【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)[1]2_百度文库
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【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)[1]2
&&三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
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△ABC中,AB=2,BC=4,角B=60°,设O是三角形ABC的内心,若向量AO=pAB+qAC,则p/q的值为
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解:AC^2=2^2+4^2-2*2*4*COS60°=12,
AC=2√3, 2^2+(2√3)^2=4^2,
所以AB⊥AC
内切圆的半径r=(2+2√3-4)/2=√3-1,
过点O作OE⊥AB,OF⊥AC,
AEOF为一个正方形,
AE=AF=√3-1,AE/AB=(√3-1)/2,
AF/AC=(√3-1)/2√3
AE=(√3-1)/2*AB,
AF=(√3-1)/2√3*AC
向量AO=向量AE+向量AF=(√3-1)/2*向量AB+(√3-1)/2√3*向量AC,
p/q=[(√3-1)/2]/[ (√3-1)/2√3]=√3
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据余弦定理：|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2-2|AB|*|BC|*cos(π/3)=4+16-2*2*4/2=2sqrt(3)故：|BC|^2=|AB|^2+|AC|^2，即三角形ABC是以∠A为直角的直角三角形故O点在边BC上，即：AO=(AB+AC)/2，而：AO=pAB+qAC，故：p=q=1/2故：p/q=1
p/q= 根号3
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三角形内心的向量表示若O为三角形ABC内心,AB=c,AC=b,BC=a,求证a*[0A]+b*[OB]+c*[OC]=[0]([OA]表示向量OA)我问的是为什么
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如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9． （1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．
ycycrfv6099
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连接AO，OB，OC，∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，∴OR=OQ，OR=OP，∴由勾股定理得：AR2=OA2-OR2，AQ2=AO2-OQ2，∴AR=AQ，同理BR=BP，CQ=CP，即O在∠ACB角平分线上，设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，则x=3，y=5，z=4，∴BP=3，CQ=5，AR=4．（2）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，∵O在∠A的平分线，∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，∵∠A=60°，∴∠NOM=120°，∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°-∠A）=60°，∴∠FON=∠EOM，在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM，∴OE=OF．
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（1）根据角平分线性质得出OR=OQ=OP，根据勾股定理起床AR=AQ，CQ=CP，BR=BP，得出方程组，求出即可；（2）过O作OM⊥AC于肘，ON⊥AB于N，求出OM=ON，证出△FON≌△EOM即可．
本题考点：
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
考点点评：
本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
是不是P和R搞错了 刚开始还是P 到后来冒出了一个R 然后回归P 如果可以求图。。。
本来就有r和q啊，楼上是不是题目看错了
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急窝!（关于三角形的）已知点A在直线a外（上部）,点B,C在直线a上,连接AB,AC.问：在△ABC同侧（点Q不在直线AB,AC上）是否存在点Q,使得∠BQC＞∠A?全部举例!请给出正确结论,并说明理由.若是点Q在△ABC外部呢？要怎么证明？
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会用到圆周角的知识：作一个过ABC三点的圆,根据同弧对应的圆周角相等可知,在此圆上的Q点与BC所成的角都相等,且等于角A.以此为分界条件,在圆内的大于角A,圆外的小于A.这是在没有限定条件下得出的结果,在加上你的条件“同侧”,“点Q不在直线AB,AC上”,排除不合条件的点即可.
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是，因为BC不变，BQ+CQ<BA+CA,所以∠BQC＞∠A
1.若∠ABC=∠ACB,也就是说AB=AC那么Q点不存在，只有Q点与A重合，才能得到∠BQC=∠A；2.若∠ABC≠∠ACB以BC中点做BC的垂线与A点以所做垂线对称的点即为所需的Q点综上所述，只有在第二种情况下，Q点存在。
过A.B.C作圆，Q在圆内时角BQC>角BAC
存在。Q在△ABC内部即可。证明：连接AQ交BC于D，则由于外角等于两内角之和可知，∠BQD＞∠BAQ，∠CQD＞∠CAQ，所以∠BQC＞∠BAC
存在 点q 在三角形ABC里面就行了
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