尺规作图三等分任意角(0°≤α≤180°)--《黑龙江教育.中学教学案例与研究》2006年11期
尺规作图三等分任意角(0°≤α≤180°)
【摘要】：关于三等分角的由来众所周知,三等分角是著名的几何作图三大问题之一(另外两个问题是化圆为方,倍立方体)。近两千年来,几十代人为这三大问题绞尽脑汁。希腊人的巧思,阿拉伯人的学识,文艺复兴时期大师们的睿智都曾倾注于此,却均以失败告终。1837年范兹尔首先证明了三等分角与倍立方体不能有限次使用尺规作出。1895年克莱因给出三大问题有限次使用尺规作图不可能的简单而清晰的证明。阿基米德在几何学上的造诣是很深的,从他的著作里可以看到他对三等分角问题的研究,他先采用在直尺上标注一个点的方法,然后把一个角三等分。显然,这一方法取消了直尺上无刻度的限制。此外,喜庇亚斯借助于割圆曲线、尼科曼得斯借助于蚌线、巴普士借助于双曲线、帕斯卡借助于蚶线解决了三等分角的问题。但所有这些曲线都不能仅用尺规来完成。综上所述,尺规作图三等分任意角尚无先例。本人自1971年参加工作后,任初中数学教师,由于专业的需要、兴趣及其爱好,使我涉猎了大量数学方面的资料和相关知识。下定决心来研究三等分角的问题。36年来苦心钻研,终于研究出一种尺规作图的方法,并给出了科学、严谨的证明。恳请同行教师予以验证,并提出宝贵经验和意见。(本文所举资料请详见《陕西中学数学》1991年第2期。)
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：G634.6【正文快照】：
尺规作图:三等分任意角(0≤α≤180°).已知:∠AOB.求作:∠AOB的两条三等分射线OC、OD.作法:(见图1)1.以O为圆心,以任意长为半径作⊙O,交射线OA于A.交射线OB于B.2.连结AB.取AB的中点E.在BE上任意取两点G1、G2.3.以B为圆心.以BG1为半径画弧.交⊙O于D1.以B为圆心,以BG2为半径画
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匡世珉 ，闭关修炼收录于 编辑推荐 oATP合成酶、chenqin、grapeot、成楚旸 等 3538 人赞同啊，我小时候也曾为三等分角而磨秃无数支铅笔……故事最后再说，我先回答问题。『三等分角』是古希腊三大尺规作图难题之一，具体表述为：用只用圆规与一把没有刻度的直尺，将任意给定角三等分。比如，如果给定的是直角，那么下图就是一种三等分的办法（图片来自网络）：匡世珉 ，闭关修炼收录于 编辑推荐 oATP合成酶、chenqin、grapeot、成楚旸 等 3538 人赞同啊，我小时候也曾为三等分角而磨秃无数支铅笔……故事最后再说，我先回答问题。『三等分角』是古希腊三大尺规作图难题之一，具体表述为：用只用圆规与一把没有刻度的直尺，将任意给定角三等分。比如，如果给定的是直角，那么下图就是一种三等分的办法（图片来自网络）：在有了20°角的基础上，作出长度为cos 20°的线段也很简单，只需要在一条边上与顶点距离为1的位置作另一条边的垂线段即可，如下图：（如何过一点作垂线？这个不难，留作练习）所以难点在于，如何证明『尺规无法作出长度为cos 20°的线段』。（从解析几何的角度来看，『可以作出(c, 0)点』与『可以作出一条长度为|c|的线段』是等价的，所以我接下来可能会交替使用这两种表述。）为什么作不出来呢？因为尺规作图只能作出有理数域\mathbb{Q}上次数为2的幂的数，而cos 20°在\mathbb{Q}上的次数为3.说人话！！！好吧好吧，我会解释的。在这之前，我们不妨先把问题反过来问：尺规作图能作出什么来呢？基本的操作如下：1. 过给定两点作直线；2. 在给定点以给定半径作圆；3. 确定直线与直线的交点；4. 确定直线与圆的交点；5. 确定圆与圆的交点。基本操作有这五种。注意到，当我们确定了原点、坐标轴与单位长度之后，所有新的点只能通过后三种操作的方式被确定。由于我们可以过一点作垂线，所以平面上所有的整点（即横坐标与纵坐标都是整数）都是可构作的；也就是说，我们可以作出所有的整数。此外，尺规可以作加、减、乘、除以及开平方根这五种操作。加、减是很显然的；乘法可以通过相似三角形来完成，如下图：除法类似；开平方根同样是通过相似三角形来完成：所以，既然整数都是可构作的，又可以加减乘除，那么所有的有理数都是可构作的。而『开平方根』这个操作略特殊，为了更好地解释，我们需要引进一个新的概念：域。域的定义很冗长，不严谨地概括一下的话，域就是一个对加、减、乘、除都封闭的集合。什么意思呢？就是说，对于一个域中的数字，无论你怎么用加减乘除去蹂躏它们，它们依然还是在这个域里。所以尺规作图是作不出cos 20°的。所以我们没法三等分60°角。所以尺规三等分任意角是无解的。证毕。
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===============补充说明===============评论里有不少人问『长度为1』的线段怎么作出来。可能是我没有表述清楚，所以在此补充一下：长度为1的线段不是『作』出来的，而是最开始『规定』的。只有确定了『原点』、『坐标轴』和『单位长度』之后，我们才能确定一个坐标系。所以，尺规作图的最开始，没有任何点参照，我们可以任意取一个点作为原点，接着以该点为圆心，任选一个半径画圆，并把这个半径的长度规定为单位长度『1』。而当单位长度已经规定好之后，我们就不能『任意取点』或者『任意选半径』了，否则我们就不知道该点或该半径在已建立好的坐标系中的位置或长度，那么这个任意的选择就没有意义了。===============以下是一些题外话===============除了『三等分角』外，另外两道题是『倍立方体』，即用尺规作出体积两倍于给定立方体的立方体，和『化圆为方』，即用尺规作出与给定圆面积相等的正方形。这两道题也都是无解的。哇！秒杀哎！嗯，确实秒杀。我们现在对『三等分角』与『倍立方体』不可解性的证明属于『伽罗瓦理论』的领域（虽然不是核心领域）。1830年，该理论由法国数学家伽罗瓦于18岁（！！！）创立。不过这两个问题的正式证明是由法国数学家汪策尔于1837年给出的，因为伽罗瓦创立这个理论是为了解决『五次方程不存在根式解』的问题……而且伽罗瓦在1832年就死了。20岁。死于决斗。『化圆为方』呢？这有点麻烦，也是光用伽罗瓦理论还不够的原因。Pi 的超越性是德国数学家林德曼于1882年证明的。到此为止，困扰数学家们两千多年的古希腊三大尺规作图难题都有了答案。当然，这三大难题依然困扰着今天的民科们。
===============以下是故事时间===============正如我在最开始所说的，我小时候也曾为三等分角而磨秃无数支铅笔……大概是小学三年级的时候，我读了一本数学科普书：《特别要命的数学》（我超喜欢这本！！！）。这本书中有一个章节叫《如何能流芳百世》：首先先介绍了一些尺规作图的简单问题，比如作等边三角形、作正方形等等，最后是平分任意角。接着，就是流芳百世的方法——解决『三等分角』问题：以及，『化圆为方』：由于把任意角平分非常简单，而『三等分角』看起来与其差别不大，于是我随即就找来了铅笔、直尺、圆规和白纸，开始试着解决『三等分角』问题……我记不得到底为此花了多长时间，但半个月肯定是有的，每天晚上就画呀画……最后自然是没能成功……不过也并非一无所获，至少我歪打正着作出了正五边形……后来初中的数学课上讲到了尺规作图，对我来说就像见到了老朋友一样。初三有很长一段时间我的数学课都是在与朋友一起研究『锈规作图』与『尺圆作图』这两个尺规作图的推广问题中度过的。现在，坐在十年前曾尝试三等分角的房间里，写下了这篇关于『三等分角不可解性』的回答，想想真是有些感慨。至少自己这十年还是学到了一点点东西的，虽然只是一点点。看着手边的代数课本中伽罗瓦的名字——流芳百世。
只学了大专一年的高数还tm都忘记的人路过…
大学没高数的路过
好难，非欧几何是不是更难啊
高数挂科的人路过　　　-- 这是一条可以当腰带使的亚龙人小尾巴⊙ω⊙
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