周期数列_百度百科
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对于数列{An}，如果存在一个常数T,对于任意整数n&N，使得对任意的正整数恒有（Ai=A(i+T)）成立，则称数列{An}是从第n项起的周期为T的周期数列。若N=1，则称数列{An}为纯周期数列，若N&2，则称数列{An}为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期。
周期数列定义
2)设{An}是整数,m是某个取定的大于1的正整数,若Bn是An除以m后的余数,即Bn=An(mod m),且Bn在{0,1,2,...,m-1},则称数列{Bn}是{An}关于m的模数列,记作{An(mod m)}.
若模数列{An(mod m)}是周期的,则称{An}是关于模m的周期数列
周期数列性质：
（1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；
（2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；
（3）如果T是数列{An}的周期，则对于任意的，也是数列{An}的周期；
（4）如果T是数列{An}的最小正周期，M是数列{An}的任一周期，则必有T|M，即M=（）；
（5）已知数列{An}满足An+t=An（t为常数），Sn、Tn分别为{An}的前项的和与积，若n=qt+r,0≤r&t,q,r为正整数，则Sn=qSt+Sr，Tn=（Tt）^qTr；
（6）设数列{An}是整数数列，是某个取定大于1的自然数，若是除以后的余数，即，且，则称数列是{An}关于的模数列，记作。若模数列是周期的，则称{An}是关于模的周期数列。
（7）任一阶齐次线性递归数列都是周期数列。 上传我的文档
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龙门专题·高中数学：数列
《龙门专题·高中数学:数列(新课标)》是为中等程度及中等程度以上的学生研究开发的，尤其是对尖子生来讲，《龙门号题》是必备的图书！在设计上全面贯彻循序渐进的学习方法，中等程度的学生要特别注意：“知识点精析与应用”部分侧重夯实学生的基础，重点在把基础知识讲细、讲透、为学生奠定扎实的基础：“能力拓展”部分重点在于拓展学生思维，直接与中高考的难度、题型接轨，适合中等学生提高成绩。每一节内容都是按照教材的顺序编排的，因此可以随着教学进度同步使用，老师讲到哪里，就紧跟着做透哪一本专题。“基础篇”适用于第一轮全面复习，全而梳理知识点，从这一角度，专题比任何高考复习资料都要详细、“综合应用篇”适用于第二轮专项复习，尤其是跟其他专题、其他学科进行交叉综合时，事半功倍。
龙门专题·高中数学：数列内容简介
《龙门专题·高中数学:数列(新课标)》是龙门品牌，学子至爱。
龙门专题·高中数学：数列图书目录
基础篇 　　第一讲数列 　　1.1 数列的概念与简单表示法 　　1.2 数列的前n项的和 　　高考热点题型评析与探索 　　本讲测试题 　　第二讲 等差数列 　　2.1 等差数列 　　2.2 等差数列的基本性质 　　高考热点题型评析与探索 　　本讲测试题 　　第三讲 等比数列 　　3.1 等比数列 　　3.2 等比数列的基本性质 　　3.3 融等差数列与等比数列于一题的问题举例 　　3.4 数列在日常经济生活中的应用 　　高考热点题型评析与探索 　　本讲测试题 　　综合应用篇 　　数列的理论应用 　　一、等差数列的应用 　　二、等比数列的应用 　　三、数列与其他知识的组合问题 　　数列的实际应用 　　一、等差数列的应用 　　二、等比数列的应用 　　三、等差数列与等比数列的综合应用 　　综合应用训练题等比数列_百度百科
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[děng bǐ shù liè]
等比是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1 时，an为。
等比数列等比故事
根据历史传说记载，国际象棋起源于，至今见诸于文献最早的记录是在时期用波斯文写的．据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情．
国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的两倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了。“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求。
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接写出数字来就是18,446,744,073,709,551,615粒，这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！
如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回。
国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。
正当国王一筹莫展之际，的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下。其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了。假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18,446,744,073,709,551,615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用算一下！）。就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一部分。这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。”国王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他。
西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐……我也只好不要了！”当然，最后宰相还是获得了很多的赏赐。[1]
等比数列公式
（1）定义式：
（2）（等比数列通项公式通过定义式叠乘而来）：
（3）求和公式：
求和公式用文字来描述就是：Sn=首项（1-公比的n次方）/1-公比（公比≠1）如果公比q=1，则等比数列中每项都相等，其通项公式为
，任意两项
；在运用等比数列的前n项和时，一定要注意讨论公比q是否为1.
（4）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1。
另外，一个各项均为的等比数列各项取同后构成一个；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比中项定义：从第二项起，每一项（的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。
等比中项公式：
（6）无穷递缩等比数列各项和公式：
无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。
（7）由等比数列组成的新的等比数列的公比：{an}是公比为q的等比数列
1.若A=a1+a2+……+an
B=an+1+……+a2n
C=a2n+1+……a3n
则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q^n
2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2
B=a2+a5+a8+……+a3n-1
C=a3+a6+a9+……+a3n
则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q[2]
等比数列性质
（1）若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。
（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
（3）若“G是a、b的”则“G^2=ab（G≠0）”。
（4）若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
（5）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的）成等差，公差为log以a为底q的对数。
（6）等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。
注意：上述公式中A^n表示A的n。
（7）由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n，它的y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列[2]
等比数列求通项方法
（1）待定法：已知a（n+1）=2an+3，a1=1，求an？
构造等比数列a（n+1）+x=2（an+x）
a（n+1）=2an+x，∵a（n+1）=2an+3 ∴x=3
∴（a（n+1）+3）/（an+3）=2
∴{an+3}为首项为4，公比为2的等比数列，所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3
（2）定义法：已知Sn=a·2^n+b,，求an的通项公式？
∵Sn=a·2^n+b∴Sn-1=a·2^n-1+b
∴an=Sn-Sn-1=a·2^n-1[2]
等比数列应用
等比数列生活中的应用
等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式——。即把前一期的利息和加在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的“利滚利”。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期。
随着房价越来越高，很多人没办法像这样一次性将房款付清，总是要向银行借钱，既可以申请公积金也可以申请银行贷款，但是如果还款到一定时间后想了解自己还得还多少本金时，也可以利用数列来自己计算。众所周知，按揭贷款（公积金贷款）中一般实行按月等额还本付息。下面就来寻求这一问题的解决办法。若贷款数额 a0 元，贷款月利率为 p，还款方式每月等额还本付息 a 元，设第 n 月还款后的本金为 an，那么有：a1=a0(1+p)-a；a2=a1(1+p)-a；a3=a2(1+p)-a；......an+1=an(1+p)-a,.... 将其变形，得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p。由此可见，{an-a/p} 是一个以 a1-a/p 为首项，1+p 为公比的等比数列。
其实类似的还有零存整取、整存整取等银行储蓄借贷，甚至还可以延伸到生物界的细胞细胞分裂。[3]
等比数列数学中的应用
等比数列例1
设ak，al，am，an是等比数列中的第k、l、m、n项，若k+l=m+n，求证：ak*al=am*an
证明：设等比数列的首项为a1，公比为q，则：
ak=a1·q^(k-1)，al=a1·q^(l-1)，am=a1·q^(m-1)，an=a1·q^(n-1)
ak*al=a^2*q^(k+l-2)，am*an=a^2*q(m+n-2)，
故：ak*al=am*an
说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：
a(1+k)·a(n-k)=a1·an
对于等差数列，同样有：在等差数列中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：
a(1+k)+a(n-k)=a1+an。
等比数列例2
在等差数列中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10=( )
A.20 B.22 C.24 D28
解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知条件得：
5a8=120，a8=24
而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。
等比数列例3
设Sn为等差数列的前n项之和，S9=18，a（n-4）=30(n&9)，Sn=336，则n为( )
A.16 B.21 C.9 D.8
解：由于S9=9×a5=18，故a5=2，所以a5+a（n-4）=a1+an=2+30=32，而，故n=21选B。
等比数列例4
设等差数列满足3a8=5a13，且a1&0，Sn为其前n项之和，则Sn(n∈N*)中最大的是( )。 (1995年全国高中联赛第1题)
(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21
解：∵3a8=5a13
∴3(a1+7d)=5(a1+12d)
故a1=-19.5d
令an≥0→n≤20；当n&20时an&0
∴S19=S20最大，选(C)
注：也可用求最值。
等比数列例5
将正奇数{1，3，5，…}由小到大按第n组有(2n-1)个奇数进行分组：
{1}， {3，5，7}，{9，11，13，15，17}，…
(第一组) (第二组) (第三组)
则1991位于第_____组中。
【1991年全国高中数学联赛第3题】
解：依题意，前n组中共有奇数
1+3+5+…+(2n-1)=n^2个
而6-1，它是第996个正奇数。
∵31^2=961&996&
∴1991应在第31+1=32组中。
故填32。[2]
．人民教育出版社[引用日期]
严士健．普通高中课程标准实验教科书——数学必修5：北京师范大学出版社，2010
赵丹阳 .小谈等差等比数列在生活中的应用[J].才智,2012 (32) :116
本词条内容贡献者为
副研究员审核
中山大学数据科学与计算机学院二级数列_百度百科
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一个数列相邻的两项作差，得到的新数列是一个基本数列，则称原数列为二级数列。新数列可能是等差数列、等比数列、质数数列、周期数列、对称数列、幂数列等基本数列。
如32，27，23，20，18，17，为二级等差数列，27-32=-5，23-27=-4，20-23=-3,18-20=-2,17-18=-1，后项与前项的差成等差数列。
再如32,48,40,44,42,43，这个数列就是二级等比数列，前项减后项的差是公比为-1/2的等比数列。}