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第二节空间几何体表面积和体积.docx 10页
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A组三年高考真题（年）(2016年高考题6月底更新)1．(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A．3πB．4πC．2π＋4D．3π＋42.(2015·安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　)A．1＋B．2＋C．1＋2D．23．(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)A．36πB．64πC．144πD．256π4．(2015·山东，7)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)A.B.C.D．2π5．(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A.＋πB.＋πC.＋2πD.＋2π　第5题图　　　　　　　　第6题图6．(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)A.B.C.D.7．(2015·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝)(　　)A.B.C.D.8．(2014·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A．54B．60C．66D．72　　第8题图　　　　　　　　　　第9题图9．(2014·浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是(　　)A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm210．(2014·大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)A.B．16πC．9πD.11．(2014·安徽，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(　　)A．21＋B．18＋C．21D．18　　第11题图　　　　　　　第12题图12．(2014·陕西，5)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)A.B．4πC．2πD.13．(2014·湖北，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　)A.B.C.D.14．(2014·新课标全国Ⅱ，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)A.B.C.D.15．(2015·江苏，9)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．16．(2014·江苏，8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．B组两年模拟精选(年)1．(2016·河北石家庄二中一模)三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA＝，则该三棱锥外接球的表面积为(　　)A．5πB.πC．20πD．4π2．(2016·江西八校联考)正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD折叠，使点B与点C间的距离为，则四面体ABCD外接球的表面积为(　　)A．7πB．19πC.πD.π3．(2015·山东莱芜模拟)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是(　　)A．2B.C.D．34．(2015·安徽安庆模拟)一个正方体的棱长为m，表面积为n，一个球的半径为p，表面积为q.若＝2，则＝(　　)A.B.C.D.5．(2015·湖北七州模拟)某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为(　　)A．92＋24πB．82＋24πC．92＋14πD．82＋14π6．(2016·湖北沙市模拟)如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则三棱锥DAEF体积的最大值为________．答案精析A组三年高考真
正在加载中，请稍后...导读：数学培优专题讲座2008?寒假，四、空间几何体的面积与体积，2114323.体积公式：V柱＝Sh，3332.三角形的面积公式：S??4.体积方法：利用四面体的体积变换，可处理许多方体几何问题，关于四面体的体积有如下性质：，(1)底面积相同的两个三棱锥体积之比等于对应高之比;(2)高相同的两个三棱锥体积，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方，则内切球半径r与表面积S，体积V之间有关数学培优专题讲座 2008?寒假 四、空间几何体的面积与体积 【要点】1.表面展开图：①多面体的表面展开图；②旋转体的侧面展开图． 11ah?absinC?p(p?a)(p?b)(p?c) 221abc.
?r(a?b?c)?24R1其中h为a边上的高，p?(a?b?c),r为内切圆半径，R为外接圆半径． 2114323.体积公式：V柱＝Sh，V锥＝Sh,V台＝h(S上＋S上S下＋S下），V球＝?R，S球＝4?R。 3332.三角形的面积公式：S??4.体积方法：利用四面体的体积变换，可处理许多方体几何问题。关于四面体的体积有如下性质： (1)底面积相同的两个三棱锥体积之比等于对应高之比; (2)高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面面积之比； (3)用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方； (4)若多面体有内切球，则内切球半径r与表面积S，体积V之间有关系式V?5.最短路径问题：利用展平法将空间问题转化为平面问题． 【例题】 1．将一边长为4的正方形纸片按图1中的虚线所示的方
法剪开后拼成一个正四棱柱，设体积为V1；若将同样 的正方形纸片按图2中的虚线所示的方法剪开后拼成 一个正四棱锥，设其体积为V2，则V1与V2的大小关 系是
图2 1rS. 32x?y?6?0与2．直线x?y?4?0与2x?y?6?0交于点B,x?y?4?0与y轴交于点A，x轴交于点C,求四边形OABC绕y轴旋转所形成的几何体的体积与表面积．
3．如图1所示，在平行六面体ABCD―A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=?． 3（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积．
图2 高一数学《空间几何体的面积与体积》
■■■ 第 1 页 共 4 页 ■■■ 数学培优专题讲座 2008?寒假 4．在长方体ABCD?A,点E,F,G分别是AA1,D1C1,BC的1BC1`1D1中，AB?2,AA1?AD?1中点，那么四面体B1?EFG的体积是多少？
5．在正三棱锥S―ABC中M、N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=23，则此正三棱锥S―ABC外接球的表面积是
6．已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）． （1）证明：平面PAD⊥PCD； （2）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部 分VPDCMA:VMACB?2:1； （3）在M满足（2）的情况下，判断直线AM是否平行面PCD．
7．如图，在边长为a的正三角形的三个角处各剪去
一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．
图1图28．已知四棱锥P?ABCD的底面为平行四边形，高为h，过底面一边作截面，与侧面PDA交于EF，若截面将棱锥分成体积相等的两部分，求EF与底面的距离．
9．已知正三棱锥S?ABC的高为SO?3,底面边长为6，过A点向它所在的侧面SBC作垂线，垂足为O?，在AO?上取一点P，使
10．四面体ABCD的棱AB,CD之中点分别是E,F,过EF任作一个平面． 试证：这个平面将四面体分成两个等积的部分．
高一数学《空间几何体的面积与体积》
■■■ 第 2 页 共 4 页 ■■■ AP?8,求经过点P且平行底面的截面的面积． ?PO数学培优专题讲座 2008?寒假 11．设T为四面体，h1,h2,h3,h4分别为T的四个面上的高，r1,r2,r3,r4分别为T内一点到这四个面的距离，则ri?1 ?i?1hi4
12．设O是正三棱锥P?ABC底面?ABC的中心，过O任作一平面分别交PA,PB,PC于Q,R,S,证明：
【习题】 一、选择题 111为定值。 ??PQPRPS1．个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2,3,6，这个长方体对角线的长是（
D．6 A2．如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四 个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截 面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥 A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（
） A．S1?S2
B．S1?S2 C．S1=S2
D．S1，S2的大小关系不能确定
3．已知某个几何体的三视图如下，根据图
中标出的尺寸（单位：cm），可得这个 几何体的体积是（
） BODFEC10 0032020cm
Ｂ．cm Ａ．2033正视图 侧视图 俯视图 33Ｃ．2000cm
Ｄ．4000cm 4．圆柱的侧面展开图是边长为2?和3?的矩形，则此圆柱的轴截面面积是
5．若圆台的上，下底面半径之比为1：2，母线长等于上，下底面半径之和，则圆台侧面展开后所得扇环的圆心角为
D.180? 6. 半径为R的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积是
) A. 高一数学《空间几何体的面积与体积》
■■■ 第 3 页 共 4 页 ■■■ 3355?R3
C. ?R3 248248数学培优专题讲座 2008?寒假 二、填空题 7．正四棱柱的一条对角线长为3cm，它的全面积为16cm2，它的体积为
cm3． 8．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积为
． 9．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的
． 10．如图，三棱柱ABC―A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面 EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2= ____
_． 三、解答题 11．四边形ABCD，A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．
12．如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为 h1，h1?求h2．
h,若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为h2， 313．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60，求四棱锥P－ABCD的体积？
14．正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四
面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积．
15.正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点． （1）求证：AB1⊥面A1BD； （2）求二面角A－A1D－B的大小； （3）求点C到平面A1BD的距离．
16．如图6所示，等腰△ABC的底边AB=66，高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE．记BE＝x，V(x)表示四棱锥P－ACFE的体积． （1）求V(x)的表达式； （2）当x为何值时，V(x)取得最大值？ （3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值． 高一数学《空间几何体的面积与体积》
■■■ 第 4 页 共 4 页 ■■■ ??包含总结汇报、旅游景点、IT计算机、计划方案、考试资料、外语学习、资格考试、word文档以及高中部高一年级2008寒假培优数学教材(4)空间几何体的面积与体积等内容。
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【高考领航】2016高三数学一轮复习 第7章 第2课时 空间几何体的表面积和体积课时训练 文 新人教
导读：【高考领航】2016高三数学一轮复习第7章第2课时空间几何体，的表面积和体积课时训练文新人教版，1．(20142高考陕西卷)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A．4πC．2π，解析：选C.所得几何体为圆柱，2．(20142高考四川卷)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是()，(锥体体积公式：V＝Sh，再根据锥体的体积公式求其体积．，所以【高考领航】2016高三数学一轮复习 第7章 第2课时 空间几何体的表面积和体积课时训练 文 新人教版
A级 基础演练 1．(20142高考陕西卷)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(
B．3π D．π 解析：选C.所得几何体为圆柱，求出其底面圆半径和高后求侧面积． 底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π3131＝2π.故选C. 2．(20142高考四川卷)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(
1(锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高) 3A．3
D．1 解析：选D.先根据三棱锥的侧视图和俯视图确定三棱锥的结构特征，再根据锥体的体积公式求其体积． 由三棱锥的侧视图和俯视图可知该三棱锥的底面是边长为2的正三角形，故其底面积为3；其侧视图也是边长为2的正三角形，故侧视图中三角形的高即为三棱锥的高，可求出为3，1所以三棱锥的体积V＝3333＝1. 33．(20142高考新课标全国卷Ⅱ) 如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(
275B. 91D. 3解析：选C. 由侧视图可知切割得到的几何体是两个圆柱的组合体．
由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4 cm，底面半径为2 cm，右面圆柱的高为2 cm，底面半径为3 cm，则组合体的体积V1＝π3234＋π3332＝16π＋18π＝34π(cm)，原毛坯体积V2＝π3336＝54π(cm)，则所求比值为54π－34π10＝. 54π274．(20152沈阳质监)四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB＝2，则球O的表面积为(
B．12π D．32π 23232解析：选C.将四面体ABCD补形成正三棱柱，则其外接球的球心为上、下底面的中心连线的中点，底面△BCD的外接圆半径为3，所以外接球的半径R＝的表面积S＝4πR＝16π，故选C. 5．(20142高考安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为(
) 2?AB?（3）＋??＝2，球O?2?22 23A.
B.47 6D．7 解析：选A. 画出几何体的直观图，根据直观图及体积公式求解．
由三视图知，几何体的直观图如图所示．该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体，其1123体积为V＝2131＝. 3236. 某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．
解析：依题意，题中的几何体是从一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，其中该圆锥的底12π32面半径是1、高是2，因此题中的几何体的体积等于2－π3132＝8－. 332π答案：8－ 37．(20152大连模拟)直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上．若AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，AA1＝22，则球O的表面积为__________． 解析：由题设可知，直三棱柱可以补成一个球的内接长方体，所以球的直径为长方体的体对角线长，即2＋2＋（22）＝4，故球O的表面积S＝4πR＝16π. 答案：16π 8．(20142高考山东卷)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为__________． 解析：利用体积公式求出正六棱锥的高，再利用截面图确定正六棱锥的斜高，最后求侧面积． 设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′. 11由题意，得h＝23，∴h＝1， 32122∴斜高h′＝1＋（3）＝2，∴S侧＝. 2答案：12 9. (20152贵州六校联考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点． (1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD； 1(2)点M在线段PC上，PM＝PC，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，求三棱锥M-PQB3的体积． 2222 解析：(1)证明：由题知PQ⊥AD，BQ⊥AD， 又PQ∩BQ＝Q，∴AD⊥平面PQB， 又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD. 223(2)解：连接QC，过M作MH⊥QC，垂足是H，连接MD，则MH＝PQ＝， 3311123四棱锥M－BCDQ的体积为V1＝SBCDQ2HM＝33(1＋2)333＝1. 而四棱锥P-BCDQ的体积为V2＝SBCDQ2PQ＝33(1＋2)3333＝， 33221则三棱锥M-PQB的体积V＝V2－V1＝. 2B级 能力突破 1．已知三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BC⊥CD，BC＝CD＝4，AB＝AD＝23，则三棱锥A-BCD的外接球的大圆面积为 (
B．27π D．9π 解析：选D.因为三角形BCD为等腰直角三角形，所以球心应该在过斜边中点并且垂直于平1面BCD的直线上，设M为BD的中点，则MD＝BD＝22，所以AM＝2，球心O在线段AM上2或其延长线上，设OM＝x，利用方程思想得2±x＝OM＋MD，即2±x＝x＋8，2－x＝x＋8无解，由2＋x＝x＋8得x＝1，说明球心在AM的延长线上，所以球半径为R＝1＋（22）＝3，所以球的大圆面积为π23＝9π. 2. (20142高考辽宁卷)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 (
) 22222222 A．8－2π B．8－π πC．8－ 2πD．8－ 4解析：选B.根据俯视图可得这是一个
切割后的几何体，再结合另外两个视图，得到几何体． 1132这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V＝2－3π31－π. 3．已知球的直径SC＝4，A、B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为(
B．23 D．1 解析：选C. 由题意知，如图所示，在棱锥S-ABC中，△SAC，△SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB＝3，SC＝4，所以SA＝SB＝23，AC＝BC＝2.作BD⊥SC于D点，132易证SC⊥平面ABD，因此V＝33(3)34＝3. 34 4．(20152长春调研)已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为__________． 解析：设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，设为O，则OA＝R，由4πR＝ 12π，得R＝OA＝3，又易得AM＝2，由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高2h＝2，所以该三棱柱的体积为答案：33 323(6)32＝33. 4包含总结汇报、经管营销、计划方案、行业论文、党团工作、工程科技、出国留学、自然科学、外语学习以及【高考领航】2016高三数学一轮复习 第7章 第2课时 空间几何体的表面积和体积课时训练 文 新人教等内容。本文共2页
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科目：高中数学
来源：2014届湖南省高一12月月考数学
题型：解答题
（本题满分13分）如图，线段，所在直线是异面直线，，，，分别是线段，，，的中点．（１）& 求证：共面且面，面；（２）& 设，分别是和上任意一点，求证：被平面平分．
科目：高中数学
来源：2014届湖南省高一12月月考数学
题型：解答题
（本题满分13分）如图，线段，所在直线是异面直线，，，，分别是线段，，，的中点．（１）& 求证：共面且面，面；（２）& 设，分别是和上任意一点，求证：被平面平分．
科目：高中数学
如图，线段，所在直线是异面直线，，，，分别是线段，，，的中点． 求证：共面且面，面； 设，分别是和上任意一点，求证：被平面平分．
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