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时间：2017-10-31 21:37
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从0，1，2，7，9五个数字中任选四个不重复的数字，组成的最大四位数和最小四位数的差是______．
腾袭wan879
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从0，1，2，7，9五个数字中任选四个不重复的数字，组成的最大四位数是9721，最小四位数是1027；94；故答案为：8694
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本题考点：
整数的认识；整数的加法和减法．
考点点评：
本题主要是考查整数的认识、整数的加减法．关键是写出这两个数，然后再求这两个数的差．
最大r四位数是8856，而最小m的四位数是5552。两者相差04。四位数和四位数码是两个a不l相同的概念，四位数是数字，第一v位不l能为2零；数码的位数由所拥有的数字量决定，第一p位可以8为5零。ni⌒soùc舀ㄖf≌u椹wtムl酢
B答案；最大9721；不用说；最小1027；0不能首位，所以1放首位，其余的从小往大排！！
扫描下载二维码我们把由数字0和7组成的小数叫做“特殊数 .例如7.??07.77.007都是“特殊数 .如果我们将l写成若干个“特殊数 的和.最少要写成多少个? 题目和参考答案——精英家教网——
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我们把由数字0和7组成的小数叫做“特殊数”，例如7.、77.007都是“特殊数”，如果我们将l写成若干个“特殊数”的和，最少要写成多少个？
考点：数字问题
专题：传统应用题专题
分析：假设这个等式两边一边是1，另外一边是由0和7组成的数，那么等式两边同时除以7就变成另外一个等式，其中等式的左边是，等式的右边全是由0和1组成的数，于是这道题目就变成全由0和1组成的数，相加得到0.4285，显然需要至少八个这样的数．
解：假设这个等式两边一边是1，另外一边是由0和7组成的数，那么等式两边同时除以7就变成另外一个等式，其中等式的左边是，等式的右边全是由0和1组成的数，于是这道题目就变成全由0和1组成的数，相加得到0.4285，显然需要至少八个这样的数，例如：0..1+0.1+0.0．
点评：根据“特殊数”的特点，运用假设法，使这道题目变成全由0和1组成的数，相加得到0.4285，显然需要至少八个这样的数．
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人教七年级上第一章有理数教案
闽清三中教师教案 第一章 1.1 正数和负数【教学目标】 教学目标】 知识技能 1、了解正数和负数是怎样产生的； 2、知道什么是正数和负数； 3、理解数 0 表示的量的意义。 过程方法 1、体会数学符号与对应的思想，用正、负数表示具体相反意义的量的符号化 方法。 2、会用正、负数表示具有相反意义的量。 情感态度 通过师生合作，联系实际，激发学生学好数学的热情。 【教学重点】 教学重点】 知道什么是正数和负数，理解数 0 表示的意义。 【教学难点】 教学难点】 理解负数、0 表示的量的意义。 复习引入】 【复习引入】 1、提问：我们已经学过哪些数？他们是怎么产生和发展起来的？ ▲“数”的产生是为了表示物体的个数或事物的顺序，如“结绳计数”和后 来的 1、2、3……； ▲为了表示“没有” ，引入了“0” ； ▲在分配和测量中，经常出现结果不是整数，从而产生了“分数（小数）； ” ▲总之， “数”是为了满足生产和生活需要而产生、发展起来的。 生活在进步，社会在发展， “数”也在随着人类步伐的前进而向前发展、繁 衍。 【教学过程】 教学过程】 1、表示相反意义的量 在日常生活中，常会遇到这样的一些量（事情） ，能用学过的数表示吗？ （1） 汽车向东行驶 3 千米和向西行驶 2 千米； （2） 温度是零上 10°C 和零下 5°C； （3） 收入 500 元和支出 237 元； （4） 水位升高 1.2 米和下降 0.7 米； （5） 买进 100 辆自行车和卖出 20 辆自行车。 问题 1：这里出现的每一对量，虽然都有不同的具体内容，但都有哪些共同特 征？ （它们都表示具有相反意义的量 具有相反意义的量：向东与向西，零上与零下，收入与支出， 具有相反意义的量 升高与下降，买进与卖出。 ） 问题 2：你能再举出生活中具有几个相反意义的量的例子吗？集备记录1 2、正数和负数 ①能用我们学过的数来很好的表示这些相反意义的量吗？例如：零上 5℃用 5 来表示，零下 5℃呢，也用 5 表示，行吗？ 0 说明：在预报天气图中，零下 5 C 是用-5C 来表示的，为了用数表示具有相反 说明 意义的量，我们把其中一种意义的量，如零上温度，前进，收入，上升，高 出海平面等规定为正的，而把与它相反的量，如零下温度、后退、支出、下 降，低于海平面规定为负的。正的量用算术里学过的数表示，负的量用算术 里学过的数前面放上“一”(读作负)号来表示． 0 如：零上 5℃记作 5℃，(读作正 5 摄氏度)零下 5℃记作一 5 C(读作负 5 摄氏 度) ②怎样表示具有相反意义的量？ 同样， （2）中如果规定向东为正，那么向西为负，汽车向东行驶 3 千米，记 作 3 千米，向西 3 千米则用一 3 千米。 现在请同学们把以上各例子中的两个量表示出来。 如果买进 100 辆白行车记为 100 辆，那么一 20 辆自行车表示什么? 如果向南走 50 米记作一 50 米，那么一 20 米、30 米分别表示什么? 为了表示具有相反意义的量， 上面我们引进了一 5， 2， 237， 0． 一 一 一 7， 一 20 等，像这样的数是一种新数，叫做负数 负数。过去学过的那些数(零除外)， 负数 如 3，10，500，1．2，等，叫做正数 正数。正数前面也可以放上一个“+”(读作 正数 “正”)号。如 3 可以写成+3。一般情况下，正数前面的“+”号省略不写。 注意：零除了表示“没有”“起点”之外还可以表示什么？ 、 零还可以表示“分界点” ，一个确定的量，例如 0℃就不是没有温度的意思， 它是表示水结冰时温度。因此它既不是正数，也不是负数。它是正、负数的 区分点。 3、例题讲解 例 1、 (1)一个月内,小明体重增加 2kg,小华体重减少 1kg,小强体重无变化, 写出他们这个月的体重增长值; (2)2001 年下列国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是: 美国减少 6.4%, 德国增长 1.3%, 法国减少 2.4%, 英国减少 3.5%, 意大利增长 0.2%, 中国增长 7.5%. 写出这些国家 2001 年商品进出口总额的增长率. 解:(1)这个月小明体重增长 2kg,小华体重增长-1kg,小强体重增长 0kg. (2)六个国家 2001 年商品进出口总额的增长率: 美国-6.4%, 德国 1.3%, 法国-2.4%, 英国-3.5%, 意大利 0.2%, 中国 7.5%. 例 2、初一（1）班第二次考试成绩的各科及格人数比上次的增长率如下： 政治 语文 数学 英语 生物 地理 -6.4% -0.9% -7.2% 3.6% -8.8% 10% 第二次考试中那些学科的及格人数增长了，那些学科的及格人数减少了， 那些学科及格人数增加最多？ 分析：增长率为负数表示第二次考试比上一次考试及格人数减少了，增 长率为正数表示及格人数增多了。2 解：英语、地理两科的及格人数增多了；政治、语文、数学、生物四科 的及格人数减少了。地理学科的及格人数增加最多。 【课堂作业】 课堂作业】 1.（1）若运出货物 13 t 记作 ? 13 t，则运进 32 t 记作________________.； 如果向左 3 格记作 ? 3 ，那么 45 表示__________________； 仪 表 指 针 顺 时 针 旋 转 90 记 作 ? 90 ， 那 么 逆 时 针 旋 转 80 记 作0 0 0_____________；甲潜水员在海平面 ? 50 m 作业，乙在海平面 ? 22 m 作业， ______________潜水员离海平面较近； 在知识竞赛中，如果＋10 分表示加 10 分，那么________表示扣 20 分； 在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量 0. 02 克记作＋0.02， 那么－0.03 克表示____________________. 一种零件的内径尺寸在图纸上是 9±0.05(单位:mm),表示这种零件的标准尺 寸 是 9mm, 加 工 要 求 最 大 不 超 过 标 准 尺 寸 _______, 最 小 不 超 过 标 准 尺 寸 _________. 2．把下列各数分别填在相应的大括号里(数与数之间用逗号分开)正数集合：{ … } 负数集合：{ … } 3．在下列横线上填上适当的词,使前后构成意义相反的量: (1)收入 1300 元, 800 元； 80 米,下降 64 米； (2) (3)向北前进 30 米, 50 米； (4)高出海平面 10 米,______海平面 25 米； (5)减少 5 千克，_______20 千克； (6)______3 万吨，增产 2 万吨。 教学反思】 【教学反思】3 1.2.1 有理数【教学目标】 教学目标】 知识技能 知识技能 1. 进一步加深对负数的认识。 2. 掌握有理数的概念,会对有理数按照一定的标准进行分类, 初步了解“集 合”的含义。 过程方法 过程方法 体会分类讨论的思想，能理解不同的分类标准有不同的分类方法，但都要求 不重不漏。 情感态度 通过师生合作，使分数、整数在引入负数的基础上达到完善，从而体会到成 功的快乐。 教学重点】 【教学重点】 正确理解有理数的概念。 教学难点】 【教学难点】 正确理解分类的标准和按照定的标准进行分类。 复习引入】 【复习引入】 1. 我们知道,所有的分数都可以写成两个整数的比. 所有的分数都可以写成两个整数的比. 所有的分数都可以写成两个整数的比 有限小数 0.37 可以写成两个整数的比吗? 无限循环小数 0. 3 也可以写成两个整数的比吗? 所有的有限小数都是分数吗? 所有的无限循环小数呢? 结论:所有的有限小数和无限循环小数都是分数. 结论:所有的有限小数和无限循环小数都是分数. 想一想:小数 3. 是分数吗?圆周率π为什么不是分数? 你能确定小数 3.…是不是分数吗? 2.小学所学的整数只包括正整数和零,也就是自然数.学了负整数以后,今后我 们所指的整数与小学时所学的整数有什么不同? 结论:正整数p 结论:正整数p零p负整数统称整数. 负整数统称整数. 3. 下列负数哪些是负分数? -12, ?? 3 , -0.33, ? 5. 3 . 7 ?对，还有负整数。【教学过程】 教学过程】 1. 所有正整数组成正整数集合, 所有负整数组成负整数集合. 所有正整数组成正整数集合, 所有负整数组成负整数集合. 请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里: 1, 0.0708, -700, -3.88, 0, …} 3., ? 负整数集合:{ …} …} 负分数集合:{ …}4? ? 7 , 0. 2 3 . 23正整数集合:{ 整数集合:{ 正分数集合:{…} 分数集合:{…}(注意:大括号内的省略号表示什么?) 数集一般用圆圈或大括号表示，因为集合中的数是无限的，而本题中只 填了所给的几个数，所以应该加上省略号。 补充： 补充：所有正数组成正数集合，所有负数组成负数集合，所有整数组成整数 集合，所有分数组成分数集合，所有正数和 0 组成非负数集合，所有正整数 和 0 组成自然数集合…… 2.归纳概念：整数：正整数、0、负整数统称为整数。 归纳概念： 归纳概念 分数：正分数、负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 3.有理数的分类： 有理数的分类： 有理数的分类? ? ? 整数 ? ? ? ? ? 分数 ? ? ? ? 正整数：如 ? ?零 ? 负整数：如 ? ? ? 正分数：如 ? ? ? 负分数：如 ? ? 1， ， … 2 3 ? 1， 2 ， 3 … ? ? 1 1 ， ， .2 … 5 2 3 1 5 ? ， 3 . 5， ? ? … 5 6有理数? 2 3 ? 正整数 : 如 1，，… ? 正有理数 ? ? 1 1 1 ? ，， … ? 正分数：如 ? 2 3 4 ? ? 有理数 ? 零 ? ? 1， 2， 3 … ? ? ? 负整数：如 ? ? ? 负有理数 ? 1 5 ? ， 3 . 5， ? ? ? ? 负分数：如 5 6 ? ? 说明：①分类的标准不同，结果也不同；②分类的结果应无遗漏、无重复； ③零是整数，零既不是正数，也不是负数. 4. 典型例题 例 1．把下列各数填入表示它所在的数集的圈内： －5，－1.2，50，0.618，0， 7 ，－1.01001，π，－5%，0.322负分数集合非负整数集合正有理数集合 解：整数集合5 －5，－1.2， －1.01001，－5%50，0负分数集合非负整数集合50，0.618， 7 ，0.322－5，50，0，正有理数集合整数集合例 2．下列命题： （1）0 是正数； （2）0 是整数； （3）0 最小的有理数； （4）0 是非负数； （5）0 是偶数。正确的命题个数是 …………………………（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 解析：选 B。 （4） （2） （5）正确。 例 3.在 5 分钟内背过 5 个单词为过关， 超过的记为正。 现在小明的记录为－3， 小华的记录为 0，小军的记录为 2，小丽的记录为+1，则： （1）四个人中有几个人过关？（2）他们分别背过了几个单词？ （3）记录中的四个数字统属哪一类有理数？ 解： （1）小华、小军、小丽 3 个过关。 （2）小华背 5 个，小军背 7 个，小丽背 6 个。 (3) 属于有理数中的整数集合。 【课堂作业】 课堂作业】 1.把下列各数填入它所属于的集合的圈内：1 2 13 15，? ，? 5， ，? ， .1，? 5.32，? 80， ， .333 0 123 2 9 15 8正整数集合 负整数集合…………正分数集合 负分数集合 思考：上面的练习中四个集合合并在一起就是全体有理数的集合吗？ 2.下列各数,哪些是整数?哪些是分数?哪些是正数?哪些是负数?6 +7,-5, 71 1 2 , ? ,79,0,0.67, ? 1 ,+5.1 2 6 33.0 是整数吗?自然数一定是整数吗?0 一定是正整数吗?整数一定是自然数吗? 4．如图，两个圈内分别表示所有正数组成的正数集合和所有整数组成的整数 集合.请写出 3 个分别满足下列条件的数：正数集合整数集合1） 属于正数集合，但不属于整数集合的数； 2） 属于整数集合，但不属于正数集合的数； 3） 既属于正数集合，又属于整数集合的数. 将它们分别填入图中适当的位置.你能说出这两个圈的重叠部分表示什么数 的集合吗？ 5．在数-100, 70.8, -7, π, -3.8, 0, ?? 2π 22 , 0. 3 , ? 中,不是分数的是 3 7___________________;不是小数的是_____________;不是有理数的是 __________. 【教学反思】 教学反思】7 1.22 数轴【教学目标】知识技能 1.通过与温度计的类比，了解数轴的概念，会画数轴。 2.知道如何在数轴上表示有理数， 能说出数轴上表示有理数的点所表示的 数，知道任何一个有理数在数轴上都有唯一的点与之对应。 过程方法 1. 从直观认识到理性认识，从而建立数轴概念。 2. 通过数轴概念的学习，初步体会对应的思想、数形结合的思想方法。 3. 会利用数轴解决有关问题。 情感态度 通过对数轴的学习，体会到数形结合的思想方法，进而初步认识事物之间的 联系性。 教学重点 【教学重点】 1.数轴的概念。 2.能将已知数在数轴上表示出来，说出数轴上已知点所表示的数。 教学难点 【教学难点】 从直观认识到理性认识，从而建立数轴的概念。 情景引入 【情景引入】 1.小明感冒了，医生用体温计测量了他的体温，并说： “37.8 度。 ” 提疑：医生为什么通过体温计就可以读出任意一个人的体温？ （体温计上的刻度） 2.我们再一起去看看 12 月时祖国各地的自然风光和温度情况（电脑分别显示 黑龙江、焦作、海南三个城市美丽的自然风光，温度分别为-10°c，0°c， 20°c） 提疑：那么要测量这种气温所需要的温度计的刻度应该如何安排？需要 用到哪些数？ （正数、零、负数） 3.请尝试画出你想像中的温度计，并和其他同学交流，注意交流时要发表自己 的见解。然后提问：请找出一支温度计从外观上具有哪些不可缺少的特征？ (组织学生讨论交流)学生可能会从不同的角度回答，教师给予必要的引导， 总结出与数轴相对应的特点，如形状是直的、0 刻度、单位刻度。(电脑动态 演示,将温度计水平放置，抽象得出数轴图形表示有理数-10，0，20 的过程) 从而引出课题------数轴。 教学过程 【教学过程】 一．数轴的画法 与温度计类似，可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点 表示正数、负数和零，具体做法如下：8 1．画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点(通常取适中的位 置，如果所需的都是正数，也可偏向左边)用这点表示 0(相当于温度计上的 0℃)； 2．规定直线上从原点向右（或上）为正方向(箭头所指的方向)，那么从 原点向左（或下）为负方向(相当于温度计上 0℃以上为正，0℃以下为负)；3．选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长 度单位取一点，依次表示为 1，2，3，…从原点向左，每隔一个长度单位取一 点，依次表示为-1，-2，-3，… 根据画图的步骤，学生思考在一条水平的直线上都画出什么？然后归纳出数 轴的定义． 二．数轴的相关概念 1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． （说明：数轴像一支平放的温度计。 ） 向学生提出问题：数轴上为什么要规定原点、正方向和单位长度呢？它 们各起什么作用？引导学生结合温度订正确回答这个问题，从而知道数轴三 要素的重要性，了解三者缺一不可，认识和掌握判断一条直线是不是数轴的 依据． 2.请大家回答下列问题： 下图中哪一个表示数轴？不是数轴的请说出原因．分析：数轴的三要素原点、正方向和单位长度，这三者对于数轴来说是缺一 不可． 解：根据数轴的三要素： 图（1）是数轴，它是具备了原点、正方向和单位长度的直线． 图（2）不是数轴，因为单位长度不一致． 图（3）不是数轴，因为没有原点和单位长度． 图（4）不是数轴，因为它是射线，不是直线． 图（5）不是数轴，有两处错误，一是没有标明正方向；二是负数的排序错误， 从原点向左依次应是－1，－2，－3，…．9 说明：识别一个图形是否是数轴，方法是：第一，这个图形是一条直线； 第二，这条直线要满足三要素．即原点、正方向和单位长度，缺一不可． 3.让学生观察画好的数轴，思考以下问题： （1）原点表示什么数？ （表示 0）（2）原点右方表示什么数？ (正数) 原点左方表示什么数？（负数） （3）表示＋2 的点在什么位置？（原点右侧 2 个单位） 表示－1 的点在什么位置？（原点左侧一个单位） （4） 原点向右 0.5 个单位长度的 A 点表示什么数？原点向左 单位长度的 B 点表示什么数？ 个（点 A 表示 0.5，点 B 表示-0.5） 4.归纳数轴上的点的意义： 一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示 a 的点在原点的___右___边，与原点 的距离是___a___个单位长度；表示－a 的点在原点的__左___边，与原点的距 离是___a__个单位长度。 5．有理数与数轴上点的关系 思考： 是不是任何有理数都可以用数轴上的点来表示？ 通过刚才的学习我们知道所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。 三．例题讲解 例 1 画一个数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：例 2 指出数轴上 A，B，C，D，E 各点分别表示什么数．解：点 A 表示-3，点 B 表示 5.5，点 C 表示 3，点 D 表示-0.5，点 E 表示-1.5 注意：提醒学生不能写成“A=3”的形式。 例 3． （1）在数轴上到原点距离为 3 个单位长度的点有几个？它们表示的数是10 什么？ （2）如果在数轴上点 A 所对应的数是－2，那么在数轴上与点 A 相距 3 个单位长度的点所表示的数有几个？分别是多少？ 解： （1）在数轴上到原点距离为 3 个单位长度的点有 2 个，它们分别表示 3 和-3. （2）与点 A 相距 3 个单位长度的点所表示的数有 2 个，分别是 1 和-5.【课堂作业】示出来． 2．说出下面数轴上 A，B，C，D，O，M 各点表示什么数？3.（1）所有的有理数可以用数轴上的 （2）数轴上的原点右边的点表示 示 ，原点表示 有 。 4.数轴上表示－6 的点，在原点的 示 4.5 的点在原点的来表示。 ，原点左边的点表 ，离原点 3 个单位长度的点 侧，它距离原点 个单位长度；表侧，它距离原点 个，它们是个单位长度。 。5．数轴上距原点的距离等于 6 的点有 教学反思 【教学反思】1.2.3 相反数11 【教学目标】 教学目标】 知识技能 （一）知识技能 3. 了解相反数的概念。 4. 能在数轴上表示出两个互为相反数的数， 并且发现表示互为相反数的两点 在原点的两侧，到原点的距离相等。 5. 利用互为相反数符号表示方法化简多重符号。 过程方法 （二）过程方法 1. 利用数轴，直观认识互为相反数的位置特点，理解相反数的代数定义和几 何定义的一致 性。 2. 渗透数形结合等思想方法，并注意培养学生的概括能力。 3. 会正确求一个数的相反数并知道它们之间的关系。 （三）情感态度 通过相反数的学习，体会数学符号化和数形结合的思想，进而进一步认识事 物之间的联系。 教学重点 1. 相反数的概念及其表示方法， 理解相反数的代数定义和几何定义的一致性。 2. 能准确写出任意数的相反数，对简化符号能正确应用。 教学难点 负数的相反数的表示方法，化简多重符号。 复习引入】 【复习引入】 1．在数轴上分别找出表示各数的点。 3 与D3，D5 与 5，D1.5 与 1.5 想一想：在数轴上，表示每对数的点有什么相同?有什么不同? 2．观察数 3 与D3，D5 与 5，D1.5 与 1.5 有何特点？，观察每组数所对应 的两个点的位置关系有什么规律? 再提思考问}: （1）数轴上与原点的距离是 2 的点有---个?这些点表示的数是--（2）数轴上与原点的距离是 5 的点有---个?这些点表示的数是--学生归纳：每组中的两个数只有符号不同，他们所对应的两点分别在原点的 两侧，到原点的距离相等。 教学过程】 【教学过程】 1．归纳相反数的定义： 像 3 与D3， 与 5， D5 D1.5 与 1.5 这样只有符号不同的两个数称互为相反数。 代数概念：只有符号不同的两个数称互为相反数。0 的相反数是 0.。 几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个数分别位于原点两侧，且与原 点的距离相等。 辩析： （1）符号不同的两个数叫做互为相反数。 （2）3.5 是相反数， （3）+3 和－3 是相反数。 说明： （1）相反数是指只有 只有符号不同的两个数。 只有 （2）相反数是成对出现的，不能单独存在，因而不能说“-6 是相反数” 。特 别强调的是 0 的相反数为 0，因为 0 既不是正数，也不是负数，它到原点的距 离就是 0，这是相反数等于本身的唯一的数。 因此，求一个数的相反数的方法：根据相反数的定义，只要改变一下这12 个数的符号，即将正号改变为负号，负号改变为正号．如 2 的相反数是-2，-5 的相反数是 5。 2. 一般地，数 a 的相反数是－ a ，其中 a 可是正数和负数和 0． 小结：当 a ＞ 0 时， ?a ＜0； 当 a =0 ⑴当 a =7 时，－ a =－7，7 的相反数是－7． 时， ?a =0； ⑵当 a =－5 时， a =－(－5)=5， 的相反数是 5． － －5 当a ＜ 0 时， ?a ＞0． ⑶当 a =0 时，0 的相反数是 0，因此－0=0． ［注意］a 不一定是正数，同样－a 也不一定是负数。解：6.9 的相反数是-6.9；-12 的相反数是 12 ；。反 数？ 解：-(+20)是+20 的相反数；3.规定:在任何一个数的前面添上一个&+&号,表示这个数本身;添上一个&-& 号,就表示这个数的相反数. 想一想： 按照这样的规定,+(-7) 表示什么意思?它的值等于多少? -(-7)表示 什么意思?它的值等于多少? 提示: +(-7)不能记为+-7,-(-7)也不能记为- -7. 4.思考：在式子“7-3 = 4”中,“-”号一般表示___________;在式子“-7”中,“-”号一 般表示______;式子“-a”中,“-”号表示_______. “-”号的三种主要意义： （1） 性质符号： 写在一个数值的前面， 表示这个数是负数. 比如， 表示 -5 “负 5”这个负数，在这里的“-”号就是表示负数的一种符号，它表明“-5”的 性质是负数. （2）相反数符号：表示一个数的相反数时，我们常在这个数的前面添上“-” 号.13 比如，-（-5）= 5，就表示-5 的相反数是 5. （3）运算符号：这点和小学的意义是相同的，用“-”号表示减号. 比 如，2-3 表示“2 减 3”，其中的“-”号就表示了减法运算. 例 3 根据相反数的意义，化简下列各数： (1)-(-48) (2)-(+2.56)解：(1)-(-48)＝48(2)-(+2.56)＝-2.56(4)-[-(-91)]＝-(+91)＝-91注意： 化简一个数前面的 “多重符号” 的规则是： 只要这个数前面的 “－” 号的个数是奇数个时，化简结果的符号为“－”，当“－”号的个数为偶数 时，化简结果的符号为“+”． 例如：－｛＋[－（＋5）]｝=5 （个数为偶数 2,结果应为正） －〔－〔＋（一 5）〕〕＝－5（“一”号个数为奇数 3，结果应为负） 例 4 说出下列各式表示的意义并化简： （1） ? (?2) ； （2） + (?8) ； （5） ? [?( ?a )] ； （6） ? [?( +a )] ； （3） ? (+4) ； （4） ? (? m) ；（7） ? (a ? b) ； （8） ? (a + b) 。解析： （1）求－2 的相反数，结果为 2（也可以简化为“负负得正”来确 定符号，但要清楚可以这么求解的原因） ； （2）－8 的前面加上“+”号，还得原数－8； （3）+4 的相反数为－4； （4） ? m 的相反数为 m（可简化记忆为奇数个负号结果取负号，偶数个负号 结果取正号） ； （5） ? a 的相反数的相反数为 ? a （有 3 个“－”号结果仍取“－”号） ； （6）+a 的相反数的相反数为 a（有 2 个“－”号结果取“+”号） ； （7） a ? b 的相反数为 b ? a ； （8） a + b 的相反数为 ? a ? b 。 课堂作业】 【课堂作业】14 1.判断题 （1） -a 是负数． ( ) （2） 一个负数的相反数一定比它本身大． ( ) 2.分别写出下列各数的相反数： -5，1，-3，0，-1 ? 6，-0.2，1 ，-0.5 ? 43．填空： (1)-1.6 是____的相反数，_______的相反数是-0.2 ?(2)1 与______互为相反数，x+1 的相反数是_____________ 3(3)一个数的相反数是最小的正整数，那么这个数是__________ (4) a 的相反数是 ， （－a） ＋ ＝ ， （－a） － 的相反数是 , ____________的相反数大于本身; ____________的相反数等于本身; ____________的相反数小于本身. 4.?化简下列各数： (1)-(-16)； (5)+(-6.09)； (9)－（+7） 教学反思】 【教学反思】 (2)-(+20)； (6)-［-(+3)］ ； (10) +（－5） (3)+(+50)； (7)+［-(-1)］ ； (11)－（－3．1）1 )； 2 1 (8)-［-()］ 10(4)-(-3绝对值 一 1.2.4.1 绝对值(一)15 【教学目标】 教学目标】 知识技能 （一）知识技能 6. 使学生掌握有理数的绝对值概念及表示方法。 7. 使学生熟练掌握有理数绝对值的求法和有关计算问题。 过程方法 （二）过程方法 1. 在绝对值概念形成的过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学 生的概括能力。 2. 能根据一个数的绝对值表示“距离” ，初步理解绝对值的概念。 3. 给出一个数，能求它的绝对值。 （三）情感态度 从上节课学的相反数到本节的绝对值，使学生感知数学知识具有普遍的联系 性。 教学重点 给出一个数会求它的绝对值。 教学难点 绝对值的几何意义，代数定义的导出；负数的绝对值是它的相反数。 情景引入 引入】 【情景引入】 问题： 问题：两辆汽车，第一辆沿公路向东行驶了 5 千米，第二辆向西行驶了 4 千米．为了表示行驶的方向(规定向东为正)和所在位置，分别记作+5 千米和 -4 千米．这样，利用有理数就可以明确表示每辆汽车在公路上的位置了．我们知道，出租汽车是计程收费的，这时我们只需要考虑汽车行驶的距 离，不需要考虑方向．当不考虑方向时，两辆汽车行驶的距离就可以记为 5 千米和 4 千米(在图上标出距离)．这里的 5 叫做+5 的绝对值，4 叫做-4 的绝 对值． 教学过程】 【教学过程】 1．绝对值的定义： 我们把在数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值 记作|a|。 绝对值)。 绝对值 例如，在数轴上表示数D6 与表示数 6 的点与原点的距离都是 6，所以D 6 和 6 的绝对值都是 6，记作|D6|=|6|=6。同样可知|D4|=4，|+1.7|=1.7。 2．试一试：你能从中发现什么规律? 由绝对值的意义，我们可以知道： ： (1)|+2|= ，1 5=，|+8.2|=；(2)|0|=；(3)|D3|= ，|D0.2|= ，|D8.2|= 。 概括：通过对具体数的绝对值的讨论，并注意观察在原点右边的点表示 的数（正数）的绝对值有什么特点？在原点左边的点表示的数（负数）的绝 对值又有什么特点？由学生分类讨论，归纳出数 a 的绝对值的一般规律： （1）一个正数的绝对值是它本身； ）一个正数的绝对值是它本身； （2） 0 的绝对值是 0； ） ； （3） 一个负数的绝对值是它的相反数。 ） 一个负数的绝对值是它的相反数。 即：①若 a＞0，则|a|=a；16 ②若 a＜0，则|a|=Ca；? a ( a & 0) ? a = ? 0 (a = 0) 或写成： 。 ? ? a ( a & 0) ?③若 a=0，则|a|=0； 3．绝对值的非负性 由绝对值的定义可知： 不论有理数 a 取何值， 它的绝对值总是正数或 0(通 常也称非负数)，绝对值具有非负性，即|a|≥0。 4．例题解析 例 1：求下列各数的绝对值： ? 7 1 ，2 1 10，D4.75，10.5。解： ? 7 1 = 7 1 ； +2 21 10=1 10；|D4.75|=4.75；|10.5|=10.5。例 2： 化简：(1) ? ? + 1 ? ； (2) ? ? 1 1 。 ? ? ? ?? 2? 3解：(1)1? 1 1 ? ? ?+ 1 ? = ? = ? ? 2? 2 2 ?；(2)? ?11 1 = ?1 3 3。 （ 3） |C 2 |C 3例 3：计算： （1）|0.32|+|0.3|； （C 2 ） 。 3（2）|C4.2|C|4.2|；分析：求一个数的绝对值必须先判断这个数是正数还是负数，然后由绝 对值的性质得到。在（3）中要注意区分绝对值符号与括号的不同含义。 解答： （1）0.62； （2）0； （3） 4 。3解：|8|=8，|-8|=8，|1 1 1 1 |= ，|－ |= ，|0|=0,|6－ π |=6－ π ，| π －5|=5－ π 4 4 4 4例 5.，求 x。分析：本题应用了绝对值的一个基本性质：互为相反数的两个数的绝对值相 等。即 或 ，由此可求出正确答案 或 。解： 或或补充： 补充：一对相反数的绝对值相等。 【课堂作业】 课堂作业】17 1.在括号里填写适当的数：-|+3|=( 2. 求+7，-2，)； |()|=1， |()|=0；-|()|=-2．1 2 1 ，-8.3，0，+0.01，- ，1 的绝对值。 3 5 2 3 3. （1）绝对值是 的数有几个？各是什么？ 4(2)绝对值是 0 的数有几个？各是什么？ (3)有没有绝对值是-2 的数？ （4）求绝对值小于 4 的所有整数。 4. 计算： (1)|-15|-|-6|； (4)|+4|×|-5|；(2)|-0.24|+|-5.06|； (3)|-12|÷|+2|；(3)|-3|×|-2|； (6)|20|÷|-1 | 25．检查了 5 个排球的重量（单位：克） ，其中超过标准重量记为正数，不足 的记为负数，结果如下： －3.5，＋0.7,－2.5,－0.6. 其中哪个球的重量最接近标准？ 【教学反思】 教学反思】1.2.4.2 绝对值 二) 绝对值(二18 【教学目标】 教学目标】 （一）知识技能 1．使学生进一步巩固绝对值的概念，能说出有理数大小的比较法则 2. 能熟练运用法则结合数轴比较有理数的大小，特别是应用绝对值概念比较 两个负数的大小，能利用数轴对多个有理数进行有序排列。 3. 能正确运用符号“＜”“＞”“∵”“∴”写出表示推理过程中简单的 因果关系 （二）过程方法 经历由实际问题总结归纳出应用绝对值概念比较有理数大小，特别是比 较两个负数的大小的过程，渗透数形结合思想。 （三）情感态度 通过学生自己动手操作，观察、思考，使学生亲身体验探索的乐趣，培 养学生合作交流能力和观察、归纳、用数学语言表达数学规律的能力。同时 培养学生逻辑思维能力和推理论证能力。 教学重点 运用法则借助数轴比较两个有理数的大小。 教学难点 利用绝对值概念比较两个负分数的大小。 复习引入】 【复习引入】 1．复习绝对值的几何意义和代数意义： 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离，正数的绝对 值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。 2.温度的高低与相应的数在数轴上的位置有什么关系？ （通过学生自己动手操作，观察、思考，发现原点左边的数都是负数，原点 右边的数都是正数；同时也发现 5 在 0 右边，5 比 0 大；10 在 5 右边，10 比 5 大，初步感受在数轴上原点右边的两个数，右边的数总比左边的数大。教师 趁机追问，原点左边的数也有这样的规律吗？）由小组讨论后，教师归纳得 出结论： 教学过程】 【教学过程】 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 在数轴上表示的两个数 正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。 正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。 例１：在数轴上表示数 5，0，－4，－1，并比较它们的大小，将它们按从小 到大的顺序用“&”号连接。 （师生共同完成） 分析：本题意有几层含义？应分几步？ 要点总结：小组讨论归纳，本题解题时的一般步骤：①画数轴；②描点；③ 有序排列；④不等号连接。 2.发现、总结： 做一做 （1）在数轴上表示下列各对数，并比较它们的大小 ①2 和 7 1 2 ③－ 和－ 4 5 ②－1.5 和－1 ④－1.412 和－1.411（2）求出图中各对数的绝对值，并比较它们的大小。 （3）由①、②从中你发现了什么？19 要点总结：两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小， 两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小， 两个正数比较大小 绝对值大的数反而小。 绝对值大的数反而小。 3. 两个负数比较大小时的一般步骤： 例如，比较两个负数 ? 3 和 ? 2 的大小：4 3先分别求出它们的绝对值： 3 ① 先分别求出它们的绝对值 ? = =43 49 12，?2 3= =2 38 12比较绝对值的大小： ② 比较绝对值的大小 ∵9 8 & 12 12∴3&24 32 比较负数大小： 3 ③ 比较负数大小 ? & ? 4 34.归纳： 我们可以得到有理数大小比较的一般法则： 小于正数，负数小于正数； (1) 负数小于 0，0 小于正数，负数小于正数； 两个正数，应用已有的方法比较； (2) 两个正数，应用已有的方法比较； 两个负数，绝对值大的反而小. (3) 两个负数，绝对值大的反而小. 5.例题： 例 2：比较下列各对数的大小： ①－1 与－0.01； 与? ?1 10② ? ? 2 与 0；③－0.3 与 ? 1 ；3④ ? ?? 1 ? ? ? ? ?? 9?。解：(1)这是两个负数比较大小， ∵|D1|=1， |D0.01|=0.01， 且 1&0.01， ∴D1& D0.01。 (2) 化简：D|D2|=D2，因为负数小于 0，所以D|D2| & 0。 (3) 这是两个负数比较大小， ∵|D0.3|=0.3， ? 13 =? 1 = 0. 3 ，且 30.3 & 0. 3 ，?∴ ? 0.3 & ? 1 。3(4) 分别化简两数，得：? 1? 1 ? ?? ? = , ? ? ? 9? 9 1 1 ? ? =? , 10 10∵正数大于负数，1 ? 1? ??? ? & ? ? ∴ ? 9? 10说明：①要求学生严格按此格式书写，训练学生逻辑推理能力； ②注意符号“∵”“∴”的写法、读法和用法； 、 ③对于两个负数的大小比较可以不必再借助于数轴而直接进行； ④异分母分数比较大小时要通分将分母化为相同。 例 3：用“＞”连接下列个数： 2.6，D4.5， 1 ，0，D2 2 10 3 分析：多个有理数比较大小时，应根据“正数大于一切负数和 0，负数小于一 切正数和 0，0 大于一切负数而小于一切正数”进行分组比较，即只需正数和 正数比，负数和负数比。20 提醒学生，用“&”连接两个以上数时，大数在前，小数在后，不能出现 5＞0 ＜4 的式子． 解答：2.6＞ 1 ＞0＞D2 2 ＞D4.5。 10 3 6.想一想：我们有几种方法来判断有理数的大小？你认为它们各有什么特 点？ 由学生讨论后，得出比较有理数的大小共有两种方法：一种是法则， 一种是法则， 一种是法则 另一种是利用数轴。 另一种是利用数轴。 当两个数比较时一般选用第一种，当多个有理数 比较大小时，一般选用第二种较好。 【课堂作业】 课堂作业】 1.（1）有没有最大的有理数，有没有最小的有理数，为什么？ （2）有没有绝对值最小的有理数？若有，请把它写出来？ （3）大于－1.5 且小于 4.2 的整数有_____个，它们分别是____。 2．比较大小（用“&”,“&”或“=”填空） （1）0.1 （4）|-3 -10, -3 （2）0 -5， -（+3） ， （3）|1 | 21 ， （5）-|-3| 2（2）1 31 | 3 1 （6）2 1 |与 0 3|-1 |， 2 2 -|- | 33．比较下列各对数的大小 （1）-5 和-622 与-3.14 7（3）|-4.将有理数 ? 3,? + 2 ,? ,?1 按从小到大的顺序排列,并用“&” 号连接起来。 【教学反思】 教学反思】有理数的加法（ 1.3.1.1 有理数的加法（一）21 【教学目标】 教学目标】 （一）知识技能 1．使学生了解有理数加法的意义。 2．使学生理解有理数加法的法则，能熟练地进行有理数加法运算。 3．培养学生分析问题、解决问题的能力，在有理数加法法则的教学过程 中，注意培养学生的观察、比较、归纳及运算能力。 （二）过程方法 1. 通过实例经历有理数加法法则的产生过程，使学生理解有理数加法的 意义。 2. 在培养学生的观察、归纳、 猜测、验证能力的基础上，进一步发展学 生探究思维、创新思维的能力。 （三）情感态度 1. 在学生自主探索数学知识的过程中，感受学习的成功，增强自信。 2. 通过独立探究、合作交流、自主评价，促进勇于探索，积极合作与交 流等良好的学习态度的形成，促进自主学习和评价能力的提高。 3. 渗透数学审美意识和理论，使学生认识数学来源于生活，又服务于生 活，养成正确运用数学的思想意识。 教学重点 了解有理数加法的意义，会根据有理数加法的法则进行有理数加法 运算。 教学难点 有理数加法中的异号两数如何进行加法运算。 情景引入】 【情景引入】 足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量．若我们规定赢球 为“正” ，输球为“负”,它们的和叫做净胜球．比如，赢 3 球记为+3，输 2 球 记为-2．学校足球队在一场比赛中的净胜球数可能有以下各种不同的情形： (1)上半场赢了 3 球，下半场赢了 2 球，那么净胜球数为 5 球．也就是 (+3)+(+2)=+5 ① (2)上半场输了 2 球，下半场输了 1 球，那么净胜球数为 3 球．也就是 (-2)+(-1)=-3 ② (3)上半场赢了 3 球，下半场输了 2 球，那么净胜球数为 1 球，也就是 (+3)+(-2)=+1 ③ (4)上半场输了 3 球，下半场赢了 2 球，那么净胜球数为 1 球，也就是 (-3)+(+2)=-1 ④ (5)上半场赢了 3 球，下半场不输不赢，那么净胜球数为 3 球，也就是 (+3)+0=+3 ⑤ (6)上半场输了 2 球，下半场两队都没有进球，那么净胜球数为 2 球，也 就是 (-2)+0=-2 ⑥ (7)上半场打平，下半场也打平，那么净胜球数为 0，也就是 0+0=0．⑦ 上面我们列出了两个有理数相加的 7 种不同情形，并根据它们的具 体意义得出了它们相加的和．但是，要计算两个有理数相加所得的和，我们 总不能一直用这种方法．现在我们大家仔细观察比较这 7 个算式，看能不能 从这些算式中得到启发，想办法归纳出进行有理数加法的法则？也就是结果22 的符号怎么定？绝对值怎么算？ 这里，先让学生思考，再由学生自己归纳出有理数加法法则. 教学过程】 【教学过程】 1. 有理数加法法则： ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大 的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得 0； ⑶一个数同 0 相加，仍得这个数。 例 1、 填表：学生逐题口答后，教师小结： 进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数 是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则．进行计 算时，通常应该先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值． 例 2 计算：(1)(3)＋(9) (2) (1 1 )＋( ) 2 3解：(1) (3)＋(9) (两个加数同号，用加法法则的第 2 条计算) =-(3＋9) 和取负号，把绝对值相加) =-12．1 1 (2) ( )＋( ) (两个加数异号,用加法法则的第 2 条计 2 3算) =(1 1 － ) 2 3 1 = 6(|1 1 |＞| |,和取负号,把绝对值相减) 2 31 1 － 上,从而把本题 2 3 1 1 的答案写成“ ” ，应该根据法则按步思考：先确定“和”取“” ，再计算 6 2 1 － 。 3注意: 解第(2)题时,同学们不能只把注意力集中在计算 例 3 计算： （1） （－9）＋（－8） ； （2）(4)＋(3)；（3）(5.25)＋5；（4）(2002 )＋0。 2003解（1） （－9）＋（－8）＝－（9＋8）＝－1723 （2）；（3）(5.25)＋51 =(5.25)＋5.25=0 4（4）。例 4 一天，小明上午到银行从存折上取出 80 元，下午又存入了 50 元， 结果存折上的钱是多了还是少了？多（少）多少？ 解： (－80)＋(＋60)＝－20（元） 答：存折上的钱是少了，少 20 元。 【课堂作业】 1.填空： (1)、 ( ?9) + ( +2) 和的符号 ，和的绝对值 ，和 。 (2)、 ? ? ? + ? ? ? 和的符号 。 (3)、 ( +0.72) + ( ?018) 和的符号 . 。 (4)、 ? + ? + ( ?0.3) 和的符号? 1? ? 3?? 1? ? 5?，和的绝对值，和，和的绝对值，和? 4? ? 5?，和的绝对值，。 和 2.请你细心填一填： （1） （＋5）＋（－8）=______. （ ）＋（－2）=－6. ____+(-101)=0, (-2003)+_____=-2003. (2)第三赛季,泰山足球队第一场比赛输了3个球,第二场比赛赢了2个球,该队 这两场比赛的净胜球是 __________。 (3)土星表面的夜间平均温度为-150℃，白天比夜间高27℃，那么白天的平均 气温是______。 (4) 请你写 出两个 有理 数， 并把 它们相 加，使 它们 的和 小于每 一个加 数 ___________。 (5)3与-5的和的相反数是 。 ? 21米，B地比A地高68米，那么B地海拔高度是 (6)A地的海拔高度是 . 教学反思】 【教学反思】24 1.3.1.2 有理数的加法 二) 有理数的加法(二【教学目标】 教学目标】 知识技能 （一）知识技能 1．让学生自主探究有理数加法的运算，理解加法运算律对于有理数的加法运 算同样适用。 2．让学生能自觉恰当运用加法运算律进行有理数加法运算，感受运算律能使 运算简化的作用，并能应用加法运算律解决实际问题。 3．熟练掌握多个有理数加法的运算 ． 过程方法 （二）过程方法 1．经历有理数加法运算律的探究活动，培养学生的思考、探究、归纳的能力。 2．使学生逐渐养成“算必讲理”的习惯，培养学生运算思维的准确性。 （三）情感态度 学生体验到通过数学活动，从师生之间的沟通、交流及自我探究中获得 数学知识和能力快乐． 教学重点 正确理解有理数中的加法交换律和结合律，能灵活、合理运用。 教学难点 能合理、自觉运用加法运算律进行简便运算。 复习引入】 【复习引入】 1.叙述有理数的加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加，绝对值相等时和为0； 绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的 绝对值． 一个数同0相加，仍得这个数． 2．在小学，数的加法有哪些运算律？ 教学过程】 【教学过程】 1.问题:计算并比较 ①(-8)+(-9), (-9)+(-8) ②4+(-7), (-7)+4 ③ [2+(-3)]+(-8), 2+[(-3)+(-8)] ④ [10+(-10)]+(-5), 10+[(-10)+(-5)] 通过计算你发现了什么?在有理数的运算中小学学过的加法的交换律,结合律 还成立吗? ①有理数的加法交换律是：两个数相加，交换加数的位置，和不变． 即加法交换律 ． ②有理数的加法结合律是：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两 ． 个数相加，和不变.即加法结合律 ③交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相加，可以任意交换加数的位 置，也可先把其中的几个数相加，无论各数相加的先后次序如何，其和不变。 例 1、（1） 16+（-45）+ 24 +（-32） （2）（－2.8）＋3＋1＋（－3）＋2.8＋（－4）（3）1 ? 1? 0.125 + 2 + ? ?2 ? + ( ?0.25 ) 4 ? 8?观察各小题数字特点，如何应用加法运算律简化计算呢？25 学生思考、讨论.并要求学生讲出每一步运算的依据. 解：(1)16＋（－45）＋24＋（－32） ＝（16＋24）＋［（－45）＋（－32）］（加法交换律和结合律） ＝40＋（－77）（同号两数相加法则） ＝－37．（异号两数相加法则） （2）（-2.8）+3+1+（-3）+2.8+（-4） =[（-2.8）+ 2.8 ]+[3+（-3）]+1+（-4）（加法交换律和结合律） =0+0+1+（-4）（互为相反数的两数相加为零） =-3（异号两数相加法则） （3）1 ? 1? 0.125 + 2 + ? ?2 ? + ( ?0.25) 4 ? 8? 1 ? 1? （加法交换律） = 0.125 + ? ?2 ? + 2 + (?0.25) 4 ? 8? ? ? 1 ?? ? 1 ? = ?0.125 + ? ?2 ? ? + ? 2 + (?0.25) ? （加法结合律） ? 8 ?? ? 4 ? ? = (?2) + 2 =0（同分母分数相加法则）总结： 总结：对于三个以上有理数相加，按下列过程计算比较简便： (1)凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加； (2)同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和； (3)同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来； （4）带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部 分拆开，分别结合相加。注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号。 例 2. 10 筐苹果，以每筐 30 千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千 克数记作负数，记录如下：2，－4，2.5，3，－0.5 ，1.5，3，－1，0， －2.5。问这 10 筐苹果总共重多少？ 看到这个问题小明想到了两种解法： 解法一： （先求出每一筐苹果原来的千克数，再求它们的和。 ） 这 10 筐苹果原来的重量分别是： （单位：千克） 32，26，32.5，33，29.5，31.5，33，29，30，27.5 32+26+32.5+33+29.5＋31.5＋33＋29＋30＋27.5＝304（千克）26 答：10 筐苹果总共重 304 千克。 解法二： （先求出 10 筐苹果与标准质量的总差值，再求和。 ） 2+(－4)+2.5+3+(－0.5)+1.5+3+(－1)+0+(－2.5) =(2+3+3)+(－4)+[2.5+(－2.5)]+[(－0.5)+(－1)+1.5] =8+(－4)=4 30×10+4 = 304(千克) 答：10 筐苹果总共重 304 千克。 【课堂作业】 课堂作业】 1.绝对值小于5的所有整数的和等于 ；绝对值不大于10的整数有 _____个,这些整数的和为_____.绝对值不大于100的整数有_____个,这些整 数的和为_____.有理数中最小的正整数和最大负整数的和是_____. 2.小于2003且大于-2002所有整数的和是( ). (A)2002 (B)1 (C)0 (D)-2002 3.如果a+b+c&0,那么( ). (A) 三个数中最少有两个负数 (B)三个数中有且只有一个负数 (C)三个数中最少有一个负数 (D)三个数中两个是正数或者两个是负数 4.计算： （1） （+14）+（－4）+（－1）+（+16）+（－5） （2） （－18．65）+（－7．25）+18．75+7．25 （3） （－2．25）+（－5 3 ）+（－ ）+0．125 8 4（4） （－3．5）+[3+（－1．5）] (5)（－2004）＋（＋29）＋2004 5.有一批货物标准质量为每袋 100 克,现抽取 10 袋样品进行检测,其结果是 99,102,101,101,98,99,100,97,99,103.求这 10 袋货物的总质量是多少?(用两种方 法计算) 【教学反思】 教学反思】27 1.3.2.1 有理数的减法 一) 有理数的减法(一【教学目标】 教学目标】 （一）知识技能 理解掌握有理数的减法法则,会将有理数的减法运算转化为加法运算； （二）过程方法 通过把减法运算转化为加法运算，向学生渗透转化思想，通过有理数的减法 运算，培养学生的运算能力。 情感态度 （三）情感态度 培养学生观察、分析、归纳及运算能力。 教学重点 运用有理数的减法法则熟练进行减法运算。 教学难点 理解有理数的减法法则是难点，突破的关键是转化，变减为加． 复习引入】 【复习引入】 1．有理数的加法法则？ 计算（口答） （1）2 ? 3? + ?? ? ； 5 ? 5?（2）－3＋（－7） ；（3）－10＋（＋3） ； （4）＋10＋（－3） ． 2.某天中午的气温为 11 °C ，到午夜气温下降了 15°C ，则午夜的气温是多 少？怎样计算的？ 3.2008 年元旦开封的气温为-5 °C―7°C，这一天的温差（最高气温与最低 气温之差）是多少？怎样计算的？ 【教学过程】 教学过程】 1.算下列各式: ①50-20=_____，50+（-20）=_____； ③50-0=_____， 50+0=_____ ； ⑤50-(-20)=______, 50+20=________. 观察上面问题中每组的两个算式和结果，你能发现减法如何转化为加法吗？ 由学生叙述，最后由教师和学生一起归纳有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 +（ a-b=a +（-b） 注意：这里的 a、b 表示任意有理数 ①进行有理数运算时，首先应弄清减数的符号（是“+” ，还是“-” ） 。 ②将有理数减法转化为加法时，要同时改变两个符号：一个是运算符号 由“-”变为“+” ，另一个是减数的性质符号。 ③今天学习有理数减法和小学减法意义相同，就是：已知两数和与其中 一个加数，求另一个加数的运算。 例 1 口算： ①3－5= ②3－（－5）= ③（－3）－5=28②50-10=_____ ，50+（-10）=_____； ④50（-10） =_____， 50+10=_____； ④（－3）－（－5）= ⑦－7－0= 例 2 计算: (1) (－3)D(D5);⑤－6－（－6）= ⑧0－（－7）=⑥－6－6= ⑨9－（－11）=(2)0－7;(3) 7.2D(D4.8); (4)－31 1 ?5 . 2 4解:(1) (－3)D(D5)= (－3)+5=2; (2) )0－7=0+(－7)= －7; (3) 7.2D(D4.8)=7.2+4.8=12; (4) －31 1 1 1 3 ? 5 =－3 +(－5 )=－8 . 2 4 2 4 4[说明] 将减法化成加法， （4）运算结果可以用假分数表示，也可以用带分数 表示 例 3． 在数轴上表示－２和＋１的两点间距离． 解：｜－２－１｜＝｜（－２）＋（－１）｜＝｜－３｜＝３ 或者 ｜１－（－２）｜＝｜１＋２｜＝３ [说明] 数轴上表示有理数 a ,b 的两点间距离等于｜ a －b｜（或｜b－ a ｜） 例 4. 全班学生分为五个组进行游戏，每组的基本分为 100 分，答对一题加 50 分，答错一题扣 50 分，游戏结束时，各组的分数如下： 第一组 100 第二组 150 第三组 -400 第四组 350 第五组 -100⑴第一名超出第二名多少分？ ⑵第一名超出第五名多少分？ 解：由上表可以看出，第一名得了 350 分，第二名得了 150 分，第五名得了400。 ⑴350 - 150=200（分） ； ⑵350 - （- 400）=750 分。 因此，第一名超出第二名 200 分，第一名超出第五名 750 分。 【课堂作业】 课堂作业】 1．填空题 （1）3－（－3）＝____________； （3） （－6） 0－ ＝____________； （5）－12－（－5）＝____________； （7）－8 比－2 小___________； （2） （－11）－2＝______________； （4） －7） （＋8） （ － ＝____________； （6）3 比 5 大____________； （8）－4－（ ）＝10；29 2．判断题 （1）两数相减，差一定小于被减数。 （ （2） （－2）－（＋3）＝2＋（－3）（ 。 （3）零减去一个数等于这个数的相反数。 （ （4）方程 x + 8 = 5 在有理数范围内无解。 （ （5）若 a & 0 ， b & 0 ， a & b ， a ? b & 0 ． （ 3．计算： （1） （－37）－（－47） ； （3） （－210）－87； （5）6.08－（－2.83） ； （7） ? ? ? （2） （－53）－16； （4）1.3－（－2.7） ； （6） （－2.7）－3.7； （8） （－2 ） ） ） ） ）1? ? 3? ? ? ?? ?； ? 4? ? 4?3 1 ）－（－1 ） ； 4 2（9） （－6－6）－7；（10） （1－5）－（2－8）.4．分别求出数轴上下列两点间的距离： （1）表示数 8 的点与表示数 3 的点； （2）表示数－2 的点与表示数－3 的点. 5．两个数的差一定小于被减数吗？请你举例说明. 【教学反思】 教学反思】30 1.3.2.2 有理数的减法 二) 有理数的减法(二【教学目标】 教学目标】 （一） 知识技能 1.使学生理解有理数的加减法法可以互相转化，并了解代数和的概念。 2.在正确理解省略括号和的形式基础上，熟练地进行有理数的加减混合运算。 3.在加减混合运算中，能灵活运用运算律简化运算，提高学生的运算能力。 （二）过程方法 通过学生参与探索运算律在加减混合运算中作用的数学活动，体会有理数运 算中分析和转化的思想方法．培养学生的运算能力。 （三）情感态度 体验数、符号是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问 题的重要工具。教学重点 教学重点 把加、减混合的算式化为省略加号的和式，并运用加法运算律合理地进行运 算。 教学难点 把加、减混合运算统一成加法运算， 把加、减混合运算统一成加法运算，需要一个比较复杂的思维和表述过 程，是本节教学难点。 是本节教学难点。 【复习引入】 复习引入】 1. 有理数的减法法则是___________________________________________. 2. 把下列减法改写成加法： (1)(-8)-(-10)=_____________ (2)(-6)-(+4)=_____________ (3) ( ?4 1 )－(+ )=___________ 5 5 2 3 4 5 1 5 1 3(4)-(-1 )-(+1)=____________ 3(5)(-8)-(-10)+(-6)-(+4)=____________________ (6) ( + ) + ( ? ) ? ( + ) ? ( ? ) ? ( +1) =____________________________ 【教学过程】 教学过程】 1.我们知道有理数的减法是先把它化为有理数的加法，即加减统一成加法。 把（-8）-（-10）+（-6）-（+4）统一成只有加法可写成 （-8）+（+10）+（-6）+（-4） 像这样的的一个和式里，通常把各个加数的括号与它前面的加号省略不写， 如上式可写成 -8+10-6-4 这个式子仍看作和式，叫做代数和 代数和。 代数和 按和式读做“负 8，正 10，负 6 负 4 的和” ； 按运算意义读做“负 8 加 10 减 6 减 4” 。 例如将加减运算 (?11) ? 7 + (?9) ? (?6) 统一成加法： ⑴统一成加法： (?11) ? 7 + (?9) ? (?6) = (?11) + (?7 ) + (?9) + 6 ⑵省略括号写成：－11－7－9+631 ⑶代数和：－11－7－9+6 ⑷读法：①根据性质符号读作：负 11，负 7，负 9，正 6 的和． ②根据运算符号读作：负 11 减 7 减 9 加 6． ⑸“+” “－”符号，既是性质符号，又是运算符号，两者合一． 例 1、把下列各式写成省略加号的和的形式，并把它读出来。 （1） （+1）+（-3）-（+2）-（-4）-（+6） （2） (-20)+(+3)-(+5)-(-7) 解： （1）原式=（+1）+（-3）+（-2）+（+4）+（-6） =1-3-2+4-6 读作“正 1、负 3、负 2、正 4、负 6 的和”或“1 减 3 减 2 加 4 减 6” （2）原式= (-20)+(+3)＋(－5)＋(＋7) =-20+3-5+7 读作“负 20 正 3 负 5 正 7 的和”或 “负 20 加 3 减 5 加 7” 例 2、计算 （1）-24+3.2-1.6+3.5+0.3 （2）0-21+3-（-0.5）-（-6）-（+4） 解 (1)因为原式表示-24，3.2，-16，-3.5，0.3 的和，所以可将加数适当交 换位置,并作适当的结合进行计算，即 -24+3.2-16-3.5+0.3 ＝（-24-16）+（3.2+0.3）-3.5 ＝－40＋3.5－3.5 ＝－40 . （2）0-21+3-（-0.5）-（-6）-（+4） ＝0＋（－21）＋（＋3）＋（＋6）＋（－4） ＝－21＋3＋6－4 ＝（－21－4）＋（3＋6） ＝－25＋9 ＝－16 注意：⑴有理数加减法混合运算的题目的步骤为： ①减法转化成加法； ②省略加号括号； ③运用加法交换律（这里既交换又结合，交换时应连同数字前的符号一 起交换）；32 ④按有理数加法法则计算． （2）运算律： ①互为相反数放在一起 ②同分母的放在一起 ③能凑整的放在一起 ④小数与小数放在一起，整数与正数放在一起（等等） 例 3 一储蓄所在某时段内共受理了 8 项现款储蓄业务，存入记“+”，取出记 “负”，要求 记录并计算结果. 如学生报数如下： 取出 63.7 元，存入 150 元，取出 200 元，存入 120 元，存入 300 元，取出 112 元，取出 300 元，存入 100.2 元. 解： 记存入为正，由题意可得 -63.7+150-200+120+300-112-300+100.2 =（150+120+100.2）+（300-300）+（-63.7-200-112） =37.0+0+（-375.7） =-5.5（元）. 答：该储蓄所在这一时段内现款减少了 5.5 元. 【课堂作业】 课堂作业】 1.把下面各式写成省略括号的和的形式： ①10+(+4)+(-6)-(-5)； ②(-8)-(+4)+(-7)-(+9)． ③（-12）-（+8）+（-6）-（-5） ④（+3.7）-（-2.1）-1.8+（-2.6） ⑤（－5）＋（＋7）－（－3）－（＋1） ； ⑥10＋（－8）－（＋18）－（－5）＋（＋6） ． 2.式子－7＋1－5－9 的正确读法是（ A．负 7、正 1、负 5、负 9； B．减 7、加 1、减 5、减 9； C．负 7、加 1、负 5、减 9； D．负 7、加 1、减 5、减 9； 3．说出式子－3＋5－6＋1 的两种读法． 4．计算 （1）0－10－（－8）＋（－2） ； （2）－4.5＋1.8－6.5＋3－4；33） ． （3） ? ?3 ? 1? ? 2? ? 1? ? ??+ ? ? ? ??? ? ． 4 ? 4? ? 3 ? ? 3?（4）－8＋12－16－23； （5） ? 42 11 1 17 + 1 ? 17 ? 2 ； 3 12 4 18（6）－40－28－（－19）＋（－24）－（－32） ； （7）－2.7＋（－3.2）－（1.8）－2.2； 【教学反思】 教学反思】34 1.4.1.1 有理数的乘法 一) 有理数的乘法(一【教学目标】 教学目标】 （一）知识技能 1.掌握有理数的乘法法则，会进行有理数的乘法运算。 2.了解倒数的概念，理解零没有倒数，学会求一个数的倒数。 （二）过程方法 关注学生学习的过程，多让学生经历知识发生、规律发现的过程，尽可 能让学生活动。 发展观察、归纳、猜测、验证等能力。 （三）情感态度 通过法则的推导，让学生亲身经历知识的发生过程，培养学生勇于探索 新知的精神。 鼓励学生参与到数学学习活动中，自己动手，总结规律。能够确定有理数相 乘积的符号， 获得成功的体验。 教学重点 有理数乘法的运算。 教学难点 探索有理数的乘法法则及符号的确定。 复习引入】 【复习引入】 1.回忆小学学过的乘法，计算下列各题： （1） 3× （4）1 = 2（1）7 ×2= 22 1 × = 3 2 11 （5） × 0 = 4（3）7 7 × = 2 3（7）0×0=（6）0×7.4×5.3=问题：对有理数来说，乘法运算怎么进行？这节课我们就来学习。 【教学过程】 教学过程】 1．创设问题情境 一只蜗牛沿直线 l 爬行，它现在的位置在直线 l 的点 O. 问题 1 ： （1）如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向右爬行，3 分钟后它在什 么位置？ （2）如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向左爬行，3 分钟后它在什么位置？ （3）如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向右爬行，3 分钟前它在什么位置？ （4）如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向左爬行，3 分钟前它在什么位置？ 问题 2 为区分方向，规定向左为负，向右为正；为区分时间，规定现在前为 负，现在后为正.以上 4 个小问题的答案是什么？计算过程如何写？ （1）3 分钟后它在 l 上点 O 右边 6cm 位处，表示为（＋2）×（＋3）＝＋6； （ （2）3 分钟后它在 l 上点 O 左边 6cm 位处，表示为（－2）×（＋3）＝－6； ； （3）3 分钟前它在 l 上点 O 左边 6cm 位处，表示为（＋2）×（－3）＝－6； － － （4）3 分钟前它在 l 上点 O 右边 6cm 位处，表示为（－2）×（－3）= +6 问题 3 怎样进行有理数的乘法运算？ 通过对上面问题的研究，发现有理数的运算有下面几个方面： （1）有理数的乘法分为：正数乘正数；负数乘正数；正数乘负数；负数乘负 数；有理数与零相乘. （2）符号：正数乘正数为正数；负数乘正数为负数；正数乘负数为负数；35 负数乘负数为正 数；即同号得正，异号得负. （3）绝对值：各乘数的绝对值相乘是积的绝对值. (4) 任何数与 0 相乘，积仍为 0. 由此可得到： 2.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数同 0 相乘，都得 0. 说明：进行乘发运算时，要抓住符号和绝对值这两个关键：有理数相乘，先 有理数相乘， 有理数相乘 确定积的符号，再确定积的绝对值. 确定积的符号，再确定积的绝对值 3 例题讲解： 例 1 口答，说出下列两数积的符号。 （1）5×（-3） （4）0.5×0.7 （2） （-4）×1 2（3） （-1 ）×（-9） 7（5）│-5│×（-2）－│-2│×2 （4）正 （5）负解： （1）负 （2）负 （3）正 例 2.计算： （1） （-5）×（-6） ×（（2） （-1 1 ）× 2 4（3） （-3 3 ）×（- ） （4） （-3） 8 81 ） 3 1 1 1 ）× =－ 2 4 8 1 （4） （-3）×（- ）=1 3（2） （-解： （-5）×（-6）=30 （1） （3） （-9 3 3 ）×（- ）= 8 8 644.倒数的定义：乘积是 1 的两个数互为倒数。 （ 数 a（a≠0）的倒数是什么？） a（a≠0）的倒数是 说明： 说明： （1） 当 a（a≠0）为整数时，倒数为1 ，0 没有倒数。 a 1 ； a（2） 当 a 为分数时，分子分母互换，带分数换成假分数再求； （3） 正数倒数为正，负数倒数为负； （4） 倒数等于本身的数是 1，-1； 相反数等于本身的数是 0； 绝对值等于本身的数是非负数 例 3 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负。登山队攀登一座山 峰，每登高 1km 气温的变化量为－6℃，攀登 3km 后，气温有什么变化？ 解： （-6）×3=－18 答：气温下降 18℃.36 课堂作业】 【课堂作业】 1. ( ?7) × ( ?4) 积的符号 ；，积的绝对值 ，积的绝对值 ，积的绝对值 ，积的绝对值， ， ， ，积 积 积 积( ?7) × 4 积的符号； 5 × ( ?7) 积的符号 ； 7 × 4 积的符号 ；2.计算.（1）3×（-4） （2）2×（-6） （3） （-6）×2 （4）6×（-2） （5） （-6）×0 （6）0×（-6） （7） （-4）×0.25 （8） （-0.5）×0.5 （9）2 3 ×（- ） 3 4（10） （-2）×（(2)(-5)×121 ） 2(4)-4.5×(-0.32)3.计算:(1)(-6)×(-7) （5）(3)0.5×(-0.4)1 4 5 3 4 10 ×(- ) (6)(- )×(- ) (7)×5 （8）(-0.3)×(- ) 2 7 6 10 15 74.写出下列各数的倒数： -15， -5 1 2 1 ，-0.25，0.17， 4 ， ? 5 ，-|-1 | 9 4 5 30； 0； 0。5、填空：若a & 0，b & 0，则ab 若a & 0，b & 0，则ab 若a & 0，b & 0，则 ab若 a＝0,b≠0,则 ab_______0 教学反思】 【教学反思】37 1.4.1.2 有理数的乘法 二) 有理数的乘法(二【教学目标】 教学目标】 知识技能 （一）知识技能 1．使学生掌握多个有理数相乘的积的符号法则； 2．掌握有理数乘法的交换律和结合律，并利用运算律简化乘法运算； 过程方法 （二）过程方法 在师生互动、生生互动的系列活动中，学会与老师及与其他同学交流、 沟通和合作，准确表达自己的思维过程。培养学生观察、归纳、概括能力及 运算能力． （三）情感态度 通过例题与练习，体验“简便运算”带来的愉悦，懂得运算的每一步都 必须有依据。通过新知的导入和运用过程，感受到人们认识事物的一般规律 是“实践、认识、再实践、再认识” 。培养学生的观察和分析能力，渗透转化 的教学思想。 教学重点 乘法的符号法则和乘法的运算律． 教学难点 几个有理数相乘的积的符号的确定． 复习引入】 【复习引入】 1．有理数乘法法则是什么？ 2．计算(五分钟训练)： (1)(-2)×3； (2)(-2)×(-3)； (3)4×(-1.5)； (4)(-5)×(-2.4)； (5)-2×3×（-4） (6) 97×0×(-6)； ； (7)1×2×3×4×(-5)； (8)1×2×3×(-4)×(-5)； (9)1×2×(-3)×(-4)×(-5)； (10)1×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)； (11)(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)． 教学过程】 【教学过程】 1．几个有理数相乘的积的符号法则 引导学生观察上面各题的计算结果，找一找积的符号与什么有关？ (7)，(9)，(11)等题积为负数，负因数的个数是奇数个；(18)，(20)等题积为正 数，负因数个数是偶数个． 是不是规律？再做几题试试： (1)3×(-5)； (2)3×(-5)×(-2)； (3)3×(-5)×(-2)×(-4)； (4)3×(-5)×(-2)×(-4)×(-3)；(5)3×(-5)×(-2)×(-4)×(-3)×(-6)． 同样的结论：当负因数个数是奇数时，积为负；当负因数个数是偶数时，积 为正． 再看两题： (1)(-2)×(-3)×0×(-4)； (2)2×0×(-3)×(-4)． 结果都是 0． 引导学生由以上计算归纳出几个有理数相乘时积的符号法则： 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个 积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 几个有理数相乘， 几个有理数相乘，有一个因数为 0，积就为 0． ， 说明： （1）这样以后进行有理数乘法运算时必须先根据负因数个数确定积的 符号后，再把绝对值相乘，即先定符号后定值．38 （2）第一个因数是负数时，可省略括号． 例 1 计算：(1) ( 2)5 9 1 ( ?3) × × ( ? ) × ( ? ); 6 5 4 4 1 ( ?5) × 6 × ( ? ) × 5 45 9 1 ( ?3 ) × × ( ? ) × ( ? ) 6 5 4 5 9 1 ＝? 3× × × 6 5 4 8 ＝? 9 4 1 ( ?5) × 6 × ( ? ) × 5 4 4 1 ＝5×6× × 5 4解： (1)( 2)＝6 2．乘法运算律 在做练习时我们看到如果像小学一样能利用乘法的交换律和结合律 计算： (1)5×(-6)； (2)(-6)×5； (3)［3×(-4)］×(-5)； (4)3×［(-4)×(-5)］ ； 由上面计算结果，可以说明有理数乘法也同样有交换律，结合律， (1)乘法交换律 文字叙述：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． 代数式表达：ab=ba. (2)乘法结合律 文字叙述：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不 变． 代数式表达：(ab)c=a(bc)． 例 2，用简便方法计算： （-5）×89.2×(-2) （1） (2)(-8)×(-7.2)×(-2.5)×5 12解： （1）原式=5×2×89.2……交换因数位置，决定积的符号 =892………………按顺序依次运算 （2）原式＝－(8×2.5)×(7.2×5 )……交换因数位置，决定积的符号 12＝－60………………按顺序依次运算 【课堂作业】 课堂作业】 1.确定积的符号：( ?2) × 3 × ( ?4) × ( ?1) 积的符号 ( ?2) × ( ?3) × 4 × ( +1) 积的符号 ( ?2) × 3 × 4 × ( +1) 积的符号； ； 。39 2 完成下面填空： （1） （-10）×（1 ）× 0.1 × 6 =_______ 3 1 （2） （-10）×（- ）×（-0.1）× 6 =________ 3 1 （3） （-10）×（- ）×（-0.1）×（-6）=________ 3 1 （4） （-5）×（- ）× 3 ×（-2）× 2=________ 2（5） （-5）×（-8.1）× 3.14 × 0=________ 3.计算 （1）8+（-0.5）×（-8）×3 4 3 7 （3） - ） 5 × 0 × （ × （- ） 4 8（2） （-3）×4.计算： （-4）×（-7）×（-25） （1） （3） （-0.5）×（-1）×3 ×（-8） 4(5） （-3）×（7）×-3 ×（-6） (7)1-(-1)×(-1)-(1)×0×(-1) 教学反思】 【教学反思】5 4 1 ×（- ）×（- ） 6 5 4 1 5 (5) (-6)×(+37) × (- )×() 3 74 3 4 （2） （- ）×8×（- ） 5 3 1 （4） （-5）-（-5）× ×（-4）. 3 1 （6）(-1)×(-7)+6×(-1)× 240 1.4.1.3 有理数的乘法 三) 有理数的乘法(三【教学目标】 教学目标】 知识技能 （一）知识技能 使学生经历探索有理数乘法分配律，能正确运用有理数乘法运算律，进 行有理数乘法简化运算并会灵活变形。 过程方法 （二）过程方法 有理数乘法运算中对各种运算律能够正确运用，寻找最佳解题途径不断 总结经验，使学生简便计算能力得到切实提高，培养学生变形的应变能力， 逆向思维能力。 （三）情感态度 体验有理数运算律的意义和运算中的价值，有时为了计算简便而准确， 运用变形运用交换律等思维方式，体验到技巧的运用带来的快乐，使自己在 学习中得到乐趣，形成学习的动力。 教学重点 熟练运用有理数乘法分配律进行简化计算。 教学难点 熟练运用有理数乘法分配律进行简化计算适时变形，逆向分配律的运用。 复习引入】 【复习引入】 1.上一节课我们一起学习了有理数乘法交换律、结合律。那么： （1）有理数乘法交换律是什么？（用字母表示数的形式做解释） （学生答） （2）有理数乘法结合律是什么？（用字母表示数的形式做解释） （学生答） 还有我们也学了有理数乘法的符号法则，即 （3）几个不等于 0 的有理数相乘，如何确定积的符号？（学生答） （积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数 有偶数个时，积为正。用四个字概括为：奇负偶正） 2.计算： （1）5 ? 2? ? 1? ? 1? ×?? ?×?? 2 ?×?? 4 ? 31 ? 9 ? ? 15 ? ? 2?（2） （－17） × （－49） × 0 × (-13) × 37 3.问题： 在小学里，我们曾经学过乘法的分配律，如：6×( 1 + 1 )=6× 1 +6×2 3 2 1 3，你能发现什 么？这个运算律在有理数乘法运算中也是成立的 吗？ 【教学过程】 教学过程】 探索：任选三个有理数（至少有一个负数）分别填入下列□、○和◇内， 并比较两个运算结果。 □ × （○＋◇） 和 □ × ○＋□ × ◇41 比较可得，有理数的乘法仍满足分配率，即 a(b+c)=ab+ac (a,b,c 为任意 有理数) 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把乘积相加。 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把乘积相加。 注意： （1）这里的“和”不再是小学中说的“和”的概念，而是指“代数和” （2）运用乘法分配律进行计算时，注意符号。 （3）两个数直接相乘，有时计算量较大，要经过稍加变形。 （4）有理数乘法运算时，有时可以反向运用分配律，逆用乘法分配律。 例 1 计算： (1) 30 × ??1 2 ? ? + 0 .4 ? ; ?2 3 ?(2) 4.98 × (? 5)（3） （－11） × ? ? 解：(1)原式 = 30 ×? 2? ? 3? ? 1? ? ＋（－11） × ? 2 ? ＋（－11） × ? ? ? ? 5? ? 5? ? 5?1 2 2 ? 30 × + 30 × = 15 ? 20 + 12 = 7 ； 2 3 5(2) 原式= 4.98 × (? 5) = (5 ? 0.02 ) × (? 5) = ?25 + 0.1 = ?24.9 ； （3）原式＝(-11)×( ?2 3 1 + 2 ? )＝(-11)×2＝-22 5 5 5例 2：计算：①4×(D12)+(D5)×(D8)+16； ②3 ? 1 14 ? × ?8 ?1 ? ? 。 4 ? 3 15 ?解：①原式=8×(D6)+8×5+8×2=8×(D6+5+2)=8×1=8； ②原式=3 ? 1 14 ? 3 3 4 3 14 7 3 × ?8 ?1 ? ? = × 8 ? × ? × = 6 ?1? = 4 。 4 ? 3 15 ? 4 4 3 4 15 10 10由上面的例子可以看出，应用运算律，有时可使运算简便. 也有时需要先 把算式变形， 才能用分配律， 如例 1(2)， 还有时需反向运用分配律， 如例 1(3)。 能约分的、凑整的、 能约分的、凑整的、互为倒数的数要尽可能的结合在一起 例 3：计算：? 3.14 × 35.2 + 6.28 × ? 23.3） 1.57 × 36.4 （ ?[分析]这是一题较繁的计算题，不能直接进行简便计算，但仔细观察后 会发现 3.14，6.28，1.57 之间加倍关系，可以逆用乘法分配律进行计算。1 解：原式 = ?3.14 × 35.2 + 3.14 × 2 × ? 23.3 ? 3.14 × × 36.4 （ ） 2 = ?3.14 × 35.2 + 3.14 × ? 46.6 ? 3.14 × 18.2 = ?3.14 × 35.2 + 46.6 + 18.2 （ ） （ ） = ?3.14 × 81.8 + 18.2 = ?3.14 × 100 = ?314 （ ）42 例 4 某校体育器材室总共有 60 个篮球，一天课外活动，有 3 个班级分别 计划借篮球总数的1 1 1 ， 和 。请你算一算，这 60 个篮球够借吗？如果 2 3 4够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？ 解：60×（1 1 1 1 1 1 + + ）= 60 × + 60 × + 60 × =30+20+15=65 2 3 4 2 3 4∴不够借 60-65=-5 答：这 60 个篮球不够借，还缺 5 个。 【课堂作业】 课堂作业】 1、计算: （1） ? 6 )× ? ? 0.5 + ? ( 2、填空：? ?1? 3?（2） ??1 1 1? ? + ? × 12 ? 4 2 6?（3） ? 1002 )× 17 (4 （1） 19 × 16 = (20 ? ____) × 16 = 20 × 16 ? ____× 16 = 320 ? ____ = ____ 5 （2） ? 1 ? 3 ? 5 + 5 ? 7 ? × 36 = __________________________ ? ? 9 6 12 ? ?2=___________________________=________ 3、计算 （1） ??7 5 3? ? + ? × 36 ?9 6 4?（2） 9 × 65 6（3） ? ?? 1 ? 5 ? × × (?8) ? 20 ? 4（4）5 ? 2? 3 ×?? 2 ?× 6 ? 5? 5(5) ??1 5 2? ? ? ? × 105 ?3 7 5? 1 2 ， 2 天打完其中的 ， 第 3 74、 1155 页稿件需要打字， 有 第一天打完其中的 问还有多少页没有打？ 教学反思】 【教学反思】43 1.4.2.1 有理数的除法 一) 有理数的除法(一【教学目标】 教学目标】 知识技能 （一）知识技能 1.理解倒数的意义，会求有理数的倒数. 2.了解有理数除法的意义，理解有理数除法的法则，会进行有理数的除 法运算． （二）过程方法 过程方法 通过有理数除法的法则的导出及运用，学生能体会转化的思想。 感知数 学知识具有普遍联系性、相互转化性. （三）情感态度 通过有理数乘法运算的推广，体会知识系统的完整性。体会在解决问题 的过程中与他人合作的重要性。通过对解决问题的过程的反思，获得解决问 题的经验. 教学重点 有理数的除法法则及其运用. 教学难点 有理数除法法则有两个，在运用中合理运用是本节课的难点. 情景引入 引入】 【情景引入】 1.问题： 1.问题：有四名同学参加数学测验，以 90 分为标准，超过得分数记为正数， 问题 不足的分数记为负数，评分记录 如下：+5、-20。-19。-14。求：这四名同 学的平均成绩是超过 80 分或不足 80 分？ 学生活动： 学生活动：学生列式（+5-20-19-14）÷4 化简： （-48）÷4=？（但不知如何计算）揭示课题（从实际生活引入， 体现数学知识源于生活及数学的现实意义） 2.为了学习今天的有理数除法先复习小学倒数概念. 一般地 a ?1 1 =1（a≠0）,也就是说 a 的倒数是 。 a a2 2 ； （2）4 ； （3）0.2（4）-0.25； （5）-1 3 3求下列各数的倒数： （1）【教学过程】 教学过程】1.根据除法是乘法的逆运算。启发学生思考：(－6)÷2，就是求一个数与 2 的积等于―6。引导学生将有理数的除法运算转化为学生已知的乘法运算。 试一试： 6÷2=______ ,（-6）÷2=______ , (-12)÷（-3）=______由（-12）÷（-3）=（-12）× (? ) ， 知除法可以转化为乘法。 完成下列填空： （1）8÷（-2）=8×（ ） （2）6÷（-3）=6×（ ）1 344 （3）-6÷（ ）=-6×1 3（4）-6÷（ ）=-6×2 3做完填空后发现了什么？ 除法可以转化为乘法，即除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数。 除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数。 除以一个不为零的数 也可以表示成 2.例题讲解：例 1 计算： （1） （-18）÷6， （2） ? ?? 1? ? 2? ? ÷ ?? ? ， ? 5? ? 5? ? 1? ， ? ÷（-100） ? 12 ?（3） （-0.75）÷（-0.25）,（4）(-12)÷ ? ?解： （1）原式=（-18）×1 =-3 6（2）原式= ? ?? 1? ? 5? 1 ?×?? ? = ? 5? ? 2? 2（ 3 ） 原 式 = ( ? ) × ( ?4) =3 (-3 4（ 4 ） 原 式 =(-12) × (-12) ×1 36 )= 100 25观察上例中被除数、除数、商的符号。可得到与乘法相类似的法则：两 两数相除，同号得正 异号得负 并把绝对值相除。零除以不等于零的数。 数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以不等于零的数。都 相除 得 0。 掌握符号法则，有的题就不必再将除数化成倒数再去乘了，可以确定符 号后直接相除，这就是第二个有理数除法法则。 有理数除法同小学学过的一样常常可以用分数表示，即 a÷b= 除法法则可以化简分数。 例 2 化简下列分数：a (b≠0)?利用 b? 12 ? 24 ? 45 （2） (3) 3 16 ? 15 ? 12 解： （1） =（-12）÷3=-（12÷3）=-4 3 ? 24 （2） = (-24)÷16=－(24÷16)=-1.5 16（1）1 (4) 2 ? 3 ?(3)? 45 =(-45)÷(-15)=3； ? 15?(4)1 2 = ? ? 1 ? ÷3=- 1 ? ? ? 3 ? 2? 6例 3 计算：45 （1） ? ?? 5? ? 2? ? ÷ ?? ? ? 3? ? 3?6? 7?（2） ?1 7 ? 3? ÷ ×?? ? 2 8 ? 4?（3） 2 ÷2 1 ÷ 3 4(4) ? ? 24 ? ÷(-6)? ?(5)-3.5÷7 ? 3? ×?? ? 8 ? 4?(6) ? ? 7? ?3 1 1? ? 2 ? ÷3 4 2 7? 1 8 3 3 × × ) = 2 7 4 7解： （1）原式= ? ? （3）原式= 2 ×5 ? 5? ? 3? ?×?? ? = 2 ? 3? ? 2?（2）原式= ＋(3 ×4 = 3 2(4) ? ? 24 ? ÷(-6)? ?6? 7?= ? 24 +? ?6? 1 ?× 7? 6(先定符号)=4+1 1 =4 ； 7 7 7 ? 3? ×?? ? 8 ? 4?(乘法分配律)(5)-3.5÷=7 8 3 × × =3； 2 7 4 3 1 1? ? 2 ? ÷3 4 2 7?(先定符号后定值)(6) ? ? 7? ?=-15 4 15 4 × × 2 15 7 15 4 4 =-2- =-2 ； 7 7(注意符号)【课堂作业】 课堂作业】 1．写出下列各数的倒数： （1）5 6（2） ?3 7（3）-5（4）1（5）-1（6）0.22.计算： （1）36÷（-3） （2） （-2）÷ （5）? ?1 2（3）0÷（-5） （6） （-6）÷（-4）÷ ? ?（4）8÷（-0.2）? 7? ? 3? ? ÷ ?? ? ? 8? ? 4?? 3? ? ? 5?（7）-18÷0.6 3.化简下列分数：（8）-0.25÷ ? ?? 3? ? ? 8?46 （1）? 21 7（2）2 ? 12（3）? 54 ?8（4）? 48 8（5）? 24 ? 36（6）0 ?54．计算： （1） ? ?? 3? ? 1? ? 9? ?×?? ? ÷ ?? ? ? 4? ? 2? ? 4? ? 2? ? 1? ? 1? ? ÷ ?? ? ÷ ?? ? ? 3 ? ? 3? ? 2?（2）-6÷（-0.25）×1 24（3） ? ?（4） ? 1 + 5 ÷ ? ?? 1? ? × (?6) ? 6?5．判断下列各式是否成立： (1)?a a a ?a a = =- ； (2) = ? b ?b b ?b b【教学反思】 教学反思】47 1.4.2.2 有理数的除法 二) 有理数的除法(二【教学目标】 教学目标】 （一）知识技能 1、熟练进行有理数的乘除混合运算，能运用简便算法计算； 2、掌握有理数的加减乘除混合运算顺序，并能准确进行运算； 3、能解决有理数混合运算的应用题． （二）过程方法 在小学已有的乘除法混合运算顺序知识的基础上，把知识推广运用到有 理数的范围，用类比的方法，感知新知和旧知的联系. （三）情感态度 1.在数学学习活动中体验成功的喜悦，形成良好的数学思维习惯. 2.结合实际问题，体验数学的实用价值. 教学重点 加减乘除混和运算。 教学难点 运算时一定要注意运算顺序。 复习引入】 【复习引入】 1.复习有理数的乘除法法则（两个） ． （1）除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数 （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以不等于零的 数。都得 0。 2．某人购买股票三月份亏损 1500 元，四月份赢利 1200 元，这两个月平均每 月赢利多少元？ 应怎样列出式子？怎样计算？ 由此引出有理数混和运算问题。【教学过程】 教学过程】1、例题分析 例 1 计算： （1）－54×（－2 ÷（－0．9） ． 解： （1）－54×（－21 1 2 ）÷（－4 ）× ； 4 2 9（2）63×（－14 1 ）+（－ ） 9 71 1 2 ）÷（－4 ）× 4 2 9 9 2 2 ＝－（54× × × ） 4 9 9＝-6（2）63×（－14 1 ）+（－ ）÷（－0．9） ． 9 7 10 ＝（-91）+ 63 53 ＝ ? 90 6348 说明： （1）将除法转化为乘法，再运用乘法的法则进行计算也可以从左至右 依次进行计算，有理数的除法的符号法则与有理数的乘法法则是一样的； （2） 先算乘除，再算加减． 2、共同讨论： 例 2 观察下列解题过程，看有没有错误．如果有，请说明错误的原因， 并给予纠正；如果没有错误，请指明用了什么运算律．3 2 × =－9÷1=－9． 2 3 3 2 分析：－9÷ × 是乘除混合运算，应该从左到右按顺序进行计算，或 2 3计算：－9÷ 者运用除法的法则将除法统一成乘法，再按乘法法则进行计算． 答：解法有错误，错误的原因是在只含乘除的同级运算里，没有按从左 到右的顺序进行，而错误地先算 －9÷3 2 × ，正确的解答是： 2 33 2 2 2 × =－9× × =－4． 2 3 3 3说明：这是一个不注意就会出现的错误，另外，本例是阅读理解错题， 是当前中考的一个热点题型． 3.归纳概括：有理数加减乘除混合运算，无括号时， 先乘除，后加减” 有括 有理数加减乘除混合运算，无括号时， 先乘除，后加减” “ ， 有理数加减乘除混合运算 号时，先算括号内的，同级运算， 从左到右” 计算时注意符号的确定， “ 。 号时，先算括号内的，同级运算， 从左到右” 计算时注意符号的确定，还 要灵活应用运算律使运算简便。 要灵活应用运算律使运算简便。 4.巩固应用 例 3 计算 （1）6 1 19 ÷ ( ?1 ) ÷ 19 2 24 13 3 9 )÷( × ) 16 4 8（2）（-81）÷ 21 4 × ×（-16） 4 9（3） ( ?2（4） ? 1.3 + 0 ÷ (5.7 × ?4 5 + ) 5 4分析：第(1)、(2)小题应先把带分数化为假分数，然后进行运算；第(3)小 题有括号，应先算括号里面的，再把除法转化为乘法进行计算；第(4)小题有 0 作被除数，早发现可使运算简便. 解：（1）6 1 19 6 2 24 1 = ÷ ( ?1 ) ÷ × (? ) × =? 19 2 24 19 3 19 6 1 4 4 4 16 （2）（-81）÷ 2 × ×（-16）=（-81）× × ×（-16）=81× × 4 9 9 9 81 13 3 9 45 27 45 32 1 ) ÷ ( × ) = (? ) ÷ =? × = ?3 16 4 8 16 32 16 27 34916=256 （3） ( ?2 （4） ? 1.3 + 0 ÷ (5.7 × ?4 5 + ) =1.3+0=1.3 5 4说明：在一个算式里，如果含有带分数，应先把带分数化成假分数，再 按运算顺序进行运算.另外，在运算过程中，乘和除是同级运算，应按照从左 到右的顺序计算，不能随便约分. 例 4 某公司去年 1～3 月平均每月亏损 1．5 万元，4～6 月平均每月盈利 2 万 元，7～10 月平均每月盈利 1．7 万元，11～12 月平均每月亏损 2．3 万元．这 个公司去年总的盈亏情况如何？ 解：记盈利额为正数，亏损额为负数。公司去年全年盈亏额为 （-1.5）×3+2×3+1.7×4+(-2.3)×2 ＝-4.5+6+6.8-4.6 ＝3.7（万元） 答：这个公司去年全年盈利 3.7 万元。 5．通过例题讲解和练习训练，要注意到以下几点： （1）有理数乘除法法则遵循“符号优先”原则，即先确定符号，再把绝对值 相乘除。 （2）对于多个有理数相乘除，运算时可以从左到右进行，也可把除法转化成 乘法后再进行计算。 (3)要正确使用符号法则，确定各步运算结果的符号。 【课堂作业】 课堂作业】 1．计算： （1） （－0．4）÷（+0．02）×（－5） ； （2）2÷（－3 4 1 ）× ÷（－5 ） ； 7 7 7（3） （－5）÷（－15）÷（－3） ； （4） （－ 13 1 3 7 13 ）÷（－1 ）－（ + ）÷（－ ） ． 4 2 4 8 16【教学反思】 教学反思】50 1.5.1.1 有理数的乘方 一) 有理数的乘方(一【教学目标】 教学目标】 （一）知识技能 1、通过现实背景理解有理数乘方的意义，能进行有理数乘方的运算． 2、掌握幂的符号法则． 3、会用计算器进行乘方运算． 4、培养学生观察、归纳能力，以及思考问题、解决问题的能力． （二）过程方法 1、通过观察、比较、猜想、验证等活动，探究有理数的乘方运算规律. 2、使学生在潜移默化中形成分类讨论思想. （三）情感态度 1、体验乘方表示几个相同因数相乘的作用． 2、正确的进行数的计算，表示一丝不苟的精神． 教学重点 正确理解乘方的意义，能利用乘方运算法则进行有理数乘方运算 教学难点 有理数乘方运算的符号法则． 情景引入】 【情景引入】 1、介绍棋盘上的故事：古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发 明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对大臣表示感谢， 国王答应满足这个大臣一个要求． 大臣说： “就在这个棋盘上放一些米粒吧． 第 一格放 1 粒米，第二格放 2 粒米，第三格放 4 粒米，然后是 8 粒米、16 粒米、 32 粒米……一直到 64 格．“你真傻，就要这么一点米？”国王哈哈大笑．大 ” 臣说： “就怕您的国库里没有这么多的米！ ”国王真的没有这么多吗？ 2、提问并引导学生回答：在小学里我们学过一个数的平方和立方是如何 定义的？怎样表示？ ，即 a2=a?a；a?a?a 记作 a3，读作 a a?a 记作 a2,读作 a 的平方（或 a 的 2 次方） 的立方（或 a 的 3 次方） ，即 a3=a?a?a． （分别是边长为 a 的正方形的面积与棱 长为 a 的正方体的体积） 教学过程】 【教学过程】 1、概念： 一般地，我们有：n 个相同的因数 a 相乘，即 a ? a ? a444a ，记作 a ． 14442 L 4 4 3nn个例如，2×2×2＝2 ；(－2)(－}
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小学数基础知识点大全一
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从0，1，2，7，9五个数字中任选四个不重复的数字，组成的最大四位数和最小四位数的差是______．
腾袭wan879
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从0，1，2，7，9五个数字中任选四个不重复的数字，组成的最大四位数是9721，最小四位数是1027；94；故答案为：8694
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分析：假设这个等式两边一边是1，另外一边是由0和7组成的数，那么等式两边同时除以7就变成另外一个等式，其中等式的左边是，等式的右边全是由0和1组成的数，于是这道题目就变成全由0和1组成的数，相加得到0.4285，显然需要至少八个这样的数．
解：假设这个等式两边一边是1，另外一边是由0和7组成的数，那么等式两边同时除以7就变成另外一个等式，其中等式的左边是，等式的右边全是由0和1组成的数，于是这道题目就变成全由0和1组成的数，相加得到0.4285，显然需要至少八个这样的数，例如：0..1+0.1+0.0．
点评：根据“特殊数”的特点，运用假设法，使这道题目变成全由0和1组成的数，相加得到0.4285，显然需要至少八个这样的数．
科目：小学数学
里有个，中有个，1.25中有个．
科目：小学数学
在如图的平行四边形ABCD中，M、N分别是AC、DC的中点．已知AC=15分米，AE=8分米，阴影部分的面积是平方分米．
科目：小学数学
如图，一个正方形房屋的边长为10米，甲、乙两人分别从房屋的两个墙角同时出发，沿顺时针方向前进．甲每秒行5米，乙每秒行3米．问：出发后经过多长时间甲第一次看见乙？
科目：小学数学
1里有个；&&&&&5个是；个是；&&&&&&&6个是．
科目：小学数学
玲玲发现：将家里的电话号码从左到右，相邻的两个数字依次相加，得到的和分别是9、7、9、2、8、11，请你推算一下玲玲家的电话号码是多少？
科目：小学数学
÷35=8：==：105=（填小数）．
科目：小学数学
贝贝玩具厂八月份生产喜羊羊玩具2400个，比计划超产了400个，超产了百分之几？
科目：小学数学
4293÷4口，要使商是二位数，口最小填（ ）
A、9B、2C、3D、0
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人教七年级上第一章有理数教案
闽清三中教师教案 第一章 1.1 正数和负数【教学目标】 教学目标】 知识技能 1、了解正数和负数是怎样产生的； 2、知道什么是正数和负数； 3、理解数 0 表示的量的意义。 过程方法 1、体会数学符号与对应的思想，用正、负数表示具体相反意义的量的符号化 方法。 2、会用正、负数表示具有相反意义的量。 情感态度 通过师生合作，联系实际，激发学生学好数学的热情。 【教学重点】 教学重点】 知道什么是正数和负数，理解数 0 表示的意义。 【教学难点】 教学难点】 理解负数、0 表示的量的意义。 复习引入】 【复习引入】 1、提问：我们已经学过哪些数？他们是怎么产生和发展起来的？ ▲“数”的产生是为了表示物体的个数或事物的顺序，如“结绳计数”和后 来的 1、2、3……； ▲为了表示“没有” ，引入了“0” ； ▲在分配和测量中，经常出现结果不是整数，从而产生了“分数（小数）； ” ▲总之， “数”是为了满足生产和生活需要而产生、发展起来的。 生活在进步，社会在发展， “数”也在随着人类步伐的前进而向前发展、繁 衍。 【教学过程】 教学过程】 1、表示相反意义的量 在日常生活中，常会遇到这样的一些量（事情） ，能用学过的数表示吗？ （1） 汽车向东行驶 3 千米和向西行驶 2 千米； （2） 温度是零上 10°C 和零下 5°C； （3） 收入 500 元和支出 237 元； （4） 水位升高 1.2 米和下降 0.7 米； （5） 买进 100 辆自行车和卖出 20 辆自行车。 问题 1：这里出现的每一对量，虽然都有不同的具体内容，但都有哪些共同特 征？ （它们都表示具有相反意义的量 具有相反意义的量：向东与向西，零上与零下，收入与支出， 具有相反意义的量 升高与下降，买进与卖出。 ） 问题 2：你能再举出生活中具有几个相反意义的量的例子吗？集备记录1 2、正数和负数 ①能用我们学过的数来很好的表示这些相反意义的量吗？例如：零上 5℃用 5 来表示，零下 5℃呢，也用 5 表示，行吗？ 0 说明：在预报天气图中，零下 5 C 是用-5C 来表示的，为了用数表示具有相反 说明 意义的量，我们把其中一种意义的量，如零上温度，前进，收入，上升，高 出海平面等规定为正的，而把与它相反的量，如零下温度、后退、支出、下 降，低于海平面规定为负的。正的量用算术里学过的数表示，负的量用算术 里学过的数前面放上“一”(读作负)号来表示． 0 如：零上 5℃记作 5℃，(读作正 5 摄氏度)零下 5℃记作一 5 C(读作负 5 摄氏 度) ②怎样表示具有相反意义的量？ 同样， （2）中如果规定向东为正，那么向西为负，汽车向东行驶 3 千米，记 作 3 千米，向西 3 千米则用一 3 千米。 现在请同学们把以上各例子中的两个量表示出来。 如果买进 100 辆白行车记为 100 辆，那么一 20 辆自行车表示什么? 如果向南走 50 米记作一 50 米，那么一 20 米、30 米分别表示什么? 为了表示具有相反意义的量， 上面我们引进了一 5， 2， 237， 0． 一 一 一 7， 一 20 等，像这样的数是一种新数，叫做负数 负数。过去学过的那些数(零除外)， 负数 如 3，10，500，1．2，等，叫做正数 正数。正数前面也可以放上一个“+”(读作 正数 “正”)号。如 3 可以写成+3。一般情况下，正数前面的“+”号省略不写。 注意：零除了表示“没有”“起点”之外还可以表示什么？ 、 零还可以表示“分界点” ，一个确定的量，例如 0℃就不是没有温度的意思， 它是表示水结冰时温度。因此它既不是正数，也不是负数。它是正、负数的 区分点。 3、例题讲解 例 1、 (1)一个月内,小明体重增加 2kg,小华体重减少 1kg,小强体重无变化, 写出他们这个月的体重增长值; (2)2001 年下列国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是: 美国减少 6.4%, 德国增长 1.3%, 法国减少 2.4%, 英国减少 3.5%, 意大利增长 0.2%, 中国增长 7.5%. 写出这些国家 2001 年商品进出口总额的增长率. 解:(1)这个月小明体重增长 2kg,小华体重增长-1kg,小强体重增长 0kg. (2)六个国家 2001 年商品进出口总额的增长率: 美国-6.4%, 德国 1.3%, 法国-2.4%, 英国-3.5%, 意大利 0.2%, 中国 7.5%. 例 2、初一（1）班第二次考试成绩的各科及格人数比上次的增长率如下： 政治 语文 数学 英语 生物 地理 -6.4% -0.9% -7.2% 3.6% -8.8% 10% 第二次考试中那些学科的及格人数增长了，那些学科的及格人数减少了， 那些学科及格人数增加最多？ 分析：增长率为负数表示第二次考试比上一次考试及格人数减少了，增 长率为正数表示及格人数增多了。2 解：英语、地理两科的及格人数增多了；政治、语文、数学、生物四科 的及格人数减少了。地理学科的及格人数增加最多。 【课堂作业】 课堂作业】 1.（1）若运出货物 13 t 记作 ? 13 t，则运进 32 t 记作________________.； 如果向左 3 格记作 ? 3 ，那么 45 表示__________________； 仪 表 指 针 顺 时 针 旋 转 90 记 作 ? 90 ， 那 么 逆 时 针 旋 转 80 记 作0 0 0_____________；甲潜水员在海平面 ? 50 m 作业，乙在海平面 ? 22 m 作业， ______________潜水员离海平面较近； 在知识竞赛中，如果＋10 分表示加 10 分，那么________表示扣 20 分； 在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量 0. 02 克记作＋0.02， 那么－0.03 克表示____________________. 一种零件的内径尺寸在图纸上是 9±0.05(单位:mm),表示这种零件的标准尺 寸 是 9mm, 加 工 要 求 最 大 不 超 过 标 准 尺 寸 _______, 最 小 不 超 过 标 准 尺 寸 _________. 2．把下列各数分别填在相应的大括号里(数与数之间用逗号分开)正数集合：{ … } 负数集合：{ … } 3．在下列横线上填上适当的词,使前后构成意义相反的量: (1)收入 1300 元, 800 元； 80 米,下降 64 米； (2) (3)向北前进 30 米, 50 米； (4)高出海平面 10 米,______海平面 25 米； (5)减少 5 千克，_______20 千克； (6)______3 万吨，增产 2 万吨。 教学反思】 【教学反思】3 1.2.1 有理数【教学目标】 教学目标】 知识技能 知识技能 1. 进一步加深对负数的认识。 2. 掌握有理数的概念,会对有理数按照一定的标准进行分类, 初步了解“集 合”的含义。 过程方法 过程方法 体会分类讨论的思想，能理解不同的分类标准有不同的分类方法，但都要求 不重不漏。 情感态度 通过师生合作，使分数、整数在引入负数的基础上达到完善，从而体会到成 功的快乐。 教学重点】 【教学重点】 正确理解有理数的概念。 教学难点】 【教学难点】 正确理解分类的标准和按照定的标准进行分类。 复习引入】 【复习引入】 1. 我们知道,所有的分数都可以写成两个整数的比. 所有的分数都可以写成两个整数的比. 所有的分数都可以写成两个整数的比 有限小数 0.37 可以写成两个整数的比吗? 无限循环小数 0. 3 也可以写成两个整数的比吗? 所有的有限小数都是分数吗? 所有的无限循环小数呢? 结论:所有的有限小数和无限循环小数都是分数. 结论:所有的有限小数和无限循环小数都是分数. 想一想:小数 3. 是分数吗?圆周率π为什么不是分数? 你能确定小数 3.…是不是分数吗? 2.小学所学的整数只包括正整数和零,也就是自然数.学了负整数以后,今后我 们所指的整数与小学时所学的整数有什么不同? 结论:正整数p 结论:正整数p零p负整数统称整数. 负整数统称整数. 3. 下列负数哪些是负分数? -12, ?? 3 , -0.33, ? 5. 3 . 7 ?对，还有负整数。【教学过程】 教学过程】 1. 所有正整数组成正整数集合, 所有负整数组成负整数集合. 所有正整数组成正整数集合, 所有负整数组成负整数集合. 请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里: 1, 0.0708, -700, -3.88, 0, …} 3., ? 负整数集合:{ …} …} 负分数集合:{ …}4? ? 7 , 0. 2 3 . 23正整数集合:{ 整数集合:{ 正分数集合:{…} 分数集合:{…}(注意:大括号内的省略号表示什么?) 数集一般用圆圈或大括号表示，因为集合中的数是无限的，而本题中只 填了所给的几个数，所以应该加上省略号。 补充： 补充：所有正数组成正数集合，所有负数组成负数集合，所有整数组成整数 集合，所有分数组成分数集合，所有正数和 0 组成非负数集合，所有正整数 和 0 组成自然数集合…… 2.归纳概念：整数：正整数、0、负整数统称为整数。 归纳概念： 归纳概念 分数：正分数、负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 3.有理数的分类： 有理数的分类： 有理数的分类? ? ? 整数 ? ? ? ? ? 分数 ? ? ? ? 正整数：如 ? ?零 ? 负整数：如 ? ? ? 正分数：如 ? ? ? 负分数：如 ? ? 1， ， … 2 3 ? 1， 2 ， 3 … ? ? 1 1 ， ， .2 … 5 2 3 1 5 ? ， 3 . 5， ? ? … 5 6有理数? 2 3 ? 正整数 : 如 1，，… ? 正有理数 ? ? 1 1 1 ? ，， … ? 正分数：如 ? 2 3 4 ? ? 有理数 ? 零 ? ? 1， 2， 3 … ? ? ? 负整数：如 ? ? ? 负有理数 ? 1 5 ? ， 3 . 5， ? ? ? ? 负分数：如 5 6 ? ? 说明：①分类的标准不同，结果也不同；②分类的结果应无遗漏、无重复； ③零是整数，零既不是正数，也不是负数. 4. 典型例题 例 1．把下列各数填入表示它所在的数集的圈内： －5，－1.2，50，0.618，0， 7 ，－1.01001，π，－5%，0.322负分数集合非负整数集合正有理数集合 解：整数集合5 －5，－1.2， －1.01001，－5%50，0负分数集合非负整数集合50，0.618， 7 ，0.322－5，50，0，正有理数集合整数集合例 2．下列命题： （1）0 是正数； （2）0 是整数； （3）0 最小的有理数； （4）0 是非负数； （5）0 是偶数。正确的命题个数是 …………………………（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 解析：选 B。 （4） （2） （5）正确。 例 3.在 5 分钟内背过 5 个单词为过关， 超过的记为正。 现在小明的记录为－3， 小华的记录为 0，小军的记录为 2，小丽的记录为+1，则： （1）四个人中有几个人过关？（2）他们分别背过了几个单词？ （3）记录中的四个数字统属哪一类有理数？ 解： （1）小华、小军、小丽 3 个过关。 （2）小华背 5 个，小军背 7 个，小丽背 6 个。 (3) 属于有理数中的整数集合。 【课堂作业】 课堂作业】 1.把下列各数填入它所属于的集合的圈内：1 2 13 15，? ，? 5， ，? ， .1，? 5.32，? 80， ， .333 0 123 2 9 15 8正整数集合 负整数集合…………正分数集合 负分数集合 思考：上面的练习中四个集合合并在一起就是全体有理数的集合吗？ 2.下列各数,哪些是整数?哪些是分数?哪些是正数?哪些是负数?6 +7,-5, 71 1 2 , ? ,79,0,0.67, ? 1 ,+5.1 2 6 33.0 是整数吗?自然数一定是整数吗?0 一定是正整数吗?整数一定是自然数吗? 4．如图，两个圈内分别表示所有正数组成的正数集合和所有整数组成的整数 集合.请写出 3 个分别满足下列条件的数：正数集合整数集合1） 属于正数集合，但不属于整数集合的数； 2） 属于整数集合，但不属于正数集合的数； 3） 既属于正数集合，又属于整数集合的数. 将它们分别填入图中适当的位置.你能说出这两个圈的重叠部分表示什么数 的集合吗？ 5．在数-100, 70.8, -7, π, -3.8, 0, ?? 2π 22 , 0. 3 , ? 中,不是分数的是 3 7___________________;不是小数的是_____________;不是有理数的是 __________. 【教学反思】 教学反思】7 1.22 数轴【教学目标】知识技能 1.通过与温度计的类比，了解数轴的概念，会画数轴。 2.知道如何在数轴上表示有理数， 能说出数轴上表示有理数的点所表示的 数，知道任何一个有理数在数轴上都有唯一的点与之对应。 过程方法 1. 从直观认识到理性认识，从而建立数轴概念。 2. 通过数轴概念的学习，初步体会对应的思想、数形结合的思想方法。 3. 会利用数轴解决有关问题。 情感态度 通过对数轴的学习，体会到数形结合的思想方法，进而初步认识事物之间的 联系性。 教学重点 【教学重点】 1.数轴的概念。 2.能将已知数在数轴上表示出来，说出数轴上已知点所表示的数。 教学难点 【教学难点】 从直观认识到理性认识，从而建立数轴的概念。 情景引入 【情景引入】 1.小明感冒了，医生用体温计测量了他的体温，并说： “37.8 度。 ” 提疑：医生为什么通过体温计就可以读出任意一个人的体温？ （体温计上的刻度） 2.我们再一起去看看 12 月时祖国各地的自然风光和温度情况（电脑分别显示 黑龙江、焦作、海南三个城市美丽的自然风光，温度分别为-10°c，0°c， 20°c） 提疑：那么要测量这种气温所需要的温度计的刻度应该如何安排？需要 用到哪些数？ （正数、零、负数） 3.请尝试画出你想像中的温度计，并和其他同学交流，注意交流时要发表自己 的见解。然后提问：请找出一支温度计从外观上具有哪些不可缺少的特征？ (组织学生讨论交流)学生可能会从不同的角度回答，教师给予必要的引导， 总结出与数轴相对应的特点，如形状是直的、0 刻度、单位刻度。(电脑动态 演示,将温度计水平放置，抽象得出数轴图形表示有理数-10，0，20 的过程) 从而引出课题------数轴。 教学过程 【教学过程】 一．数轴的画法 与温度计类似，可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点 表示正数、负数和零，具体做法如下：8 1．画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点(通常取适中的位 置，如果所需的都是正数，也可偏向左边)用这点表示 0(相当于温度计上的 0℃)； 2．规定直线上从原点向右（或上）为正方向(箭头所指的方向)，那么从 原点向左（或下）为负方向(相当于温度计上 0℃以上为正，0℃以下为负)；3．选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长 度单位取一点，依次表示为 1，2，3，…从原点向左，每隔一个长度单位取一 点，依次表示为-1，-2，-3，… 根据画图的步骤，学生思考在一条水平的直线上都画出什么？然后归纳出数 轴的定义． 二．数轴的相关概念 1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． （说明：数轴像一支平放的温度计。 ） 向学生提出问题：数轴上为什么要规定原点、正方向和单位长度呢？它 们各起什么作用？引导学生结合温度订正确回答这个问题，从而知道数轴三 要素的重要性，了解三者缺一不可，认识和掌握判断一条直线是不是数轴的 依据． 2.请大家回答下列问题： 下图中哪一个表示数轴？不是数轴的请说出原因．分析：数轴的三要素原点、正方向和单位长度，这三者对于数轴来说是缺一 不可． 解：根据数轴的三要素： 图（1）是数轴，它是具备了原点、正方向和单位长度的直线． 图（2）不是数轴，因为单位长度不一致． 图（3）不是数轴，因为没有原点和单位长度． 图（4）不是数轴，因为它是射线，不是直线． 图（5）不是数轴，有两处错误，一是没有标明正方向；二是负数的排序错误， 从原点向左依次应是－1，－2，－3，…．9 说明：识别一个图形是否是数轴，方法是：第一，这个图形是一条直线； 第二，这条直线要满足三要素．即原点、正方向和单位长度，缺一不可． 3.让学生观察画好的数轴，思考以下问题： （1）原点表示什么数？ （表示 0）（2）原点右方表示什么数？ (正数) 原点左方表示什么数？（负数） （3）表示＋2 的点在什么位置？（原点右侧 2 个单位） 表示－1 的点在什么位置？（原点左侧一个单位） （4） 原点向右 0.5 个单位长度的 A 点表示什么数？原点向左 单位长度的 B 点表示什么数？ 个（点 A 表示 0.5，点 B 表示-0.5） 4.归纳数轴上的点的意义： 一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示 a 的点在原点的___右___边，与原点 的距离是___a___个单位长度；表示－a 的点在原点的__左___边，与原点的距 离是___a__个单位长度。 5．有理数与数轴上点的关系 思考： 是不是任何有理数都可以用数轴上的点来表示？ 通过刚才的学习我们知道所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。 三．例题讲解 例 1 画一个数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：例 2 指出数轴上 A，B，C，D，E 各点分别表示什么数．解：点 A 表示-3，点 B 表示 5.5，点 C 表示 3，点 D 表示-0.5，点 E 表示-1.5 注意：提醒学生不能写成“A=3”的形式。 例 3． （1）在数轴上到原点距离为 3 个单位长度的点有几个？它们表示的数是10 什么？ （2）如果在数轴上点 A 所对应的数是－2，那么在数轴上与点 A 相距 3 个单位长度的点所表示的数有几个？分别是多少？ 解： （1）在数轴上到原点距离为 3 个单位长度的点有 2 个，它们分别表示 3 和-3. （2）与点 A 相距 3 个单位长度的点所表示的数有 2 个，分别是 1 和-5.【课堂作业】示出来． 2．说出下面数轴上 A，B，C，D，O，M 各点表示什么数？3.（1）所有的有理数可以用数轴上的 （2）数轴上的原点右边的点表示 示 ，原点表示 有 。 4.数轴上表示－6 的点，在原点的 示 4.5 的点在原点的来表示。 ，原点左边的点表 ，离原点 3 个单位长度的点 侧，它距离原点 个单位长度；表侧，它距离原点 个，它们是个单位长度。 。5．数轴上距原点的距离等于 6 的点有 教学反思 【教学反思】1.2.3 相反数11 【教学目标】 教学目标】 知识技能 （一）知识技能 3. 了解相反数的概念。 4. 能在数轴上表示出两个互为相反数的数， 并且发现表示互为相反数的两点 在原点的两侧，到原点的距离相等。 5. 利用互为相反数符号表示方法化简多重符号。 过程方法 （二）过程方法 1. 利用数轴，直观认识互为相反数的位置特点，理解相反数的代数定义和几 何定义的一致 性。 2. 渗透数形结合等思想方法，并注意培养学生的概括能力。 3. 会正确求一个数的相反数并知道它们之间的关系。 （三）情感态度 通过相反数的学习，体会数学符号化和数形结合的思想，进而进一步认识事 物之间的联系。 教学重点 1. 相反数的概念及其表示方法， 理解相反数的代数定义和几何定义的一致性。 2. 能准确写出任意数的相反数，对简化符号能正确应用。 教学难点 负数的相反数的表示方法，化简多重符号。 复习引入】 【复习引入】 1．在数轴上分别找出表示各数的点。 3 与D3，D5 与 5，D1.5 与 1.5 想一想：在数轴上，表示每对数的点有什么相同?有什么不同? 2．观察数 3 与D3，D5 与 5，D1.5 与 1.5 有何特点？，观察每组数所对应 的两个点的位置关系有什么规律? 再提思考问}: （1）数轴上与原点的距离是 2 的点有---个?这些点表示的数是--（2）数轴上与原点的距离是 5 的点有---个?这些点表示的数是--学生归纳：每组中的两个数只有符号不同，他们所对应的两点分别在原点的 两侧，到原点的距离相等。 教学过程】 【教学过程】 1．归纳相反数的定义： 像 3 与D3， 与 5， D5 D1.5 与 1.5 这样只有符号不同的两个数称互为相反数。 代数概念：只有符号不同的两个数称互为相反数。0 的相反数是 0.。 几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个数分别位于原点两侧，且与原 点的距离相等。 辩析： （1）符号不同的两个数叫做互为相反数。 （2）3.5 是相反数， （3）+3 和－3 是相反数。 说明： （1）相反数是指只有 只有符号不同的两个数。 只有 （2）相反数是成对出现的，不能单独存在，因而不能说“-6 是相反数” 。特 别强调的是 0 的相反数为 0，因为 0 既不是正数，也不是负数，它到原点的距 离就是 0，这是相反数等于本身的唯一的数。 因此，求一个数的相反数的方法：根据相反数的定义，只要改变一下这12 个数的符号，即将正号改变为负号，负号改变为正号．如 2 的相反数是-2，-5 的相反数是 5。 2. 一般地，数 a 的相反数是－ a ，其中 a 可是正数和负数和 0． 小结：当 a ＞ 0 时， ?a ＜0； 当 a =0 ⑴当 a =7 时，－ a =－7，7 的相反数是－7． 时， ?a =0； ⑵当 a =－5 时， a =－(－5)=5， 的相反数是 5． － －5 当a ＜ 0 时， ?a ＞0． ⑶当 a =0 时，0 的相反数是 0，因此－0=0． ［注意］a 不一定是正数，同样－a 也不一定是负数。解：6.9 的相反数是-6.9；-12 的相反数是 12 ；。反 数？ 解：-(+20)是+20 的相反数；3.规定:在任何一个数的前面添上一个&+&号,表示这个数本身;添上一个&-& 号,就表示这个数的相反数. 想一想： 按照这样的规定,+(-7) 表示什么意思?它的值等于多少? -(-7)表示 什么意思?它的值等于多少? 提示: +(-7)不能记为+-7,-(-7)也不能记为- -7. 4.思考：在式子“7-3 = 4”中,“-”号一般表示___________;在式子“-7”中,“-”号一 般表示______;式子“-a”中,“-”号表示_______. “-”号的三种主要意义： （1） 性质符号： 写在一个数值的前面， 表示这个数是负数. 比如， 表示 -5 “负 5”这个负数，在这里的“-”号就是表示负数的一种符号，它表明“-5”的 性质是负数. （2）相反数符号：表示一个数的相反数时，我们常在这个数的前面添上“-” 号.13 比如，-（-5）= 5，就表示-5 的相反数是 5. （3）运算符号：这点和小学的意义是相同的，用“-”号表示减号. 比 如，2-3 表示“2 减 3”，其中的“-”号就表示了减法运算. 例 3 根据相反数的意义，化简下列各数： (1)-(-48) (2)-(+2.56)解：(1)-(-48)＝48(2)-(+2.56)＝-2.56(4)-[-(-91)]＝-(+91)＝-91注意： 化简一个数前面的 “多重符号” 的规则是： 只要这个数前面的 “－” 号的个数是奇数个时，化简结果的符号为“－”，当“－”号的个数为偶数 时，化简结果的符号为“+”． 例如：－｛＋[－（＋5）]｝=5 （个数为偶数 2,结果应为正） －〔－〔＋（一 5）〕〕＝－5（“一”号个数为奇数 3，结果应为负） 例 4 说出下列各式表示的意义并化简： （1） ? (?2) ； （2） + (?8) ； （5） ? [?( ?a )] ； （6） ? [?( +a )] ； （3） ? (+4) ； （4） ? (? m) ；（7） ? (a ? b) ； （8） ? (a + b) 。解析： （1）求－2 的相反数，结果为 2（也可以简化为“负负得正”来确 定符号，但要清楚可以这么求解的原因） ； （2）－8 的前面加上“+”号，还得原数－8； （3）+4 的相反数为－4； （4） ? m 的相反数为 m（可简化记忆为奇数个负号结果取负号，偶数个负号 结果取正号） ； （5） ? a 的相反数的相反数为 ? a （有 3 个“－”号结果仍取“－”号） ； （6）+a 的相反数的相反数为 a（有 2 个“－”号结果取“+”号） ； （7） a ? b 的相反数为 b ? a ； （8） a + b 的相反数为 ? a ? b 。 课堂作业】 【课堂作业】14 1.判断题 （1） -a 是负数． ( ) （2） 一个负数的相反数一定比它本身大． ( ) 2.分别写出下列各数的相反数： -5，1，-3，0，-1 ? 6，-0.2，1 ，-0.5 ? 43．填空： (1)-1.6 是____的相反数，_______的相反数是-0.2 ?(2)1 与______互为相反数，x+1 的相反数是_____________ 3(3)一个数的相反数是最小的正整数，那么这个数是__________ (4) a 的相反数是 ， （－a） ＋ ＝ ， （－a） － 的相反数是 , ____________的相反数大于本身; ____________的相反数等于本身; ____________的相反数小于本身. 4.?化简下列各数： (1)-(-16)； (5)+(-6.09)； (9)－（+7） 教学反思】 【教学反思】 (2)-(+20)； (6)-［-(+3)］ ； (10) +（－5） (3)+(+50)； (7)+［-(-1)］ ； (11)－（－3．1）1 )； 2 1 (8)-［-()］ 10(4)-(-3绝对值 一 1.2.4.1 绝对值(一)15 【教学目标】 教学目标】 知识技能 （一）知识技能 6. 使学生掌握有理数的绝对值概念及表示方法。 7. 使学生熟练掌握有理数绝对值的求法和有关计算问题。 过程方法 （二）过程方法 1. 在绝对值概念形成的过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学 生的概括能力。 2. 能根据一个数的绝对值表示“距离” ，初步理解绝对值的概念。 3. 给出一个数，能求它的绝对值。 （三）情感态度 从上节课学的相反数到本节的绝对值，使学生感知数学知识具有普遍的联系 性。 教学重点 给出一个数会求它的绝对值。 教学难点 绝对值的几何意义，代数定义的导出；负数的绝对值是它的相反数。 情景引入 引入】 【情景引入】 问题： 问题：两辆汽车，第一辆沿公路向东行驶了 5 千米，第二辆向西行驶了 4 千米．为了表示行驶的方向(规定向东为正)和所在位置，分别记作+5 千米和 -4 千米．这样，利用有理数就可以明确表示每辆汽车在公路上的位置了．我们知道，出租汽车是计程收费的，这时我们只需要考虑汽车行驶的距 离，不需要考虑方向．当不考虑方向时，两辆汽车行驶的距离就可以记为 5 千米和 4 千米(在图上标出距离)．这里的 5 叫做+5 的绝对值，4 叫做-4 的绝 对值． 教学过程】 【教学过程】 1．绝对值的定义： 我们把在数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值 记作|a|。 绝对值)。 绝对值 例如，在数轴上表示数D6 与表示数 6 的点与原点的距离都是 6，所以D 6 和 6 的绝对值都是 6，记作|D6|=|6|=6。同样可知|D4|=4，|+1.7|=1.7。 2．试一试：你能从中发现什么规律? 由绝对值的意义，我们可以知道： ： (1)|+2|= ，1 5=，|+8.2|=；(2)|0|=；(3)|D3|= ，|D0.2|= ，|D8.2|= 。 概括：通过对具体数的绝对值的讨论，并注意观察在原点右边的点表示 的数（正数）的绝对值有什么特点？在原点左边的点表示的数（负数）的绝 对值又有什么特点？由学生分类讨论，归纳出数 a 的绝对值的一般规律： （1）一个正数的绝对值是它本身； ）一个正数的绝对值是它本身； （2） 0 的绝对值是 0； ） ； （3） 一个负数的绝对值是它的相反数。 ） 一个负数的绝对值是它的相反数。 即：①若 a＞0，则|a|=a；16 ②若 a＜0，则|a|=Ca；? a ( a & 0) ? a = ? 0 (a = 0) 或写成： 。 ? ? a ( a & 0) ?③若 a=0，则|a|=0； 3．绝对值的非负性 由绝对值的定义可知： 不论有理数 a 取何值， 它的绝对值总是正数或 0(通 常也称非负数)，绝对值具有非负性，即|a|≥0。 4．例题解析 例 1：求下列各数的绝对值： ? 7 1 ，2 1 10，D4.75，10.5。解： ? 7 1 = 7 1 ； +2 21 10=1 10；|D4.75|=4.75；|10.5|=10.5。例 2： 化简：(1) ? ? + 1 ? ； (2) ? ? 1 1 。 ? ? ? ?? 2? 3解：(1)1? 1 1 ? ? ?+ 1 ? = ? = ? ? 2? 2 2 ?；(2)? ?11 1 = ?1 3 3。 （ 3） |C 2 |C 3例 3：计算： （1）|0.32|+|0.3|； （C 2 ） 。 3（2）|C4.2|C|4.2|；分析：求一个数的绝对值必须先判断这个数是正数还是负数，然后由绝 对值的性质得到。在（3）中要注意区分绝对值符号与括号的不同含义。 解答： （1）0.62； （2）0； （3） 4 。3解：|8|=8，|-8|=8，|1 1 1 1 |= ，|－ |= ，|0|=0,|6－ π |=6－ π ，| π －5|=5－ π 4 4 4 4例 5.，求 x。分析：本题应用了绝对值的一个基本性质：互为相反数的两个数的绝对值相 等。即 或 ，由此可求出正确答案 或 。解： 或或补充： 补充：一对相反数的绝对值相等。 【课堂作业】 课堂作业】17 1.在括号里填写适当的数：-|+3|=( 2. 求+7，-2，)； |()|=1， |()|=0；-|()|=-2．1 2 1 ，-8.3，0，+0.01，- ，1 的绝对值。 3 5 2 3 3. （1）绝对值是 的数有几个？各是什么？ 4(2)绝对值是 0 的数有几个？各是什么？ (3)有没有绝对值是-2 的数？ （4）求绝对值小于 4 的所有整数。 4. 计算： (1)|-15|-|-6|； (4)|+4|×|-5|；(2)|-0.24|+|-5.06|； (3)|-12|÷|+2|；(3)|-3|×|-2|； (6)|20|÷|-1 | 25．检查了 5 个排球的重量（单位：克） ，其中超过标准重量记为正数，不足 的记为负数，结果如下： －3.5，＋0.7,－2.5,－0.6. 其中哪个球的重量最接近标准？ 【教学反思】 教学反思】1.2.4.2 绝对值 二) 绝对值(二18 【教学目标】 教学目标】 （一）知识技能 1．使学生进一步巩固绝对值的概念，能说出有理数大小的比较法则 2. 能熟练运用法则结合数轴比较有理数的大小，特别是应用绝对值概念比较 两个负数的大小，能利用数轴对多个有理数进行有序排列。 3. 能正确运用符号“＜”“＞”“∵”“∴”写出表示推理过程中简单的 因果关系 （二）过程方法 经历由实际问题总结归纳出应用绝对值概念比较有理数大小，特别是比 较两个负数的大小的过程，渗透数形结合思想。 （三）情感态度 通过学生自己动手操作，观察、思考，使学生亲身体验探索的乐趣，培 养学生合作交流能力和观察、归纳、用数学语言表达数学规律的能力。同时 培养学生逻辑思维能力和推理论证能力。 教学重点 运用法则借助数轴比较两个有理数的大小。 教学难点 利用绝对值概念比较两个负分数的大小。 复习引入】 【复习引入】 1．复习绝对值的几何意义和代数意义： 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离，正数的绝对 值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。 2.温度的高低与相应的数在数轴上的位置有什么关系？ （通过学生自己动手操作，观察、思考，发现原点左边的数都是负数，原点 右边的数都是正数；同时也发现 5 在 0 右边，5 比 0 大；10 在 5 右边，10 比 5 大，初步感受在数轴上原点右边的两个数，右边的数总比左边的数大。教师 趁机追问，原点左边的数也有这样的规律吗？）由小组讨论后，教师归纳得 出结论： 教学过程】 【教学过程】 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 在数轴上表示的两个数 正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。 正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。 例１：在数轴上表示数 5，0，－4，－1，并比较它们的大小，将它们按从小 到大的顺序用“&”号连接。 （师生共同完成） 分析：本题意有几层含义？应分几步？ 要点总结：小组讨论归纳，本题解题时的一般步骤：①画数轴；②描点；③ 有序排列；④不等号连接。 2.发现、总结： 做一做 （1）在数轴上表示下列各对数，并比较它们的大小 ①2 和 7 1 2 ③－ 和－ 4 5 ②－1.5 和－1 ④－1.412 和－1.411（2）求出图中各对数的绝对值，并比较它们的大小。 （3）由①、②从中你发现了什么？19 要点总结：两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小， 两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小， 两个正数比较大小 绝对值大的数反而小。 绝对值大的数反而小。 3. 两个负数比较大小时的一般步骤： 例如，比较两个负数 ? 3 和 ? 2 的大小：4 3先分别求出它们的绝对值： 3 ① 先分别求出它们的绝对值 ? = =43 49 12，?2 3= =2 38 12比较绝对值的大小： ② 比较绝对值的大小 ∵9 8 & 12 12∴3&24 32 比较负数大小： 3 ③ 比较负数大小 ? & ? 4 34.归纳： 我们可以得到有理数大小比较的一般法则： 小于正数，负数小于正数； (1) 负数小于 0，0 小于正数，负数小于正数； 两个正数，应用已有的方法比较； (2) 两个正数，应用已有的方法比较； 两个负数，绝对值大的反而小. (3) 两个负数，绝对值大的反而小. 5.例题： 例 2：比较下列各对数的大小： ①－1 与－0.01； 与? ?1 10② ? ? 2 与 0；③－0.3 与 ? 1 ；3④ ? ?? 1 ? ? ? ? ?? 9?。解：(1)这是两个负数比较大小， ∵|D1|=1， |D0.01|=0.01， 且 1&0.01， ∴D1& D0.01。 (2) 化简：D|D2|=D2，因为负数小于 0，所以D|D2| & 0。 (3) 这是两个负数比较大小， ∵|D0.3|=0.3， ? 13 =? 1 = 0. 3 ，且 30.3 & 0. 3 ，?∴ ? 0.3 & ? 1 。3(4) 分别化简两数，得：? 1? 1 ? ?? ? = , ? ? ? 9? 9 1 1 ? ? =? , 10 10∵正数大于负数，1 ? 1? ??? ? & ? ? ∴ ? 9? 10说明：①要求学生严格按此格式书写，训练学生逻辑推理能力； ②注意符号“∵”“∴”的写法、读法和用法； 、 ③对于两个负数的大小比较可以不必再借助于数轴而直接进行； ④异分母分数比较大小时要通分将分母化为相同。 例 3：用“＞”连接下列个数： 2.6，D4.5， 1 ，0，D2 2 10 3 分析：多个有理数比较大小时，应根据“正数大于一切负数和 0，负数小于一 切正数和 0，0 大于一切负数而小于一切正数”进行分组比较，即只需正数和 正数比，负数和负数比。20 提醒学生，用“&”连接两个以上数时，大数在前，小数在后，不能出现 5＞0 ＜4 的式子． 解答：2.6＞ 1 ＞0＞D2 2 ＞D4.5。 10 3 6.想一想：我们有几种方法来判断有理数的大小？你认为它们各有什么特 点？ 由学生讨论后，得出比较有理数的大小共有两种方法：一种是法则， 一种是法则， 一种是法则 另一种是利用数轴。 另一种是利用数轴。 当两个数比较时一般选用第一种，当多个有理数 比较大小时，一般选用第二种较好。 【课堂作业】 课堂作业】 1.（1）有没有最大的有理数，有没有最小的有理数，为什么？ （2）有没有绝对值最小的有理数？若有，请把它写出来？ （3）大于－1.5 且小于 4.2 的整数有_____个，它们分别是____。 2．比较大小（用“&”,“&”或“=”填空） （1）0.1 （4）|-3 -10, -3 （2）0 -5， -（+3） ， （3）|1 | 21 ， （5）-|-3| 2（2）1 31 | 3 1 （6）2 1 |与 0 3|-1 |， 2 2 -|- | 33．比较下列各对数的大小 （1）-5 和-622 与-3.14 7（3）|-4.将有理数 ? 3,? + 2 ,? ,?1 按从小到大的顺序排列,并用“&” 号连接起来。 【教学反思】 教学反思】有理数的加法（ 1.3.1.1 有理数的加法（一）21 【教学目标】 教学目标】 （一）知识技能 1．使学生了解有理数加法的意义。 2．使学生理解有理数加法的法则，能熟练地进行有理数加法运算。 3．培养学生分析问题、解决问题的能力，在有理数加法法则的教学过程 中，注意培养学生的观察、比较、归纳及运算能力。 （二）过程方法 1. 通过实例经历有理数加法法则的产生过程，使学生理解有理数加法的 意义。 2. 在培养学生的观察、归纳、 猜测、验证能力的基础上，进一步发展学 生探究思维、创新思维的能力。 （三）情感态度 1. 在学生自主探索数学知识的过程中，感受学习的成功，增强自信。 2. 通过独立探究、合作交流、自主评价，促进勇于探索，积极合作与交 流等良好的学习态度的形成，促进自主学习和评价能力的提高。 3. 渗透数学审美意识和理论，使学生认识数学来源于生活，又服务于生 活，养成正确运用数学的思想意识。 教学重点 了解有理数加法的意义，会根据有理数加法的法则进行有理数加法 运算。 教学难点 有理数加法中的异号两数如何进行加法运算。 情景引入】 【情景引入】 足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量．若我们规定赢球 为“正” ，输球为“负”,它们的和叫做净胜球．比如，赢 3 球记为+3，输 2 球 记为-2．学校足球队在一场比赛中的净胜球数可能有以下各种不同的情形： (1)上半场赢了 3 球，下半场赢了 2 球，那么净胜球数为 5 球．也就是 (+3)+(+2)=+5 ① (2)上半场输了 2 球，下半场输了 1 球，那么净胜球数为 3 球．也就是 (-2)+(-1)=-3 ② (3)上半场赢了 3 球，下半场输了 2 球，那么净胜球数为 1 球，也就是 (+3)+(-2)=+1 ③ (4)上半场输了 3 球，下半场赢了 2 球，那么净胜球数为 1 球，也就是 (-3)+(+2)=-1 ④ (5)上半场赢了 3 球，下半场不输不赢，那么净胜球数为 3 球，也就是 (+3)+0=+3 ⑤ (6)上半场输了 2 球，下半场两队都没有进球，那么净胜球数为 2 球，也 就是 (-2)+0=-2 ⑥ (7)上半场打平，下半场也打平，那么净胜球数为 0，也就是 0+0=0．⑦ 上面我们列出了两个有理数相加的 7 种不同情形，并根据它们的具 体意义得出了它们相加的和．但是，要计算两个有理数相加所得的和，我们 总不能一直用这种方法．现在我们大家仔细观察比较这 7 个算式，看能不能 从这些算式中得到启发，想办法归纳出进行有理数加法的法则？也就是结果22 的符号怎么定？绝对值怎么算？ 这里，先让学生思考，再由学生自己归纳出有理数加法法则. 教学过程】 【教学过程】 1. 有理数加法法则： ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大 的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得 0； ⑶一个数同 0 相加，仍得这个数。 例 1、 填表：学生逐题口答后，教师小结： 进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数 是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则．进行计 算时，通常应该先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值． 例 2 计算：(1)(3)＋(9) (2) (1 1 )＋( ) 2 3解：(1) (3)＋(9) (两个加数同号，用加法法则的第 2 条计算) =-(3＋9) 和取负号，把绝对值相加) =-12．1 1 (2) ( )＋( ) (两个加数异号,用加法法则的第 2 条计 2 3算) =(1 1 － ) 2 3 1 = 6(|1 1 |＞| |,和取负号,把绝对值相减) 2 31 1 － 上,从而把本题 2 3 1 1 的答案写成“ ” ，应该根据法则按步思考：先确定“和”取“” ，再计算 6 2 1 － 。 3注意: 解第(2)题时,同学们不能只把注意力集中在计算 例 3 计算： （1） （－9）＋（－8） ； （2）(4)＋(3)；（3）(5.25)＋5；（4）(2002 )＋0。 2003解（1） （－9）＋（－8）＝－（9＋8）＝－1723 （2）；（3）(5.25)＋51 =(5.25)＋5.25=0 4（4）。例 4 一天，小明上午到银行从存折上取出 80 元，下午又存入了 50 元， 结果存折上的钱是多了还是少了？多（少）多少？ 解： (－80)＋(＋60)＝－20（元） 答：存折上的钱是少了，少 20 元。 【课堂作业】 1.填空： (1)、 ( ?9) + ( +2) 和的符号 ，和的绝对值 ，和 。 (2)、 ? ? ? + ? ? ? 和的符号 。 (3)、 ( +0.72) + ( ?018) 和的符号 . 。 (4)、 ? + ? + ( ?0.3) 和的符号? 1? ? 3?? 1? ? 5?，和的绝对值，和，和的绝对值，和? 4? ? 5?，和的绝对值，。 和 2.请你细心填一填： （1） （＋5）＋（－8）=______. （ ）＋（－2）=－6. ____+(-101)=0, (-2003)+_____=-2003. (2)第三赛季,泰山足球队第一场比赛输了3个球,第二场比赛赢了2个球,该队 这两场比赛的净胜球是 __________。 (3)土星表面的夜间平均温度为-150℃，白天比夜间高27℃，那么白天的平均 气温是______。 (4) 请你写 出两个 有理 数， 并把 它们相 加，使 它们 的和 小于每 一个加 数 ___________。 (5)3与-5的和的相反数是 。 ? 21米，B地比A地高68米，那么B地海拔高度是 (6)A地的海拔高度是 . 教学反思】 【教学反思】24 1.3.1.2 有理数的加法 二) 有理数的加法(二【教学目标】 教学目标】 知识技能 （一）知识技能 1．让学生自主探究有理数加法的运算，理解加法运算律对于有理数的加法运 算同样适用。 2．让学生能自觉恰当运用加法运算律进行有理数加法运算，感受运算律能使 运算简化的作用，并能应用加法运算律解决实际问题。 3．熟练掌握多个有理数加法的运算 ． 过程方法 （二）过程方法 1．经历有理数加法运算律的探究活动，培养学生的思考、探究、归纳的能力。 2．使学生逐渐养成“算必讲理”的习惯，培养学生运算思维的准确性。 （三）情感态度 学生体验到通过数学活动，从师生之间的沟通、交流及自我探究中获得 数学知识和能力快乐． 教学重点 正确理解有理数中的加法交换律和结合律，能灵活、合理运用。 教学难点 能合理、自觉运用加法运算律进行简便运算。 复习引入】 【复习引入】 1.叙述有理数的加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加，绝对值相等时和为0； 绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的 绝对值． 一个数同0相加，仍得这个数． 2．在小学，数的加法有哪些运算律？ 教学过程】 【教学过程】 1.问题:计算并比较 ①(-8)+(-9), (-9)+(-8) ②4+(-7), (-7)+4 ③ [2+(-3)]+(-8), 2+[(-3)+(-8)] ④ [10+(-10)]+(-5), 10+[(-10)+(-5)] 通过计算你发现了什么?在有理数的运算中小学学过的加法的交换律,结合律 还成立吗? ①有理数的加法交换律是：两个数相加，交换加数的位置，和不变． 即加法交换律 ． ②有理数的加法结合律是：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两 ． 个数相加，和不变.即加法结合律 ③交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相加，可以任意交换加数的位 置，也可先把其中的几个数相加，无论各数相加的先后次序如何，其和不变。 例 1、（1） 16+（-45）+ 24 +（-32） （2）（－2.8）＋3＋1＋（－3）＋2.8＋（－4）（3）1 ? 1? 0.125 + 2 + ? ?2 ? + ( ?0.25 ) 4 ? 8?观察各小题数字特点，如何应用加法运算律简化计算呢？25 学生思考、讨论.并要求学生讲出每一步运算的依据. 解：(1)16＋（－45）＋24＋（－32） ＝（16＋24）＋［（－45）＋（－32）］（加法交换律和结合律） ＝40＋（－77）（同号两数相加法则） ＝－37．（异号两数相加法则） （2）（-2.8）+3+1+（-3）+2.8+（-4） =[（-2.8）+ 2.8 ]+[3+（-3）]+1+（-4）（加法交换律和结合律） =0+0+1+（-4）（互为相反数的两数相加为零） =-3（异号两数相加法则） （3）1 ? 1? 0.125 + 2 + ? ?2 ? + ( ?0.25) 4 ? 8? 1 ? 1? （加法交换律） = 0.125 + ? ?2 ? + 2 + (?0.25) 4 ? 8? ? ? 1 ?? ? 1 ? = ?0.125 + ? ?2 ? ? + ? 2 + (?0.25) ? （加法结合律） ? 8 ?? ? 4 ? ? = (?2) + 2 =0（同分母分数相加法则）总结： 总结：对于三个以上有理数相加，按下列过程计算比较简便： (1)凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加； (2)同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和； (3)同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来； （4）带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部 分拆开，分别结合相加。注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号。 例 2. 10 筐苹果，以每筐 30 千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千 克数记作负数，记录如下：2，－4，2.5，3，－0.5 ，1.5，3，－1，0， －2.5。问这 10 筐苹果总共重多少？ 看到这个问题小明想到了两种解法： 解法一： （先求出每一筐苹果原来的千克数，再求它们的和。 ） 这 10 筐苹果原来的重量分别是： （单位：千克） 32，26，32.5，33，29.5，31.5，33，29，30，27.5 32+26+32.5+33+29.5＋31.5＋33＋29＋30＋27.5＝304（千克）26 答：10 筐苹果总共重 304 千克。 解法二： （先求出 10 筐苹果与标准质量的总差值，再求和。 ） 2+(－4)+2.5+3+(－0.5)+1.5+3+(－1)+0+(－2.5) =(2+3+3)+(－4)+[2.5+(－2.5)]+[(－0.5)+(－1)+1.5] =8+(－4)=4 30×10+4 = 304(千克) 答：10 筐苹果总共重 304 千克。 【课堂作业】 课堂作业】 1.绝对值小于5的所有整数的和等于 ；绝对值不大于10的整数有 _____个,这些整数的和为_____.绝对值不大于100的整数有_____个,这些整 数的和为_____.有理数中最小的正整数和最大负整数的和是_____. 2.小于2003且大于-2002所有整数的和是( ). (A)2002 (B)1 (C)0 (D)-2002 3.如果a+b+c&0,那么( ). (A) 三个数中最少有两个负数 (B)三个数中有且只有一个负数 (C)三个数中最少有一个负数 (D)三个数中两个是正数或者两个是负数 4.计算： （1） （+14）+（－4）+（－1）+（+16）+（－5） （2） （－18．65）+（－7．25）+18．75+7．25 （3） （－2．25）+（－5 3 ）+（－ ）+0．125 8 4（4） （－3．5）+[3+（－1．5）] (5)（－2004）＋（＋29）＋2004 5.有一批货物标准质量为每袋 100 克,现抽取 10 袋样品进行检测,其结果是 99,102,101,101,98,99,100,97,99,103.求这 10 袋货物的总质量是多少?(用两种方 法计算) 【教学反思】 教学反思】27 1.3.2.1 有理数的减法 一) 有理数的减法(一【教学目标】 教学目标】 （一）知识技能 理解掌握有理数的减法法则,会将有理数的减法运算转化为加法运算； （二）过程方法 通过把减法运算转化为加法运算，向学生渗透转化思想，通过有理数的减法 运算，培养学生的运算能力。 情感态度 （三）情感态度 培养学生观察、分析、归纳及运算能力。 教学重点 运用有理数的减法法则熟练进行减法运算。 教学难点 理解有理数的减法法则是难点，突破的关键是转化，变减为加． 复习引入】 【复习引入】 1．有理数的加法法则？ 计算（口答） （1）2 ? 3? + ?? ? ； 5 ? 5?（2）－3＋（－7） ；（3）－10＋（＋3） ； （4）＋10＋（－3） ． 2.某天中午的气温为 11 °C ，到午夜气温下降了 15°C ，则午夜的气温是多 少？怎样计算的？ 3.2008 年元旦开封的气温为-5 °C―7°C，这一天的温差（最高气温与最低 气温之差）是多少？怎样计算的？ 【教学过程】 教学过程】 1.算下列各式: ①50-20=_____，50+（-20）=_____； ③50-0=_____， 50+0=_____ ； ⑤50-(-20)=______, 50+20=________. 观察上面问题中每组的两个算式和结果，你能发现减法如何转化为加法吗？ 由学生叙述，最后由教师和学生一起归纳有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 +（ a-b=a +（-b） 注意：这里的 a、b 表示任意有理数 ①进行有理数运算时，首先应弄清减数的符号（是“+” ，还是“-” ） 。 ②将有理数减法转化为加法时，要同时改变两个符号：一个是运算符号 由“-”变为“+” ，另一个是减数的性质符号。 ③今天学习有理数减法和小学减法意义相同，就是：已知两数和与其中 一个加数，求另一个加数的运算。 例 1 口算： ①3－5= ②3－（－5）= ③（－3）－5=28②50-10=_____ ，50+（-10）=_____； ④50（-10） =_____， 50+10=_____； ④（－3）－（－5）= ⑦－7－0= 例 2 计算: (1) (－3)D(D5);⑤－6－（－6）= ⑧0－（－7）=⑥－6－6= ⑨9－（－11）=(2)0－7;(3) 7.2D(D4.8); (4)－31 1 ?5 . 2 4解:(1) (－3)D(D5)= (－3)+5=2; (2) )0－7=0+(－7)= －7; (3) 7.2D(D4.8)=7.2+4.8=12; (4) －31 1 1 1 3 ? 5 =－3 +(－5 )=－8 . 2 4 2 4 4[说明] 将减法化成加法， （4）运算结果可以用假分数表示，也可以用带分数 表示 例 3． 在数轴上表示－２和＋１的两点间距离． 解：｜－２－１｜＝｜（－２）＋（－１）｜＝｜－３｜＝３ 或者 ｜１－（－２）｜＝｜１＋２｜＝３ [说明] 数轴上表示有理数 a ,b 的两点间距离等于｜ a －b｜（或｜b－ a ｜） 例 4. 全班学生分为五个组进行游戏，每组的基本分为 100 分，答对一题加 50 分，答错一题扣 50 分，游戏结束时，各组的分数如下： 第一组 100 第二组 150 第三组 -400 第四组 350 第五组 -100⑴第一名超出第二名多少分？ ⑵第一名超出第五名多少分？ 解：由上表可以看出，第一名得了 350 分，第二名得了 150 分，第五名得了400。 ⑴350 - 150=200（分） ； ⑵350 - （- 400）=750 分。 因此，第一名超出第二名 200 分，第一名超出第五名 750 分。 【课堂作业】 课堂作业】 1．填空题 （1）3－（－3）＝____________； （3） （－6） 0－ ＝____________； （5）－12－（－5）＝____________； （7）－8 比－2 小___________； （2） （－11）－2＝______________； （4） －7） （＋8） （ － ＝____________； （6）3 比 5 大____________； （8）－4－（ ）＝10；29 2．判断题 （1）两数相减，差一定小于被减数。 （ （2） （－2）－（＋3）＝2＋（－3）（ 。 （3）零减去一个数等于这个数的相反数。 （ （4）方程 x + 8 = 5 在有理数范围内无解。 （ （5）若 a & 0 ， b & 0 ， a & b ， a ? b & 0 ． （ 3．计算： （1） （－37）－（－47） ； （3） （－210）－87； （5）6.08－（－2.83） ； （7） ? ? ? （2） （－53）－16； （4）1.3－（－2.7） ； （6） （－2.7）－3.7； （8） （－2 ） ） ） ） ）1? ? 3? ? ? ?? ?； ? 4? ? 4?3 1 ）－（－1 ） ； 4 2（9） （－6－6）－7；（10） （1－5）－（2－8）.4．分别求出数轴上下列两点间的距离： （1）表示数 8 的点与表示数 3 的点； （2）表示数－2 的点与表示数－3 的点. 5．两个数的差一定小于被减数吗？请你举例说明. 【教学反思】 教学反思】30 1.3.2.2 有理数的减法 二) 有理数的减法(二【教学目标】 教学目标】 （一） 知识技能 1.使学生理解有理数的加减法法可以互相转化，并了解代数和的概念。 2.在正确理解省略括号和的形式基础上，熟练地进行有理数的加减混合运算。 3.在加减混合运算中，能灵活运用运算律简化运算，提高学生的运算能力。 （二）过程方法 通过学生参与探索运算律在加减混合运算中作用的数学活动，体会有理数运 算中分析和转化的思想方法．培养学生的运算能力。 （三）情感态度 体验数、符号是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问 题的重要工具。教学重点 教学重点 把加、减混合的算式化为省略加号的和式，并运用加法运算律合理地进行运 算。 教学难点 把加、减混合运算统一成加法运算， 把加、减混合运算统一成加法运算，需要一个比较复杂的思维和表述过 程，是本节教学难点。 是本节教学难点。 【复习引入】 复习引入】 1. 有理数的减法法则是___________________________________________. 2. 把下列减法改写成加法： (1)(-8)-(-10)=_____________ (2)(-6)-(+4)=_____________ (3) ( ?4 1 )－(+ )=___________ 5 5 2 3 4 5 1 5 1 3(4)-(-1 )-(+1)=____________ 3(5)(-8)-(-10)+(-6)-(+4)=____________________ (6) ( + ) + ( ? ) ? ( + ) ? ( ? ) ? ( +1) =____________________________ 【教学过程】 教学过程】 1.我们知道有理数的减法是先把它化为有理数的加法，即加减统一成加法。 把（-8）-（-10）+（-6）-（+4）统一成只有加法可写成 （-8）+（+10）+（-6）+（-4） 像这样的的一个和式里，通常把各个加数的括号与它前面的加号省略不写， 如上式可写成 -8+10-6-4 这个式子仍看作和式，叫做代数和 代数和。 代数和 按和式读做“负 8，正 10，负 6 负 4 的和” ； 按运算意义读做“负 8 加 10 减 6 减 4” 。 例如将加减运算 (?11) ? 7 + (?9) ? (?6) 统一成加法： ⑴统一成加法： (?11) ? 7 + (?9) ? (?6) = (?11) + (?7 ) + (?9) + 6 ⑵省略括号写成：－11－7－9+631 ⑶代数和：－11－7－9+6 ⑷读法：①根据性质符号读作：负 11，负 7，负 9，正 6 的和． ②根据运算符号读作：负 11 减 7 减 9 加 6． ⑸“+” “－”符号，既是性质符号，又是运算符号，两者合一． 例 1、把下列各式写成省略加号的和的形式，并把它读出来。 （1） （+1）+（-3）-（+2）-（-4）-（+6） （2） (-20)+(+3)-(+5)-(-7) 解： （1）原式=（+1）+（-3）+（-2）+（+4）+（-6） =1-3-2+4-6 读作“正 1、负 3、负 2、正 4、负 6 的和”或“1 减 3 减 2 加 4 减 6” （2）原式= (-20)+(+3)＋(－5)＋(＋7) =-20+3-5+7 读作“负 20 正 3 负 5 正 7 的和”或 “负 20 加 3 减 5 加 7” 例 2、计算 （1）-24+3.2-1.6+3.5+0.3 （2）0-21+3-（-0.5）-（-6）-（+4） 解 (1)因为原式表示-24，3.2，-16，-3.5，0.3 的和，所以可将加数适当交 换位置,并作适当的结合进行计算，即 -24+3.2-16-3.5+0.3 ＝（-24-16）+（3.2+0.3）-3.5 ＝－40＋3.5－3.5 ＝－40 . （2）0-21+3-（-0.5）-（-6）-（+4） ＝0＋（－21）＋（＋3）＋（＋6）＋（－4） ＝－21＋3＋6－4 ＝（－21－4）＋（3＋6） ＝－25＋9 ＝－16 注意：⑴有理数加减法混合运算的题目的步骤为： ①减法转化成加法； ②省略加号括号； ③运用加法交换律（这里既交换又结合，交换时应连同数字前的符号一 起交换）；32 ④按有理数加法法则计算． （2）运算律： ①互为相反数放在一起 ②同分母的放在一起 ③能凑整的放在一起 ④小数与小数放在一起，整数与正数放在一起（等等） 例 3 一储蓄所在某时段内共受理了 8 项现款储蓄业务，存入记“+”，取出记 “负”，要求 记录并计算结果. 如学生报数如下： 取出 63.7 元，存入 150 元，取出 200 元，存入 120 元，存入 300 元，取出 112 元，取出 300 元，存入 100.2 元. 解： 记存入为正，由题意可得 -63.7+150-200+120+300-112-300+100.2 =（150+120+100.2）+（300-300）+（-63.7-200-112） =37.0+0+（-375.7） =-5.5（元）. 答：该储蓄所在这一时段内现款减少了 5.5 元. 【课堂作业】 课堂作业】 1.把下面各式写成省略括号的和的形式： ①10+(+4)+(-6)-(-5)； ②(-8)-(+4)+(-7)-(+9)． ③（-12）-（+8）+（-6）-（-5） ④（+3.7）-（-2.1）-1.8+（-2.6） ⑤（－5）＋（＋7）－（－3）－（＋1） ； ⑥10＋（－8）－（＋18）－（－5）＋（＋6） ． 2.式子－7＋1－5－9 的正确读法是（ A．负 7、正 1、负 5、负 9； B．减 7、加 1、减 5、减 9； C．负 7、加 1、负 5、减 9； D．负 7、加 1、减 5、减 9； 3．说出式子－3＋5－6＋1 的两种读法． 4．计算 （1）0－10－（－8）＋（－2） ； （2）－4.5＋1.8－6.5＋3－4；33） ． （3） ? ?3 ? 1? ? 2? ? 1? ? ??+ ? ? ? ??? ? ． 4 ? 4? ? 3 ? ? 3?（4）－8＋12－16－23； （5） ? 42 11 1 17 + 1 ? 17 ? 2 ； 3 12 4 18（6）－40－28－（－19）＋（－24）－（－32） ； （7）－2.7＋（－3.2）－（1.8）－2.2； 【教学反思】 教学反思】34 1.4.1.1 有理数的乘法 一) 有理数的乘法(一【教学目标】 教学目标】 （一）知识技能 1.掌握有理数的乘法法则，会进行有理数的乘法运算。 2.了解倒数的概念，理解零没有倒数，学会求一个数的倒数。 （二）过程方法 关注学生学习的过程，多让学生经历知识发生、规律发现的过程，尽可 能让学生活动。 发展观察、归纳、猜测、验证等能力。 （三）情感态度 通过法则的推导，让学生亲身经历知识的发生过程，培养学生勇于探索 新知的精神。 鼓励学生参与到数学学习活动中，自己动手，总结规律。能够确定有理数相 乘积的符号， 获得成功的体验。 教学重点 有理数乘法的运算。 教学难点 探索有理数的乘法法则及符号的确定。 复习引入】 【复习引入】 1.回忆小学学过的乘法，计算下列各题： （1） 3× （4）1 = 2（1）7 ×2= 22 1 × = 3 2 11 （5） × 0 = 4（3）7 7 × = 2 3（7）0×0=（6）0×7.4×5.3=问题：对有理数来说，乘法运算怎么进行？这节课我们就来学习。 【教学过程】 教学过程】 1．创设问题情境 一只蜗牛沿直线 l 爬行，它现在的位置在直线 l 的点 O. 问题 1 ： （1）如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向右爬行，3 分钟后它在什 么位置？ （2）如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向左爬行，3 分钟后它在什么位置？ （3）如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向右爬行，3 分钟前它在什么位置？ （4）如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向左爬行，3 分钟前它在什么位置？ 问题 2 为区分方向，规定向左为负，向右为正；为区分时间，规定现在前为 负，现在后为正.以上 4 个小问题的答案是什么？计算过程如何写？ （1）3 分钟后它在 l 上点 O 右边 6cm 位处，表示为（＋2）×（＋3）＝＋6； （ （2）3 分钟后它在 l 上点 O 左边 6cm 位处，表示为（－2）×（＋3）＝－6； ； （3）3 分钟前它在 l 上点 O 左边 6cm 位处，表示为（＋2）×（－3）＝－6； － － （4）3 分钟前它在 l 上点 O 右边 6cm 位处，表示为（－2）×（－3）= +6 问题 3 怎样进行有理数的乘法运算？ 通过对上面问题的研究，发现有理数的运算有下面几个方面： （1）有理数的乘法分为：正数乘正数；负数乘正数；正数乘负数；负数乘负 数；有理数与零相乘. （2）符号：正数乘正数为正数；负数乘正数为负数；正数乘负数为负数；35 负数乘负数为正 数；即同号得正，异号得负. （3）绝对值：各乘数的绝对值相乘是积的绝对值. (4) 任何数与 0 相乘，积仍为 0. 由此可得到： 2.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数同 0 相乘，都得 0. 说明：进行乘发运算时，要抓住符号和绝对值这两个关键：有理数相乘，先 有理数相乘， 有理数相乘 确定积的符号，再确定积的绝对值. 确定积的符号，再确定积的绝对值 3 例题讲解： 例 1 口答，说出下列两数积的符号。 （1）5×（-3） （4）0.5×0.7 （2） （-4）×1 2（3） （-1 ）×（-9） 7（5）│-5│×（-2）－│-2│×2 （4）正 （5）负解： （1）负 （2）负 （3）正 例 2.计算： （1） （-5）×（-6） ×（（2） （-1 1 ）× 2 4（3） （-3 3 ）×（- ） （4） （-3） 8 81 ） 3 1 1 1 ）× =－ 2 4 8 1 （4） （-3）×（- ）=1 3（2） （-解： （-5）×（-6）=30 （1） （3） （-9 3 3 ）×（- ）= 8 8 644.倒数的定义：乘积是 1 的两个数互为倒数。 （ 数 a（a≠0）的倒数是什么？） a（a≠0）的倒数是 说明： 说明： （1） 当 a（a≠0）为整数时，倒数为1 ，0 没有倒数。 a 1 ； a（2） 当 a 为分数时，分子分母互换，带分数换成假分数再求； （3） 正数倒数为正，负数倒数为负； （4） 倒数等于本身的数是 1，-1； 相反数等于本身的数是 0； 绝对值等于本身的数是非负数 例 3 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负。登山队攀登一座山 峰，每登高 1km 气温的变化量为－6℃，攀登 3km 后，气温有什么变化？ 解： （-6）×3=－18 答：气温下降 18℃.36 课堂作业】 【课堂作业】 1. ( ?7) × ( ?4) 积的符号 ；，积的绝对值 ，积的绝对值 ，积的绝对值 ，积的绝对值， ， ， ，积 积 积 积( ?7) × 4 积的符号； 5 × ( ?7) 积的符号 ； 7 × 4 积的符号 ；2.计算.（1）3×（-4） （2）2×（-6） （3） （-6）×2 （4）6×（-2） （5） （-6）×0 （6）0×（-6） （7） （-4）×0.25 （8） （-0.5）×0.5 （9）2 3 ×（- ） 3 4（10） （-2）×（(2)(-5)×121 ） 2(4)-4.5×(-0.32)3.计算:(1)(-6)×(-7) （5）(3)0.5×(-0.4)1 4 5 3 4 10 ×(- ) (6)(- )×(- ) (7)×5 （8）(-0.3)×(- ) 2 7 6 10 15 74.写出下列各数的倒数： -15， -5 1 2 1 ，-0.25，0.17， 4 ， ? 5 ，-|-1 | 9 4 5 30； 0； 0。5、填空：若a & 0，b & 0，则ab 若a & 0，b & 0，则ab 若a & 0，b & 0，则 ab若 a＝0,b≠0,则 ab_______0 教学反思】 【教学反思】37 1.4.1.2 有理数的乘法 二) 有理数的乘法(二【教学目标】 教学目标】 知识技能 （一）知识技能 1．使学生掌握多个有理数相乘的积的符号法则； 2．掌握有理数乘法的交换律和结合律，并利用运算律简化乘法运算； 过程方法 （二）过程方法 在师生互动、生生互动的系列活动中，学会与老师及与其他同学交流、 沟通和合作，准确表达自己的思维过程。培养学生观察、归纳、概括能力及 运算能力． （三）情感态度 通过例题与练习，体验“简便运算”带来的愉悦，懂得运算的每一步都 必须有依据。通过新知的导入和运用过程，感受到人们认识事物的一般规律 是“实践、认识、再实践、再认识” 。培养学生的观察和分析能力，渗透转化 的教学思想。 教学重点 乘法的符号法则和乘法的运算律． 教学难点 几个有理数相乘的积的符号的确定． 复习引入】 【复习引入】 1．有理数乘法法则是什么？ 2．计算(五分钟训练)： (1)(-2)×3； (2)(-2)×(-3)； (3)4×(-1.5)； (4)(-5)×(-2.4)； (5)-2×3×（-4） (6) 97×0×(-6)； ； (7)1×2×3×4×(-5)； (8)1×2×3×(-4)×(-5)； (9)1×2×(-3)×(-4)×(-5)； (10)1×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)； (11)(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)． 教学过程】 【教学过程】 1．几个有理数相乘的积的符号法则 引导学生观察上面各题的计算结果，找一找积的符号与什么有关？ (7)，(9)，(11)等题积为负数，负因数的个数是奇数个；(18)，(20)等题积为正 数，负因数个数是偶数个． 是不是规律？再做几题试试： (1)3×(-5)； (2)3×(-5)×(-2)； (3)3×(-5)×(-2)×(-4)； (4)3×(-5)×(-2)×(-4)×(-3)；(5)3×(-5)×(-2)×(-4)×(-3)×(-6)． 同样的结论：当负因数个数是奇数时，积为负；当负因数个数是偶数时，积 为正． 再看两题： (1)(-2)×(-3)×0×(-4)； (2)2×0×(-3)×(-4)． 结果都是 0． 引导学生由以上计算归纳出几个有理数相乘时积的符号法则： 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个 积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 几个有理数相乘， 几个有理数相乘，有一个因数为 0，积就为 0． ， 说明： （1）这样以后进行有理数乘法运算时必须先根据负因数个数确定积的 符号后，再把绝对值相乘，即先定符号后定值．38 （2）第一个因数是负数时，可省略括号． 例 1 计算：(1) ( 2)5 9 1 ( ?3) × × ( ? ) × ( ? ); 6 5 4 4 1 ( ?5) × 6 × ( ? ) × 5 45 9 1 ( ?3 ) × × ( ? ) × ( ? ) 6 5 4 5 9 1 ＝? 3× × × 6 5 4 8 ＝? 9 4 1 ( ?5) × 6 × ( ? ) × 5 4 4 1 ＝5×6× × 5 4解： (1)( 2)＝6 2．乘法运算律 在做练习时我们看到如果像小学一样能利用乘法的交换律和结合律 计算： (1)5×(-6)； (2)(-6)×5； (3)［3×(-4)］×(-5)； (4)3×［(-4)×(-5)］ ； 由上面计算结果，可以说明有理数乘法也同样有交换律，结合律， (1)乘法交换律 文字叙述：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． 代数式表达：ab=ba. (2)乘法结合律 文字叙述：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不 变． 代数式表达：(ab)c=a(bc)． 例 2，用简便方法计算： （-5）×89.2×(-2) （1） (2)(-8)×(-7.2)×(-2.5)×5 12解： （1）原式=5×2×89.2……交换因数位置，决定积的符号 =892………………按顺序依次运算 （2）原式＝－(8×2.5)×(7.2×5 )……交换因数位置，决定积的符号 12＝－60………………按顺序依次运算 【课堂作业】 课堂作业】 1.确定积的符号：( ?2) × 3 × ( ?4) × ( ?1) 积的符号 ( ?2) × ( ?3) × 4 × ( +1) 积的符号 ( ?2) × 3 × 4 × ( +1) 积的符号； ； 。39 2 完成下面填空： （1） （-10）×（1 ）× 0.1 × 6 =_______ 3 1 （2） （-10）×（- ）×（-0.1）× 6 =________ 3 1 （3） （-10）×（- ）×（-0.1）×（-6）=________ 3 1 （4） （-5）×（- ）× 3 ×（-2）× 2=________ 2（5） （-5）×（-8.1）× 3.14 × 0=________ 3.计算 （1）8+（-0.5）×（-8）×3 4 3 7 （3） - ） 5 × 0 × （ × （- ） 4 8（2） （-3）×4.计算： （-4）×（-7）×（-25） （1） （3） （-0.5）×（-1）×3 ×（-8） 4(5） （-3）×（7）×-3 ×（-6） (7)1-(-1)×(-1)-(1)×0×(-1) 教学反思】 【教学反思】5 4 1 ×（- ）×（- ） 6 5 4 1 5 (5) (-6)×(+37) × (- )×() 3 74 3 4 （2） （- ）×8×（- ） 5 3 1 （4） （-5）-（-5）× ×（-4）. 3 1 （6）(-1)×(-7)+6×(-1)× 240 1.4.1.3 有理数的乘法 三) 有理数的乘法(三【教学目标】 教学目标】 知识技能 （一）知识技能 使学生经历探索有理数乘法分配律，能正确运用有理数乘法运算律，进 行有理数乘法简化运算并会灵活变形。 过程方法 （二）过程方法 有理数乘法运算中对各种运算律能够正确运用，寻找最佳解题途径不断 总结经验，使学生简便计算能力得到切实提高，培养学生变形的应变能力， 逆向思维能力。 （三）情感态度 体验有理数运算律的意义和运算中的价值，有时为了计算简便而准确， 运用变形运用交换律等思维方式，体验到技巧的运用带来的快乐，使自己在 学习中得到乐趣，形成学习的动力。 教学重点 熟练运用有理数乘法分配律进行简化计算。 教学难点 熟练运用有理数乘法分配律进行简化计算适时变形，逆向分配律的运用。 复习引入】 【复习引入】 1.上一节课我们一起学习了有理数乘法交换律、结合律。那么： （1）有理数乘法交换律是什么？（用字母表示数的形式做解释） （学生答） （2）有理数乘法结合律是什么？（用字母表示数的形式做解释） （学生答） 还有我们也学了有理数乘法的符号法则，即 （3）几个不等于 0 的有理数相乘，如何确定积的符号？（学生答） （积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数 有偶数个时，积为正。用四个字概括为：奇负偶正） 2.计算： （1）5 ? 2? ? 1? ? 1? ×?? ?×?? 2 ?×?? 4 ? 31 ? 9 ? ? 15 ? ? 2?（2） （－17） × （－49） × 0 × (-13) × 37 3.问题： 在小学里，我们曾经学过乘法的分配律，如：6×( 1 + 1 )=6× 1 +6×2 3 2 1 3，你能发现什 么？这个运算律在有理数乘法运算中也是成立的 吗？ 【教学过程】 教学过程】 探索：任选三个有理数（至少有一个负数）分别填入下列□、○和◇内， 并比较两个运算结果。 □ × （○＋◇） 和 □ × ○＋□ × ◇41 比较可得，有理数的乘法仍满足分配率，即 a(b+c)=ab+ac (a,b,c 为任意 有理数) 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把乘积相加。 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把乘积相加。 注意： （1）这里的“和”不再是小学中说的“和”的概念，而是指“代数和” （2）运用乘法分配律进行计算时，注意符号。 （3）两个数直接相乘，有时计算量较大，要经过稍加变形。 （4）有理数乘法运算时，有时可以反向运用分配律，逆用乘法分配律。 例 1 计算： (1) 30 × ??1 2 ? ? + 0 .4 ? ; ?2 3 ?(2) 4.98 × (? 5)（3） （－11） × ? ? 解：(1)原式 = 30 ×? 2? ? 3? ? 1? ? ＋（－11） × ? 2 ? ＋（－11） × ? ? ? ? 5? ? 5? ? 5?1 2 2 ? 30 × + 30 × = 15 ? 20 + 12 = 7 ； 2 3 5(2) 原式= 4.98 × (? 5) = (5 ? 0.02 ) × (? 5) = ?25 + 0.1 = ?24.9 ； （3）原式＝(-11)×( ?2 3 1 + 2 ? )＝(-11)×2＝-22 5 5 5例 2：计算：①4×(D12)+(D5)×(D8)+16； ②3 ? 1 14 ? × ?8 ?1 ? ? 。 4 ? 3 15 ?解：①原式=8×(D6)+8×5+8×2=8×(D6+5+2)=8×1=8； ②原式=3 ? 1 14 ? 3 3 4 3 14 7 3 × ?8 ?1 ? ? = × 8 ? × ? × = 6 ?1? = 4 。 4 ? 3 15 ? 4 4 3 4 15 10 10由上面的例子可以看出，应用运算律，有时可使运算简便. 也有时需要先 把算式变形， 才能用分配律， 如例 1(2)， 还有时需反向运用分配律， 如例 1(3)。 能约分的、凑整的、 能约分的、凑整的、互为倒数的数要尽可能的结合在一起 例 3：计算：? 3.14 × 35.2 + 6.28 × ? 23.3） 1.57 × 36.4 （ ?[分析]这是一题较繁的计算题，不能直接进行简便计算，但仔细观察后 会发现 3.14，6.28，1.57 之间加倍关系，可以逆用乘法分配律进行计算。1 解：原式 = ?3.14 × 35.2 + 3.14 × 2 × ? 23.3 ? 3.14 × × 36.4 （ ） 2 = ?3.14 × 35.2 + 3.14 × ? 46.6 ? 3.14 × 18.2 = ?3.14 × 35.2 + 46.6 + 18.2 （ ） （ ） = ?3.14 × 81.8 + 18.2 = ?3.14 × 100 = ?314 （ ）42 例 4 某校体育器材室总共有 60 个篮球，一天课外活动，有 3 个班级分别 计划借篮球总数的1 1 1 ， 和 。请你算一算，这 60 个篮球够借吗？如果 2 3 4够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？ 解：60×（1 1 1 1 1 1 + + ）= 60 × + 60 × + 60 × =30+20+15=65 2 3 4 2 3 4∴不够借 60-65=-5 答：这 60 个篮球不够借，还缺 5 个。 【课堂作业】 课堂作业】 1、计算: （1） ? 6 )× ? ? 0.5 + ? ( 2、填空：? ?1? 3?（2） ??1 1 1? ? + ? × 12 ? 4 2 6?（3） ? 1002 )× 17 (4 （1） 19 × 16 = (20 ? ____) × 16 = 20 × 16 ? ____× 16 = 320 ? ____ = ____ 5 （2） ? 1 ? 3 ? 5 + 5 ? 7 ? × 36 = __________________________ ? ? 9 6 12 ? ?2=___________________________=________ 3、计算 （1） ??7 5 3? ? + ? × 36 ?9 6 4?（2） 9 × 65 6（3） ? ?? 1 ? 5 ? × × (?8) ? 20 ? 4（4）5 ? 2? 3 ×?? 2 ?× 6 ? 5? 5(5) ??1 5 2? ? ? ? × 105 ?3 7 5? 1 2 ， 2 天打完其中的 ， 第 3 74、 1155 页稿件需要打字， 有 第一天打完其中的 问还有多少页没有打？ 教学反思】 【教学反思】43 1.4.2.1 有理数的除法 一) 有理数的除法(一【教学目标】 教学目标】 知识技能 （一）知识技能 1.理解倒数的意义，会求有理数的倒数. 2.了解有理数除法的意义，理解有理数除法的法则，会进行有理数的除 法运算． （二）过程方法 过程方法 通过有理数除法的法则的导出及运用，学生能体会转化的思想。 感知数 学知识具有普遍联系性、相互转化性. （三）情感态度 通过有理数乘法运算的推广，体会知识系统的完整性。体会在解决问题 的过程中与他人合作的重要性。通过对解决问题的过程的反思，获得解决问 题的经验. 教学重点 有理数的除法法则及其运用. 教学难点 有理数除法法则有两个，在运用中合理运用是本节课的难点. 情景引入 引入】 【情景引入】 1.问题： 1.问题：有四名同学参加数学测验，以 90 分为标准，超过得分数记为正数， 问题 不足的分数记为负数，评分记录 如下：+5、-20。-19。-14。求：这四名同 学的平均成绩是超过 80 分或不足 80 分？ 学生活动： 学生活动：学生列式（+5-20-19-14）÷4 化简： （-48）÷4=？（但不知如何计算）揭示课题（从实际生活引入， 体现数学知识源于生活及数学的现实意义） 2.为了学习今天的有理数除法先复习小学倒数概念. 一般地 a ?1 1 =1（a≠0）,也就是说 a 的倒数是 。 a a2 2 ； （2）4 ； （3）0.2（4）-0.25； （5）-1 3 3求下列各数的倒数： （1）【教学过程】 教学过程】1.根据除法是乘法的逆运算。启发学生思考：(－6)÷2，就是求一个数与 2 的积等于―6。引导学生将有理数的除法运算转化为学生已知的乘法运算。 试一试： 6÷2=______ ,（-6）÷2=______ , (-12)÷（-3）=______由（-12）÷（-3）=（-12）× (? ) ， 知除法可以转化为乘法。 完成下列填空： （1）8÷（-2）=8×（ ） （2）6÷（-3）=6×（ ）1 344 （3）-6÷（ ）=-6×1 3（4）-6÷（ ）=-6×2 3做完填空后发现了什么？ 除法可以转化为乘法，即除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数。 除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数。 除以一个不为零的数 也可以表示成 2.例题讲解：例 1 计算： （1） （-18）÷6， （2） ? ?? 1? ? 2? ? ÷ ?? ? ， ? 5? ? 5? ? 1? ， ? ÷（-100） ? 12 ?（3） （-0.75）÷（-0.25）,（4）(-12)÷ ? ?解： （1）原式=（-18）×1 =-3 6（2）原式= ? ?? 1? ? 5? 1 ?×?? ? = ? 5? ? 2? 2（ 3 ） 原 式 = ( ? ) × ( ?4) =3 (-3 4（ 4 ） 原 式 =(-12) × (-12) ×1 36 )= 100 25观察上例中被除数、除数、商的符号。可得到与乘法相类似的法则：两 两数相除，同号得正 异号得负 并把绝对值相除。零除以不等于零的数。 数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以不等于零的数。都 相除 得 0。 掌握符号法则，有的题就不必再将除数化成倒数再去乘了，可以确定符 号后直接相除，这就是第二个有理数除法法则。 有理数除法同小学学过的一样常常可以用分数表示，即 a÷b= 除法法则可以化简分数。 例 2 化简下列分数：a (b≠0)?利用 b? 12 ? 24 ? 45 （2） (3) 3 16 ? 15 ? 12 解： （1） =（-12）÷3=-（12÷3）=-4 3 ? 24 （2） = (-24)÷16=－(24÷16)=-1.5 16（1）1 (4) 2 ? 3 ?(3)? 45 =(-45)÷(-15)=3； ? 15?(4)1 2 = ? ? 1 ? ÷3=- 1 ? ? ? 3 ? 2? 6例 3 计算：45 （1） ? ?? 5? ? 2? ? ÷ ?? ? ? 3? ? 3?6? 7?（2） ?1 7 ? 3? ÷ ×?? ? 2 8 ? 4?（3） 2 ÷2 1 ÷ 3 4(4) ? ? 24 ? ÷(-6)? ?(5)-3.5÷7 ? 3? ×?? ? 8 ? 4?(6) ? ? 7? ?3 1 1? ? 2 ? ÷3 4 2 7? 1 8 3 3 × × ) = 2 7 4 7解： （1）原式= ? ? （3）原式= 2 ×5 ? 5? ? 3? ?×?? ? = 2 ? 3? ? 2?（2）原式= ＋(3 ×4 = 3 2(4) ? ? 24 ? ÷(-6)? ?6? 7?= ? 24 +? ?6? 1 ?× 7? 6(先定符号)=4+1 1 =4 ； 7 7 7 ? 3? ×?? ? 8 ? 4?(乘法分配律)(5)-3.5÷=7 8 3 × × =3； 2 7 4 3 1 1? ? 2 ? ÷3 4 2 7?(先定符号后定值)(6) ? ? 7? ?=-15 4 15 4 × × 2 15 7 15 4 4 =-2- =-2 ； 7 7(注意符号)【课堂作业】 课堂作业】 1．写出下列各数的倒数： （1）5 6（2） ?3 7（3）-5（4）1（5）-1（6）0.22.计算： （1）36÷（-3） （2） （-2）÷ （5）? ?1 2（3）0÷（-5） （6） （-6）÷（-4）÷ ? ?（4）8÷（-0.2）? 7? ? 3? ? ÷ ?? ? ? 8? ? 4?? 3? ? ? 5?（7）-18÷0.6 3.化简下列分数：（8）-0.25÷ ? ?? 3? ? ? 8?46 （1）? 21 7（2）2 ? 12（3）? 54 ?8（4）? 48 8（5）? 24 ? 36（6）0 ?54．计算： （1） ? ?? 3? ? 1? ? 9? ?×?? ? ÷ ?? ? ? 4? ? 2? ? 4? ? 2? ? 1? ? 1? ? ÷ ?? ? ÷ ?? ? ? 3 ? ? 3? ? 2?（2）-6÷（-0.25）×1 24（3） ? ?（4） ? 1 + 5 ÷ ? ?? 1? ? × (?6) ? 6?5．判断下列各式是否成立： (1)?a a a ?a a = =- ； (2) = ? b ?b b ?b b【教学反思】 教学反思】47 1.4.2.2 有理数的除法 二) 有理数的除法(二【教学目标】 教学目标】 （一）知识技能 1、熟练进行有理数的乘除混合运算，能运用简便算法计算； 2、掌握有理数的加减乘除混合运算顺序，并能准确进行运算； 3、能解决有理数混合运算的应用题． （二）过程方法 在小学已有的乘除法混合运算顺序知识的基础上，把知识推广运用到有 理数的范围，用类比的方法，感知新知和旧知的联系. （三）情感态度 1.在数学学习活动中体验成功的喜悦，形成良好的数学思维习惯. 2.结合实际问题，体验数学的实用价值. 教学重点 加减乘除混和运算。 教学难点 运算时一定要注意运算顺序。 复习引入】 【复习引入】 1.复习有理数的乘除法法则（两个） ． （1）除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数 （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以不等于零的 数。都得 0。 2．某人购买股票三月份亏损 1500 元，四月份赢利 1200 元，这两个月平均每 月赢利多少元？ 应怎样列出式子？怎样计算？ 由此引出有理数混和运算问题。【教学过程】 教学过程】1、例题分析 例 1 计算： （1）－54×（－2 ÷（－0．9） ． 解： （1）－54×（－21 1 2 ）÷（－4 ）× ； 4 2 9（2）63×（－14 1 ）+（－ ） 9 71 1 2 ）÷（－4 ）× 4 2 9 9 2 2 ＝－（54× × × ） 4 9 9＝-6（2）63×（－14 1 ）+（－ ）÷（－0．9） ． 9 7 10 ＝（-91）+ 63 53 ＝ ? 90 6348 说明： （1）将除法转化为乘法，再运用乘法的法则进行计算也可以从左至右 依次进行计算，有理数的除法的符号法则与有理数的乘法法则是一样的； （2） 先算乘除，再算加减． 2、共同讨论： 例 2 观察下列解题过程，看有没有错误．如果有，请说明错误的原因， 并给予纠正；如果没有错误，请指明用了什么运算律．3 2 × =－9÷1=－9． 2 3 3 2 分析：－9÷ × 是乘除混合运算，应该从左到右按顺序进行计算，或 2 3计算：－9÷ 者运用除法的法则将除法统一成乘法，再按乘法法则进行计算． 答：解法有错误，错误的原因是在只含乘除的同级运算里，没有按从左 到右的顺序进行，而错误地先算 －9÷3 2 × ，正确的解答是： 2 33 2 2 2 × =－9× × =－4． 2 3 3 3说明：这是一个不注意就会出现的错误，另外，本例是阅读理解错题， 是当前中考的一个热点题型． 3.归纳概括：有理数加减乘除混合运算，无括号时， 先乘除，后加减” 有括 有理数加减乘除混合运算，无括号时， 先乘除，后加减” “ ， 有理数加减乘除混合运算 号时，先算括号内的，同级运算， 从左到右” 计算时注意符号的确定， “ 。 号时，先算括号内的，同级运算， 从左到右” 计算时注意符号的确定，还 要灵活应用运算律使运算简便。 要灵活应用运算律使运算简便。 4.巩固应用 例 3 计算 （1）6 1 19 ÷ ( ?1 ) ÷ 19 2 24 13 3 9 )÷( × ) 16 4 8（2）（-81）÷ 21 4 × ×（-16） 4 9（3） ( ?2（4） ? 1.3 + 0 ÷ (5.7 × ?4 5 + ) 5 4分析：第(1)、(2)小题应先把带分数化为假分数，然后进行运算；第(3)小 题有括号，应先算括号里面的，再把除法转化为乘法进行计算；第(4)小题有 0 作被除数，早发现可使运算简便. 解：（1）6 1 19 6 2 24 1 = ÷ ( ?1 ) ÷ × (? ) × =? 19 2 24 19 3 19 6 1 4 4 4 16 （2）（-81）÷ 2 × ×（-16）=（-81）× × ×（-16）=81× × 4 9 9 9 81 13 3 9 45 27 45 32 1 ) ÷ ( × ) = (? ) ÷ =? × = ?3 16 4 8 16 32 16 27 34916=256 （3） ( ?2 （4） ? 1.3 + 0 ÷ (5.7 × ?4 5 + ) =1.3+0=1.3 5 4说明：在一个算式里，如果含有带分数，应先把带分数化成假分数，再 按运算顺序进行运算.另外，在运算过程中，乘和除是同级运算，应按照从左 到右的顺序计算，不能随便约分. 例 4 某公司去年 1～3 月平均每月亏损 1．5 万元，4～6 月平均每月盈利 2 万 元，7～10 月平均每月盈利 1．7 万元，11～12 月平均每月亏损 2．3 万元．这 个公司去年总的盈亏情况如何？ 解：记盈利额为正数，亏损额为负数。公司去年全年盈亏额为 （-1.5）×3+2×3+1.7×4+(-2.3)×2 ＝-4.5+6+6.8-4.6 ＝3.7（万元） 答：这个公司去年全年盈利 3.7 万元。 5．通过例题讲解和练习训练，要注意到以下几点： （1）有理数乘除法法则遵循“符号优先”原则，即先确定符号，再把绝对值 相乘除。 （2）对于多个有理数相乘除，运算时可以从左到右进行，也可把除法转化成 乘法后再进行计算。 (3)要正确使用符号法则，确定各步运算结果的符号。 【课堂作业】 课堂作业】 1．计算： （1） （－0．4）÷（+0．02）×（－5） ； （2）2÷（－3 4 1 ）× ÷（－5 ） ； 7 7 7（3） （－5）÷（－15）÷（－3） ； （4） （－ 13 1 3 7 13 ）÷（－1 ）－（ + ）÷（－ ） ． 4 2 4 8 16【教学反思】 教学反思】50 1.5.1.1 有理数的乘方 一) 有理数的乘方(一【教学目标】 教学目标】 （一）知识技能 1、通过现实背景理解有理数乘方的意义，能进行有理数乘方的运算． 2、掌握幂的符号法则． 3、会用计算器进行乘方运算． 4、培养学生观察、归纳能力，以及思考问题、解决问题的能力． （二）过程方法 1、通过观察、比较、猜想、验证等活动，探究有理数的乘方运算规律. 2、使学生在潜移默化中形成分类讨论思想. （三）情感态度 1、体验乘方表示几个相同因数相乘的作用． 2、正确的进行数的计算，表示一丝不苟的精神． 教学重点 正确理解乘方的意义，能利用乘方运算法则进行有理数乘方运算 教学难点 有理数乘方运算的符号法则． 情景引入】 【情景引入】 1、介绍棋盘上的故事：古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发 明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对大臣表示感谢， 国王答应满足这个大臣一个要求． 大臣说： “就在这个棋盘上放一些米粒吧． 第 一格放 1 粒米，第二格放 2 粒米，第三格放 4 粒米，然后是 8 粒米、16 粒米、 32 粒米……一直到 64 格．“你真傻，就要这么一点米？”国王哈哈大笑．大 ” 臣说： “就怕您的国库里没有这么多的米！ ”国王真的没有这么多吗？ 2、提问并引导学生回答：在小学里我们学过一个数的平方和立方是如何 定义的？怎样表示？ ，即 a2=a?a；a?a?a 记作 a3，读作 a a?a 记作 a2,读作 a 的平方（或 a 的 2 次方） 的立方（或 a 的 3 次方） ，即 a3=a?a?a． （分别是边长为 a 的正方形的面积与棱 长为 a 的正方体的体积） 教学过程】 【教学过程】 1、概念： 一般地，我们有：n 个相同的因数 a 相乘，即 a ? a ? a444a ，记作 a ． 14442 L 4 4 3nn个例如，2×2×2＝2 ；(－2)(－}
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