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复变函数与积分变换 习题答案
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2015考研数学区域积分与边界积分的关系分析之二
1 2015 考研数学 ：区域积分与边界积分的关系分析之二 来源：文都教育 在考研数学中，利用区域与边界的关系，将区域上的积分化为边界上的积分，或者相反，将边界上的积分化为区域上的积分，这是最基本的、最常用的积分计算方法，它不仅用在一元积分（定积分）、二重积分和三重积分上，也用在曲线积分和曲面积分上。为了使大家对这种积分关系有一个较为全面的认识，下面都教授对区域积分和曲面积分与边界曲线和曲面积分的关系的各种情况做一些分析总结，供各位考生参考。 1、平面区域积分与其边界曲线积分之间的关系 反映平面闭区域积 分（二重积分）与其边界曲线积分之间关系的是格林公式： 格林公式：设 xy 平面上有界闭区域 D 是由分 段光滑闭曲线 L 所围成的区域 ， 当沿 L 的正 向移动时区域 D 在 L 的左边，函数 ? ?yxP , ， ? ?yxQ , 在 D 上有连续的一阶偏导数，则有 ()L DQPP d x Q d y d x d yxy??? ? ?? ??? 其中区域 D 可以是单连通区域，也可以是复连通区域。 如果满足格林公式的条件，我们可以利用它计算平面曲线上的积分。对于不是闭曲线的情况，我们也可以通过添加辅助曲线使其成为闭区域，然后利用格林公式 计算。 2、空间闭区域积分与其边界曲面积分之间的关系 反映空间闭区域积分（三重积分）与其边界曲面积分之间关系的是高斯公式： 高斯公式： 设 ? 是由分 片 光滑曲面 ? 围成的有界闭区域， ? ? ? ? ? ?zyxRzyxQzyxP ,,,,,,,, 在? 上有连续的一阶偏导数，则 ()P Q RP d y d z Q d z d x R d x d y d vx y z?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ??? ???其中 ? 取 ? 的外侧。 3、空间曲面积分与 它的边界曲线积分之间的关系 反映空间曲面积分与其边界闭曲线积分之间关系的是 斯托克斯公式 ： 斯托克斯公式： 设 L 是逐段光滑有向闭曲线， ? 是以 L 为边界的分块光滑有向曲面， L 的正向与 ? 的侧（即法向量的指向）符合右手法则，函数 ? ? ? ? ? ?zyxRzyxQzyxP ,,,,,,,, 在包含 ? 的 一 个 空 间 区 域 内 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ， 则 有 2 Ld y d z d z d x d x d yP d x Q d y R d zx y zP Q R?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ??( ) ( ) ( )R Q P R Q Pd y d z d z d x d x d yy z z x x y?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ， 或者用 第一类曲面积分 表示为： c o s c o s c o sLP d x Q d y R d z d Sx y zP Q R? ? ??? ? ?? ? ?? ? ?? ??， 我们可以利用斯托克斯公式计算空间曲线积分。由于以同一条曲线为边界的曲面很多，因此，我们可以通过选择一个简单的曲面来计算其边界曲线积分。 上面就是考研数 学中的关于 区域积分和曲面积分与其边界曲线和曲面积分之间的关系的分析总结 ， 供考生们参考借鉴。在以后的时间里，都教授还会陆续向考生们介绍考研数学中其它知识点和重要题型的分析，希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在 2015 考研中取得佳绩，成功实现自己的人生梦想！
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