语音信号稀疏分量与系统，题目如图，计算直流分量，有人会做吗？求过程，谢谢
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时间：2017-11-12 07:18
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资料评价：如何消除交流信号中的直流分量（在做运放时直流分量也被放大，结果使信号在y轴有个偏移），不能有较大失真_百度知道
如何消除交流信号中的直流分量（在做运放时直流分量也被放大，结果使信号在y轴有个偏移），不能有较大失真
我有更好的答案
串接一个隔直流电容呀。
额，试过了，容抗使信号失真较为严重，还有什么方法隔直吗？
是你的时间常数选得不对，因为工程上都是这样做的。另一种隔直流方法是变压器，波形失真更大。
采纳率：73%
用差分放大器，减去直流信号。
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信号与系统考试试题及答案
长沙理工大学拟题纸课程编号 1 拟题教研室（或老师）签名 教研室主任签名 符号说明： sgn(t ) 为符号函数， ? (t ) 为单位冲击信号， ? (k ) 为单位脉冲序列， ? (t ) 为单位阶跃信号， ? (k ) 为 单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1. 已知 f (t ) ? (t ? 4)? (t ) ，求 f & (t ) ? _______ 。 f &(t )2? (t ) ? 4? ' (t )22. 已知 f (k ) ? {1,2,?2,1}, h(k ) ? {3,4,2,4} ，求 f (k ) ? h(k ) ? ______。 f (k ) ? h(k ) ? {3,10,4,3,8,?6,4} 3. 信号通过系统不失真的条件为系统函数 H ( j? ) ? _______。 H ( j?) ? Ke? j?t0? 4? t Tmax ? ? f( ) ? max ? m 4 取样的最大间隔是 ______ 。 4. 若 f (t ) 最高角频率为 ? m ，则对5. 信号 f (t ) ? 4 cos20?t ? 2 cos30?t 的平均功率为 ______ 。P?n ? ???F?2n? 2 2 ? 2 2 ? 1 ? 1 ? 106. 已知一系统的输入输出关系为 y(t ) ? f (3t ) ，试判断该系统是否为线性时不变系统 _ _ _ _ _。故系统为线性时变系统。 _F ( s) ?7. 已知信号的拉式变换为1 ( s ? 1)(s ? 1) ，求该信号的傅立叶变换 F ( j? ) = ______ 。故傅立叶变换2F ( j? ) 不存在。8. 已知一离散时间系统的系统函数H ( z) ?1 2 ? z ? z ?2 ，判断该系统是否稳定 ______ 。故系统不稳定。?1(t 2 ? 2t )? (?t ? 1)dt ? ______ 9. 。3 ? j 3? , A(?) 是一实偶函数，试问 f (t ) 有何种对称性 ______ 。关 10. 已知一信号频谱可写为 F ( j?) ? A(?)e????于 t=3 的偶对称的实信号。二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）1. 已知连续时间系统的单位冲激响应 h(t ) 与激励信号 f (t ) 的波形如图 A-1 所示，试由时域求解该系 统的零状态响应 y(t ) ，画出 y(t ) 的波形。图 A-1 1. 系统的零状态响应 y(t ) ? f (t ) ? h(t ) ，其波形如图 A-7 所示。 6 4 2 0h(t )12图 A-734t2. 在图 A-2 所示的系统中，已知 h1 (k ) ? ? (k ? 2), h2 (k ) ? (0.5)f (k )h1 (k )k? (k ) ，求该系统的单位脉冲响应 h(k ) 。?y (k )h2 (k )图 A-2 2. h(k ) ? ? (k ) ? h1 (k ) ? h2 (k ) ? ? (k ) ? ? (k ? 2) ? (0.5)k? [k ] ? ? (k ) ? (0.5) k ?2 ? (k ? 2)3. 周期信号 f (t ) 的双边频谱如图 A-3 所示，写出 f (t ) 的三阶函数表示式。Fn? ? ? -3 ?2 ? ? ? 3-2-1012n图 A-3 3. 写出周期信号 f (t ) 指数形式的傅立叶级数，利用欧拉公式即可求出其三阶函数表示式为f (t ) ?4. 已知信号 f (t ) ? ? (t ) ? ? (t ? 1) 通过一线性时不变系统的响应 y(t ) 如图 A-4 所示， 试求单位阶跃信号 ? (t ) 通过该系统的响应并画出其波形。n ????F en?jn?0t? e ? j 2?0t ? 2e ? j?0t ? 2 ? 2e j?0t ? e j 2?0t ? 2 ? 4 cos?0t ? 2 cos2?0ty (t )202图 A-4?t4. 因为? (t ) ? f (t ) ? f (t ? 1) ? ? ? f (t ? i) ? ? ? ? f (t ? i)i ?0故利用线性时不变特性可求出 ? (t ) 通过该系统的响应为T {? (t )} ? ? y(t ? i)i ?0?波形如图 A-8 所示。 3 2 1T {? (t )}?t012345图 A-8 5. 已知 f (t ) 的频谱函数 F ( j?) ? Sgn(? ? 1) ? Sgn(? ? 1) ，试求 f (t ) 。? ? ?1 ?2, F ( j? ) ? Sgn(? ? 1) ? Sgn(? ? 1) ? ? ? 2 g 2 (? ) 0 , ? ? 1 ? ? 5. ，因为 g 2 (t ) ? 2Sa(?) ，由对称性可得： 2Sa(t ) ? 2?g 2 (??) ? 2?g 2 (?) ，因此，有f (t ) ? 2?Sa (t )三、综合计算题（共 20 分，每小题 10 分）1. 一线性时不变因果连续时间系统的微分方程描述为y&(t ) ? 7 y' (t ) ? 10y(t ) ? 2 f ' (t ) ? 3 f (t )已知 f (t ) ? e?t? (t ), y(0 ) ? 1, y' (0? ) ? 1, 由 s 域求解：?(1)零输入响应 y x (t ) ，零状态响应 y f (t ) ，完全响应 y(t ) ； (2)系统函数 H ( s ) ，单位冲激响应 h(t ) 并判断系统是否稳定； (3)画出系统的直接型模拟框图。解：1. (1)对微分方程两边做单边拉斯变换得s 2Y (s) ? sy(0? ) ? y' (0? ) ? 7sY (s) ? 7 y(0? ) ? 10Y (s) ? (2s ? 3) F (s)整理后可得sy (0 ? ) ? y ' (0 ? ) ? 7 y(0 ? ) 2s ? 3 Y ( s) ? ? 2 F ( s) 2 s ? 7 s ? 10 s ? 7 s ? 10零输入响应的 s 域表达式为Yx ( s ) ?进行拉斯反变换可得s ?8 2 ?1 ? ? s ? 7 s ? 10 s ? 2 s ? 52y x (t ) ? 2e ?2t ? e ?5t , t ? 0零状态响应的 s 域表达式为Y f ( s) ?进行拉斯反变换可得2s ? 3 2s ? 3 1 / 4 1 / 3 12 / 7 F ( s) ? 2 ? ? ? s ? 7s ? 10 (s ? 7s ? 10)(s ? 1) s ? 1 s ? 2 s ? 521 1 7 y f (t ) ? ( e ?t ? e ?2t ? e ?5t )? (t ) 4 3 12完全响应为y (t ) ? y x (t ) ? y f (t ) ?(2)根据系统函数的定义，可得1 ?t 1 ? 2t 19 ?5t e ? e ? e ,t ? 0 4 3 12 H ( s) ?进行拉斯反变换即得Y f ( s) F ( s)?2s ? 3 ? 1/ 3 7 / 3 ? ? s ? 7s ? 10 s ? 2 s ? 521 7 h(t ) ? (? e ? 2t ? e ?5t )? (t ) 3 3由于系统函数的极点为-2、-5，在左半 s 平面，故系统稳定。2s ?1 ? 3s ?2 H ( s) ? 1 ? 7 s ?110s ?2 由此可画出系统的直接型模拟框图，如图 A-9 所示 (3)将系统函数改写为2F (s)- -?s ?17 10s ?13?Y ( s)2. 一线性时不变因果离散时间系统的差分方程描述为y(k ) ? 3 y(k ?1) ? 2 y(k ? 2) ? f (k ) 已知 f (k ) ? ? (k ), y(?1) ? ?2, y(?2) ? 3, 由 z 域求解： (1)零输入响应 y x (k ) ，零状态响应 y f (k ) ，完全响应 y (k ) ；(2)系统函数 H ( z ) ，单位脉冲响应 h(k ) 。 (3) 若 f (k ) ? ? (k ) ? ? (k ? 5) ，重求（1） 、 （2） 。k ?02. (1)对差分方程两边进行 z 变换得Y ( z) ? 3{z ?1Y ( z) ? y(?1)} ? 2{z ?2Y ( z) ? z ?1 y(?1) ? y(?2)} ? F ( z)整理后可得Yx ( z ) ?? 3 y (?1) ? 2 z ?1 y (?1) ? 2 y(?2) 4 z ?2 4 4 ? ? ? ?1 ?2 ?1 ?2 ?1 1 ? 3z ? 2 z 1 ? 3z ? 2 z 1? z 1 ? 2 z ?1进行 z 变换可得系统零输入响应为yx (k ) ? [4(?1) k ? 4(?2) k ]? (k )零状态响应的 z 域表示式为Y f ( z) ?F ( z) 1 1 1/ 6 ? 1/ 2 4/3 ? ? ? ? ?1 ?2 ?1 ?2 ?1 ?1 ?1 1 ? 3z ? 3z 1 ? 3z ? 3z 1 ? z (1 ? z ) (1 ? z ) (1 ? 2 z ?1 )1 1 3 Y f [k ] ? [ ? (?1) k ? (?2) k ]? (k ) 6 2 4进行 z 反变换可得系统零状态响应为系统的完全响应为7 8 1 y (k ) ? y x (k ) ? y f (k ) ? [ (?1) k ? (?2) k ? ]? (k ) 2 3 6(2)根据系统函数的定义，可得H ( z) ?进行 z 反变换即得Y f ( z) F ( z)?1 ?1 2 ? ? ?2 ?1 1 ? 3z ? 2 z 1? z 1 ? 2 z ?1?1h(k ) ? [?(?1) k ? 2(?2) k ]? (k ) (3) 若 f (k ) ? ? (k ) ? ? (k ? 5) ， 则系统的零输入响应 y x (k ) 、 单位脉冲响应 h(k ) 和系统函数 H ( z ) 均不变， 根据时不变特性，可得系统零状态响应为T {? (k ) ? ? (k ? 5)} ? y f (k ) ? y f (k ? 5) 1 1 3 1 1 3 ? [ ? (?1) k ? (?2) k ]? (k ) ? [ ? (?1) k ?5 ? (?2) k ?5 ]? (k ? 5) 6 2 4 6 2 4完全响应为y (k ) ? y x (k ) ? T {? (k ) ? ? (k ? 5)} 1 7 8 1 1 3 ? [ ? (?1) k ? (?2) k ]? (k ) ? [ ? (?1) k ?5 ? (?2) k ?5 ]? (k ? 5) 6 2 3 6 2 4长沙理工大学拟题纸课程编号 2 拟题教研室（或老师）签名 教研室主任签名 符号说明： sgn(t ) 为符号函数， ? (t ) 为单位冲击信号， ? (k ) 为单位脉冲序列， ? (t ) 为单位阶跃信号， ? (k ) 为 单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）df (t ) ? 2 X (0) dt 1. 已知某系统的输入输出关系为 （其中 X(0)为系统初始状态， f (t ) 为外部激 ________ 励） ，试判断该系统是（线性、非线性） （时变、非时变） ________ 系统。线性时变 3 1 (2t 2 ? 3t )? ( t ? 2)dt ? _________ ? ?? 2 2. 。0 y (t ) ? t 2 f (t )3.????? (2t ? 2)? (4 ? 2t )dt ? _________? ? (2t ? 2)? (4 ? 2t )dt ? ? dt ? 1?? 1K ?0?24. f1 ( k ) ? 2 {? ( k ) ? ? ( k ? 3)}, f 2 ( k ) ? {2, 5 ,3}, 计算 f1 (k ) ? f 2 (k ) = ________ 。k?f1 (k ) ? f 2 (k ) ? {2, 9,21,26,12}5. 若信号 f (t ) 通过某线性时不变系统的零状态响应为?y f (t ) ? Kf (t ? t0 ),( K , t0为常数) 则该系统的频率特性 H ( j? ) = ________ ，单位冲激响应 h(t ) ? ________ 。 系统的频率特性 H ( j?) ? Ke? j?t0，单位冲激响应 h(t ) ? K? (t ? t 0 ) 。6. 若 f (t ) 的最高角频率为 f m ( Hz) ， 则对信号 y(t ) ? f (t ) f (2t ) 进行时域取样， 其频谱不混迭的最大取样间 隔 Tmax ? ________ 。 Tmax 为Tmax ?1 1 ? (s) 2 f max 6 f mF ( s) ?7. 已知信号的拉式变换为1 ( s ? 1)(s ? 1) ，求该信号的傅立叶变换 F ( j? ) = ______ 。不存在28. 已知一离散时间系统的系统函数 9.H ( z) ?1 2 ? z ? z ?2 ，判断该系统是否稳定 ______ 。不稳定?1????(t 2 ? 2t )? (?t ? 1)dt ? ______ 。3? j 3?10. 已知一信号频谱可写为 F ( j?) ? A(?)e, A(?) 是一实偶函数，试问 f (t ) 有何种对称性______ 。因此信号是关于 t=3 的偶对称的实信号。二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）1. 已知一连续时间系统的单位冲激响应 该系统的稳态响应。h(t ) ?1?Sa (3t )，输入信号 f (t ) ? 3 ? cos2t ,?? ? t ? ? 时，试求二、解：1. 系统的频响特性为?1 / 3, 1 H ( j? ) ? FT[h(t )] ? g 6 (? ) ? ? 3 ? 0,? ?3 ? ?3利用余弦信号作用在系统上，其零状态响应的特点，即T{cos(?0t ? ? )} ? H ( j?0 ) cos(?0t ? ? (?0 ) ? ? )可以求出信号 f (t ) ? 3 ? cos2t ,?? ? t ? ? ，作用在系统上的稳态响应为1 T { f (t )} ? 1 ? cos 2t ,?? ? t ? ? 32. 已知信号 f (2t ? 2) 如图 A-1 所示，试画出 f (4 ? 2t ) 波形。1 -2 -1 -1f (2t ? 2)01 2t图 A-1 2. f (2t ? 2) ? f (4 ? 2t ) ，根据信号变换前后的端点函数值不变的原理，有 f (2t1 ? 2) ? f (4 ? 2t11 ) f (2t 2 ? 2) ? f (4 ? 2t 22 ) 变换前信号的端点坐标为 t1 ? 2, t 2 ? ?2 ，利用上式可以计算出变换后信号的端点坐标为 由此可画出 f (4 ? 2t ) 波形，如图 A-8 所示。t11 ? (4 ? 2t1 ? 2) / 2 ? ?1, t 22 ? (4 ? 2t 2 ? 2) / 2 ? 31 -1f (4 ? 2t )3 t 0 -1 1 23. 已知信号 f (t ) 如图 A-2 所示，计算其频谱密度函数 F ( j? ) 。f (t )2 -2 0 2t图 A-2 3. 信号 f (t ) 可以分解为图 A-10 所示的两个信号 f 1 (t ) 与 f 2 (t ) 之和，其中f1 (t ) ? 2? (?t ? 2) ? 2? [?(t ? 2)] 。由于? (t ) ? ?? (? ) ?1 j?根据时域倒置定理： f (?t ) ? F (? j? ) 和时移性质，有F1 ( j? ) ? FT[? (?t ? 2)] ? 2?? (? ) ?故利用傅立叶变换的线性特性可得2e j 2? j? 2 F2 ( j?) ? FT[ f 2 (t )] ? 6Sa (?)F ( j? ) ? F1 ( j? ) ? F2 ( j? ) ? 2?? (? ) ?f1 (t ) 22e j 2? ? 6Sa2 (? ) j?f 2 (t ) 3t02?20t 2图 A-10 4. 某离散系统的单位脉冲响应 h(k ) ? [(?1) ? (?0.5) 4. 对单位脉冲响应进行 z 变换可得到系统函数为k ?1 k ?1]? (k ) ，求描述该系统的差分方程。由系统函数的定义可以得到差分方程的 z 域表示式为 进行 z 反变换即得差分方程为?1 ?2 ? 3 ? 2.5 z ?1 H ( z) ? ? ? 1 ? z ?1 1 ? 0.5 z ?1 1 ? 1.5 z ?1 ? 0.5 z ?2(1 ? 1.5z ?1 ? 0.5z ?2 )Y f ( z) ? (?3 ? 2.5z ?1 )F ( z)y(k ) ? 1.5 y(k ? 1) ? 0.5 y(k ? 2) ? ?3 f (k ) ? 2.5 f (k ? 1)5. 已知一离散时间系统的模拟框图如图 A-3 所示，写出该系统状态方程和输出方程。 ?-z ?1ax1 (k )?y1 (k )f (k )?-z ?1bx2 ( k )?y2 (k )图 A-3 5. 根据图 A-5 中标出的状态变量，围绕输入端的加法器可以列出状态方程为x1 (k ? 1) ? ?ax1 (k ) ? f (k ), x2 (k ? 1) ? ?bx2 (k ) ? f (k )围绕输出端的加法器可以列出输出方程为y1 (k ) ? x1 (k ) ? x2 (k ), y2 (k ) ? x1 (k ) ? x2 (k )写成矩阵形式为? x1 (k ? 1) ? ?? a 0 ? ? x1 (k ) ? ?1? ? x (k ? 1)? ? ? 0 ? b? ? x (k )? ? ?1? f (k ) ?? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? y1 (k ) ? ?1 1? ? x1 (k ) ? ? y (k )? ? ?1 1? ? ? x (k )? ? ? 2 ? ? 2 ? ?三、 综合计算题（共 20 分，每小题 10 分）1. 已知描述某线性时不变因果离散时间系统的差分方程为y (k ) ?3 1 y (k ? 1) ? y (k ? 2) ? 2 f (k ) ? 3 f (k ? 1) 4 8f (k ) ? ? (k ), y(?1) ? 2, y(?2) ? ?1k ?0在 z 域求解： (1) 系统的单位脉冲响应 h(k ) 及系统函数 H ( z ) ； (2) 系统的零输入响应 y x (k ) ； (3) 系统的零状态响应 y f (k ) ； (4) 系统的完全响应 y (k ) ，暂态响应，稳态响应； (5) 该系统是否稳定? . 对差分方程两边进行 z 变换得3 1 Y ( z ) ? {z ?1Y ( z ) ? y (?1)} ? {z ?2Y ( z ) ? z ?1 y (?1) ? y (?2)} ? (2 ? 3z ?1 ) F ( z ) 4 8整理后可得(1) 根据系统函数的定义，可得3 1 1 y (?1) ? z ?1 y (?1) ? y (?2) 2 ? 3z ?1 4 8 8 Y ( z) ? ? F ( z) 3 1 3 1 1 ? z ?1 ? z ?2 1 ? z ?1 ? z ?2 4 8 4 8 H ( z) ?进行 z 反变换即得Y f ( z) F ( z)?2 ? 3z ?1 16 ? 14 ? ? 3 1 1 1 1 ? z ?1 ? z ? 2 1 ? z ?1 1 ? z ?1 4 8 2 41 1 h(k ) ? F ?1[ H ( z )] ? [16( ) k ? 14( ) k ]? (k ) 2 4(2) 零输入响应的 z 域表达式为取 z 反变换可得系统零输入响应为3 1 1 13 1 ?1 y (?1) ? z ?1 y (?1) ? y (?2) ? z 9/ 4 ? 5/8 8 8 8 4 Yx ( z ) ? 4 ? ? ? 3 1 3 1 1 1 1 ? z ?1 ? z ?2 1 ? z ?1 ? z ?2 1 ? z ?1 1 ? z ?1 4 8 4 8 2 49 1 5 1 y x (k ) ? [ ( ) k ? ( ) k ]? (k ) 4 2 8 4(3) 零状态响应的 z 域表达式为Y f ( z) ?2 ? 3z ?1 2 ? 3z ?1 ? 16 14 / 3 40 / 3 F ( z) ? ? ? ? ?1 3 ?1 1 ?2 3 ?1 1 ?2 1 1 1? z ? z (1 ? z ? z )(1 ? z ?1 ) 1 ? z ?1 1 ? z ?1 1 ? z 4 8 4 8 2 41 14 1 40 y f (k ) ? [?16( ) k ? ( ) k ? ]? (k ) 2 3 4 3取 z 反变换可得系统零状态响应为(4) 系统完全响应y (k ) ? y x (k ) ? y f (k ) ? [?从完全响应中可以看出， 着 k 的增加而趋于零，故为稳态响应。55 1 k 97 1 k 40 ( ) ? ( ) ? ? (k ) 4 2 24 4 3[?40 55 1 k 97 1 k ( ) ? ( ) ]? (k ) ? (k ) 4 2 24 4 随着 k 的增加而趋于零，故为暂态响应， 3 不随(5) 由于系统的极点为 z1 ? 1 / 2, z 2 ? 1 / 4 均在单位圆内，故系统稳定。 2. 试分析图 A-4 所示系统中 B、C、D、E 和 F 各点频谱并画出频谱图。已知 f (t ) 的频谱 F ( j? ) 如图 A-6，? T (t ) ?n ? ???? (t ? nT ),T ? 0.02?。1H 1 ( j? )1 H 2 ( j? )f (t ) A? BC? 120? ? 100?D? 100? 120??E20?F y (t )? T (t )? 20? cos100?tF A ( j? ) 0.1? 20?20??B、C、D、E 和 F 各点频谱分别为FB ( j? ) ? ?02? ? 100? T n ? ?? ? 1 1 ? FC ( j? ) ? F ( j? ) ? FB ( j? ) ? ? F (? ? n?0 ) ? 50 ? F (? ? n100? ) 2? T n??? n ? ???? (? ? n??0), ?0 ? FD ( j?) ? FC ( j?) H1 ( j?) 1 FE ( j? ) ? [ FD (? ? 100? ) ? FD (? ? 100? )] 2 FF ( j?) ? Y ( j?) ? FE ( j?) H 2 ( j?)长沙理工大学拟题纸课程编号 3 拟题教研室（或老师）签名 教研室主任签名 符号说明： sgn(t ) 为符号函数， ? (t ) 为单位冲击信号， ? (k ) 为单位脉冲序列， ? (t ) 为单位阶跃信号， ? (k ) 为 单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1. 若信号 f (t ) 通过某线性时不变系统的零状态响应为y f (t ) ? Kf (t ? t0 ),( K , t0为常数)则该系统的频率特性 H ( j? ) = ________ ，单位冲激响应 h(t ) ? ________ 。 系统的频率特性 H ( j?) ? Ke? j?t0，单位冲激响应 h(t ) ? K? (t ? t 0 ) 。2. 若 f (t ) 的最高角频率为 f m ( Hz) ， 则对信号 y(t ) ? f (t ) f (2t ) 进行时域取样， 其频谱不混迭的最大取样间 隔 Tmax ? ________ 。 Tmax 为 3.Tmax ?1 1 ? (s) 2 f max 6 f m? 2 ???????? (2t ? 2)? (4 ? 2t )dt ? _________? ? (2t ? 2)? (4 ? 2t )dt ? ? dt ? 11K ?0k 4. f1 ( k ) ? 2 {? ( k ) ? ? ( k ? 3)}, f 2 ( k ) ? {2, 5 ,3}, 计算 f1 (k ) ? f 2 (k ) = ________ 。f1 (k ) ? f 2 (k ) ? {2, 9,21,26,12}df (t ) ? 2 X (0) dt 5. 已知某系统的输入输出关系为 （其中 X(0)为系统初始状态， f (t ) 为外部激 励） ，试判断该系统是（线性、非线性） ________ （时变、非时变） ________ 系统。线性时变 y (t ) ? t 2 f (t )?6.?3??1 (2t 2 ? 3t )? ( t ? 2)dt ? _________ 2 。0F ( s) ?7. 已知某连续信号的单边拉式变换为2s 2 ? 3se ?2 , (Re(s) ? 0), s(s 2 ? 9) 求其反变换 f (t ) = ________ 。f (t ) ? (2 cos3t ? e ?2 sin 3t )?(t )8. 已知y(t ) ? ? e ?2? ? e ?5(t ?? ) d? , (t ? ?2),?2t计算其傅立叶变换 Y ( j? ) = ________ 。Y ( j? ) ?e 4 e j 2? 1 e j 2? ?4 ? ? j? ? 2 j? ? 5 ( j? ) 2 ? 7 j? ? 10 F ( z) ?9. 已知某离散信号的单边 z 变换为2z 2 ? z , ( z ? 3) ( z ? 2)(z ? 3) ，求其反变换 f ( k ) = ________ 。f (k ) ? z ?1[ F (s)] ? [2k ? (?3) k ]? (k )? j?t ? ? ? ?m ?e 0 H ( j? ) ? ? ? 其他 ?0 10. 某理想低通滤波器的频率特性为 ，计算其时域特性 h(t ) = ________ 。h(t ) ?1 2?????H ( j? )e j?t dt ?1 2?? ?e?m?? j?t 0e j?t dt ?1 2?? ?e?m?? j? ( t ?t0 )dt ??m Sa[? m (t ? t 0 )] ?二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）1. 已知 f (t ) 的频谱函数 F ( j?) ? Sgn(? ? 1) ? Sgn(? ? 1) ，试求 f (t ) 。? ? ?1 ?2, F ( j? ) ? Sgn(? ? 1) ? Sgn(? ? 1) ? ? ? 2 g 2 (? ) 0 , ? ? 1 ? ? 1. ，因为 g 2 (t ) ? 2Sa(?) ，由对称性可得： 2Sa(t ) ? 2?g 2 (??) ? 2?g 2 (?) ，因此，有f (t ) ? 2?Sa (t )2. 已知某系统如图 A-1 所示，求系统的各单位冲激响应。 其中 h1 (t ) ? ? (t ? 1), h2 (t ) ? ef (t )?3t? (t ? 2), h3 (t ) ? e ?2t ? (t )h1[k ]?h2 [k ]?y (t )h3 [k ]图 A-1 2.h(t ) ? [h1 (t ) ? ? (t )]? [h2 (t ) ? h3 (t )] ? [? (t ? 1) ? ? (t )]? [e ?3t ? (t ? 2) ? e ?2t ? (t )] ? ? (t ? 1) ? e ?3t ? (t ? 2) ? ? (t ? 1) ? e ?2t ? (t ) ? ? (t ) ? e ?3t ? (t ? 2) ? ? (t ) ? e ?2t ? (t ) e ?6 1 (1 ? e ?3(t ?3) )? (t ? 3) ? (1 ? e ?2(t ?1) )? (t ? 1) ? e ?3t ? (t ? 2) ? e ?2t ? (t ) 3 2 f ( t ) g ( t ) 3. 已知信号 和 如图 A-2 所示，画出 f (t ) 和 g (t ) 的卷积的波形。 g (t ) f (t ) 2 1 ?1 -1 0 1 t图 A-2 3. f (t ) 和 g (t ) 的卷积的波形如图 A-9 所示。0t 3 2f (t ) ? g (t )t01图 A-9234. 已知某连续时间系统的系统函数 程的输出方程。H (s) ?2s ? 7 s ? 5s ? 3 ，画出其直接型系统模拟框图，并写出该系统状态方24. 将系统函数改写为 由此可画出系统的直接型模拟框图，如图 A-11 所示。选择积分器的输出作为状态变量，围绕模拟框图输入端的 加法器可得到状态方程为2H ( s) ?2s ?1 ? 7 s ?2 1 ? 5s ?1 ? 3s ?2f (t )- -?s ?15x2 (t )s ?1x1 (t )7?y (t )3图 A-11?1 (t ) ? x2 (t ) ， x ?2 (t ) ? ? x1 (t ) ? 5x2 (t ) ? f (t ) x围绕模拟框图输出端的加法器可得到输出方程为y(t ) ? 7 x1 (t ) ? 2 x2 (t )5. 试证明：用周期信号 f T (t ) 对连续时间带限信号 f (t ) (最高角频率为 ? m )取样，如图 A-3 所示，只要取样T?间隔? ? m ，仍可以从取样信号 f s (t ) 中恢复原信号 f (t ) 。f (t )?f T (t )f s (t )?1f T (t )?? T ?? / 2 ? / 2图 A-3tT5. 利用周期信号频谱和非周期信号频谱的关系可以求出 f T (t ) 的傅立叶系数为Fn ?n? ? 1 ? 2 ?? ? 2? Sa ( ) ? ?n?0 ? Sa 2 ( 0 ), ?0 ? T 2 4 2T 4 T由此可以写出周期信号 f T (t ) 的傅立叶级数展开式 f T (t ) ?n ???? Fn e jn?0t ???n ???? 2T Sa (22??n?0? jn?0t )e 4对其进行傅立叶变换即得 f T (t ) 的频谱密度 FT ( j?)FT ( j? ) ? 2?n ? ??? 2T Sa?(n?0? )? (? ? n?0 ) 4取样信号 f s (t ) ? f (t ) f T (t ), 利用傅立叶变换的乘积特性可得Fs ( j? ) ?? n? ? 1 ? F ( j? ) ? FT ( j? ) ? ? Sa2 ( 0 ) F (? ? n?0 ) 2? 4 n ? ?? 2T从 Fs ( j?) 可以看出，当 ?0 ? 2?m 时， Fs ( j?) 频谱不混迭，即T?? ? m 仍可从取样信号 f T (t ) 中恢复原信号f (t ) 。三、综合计算题（共 20 分，每小题 10 分）1. 已知描述某线性时不变因果连续时间系统的微分方程为y& (t ) ? 7 y' (t ) ? 10y(t ) ? 2 f & (t ) ? f (t )已知 f (t ) ? e?t? (t ), y(0 ) ? 4, y' (0 ) ? ?3, 在 s 域求解：? ?(1) 系统的单位脉冲响应 h(t ) 及系统函数 H ( s ) ； (2) 系统的零输入响应 y x (t ) (3) 系统的零状态响应 y f (t ) (4) 若 f (t ) ? e? ( t ?1)? (t ? 1) ，重求(1) 、(2)、 (3)。解：1. 对微分方程两边做单边拉斯变换得s 2Y (s) ? sy(0 ? ) ? y' (0 ? ) ? 7sY (s) ? 7 y(0 ? ) ? 10Y (s) ? (2s ? 1) F (s)整理后可得Y ( s) ?sy (0 ? ) ? y ' (0 ? ) ? 7 y (0 ? ) 2s ? 1 ? 2 F ( s) 2 s ? 7 s?? ? 10 s ? 7 s?? ? 10 ??? ???Yx ( s ) Yf (s)(1) 根据系统函数的定义，可得H ( s) ?进行拉斯反变换即得Y f ( s) F ( s)?2s ? 1 ?1 3 ? ? s ? 7s ? 10 s ? 2 s ? 52h(t ) ? (?e ?2t ? 3e ?5t )? (t )(2) 零输入响应的 s 域表达式为Yx ( s ) ?取拉斯反变换即得4 s ? 25 ? 5 / 3 17 / 3 ? ? s ? 7 s ? 10 s ? 2 s ? 525 17 y x (t ) ? ? e ?2t ? e 5t , t ? 0 3 3(3) 零状态响应的 s 域表达式为Y f ( s) ?取拉斯反变换即得2s ? 1 2s ? 1 ? 0.25 1 ? 0.75 F ( s) ? 2 ? ? ? s ?1 s ? 2 s ? 5 s ? 7 s ? 10 ( s ? 7 s ? 10)(s ? 1)2y f (t ) ? (?0.25e?t ? e?2t ? 0.75e?5t )? (t ) ? (t ? 1) ，则系统单位冲激响应 h(t)、系统函数 H ( s ) 和零输入响应 y x (t ) 均不变，根据时 (4) 若 f (t ) ? e 不变特性，可得系统零状态响应为? ( t ?1)y f (t ? 1) ? (?0.25e ?(t ?1) ? e ?2(t ?1) ? 0.75e ?5(t ?1) )? (t ? 1)2. 在图 A-4 所示系统中，已知输入信号 f (t ) 的频谱 F ( j? ) ，试分析系统中 A、B、C、D、E 各点频谱并 画出频谱图，求出 y(t ) 与 f (t ) 的关系。f (t )H 1 ( j? )?B? 100 ? 8011 H 2 ( j? )C?80 100A?D? 1515E y (t )cos(100t )cos(100t )F ( j? ) 2? 1010?图 A-4 2. A、B、C、D 和 E 各点频谱分别为FA ( j?) ? FT[cos( 100t )] ? ? [? (? ? 100) ? ? (? ? 100)] 1 1 FB ( j? ) ? F ( j? ) ? FA ( j? ) ? [ F (? ? 100 ) ? F (? ? 100 )] 2? 2 FC ( j?) ? FB ( j?) H1 ( j?) 1 FD ( j? ) ? [ FC (? ? 100 ) ? FC (? ? 100 )] 2 FE ( j?) ? Y ( j?) ? FD ( j?) H 2 ( j?) A、B、C、D 和 E 各点频谱图如图 A-12 所示。将 Y ( j? ) 与 F ( j? ) 比较可得Y ( j? ) ? 1 1 F ( j? ) y (t ) ? f (t ) 4 4 即 。长沙理工大学拟题纸课程编号 4 拟题教研室（或老师）签名 教研室主任签名 符号说明： sgn(t ) 为符号函数， ? (t ) 为单位冲击信号， ? (k ) 为单位脉冲序列， ? (t ) 为单位阶跃信号， ? (k ) 为 单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1.?13e ?2t ? (t ? 2)dt ? ________。1.?e31? 2t? (t ? 2)dt ? ?e ?2tt ?2? ?e ?4k ?12. 若离散时间系统的单位脉冲响应 h(k ) ? ? (k ) ? ? (k ? 4) ，则系统在 f (k ) ? { 1 ,2,3} 激励下的零状态响应 为 _________ 。 f (k ) ? h(k ) ? { 1 ,3,6,6,5,3} 3. 抽取器的输入输出关系为 y(k ) ? f (2k ) ，试判断该系统特性（线性、时不变） _________ 。线性时变 4. 若k ?1f (t ) ? cos(t )[? (t ? ? ) ? ? (t ? ? )]，则其微分f ' (t )=_________。f ' (t ) ? ? sin(t )[? (t ? ? ) ? ? (t ? ? )] ? ? (t ? ? ) ? ? (t ? ? ) ? ?? , ? ? 4 sin 4t F ( j ? ) ? ? g ( ? ) ? ? 8 f (t ) ? ? ?0, ? ? 4 t 的频谱 F ( j? ) = _________ 。 5. 连续信号 _________ F ( j? ) f (t ) ? [? (t ? 1) ? ? (t ? 1)]cos(100t ) 6. 的 频 谱 =FT{[? (t ? 1) ? ? (t ? 1)]cos( 100t )} ? Sa(? ? 100) ? Sa(? ? 100)。1 g (k ) ? ( ) k ? (k ) 2 7. 已 知 一 离 散 时 间 LTI 系 统 的 单 位 阶 跃 响 应 ，计算该系统单位脉冲响应 1 1 h(k ) ? g (k ) ? g (k ? 1) ? ( ) k ? (k ) ? ( ) k ?1 ? (k ? 1) h(k ) = _________ 。 2 28.10t ) ? 3 cos(20t ), (?? ? t ? ?) (?0 ? 10为基频) ， 则 f (t ) 的 平 均 功 率 若 f (t ) ? 2 ? 4 cos(P= _________ 。P?n ? ???F?2n3 3 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 16.5 2 2t t y (t ) ? f ( ) f ( ) 4 2 取样，其频谱不混迭的最大间隔是 _________ 。 9. 若 f (t ) 最高角频率为 ? m ，则对 ? 4? Tmax ? ? ? max 3? m10. 若 离 散 系 统 的 单 位 脉 冲 响 应 h(k ) ? [(?1)k ?1? (?0.5) k ?1 ]? (k ) ， 则 描 述 该 系 统 的 差 分 方 程 为_________ 。 y(k ) ? 1.5 y(k ? 1) ? 0.5 y(k ? 2) ? ?3 f (k ) ? 2.5 f (k ? 1)二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）1. 已知 f (t ) 的波形如图 A-1 所示，令 r (t ) ? t? (t ) 。f (t )1 0 -1图 A-1 (1) 用 ? (t ) 和 r (t ) 表示 f (t ) ； (2) 画出 f (?2t ? 4) 的波形。 1、(1) f (t ) ? r (t ) ? r (t ? 1) ? ? (t ? 2) ? r (?t ? 3) ? r (?t ? 4) ? ? (?t ? 2) (2) 将 f (?2t ? 4) 改成 f [?2(t ? 2)]，先压缩，再翻转，最后左移 2，即得 f (?2t ? 4) ，如图 A-8 所示。1f ( 2t )1.51234 tf ( ?2 t ) 1f [ ?2(t ? 2)]1t0 -12 t1-2 -1.5 t -1 -0.5 0 -1-4 -3.5 -3 -2.5 -20 -11 ( ) k ? ( k ? 1) 2. 已知某线性时不变（LTI）离散时间系统，当输入为 ? (k ? 1) 时，系统地零状态响应为 2 ，试计算输入为 f (k ) ? 2? (k ) ? ? (k ) 时，系统的零状态响应 y (k ) 。 1 ( ) k ? ( k ? 1) 2. 已知某线性时不变（LTI）离散时间系统，当输入为 ? (k ? 1) 时，系统地零状态响应为 2 ，试计算输入为 f (k ) ? 2? (k ) ? ? (k ) 时，系统的零状态响应 y (k ) 。 3. 已知信号 f (t ) 的频谱如图 A-2 所示，求该信号的时域表示式。1-H ( j? )? ( j? )?0? 2??-6 -5 -4因为系统函数为4 5 6图 A-2H ( j?) ? [ g 2 (? ? 5) ? g 2 (? ? 5)]e ? j 2? 因为 g 2 (t ) ? 2Sa(?) ，由傅立叶变换的对称性可得： 2Sa(t ) ? 2?g 2 (??) ? 2?g 2 (?)即1?由调制性质，有Sa (t ) ? g 2 (? )2?由时移性质，有Sa (t ) cos 5t ? g 2 (? ? 5) ? g 2 (? ? 5)2?因此Sa (t ? 2) cos 5(t ? 2) ? [ g 2 (? ? 5) ? g 2 (? ? 5)]e ? j 2?Sa (t ? 2) cos 5(t ? 2)h(t ) ?2?4. 已知一连续时间系统的频响特性如图 A-3 所示，输入信号 f (t ) ? 5 ? 3 cos2t ? cos4t ,?? ? t ? ? ，试求 该系统的稳态响应 y(t )H ( j? )1?3图 A-3 4. 利用余弦信号作用在系统的零状态响应的特点，即?3T{cos(?0t ? ? )} ? H ( j?0 ) cos(?0t ? ? (?0 ) ? ? )在本题中， ? (? ) ? 0 ，因此由上式可以求出信号 f (t ) 作用在系统上的稳态响应为T{ f (t )} ? 5H ( j 0) ? 3H ( j 2) cos 2t ? H ( j 4) cos 4t ? 5 ? 2 cos 2t ， ? ? ? t ? ?5. 已知信号 f (t ) ? ? (t ) ? ? (t ? 1) 通过一 LTI 系统的零状态响应为 y(t ) ? ? (t ? 1) ? ? (t ? 1) ， 试求图 A-4 所 示信号 g (t ) 通过该系统的响应 y g (t ) 并画出其波形。 g (t )1 0 1图 A-4 5. 因为tg (t ) ? ? f (? )d???t，所以，利用线性时不变系统的积分特性，可得t t ?? ??y g (t ) ? ? y(? )d? ? ? [? (? ? 1) ? ? (? ? 1)d? ] ? ? (t ? 1) ? ? (t ? 1)其波形如图 A-9 所示。y g (t )2 1?1t01图 A-9三、综合计算题（共 20 分，每小题 10 分）1. 描述一线性时不变因果连续时间系统的微分方程为y& (t ) ? 5 y' (t ) ? 6 y(t ) ? 2 f ' (t ) ? f (t )已知 f (t ) ? e?t? (t ), y(0 ) ? 1, y' (0 ) ? 1由 s 域求解：? ?(1) 零输入响应 y x (t ) 零状态响应 y f (t ) ，完全响应 y(t ) ； (2) 系统函数 H ( s ) ，单位冲激响应 h(t ) ,并判断系统是否稳定； (3) 画出系统的直接模拟框图 （1）因为1 H ?( j? ) ? ? [ g 2 (? ? 3) ? g 2 (? ? 3)] ? [? (? ? 2) ? ? (? ? 2)] 21又因为 ?Sa (t ) ? g 2 (? )，由调制定理，可得1?即Sa(t ) sin(3t ) ?11 [ g 2 (? ? 3) ? g 2 (? ? 3)] 2j1 Sa (t ) sin( 3t ) ? ? [ g 2 (? ? 3) ? g 2 (? ? 3)] ? 2 sin( 2 t ) ? ? j ? [ ? ( ? ? 2 ) ? ? ( ? ? 2 )] 由于 ，即 ?jj由频域微分性质，可知： ? jth(t ) ? H ?( j? ) ，所以有?sin( 2t ) ? ? (? ? 2) ? ? (? ? 2)j ? jth(t ) ? ? [ Sa (t ) sin(3t ) ? sin( 2t )]?，整理得1 3 2 [ Sa (t ) sin(3t ) ? sin( 2t )] ? Sa (t ) Sa (3t ) ? Sa (2t ) ?t ? ? （2）由于 H ( j? ) 是一个带通滤波器，下限角频率为 2rad/s，上限角频率为 4rad/s，因此，只有角频率为 3rad/s h(t ) ? 的信号分量可以通过该滤波器。 由 cos(?0t ) ? H ( j?0 ) cos[?0t ? ? (?0 )]可知0.4 cos(3t ) ? 0.4 H ( j3) cos[3t ? ?(3)]由于 H ( j3) ? 0.5 ， ? (3) ? 0 ，所以有： 0.4 cos(3t ) ? 0.2 cos(3t ) ，即f (t ) ? 1 ? 0.6 cost ? 0.4 cos3t ? 0.2 cos5t ? y(t ) ? 0.2 cos(3t )2. 在图 A-5 所示的系统中，周期信号 p(t ) 是一个宽度为 ? (? ? T ) 的周期矩形脉冲串，信号 f (t ) 的频谱为F ( j? ) 。(1) 计算周期信号 p(t ) 的频谱 Fn ； (2) 计算 p(t ) 的频谱率密度 p( j? ) ； (3) 求出信号 f p (t ) 的频谱表达式 Fp ( j?) (4) 若信号 f (t ) 的最高频率 ? m ，为了使 Fp ( j?) 频谱不混迭，T 最大可取多大？f (t )?p (t )f p (t )?A P T (t )? t?T ? ? 2?2T图 A-5 1)利用傅立叶级数的计算公式可得到周期信号 p(t ) 的频谱 Fn 为T /21 1 A Fn ? f (t )e ? jn?0t dt ? Ae? jn?0t dt ? e ? jn?0t ? ? T ?T / 2 T ?? / 2 T (? jn?0 )?? /2t ?? / 2 t ? ?? / 2?A sin(n?0? / 2) ?A ? n?0? ? 2? ? Sa? ?, ?0 ? T n?0? / 2 T ? 2 ? Tp(t ) ?(2)周期信号 p(t ) 的指数函数形式的傅立叶级数展开式为n ? ???T???A对其进行 Fourier 变换即得 p(t)的频谱密度 P( j? ) 为? n? ? ? Sa? 0 ?e jn?0t ? 2 ? ? n? ? ? Sa? 0 ?? (? ? n?0 ) ? 2 ?P( j? ) ? 2?n ? ???T?A(3)由于 f p (t ) ? f (t ) p(t ) ，利用傅立叶变换的乘积特性，可得Fp ( j? ) ?? 1 ?A ? n? ? ? F ( j? ) * P( j? ) ? ? Sa? 0 ?F (? ? n?0 ) 2? ? 2 ? n ? ?? T(4)从信号 f p (t ) 的频谱表达式 Fp ( j?) 可以看出，当 ?0 ? 2?m 时， Fp ( j?) 频谱不混迭，即T?? ?m 长沙理工大学拟题纸课程编号 5 拟题教研室（或老师）签名 教研室主任签名 符号说明： sgn(t ) 为符号函数， ? (t ) 为单位冲击信号， ? (k ) 为单位脉冲序列， ? (t ) 为单位阶跃信号， ? (k ) 为 单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1.[? (t ) ? ? (t ? 2)] ? ? (2t ? 2) ? _______。1 1 [? (t ) ? ? (t ? 2)] ? ? (2t ? 2) ? [? (t ) ? ? (t ? 2)] ? ? (t ? 1) ? ? (t ? 1) 2 22. 若某离散时间 LTI 系统的单位脉冲响应 h(k ) ? {2,1,3} ，激励信号 f (k ) ? {1,? 2,1,2} ，则该系统的零 状态响应 f (k ) ? h(k ) ? _______ 。利用排表法可得 f (k ) * h(k ) ? {2, ? 3,3,?1,5,6} 3. 连 续时间信 号 f (t ) ? sin(t ) 的周期 T0 = ______ 。若对 f (t ) 以 f s ? 1Hz 进行抽 样，所 得离散序 列???f (k ) = ______ ，该离散序列是否是周期序列 ______ 。 f (k ) ? f (t ) t ?kT ? sin k 。 不是 4. 对连续时间信号延迟 t 0 的延迟器的单位冲激响应为 ? (t ? t 0 ) ， ______ ，积分器的单位冲激响应为? (t ) ______ ，微分器的单位冲激响应为 ______ 。 ? ' (t ) 1 ? j? H ( j? ) ? 1 ? j? ，该系统的幅频特性 H ( j?) ? ______ ，相频特 5. 已知一连续时间 LTI 系统的频响特性 性 ? ( j? ) = ______ ，是否是无失真的传输系统 ______ 。不是H ( j?) ? e j 2 arctan(? )H ( j?) ? 1 ， ? (? ) ? 2 arctan( ?)?? 6. 根据 Parseval 能量守恒定律，计算1 ? sin t ? ? ? dt ? ? t ? 2? ???? 2 ? 2 ????(sin t 2 ) dt ? ______ 。 t1? ?g 2 (? ) d? ??1 2 ?1? d? ? ? 2? ?7. 已知一连续时间 LTI 系统得单位冲激响应为 h(t ) ，该系统为 BIBO（有界输入有界输出）稳定系统的充要? 条件是 ______ 。 ??2h(t ) dt ? ?8. 已知信号 f (t ) 的最高频率为 ?s (rad / s) ，信号 f (t ) 的最高频率是 ______ 。 2?m (rad / s) 。1 ( ) k ? (k ) 9. 某连续时不变（LTI）离散时间系统，若该系统的单位阶跃响应为 4 ，则该系统的单位脉冲?1? ?1? h(k ) ? g (k ) ? g (k ? 1) ? ? ? ? (k ) ? ? ? ? (k ? 1) ? 4? ? 4? 响应为 ______ 。10. 已知连续时间信号 f (t ) ? sin t[? (t ) ? ? (t ? ? / 2)] ，其微分 f ' (t ) ? ______ 。kk ?1f ' (t ) ? cost[? (t ) ? ? (t ? ? / 2)] ? ? (t ? ? / 2) 二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）1. 已知某连续时间系统的单位冲激响应 h(t ) 与激励信号 f (t ) 的波形如图 A-1 所示，试由时域求解该系统的 零状态响应 y(t ) ，画出 y(t ) 的波形。f (t ) 1-1 0 -1图 A-12th (t )1012t1. 系统的零状态响应 y(t ) ? f (t ) ? h(t ) ，其波形如图 A-7 所示。2y (t )0123t-2图 A-7 2. 若 f (t ) 得波形如图 A-2 所示，试画出 f (?0.5t ? 1) 的波形。f (t )210 1 2图 A-2 2. 将 f (?0.5t ? 1) 改写为 f [?0.5(t ? 2)] ，先反转，再展宽，最后左移 2，即得 f (?0.5t ? 1) ，如图 A-8 所示。f ( ?t )( 2)f ( ?0.5t ) 2(1)t3(1) -3 -2 -1( 2)1t1?6?4 ?200tf ( ?0.5t ? 1) 21?8?6?4?2t03. 已知一离散系统的系统函数 (1) 画出系统的直接型模拟框图；H ( z) ?z 2 ? 2z z 3 ? 3z 2 ? 2s ? 1(2) 在模拟框图上标出状态变量，并写出状态方程和输出方程。 、(1) 将系统函数改写为H ( z) ?z ?1 ? 2 z ?2 1 ? 3z ?1 ? 2 z ?2 ? z ?3 ，由此可画出系统的直接型模拟框图，如图 A-10 所示。2F ( z)- -?z ?1x3 (k )z ?1x2 ( k )z ?1x1 (k )?Y ( z)3 24. 已知连续时间 LTI 因果系统工程微分方程为y& (t ) ? 5 y' (t ) ? 6 y(t ) ? f (t ) ? 4 f ' (t ), t ? 0输入 f (t ) ? e ? (t ) ，初始状态 y(0 ) ? 1, y' (0 ) ? 3 。 (1) 利用单边拉式变换的微分特性将微分方程转换为 s 域代数方程。?t ? ?(2) 由 s 域代数方程求系统的零输入响应 y x (t ) 和零状态响应 y f (t ) 。 4、(1) 对微分方程两边做单边拉斯变换即得 s 域代数方程为s 2Y (s) ? sy(0? ) ? y ' (0 ? ) ? 5sY (s) ? 5 y(0? ) ? 6Y (s) ? (4s ? 1) F (s)(2) 整理上述方程可得系统完全响应得 s 域表达式为Y ( s) ?其中零输入响应的 s 域表达式为sy (0 ? ) ? y ' (0 ? ) ? 5 y (0 ? ) 4s ? 1 ? 2 F ( s) 2 s ? 5s ? 6 s ? 5s ? 6Yx ( s ) ? s?2 1 ? s ? 5s ? 6 s ? 32取拉斯反变换可得y x (t ) ? e3t , t ? 0零状态响应的 s 域表达式为Y f ( s) ?取拉斯反变换可得4s ? 1 4s ? 1 ? 1 / 4 ? 3 13/ 4 F ( s) ? ? ? ? ( s ? 2)(s ? 3)(s ? 1) s ? 1 s ? 2 s ? 3 s ? 5s ? 6213 ? ? 1 Y f (t ) ? ? ? e ?t ? ?3e 2t ? e 3t ?? (t ) 4 ? 4 ?5. 已知连续系统的系统函数 H ( s ) 的零极点如图 A-3 所示，且 H (?) ? 2 。j?? -3? -10图 A-32?(1) 写出 H ( s ) 的表达式，计算该系统的单位冲激响应 h(t ) ； (2) 计算该系统的单位阶跃响应 g (t ) 。 5、(1) 由零极点分布图及 H (?) 的值可得出系统函数 H ( s ) 为 H ( s) ? K取拉斯反变换可得s( s ? 2) 2s( s ? 2) 3 ? 15 ? ? 2? ? ( s ? 1)(s ? 3) ( s ? 1)(s ? 3) s ?1 s ? 3h(t ) ? 2? (t ) ? (3e ?t ? 15e ?3t )? (t )(2) 单位阶跃响应的 s 域表达式为G( s) ? H ( s) LT [? (t )] ?2s( s ? 2) 1 ? 3 5 ? ? ( s ? 1)(s ? 3) s s ? 1 s ? 3 ?t ?3t 取拉斯反变换可得 g (t ) ? (?3e ? 5e )? (t )三、综合计算题（共 20 分，每小题 10 分）1. 一离散时间 LTI 因果系统的差分方程为y(k ) ? 3 y(k ? 1) ? 2 y(k ? 2) ? 2 f (k ) ? f (k ? 1) 系统的初始状态 y(?1) ? 1/ 2, y(?2) ? 1/ 4, 输入 f (k ) ? ? (k ) 。(1) 由 z 域求系统的零输入响应 y x (k ) 和零状态响应 y f (k ) 。 (2) 求该系统的系统函数 H ( z ) ，并判断系统是否稳定。 1、(1) 对差分方程两边进行 z 变换得Y ( z) ? 3[ z ?1Y ( z) ? y(?1)] ? 2[ z ?2Y ( z) ? z ?1 y(?1) ? y(?2)] ? (2 ? z ?1 ) F ( z)整理后可得Y ( z) ?零输入响应的 z 域表达式为? 3 y (?1) ? 2 z ?1 y (?1) ? 2 y (?2) 2 ? z ?1 ? F ( z) 1 ? 3z ?1 ? 2 z ?2 1 ? 3z ?1 ? 2 z ?2Yx ( z ) ?? 3 y (?1) ? 2 z ?1 y (?1) ? 2 y (?2) ? 2 ? z ?1 1 ?3 ? ? ? ?1 ?2 ?1 ?2 ?1 1 ? 3z ? 2 z 1 ? 3z ? 2 z 1? z 1 ? 2 z ?1取 z 反变换可得系统零输入响应为y x (k ) ? [(?1) k ? 3(?2) k ]? (k )零状态响应的 z 域表达式为Y f ( z) ?(2 ? z ?1 ) F ( z ) 2 ? z ?1 ? 1/ 2 2 1/ 2 ? ? ? ? ?1 ?2 ?1 ?2 ?1 ?1 ?1 1 ? 3z ? 2 z (1 ? 3z ? 2 z )(1 ? z ) 1 ? z 1 ? 2z 1 ? z ?1取 z 反变换可得系统零状态响应为1 1 Y f (k ) ? [? (?1) k ? 2(?2) k ? ]? (k ) 2 2 ?1 Y f ( z) 2? z H ( z) ? ? F ( z ) 1 ? 3z ?1 ? 2 z ?2 (2) 根据系统函数的定义，可得 由于系统的极点为 z1 ? ?1, z 2 ? ?2 ，均不在单位圆内，故系统不稳定2. 已知某高通的幅频特性和响频特性如图 A-4 所示，其中 ?c ? 80? ，H ( j? )1? ( j? )? ?c0 ?c?图 A-40? 2??(1) 计算该系统的单位冲激响应 h(t ) ； ?t ，求该系统的稳态响应 y(t ) 。 (2) 若输入信号 f (t ) ? 1 ? 0.5 cos60?t ? 0.2 cos1202、(1) 因为系统的频率特性为： H ( j?) ? [1 ? g 2?c (?)]ec? j?t0。又因为?c Sa (? c t ) ? g 2? (? ) ? (t ) ? 1 ， ? ，所以，有 ? h1 (t ) ? ? (t ) ? c Sa (?c t ) ? ? (t ) ? 80 Sa (80?t ) ?由时移性质得h(t ) ? h1 (t ? t 0 ) ? ? (t ? t 0 ) ? 80Sa[80? (t ? t 0 )] (2) 由于高通系统的截频为 80? ，信号 f (t ) 只有角频率大于 80? 的频率分量才能通过，故 y(t ) ? 0.2 cos120 ? (t ? t 0 )长沙理工大学拟题纸课程编号 6 拟题教研室（或老师）签名 教研室主任签名 符号说明： sgn(t ) 为符号函数， ? (t ) 为单位冲击信号， ? (k ) 为单位脉冲序列， ? (t ) 为单位阶跃信号， ? (k ) 为 单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1.?5?5(t ? 3)? (?2t ? 4)dt ? ________。?5?5(t ? 3)? (?2t ? 4)dt ?1 5 1 (t ? 3)? (t ? 2)dt ? (t ? 3) t ?2 ? ?0.5 ? ? 5 ?2 2y (t ) ? 1 [ f (t ) ? f (?t )] 2 的傅立叶变换2. 已知实信号 f (t ) 的傅立叶变换 F ( j? ) ? R(? ) ? jX (? ) ，信号 Y ( j? ) 为 _________ 。1 s ? 1 ，该系统属于 _________ 类型。低通 3. 已知某连续时间系统的系统函数为 4. 如下图 A-1 所示周期信号 f (t ) ，其直流分量= _________ 。4 H (s) ?f (t )10? ?t-6 -5 -4-114 5 6图 A-1? 5. 序列和 n??? = _________ 。由于 n??? 6. LTI 离散系统稳定的充要条件是 _________ 。H ( z ) 的全部极点在单位圆内。? ? ( n)k?? [n] ? ?0,k?k ? 1,k ?0 ? (k ? 1)? (k ) k ?0 。7. 已 知 信 号 f (t ) 的 最 高 频 率 f 0 ( Hz) ， 对 信 号 f (t / 2) 取 样 时 ， 其 频 率 不 混 迭 的 最 大 取 样 间 隔Tm a x= _________ 。 Tmax 为Tmax ?1 1 ? 2 f max f0 。 8. 已知一连续系统在输入 f (t ) 作用下的零状态响应 y (t ) ? f (4t ) ，则该系统为 _________ 系统（线 性时变性） 。线性时变 9. 若 f (t ) 最高角频率为 ? m ，则对t t y (t ) ? f ( ) f ( ) 4 2 取样，其频谱不混迭的最大间隔是 _________ 。 ? 4? Tmax ? ? ? max 3? mF ( z) ?10. 已知 f ( k ) 的 z 变换 列。1 1 ( z ? )(z ? 2) F ( z ) ， 得收敛域为 z ? max(z1 , z2 ) ? 2 时， f ( k ) 是因果序 2二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）1. 某线性时不变连续时间系统的单位冲激响应 h(t ) 和输入 f (t ) 如图 A-2 所示，从时域求解该系统的零状态 响应 y(t ) 。f (t ) 1-1 0 -1 1th (t )1 0图 A-221、系统的零状态响应 y(t ) ? f (t ) * h(t ) ，如图 A-4 所示。1 -1 0 -1 1 2 3y (t )t图 A-4 2. 已知系统 y' (t ) ? 2 y(t ) ? f (t ) 的完全响应为 y(t ) ? (2e 应。 2、对微分方程取拉斯变换得 整理得?t? 3e ?2t )? (t ) ，求系统的零输入响应和零状态响sY (s) ? y(0? ) ? 2Y (s) ? F (s)y (0 ? ) 1 Y ( s) ? ? F (s) s?2 s?2因此有Yx ( s) ?取拉斯反变换，得零输入响应为y (0 ? ) 1 Y f ( s) ? F (s) s?2 s?2 ，y x (t ) ? y(0? )e ?2t ? (t )由给定的系统全响应可知，激励信号应为： f (t ) ? ke?t? (t ) ，因此，其拉斯变换为 F (s) ?k s ? 1 ，因而有Y f ( s) ?取拉斯反变换，得零状态响应为1 k k k F ( s) ? ? ? s?2 ( s ? 1)(s ? 2) s ? 1 s ? 2y f (t ) ? (ke?t ? ke?2t )? (t )因此。系统的全响应为y(t ) ? [ke?t ? y(0? )e?2t ? ke?2t ]? (t ) ?t ?2t ? 与给定的系统全响应 y(t ) ? [2e ? 3e ]? (t ) 比较，可得： k ? 2 ， y(0 ) ? 5因此，系统的零输入响应为yx (t ) ? y(0? )e?2t ? (t ) ? 5e?2t ? (t )系统的零状态响应为y f (t ) ? (ke?t ? ke?2t )? (t ) ? 2(e?t ? e?2t )? (t )y[k ] ?3. 已知 N=5 点滑动平均系统的输入输出关系为 统是否因果、稳定。 的单位脉冲响应 h(k ) ，即1 N? f [ k ? n]n ?0N ?1，求系统的单位脉冲响应，并判断系3. 根据系统的单位脉冲响应的定义，当系统的输入信号 f ( k ) 为单位脉冲序列 ? (k ) 时，其输出 y (k ) 就是系统1 N ?1 1 1 ? (k ? n) ? [? (k ) ? ? (k ? 1) ? ? (k ? 2) ? ? (k ? 3) ? ? (k ? 4)] ? [? (k ) ? ? (k ? 5)] ? N n ?0 5 5 由于 h(k ) 满足 h(k ) ? 0, k ? 0 h(k ) ?n ? ????h[k ] ?1 4 ?1 ? 1 5 k ?0所以系统是因果、稳定的。4. 已知连续时间系统的系统函数 4. 根据系统函数画出系统的模拟框图，并选择积分器的输出作为状态变量，如图 A-5 所示，围绕模拟框图输入 端的加法器可得到状态方程为H ( s) ?s2 ?1 s 3 ? 2s 2 ? 3s ? 1 ，写出其状态方程和输出方程。f (t )- -?s ?1x3 ( t )s ?1x2 (t )s ?1x1 (t )?y (t )3 2图 A-5? 2 (t ) ? x3 (t ) ， x ?3 (t ) ? ? x1 (t ) ? 2x2 (t ) ? 3x3 (t ) ? f (t ) ?1 (t ) ? x2 (t ) ， x x围绕模拟框图输出端的加法器可得到输出方程为 y(t ) ? x1 (t ) ? x3 (t ) 5. 在图 A-3 所示的系统中，周期信号 p(t ) 是一个宽度为 ? (? ? T ) 的周期矩形脉冲串，信号 f (t ) 的频谱为F ( j? ) 。(1) 计算周期信号 p(t ) 的频谱 Fn ； (2) 计算 p(t ) 的频谱率密度 p( j? ) ； (3) 求出信号 f p (t ) 的频谱表达式 Fp ( j?) (4) 若信号 f (t ) 的最高频率 ? m ，为了使 Fp ( j?) 频谱不混迭，T 最大可取多大？f (t )?p (t )f p (t )?A P T (t )? t?T ? ? 2图 A-3?2T5、(1)利用傅立叶级数的计算公式可得到周期信号 p(t ) 的频谱 Fn 为1 1 A Fn ? f (t )e ? jn?0t dt ? Ae? jn?0t dt ? e ? jn?0t ? ? T ?T / 2 T ?? / 2 T (? jn?0 )?T /2? /2t ?? / 2 t ? ?? / 2?A sin(n?0? / 2) ?A ? n?0? ? 2? ? Sa? ?, ?0 ? T n?0? / 2 T ? 2 ? Tp(t ) ?(2)周期信号 p(t ) 的指数函数形式的傅立叶级数展开式为n ? ???T???A对其进行 Fourier 变换即得 p(t)的频谱密度 P( j? ) 为? n? ? ? Sa? 0 ?e jn?0t ? 2 ? ? n? ? ? Sa? 0 ?? (? ? n?0 ) ? 2 ?P( j? ) ? 2?n ? ???T?A(3)由于 f p (t ) ? f (t ) p(t ) ，利用傅立叶变换的乘积特性，可得Fp ( j? ) ?? 1 ?A ? n? ? ? F ( j? ) * P( j? ) ? ? Sa? 0 ?F (? ? n?0 ) 2? ? 2 ? n ? ?? T(4)从信号 f p (t ) 的频谱表达式 Fp ( j?) 可以看出，当 ?0 ? 2?m 时， Fp ( j?) 频谱不混迭，即T?? ?m三、综合计算题（共 20 分，每小题 10 分）1. 描述一线性时不变因果离散时间系统的差分方程为6 y(k ) ? 5 y(k ? 1) ? y(k ? 2) ? f (k ) 已知 f (k ) ? ? (k ), y(?1) ? ?2, y(?2) ? 3 ，由 z 域求解： (1) 零输入响应 y x (k ) 零状态响应 y f (k ) ，完全响应 y (k ) ；(2) 系统函数 H ( z ) ，单位冲激响应 h(k ) ； (3) 若 f (k ) ? 2? (k ? 1) ，重求（1） 、 （2） 1. (1) 对差分方程两边进行 z 变换得k ?06Y ( z) ? 5{z ?1Y ( z) ? y(?1)}? {z ?2Y ( z) ? z ?1 y(?1) ? y(?2)} ? F ( z)整理后可得Y ( z) ?零输入响应的 z 域表示式为5 y (?1) ? z ?1 y (?1) ? y (?2) F ( z) ? ?1 ?2 6 ? 5z ? z 6 ? 5 z ?1 ? z ?2 Yx ( z ) ?取 z 反变换可得系统零输入响应为5 y (?1) ? z ?1 y (?1) ? y (?2) ? 13 ? 2 z ?1 ?9/ 2 7/3 ? ? ? ?1 ?2 ?1 ?2 1 1 6 ? 5z ? z 6 ? 5z ? z 1 ? z ?1 1 ? z ?1 2 39 1 7 1 y x (k ) ? [? ( ) k ? ( ) k ]? (k ) 2 2 3 3零状态响应的 z 域表示式为Y f ( z) ?F ( z) 1 ? 1/ 2 1/ 6 1/ 2 ? ? ? ? ?1 ?2 ?1 ?2 ?1 1 1 6 ? 5z ? z (6 ? 5 z ? z )(1 ? z ) 1 ? z ?1 1 ? z ?1 1 ? z ?1 2 31 1 1 1 1 y f (k ) ? [? ( ) k ? ( ) k ? ]? (k ) 2 2 6 3 2取 z 反变换可得系统零状态响应为系统的完全响应1 5 1 1 y (k ) ? y x (k ) ? y f (k ) ? [?5( ) k ? ( ) k ? ]? (k ) 2 2 3 2(2) 根据系统函数的定义，可得H ( z) ?Y f ( z) F ( z)?1 6 ? 5z ? z?1 ?2?1/ 2 ? 1/ 3 ? 1 1 1 ? z ?1 1 ? z ?1 2 3取 z 反变换即得系统单位冲激响应为1 1 1 1 h(k ) ? [ ( ) k ? ( ) k ]? (k ) 2 2 3 3 y ( k ) (3)若 f (k ) ? 2? (k ? 1) ，则系统的零输入响应 x 、单位冲激响应 h(k ) 和系统函数 H ( z ) 均不变，根据线性时不变特性，可得系统零状态响应为1 1 1 y f (k ) ? [?( ) k ?1 ? ( ) k ?1 ? 1]? (k ? 1) 2 3 3系统全响应为9 1 7 1 1 1 1 y (k ) ? y x (k ) ? y f (k ) ? [? ( ) k ? ( ) k ]? (k ) ? [?( ) k ?1 ? ( ) k ?1 ? 1]? (k ? 1) 2 2 3 3 2 3 32. 连续时间线性时不变（LTI）系统的微分器的系统函数为：H c ( s) ? s若设：(1)s?2 1 ? z ?1 Ts 1 ? z ?1(2)则用（2）式代替（1）式中的 s 来设计离散时间 LTI 系统的方法称之为双线性变换法。Ts 是在设计过程中须确定 的一个大于零的数。 （1）试画出离散系统的框图。 （2）确定离散时间系统的频率响应 H d (ej?) ，画出它的幅度及相位响应。2、解：(1)令 H d ( z ) 为离散系统的系统函数，则由题中给出的公式（1）和（2）得：H d ( z) ?2 1 ? z ?1 2? 1 ? ? ? (1 ? z ?1 ) ?1 ?1 ? TS 1 ? z TS ? 1 ? z ?因此可知该系统可由两个子系统级联构成，如图 A-6（a）所示： X ( z)??????2 TsY ( z)z ?1z ?1（a） 可简化为图 A-6（b） ：X ( z)? ???z ?1??2 TsY ( z)（b） 图 A-6 (2)由系统函数可得该系统的频率响应 H d (e ) ? H d ( z) z?e j? 为j?? sin( ) ? 2 1? e 2 e (e ? e ) 2 2 ? j2 j? 2 H d (e ) ? ? ?j ? tan( )e ? ? ? j ?j TS 1 ? e ? j? TS ? j ? TS TS 2 2 2 2 cos( ) e (e ? e ) 2 2 ? ? H d (e j? ) ? j tan ? j TS 2 TS 注意 ? ?? 1 ：时，有：? j? ?j ? 2 j ? 2 ?j ? 2幅频特性和相频特性如图 A-7（a） 、 （b）所示。? (?)? /2??0??（a） 图 A-7（b）长沙理工大学拟题纸（7）一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1 、 某 连 续 系 统 的 零 状 态 响 应 为 y(t ) ? 2 f (t ) ? 1 ， 试 判 断 该 系 统 特 性 （ 线 性 、 时 不 变 、 稳 定 性） 。非线性、时不变、稳定系统 2、 ? (t ) cos(2t ) = 。 ? (t ) cos(2t ) ? ? (t )? ?3 、若离散时间系统的单位脉冲响应为 h(k ) ? {1,?1,2} ，则系统在 f (k ) ? {1, 2,?2,1} 激励下的零状态响应为? ? ? f (k ) * h(k ) ? ?1,1,2,7,?5,2? ? ? 。j? ? j? 4、已知一周期信号 f (t ) 的周期 T0 ? 2? ，其频谱为 F0 ? 1, F1 ? 0.5e , F?1 ? 0.5e , F3 ? ?0.2 j, F?3 ? 0.2 j ， 写 出 f (t ) 的 时 域 表 达 式f (t ) ?。n ????F en?jn?0t? 1 ? 0.5e ? j (?0t ?? ) ? 0.5e j (?0t ?? ) ? 0.2 je ? j 3?0t ? 0.2 je j 3?0t? 1 ? cos(?0t ? ? ) ? 0.4 cos(3?0t ? ? / 2) （因为 ?0 ? 2? / T0 ? 1 ）? 1 ? cos(t ? ? ) ? 0.4 cos(3t ? ? / 2) ? 1 ? cos(t ) ? 0.4 sin(3t )5、信号 f (t ) ? e?2tcos( 100t )? (t ) 的频谱 F ( j? ) =F ( j? ) ?。2 ? j? 100 ? 4 ? ? 2 ? j 4?26、连续系统与离散系统的重要区别特点是。离散系统的频谱具有周期性；7、设连续时间信号 f (t ) 的傅立叶变换为 F ( j? ) ，则 F ( jt ) 的傅立叶变换为。2?f (?? ) ；8、单位门信号 g? (t ) 的频谱宽度一般与其门信号的宽度 ? 有关， ? 越大，则频谱宽度 9、拉普拉斯变换域傅立叶变换的基本差别是 信号满足绝对可积条件时才存在傅立叶变换 们的关系是 而信号不满足绝对可积条件时也可能存在拉普拉斯变换； 。 越窄 。 ；它? 10、?sin ????d? ?。? 。二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）F (s) ?1、已知1 s (1 ? e ? 2 s ) ，收敛域 Re(s) ? 0 ，试求其拉氏反变换 f (t ) ，并画出 f (t ) 的波形。? 1 1 1 1 ? (t ? nT ) ? F (s) ? ? ? ( t ) ? ? ?2 s e ( s) ? 0 ） 1 ? e ?Ts ， s 1? e ， s ， n ?0 1．因为 （R ? 1 ? (t ? 2n) ? ? 1 ? e ?2 s 。由傅立叶变换的时域卷积性质，有 令 T ? 2 ，得 n?0f (t ) ? ? (t ) * ?? (t ? 2n) ??? (t ? 2n)n ?0 n ?0??，其波形如图 A-6 所示。 f (t )? ? ?02 4 6 8 ? ? ?t图 A-6 2、某连续 LTI 时间系统得频率响应 H ( j? ) 如图 A-1 所示，试求：1 -4(1)系统的单位冲激响应 h(t ) ；H ( j? )-20图 A-124?(2)输入 f (t ) ? 1 ? 0.6 cost ? 0.4 cos3t ? 0.2 cos5t ,?? ? t ? ? ，系统的输出 y(t ) 。 2．解 （1）因为1 H ?( j? ) ? ? [ g 2 (? ? 3) ? g 2 (? ? 3)] ? [? (? ? 2) ? ? (? ? 2)] 21又因为 ?Sa (t ) ? g 2 (? )，由调制定理，可得1?即Sa(t ) sin(3t ) ?11 [ g 2 (? ? 3) ? g 2 (? ? 3)] 2j1 Sa (t ) sin( 3t ) ? ? [ g 2 (? ? 3) ? g 2 (? ? 3)] ? 2 sin( 2 t ) ? ? j ? [ ? ( ? ? 2 ) ? ? ( ? ? 2 )] 由于 ，即 ?jj由频域微分性质，可知： ? jth(t ) ? H ?( j? ) ，所以有?sin( 2t ) ? ? (? ? 2) ? ? (? ? 2)j ? jth(t ) ? ? [ Sa (t ) sin(3t ) ? sin( 2t )]?，整理得1 3 2 [ Sa (t ) sin(3t ) ? sin( 2t )] ? Sa (t ) Sa (3t ) ? Sa (2t ) ?t ? ? H ( j ? ) （2）由于 是一个带通滤波器，下限角频率为 2rad/s，上限角频率为 4rad/s，因此，只有角频率为 3rad/s h(t ) ?的信号分量可以通过该滤波器。 由cos(?0t ) ? H ( j?0 ) cos[?0t ? ? (?0 )]可知0.4 cos(3t ) ? 0.4 H ( j3) cos[3t ? ?(3)] 由于 H ( j3) ? 0.5 ， ? (3) ? 0 ，所以有： 0.4 cos(3t ) ? 0.2 cos(3t ) ，即f (t ) ? 1 ? 0.6 cost ? 0.4 cos3t ? 0.2 cos5t ? y(t ) ? 0.2 cos(3t )3 、已知某离散时间系统如图 A-2 所示，试求该系统的单位脉冲响应 h(k ) 。其中 h1 (k ) ? ? (k ? 1) ，h2 (k ) ? 0.5k ? (k ) 。f (k )h1 (k )h2 (k )图 A-2y (k )3． h(k ) ? [h1 (k ) ? ? (k )] * h2 (k ) ? h1 (k ) * h2 (k ) ? h2 (k )?? ? 0.5n ? (n)? (k ? n ? 1) ? 0.5k ? (k )n ??? k ?1n ?0 k ?1? h (n)h (k ? n) ? h (k )2 1 2?? ? 0.5n ? 0.5k ? (k )n ?0? (2 ? 0.5k ?1 )? (k ?1) ? 0.5k ? (k )4、已知 x(t ) 的波形如图 A-3 所示， f (t ) ? x(1 ? 2t ) ， f (t ) 的频谱为 F ( j? ) ，F ( j? )d? （1）画出 f (t ) 的波形； （2）计算 F ( j 0) ； （3）计算 ??? ；?（4）计算????F ( j? ) d?2； （5）计算????F ( j? )2 sin ??e 2 d?j?。图 A-3 4. 解： （1）因为： f (t ) ? x(1 ? 2t ) ，令 1 ? 2t ? ? ，则有， f (t ) ? x(1 ? 2t ) ? x(? ) 。 由 x(t ) 的波形可知，当 ? ? ?1 时， t ? 1 ；? ? 0 时，t?1 2 ；? ? 1 时， t ? 0 。因此， f (t ) 的波形如图 A-7 所示： 图 A-7 （2）由作图法可知，3 f ' (t ) ? 2? (t ) ? 2 g 1 (t ? 1 4 ) ? 2 g 1 (t ? 4 ) ? 2? (t ? 1)2 2设 f (t ) ? F ( j? ) ，又因为：?g? (t ) ? ?Sa (??2 ，即：)g 1 (t ) ?21 ? Sa( ) 2 4 ，由傅立叶变换的时域性质，有：1 1 ? ?j 3 1 ? ?j g 1 (t ? ) ? Sa( )e 4 g 1 (t ? ) ? Sa( )e 4 4 2 4 4 2 4 2 ； 2 。再根据傅立叶变换的微分性质可得：j?F ( j? ) ? 2 ? Sa( )e 43???j?4? Sa( )e 4??j3? 4? 2e ? j?，整理得：1 ? ?j F ( j? ) ? [2Sa( ) ? Sa2 ( )]e 2 2 2 40 1 0 ?j 3 F ( j 0) ? [2Sa( ) ? Sa2 ( )]e 2 ? 2 2 4 2 因此，f (t ) ? 1 2?0??（3）由????F ( j? )e j?t d?? 2得：????F ( j? )d? ? 2?f (0) ? 4?F ( j? ) d?1? （4）由 Pasvarl 定理：??f (t ) dt ?21 2?1 0??2??有：????F ( j?) d? ? 2? ?2???f (t ) dt ? 2? ? f 2 (t )dt ? 4? ? 2 f 2 (t )dt01? 4? ? 4? 2 (1 ? t ) 2 dt ?014 ? 3? j（5）因为：????F ( j? )2 sin ??e 2 d? ? 2? F ( j? ) Sa(? )e 2 d???j??1 又因为： f (t ) ? g 2 (t ? 2 ) ? 2F ( j?)Sa(?)ej?2，所以有：1 f (t ) ? g 2 (t ? ) ? 2?1 2????2 F ( j? ) Sa(? )e 2 e j?t d?? jj?，即2 ? F ( j? ) Sa (? )e 2 d? ? 2? [ f (t ) * g 2 (t ? 1 2 )] t ?0 ? 3???? ? ? 1 1 3 [ f (t ) * g 2 (t ? 1 f (? ) g 2 (?? ? )d? ? ? f (? )[? (? ? ) ? ? (? ? )]d? 2 )] t ?0 ? ? ?? ?? 2 2 2 其中，? ? f (? )d? ? 2?011/ 20f (? )d? ? 4? (1 ? ? )d? ?01/ 23 25 、 如 图 A-4 所 示 连 续 时 间 系 统 ， 其 中 延 时 器 延 时 T 秒 ， 理 想 低 通 滤 波 器 的 频 率 响 应 为 ：H1 ( j?) ? g 2?c (?)e? j?t0其中 g 2?c (?) 是宽度为 2? c 的单位门频谱。已知激励为：f (t ) ?sin t ? sa (t ) t ，求：（1）系统的单位冲激响应 h(t ) ； （2） ?c ? 1 时系统的零状态响应； （3） ?c ? 1 时系统的零状态响应。图 A-4 （1）由题图可得： h(t ) ? [? (t ) ? ? (t ? T )]* h1 (t ) ? h1 (t ) ? h1 (t ? T ) ，又因为： 所以有：h1 (t ) ??c Sa[? c (t ? t 0 )] ? ，?c {Sa[? c (t ? t 0 )] ? Sa[? c (t ? T ? t 0 )]} ? （2）因为 f (t ) ? Sa(t ) ? F ( j?) ? ?g 2 (?) ，所以有： Y f ( j?) ? F ( j?)H ( j?) ? ?g 2 (?) g 2?c (?)[1 ? e ? j?T ]e ? j?t0 当 ?c ? 1 时，有h(t ) ?Y f ( j?) ? ?g 2 (?)[1 ? e ? j?T ]e ? j?t0 ? ?g 2 (?)e ? j?t0 ? ?g 2 (?)e ? j?(t0 ?T )因而得： y f (t ) ? Sa(t ? t 0 ) ? Sa(t ? t 0 ? T ) （3）当 ?c ? 1 时，同理可得： y f (t ) ? ?c {Sa[?c (t ? t 0 )] ? Sa[?c (t ? t 0 ? T )]}三、综合计算题（共 20 分，每小题 10 分）1、已知一 LTI 系统的频率响应为? ? ? j3 ?e 2 ? ? 2? H ( j? ) ? ? ? 其他 ?0系统的输入信号 f (t ) 为周期 T0 ? 4 / 3 冲激信号串，即 (2) 试求周期信号 f (t ) 的频谱 F ( j? ) 。 (3) 试求系统的输出信号 y(t ) 。f (t ) ?n ? ??? ? (t ? nT )0?(1) 试求周期信号 f (t ) 指数形式的傅立叶级数的系数 Fn 。 1． （1）因为 T0 ? 4 / 3 ，所以?0 ?22? 3 ? ? T0 2 。傅立叶级数系数为31 Fn ? T0（2）?T0 2 T ? 0 2f (t )e3 ? j ?nt 2? j ?nt 3 3 dt ? ? 32 ? (t )e 2 dt ? 4 ?3 4F ( j? ) ? 2?3 3 ? 3 F ? ( ? ? ? n ) ? ? ? ? (? ? ?n) ? n 2 2 n??? 2 n ???3 ?j ? 2?（3）因为 H ( j?) ? g 4? (?)e，所以只有频率为 ? ? 2? 的信号分量才能通过系统，因此，有3因为?j ? 3 3 3 Y ( j? ) ? F ( j? ) H ( j? ) ? ? [? (? ? ? ) ? ? (? ) ? ? (? ? ? )]g 4? (? )e 2 2 2 2 9 9 j ? ?j ? 3 3 3 3 3 4 ? ? [? (? ? ? ) g 4? (? ? )e ? ? (? ) g 4? (0) ? ? (? ? ? ) g 4? ( ? )e 4 ] 2 2 2 2 2 ? ? j ?j 3 3 3 ? ? [? (? ? ? )e 4 ? ? (? ) ? ? (? ? ? )e 4 ] 2 2 2 3 2 3 3 3 2 3 3 3 ? ? [? (? ? ? ) ? ? (? ? ? )] ? ?j[? (? ? ? ) ? ? (? ? ? )] ? ?? (? ) 4 2 2 4 2 2 23 3 3 cos( ?t ) ? ? (? ? ? ) ? ? (? ? ? ) ? 2 2 2 1 3 3 3 sin( ?t ) ? ? (? ? ? ) ? ? (? ? ? ) j? 2 2 2 1 ? ? (? ) 2?因此，有1y(t ) ?3 2 3 3 3 [cos( ?t ) ? sin( ?t )] ? 4 2 2 42. 一 线 性 时 不 变 离 散 时 间 因 果 系 统 的 直 接 型 模 拟 框 图 如 图 A-5 所 示 ， 输 入 已 知f (k ) ? 4k ? (k ), y(?1) ? ?1, y(?2) ? 2 ，由 Z 域求解：4F ( z)-?+z ?1x2 [k ]z ?1x1 [k ]?Y ( z)3 2(1) 描述系统的差分方程 (2) 零输入响应 y x (k ) ，零状态响应 y f (k ) ，完全响应 y (k ) ； (3) 系统函数 H ( z ) ，单位脉冲响应 h(k ) ；(4) 系统的状态方程和输出方程。 2． （1）由图 A-52 可知，输入端求和器的输出为zX 2 ( z) ? F ( z) ? 3 X 2 ( z) ? 2 X 1 ( z)(1) X 1 ( z) ? z ?1 X 2 ( z)式（2）代入式（1）得(2)X 2 ( z) ?输出端求和器的输出为1 F ( z) z ? 3 ? 2 z ?1(3)Y ( z ) ? ( z ? 4) X 2 ( z ) ?即z?4 F ( z) z ? 3 ? 2 z ?1(4)( z ? 3 ? 2z ?1 )Y ( z) ? ( z ? 4) F ( z)或(1 ? 3z ?1 ? 2z ?2 )Y ( z) ? (1 ? 4z ?1 ) F ( z)因此系统的差分方程为y(k ) ? 3 y(k ? 1) ? 2 y(k ? 2) ? f (k ) ? 4 f (k ? 1)（2）对上述差分方程取单边 z 变换得Y ( z) ? 3[ z ?1Y ( z) ? y(?1)] ? 2[ z ?2Y ( z) ? z ?1 y(?1) ? y(?2)] ? (1 ? 4z ?1 ) F ( z)整理得Y ( z) ?因此3 y(?1) ? 2 z ?1 y(?1) ? 2 y(?2) 1 ? 4 z ?1 ? F ( z ) ? Yx ( z ) ? Y f ( z ) 1 ? 3z ?1 ? 2 z ?2 1 ? 3z ?1 ? 2 z ?2Yx ( z ) ?3 y (?1) ? 2 z ?1 y (?1) ? 2 y (?2) 2 z ?1 ? 7 5z 12z ? ? ? ?1 ?2 ?1 ?2 z ?1 z ? 2 1 ? 3z ? 2 z 1 ? 3z ? 2 z取 z 反变换得yx (k ) ? (5 ?12? 2k )? (k )因为f (k ) ? 4 k ? (k ) ?z z ? 4 ，所以1 ? 4 z ?1 5 z z 52 z Y f ( z) ? F ( z) ? ? ? 12 ? ?1 ?2 3 z ?1 z?2 3 z?4 1 ? 3z ? 2 z取 z 反变换得5 52 y f (k ) ? (? ? 12 ? 2 k ? ? 4 k )? (k ) 3 3全响应为10 52 y (k ) ? ( ? ? 4 k )? (k ) 3 3（3）由系统函数的定义可得1 ? 4 z ?1 z z H ( z) ? ? ? ?5 ?6 ?1 ?2 F ( z ) 1 ? 3z ? 2 z z ?1 z?2 Y f ( z)取 z 反变换得系统单位冲激响应为h(k ) ? (?5 ? 6 ? 2k )? (k )（4）由式（1） 、 （2）可得系统的状态方程为?x1 (k ? 1) ? x2 (k ) ? ? x2 (k ? 1) ? ?2 x1 (k ) ? 3x2 (k ) ? f (k )即? x1 (k ? 1) ? ? 0 1? ? x1 (k ) ? ?0? ? x (k ? 1)? ? ?? 2 3? ? x (k )? ? ?1? f (k ) ?? 2 ? ? ? ? 2 ? ?由式（4）可得系统的输出方程为 y(k ) ? x2 (k ? 1) ? 4x2 (k ) ? ?2 x1 (k ) ? 7 x2 (k ) ? f (k )或? x (k ) ? y(k ) ? ?? 2 7?? 1 ? ? f (k ) ? x2 (k )?长沙理工大学拟题纸课程编号 8 拟题教研室（或老师）签名 教研室主任签名 符号说明： sgn(t ) 为符号函数， ? (t ) 为单位冲击信号， ? (k ) 为单位脉冲序列， ? (t ) 为单位阶跃信号， ? (k ) 为 单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1、奇异信号是指 2、线性时不变系统一般用 3、系统的零状态响应与 4、系统的单位冲激响应是指 5、周期信号的频谱特点是 的一类信号。数学表达式属于奇异函数； 数学模型来描述。线性微分方程或线性差分方程； 有关，而与 无关。外加输入信号；系统的初始状态；。输入为单位冲激信号时，系统的零状态响应； ，而非周期信号的频谱特点则是 。离散的；连续的； 。6、信号时域变化越快，其对应的频谱所含的高频分量（越少，越多） 越多7 、 已 知 一 连 续 时 间 LTI 系 统 的 单 位 冲 激 响 应 h(t ) ? ? (t ) ? ? (t ? 1) ， 其 系 统 单 位 阶 跃 响 应g (t ) =。g (t ) ? ? h(? )d? ? r (t ) ? r (t ? 1)??t，这里， r (t ) ? t? (t )8、已知某因果连续 LTI 系统 H ( s ) 全部极点均位于 s 左半平面，则2h(t ) t ?? 的值为 0。t) 0 均 匀 抽 样 ， 其 频 谱 不 混 叠 的 最 小 抽 样 角 频 率 为 9 、 对 信 号 Sa (1 0?s ? 2?m ? 400rad / s。?t ? f (t ? ? )d? , t ? 2 y (t ) ? ?? 2 ?0, t ? 2 ，单边拉氏变换 Y ( s) = ? 10、若 f (t ) ? F (s) ，则信号 二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）f (t ) 1-1 0 -1 1tY (s) ? ?F ( s) ?2 s e s1、信号 f (t ) 与 h(t ) 的波形如图 A-1 所示，试求此两信号的卷积 y(t ) ，并画出 y(t ) 的波形。2h (t )-10t 一、解1 1 1 f (t ) ? g1 (t ? ) ? g1 (t ? ) h(t ) ? 2 g1 (t ? ) 2 2 ， 2 ，因此，有 1、 因为 1 1 1 1 y (t ) ? f (t ) * h(t ) ? 2[ g1 (t ? ) * g1 (t ? ) ? g1 (t ? ) * g1 (t ? )] 2 2 2 2又因为1 1 1 1 g1 (t ) * g1 (t ) ? [? (t ? ) ? ? (t ? )] *[? (t ? ) ? ? (t ? )] 2 2 2 2 1 1 ( ?1) 1 1 ? [? (t ? ) ? ? (t ? )] *[? (t ? ) ? ? (t ? )] ' 2 2 2 2 1 1 1 1 ? [r (t ? ) ? r (t ? )] * [? (t ? ) ? ? (t ? )] 2 2 2 2 ? r (t ? 1) ? 2r (t ) ? r (t ? 1)由卷积的时移性质，可得1 1 1 1 y (t ) ? f (t ) * h(t ) ? 2[ g1 (t ? ) * g1 (t ? ) ? g1 (t ? ) * g1 (t ? )] 2 2 2 2 ? 2? [ g1 (t ) * g1 (t )]t ?t ?1 ? [ g1 (t ) * g1 (t )]t ?t ? ? 2[r (t ? 2) ? 2r (t ? 1) ? r (t ) ? r (t ? 1) ? 2r (t ) ? r (t ? 1) ? 2[r (t ? 2) ? 3r (t ? 1) ? 3r (t ) ? r (t ? 1)] ? 2[(t ? 2)? (t ? 2) ? 3(t ? 1)? (t ? 1) ? 3t? (t ) ? (t ? 1)? (t ? 1)]t ? ?2 或 t ? 1 ? 0, ? 2t ? 4, ? 2 ? t ? ?1 ? ?? ?1 ? t ? 0 ?? 4t ? 2, ? 0 ? t ?1 ? 2t ? 2, y(t ) 的波形如图 A-8 所示。y (t )2?2?101t?2图 A-8 图 A-1 2、若 f (t ) 的波形如图 A-2 所示，试画出 f (t ) 和 f (?0.5t ? 1) 的波形。'2 -2 -2 0 2 4t图 A-2 2． f ?(t ) 的波形如图 A-9 所示； f (?0.5t ? 1) 的波形通过翻转、展缩和平移得到，如图 A-10 所示。 f ?(t )1?204t(?4)图 A-9f (?t )2?4 ?2f (?0.5t )20?22t?8?40?24tf (?0.5t ? 1)2? 10 ? 8?6?4?20?22t图 A-10 3、已知 f (t ) 通过一 LTI 系统的响应为 y(t ) ，试用时域方法求 g (t ) 通过该系统的响应 z (t ) ，并画出 z (t ) 的 波形。 f (t ) ， y(t ) ， g (t ) 的波形如图 A-3 所示。f (t ) 1-1 0 -1 1ty (t )10134tg (t ) 1-1 0 1t(?2)图 A-3 3．设系统的单位冲激响应为 h(t ) ，则有 y(t ) ? f (t ) * h(t ) 。由卷积的积分性质，有y ( ?1) (t ) ? f (t ) * h( ?1) (t ) 又因为 g ?(t ) ? f (t ) ，而 z (t ) ? g (t ) * h(t ) ，由卷积的微积分性质，有 z(t ) ? g ?(t ) * h( ?1) (t ) ? f (t ) * h( ?1) (t ) ? y ( ?1) (t ) 由于 y(t ) ? ? (t ? 1) ? ? (t ? 3) ? 2? (t ? 4) ，所以，有 z(t ) ? y ( ?1) (t ) ? r (t ?1) ? r (t ? 3) ? 2? (t ? 4) ? (t ?1)? (t ?1) ? (t ? 3)? (t ? 3) ? 2? (t ? 4) ? 0, t ? 1or t ? 4 ? ? ?t ? 1 1? t ? 3 ? 2 3?t ? 4 ?z (t ) 的波形如图 A-11 所示。 z (t )202图 A-114t4、试求图 A-4 所示信号的频谱 F ( j? ) 。1 -3 -2f (t )t23图 A-4(t ) 分别如图 A-12 所示。由图 A-12 可得 4． f (t ) ? 1 ? f1 (t ) ，其中， f1 (t ) 、 f1?(t ) 和 f1?? f1?? (t ) ? ?? (t ? 3) ? ? (t ? 2) ? ? (t ? 2) ? ? (t ? 3)f1 (t ) f1?(t ) f1?? (t )12 3(1)0?3 ?20t?3 ?22 3t?3?1?1?2 (?1)02(1) 3t(?1)图 A-12 设 f1 (t ) ? F1 ( j? ) ，由傅立叶变换的微分性质可得：( j?) 2 F1 ( j?) ? ?e j 3? ? e j 2? ? e? j 2? ? e ? j 3? ? 2[cos(2?) ? cos(3?)]因此有F1 ( j? ) ?即2[cos( 3? ) ? cos( 2? )]?2? ?4sin(5? / 2) sin(? / 2)?2? ?5Sa (5? ? ) Sa ( ) 2 2F ( j? ) ? 2?? (? ) ? 5Sa (5、如图 A-5 所示 RLC 电路，已知：5? ? ) Sa ( ) 2 2iL (0? ) ? 1A, uc (0? ) ? 1V , R ? 1.5?, L ? 0.5H , C ? 1F ，试求：（1）系统传输函数 H ( s ) 和系统单位冲激响应 h(t ) ，并判断系统的稳定性； （2）当 f (t ) ? 2? (t ) 时，电阻两端的电压 y (t ) ? ？图 A-5 5．解： （1）由 RLC 电路的零状态 S 域模型可得：系统传输函数为：H ( j? ) ?3s s ? 3s ? 2 ；2 系统单位冲激响应为： h(t ) ? 3(2e?2t? e ?t )? (t )由于极点－1 和－2 全在 S 域的左半平面，因此，该系统是稳定系统； （2）由 RLC 电路的全响应 S 域模型可得：Y ( s) ?y (t ) ? 3 ?t e ? (t ) 23( s ? 2) 3 ? 2 2( s ? 3s ? 2) 2( s ? 1)因而有：三、综合计算题（共 20 分，每小题 10 分）1、如图 A-6 所示，已知某连续系统，其中系统的单位冲激响应为：sin 2 (?t ) h1 (t ) ? ?t 2 ， h2 (t ) ? ?? (t )（1）求 f (t ) ? y (t ) 的系统单位冲激响应 h(t ) 和频率响应 H ( j? ) ，并画出 H ( j? ) 的图形；1 2 ? 1 f (t ) ? ? ? sin ?(2n ? 1)?t ? 2 ? 2 n ? 1 n ? 1 （2）判定该系统有何种滤波波作用； （3）当 时，求系统的输出 y(t ) 。图 A-6 1．解：2 （1）由图知， h(t ) ? h2 (t ) ? h1 (t ) ? ?? (t ) ? ?Sa (?t ) 。因为：g? (t ) ? ?Sa (??) 2 ，根据傅立叶变换的对称性，有：t? ?Sa ( ) ? 2?g? (?? ) ? 2?g? (? ) 2。令 ? ? 2? ，得2?Sa(?t ) ? 2?g 2? (?) ， 即 ： Sa(?t ) ? g 2? (?) 。 根 据 傅 立 叶 变 换 的 频 域 卷 积 性 质 有 ：Sa 2 (?t ) ? 1 g 2? (? ) * g 2? (? ) 2? ，即?Sa 2 (?t ) ?1 1 g 2? (? ) * g 2? (? ) ? [? (? ? ? ) ? ? (? ? ? )] *[? (? ? ? ) ? ? (? ? ? )] 2 2 1 ? [? (? ? ? ) ? ? (? ? ? )] ( ?1) *[? (? ? ? ) ? ? (? ? ? )]? 2 1 ? [(? ? ? )? (? ? ? ) ? (? ? ? )? (? ? ? )] *[? (? ? ? ) ? ? (? ? ? )] 2 1 ? [(? ? 2? )? (? ? 2? ) ? 2?? (? ) ? (? ? 2? )? (? ? 2? )] 2 1 H ( j? ) ? ? ? [(? ? 2? )? (? ? 2? ) ? 2?? (? ) ? (? ? 2? )? (? ? 2? )] 2 因此，? ? ? 2? ? ?, ? 1 ? ? ?? ? , ? 2? ? ? ? 0 ? 2 ? 1 ?, 0 ? ? ? 2? ? ? 2其频率响应如图 A-3 所示：图 A-3 （2）由上图可知，该系统具有高通滤波作用。 （3） y(t ) ? f (t ) * h(t ) ? f (t ) *[?? (t ) ? ?Sa (?t )] ? ?f (t ) ? ?f (t ) * Sa (?t )2 2而f (t ) * Sa 2 (?t ) ? F ( j? )1 [(? ? 2? )? (? ? 2? ) ? 2?? (? ) ? (? ? 2? )? (? ? 2? )] 2? ，所以有：1 F ( j? )[( ? ? 2? )? (? ? 2? ) ? 2?? (? ) ? (? ? 2? )? (? ? 2? )] 2?f (t ) * Sa 2 (?t ) ?又因为F ( j? ) ? ?? (? ) ? 2 j ?所以：1 {? [? ? (2n ? 1)? ] ? ? [? ? (2n ? 1)? ] n ?1 2n ? 1?1 F ( j? )[( ? ? 2? )? (? ? 2? ) ? 2?? (? ) ? (? ? 2? )? (? ? 2? )] 2 1 ? F ( j? )[( ? ? 2? )? (? ? 2? ) ? 2?? (? ) ? (? ? 2? )? (? ? 2? )] 2? ? 2? ?? ? ? j? [? (? ? ? ) ? ? (? ? ? )]??f (t ) * Sa 2 (?t ) ??2?1 ? j?t 1 j?t ? je ? je ? ? sin ?t 2 2 2 ，从而得：2y(t ) ? ?f (t ) ? ?f (t ) * Sa (?t )? 2? 1 sin[(2n ? 1)?t ] ? sin ?t n ?1 2n ? 1 。???2? 2?1 ? sin[(2n ? 1)?t ] ? ? sin ?t 2 n ?1 2n ? 1?2、 离散时间系统如图 A-7 所示，已知 y(?1) ? y (?2) ? 1 ， f (n) ??1 ?n 3 ? (n) ，试求：（1）写出描述该系统的差分方程； （2）设该系统为因果系统，求系统函数 H ( z ) 和单位脉冲响应 h(n) ； （3）求系统零状态响应 y f (n) 、零输入响应 y x (n) 和全响应 y (n) ； （4）在 Z 平面上画出 H ( z ) 的零极点分 布图，并判断系统的稳定性； （5）设信号的采样周期 Ts ? 1 秒，请画出系统的幅频响应特性图。图 A-7 2．解： （1）系统的差分方程为：y ( n) ?对差分方程取单边 Z 变换，得1 1 y (n ? 1) ? y (n ? 2) ? f (n) 4 81 1 Y ( z ) ? [ z ?1Y ( z ) ? y (?1)] ? [ z ?2Y ( z ) ? z ?1 y (?1) ? y (?2)] ? F ( z ) 4 8整理得：其中：1 1 1 y (?1) ? z ?1 y (?1) ? y (?2) F ( z) 8 8 Y ( z) ? 4 ? ? Yx ( z ) ? Y f ( z ) 1 ?1 1 ?2 1 ?1 1 ?2 1? z ? z 1? z ? z 4 8 4 81 1 1 3 1 y (?1) ? z ?1 y (?1) ? y (?2) z( z ? ) 8 8 8 8 ? 5 z ? 1 z Yx ( z ) ? 4 ? 1 1 1 1 12 1 24 1 1 ? z ?1 ? z ?2 z2 ? z ? z? z? 4 8 4 8 2 4 2 1 z Y f ( z) ? F ( z) ? F ( z) 1 1 1 1 1 ? z ?1 ? z ?2 ( z ? )(z ? ) 4 8 2 8（2）系统传输函数为：H ( z) ?Y f ( z) F ( z)?z2 2 z 1 z ? ? , 1 1 1 ( z ? 2 )(z ? 4 ) 3 z ? 2 3 z ? 1 4h( n) ?z?1 2系统单位脉冲响应为：2 1 n 1 1 ( ) ? ( n) ? ( ? ) n ? ( n) 3 2 3 4（3）系统零输入响应为：5 1 1 1 y x (n) ? [ ( ) n ? (? ) n ]? (n) 12 2 24 4系统零状态响应为：1 8 1 1 1 y f (n) ? [2( ) n ? ( ) n ? (? ) n ]? (n) 2 7 3 7 4系统全响应为：y ( n) ? y x ( n) ? y f ( n) ? [29 1 n 8 1 n 17 1 ( ) ? ( ) ? (? ) n ]? (n) 12 2 7 3 168 4（4） H ( z ) 的零极点分布如图 A-14 所示，由于极点全部在单位圆之内，所以系统是稳定的。 图 A-14图 A-15H (e j? ) ?系统幅频特性为：ej?1 ? ? e j? ? 1 41 2，其幅频特性如图 A-15 所示。长沙理工大学拟题纸（9）一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1、某连续时间系统ty(t ) ? T [ f (t )] ? ? ?f (? )d???其中 f (t ) 为输入信号，试问该系统为 时不变、因果、稳定性） 。该系统为线性、因果、时变、不稳定系统系统（线性、2、连续时间无失真传输系统的传输函数 H ( j? ) 具有 线 特点。其幅频特性为常数，相频特性为过原点的一条直3、已知某离散时间系统的输入 f ( n) 和输出 y (n) 由下面的差分方城描述y ( n) ?试问该系统具有3 y (n ? 1) ? f (n) 4高通 滤波特性（低通、高通、带通或全通） 。h(t ) ?4、已知某系统单位冲激响应为：sin 100?t ?t ，系统的频率响应 H ( j? ) 为。?1, ? ? 100 ? H ( j?) ? g 200? (?) ? ? other ?0,5、若离散时间系统的单位脉冲响应为 h(k ) ? {1,?1,2} ，则系统在 f (k ) ? {1, 2,?2,1} 激励下的零状态响应 为 。? ?? ? ? f (k ) * h(k ) ? ?1,1,2,7,?5,2? ? ?6、已 知 一 连 续 时 间 LTI 系 统 的 单 位 冲 激 响 应 h(t ) ? ? (t ) ? ? (t ? 1) ， 其 系 统 单 位 阶 跃 响 应g (t ) =。g (t ) ? ? h(? )d? ? r (t ) ? r (t ? 1)??t，这里， r (t ) ? t? (t )?t ? f (t ? ? )d? , t ? 2 y (t ) ? ?? 2 F ( s) ?2 s Y (s) ? ? e ?0, t ? 2， s ? 7、 若 f (t ) ? F (s) ， 则信号 单边拉氏变换 Y ( s) = 。 2 ? j? F ( j? ) ? 2 ?2t 100 ? 4 ? ? 2 ? j 4? 100t )? (t ) 的频谱 F ( j? ) = 8、信号 f (t ) ? e cos( 9、连续系统与离散系统的重要区别特点是。离散系统的频谱具有周期性 越窄 。10、单位门信号 g? (t ) 的频谱宽度一般与其门信号的宽度 ? 有关， ? 越大，则频谱宽度二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）1、已知两个周期矩形脉冲信号 f 1 (t ) 和 f 2 (t ) ： （1）若 f 1 (t ) 的矩形宽度 ? ? 1?s ，周期 T ? 2?s ，幅度 E ? 1V ，试问该信号的谱线间隔是多少？带宽是 多少？ （2）若 f 2 (t ) 的矩形宽度 ? ? 2?s ，周期 T ? 4?s ，幅度 E ? 3V ，试问该信号的谱线间隔是多少？带宽是 多少？ （3） f 1 (t ) 和 f 2 (t ) 的基波幅度之比是多少？ 、解：因为Fn ?1 T /2 1 ? /2 E? ? ?0? ? f (t )e ? jn?0t dt ? ? Ee? jn?0t dt ? Sa? n ? ? T ?T / 2 T ?? / 2 T ? 2 ?6（1） 相邻谱线间隔为： ?0 ? 10 带宽为：? (rad / s) 或 f 0 ? 500kHz ；或B?2??? 2? ?10 6 (rad / s )B?1?? 1000 kHz；基波幅度为：F1 ?1 ? 1 Sa ( ) ? 2 2 ?5（2） 邻谱线间隔为： ?0 ? 5 ?10 带宽为：? (rad / s) 或 f 0 ? 250kHz ；B? 1B?2??? 10 6 ? (rad / s )或?? 500 kHz；基波幅度为： 基波幅度之比为 1：3。F1 ?3 ? 3 Sa ( ) ? 2 2 ?；2、若 f (t ) 的波形如图 A-1 所示，试画出 f (t ) 和 f (?0.5t ? 1) 的波形。'2 -2 -2 0 2 4t图 A-1 2、 f ?(t ) 的波形如图 A-6 所示； f (?0.5t ? 1) 的波形通过翻转、展缩和平移得到，如图 A-7 所示。f ?(t )1?204t(?4)图 A-6 f (?t )2?4 ?2f (?0.5t )20?22t?8?40?24tf (?0.5t ? 1)2? 10 ? 8?6?4?20?22t图 A-7 3、 已知一 LTI 离散时间因果系统的零极点分布如图 A-2 所示， 图中 ? 表示极点， 0 表示零点， 且 H (?) ? 4 ， 试求该系统的单位脉冲响应 h[k ] ，并判断系统是否稳定。Im( z )? -3-2? -1图 A-20Re( z )3、由题意可知，系统函数为H ( z) ?因为 H (?) ? 4 ，所以 k ? 4 ，因此，有kz( z ? 2) ( z ? 1)(z ? 3)H ( z) ?4 z ( z ? 2) z z z ?2 ?2 a k ? (k ) ? ( z ? 1)(z ? 3) z ?1 z ? 3 ，由 z?a 得h(k ) ? 2[(?1) k ? (?3) k ]? (k )由于系统的全部极点在单位圆以外，所以，系统不是稳定的。 4、某连续 LTI 时间系统得频率响应 H ( j? ) 如图 A-3 所示，试求： H ( j? ) 1-4 -2 0 2 4?图 A-3 （1）系统的单位冲激响应 h(t ) ； （2）输入 f (t ) ? 1 ? 0.6 cost ? 0.4 cos3t ? 0.2 cos5t ,?? ? t ? ? ，系统的输出 y(t ) 。 4、 （1）因为1 H ?( j? ) ? ? [ g 2 (? ? 3) ? g 2 (? ? 3)] ? [? (? ? 2) ? ? (? ? 2)] 21又因为 ?Sa (t ) ? g 2 (? )，由调制定理，可得1?Sa(t ) sin(3t ) ?1 [ g 2 (? ? 3) ? g 2 (? ? 3)] 2j 即1 Sa (t ) sin( 3t ) ? ? [ g 2 (? ? 3) ? g 2 (? ? 3)] ? 2 由于 sin(2t ) ? ? j? [? (? ? 2) ? ? (? ? 2)]，即 ?jj1由频域微分性质，可知： ? jth(t ) ? H ?( j? ) ，所以有?sin( 2t ) ? ? (? ? 2) ? ? (? ? 2)j ? jth(t ) ? ? [ Sa (t ) sin(3t ) ? sin( 2t )]?，整理得1 3 2 h(t ) ? [ Sa (t ) sin(3t ) ? sin( 2t )] ? Sa (t ) Sa (3t ) ? Sa (2t ) ?t ? ? （2）由于 H ( j? ) 是一个带通滤波器，下限角频率为 2rad/s，上限角频率为 4rad/s，因此，只有角频率为 3rad/s的信号分量可以通过该滤波器。 由 cos(?0t ) ? H ( j?0 ) cos[?0t ? ? (?0 )]可知0.4 cos(3t ) ? 0.4 H ( j3) cos[3t ? ?(3)]由于 H ( j3) ? 0.5 ， ? (3) ? 0 ，所以有： 0.4 cos(3t ) ? 0.2 cos(3t ) ，即f (t ) ? 1 ? 0.6 cost ? 0.4 cos3t ? 0.2 cos5t ? y(t ) ? 0.2 cos(3t )5、如图 A-4 所示 RLC 电路，已知：iL (0? ) ? 1A, uc (0? ) ? 1V , R ? 1.5?, L ? 0.5H , C ? 1F ，试求：（1）系统传输函数 H ( s ) 和系统单位冲激响应 h(t ) ，并判断系统的稳定性； （2）当 f (t ) ? 2? (t ) 时，电阻两端的电压 y (t ) ? ？ 5、解： （1）由 RLC 电路的零状态 S 域模型可得： 系统传输函数为：H ( j? ) ?3s s ? 3s ? 2 ；2系统单位冲激响应为： h(t ) ? 3(2e ? e )? (t ) 由于极点－1 和－2 全在 S 域的左半平面，因此，该系统是稳定系统； （2）由 RLC 电路的全响应 S 域模型可得：?2t ?tY ( s) ?y (t ) ? 3 ?t e ? (t ) 23( s ? 2) 3 ? 2 2( s ? 3s ? 2) 2( s ? 1)因而有：三、综合计算题（共 20 分，每小题 10 分）1 、 一 线 性 时 不 变 离 散 时 间 因 果 系 统 的 直 接 型 模 拟 框 图 如 图 A-5 所 示 ， 输 入 已 知f (k ) ? 4k ? (k ), y(?1) ? ?1, y(?2) ? 2 ，由 Z 域求解： 4F ( z)-?+z ?1x2 [k ]z ?1x1 [k ]?Y ( z)3 2图 A-5 （1）描述系统的差分方程（2）零输入响应 y x (k ) ，零状态响应 y f (k ) ，完全响应 y (k ) ； （3）系统函数 H ( z ) ，单位脉冲响应 h(k ) ； （4）系统的状态方程和输出方程。 1、 （1）输入端求和器的输出为zX 2 ( z) ? F ( z) ? 3 X 2 ( z) ? 2 X 1 ( z)X 1 ( z) ? z X 2 ( z)式（2）代入式（1）得?1(1) (2)X 2 ( z) ?输出端求和器的输出为1 F ( z) z ? 3 ? 2 z ?1 z?4 F ( z) z ? 3 ? 2 z ?1(3)Y ( z ) ? ( z ? 4) X 2 ( z ) ?即(4)( z ? 3 ? 2z ?1 )Y ( z) ? ( z ? 4) F ( z)或(1 ? 3z ?1 ? 2z ?2 )Y ( z) ? (1 ? 4z ?1 ) F ( z)因此系统的差分方程为y(k ) ? 3 y(k ? 1) ? 2 y(k ? 2) ? f (k ) ? 4 f (k ? 1)（2）对上述差分方程取单边 z 变换得Y ( z) ? 3[ z ?1Y ( z) ? y(?1)] ? 2[ z ?2Y ( z) ? z ?1 y(?1) ? y(?2)] ? (1 ? 4z ?1 ) F ( z)整理得Y ( z) ?因此3 y(?1) ? 2 z ?1 y(?1) ? 2 y(?2) 1 ? 4 z ?1 ? F ( z ) ? Yx ( z ) ? Y f ( z ) 1 ? 3z ?1 ? 2 z ?2 1 ? 3z ?1 ? 2 z ?23 y (?1) ? 2 z ?1 y (?1) ? 2 y (?2) 2 z ?1 ? 7 5z 12z Yx ( z ) ? ? ? ? ?1 ?2 ?1 ?2 z ?1 z ? 2 1 ? 3z ? 2 z 1 ? 3z ? 2 z取 z 反变换得yx (k ) ? (5 ?12? 2k )? (k )因为f (k ) ? 4 k ? (k ) ?z z ? 4 ，所以Y f ( z) ?取 z 反变换得1 ? 4 z ?1 5 z z 52 z F ( z) ? ? ? 12 ? ?1 ?2 3 z ?1 z?2 3 z?4 1 ? 3z ? 2 z5 52 y f (k ) ? (? ? 12 ? 2 k ? ? 4 k )? (k ) 3 3全响应为10 52 y (k ) ? ( ? ? 4 k )? (k ) 3 3（3）由系统函数的定义可得 H ( z) ?取 z 反变换得系统单位冲激响应为Y f ( z) F ( z)?1 ? 4 z ?1 z z ? ?5 ?6 ?1 ?2 z ?1 z?2 1 ? 3z ? 2 zh(k ) ? (?5 ? 6 ? 2k )? (k )（4）由式（1） 、 （2）可得系统的状态方程为?x1 (k ? 1) ? x2 (k ) ? ? x2 (k ? 1) ? ?2 x1 (k ) ? 3x2 (k ) ? f (k )即? x1 (k ? 1) ? ? 0 1? ? x1 (k ) ? ?0? ? x (k ? 1)? ? ?? 2 3? ? x (k )? ? ?1? f (k ) ?? 2 ? ? ? ? 2 ? ?由式（4）可得系统的输出方程为y(k ) ? x2 (k ? 1) ? 4x2 (k ) ? ?2 x1 (k ) ? 7 x2 (k ) ? f (k )或? x (k ) ? y(k ) ? ?? 2 7?? 1 ? ? f (k ) ? x2 (k )?2、连续时间线性时不变（LTI）系统的微分器的系统函数为：H c ( s) ? s若设：(1)2 1 ? z ?1 s? Ts 1 ? z ?1(2)则用（2）式代替（1）式中的 s 来设计离散时间 LTI 系统的方法称之为双线性变换法。Ts 是在设计过程中须确定 的一个大于零的数。 A、试画出离散系统的框图。B、确定离散时间系统的频率响应 H d (e 2、解： A、令 H d ( z ) 为离散系统的系统函数，则由题中给出的公式（1）和（2）得：j?) ，画出它的幅度及相位响应。2 1 ? z ?1 2? 1 ? H d ( z) ? ? ? (1 ? z ?1 ) ?1 ?1 ? TS 1 ? z TS ? 1 ? z ?因此可知该系统可由两个子系统级联构成，如图 A-8（a）所示：X ( z)??????2 TsY ( z)z?1z?1（a） 可简化为图 A-8（b） ： X ( z)??????2 TsY ( z)z ?1（b） 图 A-8 B、由系统函数可得该系统的频率响应 H d (e ) ? H d ( z) z?e j? 为j?? ? ? ? ?j j ?j sin( ) ? ? j? 2 2 2 2 1 ? e 2 e ( e ? e ) 2 2 ? 2 tan(? )e j 2 H d (e j? ) ? ? ? j ? ? ? j ?j TS 1 ? e ? j? TS ? j ? TS TS 2 2 2 cos( ) e (e ? e 2 ) 2 2 ? ? H d (e j? ) ? j tan ? j TS 2 TS 注意 ? ?? 1 ：时，有：幅频特性和相频特性如图 A-9（a） 、 （b）所示。? (?)? /2??（a） 图 A-9 （b）0??长沙理工大学拟题纸课程编号 10 拟题教研室（或老师）签名 教研室主任签名 符号说明： sgn(t ) 为符号函数， ? (t ) 为单位冲击信号， ? (k ) 为单位脉冲序列， ? (t ) 为单位阶跃信号， ? (k ) 为 单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）2 1. 矩形脉冲波形（高度为 A,宽度为 b）的信号能量为_____________。 E ? A b2. 序列 x?k ? 的自相关 rxx (k ) 是一个偶对称函数，它满足关系式_____________。 rxx (k ) ? rxx (0) 3. 线性时不变连续稳定的因果系统，其传输函数 H ( s ) 的极点位于_____全部位于左半开复平面 ______。 4. 某线性时不变系统的单位冲激响应若为 h(t ) ? e 统。 （几阶系统）?t? (t ) ? t ? cos(2t ) ? ? (t ) ，则系统是___五阶________系 F ( j? ) ?5.3 (5 ? j? ) 2 ? 9 的傅立叶反变换 f (t ) 为____ e ?5t sin(3t ) ? ? (t ) _________。6. 已知周期信号 f (t ) 的第三次谐波的幅度等于 3， 则信号 f (2t ) 的第三次谐波的幅度等于___3__________。 7. 令 x(k ) ? 2 ， y(k ) ? ? (k ? 3) ，如果 z (k ) ? x(k ) y (k ) ，试求其和k? z(k) ? __8______。8. 卷积 ? (t ) * e?t? (t ) ? _____ (1 ? e ?t )? (t ) _______。2a 2 ，a&0 的傅立叶变换为______ a ? ? ；_____。29. 信号 x(n) ? e 10. 已知?a tX ( z) ?1 1 ? az ?1 ， z ? a ，则 x(k ) ?。 x(k ) ? ak? (k )二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）1．某理想低通滤波器，其频率响应为?1, ? ? 100 H ( j? ) ? ? ?0, ? ? 100当基波周期为T??6 ，其傅里叶级数系数为 an 的信号 f (t ) 输入到滤波器时，滤波器的输出为 y(t ) ，且y(t ) ? f (t ) 。问对于什么样的 n 值，才保证 an ? 0 ？2? ? T 12 rad / s 。信号 f (t ) 通过理想低通滤波器后，输出是其本身， 1、解：信号 f (t ) 的基波角频率为： 这意味着信号 f (t ) 所有频率分量均在低通滤波器的通带内。由于周期信号 f (t ) 含有丰富的高次谐波分量，只有?0 ?当高次谐波分量的幅度非常小时，对 f (t ) 的贡献才忽略不计。由 y(t ) ? f (t ) 可知，凡是频率大于 100 rad / s 的 高次谱波分量， 其幅度均为 0 ， 即 n?0 ? 100 ， 从而有 12 n ? 100 ， 即n ? 8， 因此，8 次以上谐波的幅度 an ? 0 。?1 ? cost , t ? ? f (t ) ? ? ,t ?? ? 0 2．己知信号 ，求该号的傅里叶变换。?1 ? cost , t ? ? f (t ) ? ? ? (1 ? cost ) g 2? (t ) 0 , t ? ? ? 2、解：因为 ，根据频域卷积性质，有 1 F ( j? ) ? FT [(1 ? cos t )] * FT [ g 2? (t )] 2? 1 [2?? (? ) ? ?? (? ? 1) ? ?? (? ? 1)] * 2?Sa (??) = 2?? 2?Sa(??) ? ?Sa[? (? ? 1)] ? ?Sa[? (? ? 1)]? ?[2s i n ?????sin ?? sin ?? ? ] ? (? ? 1) ? (? ? 1) ?2s i n ????sin ?? s i n ?? 2s i n ?? ? ?? 2 ? ?1 ? ? 1 ? (? ? 1)3. 已知周期信号 f (t ) 的波形如图 A-1 所示，将 f (t ) 通过截止频率为 ?c ? 2? rad / s 的理想低通滤波器后， 输出中含有哪些频率成分？并说明具体的理由。图 A-1 3、解：由于周期信号的频谱为：F ? j? ? ? 2?n ???? F ? (? ? n? )n 0?由图 A-2 可知，周期为 T ? 4 s ，基波频率为：?0 ?2? ? ? rad / s T 2 ，傅立叶级数系数为：Fn ?1 2 1 2 1 ?1 f (t )e ? jn?0t dt ? [ ? (?1) ? e ? jn?0t dt ? ? 1? e ? jn?0t dt ? ? (?1)e ? jn?0t dt ? ? 2 ? 2 ? 1 1 4 4 ?1 1 2 s i nn(?0 ) s i n2(n?0 ) 1 ? [e ? jn?0t ? e ? jn?0t ? e ? jn?0t ] ? ? ?2 ?1 1 j 4n?0 n?0 2n?00, n ? 2k , k ? 0,?1,?2? ? s i n?( n / 2) s i n?( n) s i n?( n / 2) ? k ? ? ? ? ? (?1) , n ? 2k ? 1, k ? 0,?1,?2,? n? / 2 n? n? / 2 ? ? (k ? 1/ 2)?因此，频谱 F ? j? ? 只含有奇次谱波，即 ? ? 0 , ? 3?0 , ? 5?0 , …… 。将 f (t ) 通过截止频率 ?c ? 2? rad / s 的 低通滤波器后，凡高于 2? 的频率都会被滤掉，即 n?0 ? 2? ，从而有 n ? 4 ，且为奇数，因而只能有 n ? 1 和 3 ，即输出只有基波?0 ??2 rad / s 和 3 次谐波3? 0 ?3 ? 2 rad / s 的频率成份。4．已知某系统： y(n) ? nf (n) 试判断其线性，时不变性，因果性，稳定性，和记忆性等特性，并说明理由。 }
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资料评价：如何消除交流信号中的直流分量（在做运放时直流分量也被放大，结果使信号在y轴有个偏移），不能有较大失真_百度知道
如何消除交流信号中的直流分量（在做运放时直流分量也被放大，结果使信号在y轴有个偏移），不能有较大失真
我有更好的答案
串接一个隔直流电容呀。
额，试过了，容抗使信号失真较为严重，还有什么方法隔直吗？
是你的时间常数选得不对，因为工程上都是这样做的。另一种隔直流方法是变压器，波形失真更大。
采纳率：73%
用差分放大器，减去直流信号。
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信号与系统考试试题及答案
长沙理工大学拟题纸课程编号 1 拟题教研室（或老师）签名 教研室主任签名 符号说明： sgn(t ) 为符号函数， ? (t ) 为单位冲击信号， ? (k ) 为单位脉冲序列， ? (t ) 为单位阶跃信号， ? (k ) 为 单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1. 已知 f (t ) ? (t ? 4)? (t ) ，求 f & (t ) ? _______ 。 f &(t )2? (t ) ? 4? ' (t )22. 已知 f (k ) ? {1,2,?2,1}, h(k ) ? {3,4,2,4} ，求 f (k ) ? h(k ) ? ______。 f (k ) ? h(k ) ? {3,10,4,3,8,?6,4} 3. 信号通过系统不失真的条件为系统函数 H ( j? ) ? _______。 H ( j?) ? Ke? j?t0? 4? t Tmax ? ? f( ) ? max ? m 4 取样的最大间隔是 ______ 。 4. 若 f (t ) 最高角频率为 ? m ，则对5. 信号 f (t ) ? 4 cos20?t ? 2 cos30?t 的平均功率为 ______ 。P?n ? ???F?2n? 2 2 ? 2 2 ? 1 ? 1 ? 106. 已知一系统的输入输出关系为 y(t ) ? f (3t ) ，试判断该系统是否为线性时不变系统 _ _ _ _ _。故系统为线性时变系统。 _F ( s) ?7. 已知信号的拉式变换为1 ( s ? 1)(s ? 1) ，求该信号的傅立叶变换 F ( j? ) = ______ 。故傅立叶变换2F ( j? ) 不存在。8. 已知一离散时间系统的系统函数H ( z) ?1 2 ? z ? z ?2 ，判断该系统是否稳定 ______ 。故系统不稳定。?1(t 2 ? 2t )? (?t ? 1)dt ? ______ 9. 。3 ? j 3? , A(?) 是一实偶函数，试问 f (t ) 有何种对称性 ______ 。关 10. 已知一信号频谱可写为 F ( j?) ? A(?)e????于 t=3 的偶对称的实信号。二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）1. 已知连续时间系统的单位冲激响应 h(t ) 与激励信号 f (t ) 的波形如图 A-1 所示，试由时域求解该系 统的零状态响应 y(t ) ，画出 y(t ) 的波形。图 A-1 1. 系统的零状态响应 y(t ) ? f (t ) ? h(t ) ，其波形如图 A-7 所示。 6 4 2 0h(t )12图 A-734t2. 在图 A-2 所示的系统中，已知 h1 (k ) ? ? (k ? 2), h2 (k ) ? (0.5)f (k )h1 (k )k? (k ) ，求该系统的单位脉冲响应 h(k ) 。?y (k )h2 (k )图 A-2 2. h(k ) ? ? (k ) ? h1 (k ) ? h2 (k ) ? ? (k ) ? ? (k ? 2) ? (0.5)k? [k ] ? ? (k ) ? (0.5) k ?2 ? (k ? 2)3. 周期信号 f (t ) 的双边频谱如图 A-3 所示，写出 f (t ) 的三阶函数表示式。Fn? ? ? -3 ?2 ? ? ? 3-2-1012n图 A-3 3. 写出周期信号 f (t ) 指数形式的傅立叶级数，利用欧拉公式即可求出其三阶函数表示式为f (t ) ?4. 已知信号 f (t ) ? ? (t ) ? ? (t ? 1) 通过一线性时不变系统的响应 y(t ) 如图 A-4 所示， 试求单位阶跃信号 ? (t ) 通过该系统的响应并画出其波形。n ????F en?jn?0t? e ? j 2?0t ? 2e ? j?0t ? 2 ? 2e j?0t ? e j 2?0t ? 2 ? 4 cos?0t ? 2 cos2?0ty (t )202图 A-4?t4. 因为? (t ) ? f (t ) ? f (t ? 1) ? ? ? f (t ? i) ? ? ? ? f (t ? i)i ?0故利用线性时不变特性可求出 ? (t ) 通过该系统的响应为T {? (t )} ? ? y(t ? i)i ?0?波形如图 A-8 所示。 3 2 1T {? (t )}?t012345图 A-8 5. 已知 f (t ) 的频谱函数 F ( j?) ? Sgn(? ? 1) ? Sgn(? ? 1) ，试求 f (t ) 。? ? ?1 ?2, F ( j? ) ? Sgn(? ? 1) ? Sgn(? ? 1) ? ? ? 2 g 2 (? ) 0 , ? ? 1 ? ? 5. ，因为 g 2 (t ) ? 2Sa(?) ，由对称性可得： 2Sa(t ) ? 2?g 2 (??) ? 2?g 2 (?) ，因此，有f (t ) ? 2?Sa (t )三、综合计算题（共 20 分，每小题 10 分）1. 一线性时不变因果连续时间系统的微分方程描述为y&(t ) ? 7 y' (t ) ? 10y(t ) ? 2 f ' (t ) ? 3 f (t )已知 f (t ) ? e?t? (t ), y(0 ) ? 1, y' (0? ) ? 1, 由 s 域求解：?(1)零输入响应 y x (t ) ，零状态响应 y f (t ) ，完全响应 y(t ) ； (2)系统函数 H ( s ) ，单位冲激响应 h(t ) 并判断系统是否稳定； (3)画出系统的直接型模拟框图。解：1. (1)对微分方程两边做单边拉斯变换得s 2Y (s) ? sy(0? ) ? y' (0? ) ? 7sY (s) ? 7 y(0? ) ? 10Y (s) ? (2s ? 3) F (s)整理后可得sy (0 ? ) ? y ' (0 ? ) ? 7 y(0 ? ) 2s ? 3 Y ( s) ? ? 2 F ( s) 2 s ? 7 s ? 10 s ? 7 s ? 10零输入响应的 s 域表达式为Yx ( s ) ?进行拉斯反变换可得s ?8 2 ?1 ? ? s ? 7 s ? 10 s ? 2 s ? 52y x (t ) ? 2e ?2t ? e ?5t , t ? 0零状态响应的 s 域表达式为Y f ( s) ?进行拉斯反变换可得2s ? 3 2s ? 3 1 / 4 1 / 3 12 / 7 F ( s) ? 2 ? ? ? s ? 7s ? 10 (s ? 7s ? 10)(s ? 1) s ? 1 s ? 2 s ? 521 1 7 y f (t ) ? ( e ?t ? e ?2t ? e ?5t )? (t ) 4 3 12完全响应为y (t ) ? y x (t ) ? y f (t ) ?(2)根据系统函数的定义，可得1 ?t 1 ? 2t 19 ?5t e ? e ? e ,t ? 0 4 3 12 H ( s) ?进行拉斯反变换即得Y f ( s) F ( s)?2s ? 3 ? 1/ 3 7 / 3 ? ? s ? 7s ? 10 s ? 2 s ? 521 7 h(t ) ? (? e ? 2t ? e ?5t )? (t ) 3 3由于系统函数的极点为-2、-5，在左半 s 平面，故系统稳定。2s ?1 ? 3s ?2 H ( s) ? 1 ? 7 s ?110s ?2 由此可画出系统的直接型模拟框图，如图 A-9 所示 (3)将系统函数改写为2F (s)- -?s ?17 10s ?13?Y ( s)2. 一线性时不变因果离散时间系统的差分方程描述为y(k ) ? 3 y(k ?1) ? 2 y(k ? 2) ? f (k ) 已知 f (k ) ? ? (k ), y(?1) ? ?2, y(?2) ? 3, 由 z 域求解： (1)零输入响应 y x (k ) ，零状态响应 y f (k ) ，完全响应 y (k ) ；(2)系统函数 H ( z ) ，单位脉冲响应 h(k ) 。 (3) 若 f (k ) ? ? (k ) ? ? (k ? 5) ，重求（1） 、 （2） 。k ?02. (1)对差分方程两边进行 z 变换得Y ( z) ? 3{z ?1Y ( z) ? y(?1)} ? 2{z ?2Y ( z) ? z ?1 y(?1) ? y(?2)} ? F ( z)整理后可得Yx ( z ) ?? 3 y (?1) ? 2 z ?1 y (?1) ? 2 y(?2) 4 z ?2 4 4 ? ? ? ?1 ?2 ?1 ?2 ?1 1 ? 3z ? 2 z 1 ? 3z ? 2 z 1? z 1 ? 2 z ?1进行 z 变换可得系统零输入响应为yx (k ) ? [4(?1) k ? 4(?2) k ]? (k )零状态响应的 z 域表示式为Y f ( z) ?F ( z) 1 1 1/ 6 ? 1/ 2 4/3 ? ? ? ? ?1 ?2 ?1 ?2 ?1 ?1 ?1 1 ? 3z ? 3z 1 ? 3z ? 3z 1 ? z (1 ? z ) (1 ? z ) (1 ? 2 z ?1 )1 1 3 Y f [k ] ? [ ? (?1) k ? (?2) k ]? (k ) 6 2 4进行 z 反变换可得系统零状态响应为系统的完全响应为7 8 1 y (k ) ? y x (k ) ? y f (k ) ? [ (?1) k ? (?2) k ? ]? (k ) 2 3 6(2)根据系统函数的定义，可得H ( z) ?进行 z 反变换即得Y f ( z) F ( z)?1 ?1 2 ? ? ?2 ?1 1 ? 3z ? 2 z 1? z 1 ? 2 z ?1?1h(k ) ? [?(?1) k ? 2(?2) k ]? (k ) (3) 若 f (k ) ? ? (k ) ? ? (k ? 5) ， 则系统的零输入响应 y x (k ) 、 单位脉冲响应 h(k ) 和系统函数 H ( z ) 均不变， 根据时不变特性，可得系统零状态响应为T {? (k ) ? ? (k ? 5)} ? y f (k ) ? y f (k ? 5) 1 1 3 1 1 3 ? [ ? (?1) k ? (?2) k ]? (k ) ? [ ? (?1) k ?5 ? (?2) k ?5 ]? (k ? 5) 6 2 4 6 2 4完全响应为y (k ) ? y x (k ) ? T {? (k ) ? ? (k ? 5)} 1 7 8 1 1 3 ? [ ? (?1) k ? (?2) k ]? (k ) ? [ ? (?1) k ?5 ? (?2) k ?5 ]? (k ? 5) 6 2 3 6 2 4长沙理工大学拟题纸课程编号 2 拟题教研室（或老师）签名 教研室主任签名 符号说明： sgn(t ) 为符号函数， ? (t ) 为单位冲击信号， ? (k ) 为单位脉冲序列， ? (t ) 为单位阶跃信号， ? (k ) 为 单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）df (t ) ? 2 X (0) dt 1. 已知某系统的输入输出关系为 （其中 X(0)为系统初始状态， f (t ) 为外部激 ________ 励） ，试判断该系统是（线性、非线性） （时变、非时变） ________ 系统。线性时变 3 1 (2t 2 ? 3t )? ( t ? 2)dt ? _________ ? ?? 2 2. 。0 y (t ) ? t 2 f (t )3.????? (2t ? 2)? (4 ? 2t )dt ? _________? ? (2t ? 2)? (4 ? 2t )dt ? ? dt ? 1?? 1K ?0?24. f1 ( k ) ? 2 {? ( k ) ? ? ( k ? 3)}, f 2 ( k ) ? {2, 5 ,3}, 计算 f1 (k ) ? f 2 (k ) = ________ 。k?f1 (k ) ? f 2 (k ) ? {2, 9,21,26,12}5. 若信号 f (t ) 通过某线性时不变系统的零状态响应为?y f (t ) ? Kf (t ? t0 ),( K , t0为常数) 则该系统的频率特性 H ( j? ) = ________ ，单位冲激响应 h(t ) ? ________ 。 系统的频率特性 H ( j?) ? Ke? j?t0，单位冲激响应 h(t ) ? K? (t ? t 0 ) 。6. 若 f (t ) 的最高角频率为 f m ( Hz) ， 则对信号 y(t ) ? f (t ) f (2t ) 进行时域取样， 其频谱不混迭的最大取样间 隔 Tmax ? ________ 。 Tmax 为Tmax ?1 1 ? (s) 2 f max 6 f mF ( s) ?7. 已知信号的拉式变换为1 ( s ? 1)(s ? 1) ，求该信号的傅立叶变换 F ( j? ) = ______ 。不存在28. 已知一离散时间系统的系统函数 9.H ( z) ?1 2 ? z ? z ?2 ，判断该系统是否稳定 ______ 。不稳定?1????(t 2 ? 2t )? (?t ? 1)dt ? ______ 。3? j 3?10. 已知一信号频谱可写为 F ( j?) ? A(?)e, A(?) 是一实偶函数，试问 f (t ) 有何种对称性______ 。因此信号是关于 t=3 的偶对称的实信号。二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）1. 已知一连续时间系统的单位冲激响应 该系统的稳态响应。h(t ) ?1?Sa (3t )，输入信号 f (t ) ? 3 ? cos2t ,?? ? t ? ? 时，试求二、解：1. 系统的频响特性为?1 / 3, 1 H ( j? ) ? FT[h(t )] ? g 6 (? ) ? ? 3 ? 0,? ?3 ? ?3利用余弦信号作用在系统上，其零状态响应的特点，即T{cos(?0t ? ? )} ? H ( j?0 ) cos(?0t ? ? (?0 ) ? ? )可以求出信号 f (t ) ? 3 ? cos2t ,?? ? t ? ? ，作用在系统上的稳态响应为1 T { f (t )} ? 1 ? cos 2t ,?? ? t ? ? 32. 已知信号 f (2t ? 2) 如图 A-1 所示，试画出 f (4 ? 2t ) 波形。1 -2 -1 -1f (2t ? 2)01 2t图 A-1 2. f (2t ? 2) ? f (4 ? 2t ) ，根据信号变换前后的端点函数值不变的原理，有 f (2t1 ? 2) ? f (4 ? 2t11 ) f (2t 2 ? 2) ? f (4 ? 2t 22 ) 变换前信号的端点坐标为 t1 ? 2, t 2 ? ?2 ，利用上式可以计算出变换后信号的端点坐标为 由此可画出 f (4 ? 2t ) 波形，如图 A-8 所示。t11 ? (4 ? 2t1 ? 2) / 2 ? ?1, t 22 ? (4 ? 2t 2 ? 2) / 2 ? 31 -1f (4 ? 2t )3 t 0 -1 1 23. 已知信号 f (t ) 如图 A-2 所示，计算其频谱密度函数 F ( j? ) 。f (t )2 -2 0 2t图 A-2 3. 信号 f (t ) 可以分解为图 A-10 所示的两个信号 f 1 (t ) 与 f 2 (t ) 之和，其中f1 (t ) ? 2? (?t ? 2) ? 2? [?(t ? 2)] 。由于? (t ) ? ?? (? ) ?1 j?根据时域倒置定理： f (?t ) ? F (? j? ) 和时移性质，有F1 ( j? ) ? FT[? (?t ? 2)] ? 2?? (? ) ?故利用傅立叶变换的线性特性可得2e j 2? j? 2 F2 ( j?) ? FT[ f 2 (t )] ? 6Sa (?)F ( j? ) ? F1 ( j? ) ? F2 ( j? ) ? 2?? (? ) ?f1 (t ) 22e j 2? ? 6Sa2 (? ) j?f 2 (t ) 3t02?20t 2图 A-10 4. 某离散系统的单位脉冲响应 h(k ) ? [(?1) ? (?0.5) 4. 对单位脉冲响应进行 z 变换可得到系统函数为k ?1 k ?1]? (k ) ，求描述该系统的差分方程。由系统函数的定义可以得到差分方程的 z 域表示式为 进行 z 反变换即得差分方程为?1 ?2 ? 3 ? 2.5 z ?1 H ( z) ? ? ? 1 ? z ?1 1 ? 0.5 z ?1 1 ? 1.5 z ?1 ? 0.5 z ?2(1 ? 1.5z ?1 ? 0.5z ?2 )Y f ( z) ? (?3 ? 2.5z ?1 )F ( z)y(k ) ? 1.5 y(k ? 1) ? 0.5 y(k ? 2) ? ?3 f (k ) ? 2.5 f (k ? 1)5. 已知一离散时间系统的模拟框图如图 A-3 所示，写出该系统状态方程和输出方程。 ?-z ?1ax1 (k )?y1 (k )f (k )?-z ?1bx2 ( k )?y2 (k )图 A-3 5. 根据图 A-5 中标出的状态变量，围绕输入端的加法器可以列出状态方程为x1 (k ? 1) ? ?ax1 (k ) ? f (k ), x2 (k ? 1) ? ?bx2 (k ) ? f (k )围绕输出端的加法器可以列出输出方程为y1 (k ) ? x1 (k ) ? x2 (k ), y2 (k ) ? x1 (k ) ? x2 (k )写成矩阵形式为? x1 (k ? 1) ? ?? a 0 ? ? x1 (k ) ? ?1? ? x (k ? 1)? ? ? 0 ? b? ? x (k )? ? ?1? f (k ) ?? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? y1 (k ) ? ?1 1? ? x1 (k ) ? ? y (k )? ? ?1 1? ? ? x (k )? ? ? 2 ? ? 2 ? ?三、 综合计算题（共 20 分，每小题 10 分）1. 已知描述某线性时不变因果离散时间系统的差分方程为y (k ) ?3 1 y (k ? 1) ? y (k ? 2) ? 2 f (k ) ? 3 f (k ? 1) 4 8f (k ) ? ? (k ), y(?1) ? 2, y(?2) ? ?1k ?0在 z 域求解： (1) 系统的单位脉冲响应 h(k ) 及系统函数 H ( z ) ； (2) 系统的零输入响应 y x (k ) ； (3) 系统的零状态响应 y f (k ) ； (4) 系统的完全响应 y (k ) ，暂态响应，稳态响应； (5) 该系统是否稳定? . 对差分方程两边进行 z 变换得3 1 Y ( z ) ? {z ?1Y ( z ) ? y (?1)} ? {z ?2Y ( z ) ? z ?1 y (?1) ? y (?2)} ? (2 ? 3z ?1 ) F ( z ) 4 8整理后可得(1) 根据系统函数的定义，可得3 1 1 y (?1) ? z ?1 y (?1) ? y (?2) 2 ? 3z ?1 4 8 8 Y ( z) ? ? F ( z) 3 1 3 1 1 ? z ?1 ? z ?2 1 ? z ?1 ? z ?2 4 8 4 8 H ( z) ?进行 z 反变换即得Y f ( z) F ( z)?2 ? 3z ?1 16 ? 14 ? ? 3 1 1 1 1 ? z ?1 ? z ? 2 1 ? z ?1 1 ? z ?1 4 8 2 41 1 h(k ) ? F ?1[ H ( z )] ? [16( ) k ? 14( ) k ]? (k ) 2 4(2) 零输入响应的 z 域表达式为取 z 反变换可得系统零输入响应为3 1 1 13 1 ?1 y (?1) ? z ?1 y (?1) ? y (?2) ? z 9/ 4 ? 5/8 8 8 8 4 Yx ( z ) ? 4 ? ? ? 3 1 3 1 1 1 1 ? z ?1 ? z ?2 1 ? z ?1 ? z ?2 1 ? z ?1 1 ? z ?1 4 8 4 8 2 49 1 5 1 y x (k ) ? [ ( ) k ? ( ) k ]? (k ) 4 2 8 4(3) 零状态响应的 z 域表达式为Y f ( z) ?2 ? 3z ?1 2 ? 3z ?1 ? 16 14 / 3 40 / 3 F ( z) ? ? ? ? ?1 3 ?1 1 ?2 3 ?1 1 ?2 1 1 1? z ? z (1 ? z ? z )(1 ? z ?1 ) 1 ? z ?1 1 ? z ?1 1 ? z 4 8 4 8 2 41 14 1 40 y f (k ) ? [?16( ) k ? ( ) k ? ]? (k ) 2 3 4 3取 z 反变换可得系统零状态响应为(4) 系统完全响应y (k ) ? y x (k ) ? y f (k ) ? [?从完全响应中可以看出， 着 k 的增加而趋于零，故为稳态响应。55 1 k 97 1 k 40 ( ) ? ( ) ? ? (k ) 4 2 24 4 3[?40 55 1 k 97 1 k ( ) ? ( ) ]? (k ) ? (k ) 4 2 24 4 随着 k 的增加而趋于零，故为暂态响应， 3 不随(5) 由于系统的极点为 z1 ? 1 / 2, z 2 ? 1 / 4 均在单位圆内，故系统稳定。 2. 试分析图 A-4 所示系统中 B、C、D、E 和 F 各点频谱并画出频谱图。已知 f (t ) 的频谱 F ( j? ) 如图 A-6，? T (t ) ?n ? ???? (t ? nT ),T ? 0.02?。1H 1 ( j? )1 H 2 ( j? )f (t ) A? BC? 120? ? 100?D? 100? 120??E20?F y (t )? T (t )? 20? cos100?tF A ( j? ) 0.1? 20?20??B、C、D、E 和 F 各点频谱分别为FB ( j? ) ? ?02? ? 100? T n ? ?? ? 1 1 ? FC ( j? ) ? F ( j? ) ? FB ( j? ) ? ? F (? ? n?0 ) ? 50 ? F (? ? n100? ) 2? T n??? n ? ???? (? ? n??0), ?0 ? FD ( j?) ? FC ( j?) H1 ( j?) 1 FE ( j? ) ? [ FD (? ? 100? ) ? FD (? ? 100? )] 2 FF ( j?) ? Y ( j?) ? FE ( j?) H 2 ( j?)长沙理工大学拟题纸课程编号 3 拟题教研室（或老师）签名 教研室主任签名 符号说明： sgn(t ) 为符号函数， ? (t ) 为单位冲击信号， ? (k ) 为单位脉冲序列， ? (t ) 为单位阶跃信号， ? (k ) 为 单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1. 若信号 f (t ) 通过某线性时不变系统的零状态响应为y f (t ) ? Kf (t ? t0 ),( K , t0为常数)则该系统的频率特性 H ( j? ) = ________ ，单位冲激响应 h(t ) ? ________ 。 系统的频率特性 H ( j?) ? Ke? j?t0，单位冲激响应 h(t ) ? K? (t ? t 0 ) 。2. 若 f (t ) 的最高角频率为 f m ( Hz) ， 则对信号 y(t ) ? f (t ) f (2t ) 进行时域取样， 其频谱不混迭的最大取样间 隔 Tmax ? ________ 。 Tmax 为 3.Tmax ?1 1 ? (s) 2 f max 6 f m? 2 ???????? (2t ? 2)? (4 ? 2t )dt ? _________? ? (2t ? 2)? (4 ? 2t )dt ? ? dt ? 11K ?0k 4. f1 ( k ) ? 2 {? ( k ) ? ? ( k ? 3)}, f 2 ( k ) ? {2, 5 ,3}, 计算 f1 (k ) ? f 2 (k ) = ________ 。f1 (k ) ? f 2 (k ) ? {2, 9,21,26,12}df (t ) ? 2 X (0) dt 5. 已知某系统的输入输出关系为 （其中 X(0)为系统初始状态， f (t ) 为外部激 励） ，试判断该系统是（线性、非线性） ________ （时变、非时变） ________ 系统。线性时变 y (t ) ? t 2 f (t )?6.?3??1 (2t 2 ? 3t )? ( t ? 2)dt ? _________ 2 。0F ( s) ?7. 已知某连续信号的单边拉式变换为2s 2 ? 3se ?2 , (Re(s) ? 0), s(s 2 ? 9) 求其反变换 f (t ) = ________ 。f (t ) ? (2 cos3t ? e ?2 sin 3t )?(t )8. 已知y(t ) ? ? e ?2? ? e ?5(t ?? ) d? , (t ? ?2),?2t计算其傅立叶变换 Y ( j? ) = ________ 。Y ( j? ) ?e 4 e j 2? 1 e j 2? ?4 ? ? j? ? 2 j? ? 5 ( j? ) 2 ? 7 j? ? 10 F ( z) ?9. 已知某离散信号的单边 z 变换为2z 2 ? z , ( z ? 3) ( z ? 2)(z ? 3) ，求其反变换 f ( k ) = ________ 。f (k ) ? z ?1[ F (s)] ? [2k ? (?3) k ]? (k )? j?t ? ? ? ?m ?e 0 H ( j? ) ? ? ? 其他 ?0 10. 某理想低通滤波器的频率特性为 ，计算其时域特性 h(t ) = ________ 。h(t ) ?1 2?????H ( j? )e j?t dt ?1 2?? ?e?m?? j?t 0e j?t dt ?1 2?? ?e?m?? j? ( t ?t0 )dt ??m Sa[? m (t ? t 0 )] ?二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）1. 已知 f (t ) 的频谱函数 F ( j?) ? Sgn(? ? 1) ? Sgn(? ? 1) ，试求 f (t ) 。? ? ?1 ?2, F ( j? ) ? Sgn(? ? 1) ? Sgn(? ? 1) ? ? ? 2 g 2 (? ) 0 , ? ? 1 ? ? 1. ，因为 g 2 (t ) ? 2Sa(?) ，由对称性可得： 2Sa(t ) ? 2?g 2 (??) ? 2?g 2 (?) ，因此，有f (t ) ? 2?Sa (t )2. 已知某系统如图 A-1 所示，求系统的各单位冲激响应。 其中 h1 (t ) ? ? (t ? 1), h2 (t ) ? ef (t )?3t? (t ? 2), h3 (t ) ? e ?2t ? (t )h1[k ]?h2 [k ]?y (t )h3 [k ]图 A-1 2.h(t ) ? [h1 (t ) ? ? (t )]? [h2 (t ) ? h3 (t )] ? [? (t ? 1) ? ? (t )]? [e ?3t ? (t ? 2) ? e ?2t ? (t )] ? ? (t ? 1) ? e ?3t ? (t ? 2) ? ? (t ? 1) ? e ?2t ? (t ) ? ? (t ) ? e ?3t ? (t ? 2) ? ? (t ) ? e ?2t ? (t ) e ?6 1 (1 ? e ?3(t ?3) )? (t ? 3) ? (1 ? e ?2(t ?1) )? (t ? 1) ? e ?3t ? (t ? 2) ? e ?2t ? (t ) 3 2 f ( t ) g ( t ) 3. 已知信号 和 如图 A-2 所示，画出 f (t ) 和 g (t ) 的卷积的波形。 g (t ) f (t ) 2 1 ?1 -1 0 1 t图 A-2 3. f (t ) 和 g (t ) 的卷积的波形如图 A-9 所示。0t 3 2f (t ) ? g (t )t01图 A-9234. 已知某连续时间系统的系统函数 程的输出方程。H (s) ?2s ? 7 s ? 5s ? 3 ，画出其直接型系统模拟框图，并写出该系统状态方24. 将系统函数改写为 由此可画出系统的直接型模拟框图，如图 A-11 所示。选择积分器的输出作为状态变量，围绕模拟框图输入端的 加法器可得到状态方程为2H ( s) ?2s ?1 ? 7 s ?2 1 ? 5s ?1 ? 3s ?2f (t )- -?s ?15x2 (t )s ?1x1 (t )7?y (t )3图 A-11?1 (t ) ? x2 (t ) ， x ?2 (t ) ? ? x1 (t ) ? 5x2 (t ) ? f (t ) x围绕模拟框图输出端的加法器可得到输出方程为y(t ) ? 7 x1 (t ) ? 2 x2 (t )5. 试证明：用周期信号 f T (t ) 对连续时间带限信号 f (t ) (最高角频率为 ? m )取样，如图 A-3 所示，只要取样T?间隔? ? m ，仍可以从取样信号 f s (t ) 中恢复原信号 f (t ) 。f (t )?f T (t )f s (t )?1f T (t )?? T ?? / 2 ? / 2图 A-3tT5. 利用周期信号频谱和非周期信号频谱的关系可以求出 f T (t ) 的傅立叶系数为Fn ?n? ? 1 ? 2 ?? ? 2? Sa ( ) ? ?n?0 ? Sa 2 ( 0 ), ?0 ? T 2 4 2T 4 T由此可以写出周期信号 f T (t ) 的傅立叶级数展开式 f T (t ) ?n ???? Fn e jn?0t ???n ???? 2T Sa (22??n?0? jn?0t )e 4对其进行傅立叶变换即得 f T (t ) 的频谱密度 FT ( j?)FT ( j? ) ? 2?n ? ??? 2T Sa?(n?0? )? (? ? n?0 ) 4取样信号 f s (t ) ? f (t ) f T (t ), 利用傅立叶变换的乘积特性可得Fs ( j? ) ?? n? ? 1 ? F ( j? ) ? FT ( j? ) ? ? Sa2 ( 0 ) F (? ? n?0 ) 2? 4 n ? ?? 2T从 Fs ( j?) 可以看出，当 ?0 ? 2?m 时， Fs ( j?) 频谱不混迭，即T?? ? m 仍可从取样信号 f T (t ) 中恢复原信号f (t ) 。三、综合计算题（共 20 分，每小题 10 分）1. 已知描述某线性时不变因果连续时间系统的微分方程为y& (t ) ? 7 y' (t ) ? 10y(t ) ? 2 f & (t ) ? f (t )已知 f (t ) ? e?t? (t ), y(0 ) ? 4, y' (0 ) ? ?3, 在 s 域求解：? ?(1) 系统的单位脉冲响应 h(t ) 及系统函数 H ( s ) ； (2) 系统的零输入响应 y x (t ) (3) 系统的零状态响应 y f (t ) (4) 若 f (t ) ? e? ( t ?1)? (t ? 1) ，重求(1) 、(2)、 (3)。解：1. 对微分方程两边做单边拉斯变换得s 2Y (s) ? sy(0 ? ) ? y' (0 ? ) ? 7sY (s) ? 7 y(0 ? ) ? 10Y (s) ? (2s ? 1) F (s)整理后可得Y ( s) ?sy (0 ? ) ? y ' (0 ? ) ? 7 y (0 ? ) 2s ? 1 ? 2 F ( s) 2 s ? 7 s?? ? 10 s ? 7 s?? ? 10 ??? ???Yx ( s ) Yf (s)(1) 根据系统函数的定义，可得H ( s) ?进行拉斯反变换即得Y f ( s) F ( s)?2s ? 1 ?1 3 ? ? s ? 7s ? 10 s ? 2 s ? 52h(t ) ? (?e ?2t ? 3e ?5t )? (t )(2) 零输入响应的 s 域表达式为Yx ( s ) ?取拉斯反变换即得4 s ? 25 ? 5 / 3 17 / 3 ? ? s ? 7 s ? 10 s ? 2 s ? 525 17 y x (t ) ? ? e ?2t ? e 5t , t ? 0 3 3(3) 零状态响应的 s 域表达式为Y f ( s) ?取拉斯反变换即得2s ? 1 2s ? 1 ? 0.25 1 ? 0.75 F ( s) ? 2 ? ? ? s ?1 s ? 2 s ? 5 s ? 7 s ? 10 ( s ? 7 s ? 10)(s ? 1)2y f (t ) ? (?0.25e?t ? e?2t ? 0.75e?5t )? (t ) ? (t ? 1) ，则系统单位冲激响应 h(t)、系统函数 H ( s ) 和零输入响应 y x (t ) 均不变，根据时 (4) 若 f (t ) ? e 不变特性，可得系统零状态响应为? ( t ?1)y f (t ? 1) ? (?0.25e ?(t ?1) ? e ?2(t ?1) ? 0.75e ?5(t ?1) )? (t ? 1)2. 在图 A-4 所示系统中，已知输入信号 f (t ) 的频谱 F ( j? ) ，试分析系统中 A、B、C、D、E 各点频谱并 画出频谱图，求出 y(t ) 与 f (t ) 的关系。f (t )H 1 ( j? )?B? 100 ? 8011 H 2 ( j? )C?80 100A?D? 1515E y (t )cos(100t )cos(100t )F ( j? ) 2? 1010?图 A-4 2. A、B、C、D 和 E 各点频谱分别为FA ( j?) ? FT[cos( 100t )] ? ? [? (? ? 100) ? ? (? ? 100)] 1 1 FB ( j? ) ? F ( j? ) ? FA ( j? ) ? [ F (? ? 100 ) ? F (? ? 100 )] 2? 2 FC ( j?) ? FB ( j?) H1 ( j?) 1 FD ( j? ) ? [ FC (? ? 100 ) ? FC (? ? 100 )] 2 FE ( j?) ? Y ( j?) ? FD ( j?) H 2 ( j?) A、B、C、D 和 E 各点频谱图如图 A-12 所示。将 Y ( j? ) 与 F ( j? ) 比较可得Y ( j? ) ? 1 1 F ( j? ) y (t ) ? f (t ) 4 4 即 。长沙理工大学拟题纸课程编号 4 拟题教研室（或老师）签名 教研室主任签名 符号说明： sgn(t ) 为符号函数， ? (t ) 为单位冲击信号， ? (k ) 为单位脉冲序列， ? (t ) 为单位阶跃信号， ? (k ) 为 单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1.?13e ?2t ? (t ? 2)dt ? ________。1.?e31? 2t? (t ? 2)dt ? ?e ?2tt ?2? ?e ?4k ?12. 若离散时间系统的单位脉冲响应 h(k ) ? ? (k ) ? ? (k ? 4) ，则系统在 f (k ) ? { 1 ,2,3} 激励下的零状态响应 为 _________ 。 f (k ) ? h(k ) ? { 1 ,3,6,6,5,3} 3. 抽取器的输入输出关系为 y(k ) ? f (2k ) ，试判断该系统特性（线性、时不变） _________ 。线性时变 4. 若k ?1f (t ) ? cos(t )[? (t ? ? ) ? ? (t ? ? )]，则其微分f ' (t )=_________。f ' (t ) ? ? sin(t )[? (t ? ? ) ? ? (t ? ? )] ? ? (t ? ? ) ? ? (t ? ? ) ? ?? , ? ? 4 sin 4t F ( j ? ) ? ? g ( ? ) ? ? 8 f (t ) ? ? ?0, ? ? 4 t 的频谱 F ( j? ) = _________ 。 5. 连续信号 _________ F ( j? ) f (t ) ? [? (t ? 1) ? ? (t ? 1)]cos(100t ) 6. 的 频 谱 =FT{[? (t ? 1) ? ? (t ? 1)]cos( 100t )} ? Sa(? ? 100) ? Sa(? ? 100)。1 g (k ) ? ( ) k ? (k ) 2 7. 已 知 一 离 散 时 间 LTI 系 统 的 单 位 阶 跃 响 应 ，计算该系统单位脉冲响应 1 1 h(k ) ? g (k ) ? g (k ? 1) ? ( ) k ? (k ) ? ( ) k ?1 ? (k ? 1) h(k ) = _________ 。 2 28.10t ) ? 3 cos(20t ), (?? ? t ? ?) (?0 ? 10为基频) ， 则 f (t ) 的 平 均 功 率 若 f (t ) ? 2 ? 4 cos(P= _________ 。P?n ? ???F?2n3 3 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 16.5 2 2t t y (t ) ? f ( ) f ( ) 4 2 取样，其频谱不混迭的最大间隔是 _________ 。 9. 若 f (t ) 最高角频率为 ? m ，则对 ? 4? Tmax ? ? ? max 3? m10. 若 离 散 系 统 的 单 位 脉 冲 响 应 h(k ) ? [(?1)k ?1? (?0.5) k ?1 ]? (k ) ， 则 描 述 该 系 统 的 差 分 方 程 为_________ 。 y(k ) ? 1.5 y(k ? 1) ? 0.5 y(k ? 2) ? ?3 f (k ) ? 2.5 f (k ? 1)二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）1. 已知 f (t ) 的波形如图 A-1 所示，令 r (t ) ? t? (t ) 。f (t )1 0 -1图 A-1 (1) 用 ? (t ) 和 r (t ) 表示 f (t ) ； (2) 画出 f (?2t ? 4) 的波形。 1、(1) f (t ) ? r (t ) ? r (t ? 1) ? ? (t ? 2) ? r (?t ? 3) ? r (?t ? 4) ? ? (?t ? 2) (2) 将 f (?2t ? 4) 改成 f [?2(t ? 2)]，先压缩，再翻转，最后左移 2，即得 f (?2t ? 4) ，如图 A-8 所示。1f ( 2t )1.51234 tf ( ?2 t ) 1f [ ?2(t ? 2)]1t0 -12 t1-2 -1.5 t -1 -0.5 0 -1-4 -3.5 -3 -2.5 -20 -11 ( ) k ? ( k ? 1) 2. 已知某线性时不变（LTI）离散时间系统，当输入为 ? (k ? 1) 时，系统地零状态响应为 2 ，试计算输入为 f (k ) ? 2? (k ) ? ? (k ) 时，系统的零状态响应 y (k ) 。 1 ( ) k ? ( k ? 1) 2. 已知某线性时不变（LTI）离散时间系统，当输入为 ? (k ? 1) 时，系统地零状态响应为 2 ，试计算输入为 f (k ) ? 2? (k ) ? ? (k ) 时，系统的零状态响应 y (k ) 。 3. 已知信号 f (t ) 的频谱如图 A-2 所示，求该信号的时域表示式。1-H ( j? )? ( j? )?0? 2??-6 -5 -4因为系统函数为4 5 6图 A-2H ( j?) ? [ g 2 (? ? 5) ? g 2 (? ? 5)]e ? j 2? 因为 g 2 (t ) ? 2Sa(?) ，由傅立叶变换的对称性可得： 2Sa(t ) ? 2?g 2 (??) ? 2?g 2 (?)即1?由调制性质，有Sa (t ) ? g 2 (? )2?由时移性质，有Sa (t ) cos 5t ? g 2 (? ? 5) ? g 2 (? ? 5)2?因此Sa (t ? 2) cos 5(t ? 2) ? [ g 2 (? ? 5) ? g 2 (? ? 5)]e ? j 2?Sa (t ? 2) cos 5(t ? 2)h(t ) ?2?4. 已知一连续时间系统的频响特性如图 A-3 所示，输入信号 f (t ) ? 5 ? 3 cos2t ? cos4t ,?? ? t ? ? ，试求 该系统的稳态响应 y(t )H ( j? )1?3图 A-3 4. 利用余弦信号作用在系统的零状态响应的特点，即?3T{cos(?0t ? ? )} ? H ( j?0 ) cos(?0t ? ? (?0 ) ? ? )在本题中， ? (? ) ? 0 ，因此由上式可以求出信号 f (t ) 作用在系统上的稳态响应为T{ f (t )} ? 5H ( j 0) ? 3H ( j 2) cos 2t ? H ( j 4) cos 4t ? 5 ? 2 cos 2t ， ? ? ? t ? ?5. 已知信号 f (t ) ? ? (t ) ? ? (t ? 1) 通过一 LTI 系统的零状态响应为 y(t ) ? ? (t ? 1) ? ? (t ? 1) ， 试求图 A-4 所 示信号 g (t ) 通过该系统的响应 y g (t ) 并画出其波形。 g (t )1 0 1图 A-4 5. 因为tg (t ) ? ? f (? )d???t，所以，利用线性时不变系统的积分特性，可得t t ?? ??y g (t ) ? ? y(? )d? ? ? [? (? ? 1) ? ? (? ? 1)d? ] ? ? (t ? 1) ? ? (t ? 1)其波形如图 A-9 所示。y g (t )2 1?1t01图 A-9三、综合计算题（共 20 分，每小题 10 分）1. 描述一线性时不变因果连续时间系统的微分方程为y& (t ) ? 5 y' (t ) ? 6 y(t ) ? 2 f ' (t ) ? f (t )已知 f (t ) ? e?t? (t ), y(0 ) ? 1, y' (0 ) ? 1由 s 域求解：? ?(1) 零输入响应 y x (t ) 零状态响应 y f (t ) ，完全响应 y(t ) ； (2) 系统函数 H ( s ) ，单位冲激响应 h(t ) ,并判断系统是否稳定； (3) 画出系统的直接模拟框图 （1）因为1 H ?( j? ) ? ? [ g 2 (? ? 3) ? g 2 (? ? 3)] ? [? (? ? 2) ? ? (? ? 2)] 21又因为 ?Sa (t ) ? g 2 (? )，由调制定理，可得1?即Sa(t ) sin(3t ) ?11 [ g 2 (? ? 3) ? g 2 (? ? 3)] 2j1 Sa (t ) sin( 3t ) ? ? [ g 2 (? ? 3) ? g 2 (? ? 3)] ? 2 sin( 2 t ) ? ? j ? [ ? ( ? ? 2 ) ? ? ( ? ? 2 )] 由于 ，即 ?jj由频域微分性质，可知： ? jth(t ) ? H ?( j? ) ，所以有?sin( 2t ) ? ? (? ? 2) ? ? (? ? 2)j ? jth(t ) ? ? [ Sa (t ) sin(3t ) ? sin( 2t )]?，整理得1 3 2 [ Sa (t ) sin(3t ) ? sin( 2t )] ? Sa (t ) Sa (3t ) ? Sa (2t ) ?t ? ? （2）由于 H ( j? ) 是一个带通滤波器，下限角频率为 2rad/s，上限角频率为 4rad/s，因此，只有角频率为 3rad/s h(t ) ? 的信号分量可以通过该滤波器。 由 cos(?0t ) ? H ( j?0 ) cos[?0t ? ? (?0 )]可知0.4 cos(3t ) ? 0.4 H ( j3) cos[3t ? ?(3)]由于 H ( j3) ? 0.5 ， ? (3) ? 0 ，所以有： 0.4 cos(3t ) ? 0.2 cos(3t ) ，即f (t ) ? 1 ? 0.6 cost ? 0.4 cos3t ? 0.2 cos5t ? y(t ) ? 0.2 cos(3t )2. 在图 A-5 所示的系统中，周期信号 p(t ) 是一个宽度为 ? (? ? T ) 的周期矩形脉冲串，信号 f (t ) 的频谱为F ( j? ) 。(1) 计算周期信号 p(t ) 的频谱 Fn ； (2) 计算 p(t ) 的频谱率密度 p( j? ) ； (3) 求出信号 f p (t ) 的频谱表达式 Fp ( j?) (4) 若信号 f (t ) 的最高频率 ? m ，为了使 Fp ( j?) 频谱不混迭，T 最大可取多大？f (t )?p (t )f p (t )?A P T (t )? t?T ? ? 2?2T图 A-5 1)利用傅立叶级数的计算公式可得到周期信号 p(t ) 的频谱 Fn 为T /21 1 A Fn ? f (t )e ? jn?0t dt ? Ae? jn?0t dt ? e ? jn?0t ? ? T ?T / 2 T ?? / 2 T (? jn?0 )?? /2t ?? / 2 t ? ?? / 2?A sin(n?0? / 2) ?A ? n?0? ? 2? ? Sa? ?, ?0 ? T n?0? / 2 T ? 2 ? Tp(t ) ?(2)周期信号 p(t ) 的指数函数形式的傅立叶级数展开式为n ? ???T???A对其进行 Fourier 变换即得 p(t)的频谱密度 P( j? ) 为? n? ? ? Sa? 0 ?e jn?0t ? 2 ? ? n? ? ? Sa? 0 ?? (? ? n?0 ) ? 2 ?P( j? ) ? 2?n ? ???T?A(3)由于 f p (t ) ? f (t ) p(t ) ，利用傅立叶变换的乘积特性，可得Fp ( j? ) ?? 1 ?A ? n? ? ? F ( j? ) * P( j? ) ? ? Sa? 0 ?F (? ? n?0 ) 2? ? 2 ? n ? ?? T(4)从信号 f p (t ) 的频谱表达式 Fp ( j?) 可以看出，当 ?0 ? 2?m 时， Fp ( j?) 频谱不混迭，即T?? ?m 长沙理工大学拟题纸课程编号 5 拟题教研室（或老师）签名 教研室主任签名 符号说明： sgn(t ) 为符号函数， ? (t ) 为单位冲击信号， ? (k ) 为单位脉冲序列， ? (t ) 为单位阶跃信号， ? (k ) 为 单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1.[? (t ) ? ? (t ? 2)] ? ? (2t ? 2) ? _______。1 1 [? (t ) ? ? (t ? 2)] ? ? (2t ? 2) ? [? (t ) ? ? (t ? 2)] ? ? (t ? 1) ? ? (t ? 1) 2 22. 若某离散时间 LTI 系统的单位脉冲响应 h(k ) ? {2,1,3} ，激励信号 f (k ) ? {1,? 2,1,2} ，则该系统的零 状态响应 f (k ) ? h(k ) ? _______ 。利用排表法可得 f (k ) * h(k ) ? {2, ? 3,3,?1,5,6} 3. 连 续时间信 号 f (t ) ? sin(t ) 的周期 T0 = ______ 。若对 f (t ) 以 f s ? 1Hz 进行抽 样，所 得离散序 列???f (k ) = ______ ，该离散序列是否是周期序列 ______ 。 f (k ) ? f (t ) t ?kT ? sin k 。 不是 4. 对连续时间信号延迟 t 0 的延迟器的单位冲激响应为 ? (t ? t 0 ) ， ______ ，积分器的单位冲激响应为? (t ) ______ ，微分器的单位冲激响应为 ______ 。 ? ' (t ) 1 ? j? H ( j? ) ? 1 ? j? ，该系统的幅频特性 H ( j?) ? ______ ，相频特 5. 已知一连续时间 LTI 系统的频响特性 性 ? ( j? ) = ______ ，是否是无失真的传输系统 ______ 。不是H ( j?) ? e j 2 arctan(? )H ( j?) ? 1 ， ? (? ) ? 2 arctan( ?)?? 6. 根据 Parseval 能量守恒定律，计算1 ? sin t ? ? ? dt ? ? t ? 2? ???? 2 ? 2 ????(sin t 2 ) dt ? ______ 。 t1? ?g 2 (? ) d? ??1 2 ?1? d? ? ? 2? ?7. 已知一连续时间 LTI 系统得单位冲激响应为 h(t ) ，该系统为 BIBO（有界输入有界输出）稳定系统的充要? 条件是 ______ 。 ??2h(t ) dt ? ?8. 已知信号 f (t ) 的最高频率为 ?s (rad / s) ，信号 f (t ) 的最高频率是 ______ 。 2?m (rad / s) 。1 ( ) k ? (k ) 9. 某连续时不变（LTI）离散时间系统，若该系统的单位阶跃响应为 4 ，则该系统的单位脉冲?1? ?1? h(k ) ? g (k ) ? g (k ? 1) ? ? ? ? (k ) ? ? ? ? (k ? 1) ? 4? ? 4? 响应为 ______ 。10. 已知连续时间信号 f (t ) ? sin t[? (t ) ? ? (t ? ? / 2)] ，其微分 f ' (t ) ? ______ 。kk ?1f ' (t ) ? cost[? (t ) ? ? (t ? ? / 2)] ? ? (t ? ? / 2) 二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）1. 已知某连续时间系统的单位冲激响应 h(t ) 与激励信号 f (t ) 的波形如图 A-1 所示，试由时域求解该系统的 零状态响应 y(t ) ，画出 y(t ) 的波形。f (t ) 1-1 0 -1图 A-12th (t )1012t1. 系统的零状态响应 y(t ) ? f (t ) ? h(t ) ，其波形如图 A-7 所示。2y (t )0123t-2图 A-7 2. 若 f (t ) 得波形如图 A-2 所示，试画出 f (?0.5t ? 1) 的波形。f (t )210 1 2图 A-2 2. 将 f (?0.5t ? 1) 改写为 f [?0.5(t ? 2)] ，先反转，再展宽，最后左移 2，即得 f (?0.5t ? 1) ，如图 A-8 所示。f ( ?t )( 2)f ( ?0.5t ) 2(1)t3(1) -3 -2 -1( 2)1t1?6?4 ?200tf ( ?0.5t ? 1) 21?8?6?4?2t03. 已知一离散系统的系统函数 (1) 画出系统的直接型模拟框图；H ( z) ?z 2 ? 2z z 3 ? 3z 2 ? 2s ? 1(2) 在模拟框图上标出状态变量，并写出状态方程和输出方程。 、(1) 将系统函数改写为H ( z) ?z ?1 ? 2 z ?2 1 ? 3z ?1 ? 2 z ?2 ? z ?3 ，由此可画出系统的直接型模拟框图，如图 A-10 所示。2F ( z)- -?z ?1x3 (k )z ?1x2 ( k )z ?1x1 (k )?Y ( z)3 24. 已知连续时间 LTI 因果系统工程微分方程为y& (t ) ? 5 y' (t ) ? 6 y(t ) ? f (t ) ? 4 f ' (t ), t ? 0输入 f (t ) ? e ? (t ) ，初始状态 y(0 ) ? 1, y' (0 ) ? 3 。 (1) 利用单边拉式变换的微分特性将微分方程转换为 s 域代数方程。?t ? ?(2) 由 s 域代数方程求系统的零输入响应 y x (t ) 和零状态响应 y f (t ) 。 4、(1) 对微分方程两边做单边拉斯变换即得 s 域代数方程为s 2Y (s) ? sy(0? ) ? y ' (0 ? ) ? 5sY (s) ? 5 y(0? ) ? 6Y (s) ? (4s ? 1) F (s)(2) 整理上述方程可得系统完全响应得 s 域表达式为Y ( s) ?其中零输入响应的 s 域表达式为sy (0 ? ) ? y ' (0 ? ) ? 5 y (0 ? ) 4s ? 1 ? 2 F ( s) 2 s ? 5s ? 6 s ? 5s ? 6Yx ( s ) ? s?2 1 ? s ? 5s ? 6 s ? 32取拉斯反变换可得y x (t ) ? e3t , t ? 0零状态响应的 s 域表达式为Y f ( s) ?取拉斯反变换可得4s ? 1 4s ? 1 ? 1 / 4 ? 3 13/ 4 F ( s) ? ? ? ? ( s ? 2)(s ? 3)(s ? 1) s ? 1 s ? 2 s ? 3 s ? 5s ? 6213 ? ? 1 Y f (t ) ? ? ? e ?t ? ?3e 2t ? e 3t ?? (t ) 4 ? 4 ?5. 已知连续系统的系统函数 H ( s ) 的零极点如图 A-3 所示，且 H (?) ? 2 。j?? -3? -10图 A-32?(1) 写出 H ( s ) 的表达式，计算该系统的单位冲激响应 h(t ) ； (2) 计算该系统的单位阶跃响应 g (t ) 。 5、(1) 由零极点分布图及 H (?) 的值可得出系统函数 H ( s ) 为 H ( s) ? K取拉斯反变换可得s( s ? 2) 2s( s ? 2) 3 ? 15 ? ? 2? ? ( s ? 1)(s ? 3) ( s ? 1)(s ? 3) s ?1 s ? 3h(t ) ? 2? (t ) ? (3e ?t ? 15e ?3t )? (t )(2) 单位阶跃响应的 s 域表达式为G( s) ? H ( s) LT [? (t )] ?2s( s ? 2) 1 ? 3 5 ? ? ( s ? 1)(s ? 3) s s ? 1 s ? 3 ?t ?3t 取拉斯反变换可得 g (t ) ? (?3e ? 5e )? (t )三、综合计算题（共 20 分，每小题 10 分）1. 一离散时间 LTI 因果系统的差分方程为y(k ) ? 3 y(k ? 1) ? 2 y(k ? 2) ? 2 f (k ) ? f (k ? 1) 系统的初始状态 y(?1) ? 1/ 2, y(?2) ? 1/ 4, 输入 f (k ) ? ? (k ) 。(1) 由 z 域求系统的零输入响应 y x (k ) 和零状态响应 y f (k ) 。 (2) 求该系统的系统函数 H ( z ) ，并判断系统是否稳定。 1、(1) 对差分方程两边进行 z 变换得Y ( z) ? 3[ z ?1Y ( z) ? y(?1)] ? 2[ z ?2Y ( z) ? z ?1 y(?1) ? y(?2)] ? (2 ? z ?1 ) F ( z)整理后可得Y ( z) ?零输入响应的 z 域表达式为? 3 y (?1) ? 2 z ?1 y (?1) ? 2 y (?2) 2 ? z ?1 ? F ( z) 1 ? 3z ?1 ? 2 z ?2 1 ? 3z ?1 ? 2 z ?2Yx ( z ) ?? 3 y (?1) ? 2 z ?1 y (?1) ? 2 y (?2) ? 2 ? z ?1 1 ?3 ? ? ? ?1 ?2 ?1 ?2 ?1 1 ? 3z ? 2 z 1 ? 3z ? 2 z 1? z 1 ? 2 z ?1取 z 反变换可得系统零输入响应为y x (k ) ? [(?1) k ? 3(?2) k ]? (k )零状态响应的 z 域表达式为Y f ( z) ?(2 ? z ?1 ) F ( z ) 2 ? z ?1 ? 1/ 2 2 1/ 2 ? ? ? ? ?1 ?2 ?1 ?2 ?1 ?1 ?1 1 ? 3z ? 2 z (1 ? 3z ? 2 z )(1 ? z ) 1 ? z 1 ? 2z 1 ? z ?1取 z 反变换可得系统零状态响应为1 1 Y f (k ) ? [? (?1) k ? 2(?2) k ? ]? (k ) 2 2 ?1 Y f ( z) 2? z H ( z) ? ? F ( z ) 1 ? 3z ?1 ? 2 z ?2 (2) 根据系统函数的定义，可得 由于系统的极点为 z1 ? ?1, z 2 ? ?2 ，均不在单位圆内，故系统不稳定2. 已知某高通的幅频特性和响频特性如图 A-4 所示，其中 ?c ? 80? ，H ( j? )1? ( j? )? ?c0 ?c?图 A-40? 2??(1) 计算该系统的单位冲激响应 h(t ) ； ?t ，求该系统的稳态响应 y(t ) 。 (2) 若输入信号 f (t ) ? 1 ? 0.5 cos60?t ? 0.2 cos1202、(1) 因为系统的频率特性为： H ( j?) ? [1 ? g 2?c (?)]ec? j?t0。又因为?c Sa (? c t ) ? g 2? (? ) ? (t ) ? 1 ， ? ，所以，有 ? h1 (t ) ? ? (t ) ? c Sa (?c t ) ? ? (t ) ? 80 Sa (80?t ) ?由时移性质得h(t ) ? h1 (t ? t 0 ) ? ? (t ? t 0 ) ? 80Sa[80? (t ? t 0 )] (2) 由于高通系统的截频为 80? ，信号 f (t ) 只有角频率大于 80? 的频率分量才能通过，故 y(t ) ? 0.2 cos120 ? (t ? t 0 )长沙理工大学拟题纸课程编号 6 拟题教研室（或老师）签名 教研室主任签名 符号说明： sgn(t ) 为符号函数， ? (t ) 为单位冲击信号， ? (k ) 为单位脉冲序列， ? (t ) 为单位阶跃信号， ? (k ) 为 单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1.?5?5(t ? 3)? (?2t ? 4)dt ? ________。?5?5(t ? 3)? (?2t ? 4)dt ?1 5 1 (t ? 3)? (t ? 2)dt ? (t ? 3) t ?2 ? ?0.5 ? ? 5 ?2 2y (t ) ? 1 [ f (t ) ? f (?t )] 2 的傅立叶变换2. 已知实信号 f (t ) 的傅立叶变换 F ( j? ) ? R(? ) ? jX (? ) ，信号 Y ( j? ) 为 _________ 。1 s ? 1 ，该系统属于 _________ 类型。低通 3. 已知某连续时间系统的系统函数为 4. 如下图 A-1 所示周期信号 f (t ) ，其直流分量= _________ 。4 H (s) ?f (t )10? ?t-6 -5 -4-114 5 6图 A-1? 5. 序列和 n??? = _________ 。由于 n??? 6. LTI 离散系统稳定的充要条件是 _________ 。H ( z ) 的全部极点在单位圆内。? ? ( n)k?? [n] ? ?0,k?k ? 1,k ?0 ? (k ? 1)? (k ) k ?0 。7. 已 知 信 号 f (t ) 的 最 高 频 率 f 0 ( Hz) ， 对 信 号 f (t / 2) 取 样 时 ， 其 频 率 不 混 迭 的 最 大 取 样 间 隔Tm a x= _________ 。 Tmax 为Tmax ?1 1 ? 2 f max f0 。 8. 已知一连续系统在输入 f (t ) 作用下的零状态响应 y (t ) ? f (4t ) ，则该系统为 _________ 系统（线 性时变性） 。线性时变 9. 若 f (t ) 最高角频率为 ? m ，则对t t y (t ) ? f ( ) f ( ) 4 2 取样，其频谱不混迭的最大间隔是 _________ 。 ? 4? Tmax ? ? ? max 3? mF ( z) ?10. 已知 f ( k ) 的 z 变换 列。1 1 ( z ? )(z ? 2) F ( z ) ， 得收敛域为 z ? max(z1 , z2 ) ? 2 时， f ( k ) 是因果序 2二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）1. 某线性时不变连续时间系统的单位冲激响应 h(t ) 和输入 f (t ) 如图 A-2 所示，从时域求解该系统的零状态 响应 y(t ) 。f (t ) 1-1 0 -1 1th (t )1 0图 A-221、系统的零状态响应 y(t ) ? f (t ) * h(t ) ，如图 A-4 所示。1 -1 0 -1 1 2 3y (t )t图 A-4 2. 已知系统 y' (t ) ? 2 y(t ) ? f (t ) 的完全响应为 y(t ) ? (2e 应。 2、对微分方程取拉斯变换得 整理得?t? 3e ?2t )? (t ) ，求系统的零输入响应和零状态响sY (s) ? y(0? ) ? 2Y (s) ? F (s)y (0 ? ) 1 Y ( s) ? ? F (s) s?2 s?2因此有Yx ( s) ?取拉斯反变换，得零输入响应为y (0 ? ) 1 Y f ( s) ? F (s) s?2 s?2 ，y x (t ) ? y(0? )e ?2t ? (t )由给定的系统全响应可知，激励信号应为： f (t ) ? ke?t? (t ) ，因此，其拉斯变换为 F (s) ?k s ? 1 ，因而有Y f ( s) ?取拉斯反变换，得零状态响应为1 k k k F ( s) ? ? ? s?2 ( s ? 1)(s ? 2) s ? 1 s ? 2y f (t ) ? (ke?t ? ke?2t )? (t )因此。系统的全响应为y(t ) ? [ke?t ? y(0? )e?2t ? ke?2t ]? (t ) ?t ?2t ? 与给定的系统全响应 y(t ) ? [2e ? 3e ]? (t ) 比较，可得： k ? 2 ， y(0 ) ? 5因此，系统的零输入响应为yx (t ) ? y(0? )e?2t ? (t ) ? 5e?2t ? (t )系统的零状态响应为y f (t ) ? (ke?t ? ke?2t )? (t ) ? 2(e?t ? e?2t )? (t )y[k ] ?3. 已知 N=5 点滑动平均系统的输入输出关系为 统是否因果、稳定。 的单位脉冲响应 h(k ) ，即1 N? f [ k ? n]n ?0N ?1，求系统的单位脉冲响应，并判断系3. 根据系统的单位脉冲响应的定义，当系统的输入信号 f ( k ) 为单位脉冲序列 ? (k ) 时，其输出 y (k ) 就是系统1 N ?1 1 1 ? (k ? n) ? [? (k ) ? ? (k ? 1) ? ? (k ? 2) ? ? (k ? 3) ? ? (k ? 4)] ? [? (k ) ? ? (k ? 5)] ? N n ?0 5 5 由于 h(k ) 满足 h(k ) ? 0, k ? 0 h(k ) ?n ? ????h[k ] ?1 4 ?1 ? 1 5 k ?0所以系统是因果、稳定的。4. 已知连续时间系统的系统函数 4. 根据系统函数画出系统的模拟框图，并选择积分器的输出作为状态变量，如图 A-5 所示，围绕模拟框图输入 端的加法器可得到状态方程为H ( s) ?s2 ?1 s 3 ? 2s 2 ? 3s ? 1 ，写出其状态方程和输出方程。f (t )- -?s ?1x3 ( t )s ?1x2 (t )s ?1x1 (t )?y (t )3 2图 A-5? 2 (t ) ? x3 (t ) ， x ?3 (t ) ? ? x1 (t ) ? 2x2 (t ) ? 3x3 (t ) ? f (t ) ?1 (t ) ? x2 (t ) ， x x围绕模拟框图输出端的加法器可得到输出方程为 y(t ) ? x1 (t ) ? x3 (t ) 5. 在图 A-3 所示的系统中，周期信号 p(t ) 是一个宽度为 ? (? ? T ) 的周期矩形脉冲串，信号 f (t ) 的频谱为F ( j? ) 。(1) 计算周期信号 p(t ) 的频谱 Fn ； (2) 计算 p(t ) 的频谱率密度 p( j? ) ； (3) 求出信号 f p (t ) 的频谱表达式 Fp ( j?) (4) 若信号 f (t ) 的最高频率 ? m ，为了使 Fp ( j?) 频谱不混迭，T 最大可取多大？f (t )?p (t )f p (t )?A P T (t )? t?T ? ? 2图 A-3?2T5、(1)利用傅立叶级数的计算公式可得到周期信号 p(t ) 的频谱 Fn 为1 1 A Fn ? f (t )e ? jn?0t dt ? Ae? jn?0t dt ? e ? jn?0t ? ? T ?T / 2 T ?? / 2 T (? jn?0 )?T /2? /2t ?? / 2 t ? ?? / 2?A sin(n?0? / 2) ?A ? n?0? ? 2? ? Sa? ?, ?0 ? T n?0? / 2 T ? 2 ? Tp(t ) ?(2)周期信号 p(t ) 的指数函数形式的傅立叶级数展开式为n ? ???T???A对其进行 Fourier 变换即得 p(t)的频谱密度 P( j? ) 为? n? ? ? Sa? 0 ?e jn?0t ? 2 ? ? n? ? ? Sa? 0 ?? (? ? n?0 ) ? 2 ?P( j? ) ? 2?n ? ???T?A(3)由于 f p (t ) ? f (t ) p(t ) ，利用傅立叶变换的乘积特性，可得Fp ( j? ) ?? 1 ?A ? n? ? ? F ( j? ) * P( j? ) ? ? Sa? 0 ?F (? ? n?0 ) 2? ? 2 ? n ? ?? T(4)从信号 f p (t ) 的频谱表达式 Fp ( j?) 可以看出，当 ?0 ? 2?m 时， Fp ( j?) 频谱不混迭，即T?? ?m三、综合计算题（共 20 分，每小题 10 分）1. 描述一线性时不变因果离散时间系统的差分方程为6 y(k ) ? 5 y(k ? 1) ? y(k ? 2) ? f (k ) 已知 f (k ) ? ? (k ), y(?1) ? ?2, y(?2) ? 3 ，由 z 域求解： (1) 零输入响应 y x (k ) 零状态响应 y f (k ) ，完全响应 y (k ) ；(2) 系统函数 H ( z ) ，单位冲激响应 h(k ) ； (3) 若 f (k ) ? 2? (k ? 1) ，重求（1） 、 （2） 1. (1) 对差分方程两边进行 z 变换得k ?06Y ( z) ? 5{z ?1Y ( z) ? y(?1)}? {z ?2Y ( z) ? z ?1 y(?1) ? y(?2)} ? F ( z)整理后可得Y ( z) ?零输入响应的 z 域表示式为5 y (?1) ? z ?1 y (?1) ? y (?2) F ( z) ? ?1 ?2 6 ? 5z ? z 6 ? 5 z ?1 ? z ?2 Yx ( z ) ?取 z 反变换可得系统零输入响应为5 y (?1) ? z ?1 y (?1) ? y (?2) ? 13 ? 2 z ?1 ?9/ 2 7/3 ? ? ? ?1 ?2 ?1 ?2 1 1 6 ? 5z ? z 6 ? 5z ? z 1 ? z ?1 1 ? z ?1 2 39 1 7 1 y x (k ) ? [? ( ) k ? ( ) k ]? (k ) 2 2 3 3零状态响应的 z 域表示式为Y f ( z) ?F ( z) 1 ? 1/ 2 1/ 6 1/ 2 ? ? ? ? ?1 ?2 ?1 ?2 ?1 1 1 6 ? 5z ? z (6 ? 5 z ? z )(1 ? z ) 1 ? z ?1 1 ? z ?1 1 ? z ?1 2 31 1 1 1 1 y f (k ) ? [? ( ) k ? ( ) k ? ]? (k ) 2 2 6 3 2取 z 反变换可得系统零状态响应为系统的完全响应1 5 1 1 y (k ) ? y x (k ) ? y f (k ) ? [?5( ) k ? ( ) k ? ]? (k ) 2 2 3 2(2) 根据系统函数的定义，可得H ( z) ?Y f ( z) F ( z)?1 6 ? 5z ? z?1 ?2?1/ 2 ? 1/ 3 ? 1 1 1 ? z ?1 1 ? z ?1 2 3取 z 反变换即得系统单位冲激响应为1 1 1 1 h(k ) ? [ ( ) k ? ( ) k ]? (k ) 2 2 3 3 y ( k ) (3)若 f (k ) ? 2? (k ? 1) ，则系统的零输入响应 x 、单位冲激响应 h(k ) 和系统函数 H ( z ) 均不变，根据线性时不变特性，可得系统零状态响应为1 1 1 y f (k ) ? [?( ) k ?1 ? ( ) k ?1 ? 1]? (k ? 1) 2 3 3系统全响应为9 1 7 1 1 1 1 y (k ) ? y x (k ) ? y f (k ) ? [? ( ) k ? ( ) k ]? (k ) ? [?( ) k ?1 ? ( ) k ?1 ? 1]? (k ? 1) 2 2 3 3 2 3 32. 连续时间线性时不变（LTI）系统的微分器的系统函数为：H c ( s) ? s若设：(1)s?2 1 ? z ?1 Ts 1 ? z ?1(2)则用（2）式代替（1）式中的 s 来设计离散时间 LTI 系统的方法称之为双线性变换法。Ts 是在设计过程中须确定 的一个大于零的数。 （1）试画出离散系统的框图。 （2）确定离散时间系统的频率响应 H d (ej?) ，画出它的幅度及相位响应。2、解：(1)令 H d ( z ) 为离散系统的系统函数，则由题中给出的公式（1）和（2）得：H d ( z) ?2 1 ? z ?1 2? 1 ? ? ? (1 ? z ?1 ) ?1 ?1 ? TS 1 ? z TS ? 1 ? z ?因此可知该系统可由两个子系统级联构成，如图 A-6（a）所示： X ( z)??????2 TsY ( z)z ?1z ?1（a） 可简化为图 A-6（b） ：X ( z)? ???z ?1??2 TsY ( z)（b） 图 A-6 (2)由系统函数可得该系统的频率响应 H d (e ) ? H d ( z) z?e j? 为j?? sin( ) ? 2 1? e 2 e (e ? e ) 2 2 ? j2 j? 2 H d (e ) ? ? ?j ? tan( )e ? ? ? j ?j TS 1 ? e ? j? TS ? j ? TS TS 2 2 2 2 cos( ) e (e ? e ) 2 2 ? ? H d (e j? ) ? j tan ? j TS 2 TS 注意 ? ?? 1 ：时，有：? j? ?j ? 2 j ? 2 ?j ? 2幅频特性和相频特性如图 A-7（a） 、 （b）所示。? (?)? /2??0??（a） 图 A-7（b）长沙理工大学拟题纸（7）一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1 、 某 连 续 系 统 的 零 状 态 响 应 为 y(t ) ? 2 f (t ) ? 1 ， 试 判 断 该 系 统 特 性 （ 线 性 、 时 不 变 、 稳 定 性） 。非线性、时不变、稳定系统 2、 ? (t ) cos(2t ) = 。 ? (t ) cos(2t ) ? ? (t )? ?3 、若离散时间系统的单位脉冲响应为 h(k ) ? {1,?1,2} ，则系统在 f (k ) ? {1, 2,?2,1} 激励下的零状态响应为? ? ? f (k ) * h(k ) ? ?1,1,2,7,?5,2? ? ? 。j? ? j? 4、已知一周期信号 f (t ) 的周期 T0 ? 2? ，其频谱为 F0 ? 1, F1 ? 0.5e , F?1 ? 0.5e , F3 ? ?0.2 j, F?3 ? 0.2 j ， 写 出 f (t ) 的 时 域 表 达 式f (t ) ?。n ????F en?jn?0t? 1 ? 0.5e ? j (?0t ?? ) ? 0.5e j (?0t ?? ) ? 0.2 je ? j 3?0t ? 0.2 je j 3?0t? 1 ? cos(?0t ? ? ) ? 0.4 cos(3?0t ? ? / 2) （因为 ?0 ? 2? / T0 ? 1 ）? 1 ? cos(t ? ? ) ? 0.4 cos(3t ? ? / 2) ? 1 ? cos(t ) ? 0.4 sin(3t )5、信号 f (t ) ? e?2tcos( 100t )? (t ) 的频谱 F ( j? ) =F ( j? ) ?。2 ? j? 100 ? 4 ? ? 2 ? j 4?26、连续系统与离散系统的重要区别特点是。离散系统的频谱具有周期性；7、设连续时间信号 f (t ) 的傅立叶变换为 F ( j? ) ，则 F ( jt ) 的傅立叶变换为。2?f (?? ) ；8、单位门信号 g? (t ) 的频谱宽度一般与其门信号的宽度 ? 有关， ? 越大，则频谱宽度 9、拉普拉斯变换域傅立叶变换的基本差别是 信号满足绝对可积条件时才存在傅立叶变换 们的关系是 而信号不满足绝对可积条件时也可能存在拉普拉斯变换； 。 越窄 。 ；它? 10、?sin ????d? ?。? 。二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）F (s) ?1、已知1 s (1 ? e ? 2 s ) ，收敛域 Re(s) ? 0 ，试求其拉氏反变换 f (t ) ，并画出 f (t ) 的波形。? 1 1 1 1 ? (t ? nT ) ? F (s) ? ? ? ( t ) ? ? ?2 s e ( s) ? 0 ） 1 ? e ?Ts ， s 1? e ， s ， n ?0 1．因为 （R ? 1 ? (t ? 2n) ? ? 1 ? e ?2 s 。由傅立叶变换的时域卷积性质，有 令 T ? 2 ，得 n?0f (t ) ? ? (t ) * ?? (t ? 2n) ??? (t ? 2n)n ?0 n ?0??，其波形如图 A-6 所示。 f (t )? ? ?02 4 6 8 ? ? ?t图 A-6 2、某连续 LTI 时间系统得频率响应 H ( j? ) 如图 A-1 所示，试求：1 -4(1)系统的单位冲激响应 h(t ) ；H ( j? )-20图 A-124?(2)输入 f (t ) ? 1 ? 0.6 cost ? 0.4 cos3t ? 0.2 cos5t ,?? ? t ? ? ，系统的输出 y(t ) 。 2．解 （1）因为1 H ?( j? ) ? ? [ g 2 (? ? 3) ? g 2 (? ? 3)] ? [? (? ? 2) ? ? (? ? 2)] 21又因为 ?Sa (t ) ? g 2 (? )，由调制定理，可得1?即Sa(t ) sin(3t ) ?11 [ g 2 (? ? 3) ? g 2 (? ? 3)] 2j1 Sa (t ) sin( 3t ) ? ? [ g 2 (? ? 3) ? g 2 (? ? 3)] ? 2 sin( 2 t ) ? ? j ? [ ? ( ? ? 2 ) ? ? ( ? ? 2 )] 由于 ，即 ?jj由频域微分性质，可知： ? jth(t ) ? H ?( j? ) ，所以有?sin( 2t ) ? ? (? ? 2) ? ? (? ? 2)j ? jth(t ) ? ? [ Sa (t ) sin(3t ) ? sin( 2t )]?，整理得1 3 2 [ Sa (t ) sin(3t ) ? sin( 2t )] ? Sa (t ) Sa (3t ) ? Sa (2t ) ?t ? ? H ( j ? ) （2）由于 是一个带通滤波器，下限角频率为 2rad/s，上限角频率为 4rad/s，因此，只有角频率为 3rad/s h(t ) ?的信号分量可以通过该滤波器。 由cos(?0t ) ? H ( j?0 ) cos[?0t ? ? (?0 )]可知0.4 cos(3t ) ? 0.4 H ( j3) cos[3t ? ?(3)] 由于 H ( j3) ? 0.5 ， ? (3) ? 0 ，所以有： 0.4 cos(3t ) ? 0.2 cos(3t ) ，即f (t ) ? 1 ? 0.6 cost ? 0.4 cos3t ? 0.2 cos5t ? y(t ) ? 0.2 cos(3t )3 、已知某离散时间系统如图 A-2 所示，试求该系统的单位脉冲响应 h(k ) 。其中 h1 (k ) ? ? (k ? 1) ，h2 (k ) ? 0.5k ? (k ) 。f (k )h1 (k )h2 (k )图 A-2y (k )3． h(k ) ? [h1 (k ) ? ? (k )] * h2 (k ) ? h1 (k ) * h2 (k ) ? h2 (k )?? ? 0.5n ? (n)? (k ? n ? 1) ? 0.5k ? (k )n ??? k ?1n ?0 k ?1? h (n)h (k ? n) ? h (k )2 1 2?? ? 0.5n ? 0.5k ? (k )n ?0? (2 ? 0.5k ?1 )? (k ?1) ? 0.5k ? (k )4、已知 x(t ) 的波形如图 A-3 所示， f (t ) ? x(1 ? 2t ) ， f (t ) 的频谱为 F ( j? ) ，F ( j? )d? （1）画出 f (t ) 的波形； （2）计算 F ( j 0) ； （3）计算 ??? ；?（4）计算????F ( j? ) d?2； （5）计算????F ( j? )2 sin ??e 2 d?j?。图 A-3 4. 解： （1）因为： f (t ) ? x(1 ? 2t ) ，令 1 ? 2t ? ? ，则有， f (t ) ? x(1 ? 2t ) ? x(? ) 。 由 x(t ) 的波形可知，当 ? ? ?1 时， t ? 1 ；? ? 0 时，t?1 2 ；? ? 1 时， t ? 0 。因此， f (t ) 的波形如图 A-7 所示： 图 A-7 （2）由作图法可知，3 f ' (t ) ? 2? (t ) ? 2 g 1 (t ? 1 4 ) ? 2 g 1 (t ? 4 ) ? 2? (t ? 1)2 2设 f (t ) ? F ( j? ) ，又因为：?g? (t ) ? ?Sa (??2 ，即：)g 1 (t ) ?21 ? Sa( ) 2 4 ，由傅立叶变换的时域性质，有：1 1 ? ?j 3 1 ? ?j g 1 (t ? ) ? Sa( )e 4 g 1 (t ? ) ? Sa( )e 4 4 2 4 4 2 4 2 ； 2 。再根据傅立叶变换的微分性质可得：j?F ( j? ) ? 2 ? Sa( )e 43???j?4? Sa( )e 4??j3? 4? 2e ? j?，整理得：1 ? ?j F ( j? ) ? [2Sa( ) ? Sa2 ( )]e 2 2 2 40 1 0 ?j 3 F ( j 0) ? [2Sa( ) ? Sa2 ( )]e 2 ? 2 2 4 2 因此，f (t ) ? 1 2?0??（3）由????F ( j? )e j?t d?? 2得：????F ( j? )d? ? 2?f (0) ? 4?F ( j? ) d?1? （4）由 Pasvarl 定理：??f (t ) dt ?21 2?1 0??2??有：????F ( j?) d? ? 2? ?2???f (t ) dt ? 2? ? f 2 (t )dt ? 4? ? 2 f 2 (t )dt01? 4? ? 4? 2 (1 ? t ) 2 dt ?014 ? 3? j（5）因为：????F ( j? )2 sin ??e 2 d? ? 2? F ( j? ) Sa(? )e 2 d???j??1 又因为： f (t ) ? g 2 (t ? 2 ) ? 2F ( j?)Sa(?)ej?2，所以有：1 f (t ) ? g 2 (t ? ) ? 2?1 2????2 F ( j? ) Sa(? )e 2 e j?t d?? jj?，即2 ? F ( j? ) Sa (? )e 2 d? ? 2? [ f (t ) * g 2 (t ? 1 2 )] t ?0 ? 3???? ? ? 1 1 3 [ f (t ) * g 2 (t ? 1 f (? ) g 2 (?? ? )d? ? ? f (? )[? (? ? ) ? ? (? ? )]d? 2 )] t ?0 ? ? ?? ?? 2 2 2 其中，? ? f (? )d? ? 2?011/ 20f (? )d? ? 4? (1 ? ? )d? ?01/ 23 25 、 如 图 A-4 所 示 连 续 时 间 系 统 ， 其 中 延 时 器 延 时 T 秒 ， 理 想 低 通 滤 波 器 的 频 率 响 应 为 ：H1 ( j?) ? g 2?c (?)e? j?t0其中 g 2?c (?) 是宽度为 2? c 的单位门频谱。已知激励为：f (t ) ?sin t ? sa (t ) t ，求：（1）系统的单位冲激响应 h(t ) ； （2） ?c ? 1 时系统的零状态响应； （3） ?c ? 1 时系统的零状态响应。图 A-4 （1）由题图可得： h(t ) ? [? (t ) ? ? (t ? T )]* h1 (t ) ? h1 (t ) ? h1 (t ? T ) ，又因为： 所以有：h1 (t ) ??c Sa[? c (t ? t 0 )] ? ，?c {Sa[? c (t ? t 0 )] ? Sa[? c (t ? T ? t 0 )]} ? （2）因为 f (t ) ? Sa(t ) ? F ( j?) ? ?g 2 (?) ，所以有： Y f ( j?) ? F ( j?)H ( j?) ? ?g 2 (?) g 2?c (?)[1 ? e ? j?T ]e ? j?t0 当 ?c ? 1 时，有h(t ) ?Y f ( j?) ? ?g 2 (?)[1 ? e ? j?T ]e ? j?t0 ? ?g 2 (?)e ? j?t0 ? ?g 2 (?)e ? j?(t0 ?T )因而得： y f (t ) ? Sa(t ? t 0 ) ? Sa(t ? t 0 ? T ) （3）当 ?c ? 1 时，同理可得： y f (t ) ? ?c {Sa[?c (t ? t 0 )] ? Sa[?c (t ? t 0 ? T )]}三、综合计算题（共 20 分，每小题 10 分）1、已知一 LTI 系统的频率响应为? ? ? j3 ?e 2 ? ? 2? H ( j? ) ? ? ? 其他 ?0系统的输入信号 f (t ) 为周期 T0 ? 4 / 3 冲激信号串，即 (2) 试求周期信号 f (t ) 的频谱 F ( j? ) 。 (3) 试求系统的输出信号 y(t ) 。f (t ) ?n ? ??? ? (t ? nT )0?(1) 试求周期信号 f (t ) 指数形式的傅立叶级数的系数 Fn 。 1． （1）因为 T0 ? 4 / 3 ，所以?0 ?22? 3 ? ? T0 2 。傅立叶级数系数为31 Fn ? T0（2）?T0 2 T ? 0 2f (t )e3 ? j ?nt 2? j ?nt 3 3 dt ? ? 32 ? (t )e 2 dt ? 4 ?3 4F ( j? ) ? 2?3 3 ? 3 F ? ( ? ? ? n ) ? ? ? ? (? ? ?n) ? n 2 2 n??? 2 n ???3 ?j ? 2?（3）因为 H ( j?) ? g 4? (?)e，所以只有频率为 ? ? 2? 的信号分量才能通过系统，因此，有3因为?j ? 3 3 3 Y ( j? ) ? F ( j? ) H ( j? ) ? ? [? (? ? ? ) ? ? (? ) ? ? (? ? ? )]g 4? (? )e 2 2 2 2 9 9 j ? ?j ? 3 3 3 3 3 4 ? ? [? (? ? ? ) g 4? (? ? )e ? ? (? ) g 4? (0) ? ? (? ? ? ) g 4? ( ? )e 4 ] 2 2 2 2 2 ? ? j ?j 3 3 3 ? ? [? (? ? ? )e 4 ? ? (? ) ? ? (? ? ? )e 4 ] 2 2 2 3 2 3 3 3 2 3 3 3 ? ? [? (? ? ? ) ? ? (? ? ? )] ? ?j[? (? ? ? ) ? ? (? ? ? )] ? ?? (? ) 4 2 2 4 2 2 23 3 3 cos( ?t ) ? ? (? ? ? ) ? ? (? ? ? ) ? 2 2 2 1 3 3 3 sin( ?t ) ? ? (? ? ? ) ? ? (? ? ? ) j? 2 2 2 1 ? ? (? ) 2?因此，有1y(t ) ?3 2 3 3 3 [cos( ?t ) ? sin( ?t )] ? 4 2 2 42. 一 线 性 时 不 变 离 散 时 间 因 果 系 统 的 直 接 型 模 拟 框 图 如 图 A-5 所 示 ， 输 入 已 知f (k ) ? 4k ? (k ), y(?1) ? ?1, y(?2) ? 2 ，由 Z 域求解：4F ( z)-?+z ?1x2 [k ]z ?1x1 [k ]?Y ( z)3 2(1) 描述系统的差分方程 (2) 零输入响应 y x (k ) ，零状态响应 y f (k ) ，完全响应 y (k ) ； (3) 系统函数 H ( z ) ，单位脉冲响应 h(k ) ；(4) 系统的状态方程和输出方程。 2． （1）由图 A-52 可知，输入端求和器的输出为zX 2 ( z) ? F ( z) ? 3 X 2 ( z) ? 2 X 1 ( z)(1) X 1 ( z) ? z ?1 X 2 ( z)式（2）代入式（1）得(2)X 2 ( z) ?输出端求和器的输出为1 F ( z) z ? 3 ? 2 z ?1(3)Y ( z ) ? ( z ? 4) X 2 ( z ) ?即z?4 F ( z) z ? 3 ? 2 z ?1(4)( z ? 3 ? 2z ?1 )Y ( z) ? ( z ? 4) F ( z)或(1 ? 3z ?1 ? 2z ?2 )Y ( z) ? (1 ? 4z ?1 ) F ( z)因此系统的差分方程为y(k ) ? 3 y(k ? 1) ? 2 y(k ? 2) ? f (k ) ? 4 f (k ? 1)（2）对上述差分方程取单边 z 变换得Y ( z) ? 3[ z ?1Y ( z) ? y(?1)] ? 2[ z ?2Y ( z) ? z ?1 y(?1) ? y(?2)] ? (1 ? 4z ?1 ) F ( z)整理得Y ( z) ?因此3 y(?1) ? 2 z ?1 y(?1) ? 2 y(?2) 1 ? 4 z ?1 ? F ( z ) ? Yx ( z ) ? Y f ( z ) 1 ? 3z ?1 ? 2 z ?2 1 ? 3z ?1 ? 2 z ?2Yx ( z ) ?3 y (?1) ? 2 z ?1 y (?1) ? 2 y (?2) 2 z ?1 ? 7 5z 12z ? ? ? ?1 ?2 ?1 ?2 z ?1 z ? 2 1 ? 3z ? 2 z 1 ? 3z ? 2 z取 z 反变换得yx (k ) ? (5 ?12? 2k )? (k )因为f (k ) ? 4 k ? (k ) ?z z ? 4 ，所以1 ? 4 z ?1 5 z z 52 z Y f ( z) ? F ( z) ? ? ? 12 ? ?1 ?2 3 z ?1 z?2 3 z?4 1 ? 3z ? 2 z取 z 反变换得5 52 y f (k ) ? (? ? 12 ? 2 k ? ? 4 k )? (k ) 3 3全响应为10 52 y (k ) ? ( ? ? 4 k )? (k ) 3 3（3）由系统函数的定义可得1 ? 4 z ?1 z z H ( z) ? ? ? ?5 ?6 ?1 ?2 F ( z ) 1 ? 3z ? 2 z z ?1 z?2 Y f ( z)取 z 反变换得系统单位冲激响应为h(k ) ? (?5 ? 6 ? 2k )? (k )（4）由式（1） 、 （2）可得系统的状态方程为?x1 (k ? 1) ? x2 (k ) ? ? x2 (k ? 1) ? ?2 x1 (k ) ? 3x2 (k ) ? f (k )即? x1 (k ? 1) ? ? 0 1? ? x1 (k ) ? ?0? ? x (k ? 1)? ? ?? 2 3? ? x (k )? ? ?1? f (k ) ?? 2 ? ? ? ? 2 ? ?由式（4）可得系统的输出方程为 y(k ) ? x2 (k ? 1) ? 4x2 (k ) ? ?2 x1 (k ) ? 7 x2 (k ) ? f (k )或? x (k ) ? y(k ) ? ?? 2 7?? 1 ? ? f (k ) ? x2 (k )?长沙理工大学拟题纸课程编号 8 拟题教研室（或老师）签名 教研室主任签名 符号说明： sgn(t ) 为符号函数， ? (t ) 为单位冲击信号， ? (k ) 为单位脉冲序列， ? (t ) 为单位阶跃信号， ? (k ) 为 单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1、奇异信号是指 2、线性时不变系统一般用 3、系统的零状态响应与 4、系统的单位冲激响应是指 5、周期信号的频谱特点是 的一类信号。数学表达式属于奇异函数； 数学模型来描述。线性微分方程或线性差分方程； 有关，而与 无关。外加输入信号；系统的初始状态；。输入为单位冲激信号时，系统的零状态响应； ，而非周期信号的频谱特点则是 。离散的；连续的； 。6、信号时域变化越快，其对应的频谱所含的高频分量（越少，越多） 越多7 、 已 知 一 连 续 时 间 LTI 系 统 的 单 位 冲 激 响 应 h(t ) ? ? (t ) ? ? (t ? 1) ， 其 系 统 单 位 阶 跃 响 应g (t ) =。g (t ) ? ? h(? )d? ? r (t ) ? r (t ? 1)??t，这里， r (t ) ? t? (t )8、已知某因果连续 LTI 系统 H ( s ) 全部极点均位于 s 左半平面，则2h(t ) t ?? 的值为 0。t) 0 均 匀 抽 样 ， 其 频 谱 不 混 叠 的 最 小 抽 样 角 频 率 为 9 、 对 信 号 Sa (1 0?s ? 2?m ? 400rad / s。?t ? f (t ? ? )d? , t ? 2 y (t ) ? ?? 2 ?0, t ? 2 ，单边拉氏变换 Y ( s) = ? 10、若 f (t ) ? F (s) ，则信号 二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）f (t ) 1-1 0 -1 1tY (s) ? ?F ( s) ?2 s e s1、信号 f (t ) 与 h(t ) 的波形如图 A-1 所示，试求此两信号的卷积 y(t ) ，并画出 y(t ) 的波形。2h (t )-10t 一、解1 1 1 f (t ) ? g1 (t ? ) ? g1 (t ? ) h(t ) ? 2 g1 (t ? ) 2 2 ， 2 ，因此，有 1、 因为 1 1 1 1 y (t ) ? f (t ) * h(t ) ? 2[ g1 (t ? ) * g1 (t ? ) ? g1 (t ? ) * g1 (t ? )] 2 2 2 2又因为1 1 1 1 g1 (t ) * g1 (t ) ? [? (t ? ) ? ? (t ? )] *[? (t ? ) ? ? (t ? )] 2 2 2 2 1 1 ( ?1) 1 1 ? [? (t ? ) ? ? (t ? )] *[? (t ? ) ? ? (t ? )] ' 2 2 2 2 1 1 1 1 ? [r (t ? ) ? r (t ? )] * [? (t ? ) ? ? (t ? )] 2 2 2 2 ? r (t ? 1) ? 2r (t ) ? r (t ? 1)由卷积的时移性质，可得1 1 1 1 y (t ) ? f (t ) * h(t ) ? 2[ g1 (t ? ) * g1 (t ? ) ? g1 (t ? ) * g1 (t ? )] 2 2 2 2 ? 2? [ g1 (t ) * g1 (t )]t ?t ?1 ? [ g1 (t ) * g1 (t )]t ?t ? ? 2[r (t ? 2) ? 2r (t ? 1) ? r (t ) ? r (t ? 1) ? 2r (t ) ? r (t ? 1) ? 2[r (t ? 2) ? 3r (t ? 1) ? 3r (t ) ? r (t ? 1)] ? 2[(t ? 2)? (t ? 2) ? 3(t ? 1)? (t ? 1) ? 3t? (t ) ? (t ? 1)? (t ? 1)]t ? ?2 或 t ? 1 ? 0, ? 2t ? 4, ? 2 ? t ? ?1 ? ?? ?1 ? t ? 0 ?? 4t ? 2, ? 0 ? t ?1 ? 2t ? 2, y(t ) 的波形如图 A-8 所示。y (t )2?2?101t?2图 A-8 图 A-1 2、若 f (t ) 的波形如图 A-2 所示，试画出 f (t ) 和 f (?0.5t ? 1) 的波形。'2 -2 -2 0 2 4t图 A-2 2． f ?(t ) 的波形如图 A-9 所示； f (?0.5t ? 1) 的波形通过翻转、展缩和平移得到，如图 A-10 所示。 f ?(t )1?204t(?4)图 A-9f (?t )2?4 ?2f (?0.5t )20?22t?8?40?24tf (?0.5t ? 1)2? 10 ? 8?6?4?20?22t图 A-10 3、已知 f (t ) 通过一 LTI 系统的响应为 y(t ) ，试用时域方法求 g (t ) 通过该系统的响应 z (t ) ，并画出 z (t ) 的 波形。 f (t ) ， y(t ) ， g (t ) 的波形如图 A-3 所示。f (t ) 1-1 0 -1 1ty (t )10134tg (t ) 1-1 0 1t(?2)图 A-3 3．设系统的单位冲激响应为 h(t ) ，则有 y(t ) ? f (t ) * h(t ) 。由卷积的积分性质，有y ( ?1) (t ) ? f (t ) * h( ?1) (t ) 又因为 g ?(t ) ? f (t ) ，而 z (t ) ? g (t ) * h(t ) ，由卷积的微积分性质，有 z(t ) ? g ?(t ) * h( ?1) (t ) ? f (t ) * h( ?1) (t ) ? y ( ?1) (t ) 由于 y(t ) ? ? (t ? 1) ? ? (t ? 3) ? 2? (t ? 4) ，所以，有 z(t ) ? y ( ?1) (t ) ? r (t ?1) ? r (t ? 3) ? 2? (t ? 4) ? (t ?1)? (t ?1) ? (t ? 3)? (t ? 3) ? 2? (t ? 4) ? 0, t ? 1or t ? 4 ? ? ?t ? 1 1? t ? 3 ? 2 3?t ? 4 ?z (t ) 的波形如图 A-11 所示。 z (t )202图 A-114t4、试求图 A-4 所示信号的频谱 F ( j? ) 。1 -3 -2f (t )t23图 A-4(t ) 分别如图 A-12 所示。由图 A-12 可得 4． f (t ) ? 1 ? f1 (t ) ，其中， f1 (t ) 、 f1?(t ) 和 f1?? f1?? (t ) ? ?? (t ? 3) ? ? (t ? 2) ? ? (t ? 2) ? ? (t ? 3)f1 (t ) f1?(t ) f1?? (t )12 3(1)0?3 ?20t?3 ?22 3t?3?1?1?2 (?1)02(1) 3t(?1)图 A-12 设 f1 (t ) ? F1 ( j? ) ，由傅立叶变换的微分性质可得：( j?) 2 F1 ( j?) ? ?e j 3? ? e j 2? ? e? j 2? ? e ? j 3? ? 2[cos(2?) ? cos(3?)]因此有F1 ( j? ) ?即2[cos( 3? ) ? cos( 2? )]?2? ?4sin(5? / 2) sin(? / 2)?2? ?5Sa (5? ? ) Sa ( ) 2 2F ( j? ) ? 2?? (? ) ? 5Sa (5、如图 A-5 所示 RLC 电路，已知：5? ? ) Sa ( ) 2 2iL (0? ) ? 1A, uc (0? ) ? 1V , R ? 1.5?, L ? 0.5H , C ? 1F ，试求：（1）系统传输函数 H ( s ) 和系统单位冲激响应 h(t ) ，并判断系统的稳定性； （2）当 f (t ) ? 2? (t ) 时，电阻两端的电压 y (t ) ? ？图 A-5 5．解： （1）由 RLC 电路的零状态 S 域模型可得：系统传输函数为：H ( j? ) ?3s s ? 3s ? 2 ；2 系统单位冲激响应为： h(t ) ? 3(2e?2t? e ?t )? (t )由于极点－1 和－2 全在 S 域的左半平面，因此，该系统是稳定系统； （2）由 RLC 电路的全响应 S 域模型可得：Y ( s) ?y (t ) ? 3 ?t e ? (t ) 23( s ? 2) 3 ? 2 2( s ? 3s ? 2) 2( s ? 1)因而有：三、综合计算题（共 20 分，每小题 10 分）1、如图 A-6 所示，已知某连续系统，其中系统的单位冲激响应为：sin 2 (?t ) h1 (t ) ? ?t 2 ， h2 (t ) ? ?? (t )（1）求 f (t ) ? y (t ) 的系统单位冲激响应 h(t ) 和频率响应 H ( j? ) ，并画出 H ( j? ) 的图形；1 2 ? 1 f (t ) ? ? ? sin ?(2n ? 1)?t ? 2 ? 2 n ? 1 n ? 1 （2）判定该系统有何种滤波波作用； （3）当 时，求系统的输出 y(t ) 。图 A-6 1．解：2 （1）由图知， h(t ) ? h2 (t ) ? h1 (t ) ? ?? (t ) ? ?Sa (?t ) 。因为：g? (t ) ? ?Sa (??) 2 ，根据傅立叶变换的对称性，有：t? ?Sa ( ) ? 2?g? (?? ) ? 2?g? (? ) 2。令 ? ? 2? ，得2?Sa(?t ) ? 2?g 2? (?) ， 即 ： Sa(?t ) ? g 2? (?) 。 根 据 傅 立 叶 变 换 的 频 域 卷 积 性 质 有 ：Sa 2 (?t ) ? 1 g 2? (? ) * g 2? (? ) 2? ，即?Sa 2 (?t ) ?1 1 g 2? (? ) * g 2? (? ) ? [? (? ? ? ) ? ? (? ? ? )] *[? (? ? ? ) ? ? (? ? ? )] 2 2 1 ? [? (? ? ? ) ? ? (? ? ? )] ( ?1) *[? (? ? ? ) ? ? (? ? ? )]? 2 1 ? [(? ? ? )? (? ? ? ) ? (? ? ? )? (? ? ? )] *[? (? ? ? ) ? ? (? ? ? )] 2 1 ? [(? ? 2? )? (? ? 2? ) ? 2?? (? ) ? (? ? 2? )? (? ? 2? )] 2 1 H ( j? ) ? ? ? [(? ? 2? )? (? ? 2? ) ? 2?? (? ) ? (? ? 2? )? (? ? 2? )] 2 因此，? ? ? 2? ? ?, ? 1 ? ? ?? ? , ? 2? ? ? ? 0 ? 2 ? 1 ?, 0 ? ? ? 2? ? ? 2其频率响应如图 A-3 所示：图 A-3 （2）由上图可知，该系统具有高通滤波作用。 （3） y(t ) ? f (t ) * h(t ) ? f (t ) *[?? (t ) ? ?Sa (?t )] ? ?f (t ) ? ?f (t ) * Sa (?t )2 2而f (t ) * Sa 2 (?t ) ? F ( j? )1 [(? ? 2? )? (? ? 2? ) ? 2?? (? ) ? (? ? 2? )? (? ? 2? )] 2? ，所以有：1 F ( j? )[( ? ? 2? )? (? ? 2? ) ? 2?? (? ) ? (? ? 2? )? (? ? 2? )] 2?f (t ) * Sa 2 (?t ) ?又因为F ( j? ) ? ?? (? ) ? 2 j ?所以：1 {? [? ? (2n ? 1)? ] ? ? [? ? (2n ? 1)? ] n ?1 2n ? 1?1 F ( j? )[( ? ? 2? )? (? ? 2? ) ? 2?? (? ) ? (? ? 2? )? (? ? 2? )] 2 1 ? F ( j? )[( ? ? 2? )? (? ? 2? ) ? 2?? (? ) ? (? ? 2? )? (? ? 2? )] 2? ? 2? ?? ? ? j? [? (? ? ? ) ? ? (? ? ? )]??f (t ) * Sa 2 (?t ) ??2?1 ? j?t 1 j?t ? je ? je ? ? sin ?t 2 2 2 ，从而得：2y(t ) ? ?f (t ) ? ?f (t ) * Sa (?t )? 2? 1 sin[(2n ? 1)?t ] ? sin ?t n ?1 2n ? 1 。???2? 2?1 ? sin[(2n ? 1)?t ] ? ? sin ?t 2 n ?1 2n ? 1?2、 离散时间系统如图 A-7 所示，已知 y(?1) ? y (?2) ? 1 ， f (n) ??1 ?n 3 ? (n) ，试求：（1）写出描述该系统的差分方程； （2）设该系统为因果系统，求系统函数 H ( z ) 和单位脉冲响应 h(n) ； （3）求系统零状态响应 y f (n) 、零输入响应 y x (n) 和全响应 y (n) ； （4）在 Z 平面上画出 H ( z ) 的零极点分 布图，并判断系统的稳定性； （5）设信号的采样周期 Ts ? 1 秒，请画出系统的幅频响应特性图。图 A-7 2．解： （1）系统的差分方程为：y ( n) ?对差分方程取单边 Z 变换，得1 1 y (n ? 1) ? y (n ? 2) ? f (n) 4 81 1 Y ( z ) ? [ z ?1Y ( z ) ? y (?1)] ? [ z ?2Y ( z ) ? z ?1 y (?1) ? y (?2)] ? F ( z ) 4 8整理得：其中：1 1 1 y (?1) ? z ?1 y (?1) ? y (?2) F ( z) 8 8 Y ( z) ? 4 ? ? Yx ( z ) ? Y f ( z ) 1 ?1 1 ?2 1 ?1 1 ?2 1? z ? z 1? z ? z 4 8 4 81 1 1 3 1 y (?1) ? z ?1 y (?1) ? y (?2) z( z ? ) 8 8 8 8 ? 5 z ? 1 z Yx ( z ) ? 4 ? 1 1 1 1 12 1 24 1 1 ? z ?1 ? z ?2 z2 ? z ? z? z? 4 8 4 8 2 4 2 1 z Y f ( z) ? F ( z) ? F ( z) 1 1 1 1 1 ? z ?1 ? z ?2 ( z ? )(z ? ) 4 8 2 8（2）系统传输函数为：H ( z) ?Y f ( z) F ( z)?z2 2 z 1 z ? ? , 1 1 1 ( z ? 2 )(z ? 4 ) 3 z ? 2 3 z ? 1 4h( n) ?z?1 2系统单位脉冲响应为：2 1 n 1 1 ( ) ? ( n) ? ( ? ) n ? ( n) 3 2 3 4（3）系统零输入响应为：5 1 1 1 y x (n) ? [ ( ) n ? (? ) n ]? (n) 12 2 24 4系统零状态响应为：1 8 1 1 1 y f (n) ? [2( ) n ? ( ) n ? (? ) n ]? (n) 2 7 3 7 4系统全响应为：y ( n) ? y x ( n) ? y f ( n) ? [29 1 n 8 1 n 17 1 ( ) ? ( ) ? (? ) n ]? (n) 12 2 7 3 168 4（4） H ( z ) 的零极点分布如图 A-14 所示，由于极点全部在单位圆之内，所以系统是稳定的。 图 A-14图 A-15H (e j? ) ?系统幅频特性为：ej?1 ? ? e j? ? 1 41 2，其幅频特性如图 A-15 所示。长沙理工大学拟题纸（9）一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1、某连续时间系统ty(t ) ? T [ f (t )] ? ? ?f (? )d???其中 f (t ) 为输入信号，试问该系统为 时不变、因果、稳定性） 。该系统为线性、因果、时变、不稳定系统系统（线性、2、连续时间无失真传输系统的传输函数 H ( j? ) 具有 线 特点。其幅频特性为常数，相频特性为过原点的一条直3、已知某离散时间系统的输入 f ( n) 和输出 y (n) 由下面的差分方城描述y ( n) ?试问该系统具有3 y (n ? 1) ? f (n) 4高通 滤波特性（低通、高通、带通或全通） 。h(t ) ?4、已知某系统单位冲激响应为：sin 100?t ?t ，系统的频率响应 H ( j? ) 为。?1, ? ? 100 ? H ( j?) ? g 200? (?) ? ? other ?0,5、若离散时间系统的单位脉冲响应为 h(k ) ? {1,?1,2} ，则系统在 f (k ) ? {1, 2,?2,1} 激励下的零状态响应 为 。? ?? ? ? f (k ) * h(k ) ? ?1,1,2,7,?5,2? ? ?6、已 知 一 连 续 时 间 LTI 系 统 的 单 位 冲 激 响 应 h(t ) ? ? (t ) ? ? (t ? 1) ， 其 系 统 单 位 阶 跃 响 应g (t ) =。g (t ) ? ? h(? )d? ? r (t ) ? r (t ? 1)??t，这里， r (t ) ? t? (t )?t ? f (t ? ? )d? , t ? 2 y (t ) ? ?? 2 F ( s) ?2 s Y (s) ? ? e ?0, t ? 2， s ? 7、 若 f (t ) ? F (s) ， 则信号 单边拉氏变换 Y ( s) = 。 2 ? j? F ( j? ) ? 2 ?2t 100 ? 4 ? ? 2 ? j 4? 100t )? (t ) 的频谱 F ( j? ) = 8、信号 f (t ) ? e cos( 9、连续系统与离散系统的重要区别特点是。离散系统的频谱具有周期性 越窄 。10、单位门信号 g? (t ) 的频谱宽度一般与其门信号的宽度 ? 有关， ? 越大，则频谱宽度二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）1、已知两个周期矩形脉冲信号 f 1 (t ) 和 f 2 (t ) ： （1）若 f 1 (t ) 的矩形宽度 ? ? 1?s ，周期 T ? 2?s ，幅度 E ? 1V ，试问该信号的谱线间隔是多少？带宽是 多少？ （2）若 f 2 (t ) 的矩形宽度 ? ? 2?s ，周期 T ? 4?s ，幅度 E ? 3V ，试问该信号的谱线间隔是多少？带宽是 多少？ （3） f 1 (t ) 和 f 2 (t ) 的基波幅度之比是多少？ 、解：因为Fn ?1 T /2 1 ? /2 E? ? ?0? ? f (t )e ? jn?0t dt ? ? Ee? jn?0t dt ? Sa? n ? ? T ?T / 2 T ?? / 2 T ? 2 ?6（1） 相邻谱线间隔为： ?0 ? 10 带宽为：? (rad / s) 或 f 0 ? 500kHz ；或B?2??? 2? ?10 6 (rad / s )B?1?? 1000 kHz；基波幅度为：F1 ?1 ? 1 Sa ( ) ? 2 2 ?5（2） 邻谱线间隔为： ?0 ? 5 ?10 带宽为：? (rad / s) 或 f 0 ? 250kHz ；B? 1B?2??? 10 6 ? (rad / s )或?? 500 kHz；基波幅度为： 基波幅度之比为 1：3。F1 ?3 ? 3 Sa ( ) ? 2 2 ?；2、若 f (t ) 的波形如图 A-1 所示，试画出 f (t ) 和 f (?0.5t ? 1) 的波形。'2 -2 -2 0 2 4t图 A-1 2、 f ?(t ) 的波形如图 A-6 所示； f (?0.5t ? 1) 的波形通过翻转、展缩和平移得到，如图 A-7 所示。f ?(t )1?204t(?4)图 A-6 f (?t )2?4 ?2f (?0.5t )20?22t?8?40?24tf (?0.5t ? 1)2? 10 ? 8?6?4?20?22t图 A-7 3、 已知一 LTI 离散时间因果系统的零极点分布如图 A-2 所示， 图中 ? 表示极点， 0 表示零点， 且 H (?) ? 4 ， 试求该系统的单位脉冲响应 h[k ] ，并判断系统是否稳定。Im( z )? -3-2? -1图 A-20Re( z )3、由题意可知，系统函数为H ( z) ?因为 H (?) ? 4 ，所以 k ? 4 ，因此，有kz( z ? 2) ( z ? 1)(z ? 3)H ( z) ?4 z ( z ? 2) z z z ?2 ?2 a k ? (k ) ? ( z ? 1)(z ? 3) z ?1 z ? 3 ，由 z?a 得h(k ) ? 2[(?1) k ? (?3) k ]? (k )由于系统的全部极点在单位圆以外，所以，系统不是稳定的。 4、某连续 LTI 时间系统得频率响应 H ( j? ) 如图 A-3 所示，试求： H ( j? ) 1-4 -2 0 2 4?图 A-3 （1）系统的单位冲激响应 h(t ) ； （2）输入 f (t ) ? 1 ? 0.6 cost ? 0.4 cos3t ? 0.2 cos5t ,?? ? t ? ? ，系统的输出 y(t ) 。 4、 （1）因为1 H ?( j? ) ? ? [ g 2 (? ? 3) ? g 2 (? ? 3)] ? [? (? ? 2) ? ? (? ? 2)] 21又因为 ?Sa (t ) ? g 2 (? )，由调制定理，可得1?Sa(t ) sin(3t ) ?1 [ g 2 (? ? 3) ? g 2 (? ? 3)] 2j 即1 Sa (t ) sin( 3t ) ? ? [ g 2 (? ? 3) ? g 2 (? ? 3)] ? 2 由于 sin(2t ) ? ? j? [? (? ? 2) ? ? (? ? 2)]，即 ?jj1由频域微分性质，可知： ? jth(t ) ? H ?( j? ) ，所以有?sin( 2t ) ? ? (? ? 2) ? ? (? ? 2)j ? jth(t ) ? ? [ Sa (t ) sin(3t ) ? sin( 2t )]?，整理得1 3 2 h(t ) ? [ Sa (t ) sin(3t ) ? sin( 2t )] ? Sa (t ) Sa (3t ) ? Sa (2t ) ?t ? ? （2）由于 H ( j? ) 是一个带通滤波器，下限角频率为 2rad/s，上限角频率为 4rad/s，因此，只有角频率为 3rad/s的信号分量可以通过该滤波器。 由 cos(?0t ) ? H ( j?0 ) cos[?0t ? ? (?0 )]可知0.4 cos(3t ) ? 0.4 H ( j3) cos[3t ? ?(3)]由于 H ( j3) ? 0.5 ， ? (3) ? 0 ，所以有： 0.4 cos(3t ) ? 0.2 cos(3t ) ，即f (t ) ? 1 ? 0.6 cost ? 0.4 cos3t ? 0.2 cos5t ? y(t ) ? 0.2 cos(3t )5、如图 A-4 所示 RLC 电路，已知：iL (0? ) ? 1A, uc (0? ) ? 1V , R ? 1.5?, L ? 0.5H , C ? 1F ，试求：（1）系统传输函数 H ( s ) 和系统单位冲激响应 h(t ) ，并判断系统的稳定性； （2）当 f (t ) ? 2? (t ) 时，电阻两端的电压 y (t ) ? ？ 5、解： （1）由 RLC 电路的零状态 S 域模型可得： 系统传输函数为：H ( j? ) ?3s s ? 3s ? 2 ；2系统单位冲激响应为： h(t ) ? 3(2e ? e )? (t ) 由于极点－1 和－2 全在 S 域的左半平面，因此，该系统是稳定系统； （2）由 RLC 电路的全响应 S 域模型可得：?2t ?tY ( s) ?y (t ) ? 3 ?t e ? (t ) 23( s ? 2) 3 ? 2 2( s ? 3s ? 2) 2( s ? 1)因而有：三、综合计算题（共 20 分，每小题 10 分）1 、 一 线 性 时 不 变 离 散 时 间 因 果 系 统 的 直 接 型 模 拟 框 图 如 图 A-5 所 示 ， 输 入 已 知f (k ) ? 4k ? (k ), y(?1) ? ?1, y(?2) ? 2 ，由 Z 域求解： 4F ( z)-?+z ?1x2 [k ]z ?1x1 [k ]?Y ( z)3 2图 A-5 （1）描述系统的差分方程（2）零输入响应 y x (k ) ，零状态响应 y f (k ) ，完全响应 y (k ) ； （3）系统函数 H ( z ) ，单位脉冲响应 h(k ) ； （4）系统的状态方程和输出方程。 1、 （1）输入端求和器的输出为zX 2 ( z) ? F ( z) ? 3 X 2 ( z) ? 2 X 1 ( z)X 1 ( z) ? z X 2 ( z)式（2）代入式（1）得?1(1) (2)X 2 ( z) ?输出端求和器的输出为1 F ( z) z ? 3 ? 2 z ?1 z?4 F ( z) z ? 3 ? 2 z ?1(3)Y ( z ) ? ( z ? 4) X 2 ( z ) ?即(4)( z ? 3 ? 2z ?1 )Y ( z) ? ( z ? 4) F ( z)或(1 ? 3z ?1 ? 2z ?2 )Y ( z) ? (1 ? 4z ?1 ) F ( z)因此系统的差分方程为y(k ) ? 3 y(k ? 1) ? 2 y(k ? 2) ? f (k ) ? 4 f (k ? 1)（2）对上述差分方程取单边 z 变换得Y ( z) ? 3[ z ?1Y ( z) ? y(?1)] ? 2[ z ?2Y ( z) ? z ?1 y(?1) ? y(?2)] ? (1 ? 4z ?1 ) F ( z)整理得Y ( z) ?因此3 y(?1) ? 2 z ?1 y(?1) ? 2 y(?2) 1 ? 4 z ?1 ? F ( z ) ? Yx ( z ) ? Y f ( z ) 1 ? 3z ?1 ? 2 z ?2 1 ? 3z ?1 ? 2 z ?23 y (?1) ? 2 z ?1 y (?1) ? 2 y (?2) 2 z ?1 ? 7 5z 12z Yx ( z ) ? ? ? ? ?1 ?2 ?1 ?2 z ?1 z ? 2 1 ? 3z ? 2 z 1 ? 3z ? 2 z取 z 反变换得yx (k ) ? (5 ?12? 2k )? (k )因为f (k ) ? 4 k ? (k ) ?z z ? 4 ，所以Y f ( z) ?取 z 反变换得1 ? 4 z ?1 5 z z 52 z F ( z) ? ? ? 12 ? ?1 ?2 3 z ?1 z?2 3 z?4 1 ? 3z ? 2 z5 52 y f (k ) ? (? ? 12 ? 2 k ? ? 4 k )? (k ) 3 3全响应为10 52 y (k ) ? ( ? ? 4 k )? (k ) 3 3（3）由系统函数的定义可得 H ( z) ?取 z 反变换得系统单位冲激响应为Y f ( z) F ( z)?1 ? 4 z ?1 z z ? ?5 ?6 ?1 ?2 z ?1 z?2 1 ? 3z ? 2 zh(k ) ? (?5 ? 6 ? 2k )? (k )（4）由式（1） 、 （2）可得系统的状态方程为?x1 (k ? 1) ? x2 (k ) ? ? x2 (k ? 1) ? ?2 x1 (k ) ? 3x2 (k ) ? f (k )即? x1 (k ? 1) ? ? 0 1? ? x1 (k ) ? ?0? ? x (k ? 1)? ? ?? 2 3? ? x (k )? ? ?1? f (k ) ?? 2 ? ? ? ? 2 ? ?由式（4）可得系统的输出方程为y(k ) ? x2 (k ? 1) ? 4x2 (k ) ? ?2 x1 (k ) ? 7 x2 (k ) ? f (k )或? x (k ) ? y(k ) ? ?? 2 7?? 1 ? ? f (k ) ? x2 (k )?2、连续时间线性时不变（LTI）系统的微分器的系统函数为：H c ( s) ? s若设：(1)2 1 ? z ?1 s? Ts 1 ? z ?1(2)则用（2）式代替（1）式中的 s 来设计离散时间 LTI 系统的方法称之为双线性变换法。Ts 是在设计过程中须确定 的一个大于零的数。 A、试画出离散系统的框图。B、确定离散时间系统的频率响应 H d (e 2、解： A、令 H d ( z ) 为离散系统的系统函数，则由题中给出的公式（1）和（2）得：j?) ，画出它的幅度及相位响应。2 1 ? z ?1 2? 1 ? H d ( z) ? ? ? (1 ? z ?1 ) ?1 ?1 ? TS 1 ? z TS ? 1 ? z ?因此可知该系统可由两个子系统级联构成，如图 A-8（a）所示：X ( z)??????2 TsY ( z)z?1z?1（a） 可简化为图 A-8（b） ： X ( z)??????2 TsY ( z)z ?1（b） 图 A-8 B、由系统函数可得该系统的频率响应 H d (e ) ? H d ( z) z?e j? 为j?? ? ? ? ?j j ?j sin( ) ? ? j? 2 2 2 2 1 ? e 2 e ( e ? e ) 2 2 ? 2 tan(? )e j 2 H d (e j? ) ? ? ? j ? ? ? j ?j TS 1 ? e ? j? TS ? j ? TS TS 2 2 2 cos( ) e (e ? e 2 ) 2 2 ? ? H d (e j? ) ? j tan ? j TS 2 TS 注意 ? ?? 1 ：时，有：幅频特性和相频特性如图 A-9（a） 、 （b）所示。? (?)? /2??（a） 图 A-9 （b）0??长沙理工大学拟题纸课程编号 10 拟题教研室（或老师）签名 教研室主任签名 符号说明： sgn(t ) 为符号函数， ? (t ) 为单位冲击信号， ? (k ) 为单位脉冲序列， ? (t ) 为单位阶跃信号， ? (k ) 为 单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）2 1. 矩形脉冲波形（高度为 A,宽度为 b）的信号能量为_____________。 E ? A b2. 序列 x?k ? 的自相关 rxx (k ) 是一个偶对称函数，它满足关系式_____________。 rxx (k ) ? rxx (0) 3. 线性时不变连续稳定的因果系统，其传输函数 H ( s ) 的极点位于_____全部位于左半开复平面 ______。 4. 某线性时不变系统的单位冲激响应若为 h(t ) ? e 统。 （几阶系统）?t? (t ) ? t ? cos(2t ) ? ? (t ) ，则系统是___五阶________系 F ( j? ) ?5.3 (5 ? j? ) 2 ? 9 的傅立叶反变换 f (t ) 为____ e ?5t sin(3t ) ? ? (t ) _________。6. 已知周期信号 f (t ) 的第三次谐波的幅度等于 3， 则信号 f (2t ) 的第三次谐波的幅度等于___3__________。 7. 令 x(k ) ? 2 ， y(k ) ? ? (k ? 3) ，如果 z (k ) ? x(k ) y (k ) ，试求其和k? z(k) ? __8______。8. 卷积 ? (t ) * e?t? (t ) ? _____ (1 ? e ?t )? (t ) _______。2a 2 ，a&0 的傅立叶变换为______ a ? ? ；_____。29. 信号 x(n) ? e 10. 已知?a tX ( z) ?1 1 ? az ?1 ， z ? a ，则 x(k ) ?。 x(k ) ? ak? (k )二、计算题（共 50 分，每小题 10 分）1．某理想低通滤波器，其频率响应为?1, ? ? 100 H ( j? ) ? ? ?0, ? ? 100当基波周期为T??6 ，其傅里叶级数系数为 an 的信号 f (t ) 输入到滤波器时，滤波器的输出为 y(t ) ，且y(t ) ? f (t ) 。问对于什么样的 n 值，才保证 an ? 0 ？2? ? T 12 rad / s 。信号 f (t ) 通过理想低通滤波器后，输出是其本身， 1、解：信号 f (t ) 的基波角频率为： 这意味着信号 f (t ) 所有频率分量均在低通滤波器的通带内。由于周期信号 f (t ) 含有丰富的高次谐波分量，只有?0 ?当高次谐波分量的幅度非常小时，对 f (t ) 的贡献才忽略不计。由 y(t ) ? f (t ) 可知，凡是频率大于 100 rad / s 的 高次谱波分量， 其幅度均为 0 ， 即 n?0 ? 100 ， 从而有 12 n ? 100 ， 即n ? 8， 因此，8 次以上谐波的幅度 an ? 0 。?1 ? cost , t ? ? f (t ) ? ? ,t ?? ? 0 2．己知信号 ，求该号的傅里叶变换。?1 ? cost , t ? ? f (t ) ? ? ? (1 ? cost ) g 2? (t ) 0 , t ? ? ? 2、解：因为 ，根据频域卷积性质，有 1 F ( j? ) ? FT [(1 ? cos t )] * FT [ g 2? (t )] 2? 1 [2?? (? ) ? ?? (? ? 1) ? ?? (? ? 1)] * 2?Sa (??) = 2?? 2?Sa(??) ? ?Sa[? (? ? 1)] ? ?Sa[? (? ? 1)]? ?[2s i n ?????sin ?? sin ?? ? ] ? (? ? 1) ? (? ? 1) ?2s i n ????sin ?? s i n ?? 2s i n ?? ? ?? 2 ? ?1 ? ? 1 ? (? ? 1)3. 已知周期信号 f (t ) 的波形如图 A-1 所示，将 f (t ) 通过截止频率为 ?c ? 2? rad / s 的理想低通滤波器后， 输出中含有哪些频率成分？并说明具体的理由。图 A-1 3、解：由于周期信号的频谱为：F ? j? ? ? 2?n ???? F ? (? ? n? )n 0?由图 A-2 可知，周期为 T ? 4 s ，基波频率为：?0 ?2? ? ? rad / s T 2 ，傅立叶级数系数为：Fn ?1 2 1 2 1 ?1 f (t )e ? jn?0t dt ? [ ? (?1) ? e ? jn?0t dt ? ? 1? e ? jn?0t dt ? ? (?1)e ? jn?0t dt ? ? 2 ? 2 ? 1 1 4 4 ?1 1 2 s i nn(?0 ) s i n2(n?0 ) 1 ? [e ? jn?0t ? e ? jn?0t ? e ? jn?0t ] ? ? ?2 ?1 1 j 4n?0 n?0 2n?00, n ? 2k , k ? 0,?1,?2? ? s i n?( n / 2) s i n?( n) s i n?( n / 2) ? k ? ? ? ? ? (?1) , n ? 2k ? 1, k ? 0,?1,?2,? n? / 2 n? n? / 2 ? ? (k ? 1/ 2)?因此，频谱 F ? j? ? 只含有奇次谱波，即 ? ? 0 , ? 3?0 , ? 5?0 , …… 。将 f (t ) 通过截止频率 ?c ? 2? rad / s 的 低通滤波器后，凡高于 2? 的频率都会被滤掉，即 n?0 ? 2? ，从而有 n ? 4 ，且为奇数，因而只能有 n ? 1 和 3 ，即输出只有基波?0 ??2 rad / s 和 3 次谐波3? 0 ?3 ? 2 rad / s 的频率成份。4．已知某系统： y(n) ? nf (n) 试判断其线性，时不变性，因果性，稳定性，和记忆性等特性，并说明理由。 }
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