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双曲抛物面z=xy被柱面x^2+y^2=1(x&=0,y&=0)截下部分的面积
ax)^2+(az&#47，az/ay=x:x^2+y^2&=1;ay)^2) dxdy=二重积分_D
根号(1+x^2+y^2) dxdy
极坐标变换，x=rcosa，y=rsina，0&=a&lt,x&=0,y&=0}，z=xy，az/ax=y，0&=r&=1;2）da 积分（从0到1）根号(1+r^2)rdr=pi/2*
1/3*(1+r^2)^(3/2)|上限1下限0=（2根号(2)--1)*pi&#47，于是面积=二重积分_D
根号(1+(az/=pi/2，=积分（从0到pi/6D={(x,y)
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5个看似巨简单的数学问题至今无人能破
数学有时候会变得特别复杂，然而幸好不是所有的数学问题都晦涩难懂。这篇文章将会向大家介绍数学领域中五个有趣的问题，问题本身简单易懂，但迄今仍未被数学家们解决。图片来源：Justin Lewis1. Collatz猜想图片来源：Jon McLooneCollatz猜想是一个简单有趣而又没有解决的数学问题。克拉兹问题（Collatz problem）也被叫做hailstone问题、3n 1问题、Hasse问题、Kakutani算法问题、Thwaites猜想或者Ulam问题。是指：随意选一个整数，如果它是偶数，那么将它除以2；如果它是奇数，那么将它乘以3再加1。对于得到的新的数，重复操作上面的运算过程。如果你一直操作下去，你每次都终将得到1。德国数学家于1937年首次提出这个问题，题意清晰、明了、简单，连小学生都能看懂，得到许多大数学家的关注。日本角谷静夫谈到该猜想的历史时讲：“一个月里，耶鲁大学的所有人都着力于解决这个问题，毫无结果。同样的事情好象也在芝加哥大学发生了。有人猜想，这个问题是苏联克格勃的阴谋，目的是要阻碍美国数学的发展。”著名学者盖伊(R.K.Guy)在介绍这一问题的时，竟然冠以'不要试图去解决这些问题'为标题。匈牙利著名的多产数学家（Paul Erd?s）曾评论说，“数学还没有为这类问题做好准备”，认为这个猜想在现阶段难以解决。&邬家邦先生的《3N 1猜想》（湖南大学出版社，2001年）是国内较全面介绍、论述该问题的著作。该书说，“3N 1猜想之所以难以攻克，原因就在于对一般的n∈N,n的迭代轨迹序列这的元素排列杂乱无章，无规律可循”。&也有的数学家认为，这种形式如此简单，解决起来却又如此困难的问题，实在是可遇而不可求。该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域。目前也有部分数学家和数学爱好者，在进行关于“负数的3x＋1”、“5x＋1”、“7x＋1”等种种考拉兹猜想的变化形命题的研究。&许多学者对大量的自然数做了检验，均未发现反例。荷兰学者Eric Roosendaal在他的网站 (《 On the 3x 1 problem》http://www.ericr.nl/wondrous/index.html) 上，介绍了世界上研究该问题的主要成果，并组织了世界范围的分布式计算，不断公布计算结果，2^60以内的数字均通过了验证。&关于 3x 1 问题以及相关问题的会议&1999 年 8 月在德国的 Eichst?tt 大学举行。会议参与者有:K. M. Monks(美国), Ken G. Monks (美国), Paul Andaloro (美国), Günther Wirsching (德国), Manfred Kudlek (德国) Ranan Banerji (美国), Jeffrey Lagarias (美国), Dierk Schleicher (德国),Marc Chamberland (美国), Jean-Louis Rouet (法国), Eric Roosendaal (荷兰), U. Fitze(瑞士),Marc Feix (法国),Edward Belaga (法国)等。&2011年5月，德国Gerhard Opfer在《Mathematics of Computation》上发表了一篇论文(预印本PDF)，宣称证明了考拉兹猜想。一个月后，该作者承认证明是不完整的， “Collatz猜想是正确的” 的声明被撤回。（Thus,the statement “that the Collatz conjecture is true” has to be withdrawn, at least temporarily.）来源：平常心数学家们试验了数百万个数，至今还没发现哪怕一个不收敛到1的例子。然而问题在于，数学家们也没办法证明一定不存在一个特殊的数，在这一操作下最终不在1上收敛。有可能存在一个特别巨大的数，在这一套操作下趋向于无穷，或者趋向于一个除了1以外的循环的数。但没有人能证明这些特例的存在。2. 移动沙发问题图片来源：Claudio Rocchini你要搬新家了，想把你的沙发搬过去。问题是，走廊有个转角，你不得不在角落位置上给沙发转方向。如果这个沙发很小，那没什么问题。如果是个挺大的沙发，估计得卡在角落上。如果你是个数学家，你会问自己：能够在角落上转过来的最大的沙发有多大呢？这个沙发不一定得是矩形，可以说任何形状。这便是“移动沙发问题”的核心，具体来说就是：二维空间，走廊宽为1，转角90°，求能转过转角的最大二维面积是多少？能转过转角的最大二维面积被称为“沙发常数”（the sofa constant）——这是真的，我不是骗你读书少。没人知道它到底有多大，但我们知道有一些相当大的沙发可以转得过去，所以我们知道沙发常数一定比它们大；也有一些沙发无论如何都转不过去，因此沙发常数一定比这些转不过去的面积小。迄今位置，我们知道沙发常数落在2.4之间。3. 完美立方体问题图片来源：Gfis
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员各自为政的局面, 可以推动小组成员相互帮助、共同进步。（2）个人的成绩取决于小组的成绩。当小组达到预定的目标时，每个成员都可以获得相同的奖励，教师可以给整个组的成果评定一个分数，作为基础分数，增加分数为每个人的成绩。这种奖励方式可以提高小组的合作质量。
例如, 小组分段朗读课文, 只要当每个成员的错误都不多于五处时, 小组的阅读成绩才能得优。奖励相互依赖打破了小组由好学生包揽一切或小组成员各自为政的局面, 可以推动小组成员相互帮助、共同进步。
由于每个人都是小组成功的关键的一环，而且每个组员的都受益，所以大家就会真心诚意地相互关怀、相互支持和鼓励，每个人都不愿意成为小组的" 累赘" 拖大家的" 后腿" ，从而使每个组员都能积极主动地参与到学习活动之中。
8. 环境相互依赖
前后桌六个人分为一组，通常一道数学题会有多种解法，老师就会鼓励大家小组讨论去探索解法， 在讨论过程中有任何问题随时向老师提问，小组中有不同解法的同学依次讲解自己的做法步骤，结束后其他五位同学可以提出问题，老师进行解答直至小组内同学都清楚，最后每组两个人负责记录下本组讨论后的解题过程在后面进行备注（哪一步骤是某位同学想的，某位同学查找的公式等等）作为作业上交。讨论结束后，各组汇报解题方式数量，有不同解题方式的小组上台演示解题思路，有独特解题思路的或是表现突出的小组或个人老师会给予小奖励。如果有大家都没想到的解题方式，老师会再进行讲解。
这种学习方式会使学生对数学的学习充满兴趣，同时拓宽了学生的思路，让思维变得更敏捷.
举例说明所做的各种合作机制设计，如何让学生愿意在一起合作、快乐一起合作的。
请列举你为增进学生之间积极的互赖关系所做的努力，至少举出所使用或打算使用的五种互赖策略，要求详细介绍你是怎么做的，在什么场景下做，需要做哪些准备工作。
请列举你为增进学生之间积极的互赖关系所做的努力，至少举出所使用或打算使用的五种互赖策略，要求详细介绍你是怎么做的，在什么场景下做，需要做哪些准备工作。
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我的合作机制设计
举例说明所做的各种合作机制设计，如何让学生愿意在一起合作、快乐一起合作的。
请列举你为增进学生之间积极的互赖关系所做的努力，至少举出所使用或打算使用的五种互赖策略，要求详细介绍你是怎么做的，在什么场景下做，需要做哪些准备工作。
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小学数学常见问题时间：　　作者：　　来源：新东方论坛　　1、对知识点的理解停留在一知半解的层次上；
　　2、解题始终不能把握其中关键的数学技巧，孤立的看待每一道题，缺乏举一反三的能力；
　　3、解题时，小错误太多，始终不能完整的解决问题；
　　4、解题效率低，在规定的时间内不能完成一定量的题目，不适应考试节奏；
　　5、未养成总结归纳的习惯，不能习惯性的归纳所学的知识点；
　　以上这些问题如果不能很好的解决，在初中的两极分化阶段，同学们可能就会出现成绩的滑坡。
　　（1）细心地发掘概念和公式
　　很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：一是，对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。例如，在代数式的概念（用字母或数字表示的式子是代数式）中，很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式”。二是，对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。这样就不能很好的将学到的知识点与解题联系起来。三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。记忆是理解的基础。如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢？
　　我的建议是：更细心一点（观察特例），更深入一点（了解它在题目中的常见考点），更熟练一点（无论它以什么面目出现，我们都能够应用自如）。
　　（2）总结相似的类型题目
　　这个工作，不仅仅是老师的事，我们的同学要学会自己做。当你会总结题目，对所做的题目会分类，知道自己能够解决哪些题型，掌握了哪些常见的解题方法，还有哪些类型题不会做时，你才真正的掌握了这门学科的窍门，才能真正的做到“任它千变万化，我自岿然不动”。这个问题如果解决不好，在进入初二、初三以后，同学们会发现，有一部分同学天天做题，可成绩不升反降。其原因就是，他们天天都在做重复的工作，很多相似的题目反复做，需要解决的问题却不能专心攻克。久而久之，不会的题目还是不会，会做的题目也因为缺乏对数学的整体把握，弄的一团糟。
　　我的建议是：“总结归纳”是将题目越做越少的最好办法。
　　（3）收集自己的典型错误和不会的题目
　　同学们最难面对的，就是自己的错误和困难。但这恰恰又是最需要解决的问题。同学们做题目，有两个重要的目的：一是，将所学的知识点和技巧，在实际的题目中演练。另外一个就是，找出自己的不足，然后弥补它。这个不足，也包括两个方面，容易犯的错误和完全不会的内容。但现实情况是，同学们只追求做题的数量，草草的应付作业了事，而不追求解决出现的问题，更谈不上收集错误。我之所以建议大家收集自己的典型错误和不会的题目，是因为，一旦你做了这件事，你就会发现，过去你认为自己有很多的小毛病，现在发现原来就是这一个反复在出现；过去你认为自己有很多问题都不懂，现在发现原来就这几个关键点没有解决。
　　我的建议是：做题就像挖金矿，每一道错题都是一块金矿，只有发掘、冶炼，才会有收获。
　　（4）就不懂的问题，积极提问、讨论
　　发现了不懂的问题，积极向他人请教。这是很平常的道理。但就是这一点，很多同学都做不到。原因可能有两个方面：一是，对该问题的重视不够，不求甚解；二是，不好意思，怕问老师被训，问同学被同学瞧不起。抱着这样的心态，学习任何东西都不可能学好。“闭门造车”只会让你的问题越来越多。知识本身是有连贯性的，前面的知识不清楚，学到后面时，会更难理解。这些问题积累到一定程度，就会造成你对该学科慢慢失去兴趣。直到无法赶上步伐。
　　讨论是一种非常好的学习方法。一个比较难的题目，经过与同学讨论，你可能就会获得很好的灵感，从对方那里学到好的方法和技巧。需要注意的是，讨论的对象最好是与自己水平相当的同学，这样有利于大家相互学习。
　　我的建议是：“勤学”是基础，“好问”是关键。
　　（5）注重实战（考试）经验的培养
　　考试本身就是一门学问。有些同学平时成绩很好，上课老师一提问，什么都会。课下做题也都会。可一到考试，成绩就不理想。出现这种情况，有两个主要原因：一是，考试心态不不好，容易紧张；二是，考试时间紧，总是不能在规定的时间内完成。心态不好，一方面要自己注意调整，但同时也需要经历大型考试来锻炼。每次考试，大家都要寻找一种适合自己的调整方法，久而久之，逐步适应考试节奏。做题速度慢的问题，需要同学们在平时的做题中解决。自己平时做作业可以给自己限定时间，逐步提高效率。另外，在实际考试中，也要考虑每部分的完成时间，避免出现不必要的慌乱。
　　我的建议是：把“做作业”当成考试，把“考试”当成做作业。
　　（6）明确遗忘的规律，把握好记忆的良机。
　　遗忘速度是先快后慢
　　研究表明，在记忆后20分钟、1小时、8小时、24小时、2天、6天、1个月时间后相对应的记住率为：58%、44%、36%、34%、28%、25%、21%。也就是说，在记忆之后短时间内，我们所记忆的东西会快速遗忘，随着时间逐渐增加，遗忘的速度不再如此迅速。这样，我们就应该知道老师们苦口婆心“及时复习”的教导不无道理。越是及时复习，我们遗忘的东西就会越少，我们的宝贵时间也就节约得越多，对于像我这样的懒人来说，需要花费的时间也就越少，也可以玩得更加Happy。当然，每个人的遗忘规律是由差别的，通过简单的试验总结出自己不同时间的遗忘规律，按照自己的遗忘规律来复习和回忆需要记住的事情，就能使我们事半功倍而且不会忘记重要的事情。单纯的一次次反复记忆是不科学也是不合算的，在记忆遗忘最快的阶段及时复习，比如一周以内按照规律进行复习，以后就只在回忆不起来的时候进行回顾式复习，才是恰当和高效的。
　　科学研究表明，人每天有四个高潮记忆点：
　　第一点是清晨六至七点。此时大脑已在睡眠过程中完成了对头一天所输入信息的编码工作，加上没有前后识记材料的干扰，识记印象清晰，记忆效率高。第二点是上午八至十点。此时精力旺盛，识记材料的效率高，记忆量较大。第三点是傍晚六至八点，第四点是临睡前一两个小时，我们应该好好把握这些时间段进行学习，这样会起到事半功倍的效果。
　　我的建议是：及时复习，做到温故而知新。
　　以上，我就数学经常出现的问题，给出了建议，但有一点要强调的是，任何方法最重要的是有效，同学们在学习中千万要避免形式化，要追求实效。任何考试都是考人的头脑，决不是考大家的笔记记的是否清楚，计划制定的是否周全。
焦点新闻·15-02-15·14-07-31·16-03-16·16-03-07·16-02-29·16-01-20·15-12-24·15-10-19·15-08-06·15-07-10
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