最好找一下免费的视频课件，效率会高些） 接着是阶段总结。每学完一章，自己要作总结。总结包括一章中的基本概念，核心内容；本章解决了什么问题，是怎样解决的；依靠哪些重要理论和结论，解决问题的思路是什么？理出条理，归纳出要点与核心内容以及自己对问题的理解和体会。 最后是全课程的总结。在考试前要作总结，这个总结将全书内容加以整理概括，分析所学的内容，掌握各章之间的联系。这个总结很重要，是对全课程核心内容、重要理论与方法的综合整理。在总结的基础上，自己对全书内容要有更深一层的了解，要对一些稍有难度的题加以分析解决以检验自己对全部内容的掌握。 若能把握住以上四个环节，真正做到认真学习，不放过一个疑难点，一定会学好数学。 当然，对于自考的高等数学一和高等数学二来说，详细具体的计划是必要的（最好计划要有些富余，以减少突发事件对计划的影响），毕竟我们要工作的，时间有限，合理的规划往往会事半功倍，“凡事预则立，不预则废”；历年考题的详细研究也是保证通过的一个不错的途径。因为自考的定位，就是考些我们应知应会的东东，题目往往不会太难，据说题库的总量好像也不大，每年重复出题的几率很高。当然，也会有个别题目有难度，因为被大多数学生考满分，说明老师水平有问题，：），至少试题有问题。 最后送两句话给自考的朋友，来点私心，也copy一份留送给自己。 “顽强的毅力可以征服世界上任何一座高峰。”——狄更斯 “没有比人更高的山，没有比脚更长的路。”――汪国真 4月17日，我在上海财大考了自考的高数（二），考试比预想中的要顺利很多，估计能够打破我参加自考以来的得分记录。自考不在于分数高低，关键在于花费最少的时间得到你想要的结果，考后回忆自己最后这一个月的复习历程感慨甚多，觉得有必要把自己的考试经历及最后1个月的应试方法写出来和大家共享。 第一次报名自考的时候就报了高数（二），报名之前就知道高数难，难到很多人为此放弃自考，但我当时并没有把这当一回事，我想我读书的时候成绩最好的就是数学，其他没有把握这门应该没有问题。但真正进行起来我发现完全不是这么回事，要把这两本书完全看懂几乎是不可能完成的任务，线性代数的书看了一半我就放弃了。 之后的几次自考我都没有报高数（二），一方面是想先把其他科目解决掉，另一方面是对这门课有点畏惧。但再怕还是要考的，我已经上了自考的贼船了！2005年4月的考试我再次报名高数（二），这次我准备了不少资料，最重要的是中华会计网校2004年的语音视频课件及讲义，我下定决心一定要考过。 我给自己订了个计划，分3个阶段学习高数，先听课件看讲义（从2004年12月到2005年2月，3个月完成60个课件），再做章节练习（2005年3月），最后做模拟试题冲刺复习。计划订得很好，但由于种种原因没有好好执行，想想我真可以算得上“三天打鱼，七天晒网”到了考试前1个月，也就是3月18日才看完线性代数1-4章，概率统计还没有碰（60个课件才完成了25个），而且效果极差。后面课程中涉及到的前面章节的知识点我象没有学过一样，战线拖得太长的弊端暴露无疑。眼见这次考试又要失败，我猛然觉醒，改变了学习方法，在1个月左右的时间里顺利完成了复习。 最大的改变就是从原先的想法“把书上的知识点弄懂”变成“如何通过这门考核”。 高数（二）的教材并不适合自学，编排体系比较乱，知识点很多，但真正要求重点把握的知识点有限。概率统计中有3章（1、7、9）几乎是不考的，还有些章节中部分内容考核中也不做要求（如线性代数中的分块矩阵、子空间、约当、惯性，概率统计中的多维随机变量、大数定律和中心极限定律不考，第8章只考一元线性回归方程）。我意识到在不到一个月的时间里完成自考的高数（二）必须从考核重点出发，明确学习重点，对重点逐一落实。自考的考生还是上辅导班比较好，但前提是要碰到一个有应试意识的老师。 明确了方向以后要做的事情就是如何明确重点。高数使用的是题库，我收集了从2000年到2004年的16份试卷，对主观题的考点做了统计归纳，具体如下： 线性代数部分： 矩阵的性质、定义 29 方程组求解 15 线性关系 11 行列式计算 4 向量正交 2 特征值、特征向量、对角阵、二次型 11 概率统计部分： 概率计算 23 分布函数与密度函数 25 矩估计 3 无偏估计 11 极大似然估计 2 数学期望 9 置信区间 7 假设检验 7 回归方程 9 （以上统计归纳仅供大家参考） 重点明晰以后我把有限的不到一个月时间重新排了个计划，还是3个阶段。 一、章节复习，重点归纳 重点复习历年试卷中重点考核的知识点，对重点题型认真理解，边学习边对知识点总结归纳，把基本的定义、定理、公式，自己掌握较差的知识点以及常见题型的解题思路及解题步骤记录下来，陆陆续续地在一本笔记本上记了40多页（个人认为这个笔记在应试方面的价值高于任何一本参考书）。每一章的总结完成以后再把历年16份试卷中涉及到该章的题目认认真真地做一遍，对基本的题型做到熟练掌握。 二、各章知识点串联 各章复习完成以后要把相关的章节串起来，我这时的复习重点是我自己的笔记，书已经被我扔到一边去了。 三、综合题复习 最后是看模拟题，这时我已经不动笔做题目了。最后2天是看我买的北大燕园的10套模拟试题，想解题思路（重点是证明题），再对照答案找感觉。当然进考场之前对一些公式之类的还是要再记忆一下。 最后一个月的复习是相当艰苦的，有时在写字台前一坐就是2个小时，这也算是对我前期复习拖沓的惩罚吧！如果我能够在考前2个月就开始调整状态、改变方法认真复习的话，那会轻松很多。 高数是自考中一大难点，很多人在心理上就非常畏惧，就象我这次考试时一个考场25个人只来了7个。高数的确很难，但并非高不可攀，综合我的学习经历，我给准备参加自考高数（二）的网友提供以下建议： 1、建立应试意识，明确考核重点。 2、重点内容重点复习，不求全部掌握，但对于历年考核的重点必须搞懂。 3、学会归纳总结。 我个人认为只要方法对头，平均每天能够投入2个小时，花上1个半月到2个月就能够消灭自考路上最大的拦路虎。 以上是我自考高数（二）的经历及个人总结的功利性的应试方法，这种方法对高数复习有效，但还是希望大家慎用。
你好！如何学好高等数学微积分 几点建议。一、学习高等数学，首先要理解知识间的必然联系，在头脑中形成一个知识网络。《高等数学》(一)微积分教材共有八章，涉及极限、微分、积分、级数、微分方程等方方面面的知识，需要理解、记忆、掌握、熟练运用大量的定理与公式。这就要求学习者在学习的过程中，理清思路，弄清整本教材的脉络。该课程的核心是微积分，围绕这一核心，需要了解作为微积分研究对象的一元函数和多元函数的概念。极限理论和方法是微积分建立，无穷级数学习的基础，因而极限论成为重要的基础内容。而微分方程则是微积分的一个应用，它与微积分有着密切的联系。从这些方面来看，虽然函数、极限、微分、积分、无穷级数、微分方程各自有各自的特点，但它们又是一个密不可分的整体。为此，在学习的过程中，应该掌握好每一块内容的重点和要点，由点带动面的学习，由局部带动整体的理解。二、学习高等数学时，注意多归纳、勤总结。归纳总结能帮助学习者将一些比较分散的知识集中起来，做到对某一方面的知识有一个全面、深入的了解，这样在解决问题时，头脑中会形成更多的思路，找到更多的解题方法。下面是对极限求法的一个归纳总结，以此说明归纳总结的重要性，同时也希望能对学习者起到一个抛砖引玉的作用。求数列或函数极限，是高等数学里的一类基础而重要的问题。常见的求法归纳起来有如下几种：1．先估计数列或函数的极限值，而后利用定义进行验证，这是求极限的最基本的方法，可用于求一些简单的极限。2．利用有限个函数的和、差、积、商以及复合函数求极限的运算法则求极限，可以使一些复杂的极限计算问题得到简化。3．利用无穷小的性质求极限。这主要包括：①有限个无穷小的和(差、积)仍是无穷小。②有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。③非零无穷小与无穷大互为倒数。④等价无穷小代换。当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替。正因为等价无穷小的这一性质，所以在求极限时，可以简化计算，减少运算量，快速地解决问题，起到事半功倍的效果。要用好此性质，当然需要适当掌握一些等价的无穷小量。4．两个重要极限及其推广形式 (这里f(x)为一自变量同一变化过程中的无穷小量)。5．利用准则I(两边夹法则)和准则Ⅱ(单调有界数列必有极限)求极限。6．利用洛必达法则求0/0型，(无穷)/（无穷）型，0，无穷，无穷-无穷，0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方型函数极限。需要说明的是，求函数极限的方法很多，到底用哪一种方法简单，这需要具体问题具体分析。有时对一个问题，我们需要两种或两种以上的方法才能简便、快捷地计算出结果。同时运用洛必达法则和等价无穷小代换，可以大大减少计算量，同时也减少了出错的可能。三、学习高等数学，注意自始至终要做到学习与思考相结合。整个学习的过程就是思考的过程。我们在中学就知道，“学而不思则罔，思而不学则殆”的道理。这句话提醒我们只有把学习与思考结合起来，才能不断发现问题，有所收获。遇到一些典型问题要多加考虑，追根溯源，这样不管问题如何变化，都能做到游刃有余。对于有些函数在高等数学里被称为变上、下限的积分函数。这类函数在极限问题和微分问题中是常见的，由于该函数较为抽象，学习和理解起来难度相对来说大一点。教材中已给出当积分上限为变量x时，有公式，我们可以进一步考虑到当积分下限为变量x时，应该有对应的公式成立。再往深处思考，我们还能想到当积分上限为变量x的函数b(x)，积分下限为变量x的函数a(x)时，应该有更相对应的公式成立。通过思考若能掌握这些要点，那么再次遇到有关变上、下限的积分函数的问题，都可轻松解决了。四、学习高等数学时，还要多加注意问题与问题之间的联系，做到自觉灵活地分析和解决问题。对于1/x的不定积分，其一个原函数为lnx，这是一个大家都很熟悉的公式，再有我们还熟知f(x)导数的不定积分=f(x)+c。如果将这两个知识点联系起来，便可组成一个求解不定积分的问题。解决不定积分的根本出路是用公式积分，教材中列出了13个基本积分公式。但直接套用公式的积分问题是很少的。我们所遇到的大多数问题与积分表中所列公式存在差异，因此求解不定积分的基本方向是改变被积分的形式，从而达到能够运用基本积分公式的目的。于是教材中列出了三种常用的基本积分法。一是直接积分法；二是换元积分法，具体地又分为第一换元法(又称为凑微分法)和第二换元法；三是分部积分法。积分时选用哪一种方法，这就要根据题目的特点来定，当然学习者平时的经验积累与敏锐的观察力也是必不可少的。就此例来说，被积函数中含有1/x和lnx，联系它们之间的关系，我们可选用换元法中的凑微分法，将(1/x)dx写成d(lnx)，此类问题即可迎刃而解。五、学习高等数学，日常练习是必不可少的。通过练习，一方面可以回顾、巩固所学知识，另一方面还可以总结解题的关键和思路。但做练习也要适度，不必沿袭中学的题海战术，练习时尽量找有代表性，少而精的题目。比如，分段函数是高等数学里一类基础却重要的函数为例。所谓分段函数是指在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的一个函数。分段函数的定义虽然简单，但我们可以利用它联系起来起很多知识。如已知一分段函数,求:①函数的定义域；②f(1)，f(0)，f(-3/2)，f(1/2)；③研究函数在间断点处的连续性与可导性；④求积分f(x)在某个范围的定积分。通过练习此题的①②④，可以帮助我们深入理解分段函数的定义。对于③的求解，需要用到左、右连续和左、右导数的定义以及函数在某一点处连续和可导的充要条件。更多地，我们从中还可找出函数极限存在、连续与可导之间的密切关系。可谓是一举多得。六、学习高等数学，讲究循序渐进，不可急于求成。这是因为任何知识的学习都需要一定的消化过程，高等数学更是如此。学习者应根据自己的实际能力选择一个适当的学习进度。不要一味地追求速度，而忽略了学习的效果，也不要因为某一方面的问题不能解决而放弃学习或停止不前。最好的学习方法是边学习边复习。不断地学习能帮助我们吸收新的知识，而有计划的复习能巩固知识，深化知识，达到对知识的深入理解。在学习过程中遇到各种各样的问题是在所难免的，如果实在不能掌握该问题，建议大家不妨暂时把问题分成一系列小的问题，然后去复习、回顾那些与此相关的基础知识，采取各个击破的方法排疑解难，直到最终解决该问题。比如说，在微分学一章中，以求多元抽象复合函数的高阶导数最为困难。为了克服这一难关，学习者最好先打牢有关的基础，如：什么是多元函数？复合函数以及多元复合函数的含义是什么？什么样的函数为抽象函数？怎样正确做出多元复合函数的求导链？如何理解多元抽象复合函数的一阶导数？解决好这些问题，会对我们掌握好多元抽象复合函数的高阶导数起到关键的作用。
都大学生了还问这个问题不觉得对不起自己么？建议你先不要浮躁静下心来慢慢看，多做一些练习实践永远是这种问题的最好答案
还有比多做更好的办法了吗？
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高等数学微分方程试题
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3秒自动关闭窗口从本章开始进入微积分学的主体. 微积分分为微分学与积分学两部分.微分概念的产生是为了描述曲线的 切线和运动质点速度, 更一般地说, 是为 了描述函数变化率的概念。微积分的系统发展通常归功于两位 伟大的科学先驱―― 牛顿和莱布尼兹.1第三章导数与微分3.1 导数的概念3.2 函数的可导性与连续性 3.3 导数公式 导数运算法则3.4 导数的实际应用3.5 高阶导数 3.6 微分的概念 3.7 微分公式和法则3.8 微分的应用23.1 导数的概念问题1 直线运动的瞬时速度问题 一质点作直线运动,已知路程 s 与时间 t 的 关系 s ? f (t ).试确定t0时刻的瞬时速度v(t0). 解 从时刻 t0 ? t0 ? ?t , 质点走过的路程?s ? f ( t0 ? ?t ) ? f ( t0 ),差商?s f ( t0 ? ?t ) ? f ( t0 ) ? ?t ?t平均速度若运动是匀速的, 瞬时速度就等于平均速度。3若运动是非匀速的, 平均速度 v 就是这段 时间内运动快慢的平均值, ?t 越小,它越近似表明 t0 时刻运动的快慢. 因此, 人们把 t0时的速度 定义为?s lim v ( t0 ) ? ?t ?0 ? lim ? t ?t ? 0f ( t 0 ? ?t ) ? f ( t 0 ) , ?t并称之为t0时的瞬时速度v(t0).4问题2 曲线的切线斜率问题 若已知平面曲线 y ? f ( x ), 如何作过 曲线上点 M 0 ( x0 , f ( x0 )) 的切线呢？对于一般曲线如何定义其切线呢? 法国 数学家费马1629年提出了如下的定义和求法, 从而圆满地解决了这个问题. 割线的极限位置―― 切线位置.6如图, MN为割线，当点N沿 曲线趋于点M时,yy ? f ( x)N TMN旋转而趋向极限位置MT,则MT为点M处的 切线.COM? ??现在来解决以下问题：x已知曲线的方程 y ? f ( x ), 确定点 M 0 ( x0 , y0 ) 处切线的斜率.7设 M ( x0 , y0 ), N ( x0 ? ?x , y0 ? ?y ).差商?y f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) tan ? ? 割线MN的斜率为 ? , ?x ?xN ?? ? ? M , x ? x0 , ?沿曲线Cyy ? f ( x)切线MT的斜率为k ? tan ?CON Tlim f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? x ?x 0?x差商的极限M? ??x0xx8二、导数的定义定义 设函数 y ? f ( x )在区间I内有定义, x0 ? I , ?y 的极限 如果函数在 x0 处的差商 ?x f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ? lim (1) lim ?x ?0 ?x ? 0 ?x ?x 存在, 则称函数在点 x0可导， 并称这个极限为函数f ( x )在x0 处的导数, 记为 y? x ? x0 , dy , f ?( x0 ) 或 df ( x ) dx x ? x 0 dx x ? x0当极限(1)式不存在时, 就说函数 f (x)在x0 处不可导或导数不存在.11f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ? ?x ?( x0 ) ? lim f ?xx? 0 ? ? ?x ?(1)注导数定义可以 写成多种形式: f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim ,h? 0h(2)或令 x ? x0 ? ?x 则 ?x ? x ? x0f ( x ) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . x ? x0 x ? x0(3)12关于导数的说明 无论何种形式，其本质在于 (1)函数增量与自变量增量之比； (2)变化过程为自变量增量趋近于零.点导数是函数在点x0处的变化率, 它反映了函数 随自变量的变化而变化的快慢程度， 即函数的变化率.13有了导数的概念，则 (1)变速直线运动的物体在 t 0 的瞬时速度 v (t0 )s ? s(t )在点是路程函数 t 0 处的导数，即v(t0 ) ? s?(t0 ).(2)曲线y ? f ( x) 在 ( x0 , y0 )的切线斜率k 是函数f ( x )在点x0 处的导数，即 k ? tan ? ? f ?( x0 )14三、导数的几何意义由切线问题， 切线的斜率就是极限值 f ( x ) ? f ( x0 ) lim ? f ?( x 0 ) y y? x ? x0 x ? x0f ( x)f ?( x0 )表示曲线 y ? f ( x )在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率 即 ,Tf ?( x0 ) ? tan ? , (?为倾角) OCM??x0x特别地: (1) 若f ?( x0 ) ? 0, 则曲线y ? f ( x ) 在点( x0 , f ( x0 )) 的切线平行于 Ox 轴;15( 2) 若f ?( x0 ) ? ?, 则曲线y ? f ( x )在点( x0 , f ( x0 ))的切线垂直于Ox轴.曲线y ? f ( x )在点( x0 , y0 )处的切线方程为:y ? y 0 ? f ?( x 0 )( x ? x 0 ).曲线y ? f ( x )在点( x0 , y0 )的法线方程为:1 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ) f ?( x0 )? f ?( x0 ) ? 0?.16f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? 例 求函数 f ( x) ? x在 x 1) 2处的导数. lim (? ?x ?0 ?x? (x ) ?y f ( x ) 2 ? f x ? 0 2 . 1 ? f ?f ?x0))?? lim ? lim ( ( 2 lim ? lim x ? x0 x ? x0 ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x ?0 2 ? ?x ? 2 ?x 按照导数定义的另一种形式： x? 2 ( x ? 2 )( x ? 2 ) f ?( 2) ? lim ? lim x?2 x?2 x?2 ( x ? 2)( x ? 2 ) 1 1 ? ? lim x?2 2 2 x? 2解： f ( x) ? x在x ? 2处的导数：?1 2 217例 用导数表示下列极限f (a ? 3 x ) ? f (a ) (1) 设f ( x )在x ? a可导, 求 lim . x ?0 5x f ( a ? h) ? f ( a ) ( 2)已知f ?(a ) ? 2, 求 lim . h? 0 2h f (a a ? ) ? )f? a )(a ) f ( ? h3 x ( f 解 ( 2() lim 解 1) ?0 h lim 2h x x ?0 5 f ( a ? h) ? f ( a ) 1 ? ? f (a ? 3 x ) ? f (a ) 3 f (a ? 3 x ) ? f (a ) ? lim ? h ? lim ? lim 2 h?0 x ?0 5 5 x ?0 3x 1 3? ?( a ) ? x 1 ?? f 3 2 3 ? f ?(a ). 518四、导函数定义3.2 如果函数y = f (x)在开区间 I 内的每点处都可 导,就称函数 f (x)在开区间 I 内可导. 对于任一 x ? I , 都对应着 f (x)的一个确定的 导数值. 从而确定了一个以x为自变量，以导数值为 因变量的新的函数， 这个函数称为f (x)的导函数. 导函数简称为导数. 记作 dy df ( x ) y?, f ?( x ), 或 . dx dx19根据导数的定义，f ( x ? ?x ) ? f ( x ) y? ? lim ?x ? 0 ?xf ( x ? h) ? f ( x ) 或 f ?( x ) ? lim . h? 0 h 注 f ?( x ) ? f ?( x ) x? x 00函数在某点的 导数就是导函 数在这点的函 数值20五、求导举例(几个基本初等函数的导数)(1) 求增量 ?y ? f ( x ? ?x ) ? f ( x );步 骤?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ( 2) 算差商 ? ; ?x ?x?y lim (3) 求极限 y? ? ?x ?0 ?x .例 求函数 f ( x ) ? C (C为常数) 的导数.f ( x ? h) ? f ( x ) ? lim C ? C ? 0. 解 f ?( x ) ? lim h? 0 h? 0 h h即(C )? ? 021例 求函数 y ? x n ( n为正整数) 的导数. 解 ( x n )? ? lim( x ? h) ? x h? 0 h n( n ? 1) n? 2 n ?1 n ?1 n ?1 ? lim[nx ? x h ? ? ? h ] ? nx h? 0 2! n 即 ? ? nx n?1 (x )n n? ? ?x ? ?1 . 更一般地 ( x )如1 2 ?1 1 ( x )? ? x ? 2 2 x1?( ? ? R)x( x ?1 )? ? ( ?1) x ?1?1 ? ? 1222例 设函数 f ( x ) ? sin x,求(sin x )?及(sin x )? 解 (sin x )? ? limsin( x ? h) ? sin x h? 0 h h 2x ? h h sin 2 cos( ) sin h 2 ? cos x . 2 2 ? lim cos( x ? ) ? ? lim h? 0 h? 0 h 2 h 2 2 ? ? ? cos x ? ? . 即 (sin x )? ? cos x . ? (sin x ) x ? x? 2 4 44x??.同理可得 (cos x )? ? ? sin x .课下练习23例 求函数 f ( x ) ? a (a ? 0, a ? 1) 的导数.x?a 解 ( a )? ? lim h ?0 h h a ?1 x e h ln a ? 1 x ? a lim ? a lim h? 0 h h?0 hxax?hxh ln a x ? a lim ? a ln a . h?0 hx即(a )? ? a ln ax x( e )? ? e .x x24例 求函数 y ? log a x(a ? 0, a ? 1) 的导数.log a ( x ? h) ? log a x 解 y ? ? lim h? 0 h h h log a (1 ? ) log a (1 ? ) x ?1 x ? lim ? lim h? 0 h? 0 h x h x x 1 h h 1 ? lim log a (1 ? ) ? log a e . x h? 0 x x 1 即 (log a x )? ? log a e (ln x )? ? 1 . x x253.1 导数的概念小结1.导数定义f ?( x0 ) ? lim?x ? 0f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?x(1)f ?( x0 ) ? limh? 0f ( x0 ? h) ? f ( x0 )h,(2)f ( x ) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . x ? x0 x ? x0(3)262.导数意义曲线y ? f ( x )在点( x0 , y0 )处的切线方程为:y ? y 0 ? f ?( x 0 )( x ? x 0 ).曲线y ? f ( x )在点( x0 , y0 )的法线方程为:1 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ) f ?( x0 )? f ?( x0 ) ? 0?.273.2 函数的可导性与连续性y yox0xox0x没有切线， 从左图可见，函数在点 x0 处不连续， 一定不可导.从右图可见，在 x0 处没有切线因而不可导， 却在 x0 处连续.283.2 函数的可导性与连续性定理3.1 设函数 f ( x )在点 x0可导, 则函数 f ( x )在点 x0连续 ., 证明：设函数 f ( x )在点 x0处导数存在 即 ?y f ?( x0 ) ? lim ?x ? 0 ?x ?y 从而 lim ?y ? lim ? ?x ? 0 ?x ? 0 ? x ?x ? 0注该定理的逆定理不一定成立.29y ? 3 x 在 x=0处的连续性和 例 讨论函数可导性. 解 在x=0处的连续性是显然的.但在x=0处，由于 f ( x ? h) ? f ( x ) f ( 0 ? h) ? f ( 0 ) lim ? lim h? 0 h? 0 h h 3 f ( h) ? f ( 0 ) h 1 ? lim ? lim ? lim 3 2 ? ?? h? 0 h? 0 h h? 0 h h 所以是不可导的. 函数在此点处，是不是不存在切线？ 事实上，在此点处，函数存在铅直的切线！30例1 ? ? x sin , 讨论函数 f ( x ) ? ? x ? 0, ? 与可导性 .x?0 , 在x ? 0处的连续性 x?01 1 解 ? sin 是有界函数 , ? lim x sin ? 0 x ?0 x x ? f (0) ? lim f ( x ) ? 0 ? f ( x )在x ? 0处连续.x ?0?y 在x ? 0处, ? ?x当?x ? 0时,1 (0 ? ?x ) sin ?0 0 ? ?x?x1 ? sin , ?x? f ( x )在x ? 0处不可导.?y 在 ? 1和1之间振荡而极限不存在. ?x31注 该定理的逆定理不一定成立. 如, f ( x ) ? x 在x ? 0处连续,. 但在 x ? 0处不可导 x ? 0为 f ( x )的角点 ,yy? xOx连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件.327分段函数求导f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) lim 函数导数的公式 ?x?0 是一个极限式， ?x也有左极限 和右极限的概念.f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 左极限 lim? 称为函数在点 x0 ?x ?0 ?x ? 的左导数， 记作 f ?( x0 ), f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 称为函数在点 x0 右极限 lim? ?x ?0 ?x? f ?( x0 ). 的右导数， 记作33如果左、右导数不存在或存在但不相等，都称函数f ( x) 在点 x0 的导数不存在.直观上，曲线在这一点没有切线，导数就不存在.340 ? x ? 10 ?0.6 x 的导数. 例 求西瓜的价格函数 y ? ? 10 ? x ? 0.7 x 解：在 0 ? x ? 10, y? ? 0.6; 在 x ? 10, y? ? 0.7. 注： 导数 就是西瓜的单价.0.7(10 ? ?x ) ? 0.7 ? 10 右导数 y?(10 ) ? lim? ? 0.7; ?x ?0 ?x?在分段点x ? 10，左导数 0.6(10 ? ?x) ? 7 0.6?x ? 1 ? y?(10 ) ? lim ? lim , 不存在. ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x? ?结论: 函数在点x ? 10 的导数不存在. 因此一定不可导. 事实上函数在 x ? 10 不连续，353.2 函数的可导性与连续性小结连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件.连续 可导363.3 导数公式 导数运算法则1. 常数和基本初等函数的导数公式（第48页）(C )? ?0(sin x )? ? cos x (tan x )? ? sec 2 x (sec x )? ? sec x tan x( x ? )? ? ?x ? ?1 (cos x )? ? ? sin x (cot x )? ? ? csc 2 x (csc x )? ? ? csc x cot x(a )? ?xa x ln a(e x )? ? (ln x )? ?ex 1 x1 (log a x )? ? x ln a 1 (arcsin x )? ? 1 ? x2 1 (arccos x )? ? ? 1 ? x21 1 ? x2 1 (arc cot x )? ? ? 1 ? x2(arctan x )? ?373.3 导数公式 导数运算法则1. 常数和基本初等函数的导数公式（第48页）2. 函数的线性组合、积、商的求导法则3. 反函数的求导法则 ４．复合函数的求导法则 5、隐函数的求导法则 6、对数求导法 7、分段函数求导382. 函数的线性组合、积、商的求导法则设f ( x ), g ( x )都是可导函数 .(1) ( f ( x ) ? g( x ))? ? f ?( x ) ? g?( x ). ( 2) ( f ( x ) ? g( x ))? ? f ?( x ) g( x ) ? f ( x ) g?( x ).f ( x) f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ( 3) ( )? ? , 2 g( x) g ( x) 1 ? g ?( x ) ( )? ? 2 . g( x) g ( x)39例 求 y ? x 3 ? 2 x 2 ? sin x 的导数 .解y ? ? 3 x 2 ? 4 x ? cos x .2 1 ? 1 ?? ?1 3 2 3 2 y? ? ? ? 6 x ? 2 x ? ? ( x ? 6 x ? 2 x 2 )? 解： ? x ? 1 4 1 ?1 ?3 ?1 1 3 2 2 ?3 ? ? ? 2 x ? 4x ? x ? ? x x 2 x31 y? ? 6 3 x 2 ? 2 x 的导数． 例 求 x41例 求 y ? sin 2 x ? ln x 的导数 . 解 ? y ? 2 sin x ? cos x ? ln x(sin 2 x )? ? cos 2 x ?y ? ? 2 cos x ? cos x ? ln x ? 2 sin x ? ( ? sin x ) ? ln x 1 ? 2 sin x ? cos x ? x 1 ? 2 cos 2 x ln x ? sin 2 x . x42例 求 y ? tan x 的导数 .? ? sin x ? 解 y? ? (tan x )? ? ? ? ? cos x ?u? v ? u v ? ? u? ? ? ? 2 v ?v??(sin x )? cos x ? sin x(cos x )? ? cos 2 x1 cos 2 x ? sin 2 x ? ? sec 2 x ? cos 2 x cos 2 x即? ? sec2 x. (tan x )2课下练习 (cot x )? ? ? csc x .43例 求 y ? sec x 的导数 . 1 )? 解 y ? ? (sec x )? ? ( cos x0 ? cos x ? 1 ? (cos x )? ? (cos x )? ? ? 2 cos x cos 2 x sin x ? sec x ? tan x . ? 2 cos x 即 (sec x )? ? sec x ? tan xu? v ? u v ? ? u? ? ? ? 2 v ?v?? ? v ?( x ) ? 1 ? ? ? ? 2 ? v( x ) ? v ( x)?课下练习(csc x ) ? ? ? csc x . cot x44x ?1 求 y? 的导数 . x ?1? ? v ?( x ) 1 ? ? ? ? ? 2 ? v( x ) ? v ( x)( x ? 1)?( x ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 1)? 2 解 法一 y? ? ? 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2x ?1 2 ? 1? 法二 y ? x ?1 x ?1 2 ?1 2 ? ? (1)? ? ( ? ? ?2 y ) ? 2 2 x ?1 (1 ? x ) ( x ? 1)453. 反函数的求导法则 如果函数 x ? ? ( y)在某区间I y内单调、 可导且? ?( y) ? 0 , 则它的反函数y ? f (x )在对应区间Ix 内也可导 , 且o 事实上，在点( x, y ) 的切线与x轴和y轴的夹角 ? , ? ? 的和是 ，所以 tan ? ? tan ? ? 1 2?y f ?( x ) ? lim ?x ?0 ?x 1 1 ? ? ?x ? ?( y ) lim ?y ? 0 ? yyy ? f ( x) x ? ? ( y)y??xx46例 求函数 y ? arcsin x 的导数. 直接函数 ? ? 解 ? x ? sin y 在I y ? ( ? , )内 单调、可导, 2 2 且 (sin y )? ? cos y ? 0, ? 在 I x ? (?1,1)内有(arcsin (arcsin x )??反函数1 1 1 1 ? ? ? . 2 2 (sin y )? cos y 1 ? sin y 1? x同理可得(arccos x )? ? ?1 1? x2.1 . (arctan x )? ? 2 1? x1 . (arc cot x )? ? ? 2 1? x473.3 导数公式 导数运算小结1. 常数和基本初等函数的导数公式（第48页）(C )? ?0(sin x )? ? cos x (tan x )? ? sec 2 x (sec x )? ? sec x tan x( x ? )? ? ?x ? ?1 (cos x )? ? ? sin x (cot x )? ? ? csc 2 x (csc x )? ? ? csc x cot x(a )? ?xa x ln a(e x )? ? (ln x )? ?ex 1 x1 (log a x )? ? x ln a 1 (arcsin x )? ? 1 ? x2 1 (arccos x )? ? ? 1 ? x21 1 ? x2 1 (arc cot x )? ? ? 1 ? x2(arctan x )? ?482. 函数的线性组合、积、商的求导法则f ( x) f ?( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ( 3) ( )? ? , 2 g( x) g ( x)3. 反函数的求导法则 ４．复合函数的求导法则dy dy d u ? ? . dx du d x1 f ?( x) ? ? ?( y )5、隐函数的求导法则 将方程两边同时对x求导. 6、对数求导法 等式两边取对数 7、分段函数求导y ? u ( x)v( x)左、右导数定义49４．复合函数的求导法则如果函数u ? g( x )在点 x可导 , 而y ? f (u) 在点u ? g ( x ) 可导, 则复合函数 y ? f [ g( x )]在点x 可导,且其导数为dy dy dy d u ? ? . ? f ?(u) ? g?( x ) 或 dx du d x dx链导法则因变量对自变量求导,等于因变量对中间 变量求导,乘以中间变量对自变量求导.?y ?u ?y ? ?y ?u ? lim ? lim y? ? lim ? lim ? ? x ? ? ?u ?0 ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?u ?x ?u ?x?0 ?x ? ?50推广 设 y ? f (u), u ? ? (v ), v ? ? ( x ),则复合函数y ? f {? [? ( x )]}的导数为dy dy du dv ? . dx du dv dx例 求函数 y ? ln sin x 的导数.解 ? y ? lnu, u ? sinx. dy dy du 1 cos x ? ? ? ? ? cos x ? ? cot x dx du dx u sin x52例 求函数 y ? ( x 2 ? 1)10 的导数 .解y? ? 10( x 2 ? 1)9 ? ( x 2 ? 1)?? 10( x 2 ? 1)9 ? 2 x ? 20 x ( x 2 ? 1) 9 .求下列函数 的导数 .(1) y ? ex3y? ? e ? ( x )? ? 3 x e .x3 32x32x ( 2) y ? sin 2 1? x 2 2(1 ? x ) 2x 2x 2x cos ? y? ? cos ?( )?? 2 2 2 2 2 (1 ? x ) 1? x 1? x 1? x53x2 ? 1 ( x ? 2) 的导数. 例 求函数 y ? ln 3 x?2 1 1 2 解 ? y ? ln( x ? 1) ? ln( x ? 2), 2 3 1 x 1 1 1 ? 2 ? ? y? ? ? 2 ? 2x ? 3( x ? 2) x ? 1 3( x ? 2) 2 x ?1例 求函数 y ? esin 1 xsin1 x的导数 .1sin 1 1 1 x cos ? ( )? ? (sin )? ? e ? 解 y? ? e x x x 1 sin 1 1 x ?? 2e ? cos . x x54例证明幂函数的导数公式： ? x ? ?? ? ? x ? ?1?? ? ( e ? ln x )? 证明： ( x ) ?e? ln x( ? ln x )? ? e? ln x? ? ?x ? ? 1 ?x555、隐函数的求导法则回顾: 函数 y ? f ( x ) 称为显函数. 对于方程 F ( x, y) ? 0, 当x取某一个值时， 如果总有满足方程的唯一的 y 值存在，就说 方程 F ( x , y ) ? 0 确定了一个隐函数. 隐函数的显化有时很困难，甚至不可能！ 有时需要计算隐函数的导数. 但在实际的计算中， 所以， 必须找到一种不经过显化而求隐函数的导 数的方法.56x 2 ? y 2 ? 4 确定的隐函数的导数 y ? 例(1)求由圆的方程（2）求 x? 1处曲线切线的斜率.（1） 解： 因为y是x的函数, 所以 y 2 是x的复合函数. 将方程两边同时对x求导, 得d( x2 ) d ( y2 ) ? dx dx?0dy 2 x ? 2 y ? dx ? 0 dy x ?? ( y ? 0) 整理得到 dx y57dy x ?? dx y（2）求 x( y ? 0)? 1处曲线切线的斜率.x ? 1 处，对于圆的上半支曲线 y ? 3切线斜率是 y? ? ?1/ 3; 对圆的下半支曲线 y?? 3切线斜率是 y? ? 1/ 3.58dy e 练习 求由方程 ? xy ? e ? 0所确定的隐函数y的导数 dx 解 将方程两边同时对x求导. 左边对x求导得yy d y (e ? xy ? e ) ? d (e ) ? d ( xy ) dx dx dx因为y是x的函数, 所以 e y是x的复合函数,dy dy 方程右边对x求导得0. 所以 e ? dx ? y ? x ? dx ? 0 dy y y 即 ?? ( x ? e ? 0) y dx x?ey60dy dy e ? ? y? x? dx dxy6、对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍 对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单.对数求导法先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导法 求出导数.61例 设 y?x (1 ? x ) , 求y?. 1? x解 当0&x& 1时，等式两边取对数得1 ln y ? ?ln x ? ln(1 ? x ) ? ln(1 ? x )? 2上式两边对 x求导得隐函数1 ?? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ?y y 2 ? x 1? x 1? x? ? ??x(1 ? x) 1? x 1 1 ? ?1 ? x ? 1? x ? 1? x ? ? ?62y ?1 1 1 ? y? ? ? ? ? ?? 2 ? x 1? x 1? x?例 设 y ? x sin x ( x ? 0), 求y?.解 等式两边取对数得 ln y ? sin x ? ln x 上式两边对x求导得 1 ?? cos x ? ln x ? sin x ? 1 ?y y x 1 ? y ? ? y(cos x ? ln x ? sin x ? ) x?xsin xsin x (cos x ? ln x ? ) x637、分段函数求导f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) lim 函数导数的公式 ?x?0 是一个极限式， ?x也有左极限 和右极限的概念.f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 左极限 lim? 称为函数在点 x0 ?x ?0 ?x ? 的左导数， 记作 f ?( x0 ), f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 称为函数在点 x0 右极限 lim? ?x ?0 ?x? f ?( x0 ). 的右导数， 记作66如果左、右导数不存在或存在但不相等，都称函数f ( x) 在点 x0 的导数不存在.直观上，曲线在这一点没有切线，导数就不存在.670 ? x ? 10 ?0.6 x 的导数. 例 求西瓜的价格函数 y ? ? 10 ? x ? 0.7 x 解：在 0 ? x ? 10, y? ? 0.6; 在 x ? 10, y? ? 0.7. 注： 导数 就是西瓜的单价.0.7(10 ? ?x ) ? 0.7 ? 10 右导数 y?(10 ) ? lim? ? 0.7; ?x ?0 ?x?在分段点x ? 10，左导数 0.6(10 ? ?x) ? 7 0.6?x ? 1 ? y?(10 ) ? lim ? lim , 不存在. ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x? ?结论: 函数在点x ? 10 的导数不存在. 因此一定不可导. 事实上函数在 x ? 10 不连续，683.4 导数的实际应用1.变化率?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 差商 表示自变量在以 ?x ?xx0 和 x0 ? ?x 为端点的区间里 每变动一个单位时，函数 y 的平均变化量， 因此差商就是平均变化率. 当?x ? 0时，称为函数 y ? f ( x) 在 x0 的变化率. 反映了函数 y 随自变量 x 在 x0 的变化而变化的快 慢程度.69例如：意义是 单位时间质点经过的距离.ds 速度 v 是路程 s 对时间 t 的变化率：v ? dtdv 加速度 是速度 对时间 t 的变化率：a ? , dt 意义是单位时间质点改变的速度；av在热力学中，热容量 C 是热量 Q 对温度 T dQ 意义是： 的变化率：C ? dT 温度改变1个单位时从外界吸收或放出的热量；70在生物学中，动物体重的增长速率是体重 W dw 对时间 t 的变化率： （单位时间体重的改变量） dt 气温 T 随高度 在环境评价学中，dT 垂直递减率： dzz 变化的气温（每单位距离（一般是100m）气温的增加量或减少量）71表格给出的函数如何估计变化率某种植物每10天测量的植株的高度 通过表格给出：栽后天数 植株高度 cm 20 6.6 30 12.3 40 19.8 50 41.2 60 55.0 70 61.2 80 66.0 90 68.5 100 70.5利用差商来估计函数在每点的变化率. 设函数是 c? c(t )则在时间 其中 ?t ? 10.t0?c c(t0 ? ?t ) ? c(t0 ) ? , 差商是 ?t ?t用这个式子计算 的值就代表各点的变化率值.73例如第20天的变化率：c(30) ? c(20) 12.3 ? 6.6 c?(20) ? ? ? 0.57 （cm/天） 10 10它表示在第20天时，植株每天大约增长0.57cm.743.4 导数的实际应用小结导数称为变化率f &#39; ( x ) 表示函数 f ( x ) 对自变量x的变化率。753.5 高阶导数这就是二阶导数的物理意义问题:变速直线运动的加速度. 设 s ? s(t ), 则瞬时速度为 (t ) ? s?( t ) v 加速度 a(t ) ? v ?(t )? [ s?( t )] &#39; 定义 如果函数f ( x )的导数f ?( x ) 在点x处可导, 则称( f ?( x ))?为函数f ( x )在点x处的 二阶导数.d2 y d2 f ( x ) . 记作 f ??( x ), y??, 2 或 2 dx dx76d3 y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ???( x ), y???, 3 dx d4 y 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( 4 ) ( x ), y ( 4 ) , . 4 dx一般地, 函数f ( x )的n ? 1阶导数的导数称为函数f ( x )的n阶导数,记作dn y dn f ( x ) f ( n ) ( x ), y ( n ) , 或 . n n dx dx二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数.相应地, f ( x )称为零阶导数 f ?( x )称为一阶导数 ; .77由高阶导数的定义,欲求函数的高阶导数, 只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去, 而不需要新的方法. 例 设 y ? arctan x , 求 y?? x ? 0 . 1 1 ? 2x ?? ? ( ?? y ) 解 y? ? 2 2 1? x 1? x (1 ? x 2 ) 2? y?? x ? 0 ? 2x ? (1 ? x 2 )2? 0.x ?078几个基本初等函数的n阶导数例 设 y ? x? (? ? R ), 求y (n ) . ? ? ?x? ?1 解 y 幂函数y?? ? (?x? ?1 )? ? ? (? ? 1) x? ? 2y??? ? (? (? ? 1) x? ? 2 )? ? ? (? ? 1)(? ? 2) x? ? 3 ??y ( n ) ? ? (? ? 1)?(? ? n ? 1) x? ? n若 ? 为自然数n, 则( n ? 1)y ( n ) ? ( x n )( n ) ? n! ,y( n ? 1)? ( n! )? ? 0.79例 设y ? ( x ? 2)( 2 x ? 3)2 ( 3 x ? 4)3 , 求y ( 6 ) . 分析 此函数是6次多项式, 又是求6阶导数,故不需将函数因式全乘出来. 2 3 解 因为 y ? x ( 2 x ) ( 3 x ) ? p5 ( x )? 108 x ? p5 ( x )6其中 p5 ( x ) 为x的5次多项式, 故y ( 6 ) ? 108 ? 6!.80例 设 y ? sin x , 求y (n ) .三角函数 ? 解 y ? ? cos x ? sin( x ? ) 2 ? ? ? ? y ?? ? cos( x ? ) ? sin( x ? ? ) ? sin( x ? 2 ? ) 2 2 2 2 ? ? ?? y ??? ? cos( x ? 2 ? ) ? sin( x ? 3 ? ) 2 2 ? ? (n) ( n) y ? sin( x ? n ? ) 即 (sin x ) ? sin( x ? n ? ) 2 2 ? (n) 同理可得 (cos x ) ? cos( x ? n ? ) 281例 设 y ? e x , 求y (n ) .指数函数? ? e x , y?? ? e x , y??? ? e x , ?, (e x )( n ) ? e x . 解 y例 设 y ? ln(1 ? x ) ( x ? ?1), 求y (n ) . 对数函数 1 1 ?? y ?? ? ? 解 y 1? x (1 ? x ) 2 2! 3! (4) y ??? ? ?? y ?? 3 4 (1 ? x ) (1 ? x ) (n) n ?1 ( n ? 1)! y ? ( ?1) ( n ? 1, 0! ? 1) n (1 ? x )82几个常用高阶导数公式 x (n) x x (n) x n (1) (a ) ? a ? ln a (a ? 0) ( e ) ? e ? (n) n ( 2) (sin kx ) ? k sin( kx ? n ? ) 2 ? (n) n ( 3) (cos kx ) ? k cos(kx ? n ? ) 2(4) ( x? )( n ) ? ? (? ? 1)?(? ? n ? 1) x? ? nn ?1(5) (ln x )(n)? ( ?1)( n ? 1)! xn?1? ? ? ? x?( n)n! ? ( ?1) n?1 xn831 y? 2 , 求y ( n ) . 例 x ? 3x ? 2 1 1 1 ? ? 解 y? 2 x ? 3x ? 2 x ? 2 x ? 1 ?1 ?1 1 1 ?? ? ? ( ?1) ? ( ?1) y 2 2 2 ( x ? 2) ( x ? 1)2 ( x ? 2) ( x ? 1)y(n)??n! n! n ? ( ?1) ? ( ?1) n ?1 ( x ? 2) ( x ? 1)n?1n? ? 1 1 ? ( ?1) n! ? ? n?1 ( x ? 2) ( x ? 1) n?1 ? ? ?n843.5 高阶导数小结二阶导数.d2 y d2 f ( x ) . f ??( x ), y??, 2 或 2 dx dxn (n)y(n)? ( x ) ? n! ,y ( n ? 1) ? ( n! )? ? 0.(e x )( n ) ? e x .(sin x )( n)? sin( x ? n ? ) 2?87相关变化率 P66 18题 细胞体积增长 球形细胞以常速每天增加体积400。当它的半 径是10时，它的半径增长速度是多少？分析 设金属球的半径为r (t ) 体积为V (t ) , ,4 3 则V(t )? ? r (t ) . 3两边分别对t求导 V &#39;( t )? 4? r 2 ?r &#39;( t )400 ? 4? 102 ?r &#39;(t )883.6微分的概念表示函数在一点处由自变量所引起导数 微分的函数变化的快慢程度.是函数在一点处由于自变量微小变化 所引起的改变量的近似值.导数与微分 有着密切的联系.891.问题的引出实例 正方形金属薄片受热后面积的改变量. x 设边长由x 0 变到x 0 ? ?x , x 0 ?x 2 ?正方形面积 A ? x0 ,0( ?x ) 2?x?x2 ? ?A ? ( x 0 ? ?x ) 2 ? x 0? 2 x 0 ? ?x ? ( ?x ) 2 .(1) ( 2)2 A ? x0x 0 ?xx0(1) ?x 的线性(一次)函数, 且为?A的主要部分 ; ( 2) ?x 的高阶无穷小, 且为?A的次要部分, 当 ?x很小时可忽略. 当 ?x 很 小时 ?A ? 2 x0 ?x ? A?( x0 )?x . ,90设函数 y ? x 3在点 x0处的改变量为 x时, ? 再如,求函数的改变量 y. ??y ? ( x 0 ? ?x ) ? x33 02 ? 3 x 0 ? ?x ? 3 x 0 ? ( ?x ) 2 ? ( ?x ) 3 .(1)( 2)当 ?x 很小时, ( 2)是?x的高阶无穷小o( ?x ),2 ? ?y ? 3 x0 ? ?x ? y?( x0 ) ? ?x912. 微分的定义设函数 y ? f ( x )在某区间内有定义 , 定义 x0及 x0 ? ?x在这区间内, 如果增量 线性主部 ?y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ?x ? o( ?x )成立, 则称函数 y ? f ( x )在点 x0 可微. 并称 f ?( x0 ) ? ?x 为函数 y ? f ( x )在点 x0相应于自变量增量 ?x的 微分, 记作dy x ? x0 或 df ( x0 ), 即dyx ? x0? f ?( x0 ) ? ?x .92注(1) 函数 y ? f ( x ) 在任意点 x 的微分, 称为函数 的微分, 记作 dy或 df ( x ), 即 dy ? f ?( x )?x .与x和?x有关 在x给定之后， 是?x的线性函数 dy .（2）由于 ?y ? dy ? o(?x),? ?y ? dy ? f ?( x0 ) ? ?x.93(3) 设 y ? f ( x ) ? x , 求dy.解dy ? ( x )??x ? ?xdy ? df ( x ) ? dx.即 dx ? ?x .称为自变量的微分. dy ? f ?( x ) dx? dy ? f ?( x )dx导数称为微商94定理 如果函数 f ( x )在点 x0可导， 则函数 f ( x ) 在点x0处可微.证明： ?函数f ( x )在点x 0 可导, ?y ? lim ? f ?( x 0 ), 即 ?y ? f ?( x 0 ) ? ?, ?x ? 0 ? x ?x从而 ?y ? f ?( x0 ) ? ?x ? ? ? ( ?x ),( ?x ? 0, ? ? 0)? f ?( x 0 ) ? ?x ? o( ?x ),?函数 f ( x )在点 x0可微, dy ? f ?( x0 )?x .95y ? x 2 , x ? 2, ?x ? 0.1, 求函数的增量与微分. 例32. 设解： ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? f (2.1) ? f (2) ? 2.12 ? 22 ? 0.41dy ? f ?( x)?x ? 2 x ? ?x, 代入 x ? 2, ?x ? 0.1 得到dy ? 2 ? 2 ? 0.1 ? 0.4.96例30. 药物反应 假设注射某种药物的反应程度 RdR , 将敏感度定义为反映程度对剂量的变化率 dx dR 解： ? (1000 x ? x 2 ) x ?350 ? 227500, x ?350 dx dR ? ?R ? dR ? dx x ? 350 ? ?x.x 与剂量 x 有如下 关系： R( x) ? x (500 ? ), 32表示剂量每增加一个单位，反映程度的增加值近似为227500单位；973.微分的几何意义dy ? f ?( x0 )dxtan ? ? ?x ? PQ ? dyyN?几何意义(如图) ?y 是曲线的纵坐标增量;T o( ?x )dy 是切线对应的纵坐标增量,当 ?x 很小时, 在点M的附近,OPy ? f ( x)M?? y dyQ?x?x0x0 ? ? x x切线段 MP可近似代替曲线段MN .1003.7 微分公式与运算法则 dy ? f ?( x )dx求法 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.1. 基本微分公式 P58d( C ) ? 0 d(sin x ) ? cos xdx d(tan x ) ? sec2 xdxd( x ? ) ? ?x ? ?1dx d(cos x ) ? ? sin xdx d(cot x ) ? ? csc 2 xdxd(sec x ) ? sec x tan xdx d(csc x ) ? ? csc x cot xdx101d(a x ) ? a x ln adx 1 d(log a x ) ? dx x ln a 1 d(arcsin x ) ? dx 2 1? x 1 d(arctan x ) ? dx 2 1? xd( e x ) ? e x dx 1 d(ln x ) ? dx x 1 d(arccos x ) ? ? dx 2 1? x 1 d(arc cot x ) ? ? dx 2 1? x1022. 导数运算法则和对应的微分运算法则(u ? u( x ), v ? v( x ), C ? R)(u ? v)? ? u? ? v?(u ? v)? ? u?v ? uv?(Cv)? ? Cv?d (u ? v) ? du ? dvd (u ? v) ? udv ? vdud (Cv) ? Cdvu vdu ? udv d( ) ? 2 v v 1 dv d( ) ? ? 2 v vu u?v ? v?u ( )? ? v v2 1 v? ( )? ? ? 2 v v103例 设 y ? ln( x ? e ), 求dy. 解 ? y? ?x21 ? 2 xe x?ex2x2, ? dy ?1 ? 2 xe x?ex2x2dx .例 设 y ? e1? 3 x cos x , 求dy .d( uv ) ? vdu ? udv1? 3 x ) ? e1? 3 x ? d(cos x ) 解 dy ? cos x ? d(e? dy ? cos x ? ( ?3e1? 3 x )dx ? e1? 3 x ? ( ? sin x )dx? ?e1? 3 x( 3 cos x ? sin x )dx .104sin x 1 , 例 求函数 的微分. x f ( x)解 按微分运算法则，有 xd sin x ? sin xdx x cos x ? sin x ? sin x ? ? dx d? ?? 2 2 x x ? x ?f ( x) df ( x ) ? 1 ? ?? 2 dx d? ? f ( x) ? ? ? 2 ? f ( x) f ( x) ? ?&#39;1053.复合函数求微分的法则设函数 y ? f ( x )有导数 f ?( x ),(1) 若x是自变量时, dy ? f ?( x )( 2) 若x是中间变量时,即另一变量t 的可微函数 x ? ? (t ), 则 dy ? f ?( x ) ? ? ?(t ) d t dx dy ? f ?( x )dx .结论 无论x 是自变量还是中间变量, 函数 y ? f ( x ) 的微分形式总是 dy ? f ?( x )dx微分形式的不变性106例 设 y ? sin2 x , 求dy .解 法一 用复合函数求导公式dy ? (sin x )?dx ? 2 sin x cos xdx ? sin2 xdx2法二 用微分形式不变性dy ? 2 sin x d (sin x ) ? sin2 xdx107例 设 y ? ln ? x , 求dy .解 d(ln x ) ? ? ln例 d( x arctan 2 x )?? ?1x d(ln x ) ??xln? ?1xd x? arctan 2 x dx ? x ? d(arctan 2 x ) 1 d( 2 x ) ? arctan 2 xdx ? x ? 2 1 ? (2 x ) 2x ? [arctan 2 x ? ]dx 2 1 ? (2 x )108例 在括号中填入适当的函数,使等式成立.(1) d( ) ? cos 2 ( 2) d(sin x 2 ) ? ( )d( x ).解 (1) d(sin 2 x ) ? 2 cos 2 xdx,1 ? d( sin 2 x ? C ) ? cos 2 xdx . 2 d(sin x 2 ) 2 x cos x 2dx 2 ? 4 x x cos x , ( 2) ? 1 d( x ) dx 2 x ? d(sin x 2 ) ?(4 x x cos x 2 )d( x ).109y 例 求隐函数 ? x ? ln y的微分dy.解 两边求微分， dy ? d ( x ? ln y )1 dy ? dx ? dy yy ? dy ? dx . y ?1110x( x ? 1) 的微分dy . 例 求y ? 3 3x ? 1 解 两边取对数，1 lny ? (ln x ? ln( x ? 1) ? ln(3 x ? 1)) 3dy 1 1 1 3 ? ( ? 两边求微分 ? )dx 3 x x ? 1 3x ? 1 y y 1 1 3 ? dy ? ( ? ? )dx 3 x x ? 1 3x ? 11111. ?y ? dy ? f ?( x0 ) ? ?x .微分的应用 2.3.f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ? ?xf ( x) ? f (0) ? f ?(0) ? x.1123.8 微分的应用1. 计算函数增量的近似值 f ?( x0 ) ? 0, 且 ? x 很小时 ,?y ? dy ? f ?( x0 ) ? ?x .用来近似计算 y. ?, 例 半径10cm的金属圆片加热后半径伸长了 0.05cm,问面积增大了多少 ?解设A ? ? r 2 , r ? 10cm, ?r ? 0.05cm.? ??A ? dA ? Ar ? ?r ? 2?r ? ?r ? 2? ? 10 ? 0.05 ? ? (cm 2 ).113f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ? ?x ? ? 0 ? cos 60 30? ? cos( ? ) 3 360? cos x?x0 ??3? (cos x )? x? ?0??3? ?x ?x ? ?3601 3 ? ? ? ? ? cos ? sin ? 3 3 360 2 2 360? 0.4924.116( 2) 求f ( x )在点x ? 0附近的近似值令 x0 ? 0, ?x ? x. f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ? ?x, ? f ( x ) ? f (0) ? f ?(0) ? x .常用的几个一次近似式 (| x | 很小时) 1 n ? x ? 1 ? (2) sin x ? x ( x为弧度); (1) 1 n (4) e x ? 1 ? ( 3) tan x ? x ( x为弧度);(5) ln(1 ? x ) ? x.117n例 计算下列各数的近似值.( x 很小时 )31 ? x ?1 ? x 1 n(1) 3 998.5;解 (1)3( 2) e ? 0.03 .31.5 ) 998.5 ?
? 1000(1 ? 10001 ? 10? 1 ? 0.0015 ? 10(1 ? ? 0.0015) ? 9.995. 3 x ?0.03 e ? 1? x (2) e ? 1? 0.03 ? 0.97.3( x 很小时 )1193. 误差估计由于测量仪器的精度、条件和方法等各种 因素的影响, 测得的数据往往带有误差, 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差, 把它叫做 间接测量误差. 定义 如果某个量的精度值为A, 它的近似值为 a ,那末 A ? a 叫做 A的绝对误差.| A?a | 而绝对误差与 A 的比值 | A | 叫做 A的相对误差.120一般, 根据直接测量的x值按公式 y ? f ( x ) 计算y值时, 测量值x的误差 ?x 一定会引起 y的误差 ?y, 我们常有必要来计算y的绝对误差约为| ?y | ? | dy | ? | y? | ? | ?x |?y y ? dy | y|和y的相对误差约为121例 测量一个金属球的半径 x ? 1米, 根据仪器的精度， 是保证误差不大于 .001米，试估计金属球体积 0 的 绝对误差与相对误差 .解 设金属球的半径为 , 体积为y, 则y ? 4 ?x 3 . x4 y? ? 当x ? 1时, 33 半径x的绝对误差为 0.001,y?x ?1? 4?x2x ?1? 4? .体积y的绝对误差不大于? 4??x ?0.0127(m 3 ). ?y ? dy面积y的相对误差为dy y? 4??x 4 3 ?x 3? 0.3% .x ?1 ?x ? 0.0011223.51.微分定义微分小结? f ?( x0 ) ? ?x .可微即dyx ? x02.定理 可导3. 微分公式与运算法则 P58 dy ? f ?( x )dx 4 微分的应用 ?y ? dy ? f ?( x0 ) ? ?x.f ( x) ? f (0) ? f ?(0) ? x.f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ? ?x123
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