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高中数学典型例题解析不等式5
高中数学辅导网高中数学典型例题分析 第五章一、知识导学 1. 一元一次不等式 ax&b不等式§5.1 不等式的解法b ； a b (2)当 a＜0 时，解为 x ? ； a(1)当
a&0 时，解为 x ? (3)当 a＝0，b≥0 时无解；当 a＝0，b＜0 时，解为 R． 2. 一元二次不等式：(如下表)其中 a＞0，x1，x2 是一元二次方程 ax +bx+c=0 的两实根，且 x1＜x2 类型 解集 Δ ＞02ax +bx+c＞0 {x｜x＜x1 或 x＞x2} {x｜x≠-2ax +bx+c≥0 {x｜x≤x1 或 x≥x2}2ax +bx+c＜0 {x｜x1＜x＜x2 } Ф Φ2ax +bx+c≤0 ｛x｜x1≤x≤x2｝2Δ ＝0 Δ ＜0x ? R} Rb ， 2aR｛x｜x=-b ｝ 2aRΦ3.简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是： ①将 f(x)的最高次项的系数化为正数； ②将 f(x)分解为若干个一次因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； ④根据曲线显示出的 f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集. 4.分式不等式：先整理成f ( x) f ( x) ＞0 或 ≥0 的形式，转化为整式不等式求解，即： g ( x) g ( x)f ( x) ＞0 ? f(x)?g(x)＞0 g ( x)? f ( x) ≥0 ? ?g( x ) ? 0 g ( x) ?f ( x ) ? 0 或 f ( x ) ? g( x )＞0然后用“根轴法”或化为不等式组求解. 二、疑难知识导析 1.不等式解法的基本思路 解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解 变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化京翰教育 /高中数学辅导网为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路.代数化、 有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元 一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形. 2.不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要解出本组 内各不等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等 式的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高，不要将一个 不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集. 3.集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用，其难点是区分何时取交集，何 时取并集.解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解―注意分类. 三、经典例题导讲 2 [例 1] 如果 kx +2kx－(k+2)&0 恒成立，则实数 k 的取值范围是＿＿＿. A. －1≤k≤0 B. －1≤k&0 C. －1&k≤0 D. －1&k&0 错解：由题意： ??k ? 02 ?(2k ) ? 4k ? [?(k ? 2)] ? 0解得：－1&k&0 2 错因：将 kx +2kx－(k+2)&0 看成了一定是一元二次不等式，忽略了 k＝0 的情况. 正解：当 k＝0 时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立，? k＝0 符合题意. 当 k ? 0 时，由题意： ? 解得：－1&k&0?k ? 02 ?(2k ) ? 4k ? [?(k ? 2)] ? 0? ? 1 ? k ? 0 ，故选 C.[例 2] 命题 A : x ?1 ＜3， 命题 B : ( x ? 2)( x ? a) ＜0， 若 A 是 B 的充分不必要条件， 则a的 取值范围是＿＿＿＿＿＿＿ A. (4, ??) B. ?4, ??? C. (??, ?4) D. ? ??, ?4?错解：由｜x－1｜＜3 得：－2＜x＜4， 又由（x＋2）(x＋a)=0 得 x=－2 或 x＝－a, ? A 是 B 的充分不必要条件,? { x|－2＜x＜4 } ? { x|－2＜x＜－a }? －a&4 故选 D.错因：忽略了 a＝－4 时， { x|－2＜x＜4 } ＝ { x|－2＜x＜－a } ，此时 A 是 B 的充要条件， 不是充分不必要条件. 正解：由｜x－1｜＜3 得：－2＜x＜4， 又由（x＋2）(x＋a)=0 得 x=－2 或 x＝－a, ? A 是 B 的充分不必要条件,? { x|－2＜x＜4 } ? { x|－2＜x＜－a }? －a&4 故选 C.京翰教育 /高中数学辅导网[例 3]已知 f(x) = ax +x ，若 ? 3 ? f (1) ? 0, 3 ? f (2) ? 6, 求 f (3) 的范围. b?? 3 ? a ? b ? 0 ? 错解： 由条件得 ? b 3 ? 2a ? ? 6 ? 2 ?②×2－①① ②③6 ? a ? 15①×2－②得 ?③ +④ 得8 b 2 ? ?? ④ 3 3 3 10 b 43 10 43 ? 3a ? ? , 即 ? f (3) ? . 3 3 3 3 3 x ，其值是 b错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数 f ( x ) ? ax ?同时受 a和b 制约的.当 a 取最大（小）值时， b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思 路是错误的.? f (1) ? a ? b ? 正解： 由题意有 ? b, f ( 2 ) ? 2 a ? ? 2 ?1 2 [2 f (2) ? f (1)], b ? [2 f (1) ? f (2)], 3 3 b 16 5 16 37 ? f (3) ? 3a ? ? f (2) ? f (1). 把 f (1) 和 f (2) 的范围代入得 ? f (3) ? . 3 9 9 3 3解得： a ?2 [例 4] 解不等式（x+2） (x+3)(x－2) ? 0 2 错解：? （x+2） ? 0? 原不等式可化为：(x+3)(x－2) ? 0 ? 原不等式的解集为｛x| x ? －3 或 x ? 2 ｝ 错因:忽视了“ ? ”的含义，机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中.2 2 正解：原不等式可化为：（x+2） (x+3)(x－2) ? 0 ①或（x+2） (x+3)(x－2) ? 0 ②，解①得：x=－3 或 x＝－2 或 x＝2 解②得：x＜ －3 或 x＞2? 原不等式的解集为｛x| x ? －3 或 x ? 2 或 x ? ?2 ｝[例 5] 解关于 x 的不等式 a( x ? ab) ? b( x ? ab) 解：将原不等式展开，整理得： (a ? b) x ? ab(a ? b) 讨论：当 a ? b 时， x ?ab ( a ? b) a?b当 a ? b 时，若 a ? b ≥0 时 x ? ? ；若 a ? b &0 时 x ? R 当 a ? b 时， x ?ab ( a ? b) a?b京翰教育 /高中数学辅导网点评：在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号.2 [例 6]关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? ?2或x ? ? }1 2求关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集．2解：由题设知 ∴? 从而2a ? 0 ，且 x ? ?2, x ? 是方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两根1 2b 5 c ?? ， ?1 a 2 aax2 ? bx ? c ? 0 可以变形为 x 2 ?5 x ?1 ? 0 2∴b c x? ?0 a a即： x ?1 ?x?2 2点评： 二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解本题的关健， 这也体现了方程思想 在解题中的简单应用. [例 7]（06 年高考江苏卷）不等式 log2 ( x ?1 ? 6) ? 3 的解集为 x1 ? x ? ?2 ? 1 ? x 1 解：∵ log2 ( x ? ? 6) ? 3 ，∴0＜ x ? ? 6 ? 8 ，∴ ? x x ?x ? 1 ? 6 ? 0 ? x ?? ? x ? 0, 或x ? 1 ∴? ? ?? 3 ? 2 2 ? x ? ?3 ? 2 2或x ? 0解得 x ? (?3 ? 2 2, ?3 ? 2 2) ? ?1? 反思：在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相 同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法： (1) 作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和 1 比较大小； (2)找中间量,往往是 1,在这些数 中,有的比 1 大,有的比 1 小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形； (5)利用函数的单调性等等. 四、典型习题导练 1.解不等式x 2 ? 3x ? 2 ?0 x 2 ? 2x ? 33 22. 解不等式 x ? 3x ? 2 x ? 6 3.解不等式 ( x ? 4 x ? 5)(x ? x ? 2) ? 02 2京翰教育 /高中数学辅导网4. 解不等式 ( x ? 2) 2 ( x ? 1) 3 ( x ? 1)(x ? 2) ? 0 5.解不等式16 ? x ?1 x ?16.k 为何值时，下式恒成立： 7. 解不等式 3x ? 4 ?2 x 2 ? 2kx ? k ?1 4x 2 ? 6x ? 3x ?3 ? 08. 解不等式 2x 2 ? 6x ? 4 ? x ? 2 §5.2 简单的线性规划 一、知识导学 1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数， 称为目标函数． 2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点． 4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称 为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决． 5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划． 二、疑难知识导析 线性规划是一门研究如何使用最少的人力、 物力和财力去最优地完成科学研究、 工业设 计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、 财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安 排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线． 2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”： 任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一 侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验． 3. 平 移 直 线 ｙ＝－kｘ ＋Ｐ时，直线必须经过可行域． 4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区 域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点． 5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解， 无论此类题目是 以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的： （1）寻找线性约束条件，线性目标函 数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优 解. 三、经典例题导讲?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? [例 1] ．画出不等式组 ? 表示的平面区域. x ? y ? 1 ? 0 ? ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0京翰教育 /高中数学辅导网?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? 错解：如图（1）所示阴影部分即为不等式组 ? 表示的平面区域. ?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0错因一是实虚线不清，二是部分不等式所表示的平面区域弄错了.?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? 正解：如图（2）所示阴影部分即为不等式组 ? 表示的平面区域. x ? y ? 1 ? 0 ? ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 [例 2] 已知 1 ? x－y ? 2,且 2 ? x+y ? 4,求 4x－2y 的范围. 错解：由于 1 ? x－y ? 2 ①, 2 ? x+y ? 4 ②, ①+② 得 3 ? 2x ? 6 ③ ①×(－1)+② 得：0 ? 2y ? 3 ④. ③×2+④×(－1)得. 3 ? 4x－2y ? 12错因：可行域范围扩大了. 正解：线性约束条件是： ? 令 z＝4x－2y， 画出可行域如右图所示，?1 ? x - y ? 2 ?2 ? x ? y ? 4?x - y ? 1 得 A 点坐标（1.5，0.5）此时 z＝4×1.5－2×0.5＝5. ?x ? y ? 2 ?x - y ? 2 由? 得 B 点坐标（3，1）此时 z＝4×3－2×1＝10. ?x ? y ? 4 ? 5 ? 4x－2y ? 10由??7 x ? 5 y ? 23 ? 0 ? 2 2 [例 3] 已知 ? x ? 7 y ? 11 ? 0 ,求 x +y 的最值. ?4 x ? y ? 10 ? 0 ? ?7 x ? 5 y ? 23 ? 0 ? 错解：不等式组 ? x ? 7 y ? 11 ? 0 表示的平面区域如右图 ?4 x ? y ? 10 ? 0 ?所示 ? ABC 的内部（包括边界） ，京翰教育 /高中数学辅导网令 z= x +y 由?22?7 x ? 5 y ? 23 ? 0 得 A 点坐标（4，1） ， ?4 x ? y ? 10 ? 02 2 2 2此时 z＝x +y ＝4 +1 ＝17， 由??7 x ? 5 y ? 23 ? 0 得 B 点坐标（－1，－6） ， ?4 x ? y ? 10 ? 02 2 2 2此时 z＝x +y ＝（－1） +(－6) ＝37， 由??x ? 7 y ? 11 ? 0 得 C 点坐标（－3，2） ， ?4 x ? y ? 10 ? 02 2 2 2此时 z＝x +y ＝（－3） +2 ＝13，? x ? ?3 ? x ? ?1 2 2 2 2 时 x +y 取得最大值 37，当 ? 时 x +y 取得最小值 13. ? 当? ?y ? 2 ? y ? ?6错因：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点 A、B、C 到原点的距 离的平方的最值.?7 x ? 5 y ? 23 ? 0 ? 正解：不等式组 ? x ? 7 y ? 11 ? 0 表示的平面区域如图所示 ? ABC 的内部（包括边界） ， ?4 x ? y ? 10 ? 0 ?令 z= x +y ,则 z 即为点（x，y）到原点的距离的平方. 由?2 2?7 x ? 5 y ? 23 ? 0 得 A 点坐标（4，1） ， ?4 x ? y ? 10 ? 02 2 2 2此时 z＝x +y ＝4 +1 ＝17， 由??7 x ? 5 y ? 23 ? 0 得 B 点坐标（－1，－6） ， ?4 x ? y ? 10 ? 02 2 2 2此时 z＝x +y ＝（－1） +(－6) ＝37， 由??x ? 7 y ? 11 ? 0 得 C 点坐标（－3，2） ， ?4 x ? y ? 10 ? 02 2 2 2此时 z＝x +y ＝（－3） +2 ＝13， 而在原点处， ??x ? 0 2 2 2 2 ，此时 z＝x +y ＝0 +0 ＝0， ?y ? 0? x ? ?1 ?x ? 0 2 2 2 2 时 x +y 取得最大值 37，当 ? 时 x +y 取得最小值 0. ? 当? ? y ? ?6 ?y ? 0[例 4]某家具厂有方木料 90m ，五合板 600m ，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张 3 2 3 2 书桌需要方木料 0.1m ，五合板 2m ，生产每个书橱需要方木料 0.2m ，五合板 1m ，出售一张 书桌可获利润 80 元， 出售一个书橱可获利润 120 元.如果只安排生产书桌， 可获利润多少？ 如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使得利润最大？ 分析： 数据分析列表 书桌 木料（m ） 五合板（m ） 利润（元/张）2 3 3 2书橱 0．2 1 120资源限制 90 6000．1 2 80京翰教育 /高中数学辅导网计划生产（张）xy?0.1x ? 0.2 y ? 90 ? 2x ? y ? 600 ? 设生产书桌 x 张，书橱 y 张，利润 z 元，则约束条件为 ? x?N ? ? y?N ?目标函数 z=80x+120y 作出上可行域： 作出一组平行直线 2x+3y=t, 此直线经过点 A（100，400） 2x+y-600=0 时，即合理安排生产，生产书桌 100 张，书橱 400 张，有最 大利润为 A(100,400) zmax=80×100+400×120=56000(元) x+2y-900=0 若只生产书桌，得 0&x≤300，即最多生产 300 张书桌，利 润为 2x+3y=0 z=80×300=24000（元） 若只生产书橱，得 0&y≤450，即最多生产 450 张书橱，利 润为 z=120×450=54000（元） 答：略 [例 5]某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种 规格小钢板的块数如下表： A 规格 第一种钢板 第二种钢板 需求 1 1 12 B 规格 2 1 152C 规格 1 3 272每张钢板的面积，第一种为 1m ，第二种为 2 m ，今需要 A、B、C 三种规格的成品 各 12、15、27 块，请你们为该厂计划一下，应该分别截这两种钢板多少张，可以得到 所需的三种规格成品，而且使所用钢板的面积最小？只用第一种钢板行吗？ 2 解：设需要截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张，所用钢板面积为 z m ，则? x ? y ? 12 ? 2 x ? y ? 15 ? 目标函数 z=x+2y ? ? x ? 3 y ? 27 ? ? x, y ? N作出可行域如图 作一组平行直线 x+2y=t，京翰教育 /高中数学辅导网由?? x ? y ? 12 ? x ? 3 y ? 27可得交点 ? ,? 9 15 ? ?， ?2 2 ?2x+y=15但点 ? ,? 9 15 ? ? 不是可行域内的整点，其附近的整点 ?2 2 ?（4，8）或（6，7）可都使 z 有最小值， 且 zmin=4+2×8=20 或 zmin=6+2×7=20 若只截第一种钢板，由上可知 x≥27，所用钢板面积 x+3y=27 2 最少为 z=27(m ); 若只截第二种钢板，则 y≥ 15 ，最少需要钢板面积 z=2× 2 15=30(m ). 它们都比 zmin 大，因此都不行. 答：略x+y=12 x+2y=0? x ? 4 y ? ?3 ? [例 6]设 z ? 6 x ? 10 y ，式中 x, y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ，求 z 的最大值和最小值. ?x ? 1 ? 解：由引例可知：直线 l0 与 AC 所在直线平行，则由引例的解题过程知， 当 l 与 AC 所在直线 3x ? 5 y ? 25 ? 0 重合时 z 最大，此时满足条件的最优解有无数多个， 当 l 经过点 B(1,1) 时，对应 z 最小，∴ zmax ? 6x ? 10 y ? 50 ， zmin ? 6 ?1 ? 10 ?1 ? 16 ．说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得； 2．线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多 个. 四、典型习题导练 1．画出不等式－ x +2y－4＜0 表示的平面区域.?x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 0 ? 2．画出不等式组 ? 表示的平面区域 y ? 3 ? ? ?x ? 5新疆 学案王新敞?5 x ? 3 y ? 15, ? 3.求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的 x、y 满足约束条件 ? y ? x ? 1, ? x ? 5 y ? 3. ?4.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品， 若采用甲种原料， 每吨成本 1000 元， 运费 500 元，可得产品 90 千克；若采用乙种原料，每吨成本为 1500 元，运费 400 元，可得产品 100 千克，如果每月原料的总成本不超过 6000 元，运费不超过 2000 元，那么此工厂每月最多可 生产多少千克产品？ 5.某工厂家具车间造 A、 B 型两类桌子， 每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一新疆王新敞学案京翰教育 /高中数学辅导网张 A、B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时，漆工油漆一张 A、B 型桌子分别需要 3 小时和 1 小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时，而工厂造一张 A、B 型桌子 分别获利润 2 千元和 3 千元，试问工厂每天应生产 A、B 型桌子各多少张，才能获得利润最 大？新疆王新敞学案? x ? 0, ? y ? 0, ? 6． （06 年高考广东）在约束条件 ? 下，当 3 ? s ? 5 时，目标函数 ? y ? x ? s, ? ? y ? 2 x ? 4.z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是A.[6,15] C.[6,8] B.[7,15] D.[7,8] §5.3 基本不等式的证明 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序 和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求 商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质： “ａ-ｂ≥0 ? ａ≥ｂ； ａ-ｂ≤0 ? ａ ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；② 变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形 为一个或几个平方的和等等， 其中变形是求差法的关键， 配方和因式分解是经常使用的变形 手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求 证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用 差值比较法. + (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R ，ａ/ｂ≥1 ? ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1 ? ａ≤ ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商 与 1 的大小关系，就是判定商大于 1 或小于 1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指 数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不 等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路 是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式 成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判 定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢 “已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1 为真，从 而有?，这只需证明Ｂ2 为真，从而又有?，??这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ 必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即 要证明不等式Ａ&Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ&Ｂ.凡涉 及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不 可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可京翰教育 /高中数学辅导网引入一个或多个变量进行代换， 以便简化原有的结构或实现某种转化与变通， 给证明带来新 的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条 件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个 参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问 题； (2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ａ& ｂ&ｃ等)的不等式，考虑用 增量法进行换元， 其目的是通过换元达到减元， 使问题化难为易， 化繁为简.如ａ+ｂ=1， 可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ进行换元. 二、疑难知识导析 1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向. 2.分析法与综合法是对立统一的两个方面， 前者执果索因， 利于思考， 因为它方向明确， 思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们 的思维习惯.但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的 书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误.而用综合法书 写的形式，它掩盖了分析、探索的过程.因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分 离的.如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法 形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律.还有的不等式证明难度较大，需一边 分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分表明分析与综合之间互为前 提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进 一步分析的起点. 3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因 为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件.如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决 问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了.用分析法证明问题时，一定要恰当地 用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语. 4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾. 5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高 度重视，否则可能会出现错误的结果.这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的 应用. 三、经典例题导讲 [例 1] 已知 a&b(ab ? 0 ),比较1 1 与 的大小. a b 1 1 错解：? a&b(ab ? 0 )，? & . a b错因：简单的认为大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正确的结论是：当两数同号 时，大数的倒数必定小，小数的倒数必定大. 正解：?1 1 b?a ? ? ，又? a&b(ab ? 0 )， a b ab b?a 1 1 ? 0 ,? & . ab a b(1)当 a、b 同号时，即 a&b&0 或 b&a&0 时，则 ab&0,b－a&0, (2)当 a、b 异号时，则 a&0,b&0,1 1 1 1 &0, &0? & . a b a b）[例 2] 当 a、b 为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（a?b A. 2B. aba2 ? b2 C. 2a ?1 ? b ?1 ?1 ) D. ( 2京翰教育 /高中数学辅导网错解：所以选 B.a?b a2 ? b2 错因是由于在 、 ab 、 中很容易确定 ab 最小，所以易误选 B.而事 2 2实上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正确的结论，就需要全面比较，不可 遗漏 (a ?1 ? b ?1 ?1 ) 与前三者的大小比较. 2a?b ? 2正解：由均值不等式ab 及 a2+b2 ? 2ab,可知选项 A、B、C 中， ab 最小，而(2 ab a ?1 ? b ?1 ?1 ) ＝ ，由当 a ? b 时，a+b&2 ab ,两端同乘以 ab ，可得（a+b）? ab a?b 2＞2ab,?2 ab ＜ ab ，因此选 D. a?b1[例 3] 已知：a&0 , b&0 , a+b=1,求(a+a) +(b+21b) 的最小值.2错解: (a+1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 ) +(b+ ) =a +b + 2 + 2 +4≥2ab+ +4≥4 ab ? +4=8, a b ab a b ab∴(a+1 2 1 2 ) +(b+ ) 的最小值是 8. a b2 2错因： 上面的解答中， 两次用到了基本不等式 a +b ≥2ab， 第一次等号成立的条件是 a=b= 第二次等号成立的条件是 ab= 最小值.1 , 21 ，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8 不是 ab1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 + 2 +4=( a +b )+( 2 + 2 )+4=[(a+b) －2ab]+[( + ) － ]+4 2 a b ab a b a b 1 = (1－2ab)(1+ 2 2 )+4， a b a?b 2 1 1 1 1 1 由 ab≤( )= 得：1－2ab≥1－ = , 且 2 2 ≥16，1+ 2 2 ≥17， 2 4 2 2 a b a b 1 25 1 ∴原式≥ ×17+4= (当且仅当 a=b= 时，等号成立)， 2 2 2 1 2 1 2 25 ∴(a + ) + (b + ) 的最小值是 . 2 a b [例 4] 已知 0 & x & 1, 0 & a & 1，试比较 | loga (1 ? x) | 和| loga (1 ? x) | 的大小.正解：原式= a +b +2 2解法一： | loga (1 ? x) |2 ? | loga (1 ? x) |2 ? ?loga (1 ? x) ? loga (1 ? x)??loga (1 ? x) ? loga (1 ? x)?? log a (1 ? x 2 ) log a∵0 & 1 ? x & 1,21? x 1? x 0? 1? x ?1 1? x∴ log a (1 ? x ) log a21? x ?0 1? x京翰教育 /高中数学辅导网∴ | loga (1 ? x) |? | loga (1 ? x) | 解法二：loga (1 ? x) 1 1? x ? log1? x (1 ? x) ? ? log1? x (1 ? x) ? log1? x ? log1? x loga (1 ? x) 1? x 1? x2? 1 ? log1? x (1 ? x 2 )∵0 & 1 ? x & 1, 1 + x & 1, ∴ ? log1? x (1 ? x 2 ) ? 02∴ 1 ? log1? x (1 ? x 2 ) ? 1∴ | loga (1 ? x) |? | loga (1 ? x) |解法三：∵0 & x & 1, ∴0 & 1 ? x & 1, 1 & 1 + x & 2, ∴ loga (1 ? x) ? 0,loga (1 ? x) ? 0∴左 ? 右 = loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x 2 ) ∵0 & 1 ? x & 1, 且 0 & a & 1 ∴ loga (1 ? x 2 ) ? 02∴ | loga (1 ? x) |? | loga (1 ? x) | [例 5]已知 x = a + b ，y = c + d ，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd 证：证法一（分析法）∵a, b, c, d, x, y 都是正数 ∴要证：xy≥ac + bd 2 2 只需证：(xy) ≥(ac + bd) 2 2 2 2 2 2 2 2 即：(a + b )(c + d )≥a c + b d + 2abcd 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 展开得：a c + b d + a d + b c ≥a c + b d + 2abcd 2 2 2 2 即：a d + b c ≥2abcd 由基本不等式，显然成立 ∴xy≥ac + bd 证法二（综合法）xy = a 2 ? b 2 c 2 ? d 2 ?2 2 2 2 2 2a 2c 2 ? b2c 2 ? a 2 d 2 ? b2 d 2(ac ? bd ) 2 ? ac ? bd2 2 2 2 ≥ a c ? 2abcd ? b d ?证法三（三角代换法） 2 2 2 ∵x = a + b ，∴不妨设 a = xsin?, b = xcos? y2 = c2 + d2 c = ysin?, d = ycos? ∴ac + bd = xysin?sin? + xycos?cos? = xycos(? ? ?)≤xy [例 6] 已知 x & 0，求证： x ?1 ? x1 1 x? x?5 2证：构造函数 f ( x) ? x ?1 1 ( x ? 0) 则 x ? ? 2 ， 设 2≤?&? x x京翰教育 /高中数学辅导网由 f (?) ? f (?) ? ? ? 显然 ∵2≤?&?? 1 1 ? (? ? ?)(?? ? 1) 1 1 ? (? ? ) ? (? ? ?) ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?5 2∴? ? ? & 0, ?? ? 1 & 0, ?? & 0 ∴上式 & 0∴f (x)在 [2,??) 上单调递增，∴左边 ? f (2) ? 四、典型习题导练 1.比较（a+3）(a－5)与（a+2） （a-4）的大小. 2.已知 a,b,c,d 都是正数，求证：(ab ? cd )(ac ? bd) ? 4abcd3.已知 x & 0 , y & 0，2x + y = 1，求证：1 1 ? ? 3? 2 2 x y4.若 x 2 ? y 2 ? 1 ，求证： | x 2 ? 2xy ? y 2 |?25.若 x & 1，y & 1，求证： xy ? 1 ? ( x ? 1)( y ? 1) 6．证明：若 a & 0，则 a ?21 1 ? 2 ? a? ?2 2 a a§5.4 不等式的应用一、基础知识导学 1.利用均值不等式求最值：如果 a1，a2∈R ，那么+a?b ? ab . 22.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围 等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式. 3.涉及不等式知识解决的实际应用问题， 这些问题大体分为两类： 一是建立不等式解不等式； 二是建立函数式求最大值或最小值. 二、疑难知识导析 不等式既属数学的基础知识， 又是解决数学问题的重要工具， 在解决函数定义域、 值域、 单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、 立体几何中的最值等问题中有广泛的应用， 特别是近几年来， 高考试题带动了一大批实际应 用题问世，其特点是： 1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等， 题目往往篇幅较长. 2．函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指 数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数 b b y ? ax ? , y ? ax2 ? , y ? k[(a ? b) x(c ? ax)(d ? bx)] ” x x 为模型的新的形式. 三 经典例题导讲京翰教育 /高中数学辅导网[例 1]求 y=x2 ? 5 x2 ? 4x2 ? 5的最小值.错解：? y=x ?42? x2 ? 4 ?1 x ?42?2x2 ? 4 ?1 x ?42＝2? y 的最小值为 2.错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可. 正解：令 t= x 2 ? 4 ,则 t ? 2 ,于是 y= t ? , (t ? 2) 由于当 t ? 1 时，y= t ?1 t1 5 是递增的，故当 t＝2 即 x=0 时，y 取最小值 . 2 t2 2[例 2]m 为何值时，方程 x +(2m+1)x+m －3=0 有两个正根. 错解：由根与系数的关系得 ??2m ? 1 ? 02 ?m ? 3 ? 0? m ? ? 3 ，因此当 m ? ? 3 时，原方程有两个正根. 错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于 0.13 ? ?m ? ? 4 ?? ? (2m ? 1) ? 4(m ? 3) ? 0 ? ? 1 ? ? ?m ? ? 正解：由题意： ?2m ? 1 ? 0 2 ? 2 ? ?m ? 3 ? 0 ?m ? ? 3或m ? 3 ? ?2 2??13 13 ? m ? ? 3 , 因此当 ? ? m ? ? 3 时，原方程有两个正根. 4 4[例 3]若正数 x，y 满足 6x ? 5y ? 36 ，求 xy 的最大值． 解：由于 x，y 为正数，则 6x，5y 也是正数，所以6x ? 5 ? 6 x ? 5 y ? 30xy 2当且仅当 6x=5y 时，取“=”号． 因 6x ? 5y ? 36 ，则 30xy ?36 54 54 ，即 xy ? ，所以 xy 的最大值为 . 2 5 5[例 4] 已知：长方体的全面积为定值 S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体 积最大，求出这个最大值． 分析：经过审题可以看出，长方体的全面积 S 是定值．因此最大值一定要用 S 来表示．首要 问题是列出函数关系式．设长方体体积为 y，其长、宽、高分别为 a，b，c，则 y=abc．由 2 于 a+b+c 不是定值，所以肯定要对函数式进行变形．可以利用平均值定理先求出 y 的最大 值，这样 y 的最大值也就可以求出来了． 解：设长方体的体积为 y，长、宽、高分别是为 a，b，c，则 y=abc，2ab+2bc+2ac=S． 而 2 2 y =（abc） =（ab） （bc） （ac）京翰教育 /高中数学辅导网当且仅当 ab=bc=ac，即 a=b=c 时，上式取“=”号，y 有最小值2答：长方体的长、宽、高都等于6s s 6s 时体积的最大值为 . 6 36说明：对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题 的关健. 四、典型习题导练 3 2 1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m ,深为 3m，如果池底每 1m 的造价 2 为 150 元，池壁每 1m 的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多 少元？ 2.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比 截面是正方形的水管流量大. 3.在四面体 P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，各棱长的和为 m， 求这个四面体体积的最大值． 4. 设函数 f(x)=ax +bx+c 的图象与两直线 y=x，y=-x，均不相 交，试证明对一切 x ? R 都有 | ax2 ? bx ? c |?1 . 4| a|25．青工小李需制作一批容积为 V 的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半 径应具有怎样的比例？ 6．轮船每小时使用燃料费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里／时)的立方成正比．已知 某轮船的最大船速是 18 海里／时， 当速度是 10 海里／时时， 它的燃料费用是每小时 30 元， 其余费用(不论速度如何)都是每小时 480 元，如果甲、乙两地相距 1000 海里，求轮船从甲 地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？ 5.5 一、基础知识导学 1. 推理一般包括合情推理和演绎推理. 2. 合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的 结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳、类比是合情推理常用 的思维方法. 推理与证明京翰教育 /高中数学辅导网3. 归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这 种性质的推理. 4. 归纳推理的一般步骤：⑴通过观察个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中 推出一个明确表达的一般性命题（猜想）. 5. 类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物 类似的性质的推理. 6. 类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵从一类事物的性质去 推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）. 7. 演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理. 8. 直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法──反证法. 9. 分析法：从原因推导到结果的思维方法. 10. 综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法. 11. 反证法：判定非 q 为假，推出 q 为真的方法. 12. 应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾 的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真. 13. 数学归纳法：设｛pn｝是一个与自然数相关的命题集合，如果⑴证明起始命题 p1 成立； ⑵在假设 pk 成立的前提上，推出 pk＋1 也成立，那么可以断定， ｛pn｝对一切正整数成立. 14. 数学归纳法的步骤：（1）证明当（如或 2 等）时，结论正确；（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．二、疑难知识导析 1.归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质， 推出这类事物的所有对象都具有这种 性质的推理. 而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性， 推出其中一类事物具有另一类事 物类似的性质的推理. 2. 应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正 确的推理方法，推出矛盾的结果 3. 数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法. 三、经典例题导讲 [例1] { an }是正数组成的数列,其前n项和为 sn ,并且对于所有的自然数 n , an 与2的等差 中项等于 sn 与2的等比中项. (1)写出数列{ an }的前3项; (2)求数列{ an }的通项公式(写出推证过程); 错解：由(1)猜想数列{ an }有通项公式 an =4 n -2. 下面用数学归纳法证明数列{ an }的通项公式是京翰教育 /高中数学辅导网an =4 n -2. ( n ∈N).①当 n =1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出 a1 =2,所以上述结论成立. ②假设n=k时结论成立,即有 ak =4 k -2.由题意,有 将 ak =4 k -2代入上式，得 2k ?ak ? 2 ? 2s k 22sk ，解得sk ? 2k 2由题意,有a k ?1 ? 2 ? 2s k ?1 , s k ?1 ? s k ? a k ?1 2将 sk ? 2k 2 代入，化简得2 2 ak ?1 ? 4ak ?1 ? 4 ? 16k ? 0解得 ak ?1 ? 2 ? 4k .∴ ak ?1 ? 2 ? 4k ? 4(k ? 1) ? 2 这就是说,当n=k+1时,上述结论成立. 根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立. 错因在于解题过程中忽视了取值的取舍. 正解：由(1)猜想数列{an}有通项公式an=4n-2. 猜想数列{ an }有通项公式 an =4 n -2. 下面用数学归纳法证明数列{ an }的通项公式是an =4 n -2. ( n ∈N).①当 n =1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出 a1 =2,所以上述结论成立. ②假设n=k时结论成立,即有 ak =4 k -2.由题意,有 将 ak =4 k -2代入上式，得 2k ?ak ? 2 ? 2s k 22sk ，解得sk ? 2k 2由题意,有a k ?1 ? 2 ? 2s k ?1 , s k ?1 ? s k ? a k ?1 2将 sk ? 2k 2 代入，化简得京翰教育 /高中数学辅导网2 2 ak ?1 ? 4ak ?1 ? 4 ? 16k ? 0解得 ak ?1 ? 2 ? 4k .由 ak ?1 ? 0 ∴ ak ?1 ? 2 ? 4k ? 4(k ? 1) ? 2 这就是说,当n=k+1时,上述结论成立. 根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立. [例2] 用数学归纳法证明对于任意自然数 ，错解：证明：假设当 即 那么当（ k ? N）时，等式成立， ， 时，这就是说，当时，等式成立．可知等式对任意 k ? N 成立． 错因在于推理不严密，没有证明当 正解：证明：（1）当 （2）假设当 即 那么当 时， 时，左式 （ 的情况 ． ，右式 ）时，等式成立， ， ，所以等式成立．京翰教育 /高中数学辅导网这就是说，当时，等式成立．由（1）、（2），可知等式对任意 k ? N 成立．[例 3] 是否存在自然数 m ， 使得 对任意自然数 ， 都能被 整除，若存在，求出的最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．分析 本题是开放性题型，先求出 f (1) ， f ( 2) ， f (3) ?再归纳、猜想、证明． 解： ， ， ， ?? 猜想， （1）当 能被 36 整除，用数学归纳法证明如下： 时， ，能被 36 整除． 能被 36 整除．（2）假设当 n ? k ，（ k ? N）时， 那么，当 时，由归纳假设， 当 为自然数时， ∴ 这就是说当能被 36 整除， 为偶数，则 能被 36 整除．能被 36 整除， 时命题成立． ， f ( n) 都能被 36 整除． 整除，所以 36 为最大．由（1）、（2）对任意 当取大于 36 的自然数时， f (1) ? 36 不能被京翰教育 /高中数学辅导网xy ? 1( x ? 0, y ? 0) 与直线 y ? x 的交点， [例 4] 设点 A1 是曲线 C： 过 A1 点作直线 y ? x的垂线交 轴于 B1 ，过 B1 点作直线 y ? x 的平行线交曲线 C 于 A2 ，再过 A2 点作 B1 A2 的 垂线作交 X 轴于 B2 ，如此继续下去可得到一系列的点 的横坐标 的通项公式． ， ，?， ，?如图，试求分析 本题并没有指明求 通过寻求 解：解法一 直线 直线 与通项公式的方法，可用归纳――猜想――证明的方法，也可以 的通项公式． ， ， 令 与 ）联立，解得 ，得 ，所以点 （ ），解得的递推关系式求 与 （的方程为 的方程为 ， 所以点 （联立，消元得 ， ）． ，直线 令的方程为 ，得 ?? ，所以点同样可求得点（，0）由此推测（，0），即用数学归纳法证明 （1）当 即 时，由 点的坐标为（ ，0），，所以命题成立． 时命题成立， ，0），则当 时，（2）假设当 即京翰教育 /高中数学辅导网由于直线 把它与 消去 ∴ 可得 （的方程为 ，， ）联立， （ ），于是 即点 ∴ 直线 令 即 ∴ 当 解法二 设点 建立 由数列 ， 与 得， 点的坐标为（ ，0） 的坐标为（ 的方程为 ， ）．时，命题成立． 的坐标分别为（ 的递推关系 是等差数列，且 （ ）， ，0）、（ ，即 ，公差 ． ，0）， ，可求得用数学归纳法证明与自然数 n 有关的几何命题， 由 k 过渡到 k＋1 常利用几何图形来分 析图形前后演变情况． [例 5] 有 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证： 这 n 个圆把平面分成 f(n)＝n -n＋2 个部分． 证明①当 n＝1 时，即一个圆把平面分成二个部分 f(1)=2 又 n＝1 时，n -n＋2＝2，∴命题成立 ②假设 n＝k 时，命题成立，即 k 个圆把平面分成 f(k)＝k -k＋2 个 部分，那么设第 k＋1 个圆记⊙O，由题意，它与 k 个圆中每个圆京翰教育 /2 2 2高中数学辅导网交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其它 k 个圆相交于 2k 个点．把⊙O 分成 2k 条弧而每条弧把原区域分成 2 块，因此这平 面的总区域增加 2k 块，即 f(k＋1)＝k -k＋2＋2k=(k＋1) -(k＋1)＋2 即 n＝k＋1 时命题成立． 由①②可知对任何 n∈N 命题均成立． 说明: 本题如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析 k 增加“1”时，研究第 k＋1 个 圆与其它 k 个圆的交点个数问题． [例 6] 已知 n≥2，n∈N2 2②假设 n=k 时，原不等式成立．京翰教育 /高中数学辅导网由①②可知，对任何 n∈N(n≥2)，原不等式均成立．四、典型习题导练 1.用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋?＋（ n ＋3）= 当 n =1 时，左边应为____________. 2.已知数列{ an }的前 n 项和 sn ? 2n ? an ，则{ an }的前四项依次为_______,猜想( n ? 3)( n ? 4) ( n N)”， 2an =__________.3.已知数列 {an } 的各项都是正数 , 且满足 : a 0 ? 1, a n ?1 ? 证明 an ? an?1 ? 2, n ? N . 4.已知不等式1 a n , (4 ? a n ), n ? N . 21 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n], 其中 n 为大于 2 的整数， [log2 n] 表示不超过 2 3 n 2设 数 列 {an } 的 各 项 为 正 ， 且 满 足log2 n 的 最 大 整 数 .a1 ? b(b ? 0), an ?2b nan?1 , n ? 3,4,5,? . , n ? 2,3,4,? 证明 a n ? 2 ? b[log2 n] n ? an?15. 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能 * 力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量，n∈N ，且 x1＞0. 2 不考虑其它因素，设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比，死亡量与 xn 成正比， 这些比例系数依次为正常数 a，b，c. （1）求 xn+1 与 xn 的关系式； （2）猜测：当且仅当 x1，a，b，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？ * （3）设 a＝2，c＝1，为保证对任意 x1∈（0,2） ，都有 xn＞0，n∈N ，则捕捞强度 b 的 最大允许值是多少？证明你的结论.京翰教育 /
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