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高等数学经典求极限方法
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··········
求极限的各种方法
1．约去零因子求极限
例1：求极限
【说明】表明无限接近，但，所以这一零因子可以约去。
2．分子分母同除求极限
例2：求极限
【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方；
3．分子(母)有理化求极限
例3：求极限
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
例4：求极限
【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键　
4．应用两个重要极限求极限
两个重要极限是和，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
例5：求极限
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑，最后凑指数部分。
例6：(1)；(2)已知，求。
5．用等价无穷小量代换求极限
(1)常见等价无穷小有：
(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；
(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。
例7：求极限
例8：求极限
6．用罗必塔法则求极限
例9：求极限
【说明】或型的极限,可通过罗必塔法则来求。
【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解
例10：设函数f(x)连续，且，求极限
【解】 由于,于是
7．用对数恒等式求极限
例11：极限
【注】对于型未定式的极限，也可用公式
例12：求极限.
8．利用Taylor公式求极限
9．数列极限转化成函数极限求解
例15：极限
【说明】这是形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。
【解】考虑辅助极限
10．n项和数列极限问题
n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法
(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;
(2)利用两边夹法则求极限.
例16：极限
【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把看成［0,1］定积分。
【解】原式＝
例17：极限
【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成的形式，因而用两边夹法则求解；
(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。
又　　　　
所以　　＝１
12．单调有界数列的极限问题
例18：设数列满足
（Ⅰ）证明存在，并求该极限；
（Ⅱ）计算.
【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.
（Ⅰ）因为，则.
可推得　，则数列有界.
于是　，（因当）， 则有，可见数列单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限存在.
设，在两边令，得　，解得，即.
（Ⅱ）　因　，由（Ⅰ）知该极限为型，
(使用了罗必塔法则)
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探讨求极限的方法
ｔ青辩学‘弘诎蹦●ｌ霪ｉ探讨求极限的方法张燕朱兰芝林海霞刘翠焕（石寡庄法商职业学院信息科学系河北石家庄０５００９１）Ｅ籀蔓】高职院校高等数学教学中极限的求解方法是学生学习中的赡点之一，掌握极限的思想与方法是学好微积分学的前提条件。。结合教学实际．，对高等数学中极限的求解方法进行了探讨和归纳。：：［关键词】极限求极限的方法高等数学中豳分类号：０１３文献标识码：Ａ文章编号：１６７１－－７５９７（２００８）０６２０１ａ４一∞一、引膏极限是高等数学中最重要的概念之一，是研究微积分学的重要工具。极限思想也是研究高等数学的重要思想。掌握极限的思想与方法是学好微积分学的前提条件。下面我们探讨一些求极限的方法仅供大家参考。二、求摄曩帕方法，１．利用定义求极限。例如：当ｘ叶１时，，（力＝工＋１芜限接近于２，则：ｌｉｍ（ｘ＋１）＝２，ｘ－－．’ｌ这种方法应用范围比较窄，只适合于求一些简单的直接从图像上一目了然的极限。．、２．利用柯西准则求极限（极限的ｅ一８定义）。这种方法用于证明居多，对于数学专业的同学来说应该好好掌握。下面举例简单说明一下：ｌｉｍ（３ｘ―１）＝８证明：。ｑ。证明ｔ。？ｌ（３ｘ―１）－二８｜＝３Ｉ工一３｜，要使ｌ（缸一１）一８Ｉ＜￡即３｜善一３｜＜￡，只需ｋ一３｜＜：１￡，则对于任意的ｓ＞０存在万＝专Ｆ，当ｏ＜１１－３Ｉ＜万时，Ｉ（３工一１）一８Ｉ＜易．：根据柯西准则有ｌ，ｉ．＋ｒａ３（３ｘ―１）＝８。３．利用极限的四则运算法则求极限。这种方法主要应用于求一些简单函数的和差积商的极限。例如：求极限：姆（３膏２―４ｘ＋１）．解：魉（３工２―４ｘ＋１）＝ｌ棚ｉｒａ３ｘ２ｌ川ｉｒａ４ｘ＋ｌ＝１６注意；运用极限法则时，必须注意只有各项极限都存在（对商，还要分母极限不为零）才能适用。４．利用两个重要极限求极限．例如：求极限①ｌ，ｌ川ｍ半；②烘ｌｉｍ“争２工。例如：求极限①，川―－；②，―（１＋－）一。解：①蛳警＝ｌ―ｉｍ２＊警＝２．②炒＋≯＝到（?＋坩彰。＾―”工ｏ―”ｌ工只要符合两个重要极限的形式的函数的极限都可以考虑用此种方法．囤　５．利用无穷小的性质求极限。其中定理：无穷小与有界量的乘积是无穷ｄｔ链常用到。例如。①ｌ枷ｉｒａ工ｓｉＩｌ三＝ｏ②墼半＝ｏ，ｃ一二定要和第一个重ＪｍｒｖＫｘ７－”月Ｉ￡６．利用夹逼准则求极限。．．ｓｉｎ工．例如：证明：炽＿＝＿２１．证明：作单位圆如下图所示，取么４０Ｂ＝Ｘ（ｒａｄ），于是有：ＤＡ得ｓｉｎ工＜工＜ｔ柚工，从而有ＣＯＳ工＜坐＜１工上述不等式是当ｏ＜工＜要时得到的，但因当ｚ用一ｘ代换时’一’，’Ｓｌｎｘ因为蛳ＣＯＳＸ。１，又粤１＝１，由极限的夹逼准则知介于它，这样就证明了蚴＿２ｌ。工．．ｓｉｎＸ．此种方法主要应用于证明题。７．利用函数的连续性求极限。例如：求极限ｌｉｎ璺ｌｎ（ｓｉｎｘ）。解：［］Ｙｇｌｎ（ｓｉｎｘ）在工＝鲁处连续，故有：≯墨ｈ（咖ｘ）ｌｎ（ｓｉｎ－吾）：ｈａｌ：ｏ８．约分法。此方法局限于分子分母有公因式的情况，还必须配合其它方法共倒如：求砜墼乌窨≠．。等篇鲁要极限区分开来）ＢＣ＝ｓｉｎｘ，ＡＢ＝工ＡＤ＝ｔａｎｘ。由图得。‰“肥伽＜Ｓａ唧扣工＜ｌｘ＜ｌｔａｎｘＣＯＳＸ，―■都不变号，所以工为负时，关系式也成立。们之间的函数咖工当工－－＞０时，极限也是ｌ－同使用。９．通分法．倒如：求极限：鬯孓上１－－Ｘ―ｉ≥）倒如：求极限：，－，ｌ、ｌ―ｒ’。ｘ一专）一ｌ州ｉｒａ（１一ｘ力２（＋ｒｘ＋－ｊ２＋１）＝ｌ＿ｉｍ（１－一（力１－（工ｘ。！（＋ｘ工＋＋２）石＝姆≠景＝?１‘１０．利用洛必达法则求极限。３工例如：求极限：①ｌｉｒａ－－一；‘②ｌ，ｉ却ｒａ弦Ｉｎｘｘ－－。Ｏ例如：求极限：①ｓｉｎ５ｘ；②，却Ｆ．３工３解：①ｌ，ｉ枷ｍｓｉｎ－＇５＂石２ｌ，ｉｍｒａ页忑；２―５３１“②姆工，ｌｎ工＝粤竿＝ｌ，ｉ川ｍ－一ｇ－ｘｌ＝垮枷＝ｏｊ７０注：利用此法则必须保证一０是或者罟型的，对于０?＊、一一一、０。、１。、＊。等未定型可以转化成吕或者詈型，然后再利用洛必达法’则做题。１１．利用单调有界准则求极限。单调有界原理：单调有界数列必有极限。’例如：数列｛Ｈ。｝＝｛ｊ备Ｊ为单调递增数列，且者上界１，蓟ｌｉｍ三；１注：此种方法主要用于数列求极限。１２．利用导数的定义求极限。此种方法要求熟练掌握导数的定义。例如：已知（ｓｉｎｘ）‘＝ＣＯＳＸ，利用导数的定义求极限；ｌｉｍ―――ｊＬ―――一。ｓｉｎ（ｆｆ＋ｘ）一１＾―．０ｔ解：辫―ｓｉｎ（＿；＋ｘ）－１＝ｌｉｒａｓｉｎ（三＋力“ｎ三ｊ－－’０＝（ｓｉｎｘ）‘Ｉ叠２：ｃｏｓ至：０１３．变量代换法?Ｉ例如：求极限：罂―厂１，．工啊一工一一１解；令工＝ｙｍ，当工－÷１时Ｙ一１，则：ｌｉｍ掣：ｌｉＩｎ盟：岫乓：旦Ｊ．．１三ｙ－－?ｌｘ一一１Ｙ”一１ｙ－＋１ｍｙ。“ｍ其中也应用了洛必达法则．１４．等价无穷小代换。例如：求极限：ｌｉｍ旦！型娑．Ｘ－－ＳＯｓｉｎＸ‘　教膏缓－■科掌一：ｋ，，解：因为当ｚ专０’时，ｌ－－ＣＯＳＸ～２、ｓｉｎｘ‘～工‘所以Ｊ枷ｓｉｎＸ２］ｉｍ肓｜－－ＣＯＳＸ：ｔｉｍ与：！工２．Ｊ；－－ｔＯＸ２２。注：等价代换是对分子或分母的整体替换（或对分子、分母的因式进行替换），而对分子或分母中“＋”，””号连接的各部分不能分别作替换。１５．复合函数求极限的方法．．例如：求极限：粤―丁．．．．１ｎ（１＋工）解：―ｔｎ（１＋―ｘ）：ｌｎ（１＋力：１，是由），：ｌｎ“．“：（１＋工）：复１，合而成的，而鬯水１＋工）。＝Ｐ，在“＝￡点ＹｉＩｎ“连续，故：ｌ，ｉ枷ｍ掣：ｌ，ｉ卅ｍｌｎ（１州；：ｌｎ【磐（１㈧；】．１ｎ洲Ｊ―÷Ｏｒｊ―÷０ｌ训１６．无穷小分除法。此种方法类似于约分法，只不过约分因子为霉因子，此处不再举例。１７．无穷大分除法（或叫抓大头的方法）－此种方法对于多项式的商罟的未定型比较适用。’例如：，ｈ＋ｍ―３ｘ２－―ｘ＋２?２２２＋工＋３。姚舞：躲鬟＿ｊ２：√摩．，蝴：磐荸糍＝悟邹孔４一ｌｉｍ上?，，Ｊ．１’．解：我们先求！１１．吼ｍ兰妻｝＝鲤ｌｔｍ二孑＝ｏ，。’根据无穷大与无穷?――－２――０２Ｕ）’。～．．．。．。解：我们先求，―工２―－工。根据无穷大与无穷小的关系，所以，ｌｉ―ｍ―２ｘ―＋ｌ２”。即此极限不存在．ｔｉｍｑＸ，，－ｌ，Ｉ：ｌｉｍ―二年磐工一１．：Ｈｍ型兰±圣二型丝±婪塑，－＋１（Ｊ一１）（４ｘ＋２＋４３）毛ｌ，ｉ卅ｒａ而ｉ而ｉ１２毒２４３１ｊ。’＋１（工一１）（√工＋２４－√３），卅（√工＋２＋√３）匝蓑妻Ⅵ渊ｌｌｌｌｌｌ２０．取对数方法。此种方法适用于幂指函数或者解析式比较繁琐的函数求极限．例如：求极限ｌ，ｉ枷ｒａ∥。磊：脚∥：蛳严，：，Ｆ黔¨：Ｐ。ｌｉｍｒａｋ；ｓｘ：＂．．ｅ骘。口磐ｃ一曲＝已ｏ＝１。２１．利用函数在某点的左右极限求极限。此方法只适用于解析式中带有绝对值的函数或是分段函数。例如；已知函数，（工）：Ｉｓ警－－－－Ｙ－ｘ，ｘ＞。。求姆，（工）．例如：已知函数，（工）＝。。求婪婴，（工）．Ｉ工＋２，ｊ≤０’解：因为姆似）＝姆等＝２ｌｉｍ，（曲＝ｌｉｍ（ｘ＋２）＝２ｆ．●ｎ一，―＾ｎ’所以根据极限存在的充要条件苛知：Ｙｌ骂ａｆ（ｘ）：２～，２２．利用微分中值定理求极限。因为由微分中值定理可得到在某一点的具体的导数值。而根据函数在某点的导数的定义：（ｆ（ｘ０１＝ｌｉｍ，（功＿，（Ｘｏ））Ｊ－÷｜ｂｘ―ｘＱ口Ｊ知呆点ｇＪ导敢是微限阴彤瓦表不即。所以灭似此炎豳毅跗檄限而且符合中值定理的话，可利用此种方法。２３?利用定积分的定义及性质求极限。例如；求极限：烛‘ｉ石１＋－－！－－１＋＇＂＋Ｔｎ）ｎ＋２ｊ解：因为恕。再１了＋ｉ石１＋．．．＋去）。牌言ｃ击＋南＋．．．＋南，由定积分的定义和性质可知：舰昙ｃ南＋南＋．．．＋击，＝ｆ熹地ｏ＋硝乩２所以一一、，ｌ＋１ｌｉｍ（上＋上＋．＿．＋土）：Ｉｎ２，ｌ＋２２ｎ。矾－利用麦克劳林展开式求极限?上。例如：求极限：Ｊ，ｉ剐ｍ―――广ＣＯＳＸ―Ｐ２。Ｊ。解：因为ＣＯＳＸ和已２的麦克劳林展开式分别为：、伽工＝?一蔷＋吾＋嘶“，Ｐ百ｘ２省，一萼＋等＋“印．于是ｃｏ鼢＿Ｐ｛＝（１一鲁２＋丢＋。（两）＿（１一￡２＋￡８、‘、“！啦　＇．４州∥））－一吾扣０５）．”７因而蚴―ｒ２蛳―≮广一一西，因而觋学：蛳毒霉：一击２５－利用缴毅收敏明必要条件求极限?，例如：因为由数列‘歹１１所产生的数项级数三＋砉＋刍＋．．?。２一’收敛，所以由级数收敛的必要条件有１ｉｍ―■＝０．２６．利用幂级数的和函数求极限。”＿＋”。２”例如：求极限：。ｌｉ―ｍ（工＋手＋手＋…十丽ｘ２ｎ＋！＋…，。工３，解：因为由逐项求导的方法可求得幂级数工＋了＋了＋…＋丽，Ｘ２ｎ＋ｌ＋．．?的和函数为三ｈ鲁，枞＾十、墼ｃ工＋手＋￡５…嘉２ｎ＋１＋．．．）．一：’３：：ｌｉｍ！ｌｎ坐：三１ｎ坐７一三、结束语以上是求极限的２６种方法，大家在做题时，要具体问题具体分析：一道题也许不只用一种方法，大多需要混合使用；一道题也许有好多种解法，而不能只拘泥于一种。所以我们必须认真审题，仔细分参考文献：［１］候风波．‘高等数学）第二版［Ｍ］．高等教育出版社，２００３．［２］同济大学数学教研室．‘高等数学＇第四版［Ｍ］．高等教育出版社，１９９６．１９９１．［３】华东师范大学数学系．‘致学分析’－第＝版舶】．高等教育出版社，张燕。毕业于河北师范大学．现任石家庄法商职业学院专职教师．作者简介：
探讨求极限的方法作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：张燕， 朱兰芝， 林海霞， 刘翠焕石家庄法商职业学院信息科学系,河北,石家庄,050091硅谷SILICON VALLEY2008，&&(12)0次
参考文献(3条)1.候风波 高等数学 20032.同济大学数学教研室 高等数学 19963.华东师范大学数学系 致学分析 1991
相似文献(10条)1.期刊论文 豆俊梅 高等数学中几种求极限的方法 -中国科技信息2006,&&(15)文章对贯穿于整个高等数学教材中的极限、求极限的方法做了一定的概括与总结.2.期刊论文 戴剑萍 微积分中求极限的方法归叙 -黄山学院学报)极限是微积分中的一条基本线索.3.期刊论文 薛国民 利用&筹价无穷小代换&求极限的方法的扩充 -科教文汇2008,&&(25)通常情况下,在极限运算中,只能对极限式的分子或分母的因式施行等价无穷小代换,和差情况下不能使用等价无穷小代换.4.期刊论文 杨春艳 浅谈高职高专数学中几种求极限的方法 -黑龙江科技信息2010,&&(3)极限是高等数学中最基本的、也是最重要的概念之一.函数极限的类型较为广泛、复杂.在高职课本学习中,我们讲解了许多求极限的方法,由于方法太多,而且一题又有很多种解法,使得学生面对一道题无从下手.结合教学实践,总结和归纳适合高职高专院校学生求极限的方法,希望读者能够通过阅读熟练掌握极限的计算.5.期刊论文 王伟珠 常用求极限方法浅析 -中国科教创新导刊2007,&&(23)极限对初学者而言,是一道很难过的关.但为了学好高等数学还是要打好这个基础.6.期刊论文 李伟加.LI Weijia 四种求极限的方法 -广东技术师范学院学报2008,&&(3)极限是高等数学各个章节的基础和基本工具,求极限的方法有很多种,但大多部分都可以由下面所介绍的四种方法解决,且有时变得更实用、更简单.常见又实用的求极限方法.7.期刊论文 田军辉 浅谈高等数学中几种常用的求极限的方法 -科技信息2009,&&(24)极限是高等数学的重要组成部分,是高等数学的理论基础,是研究变量数学的有力工具.函数极限的类型较为广泛、复杂,涉及到有界函数,无穷小量,等价无穷小,函数的连续性等多方面的内容.8.期刊论文 薛洪 例说一种求极限的方法 -高等函授学报（自然科学版）)9.期刊论文 乌力吉.WU Li-ji 极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法 -安徽冶金科技职业学院学报)极限的思想是近代数学的一种重要思想,数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科.所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量,先设法构思一个与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到这结果.10.期刊论文 张兰香 高等数学中几种求极限的方法 -甘肃科技纵横)
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高等数学求极限
习题1-1 习题发散 !limx 2k = 1k→∞但 | xn |= 1,且 lim | xn |= 1n→∞27/28lim f ( x ) = A
xlim+ f ( x ) = xlim f ( x ) = A →
x →xx → x000注意： 注意：1. 函数极限与 f ( x )在点 x 0是否有定义无关 ;lim f ( x ) = A x → x0ε & 0, δ & 0, 使当0 & x
x0 & δ时, 恒有 f ( x )
A & ε .x →0+lim f ( x ) = lim2 1 2 +11 x1 xx →0+= 1，x → 0lim f ( x ) = lim2 1 2 +11 x1 xx →0= 1.1 2 n 例 求 lim( 2 + 2 +
+ 2 ) n→∞ 2n 2n 2n解 先变形再求极限. 先变形再求极限. ( 通分)1 2 n 1+ 2 ++ n lim( 2 + 2 +
+ 2 ) = lim 2 n→∞ 2n n→∞ 2n 2n 2n1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim (1 + ) = . = lim n→ ∞ 4 n→ ∞ 4 n 2n213/22a0 x + a1 x +
+ am lim x →∞ b x n + b x n 1 +
+ b 0 1 nmm 1 = a0 , b0 0, ∞,n = n & n & m.17/222+ x
2 lim x→2 3x + 3
2)( 2 + x + 2)( 3 x + 3 + 3) = lim x→2 ( 3 x + 3
3)( 3 x + 3 + 3)( 2 + x + 2)( x
2)( 3 x + 3 + 3) 1 = lim = . x → 2 (3 x
6)( 2 + x + 2) 2x →+∞lim ( x 2 + x + 1
x + 1)( x 2 + x + 1
x + 1)( x 2 + x + 1 + x 2
x + 1) x2 + x + 1 + x2
x + 1= limx →+∞= lim2x x2 + x + 1 + x2
x + 1x →+∞= lim2 1 1 1 1 1+ + 2 + 1 + 2 x x x xx →+∞=1x2 + 1 ∵ 0 = lim(
b ) x →∞ x + 1(1
( a + b ) x + 1
b = lim x →∞ x +1∴1
a = 0,a + b = 0,∴ a = 1, b = 1.x 1 lim 不存在. x→1 x
1证x 1 1 x = lim ( 1) = 1 lim = lim x → 0 x →1
1 x →1 0 x
1x 1 x 1 lim = lim = lim 1 = 1 x →1+ 0 x
1 x → +0| x -1| 左右极限存在但不相等, x →1 左右极限存在但不相等 ∴ lim x - 1 不存在.是多项式 , 且 求 解: 利用前一极限式可令f ( x) = x3 + 2x2 + ax + b再利用后一极限式 , 得f ( x) 1 = lim x→ 0 x可见 故b = lim(a + ) x→0 x习题1-2 习题x+x +x 1 = lim k x →0 x 1 k 2 k 3 k = lim( x + x + x )2 3x→0= lim xx→01 k(1 + x + x )2∴ k = 1.1 1 y = sin x x 1 y( ) = nπ sin nπ = 0, nπ1 π ) = nπ + → ∞,( n → ∞ ) y( nπ + π / 2 21 1 故y = sin x x不是无穷大量，但是无界变量。 不是无穷大量，但是无界变量。8 x ( x
2)1/ 3 (4 + 2 x + x 2 )1/ 3 lim = lim x → 2 k ( x
2) x→2 k ( x
2)3 3(4 + 2 x + x 2 )1/ 3 = lim =∞ 2/ 3 x→2 k ( x
2)8 x 低阶的无穷小量。 ∴ 是 比 x
2 低阶的无穷小量。 k3 3a bx a lim(1 + ) = lim(1 + ) x →∞ x →∞ x xx ab a=eablim(1 + ax ) = ex→0b xab1 1 2 x sin x sin x = lim x lim x → 0 sin 2 x x →0 2x21 1 = lim x sin = 0 x 2 x →0x x lim = lim+ = 2 2 x → 0+ 1
cos x x →0 x 2tan x
sin x lim 3 x →0 sin xtan x(1
cos x ) = lim 3 x →0 sin x 2 x x 2 = 1. = lim 3 x →0 x 2lim(1
x ) tanx = lim(1
x ) x →1 x →1 2 2 2 π 1 x = lim(1
x ) = lim x →1 x →1 π 2 tan (1
x ) 2 1 x 2 = lim = x →1 π π (1
x ) 2πππ1 x2 1 x2 lim x→1 sinπ x = lim x→1 sin(π π x)(1 x)(1+ x) = lim x→1 sinπ (1
x)(1 x)(1+ x) 2 = lim = . x→1 π (1 x) π例. 求[(sin + cos ) ] 解: 原式 = lim x→∞ →∞1 x 1 2 xx 2= lim (1+ sin 2) xx→∞x 2(1+ sin 2) x1 sin 2 x=ex + tan x + x sin x lim 2 x →0 x sin x3 3 2x + tan x + x sin x = lim 3 x →0 x3 3 2tan x x sin x = lim(1 + 3 + )=3 3 x →0 x x32tan x
sin x tan x(1
cos x ) lim = lim x 2 3 x → 0 x ( e
1) x →0 xx x 2 =1 = lim 3 x →0 x 22常用等价无穷小: 常用等价无穷小:当 x → 0 时，sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x ) ~ x，1 2 e
cos x ~ x , (1 + x )a
1 ~ ax (a ≠ 0) 2x5/13
x → 0 1 + sin x
1 sin x 1 + sin x + tan x
x →0 1 + sin x
1 sin x1 sin x tan x
x →0 1 + sin x
x →0 1 + sin x
1+ sin tan x
sin x 1 tan x
sin x 1+ sin x sin x=etan x
sin x 1 lim x → 0 1+ sin x sin x=etan x (1 cos x ) 1 lim x →0 1+ sin x sin x=e1 cos x x → 0 1+ sin x lim=11 ∵ f ( x ) → 0, ∴ 1 + f ( x )
f ( x ) 21 f ( x) 1 + f ( x)
1 3 = lim = lim 2 2 2 x →0 x →0 x x1 ax = lim 2 2 x→0 xb∴ a = 6, b = 2.{ xn }( xn ≤ 1)x1 & 01 xn +1 = (2 xn + 3) (n = 1, 2,3,) 5n →∞证明lim xn 存在，并求之。1 1 (2 xn + 3)
3xn ) 5 5证： xn +1
xn =∵ xn ≤ 1, ∴ xn +1
xn ≥ 0,即{xn } 单调增。 单调增。∵ xn ≤ 1,1 ∴ xn +1 = (2 xn + 3) ≤ 1, 5n →∞即{xn } 有界。 故 lim xn 存在。 有界。设 lim xn = A,n →∞1 由xn +1 = (2 xn + 3)，得 51 A = (2 A + 3), 5∴ A = 1.习题1-3 习题
x ≠ 1 f ( x) =
0 x = 1解：x → 1+lim f ( x ) = lim ex →1+ x → 11 x 1 1 x 1= 0 = f (1), = ∞,x → 1lim f ( x ) = lim e右连续。 ∴f(x)在x=1右连续。 f(x)在 右连续
1 + x, 1& x &1 1+ x
f ( x ) = lim x & 1 or x & 1 =
0, 2n n→∞ 1 + x
, x = ±1,
2x → 1+lim lim f ( x ) = 0 ≠ f (1), x→1 f ( x) = 2 ≠ f (1)x →1+lim f ( x ) = 0 = f ( 1), xlim f ( x ) = 0 = f ( 1), →1是间断点， 是连续点。 ∴x=1是间断点， x=-1是连续点。 是间断点 是连续点f ( x) =ln x x + 5x
62=ln x ( x + 6)( x
1)∴间断点为x=0,-6,1. 间断点为lim f ( x ) = limx→0 x →0ln x( x + 6)( x
1) ln x lim f ( x ) = lim =∞ x →6 x →6 ( x + 6)( x
1)ln xx →1=∞lim f ( x ) = limx →1( x + 6)( x
1) x 1 1 = lim = x →1 ( x + 6)( x
1) 7= limx →1ln 1 + x
1( x + 6)( x
1)分别为无穷间断点， ∴x=0,-6,1分别为无穷间断点，无穷间断点，可去间断点。 分别为无穷间断点 无穷间断点，可去间断点。f ( x)
2 lim =1 x →1 x 1f ( x)
2 f (1) = lim f ( x ) = lim[
1) + 2] x →1 x →1 x 1 f ( x)
1) + 2 x →1 x
1 x →1= 1 0 + 2 =2
2x x → 0++ 1 arc sin ax x & 0 + x 1 3 x=0
1 ln(1 + bx ) + x&0 x +12 1 2 +11 x 1 xlim f ( x ) = lim[x → 0+ln(1 + bx ) ]= 1+ b + xx →0lim[2 +1 2 11 x1 xarc sin ax ] = 1 + a + x连续， 若f(x)在x=0连续，则 f(x)在 连续1 + b = 1 + a = 3∴ a = 4, b = 2f (0) = f (2a )令F ( x )= f ( x )
f ( x + a )F ( x ) ∈ C[0, 2a ] F (0)= f (0)
f ( a )F ( a )= f ( a )
f (2a ) = f ( a )
f (0)若f (0) = f ( a ) 则 ξ 可取0或a, 可取0 若f (0) ≠ f ( a )则 F (0) F ( a ) & 0,由零点定理，得证。 由零点定理，得证。x
a sin x = b ξ ∈ (0, a + b] 0 & a & 1, b & 0令F ( x ) = x
bF ( x ) ∈ C[0, a + b]F (0) = 0
b = b, F ( a + b) = a + b
a sin( a + b)
a sin( a + b) ≥ 0,若F ( a + b ) = 0, 那么ξ = a + b， 那么由零定理， ）, 若F ( a + b ) ≠ 0, 那么由零定理，ξ ∈ 0, a + b , （ ） 使得 F (ξ ) = 0 证毕。 证毕。
高等数学经典求极限方法_理学_高等教育_教育专区。大学高等数学总结型 求极限的各种方法 1.约去零因子求极限 例 1:求极限 lim x ?1 x4 ?1 x ?1 【说明】...经典求极限方法 7页 免费 高等数学极限总结 4页 免费 高等数学公式(极限与导数) 6页 免费 高等数学公式(费了好大的劲... 15页 免费如要投诉违规内容,请到百...高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)_高等教育_教育专区。高等数学求极限的 14 种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 x? x 0 lim f ( x) ...高等数学极限求法总结_理学_高等教育_教育专区。高等数学 求极限的方法总结 [摘要] 极限是数学分析中的一个重点内容,对极限的求法可谓是多种多样,本文归纳了数学...高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)_理学_高等教育_教育专区。高数 高等数学求极限的 14 种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 x? x0 lim f...高等数学极限方法总结_理学_高等教育_教育专区。摘要:数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题, 本文通过归纳和总结, 从不同 的方面罗列了它的几种求法. ...高数 第1章 极限计算方法... 4页 免费 极限方法总结 3页 免费 数列极限(习题总结) 13页 免费 几种求极限方法的总结 7页 免费 求极限的计算方法总结 暂无评...高等数学中极限问题的解法详析_理学_高等教育_教育专区。有关数学分析中极限问题求解的多种方法数学分析中极限的求法摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方...高等数学极限习题500道_理学_高等教育_教育专区。QAQ忘了哪里来的...传来共享...3x ? 2 的值等于 ___ __ 求极限 lim . x ?1 x 3 ? x 2 ? x ?...高数求极限秘籍_教育学_高等教育_教育专区。思路步骤: 一、判断类型 二、按具体类型做 类型: 1.确定型 ? ? 1.利用连续性,能直接带 入计算的 ? ?2.利用有...
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