递推法 行列式_百度知道
递推法 行列式
递推法 行列式求解
可以利用行列式性质建立递推关系计算://c.jpg" esrc="http.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=ea52fc3039adcbeff02e5/a1ec08fa513d2697631ecda95dfbb2fb.baidu.com/zhidao/pic/item/a1ec08fa513d2697631ecda95dfbb2fb.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="http你好！答案如图://c！<a href="http://c.hiphotos。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=71c65c6b26dda3cc0bb1b/a1ec08fa513d2697631ecda95dfbb2fb
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求n阶行列式：0 0 …0 b a ； 0 0……b a c0 0 …b a c 0；……；b 0 ……0；a c 0……0 是n阶行列式求行列式的值，用递推法
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记 D(n) = n阶行列式[ 0 0 0 0...0 0 b a ；
0 0 0 0...0
0 0 0 0...b a c 0；
0 0 0 0...a c 0 0;
0 0 b a...0 0 0 0;
0 b a c...0 0 0 0;
b a c 0...0 0 0 0；
a c 0 0...0 0 0 0 ] 则,按第一行展开,D(n) = b(-1)^n*
行列式[(n-1)阶][ 0 0 0 0...0
0 0 0 0...b a 0；
0 0 0 0...a c 0;
0 0 b a...0 0 0;
0 b a c...0 0 0;
b a c 0...0 0 0；
a c 0 0...0 0 0 ] + a(-1)^(n+1)* 行列式[(n-1)阶][ 0 0 0 0...0
0 0 0 0...b a c；
0 0 0 0...a c 0;
0 0 b a...0 0 0;
0 b a c...0 0 0;
b a c 0...0 0 0；
a c 0 0...0 0 0 ] = b(-1)^n*
行列式[(n-1)阶][ 0 0 0 0...0
0 0 0 0...b a 0；
0 0 0 0...a c 0;
0 0 b a...0 0 0;
0 b a c...0 0 0;
b a c 0...0 0 0；
a c 0 0...0 0 0 ] + a(-1)^(n+1)D(n-1),[上面的第1个(n-1)阶行列式的最后1列除第1个元素c外,都等于0]D(n) = bc(-1)^n*(-1)^n* 行列式[(n-2)阶][ 0 0 0 0...b a ；
0 0 0 0...
0 0 b a...0 0 ;
0 b a c...0 0 ;
b a c 0...0 0 ；
a c 0 0...0 0 ] + a(-1)^(n+1)D(n-1),= bcD(n-2) + a(-1)^(n+1)D(n-1),D(2) = 2阶行列式[ a c] = bc - a^2,D(3) = 3阶行列式[ 0
a c 0]= 2abc - a^3,因此,综合,有D(2) = bc - a^2,D(3) = 2abc - a^3,D(n) = bcD(n-2) + a(-1)^(n+1)D(n-1), n = 4,5,...
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求求n阶行列式的什么啊？值？
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用递推法求某些行列式的值的几点体会用递推法求某些行列式的值的几点体会
　　【摘要】用递推法求行列式的值。首先找到递推关系Dn=pDn-1+qDn-2，n>2，这里p,q为常数，然后根据具体情况求出行列式的值。中国论文网 http://www.xzbu.com/9/view-3434993.htm　　【关键词】行列式的值；递推法；递推关系　　　　在线性代数求高阶行列式值的教学中，我们经常应用行列式的性质把高阶行列式的某行（或某列）变为只有一个非零元素，然后再按该行（或列）展开，多次运用这种方法可以把阶数高的行列式降为低阶行列式，直至三阶、二阶行列式，然后将行列式展开求出其值。有时此方法较为麻烦或不易解出，因此自己在教学过程中补充了递推法，学生得益匪浅。讲授了递推法以后，学生对课本中的一些习题就不会感到困难了。　　由于学生在高中求数列的通项时，已经接触过递推法，因此，此方法对高职学生来说并不感到陌生，从本人的教学实践中观察，学生容易接受，兴趣浓厚，效果良好。　　下面具体谈一下教学过程：　　如果行列式以某一行（或列）展开时，它能够表示成和它同样形式，但阶数较低行列式的代数和，则称此结果为一个递推关系。　　假设我们有一个递推关系：　　Dn=pDn-1+qDn-2，n>2。……（1） 这里p,q为常数。　　（一）若q=0，Dn=pDn-1=p2Dn-2=…=pn-1D1，则这里D1是位于行列式Dn左上角上一个元素。用上述方法通常可以求2n阶行列式的值。　　例1 计算D2n=a0b0　　???　　ab?　　00?　　cd?　　???　　c0d0　　0……………0d。　　解 按第1行展开，有　　D2n=a?a0b0　　???　　ab?　　00?　　cd?　　???　　c0d0　　0……………0d　　　　2(n-1)+b?（-1)1+2n0a0b　　???　　?ab　　?00　　?cd　　???　　0c0d　　c0……………0　　　　2(n-1)　　=adD2(n-1)-bc(-1)2n-1+1D2(n-1)　　=(ad-bc)D2(n-1)。　　以此作递推公式，即可得　　D2n=(ad-bc)D2(n-1)=(ad-bc)2D2(n-2)=…=(ad-bc)n-1D2=(ad-bc)n-1a b　　c d=(ad-bc)n。　　（二）若a≠0，令α，β是方程x2-px+q=0的两个根,则p=α+β，q=-αβ。把它们代入（1）可得：　　Dn-βDn-1=α(Dn-1-βDn-2)。……（2）　　或Dn-αDn-1=β(Dn-1-αDn-2)。……（3）　　（ⅰ）若α≠β,反复利用（2）、（3）可推得：　　Dn-βDn-1=αn-2(D2-βD1)或Dn-αDn-1=βn-2(D2-αD1)。　　由上两式可得：　　Dn=αn-1(D2-βD1)-βn-1(D2-D1)α?β或Dn=C1αn+C2βn。……（4）　　其中C1=D2-βD1α(α-β),C2=D2-αD1-β(α-β)。　　而（4）容易记忆，其中C1,C2可以由初始条件从（4）可以得到D1=C1α+C2β,D2=C1α2+C2β2。　　用上述办法经常可以求三对角型行列式（即：主对角线及其上方和下方第一条对角线上元素非零而其余元素都为零的行列式称为三对角型行列式）的值。　　分析 如果此三对角型行列式所含元素结构形式相同,就可用递推法来求值。即先将原行列式表示成两个低阶同型行列式的线性关系式,再用递推法及某些低阶行列式的值求出原行列式的值。　　例2 求行列式之值:　　Dn=750…0　　275…0　　027…0　　……………　　000…7。　　解 在原行列式中，以第一行展开，在展开式中，第二个行列式再以第一列展开可得：Dn=7Dn-1-10Dn-1,　　方程x2-7x+10=0的两个根为5，2。　　由（4）式可得Dn=C15n+C22n。　　在上式中令n=1，2可得D1=7=5C1+2C2,D2=7 5　　2 7=39=25C1+4C2。解之得C1=53,C2=-23,Dn=5n+1-2n+13。　　（ⅱ）若α=β,（2）、（3）可以变成　　Dn-αDn-1=α(Dn-1-αDn-2)。　　从而Dn-αDn-1=Aαn-2。……（5）　　其中A=D2-αD1。以n-1代替n，可以得到　　Dn-1-αDn-2=Aαn-3。　　因此Dn-1=αDn-2+Aαn-3。　　把上式代入（5），有：Dn=α2Dn-2+2Aαn-2,反复多次可得　　Dn=αn-1D1+(n-1)Aαn-1或Dn=αn［(n-1)C1+C2］。……（6）　　其中C1=Aα2，C2=D1α。(这里α≠0，因为q≠0）　　例3 求行列式之值:　　Dn=210…0　　121…0　　012…0　　……………　　000…2。　　解 在原行列式中，以第一行展开，在展开式中，第二个行列式再以第一列展开可得Dn=2Dn-1-Dn-2，方程x2-2x+1=0的两个根x1=x2=1。　　由（6）式得Dn=(n-1)C1+C2。　　在上式中令n=1，2可得：　　D1=2=C2，　　D2=2 1　　1 2=3=C1+C2。　　解之得C1=1,C2=2,Dn=(n-1)×1+2=n+1。　　综合以上讨论，我们有如下结论：如果已经找到了递推关系Dn=pDn-1+qDn-2，n>2,这里p,q为常数，那么，只要先解出方程x2-px+q=0的两个根α,β。　　(ⅰ)若α≠β，则Dn=C1αn+C2βn。　　(ⅱ)若α=β，则Dn=αn［(n-1)C1+C2］。　　其中C1,C2由初始条件可以得到。　　总之，通过以上的讨论，对于行列式中能够找到递推关系的Dn=pDn-1+qDn-2,n>2,这里p,q为常数，若q=0，则Dn=pDn-1=p2Dn-2=…=pn-1D1；若q≠0，令α，β是方程x2-px+q=0的两个根。　　(ⅰ)若α≠β，则Dn=C1αn+C2βn。　　(ⅱ)若α=β，则Dn=αn［(n-1)C1+C2］。　　其中C1,C2由初始条件可以得到。利用上面的方法就可以迎刃而解。　　总述：由以上讨论和具体应用可以看出,递推法在行列式求值问题中发挥着巨大的作用,其中著名的Vandermonde行列式也可用递推法归纳总结,所以我们应该掌握这种方法,既可以扩展解题思路,同时可以提高我们的抽象思维能力。　　　　【参考文献】　　［1］张永曙。考研数学应试强化辅导与题解指南。西安：西北工业大学出版社,1997。　　［2］赵树嫄。线性代数典型题解析及自测试题。西北工业大学出版社,2000。　　［3］同济大学数学教研室编。工程数学线性代数。北京：高等教育出版社。
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科技信息ＳＣＩＥＮＣＥＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ２００７年第８期
求行列式的值是高等代数的基本运算。求ｎ阶行列式的一般方法有：定义法；按行列式某行或某列展开、降阶从而解得行列式的值；拉普拉斯展开法等。除了这些常规方法以外，还有许多技巧，这些技巧隐含在高等代数的相关理论中。对这些技巧进行探讨归纳，不仅有课程建设的现实意义，而且有深刻的理论意义，而且求解ｎ阶行列式也是工程类研究生数学考试的必考题型。本人对求ｎ阶行列式的一些特殊的技巧进行了归纳，并就其应用范围进行了分析。
１．加边法
技巧分析：把原ｎ阶行列式增加一行、一列，变成ｎ＋１阶行列式，再通过性质化简算出结果。
例。计算ｎ阶行列式
１＋ａ１１" １２２＋ａ２" ２
" " " " ｎｎ" ｎ＋ａｎ
，其中ａ１ａ２" ａｎ≠０解：对原行列式加边得
１１１" １０１＋ａ１１" １０２２＋ａ２" ２" " " " " ０
ｎｎ" ｎ＋ａｎ＝１１１"
１－１ａ１
０" ０－２０ａ２" ０
" " " " " －ｎ００"
ａｎ＝１＋１１＋" ｎ
１１" １０ａ１０" ０
００ａ２" ０" " " " "
０００" ａｎ
＝（１＋１１＋２１＋" ＋ｎ１
２．递推法
技巧分析：若ｎ阶行列式Ｄ满足关系式ａＤｎ＋ｂＤｎ－１＋ｃＤｎ－２＝０则作特征方程：ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０①（１）若Δ≠０则方程①有两不等复根，则Ｄｎ＝Ａｘ１ｎ－１＋Ｂｘ２ｎ－１其中Ａ，Ｂ为待定系数可令ｎ＝１和ｎ＝２得出
（２）若Δ≠０，则方程①有重根ｘ１＝ｘ２，则Ｄｎ＝（Ａ＋ｎＢ）ｘ１ｎ－１其中Ａ，Ｂ为待定系数，可令ｎ＝１，２算出
例。计算ｎ阶行列式
９５００" ０００４９５０" ００００４９５" ０００" " " " " " " " ００００" ４９５００００" ０４９解：按第１行展开
Ｄｎ＝９Ｄｎ－１－２０Ｄｎ－２即：Ｄｎ－９Ｄｎ－１＋２０Ｄｎ－２＝０，作特征方程ｘ２－９ｘ＋２０＝０解得ｘ１＝４，ｘ２＝５则Ｄｎ＝ａ?４ｎ－１＋ｂ?５ｎ－１当ｎ＝１时９＝ａ＋ｂ；
当ｎ＝２时６１＝４ａ＋５ｂ，
解得ａ＝１６，ｂ＝２５．所以Ｄｎ＝５ｎ＋１－４ｎ＋１
３．行列式乘积法
设行列Ｄ１＝
ａ１１ａ１２" ａ１ｎａ２１
ａ２２" ａ２ｎ" " " " ａｎ１
ａｎ２" ａｎｎＤ２＝
ｂ１１ｂ１２" ｂ１ｎｂ２１ｂ２２
" ｂ２ｎ" " " " ｂｎ１ｂｎ２" ｂｎｎ
Ｄ１?Ｄ２＝
ａ１１ａ１２" ａ１ｎａ２１ａ２２
" ａ２ｎ" " " " ａｎ１ａｎ２
ｂ１１ｂ１２" ｂ１ｎｂ２１ｂ２２" ｂ２ｎ" " " " ｂｎ１ｂｎ２" ｂｎｎ
ｉ＝１" ａ１ｉｂ
ｎｉ＝１" ａ１ｉｂｉ２
ｉ＝１" ａ１ｉｂ
ｉ＝１" ａ２ｉｂ
ｉ＝１" ａ２ｉｂ
ｉ＝１" ａ２ｉｂ
" ａｎｉｂ
" ａｎｉｂ
" ａｎｉｂ
利用这一事实，我们可以把一个较难计算的行列式转化为两个行列式的乘积来计算。
４．降阶法
依据行列式展开定理，可以把所给行列式展开成若干个低一阶的行列式的和。如果能把行列式变形，使其某一行（列）的元素只有一个不为零，那么这个行列式就可以变形为一个低一阶的行列式来计算。
例。计算ｎ阶行列式Ｄ＝ｘｙ０" ０００
ｘｙ" ００"
" " " " " ０００" ｘｙｙ００" ０ｘ
解：依第一列展开得
ｘｙ０" ０００ｘｙ" ００" " " " " " ０００" ０ｘ＋（－１）ｎ＋１ｙｙ０" ００ｘｙ" ００
" " " " " ００" ｘｙ＝ｘｎ＋（－１）ｎ＋１ｙ
ｎ５．线性因子计算法
（１）设行列式Ｄ中各元素都是ａ，ｂ的有理整函数，若以ｂ代替ａ时行列式的值是零，则ａ－ｂ是原行列式的一个因子。
（２）设行列式Ｄ的元素都是ｘ的有理整函数，如果ｘ＝ａ时，Ｄ有ｐ行（列）各元素变成相同，那么行列式Ｄ有因式（ｘ－ａ）ｐ－１
（１）（２）的证明参看参考文献［３］。例。计算ｎ阶行列式
ｆ（ｘ）＝
ｘａａ" ａａｘａ" ａ" " " " " ａａａ" ｘ
解：由于以ｘ＝ａ代入后，行列式有ｎ行元素都相同。依命题，ｆ（ｘ）有
求ｎ阶行列式的几种方法和技巧
（伊犁师范学院新疆伊宁
８３５０００）
摘要：通过对ｎ阶行列式的理论和计算方法进行归纳分析，总结出一些有用的计算ｎ阶行列式的方法和技巧。关键词：ｎ阶行列式；方法；技巧。
ＴｈｅＭｅｔｈｏｄｓａｎｄＳｋｉｌｌｓｏｆＳｏｌｖｉｎｇｎＯｒｄｅｒＤｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ
ＣｈｅｎＬｉｎ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＩｌｉｔｅａｃｈｅｒｓｃｏｌｌｅｇｅＹｉｎｉｎｇ８３５０００ＸｉｎｊｉａｎｇＣｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｅｐａｐｅｒ，ｗｅｃｏｍｅｄｏｗｎｔｏｔｈｅｔｈｅｏｒｙａｎｄｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄｏｆｎｏｒｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔａｎｄｓｕｍｕｐｓｏｍｅｕｓｅｆｕｌｓｋｉｌｌｓｏｆｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．
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○高校讲台○１３３
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