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4+x)sin(π/6+2x), 让求在三角形ABC，若f(A/4-x)+√3sinxcosx，我化简的sin(π&#47已知函数f(x)=sin(π&#47
C+π/3sinB+sinC=sin(2π/2)sinC+sinC=(√3/2π/3所以 π/3&4-x)+√3sinxcosx
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3-B;2f(A/2)=sin(A+π/3;7π/6，所以A+π/6=π/2，即A=π/6&A+π/6&6=π&#47，即B=C=π/3时。B+C=2π/3，C=2π&#47。 sinB+sinC=sinB+sin(2π/3-B)=sinB+(√3/2)cosB+(1/2)sinB=√3[(√3/2)sinB+(1/2)cosB]=√3sin(B+π/6)当B+π/6)=1。而π&#47
f(A/2)=1得求A =π/3,sinA=√3/2,cosA=1/2,sinB+sinC=sin(180-A-C)＋sinC=sin(A+C)+sinC=√3/2cosC+3/2sinC=√3(1/2cosC+√3/2sinC)且0＜C&3π/2.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(√3)
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cos(（α+β）/2)=cos[(α-β/2)+(β-α/2)]=cos(α-β/2)cos(β-α/2)-sin(α-β/2)sin(β-α/2)
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高三数学教学七条建议
高三数学教学中的七条建议吉林省长春市东北师范大学附属实验学校 金钟植把双基（基础知识、基本技能）放在首位，不要把精力放偏。 （一） 把双基（基础知识、基本技能）放在首位，不要把精力放偏。 过于追求复习和训练中的深度和广度。高考怎么命题，也是按高考考试大纲 过于 命题，也是离不开考查双基 考查双基。高三复习中，经常出现的一个怪现象是：学生把精 考查双基 力几乎放在做题 做题上，甚至有的老师也按“以题代知识”来对待高考复习，很少把 做题 “以题代知识” 精力放在基础知识的记忆、 基础知识的记忆、 提炼和梳理上。 基础知识的记忆 提炼和梳理上。所以在复习中一定要把更多的精力放 在： 基础知识部分在头脑中的体系化和经过适度的训练使学生自己的头脑中形成 基本技能。 基本技能。在第一轮复习中应该注意以下几个方面： 1、重要的概念、性质、公式、定理要理解和掌握到位。 重要的概念、 理解和掌握到位。 重要的概念 性质、公式、定理要理解和掌握到位 概念的两用（判定、性质） ， 比如：等差数列的定义中提炼出： 判定等差数列的方法与等差数列的性质： an +1 ? an = d ? 数列 {an } 是等差数列 公式的三用（正用、逆用、变形用） 比如：余弦的二倍角公式 正用： cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α 逆用： cos 2 α ? sin 2 α = cos 2α2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2sin 2 α = cos 2α变形用： 升幂公式： 1 + cos 2α = 2 cos 2 α ;1 ? cos 2α = 2 sin 2 α1 + cos 2α 1 ? cos 2α ;sin 2 α = 2 2 注意：有些知识需要适度地扩展或引申。比如：反函数存在定理；三角函数图象 的轴对称性和中心对称性（远比教材中的奇偶性得来的对称性要丰富） ；等差、 等比数列的性质等。 2、注意知识点之间的内在联系 、 这里包括知识块内的内在联系和不同知识块之间的内在联系 现在的高考命题主要体现综合性，体现的方式就是要在知识点的交汇处命题。比 如三角中的三角函数与三角变换的结合，三个二次之间的内在联系等；降幂公式： cos 2 α =求 y = sin 2 x + 2 sin x cos x + 3cos 2 x 的最小值（1991 年高考试题）104 年高考中的第 11 题 集合与不等式，三角与向量，方程与不等式，导数与函数单调性等： 如： ；理科 04、05 年高考题中的第 22 题是最典型的例子 3、重要的考点需要更加系统地加以归纳和概括 重要的考点需要更加系统地加以归纳和概括 以代数为例：代数中至少讲如下的 6 个专题 (1)三个二次之间的关系以及一元二次方程根的分布问题 一元二次方程根的分布等价命题的推理与运用 (2)函数值域求法 主要是 6 种方法：配方法；单调函数法；反函数法；图象法；均值不等式法；导 数法 （产生多种方法的根源就是由于函数表达式结构的多样性与每种方法的局限 性） 。 (3)函数图象变换 绝对值变换： f ( x) 的图象与 f ( x ), f ( x) , f ( x ) 对称变换： f ( x) 的图象与 ? f ( x), f (? x), ? f (? x), f ?1 ( x), ? f ?1 (? x), f (2a ? x) 平移变换： f ( x) 的图象与 f ( x ± a )(a & 0), f ( x) ± b(b & 0) 伸缩变换： f ( x) 的图象与 f (ω x)(ω & 0), Af ( x)( A & 0)(4)弦类函数的值域求法一次式: y = A sin(ω x + ? ) + B 二次式: y = a sin 2 x + b sin x + ca sin x + b c sin x + d （5）弦类函数最小正周期的求法：一次分式: y =y = A sin(ω x + ? ) + B 以及 y = A sin(ω x + ? ) + B 的最小正周期公式 (6)数列的通项公式与前 n 项和求法 通项公式求法：对于给出递推关系的：构造新数列、猜想归纳法、迭代法 求和方法：除了两种特殊数列的前 n 项和公式以外还有裂项法、错位相减法 (7)用导数证明不等式 关键是构造辅助函数如：已知 m & n & 0, a, b ∈ R +且(a ? 1)(b ? 1) ≠ 0 求证： (a n + b n ) m & (a m + b m ) n2(a n + b n ) m & (a m + b m )n ? ln(a n + b n )m & ln(a m + b m )n ? m ln(a n + b n ) & n ln(a m + b m ) 分析： ? ln(a n + b n ) ln(a m + b m ) & n m ? f ( n) & f ( m) ? ln(a x + b x ) 在（0， ∞）上是减函数 + ? f ( x) = ?? x ? m&n&0 ? （二）注重通法，淡化特技。 注重通法，淡化特技。 高考试题的解法，都是在通法的范畴内，所以在高考复习中要把精力放在 通法的熟练掌握和运用上。05 年高考试题中的第 17 题，是一个比较常见的解不 等式问题，如果平常我们注重了解不等式有关的通法，那么当年高考中这个题目 的满分率也就不会那么低。参加阅卷的老师反映，这个题目解答的过程看，学生 对通法运用得不够熟练，这说明很多考生在这个方面重视得还是很不够的。所以 作为教师，看到高考答卷的情况，一般都是觉得不可思议。再以 2004 年的高考 中的数列题为例：绝大部分学生懂得数列的一个基本性质： an = S n ? S n ?1 (n ≥ 2) 。 所以数列问题当中如果给出的一些式子结构中含有有关的因素， 必然会想到数列 当中有关的通法，即运用性质构造递推关系。但由于有关的通法训练不到位，很 多学生在这个试题中得分非常不理想。淡化特技并不意味着就是彻底地放弃，特 技也是有其正面作用的。比如：选择题和填空题当中，有些题目如果用特技来解 答，可以达到迅速、准确的效果，也就是平常所说的不是小题大做，而是小题小 做。 包括有的解答题目，如果有把握用简洁的特技去能够有把握去解答，也是 值得提倡的。 在这里再明确以下什么叫通法： 就是解决一个数学题目最一般的方法。 比如： 给出递推关系，求数列的通项公式：解决这类问题的通法主要有三种，即猜想归 纳法、构造新数列法和迭代法。下面列举今年江苏省高考理科数学试题中的压轴 题： （本小题满分 14 分，第一小问满分 2 分，第二、第三小问满分各 6 分）设数 23、 列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a1 = 1, a 2 = 6, a3 = 11 ，且 (5n ? 8) S n +1 ? (5n + 2) S n = An + B, n = 1,2,3, L ，其中 A、B 为常数。 （1）求 A 与 B 的值； （2）证明：数列 {a n } 为等差数列； （3）证明：不等式 5a mn ? a m a n & 1 对任何正整数 m, n 都成立。 （2）分析： 在（1）中求出 A、B 的值以后完全可以利用猜想、归纳证明的通法把数3列的通项公式求出来。这里需要说明的是：标准答案给的是很难想象的特技， 而且其中的一种方法不但技巧性强，运算量也非常大。 注意提炼和归纳数学思想和方法 （三）注意提炼和归纳数学思想和方法 数学高考试题中考查的数学思想和方法，包括三个层面： 一般的数学方法：如配方法、换元法、消去法、割补法、待定系数法、数学归纳 一般的数学方法 法等。 一般的逻辑方法：如分析法、综合法、构造法、反正法等。 一般的逻辑方法 数学的思想方法：如函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、转 数学的思想方法 化与化归的思想、运动与变换的思想等。 在教学中应该从以下两个方面注意数学思想和方法的教学： （1） 前两个层面是学生从直观上能感悟到的方法，属于较低层次的，但也是最 基本的。 教学中通过典型习题的训练能使学生学生清晰地形成自己的知识 能力体系。 （2） 数学的思想方法不是教的， 是潜移默化地渗透到学生头脑中逐步形成的一 种较高层次的数学能力的体现。所以如何渗透是关键。渗透的方式主要体 现在两个方面： 一是通过暴露知识形成过程中蕴涵的数学思想和方法来渗 透。比如：单调性的定义的形成过程体现了数性结合的数学思想和方法。 二是通过一些典型例题来渗透。比如：解关于 x 不等式： ax 2 ? (a + 2) x + 2 & 0 。此题是体现分类讨论思想和方法的典型例题。分析 的时候可以从不等式是不是二次不等式开始切入来进行分类， 让学生体会 到：将不确定的问题转化为确定的问题就是分类讨论，也就是领会到了分 类讨论的数学思想和方法的本质。此不等式分类的基本骨架： ax 2 ? (a + 2) x + 2 & 0?a = 0 ? 2 ? ? ?a & 0(1 & a ) ? ? ? 2 ? ? ? ?0 & a & 2(1 & a ) ? a? 2 ? ? ?a ≠ 0( x1 = 1, x2 = a ) ? ? ?a & 0 ?a = 2(1 = 2 ) ? ? a ? ? ? ? 2 ? ? ? ?a & 2(1 & a ) ? ? ? ?（四）不要盲目追求题海战术。 不要盲目追求题海战术。 适度的训练是提高高考复习效果的必经之路， 但盲目地追求多也只能是事倍 功半的。做题的时候不要把精力过多地放在套类型上，而是把精力放在寻求解题 思维的根源上（观察题目的结构特征，寻求解题思路） ，也就是要明确：怎么想 到的和为什么这么做。因为高考中经常出现外观结构很新颖的试题，但实际如果 平常注意了“观察题目的结构特点” ，会不难发现新颖的试题结构中隐含着我们 所熟悉的题目结构。高考作为选拔性的考试，难免要考察学生的这种创新思维能 力的。4这里特别需要我们关注的是在高三复习当中的批改问题。我们不能只讲不 练，也不能只练不批。训练是把教师的教学转化为学生自身技能的关键环节，而 批改是我们教学反馈的最主要信息来源。所以在这里主要有如下建议：经常性地 布置一些短小精悍的作业（题目要体现基础性、 典型性、巩固性） ，也经常性地 进行类似的小测验。 要注意解题表述的规范性上狠下工夫。 （五）要注意解题表述的规范性上狠下工夫。 在高考中由于表述的规范性因素丢分的现象是很普遍的。 不要认为这个题目 会做，就不写过程了。在高三学生中，这样的现象是很普遍的，认为自己会做， 所以没有必要浪费时间。作为经历过高考的我来说，感受很深的就是，当时读完 试题以后，经过分析自己会做，但接着要想到的是怎样去表述，但如果平常缺乏 这方面的训练的话，我觉得一定会在怎么设计表述过程而耽误时间的，当然也有 可能由于不够规范，最后所得的分数与自己期望的有差距。在这个方面，我们的 平常教学中需要更加关注这个问题。因为表述的规范性也是由严格的逻辑性要 求， 没有平常教师的示范和讲清规范性的根因， 学生就不会注意表述的规范性的。 数学教师应该经常要求学生注意数学表述的最基本原则：简明扼要，有根有据。 简明扼要， 简明扼要 有根有据。 （六）注意提高学生的应试能力。 注意提高学生的应试能力。数学能力强的学生不一定就具备同层次的应试 能力，高考作为选拔性的考试，重点考查的就是学生的学科能力，但是要把能力 转化为应试能力需要一个过程。为了能使我们学生的学科能力真正转化应试能 力，作为教师应该还要做好以下三个方面的工作： 1． 给学生灌输速度意识，高考是限定时间的考试，学生如果没有速度意 识的话，很难把自己的水平转化为自己最理想的分数的，这里很重要的 一个因素就是怎么把选择题在最短的时间内答完； 2．要让学生懂得自我心理调节的方法。这里最主要的就是让学生学会大胆 地放弃，除了极个别高分学生以外，考生在高考中是答不完卷的。教师在 平常考试中开始要给不同层次的学生提出放弃题目的标准，这样按考生自 己水平来衡量放弃的尺度是比较有效的减压手段，比较轻松地答卷，自然 能使考生取得自己最理想的分数。一般考试发挥失常的考生基本都是由于 自我调节得不好因素造成的； 3． 在注意了以上两点的基础上注重考试的演练，好比军事上的演习，给学生 按高考的形式去安排几次高考前的演练（指的是学科的单独演练） ，教师 在演练中可以在现场根据情况可以做具体指导。比如：提醒学生在考试中 的答题速度问题、解法选择问题、典型错误、答题策略性问题等。 要注意高考题源 高考题源。 （七）要注意高考题源。 研究高考题源是使我们的复习事半功倍的最主要途径， 也是避免题海战术的 主要手段。研究高考的题源应该是主要从以下 5 个方面来研究：现行的教材；以 往的高考题（特别是 04、05 两年的全国的 30 多套试题） ；高考题库（来源于社 会） ；具有一定背景的创新试题；以往的高中数学竞赛题。5
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