线性代数解决实际问题问题 图中所画是如何求出(X-B)-1不是X-B的逆么
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时间：2017-08-15 23:22
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线性代数（6）
本人机器学习小白一枚，目前认识到数学对于理解算法和应用算法到特定的数据集上太重要了。很喜欢MIT的线性代数课程，以MIT课程的内容为主，做一些学习总结。旨在于总结自己学过的知识、受到的启发、加强自己的逻辑性和对内容的理解。非常感谢网络上大牛们的MIT线性代数导论笔记，文末是链接。
1、线性方程
包含未知数x1,x2,...,xn的一个线性方程是形如a1x1+a2x2+...+anxn=b的方程，其中b与系数a1,a2,...,an是实数或复数，通常是已知数。下标n是任意正整数，实际问题中通常是几百，几千或更大。
注：4x1-5x2=x1x2和x2=2x1--√-6都不是线性方程，因为包含x1x2和x1--√。
2、线性方程组
线性方程组是由一个或几个包含相同变量x1,x2,...,xn的线性方程组成的。方程组所有可能的解的集合称为线性方程组的解集。两个线性方程组是等价的，当它们有相同的解集。
3、线性代数的基本问题就是解n个线性方程，n个未知数的方程组。
例如：包含两个未知数的两个方程组成的方程组
求包含两个未知数的两个方程组成的方程组的解，等价于求两条直线的交点。当然两条直线不一定交于一个点，它们可能平行，也可能重合，重合的两条直线上的每个点都是交点。
线性方程组的解有三种情况：无解、有唯一解、有无穷多解。
分别对应下图
线性方程组的几何图像有两种，分别是行图像和列图像。上面的图像是行图像，而需要重点理解的是列图像。下面仔细解释下两种图像。
首先，将上述方程组写成矩阵形式，即把每一个变量的系数写在对齐的一列中，就是
其中A=被称为系数矩阵（coefficient matrix）。未知数向量通常记为x=，而等号右侧的向量记为b。线性方程组简记为Ax=b，A和b通常是已知数。
行图像：一次取线性方程组的一行，也就是一个方程组，作图于xy平面。
列图像：在列图像中，我们将系数矩阵A写成列向量的形式，寻找列向量的线性组合（linear combination）系数x，y来构成向量b。
向量线性组合是贯穿本课程的重要概念。对于给定的向量c 和d 以及系数x和y，我们将xc+yd称之为c 和d 的一个线性组合。
从几何上讲，我们是寻找x 和y，使得两者分别数乘对应的列向量之后相加得到向量。其几何图像如下图。
想象一下如果任意取x,y，则得到的线性组合又是什么？其结果就是以上两个列向量的所有线性组合将会布满整个坐标平面。
下面扩展到包含三个未知数的三个方程组成的方程组。
每一个方程都是三维空间内的一个平面，方程组的解为三个平面的交点。从行图像的角度来看，三元方程组是否有解意味着什么？当方程所代表的三个平面相交于一点时方程有唯一解；三个平面中至少两个平行则方程无解；平面的两两交线互相平行方程也无解；三个平面交于一条直线则方程有无穷多解。
如果改变等号右侧的b 的数值，那么对于行图像而言三个平面都改变了，而对于列图像而言，三个向量并没有发生变化，只是需要寻找一个新的组合。
那么问题来了，是否对于所有的b，方程Ax=b 都有解？
从列图像上看，问题转化为“列向量的线性组合是否覆盖整个三维空间？”
反例：若三个向量在同一平面内——比如“列3”恰好等于“1”加“列2”，而若b 不在该平面内，则三个列向量无论怎么组合也得不到平面外的向量b。此时矩阵A 为奇异阵或称不可逆矩阵，因为A的列向量是线性相关的。在矩阵A 不可逆条件下，不是所有的b 都能令方程Ax=b 有解。（线性相关性，可逆矩阵，奇异矩阵之后的章节会介绍）
对n 维情形则是，n 个列向量如果相互独立——“线性无关”，则方程组有解。否则这n 个列向量起不到n 个的作用（即A的列向量是线性相关的），其线性组合无法充满n 维空间，方程组未必有解。
4、矩阵与向量的乘法
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已知X=AX+B,其中A=0 1 0 -1 1 1 -1 0 -1,B=1 -1 2 0 5 -3,求矩阵X线性代数题目
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X=AX+BX-AX=B即(E-A)X=B故X=E/(E-A) * B 这里 E/Y表示 Y的逆阵.计算过程略.请谅.
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即等于X简单来说就是（A,B）进行
行变换（F，此时的右边就是X因为AX=B,B）→[AA^(-1),B）左边部分变成单位矩阵，使得（A,则X=BA^(-1)【X等于B乘以A的逆】将(A,X）,BA^(-1) ]→（F：此时F是单位矩阵，F=AA^(-1) 即变换过程相当于右乘了A的逆
解决方案2：
//h.hiphotos.hiphotos://h.com/zhidao/pic/item/1ad5ad6eddc451daee595a88b0fd://h.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="http.jpg" esrc="/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=86b6dbcaaf014cf4b2e3e/1ad5ad6eddc451daee595a88b0fd.baidu.hiphotos.baidu.baidu>> 温馨提示:您还可以点击下面分页查看更多相关内容 <<<
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线性代数2-4(习题课)
第二章 矩阵及其运算 习题课1. 2. 3. 4. 本章基本内容 常见习题类型 综合例题 课堂练习 1.本章基本内容 1.本章基本内容矩阵运算 常用算律 几类特殊矩阵的运算 几类特殊矩阵的运算 方阵可逆的判定及求逆 矩阵分块的思想方法 矩阵的几种运算(1)加减法 (1)加减法 (2)数乘 (2)数
乘 (3)矩阵乘法 (3)矩阵乘法(aij )m×n ± (bij )m×n = (aij ± bij )m×nλ (aij )m×n = (λ aij )m×n(aij )m× s (bij ) s×n = (cij )m×n , 其中 cij = ai 1b1 j + ai 2 b2 j + L + ais bsj( a ij )m× nT = ( bij )n× m , 其中 bij = a ji(4)转置 (4)转置(5)方阵特有的运算 (5)方阵特有的运算Ak , k ∈ Z ;? ( A) = a0 E + a1 A + a2 A2 + L + a m A A* = ( Aij )T ; A ;一定条件下) A ?1 . (一定条件下) 常用算律(1) (λA)T = λAT ; (2) ( AB )T = B T AT ;(λA)?1 = 1 A?1;λλA = λn A ;?1( AB )?1=B A ;?1AB = A B = BA ;Ak = A ;k是任意方阵， (3) 设A是任意方阵，则 AA* = A* A = A E ; 若A是可逆阵，则 A* = A A ?1 ; 是可逆阵，A* = An ?1;( A* ) ?1 = ( A ?1 ) * ; ( AT ) ?1 = ( A ?1 )T ;注意(1)一般情况下， (1)一般情况下，AB ≠ BA ，从而 一般情况下( A + B) ≠ A + 2 AB + B ; ( A + B)( A ? B ) ≠ A 2 ? B 2 ;2 2 2( AB )k≠ Ak B(2) ( A + B ) ?1 ≠ A ?1 + B ?1 ;A± B ≠ A ± B .(3) 方阵 A = B时，A = B ；反之不对 . 几类特殊矩阵的运算? λ1 (1)对角阵 (1)对角阵 ? ? ? ? ? ?? λ1 ? ? 若Λ = ? ? ? ? ?λ2? ? ?1 ?? ?? ?? O ?? ? λn ? ? ??2? ? λ1 ?1 ? ? ?=? ? ? O ? ? ? ?n ? ? ?λ2 ? 2? ? ? ? O ? ? λn ? n ?λ2k ? λ1 ? ? ? ? ? ? , 则Λk = ? ? ? O ? ? ? ? ? λn ? ?λk 2? ? ? (λ1 ) ? ? ? ? ? ? ? ? (λ 2 ) ? ?. , ? (Λ) = ? ? ? ? O O ? ? ? ? ? ? ? ? (λ n ) ? λk ? ? n?1? λ1 ? ? λ1λ2 L λn ≠ 0时, ? ? ? ? ?λ2? ? ? ? ? O ? ? λn ??1 / λ1 ? ? ? ? ? 1 / λ2 ?. =? ? ? O ? ? ? ? 1 / λn ? ? 几类特殊矩阵的运算(2)A=PΛ (2)A=PΛP-1时A k = P Λ k P ?1? λ1k ? = P? ? ? ? ?λ2k? ? ? P ?1 ; ? O ? k ? λn ?? ( A) = P? ( Λ ) P ?1? ? (λ1 ) ? ? ? ? ( λ2 ) ? P ?1 . = P? ? ? O ? ? ? ? ? ( λn ) ? ? (3) 主对角分块对角阵? A1 ? ? ? ? ? ?? A1 ? ? 若A = ? ? ? ? ?A2? ? B1 ?? ?? ?? O ?? ? As ? ? ?B2? ? A1 B1 ? ? ?=? ? ? O ? ? ? ? Bs ? ?? ? ? ? ?; O ? ? Ask ? ??1A2 B2? ? ? ; ? O ? ? As Bs ?A2? A1k ? ? ? ? ? ? , 则A k = ? ? ? O ? ? ? ? ? As ? ?k A2A = A1 A2 L A? A1 ? A1 A2 L An ≠ 0 时, ? ? ? ? ?A2? A1?1 ? ? ? ? =? ? ? O ? ? ? ? As ? ?? A2 1? ? ? ; ? O ? ?1 ? As ? (4) 次对角分块对角阵? ? ? A1 A2 L An ≠ 0 时, ? ? ? ? ? As A1 ? ? ? ? ? ? ? ??1A2 N? ? ? ? = .? ? ? ?1 ?A ? 1? A2 1As?1 ? ? ? N ? ?; ? ? ? ?(5) 4块的分块下三角阵An×n , Bs×s? A O? ? 可逆，且 均可逆时， 均可逆时，? ? C B ? 可逆， ? ?? A O? ? ? C B? ??1? A?1 = ? ?1 ?1 ? ? B CAO ? . ?1 ? B ? 方阵可逆的判定及求逆可逆时， 定理2 方阵A 定理2 方阵A可逆 ? A ≠ 0 ; A可逆时，A 推论?11 = A *. AAB = E , 或 BA = E , 均有 A可逆，且 A ?1 = B. 可逆，矩阵分块的思想方法通过分块将高阶矩阵的运算转化为两重低阶矩阵的运算. (1) 通过分块将高阶矩阵的运算转化为两重低阶矩阵的运算. 最后将 第二重运算的结果写入第一重运算所得形式矩阵的相应位置时,只写元素! 第二重运算的结果写入第一重运算所得形式矩阵的相应位置时,只写元素! 特殊分块阵的性质要熟悉. (2) 特殊分块阵的性质要熟悉. 解题时要有意识地使用分块法来简化计算. (3) 解题时要有意识地使用分块法来简化计算. 2. 常见习题类型是非判断题: 考察基本概念、运算律等； 是非判断题: 考察基本概念、运算律等； 矩阵的基本计算: 矩阵的基本计算: 具体矩阵的基本运算――注意通过算律的使用降低运算量，必要时 注意通过算律的使用降低运算量， (1) 具体矩阵的基本运算 注意通过算律的使用降低运算量 使用分块法简化计算； 使用分块法简化计算； 求抽象方阵的行列式的值. (2) 求抽象方阵的行列式的值. 求解矩阵方程 先化为如下标准方程形式之一 求解矩阵方程: 先化为如下标准方程形式之一 矩阵方程: 其中A可逆, (1) AX=B, 其中A可逆, 则X=A-1B; 其中A可逆, (2) XA=B, 其中A可逆, 则X=BA-1; 其中A,B都可逆, A,B都可逆 (3) AXB=C, 其中A,B都可逆, 则X=A-1CB-1. 证明题： 证明题： (1)关于对称阵的概念的; (1)关于对称阵的概念的; 关于对称阵的概念的 (3)关于方阵行列式的值的; (3)关于方阵行列式的值的; 关于方阵行列式的值的 (2)关于方阵可逆的判定(及求逆) (2)关于方阵可逆的判定(及求逆)的; 关于方阵可逆的判定 (4)与伴随矩阵相关的. (4)与伴随矩阵相关的. 与伴随矩阵相关的 3.综合例题 3.综合例题例2.1 判断下列命题的正误，并说明理由或举出反例: 判断下列命题的正误，并说明理由或举出反例: 阶方阵, A, B 是n阶方阵,且 AB = O , 则 (1) BA = O ; (2) A = O 或 B = O ; (3) 若 A ≠ O 则 B = O ; (4) A = 0 或 B = 0 ; (5) 若 A ≠ 0 , 则 B = O .× × × √ √矩阵乘法的消去律： 矩阵乘法的消去律： 若AB=AC,且A可逆,则B=C; AB=AC,且 可逆, 若BA=CA,且A可逆,则B=C. BA=CA,且 可逆,? 1 ?1? ?1 1? ?1 1? ? 满足 ? ?, B=? 分析: 分析:(1) A = ? ≠ O. AB = O , 但 BA = ? ? ?1 1 ? ? 0 0? ? ? 1 ? 1? ? ? ? ? ? ?(2)(3)上例中的A,B都不是零矩阵. (2)(3)上例中的A,B都不是零矩阵. (4) Q AB = O, ∴ AB = 0, 上例中的A,B都不是零矩阵 (5)在AB=O的两端左乘 -1即得结论. 的两端左乘A ∴ A B = 0, ∴ A = 0 或 B = 0 . (5)在AB=O的两端左乘A 即得结论. ?a 例2.2 设 A = ? ?1 ?1? ?0 ?, B = ? ?1 b? ? ?1? ? 使 ( A + B )( A ? B ) = A 2 ? B 2 成立, 成立, 0? ?问参数a,b应满足什么条件? 问参数a,b应满足什么条件? a,b应满足什么条件 解:由分配律知 ( A + B )( A ? B ) = A 2 ? AB + BA ? B 2 故要使 ( A + B )( A ? B ) = A 2 ? B 2 , 应有 AB = BA.事实上, 事实上,? a 1 ?? 0 1 ? ? 1 ?? ?= ? AB = ? ? 1 b ?? 1 0 ? ? b ? ?? ? ?? 0 1 ?? a 1 ? ? 1 ?? ?=? BA = ? ? 1 0 ?? 1 b ? ? a ? ?? ? ?a? ?, 1? ?b? ?, 1? ?可见,AB=BA只 可见,AB=BA只 在特殊条件下成立, 在特殊条件下成立 , 即矩阵的乘法没有 交换律! 交换律!的对应元素相等, 令 AB, BA 的对应元素相等,得 a = b. 例2.3 已知 α = (1 2? 3 )T , β = ? 1 ?1 21? , 求 (αβ T )10 . ? 3?T解: 注意到 αβT?1? ? ? ? 1 = ? 2 ??1 ? ?? 2 ? 3? ? ?? ?1 ? 1? ? ?= ? 2 3? ? ?3 ?1 2 1 3 21? ? 3? 2? , β T α = ?1 ? 3? ? ? 1? ?1 2?1? ? ? 1 ?? ? ? 2 = 3. 3 ?? ? ? 3? ? ?从而 (αβ T )10 = (αβ T )(αβ T ) L (αβ T ) = α ( β T α )( β T α ) L ( β T α ) β T1 4 4 4 24 4 4 310 组1 4 4 4 24 4 44 4 39组?1? ? ? ? 2 ?39 ?1 1 = ? ? ? ? 2 ? 3? ? ?? ?1 ? 1? ? = 39 ? 2 ? 3? ? ?3 ?1 2 1 3 21 3 2 3? ? ? ? ? ? 1? ? ?1 ? ?0 例2.4 已知 A = ? ?0 ? ? ?0?1 ? ?0 A=? ?0 ? ? ?0 1 1 0 0 0 1 1 01 1 0 00 1 1 00? ? P55第 题与此题类似. P55第7题与此题类似. 0? ? , 求 A 2 , A3 , A n . 1? ? 此矩阵记为B. 此矩阵记为B. ? 1?0 1 0 0 0 0 1 0 0? ?0 ? ? 0? ?0 ?+? 0? ?0 ? ? ? ? 1? ?0 1 0 0 0 0 1 0 0 0? ? 0? ? ?=E + B 1? ? ? 0?解:0? ?1 ? ? 0? ?0 ?=? 1? ?0 ? ? ? ? 1? ?0由于E 由于E与B是可交换的，故 是可交换的，A 2 = ( E + B) 2 = E + 2 B + B 2 ,A3 = ( E + B ) 3 = E + 3B + 3B 2 + B 3 ,1 2 3 n A n = ( E + B) n = E + C n B + Cn B 2 + C n B 3 + L + Cn B n于是，原问题化为求更特殊的方阵的乘幂： 于是，原问题化为求更特殊的方阵的乘幂： B , B , L , B .23n 例2.4 解续1 解续1?0 ? 2 ?0 B = ?0 ? ?0 ?1 0 0 00 1 0 00 0 0 020?? 0 ?? 0?? 0 1??0 ?? ?? 0?? 01 0 0 01 0 0 00 1 0 01 0 0 00? ?0 ? ? 0? ?0 = 1? ?0 ? ? ? ? 0? ?00 1 0 00 0 0 01 0 0 0?0 ? ?0 ?0 ? ?0 ?0? ? 1? 0? ? ? 0?0 0 1? ? 0? 0? ? ? 0??0 ? 3 2 ?0 B = B B = ?0 ? ?0 ?4 20??0 ?? 1??0 0??0 ?? ?? 0??00? ? 0? = ? 1 ? ? 0?0 0 00 0 0?O E ??O E ? ?O O? B =B B =? ?? ?=? ?=O ?O O ??O O ? ?O O?∴ B5 = B6 = L = B n = O.1 2 3 ∴ An = E + C n B + C n B 2 + C n B 3 + O . 例2.4 解续2 解续2?1 ? 2 ?0 A = ?0 ? ?0 ?0 1 0 00 0 1 00? ?0 ? ? 0? ?0 +2 ? ?0 0 ? ? ? ? 1? ?01 0 0 00 1 0 00? ? 0 ? ? 0? ? 0 + ? ?0 1 ? ? ? 0? ? 0 ?0 0 0 01 0 0 00? ?1 ? ? 1? ?0 = 0? ?0 ? ? ? ? 0? ?02 1 0 001 2 1 000? ? 1? 2? ? ? 1?1? ? 0? 0? ? ? 0??1 ? 3 ?0 A = ?0 ? ?0 ?001 0 0 ?1 ? ?0 = ?0 ? ?0 ?0 1 0 3 1 0 00? ?0 ? ? 0? ?0 +3 ? ?0 0 ? ? ? ?0 1? ?100 0 01 0 00? ?0 ? ? 0? ?0 +3 ? ?0 1 ? ? ? ?0 0? ?010 0 00 0 00? ?0 ? ? 1? ?0 + ? ?0 0 ? ? ? 0? ? 0 ?0 0 00 0 03 3 1 01? ? 3? 3? ? ? 1? 例2.4 解续2 解续2?1 ? n ?0 A = ?0 ? ?0 ?0 0 0? ?0 ? ? 1 0 0? 1 ?0 + Cn ?0 0 1 0? ? ? ? ? 0 0 1? ?01 0 0? ?0 ? ? 0 1 0? 2 ?0 + Cn ?0 0 0 1? ? ? ? ? 0 0 0? ?00 1 0? ?0 ? ? 0 0 1? 3 ?0 + Cn ?0 0 0 0? ? ? ? ? 0 0 0? ?00 0 1? ? 0 0 0? 0 0 0? ? ? 0 0 0?1 2 3 ? 1 Cn Cn Cn ? ? 1 2? 0 1 Cn Cn ? =? 1 ? 0 0 1 Cn ? ? ?0 0 0 1 ? ? ? ? 例2.5 设 α 1 , α 2 是两个2维列向量, 是两个2维列向量,A = (2α1 + α 2 , α1 ? α 2 ) , B = (α1 , α 2 ), A = 6,求 解法1 解法1B.A = (2α 1 + α 2 , α 1 ? α 2 )c1 + c2 c2 ? c1 = (3α1 , α1 ? α 2 ) = 3 (α1 , α1 ? α 2 ) = 3 (α1 , ?α 2 )= ?3 (α1 , α 2 ) = ?3 B = 6∴ B = ?2.解法2 解法2?2 1 ? ?2 1 ? A = (2α 1 + α 2 , α 1 ? α 2 ) = (α 1 , α 2 ) ? ? = B? ? 1 ?1 ? 1 ?1 ? ? ? 2 1 ∴ A= B = ?3 B = 6 ∴ B = ?2. 1 ?1 例2.6 设A3× 3 = 3 , B3× 3 = 2 , 求 (1) AB + A * + 2 B ?1 ;1 (2) ( A)?1 ? 4 A * . 9解:(1)A =3 , B =2 ,?1由方阵行列式的性质知 由方阵行列式的性质知3 ?1AB + A * + 2 B= A B+ A2+ 2 3 B ?1?1= A B + A + 23 B(2)的方法1 (2)的方法1 的方法= 19.1 1 A* = A*, QA = A 3?11 1 ?1 ?1 ∴ ( A) ? 4 A * = 9 A ? 4 A * = 9 × A * ?4 A * = ? A * 3 9= ( ?1) A33 ?1= ?9. 例2.6 设A3× 3 = 3 , B3× 3 = 2 , 求 (1) AB + A * + 2 B ?1 ;1 ?1 (2) ( A) ? 4 A * . 9解: (2)的方法2 (2)的方法2 的方法Q A* = A A?1 = 3 A?1 ,1 ?1 ∴ ( A) ? 4 A * = 9 A?1 ? 4 A * = 9 A?1 ? 12 A?1 = ?3 A?1 9= ( ?3) A3?1= ?9. ?3 ? 例2.7 已知 A = ? 0 ? ?0 ??1 4? ? 1 5 ? , 求 (1) A * ; ( 2) ( A*) * ; (3) ( A*) ?1 . ? 0 1? ?解:A = 3.故3 ?1(1) A * = A= 9;3 ?1( 2) ( A*) * = A *= 9 2 = 81;(3) ( A*) ?1 = ( A A ?1 ) ?1 = (3 A ?1 ) ?1?1 1 1 ? ? ? 例2.8 已知 A ?1 = ?1 2 1 ? , 求 ( A*) ?1 . ? ? ?1 1 3 ? * ? ? ? 5 ? 2 ? 1? ?1 1 1 ? ? ? ? ? ?1 ?1 0 ?. 因为A可逆， 解: 因为A可逆，从而 ( A*) = ( A )* = ?1 2 1 ? = ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ?1 0 ?1 1 3 ? 1? ? ? ? ??3 ? 1? 1 0 = A= ? 3 3 ?0 ??1 4? ? 1 5?. ? 0 1? ? 例2.9 已知方阵A满足 A3 ? 2 A 2 + 3 A ? 4 E = O ,证明A-E可逆,并用A的 已知方阵A 证明A 可逆,并用A 多项式表示(A多项式表示(A-E)-1. (A 解及证： 解及证：由已知得 ( A3 ? A 2 ) ? ( A 2 ? A) + (2 A ? 2 E ) = 2 E∴ A 2 ( A ? E ) ? A( A ? E ) + 2 ( A ? E ) = 2 E∴ ( A 2 ? A + 2 E )( A ? E ) = 2 E1 ∴ [ ( A 2 ? A + 2 E )]( A ? E ) = E 2于是,方阵A 可逆, 于是,方阵A-E可逆,且( A ? E ) ?1 = 1 2 ( A ? A + 2 E ). 2 ?3 1 2 ? ? 0 ?1 2 ? ? ? ? ? 例2.10 设 A = ? 2 4 ? 1? , B = ? 1 3 ? 1? , AXA + BXB = AXB + BXA + E , 求 X . ? ? ? ? ?1 2 2 ? ?1 2 1 ? ? ? ? ?解: 原矩阵方程可化为 提取公因子得 再提公因子得( AXA ? BXA) ? ( AXB ? BXB ) = E( A ? B ) XA ? ( A ? B ) XB = E( A ? B) X ( A ? B) = E∴ ( A ? B ) ?1∴ X = [( A ? B ) ?1 ] 2 .? 1 ?2 0 ? ? ? = ??1 3 0 ? , ? ? ? 0 0 ?1? ? ?0? ? 0?. ? 1? ?其中?3 2 0 ? ? ? A ? B = ?1 1 0 ?, ? ? ? 0 0 ? 1? ? ?? 1 ? 2 0 ?? 1 ? 2 0 ? ? ?? ? ∴ X = ? ?1 3 0 ? ? ?1 3 0?= ? ?? ? ?0 0 ? 1? ? 0 0 ? 1? ? ?? ?? 3 ?8 ? ? ?? 4 11 ?0 0 ? 例2.11 证明: A 2 = B 2 = E , A + B = 0 , 则 A + B = 0 . 证明: 证明: 证明: 由已知得A A + B = A( A + B ) = A 2 + AB = E + ABB A + B = A + B B = AB + B 2 = AB + E = E + AB于是A A+ B = B A+ B = ? A A+ B 2 A A+ B = 02从而 又因为 A = E ,所以 再由(1)式知, 再由(1)式知,必有 (1)式知(1)A = A2 = E = 12∴ A ≠ 0.证毕. 证毕.A + B = 0. 例2.12 证明：任何方阵都可以写成一个对称阵与一个反对称阵之和. 证明：任何方阵都可以写成一个对称阵与一个反对称阵之和. 类比: 类比: 定义在对称区间上的任意函数都可写成偶函数与奇函数之和1 1 f ( x) = [ f ( x) + f (? x)] + [ f ( x) ? f (? x)]. 2 2证明: 是任意方阵, 证明: 设A是任意方阵,则显然有A=1 1 ( A + AT ) + ( A ? AT ) 2 2(1)1 1 1 1 其中 [ ( A + AT )]T = ( A + AT ) T = ( AT + A) = ( A + AT ). 2 2 2 2 1 1 1 1 [ ( A ? AT )]T = ( A ? AT ) T = ( AT ? A) = ? ( A ? AT ). 2 2 2 2从而,(1)式右端是一个对称阵与一个反对称阵之和. 从而,(1)式右端是一个对称阵与一个反对称阵之和. ,(1)式右端是一个对称阵与一个反对称阵之和 证毕. 证毕. 4. 课堂练习?0 1 0? ?1 0 0? ?1 ? ? ? ? ? 练习2.1 练习2.1 求解矩阵方程 ? 1 0 0 ? X ? 0 0 1 ? = ? 2 ? ? ? ? ? ?0 0 1? ?0 1 0? ?1 ? ? ? ? ? ?4 0 ?2 3? ? ? 1? . ? 0 ? ?将原方程记为AXB=C, 解: 将原方程记为AXB=C, 则A ?1?0 1 0? ? ? = ?1 0 0? ? ? ?0 0 1? ? ??1?0 1 0? ? ? = ?1 0 0? ? ? ?0 0 1? ? ?B ?1?1 ?1 1 0 0? ? ? ? ? ? = ?0 0 1? = ? 0 ? ? ?0 ?0 1 0? ? ? ?0? ? 0 1? ? 1 0? ? 0? 0 1 0 ?? 1 ? 4 3 ?? 1 0 0 ? ? 2 0 ?1?? 1 0 0 ? ?2 ?1 0 ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? X = A?1CB?1 = ? 1 0 0 ?? 2 0 ?1?? 0 0 1 ? = ? 1 ? 4 3 ?? 0 0 1 ? = ?1 3 ?4? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? 0 0 1 ?? 1 ? 2 0 ?? 0 1 0 ? ? 1 ? 2 0 ?? 0 1 0 ? ?1 0 ?2? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? 练习2.2 练习2.2 (1) 设A,A+B都可逆,证明E+A-1B也可逆,并求其逆阵. A,A+B都可逆 证明E+A 也可逆,并求其逆阵. 都可逆, (2)设 可逆, (2)设A可逆,证明 ( AT )* = ( A*)T . 证明: 证明:(1) E + A ?1 B = A ?1 A + A ?1 B = A ?1 ( A + B )∴ ( E + A ?1 B) ?1 = [ A ?1 ( A + B)]?1 = ( A + B ) ?1 A.(2) A可逆,故AT可逆,从而 可逆, 可逆,T ?1 T ?1 T ( AT )* = AT ( AT ) ?1 = A ( A ) = ( A A ) = ( A*) .证毕. 证毕. 本次课基本要求本次课基本要求 1.进一步熟悉本章基本知识点； 进一步熟悉本章基本知识点； 抓习题特点、 2.重新研读本次课的综合例题――抓习题特点、找解题规律； 重新研读本次课的综合例题 抓习题特点 找解题规律； 3.解决本章以往作业中没完成或完成得不理想的个别习题. 解决本章以往作业中没完成或完成得不理想的个别习题. 学习数学的几层境界 通过预习、 1.学懂――通过预习、听课对基本内容“知其然” ; 学懂 通过预习 听课对基本内容“知其然” 通过复习、 2.学会――通过复习、解题进而“知其所以然” ; 学会 通过复习 解题进而“知其所以然” 通过思考、 3.学好――通过思考、总结将知识“融会贯通” ； 学好 通过思考 总结将知识“融会贯通” 借助数学知识、 4.会用――借助数学知识、思想、方法、工具发现问题、建模、求解； 会用 借助数学知识 思想、方法、工具发现问题、建模、求解； 5.审美――领悟数学之美，享受学习的快乐！ 审美 领悟数学之美，享受学习的快乐！ 领悟数学之美
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线性代数（6）
本人机器学习小白一枚，目前认识到数学对于理解算法和应用算法到特定的数据集上太重要了。很喜欢MIT的线性代数课程，以MIT课程的内容为主，做一些学习总结。旨在于总结自己学过的知识、受到的启发、加强自己的逻辑性和对内容的理解。非常感谢网络上大牛们的MIT线性代数导论笔记，文末是链接。
1、线性方程
包含未知数x1,x2,...,xn的一个线性方程是形如a1x1+a2x2+...+anxn=b的方程，其中b与系数a1,a2,...,an是实数或复数，通常是已知数。下标n是任意正整数，实际问题中通常是几百，几千或更大。
注：4x1-5x2=x1x2和x2=2x1--√-6都不是线性方程，因为包含x1x2和x1--√。
2、线性方程组
线性方程组是由一个或几个包含相同变量x1,x2,...,xn的线性方程组成的。方程组所有可能的解的集合称为线性方程组的解集。两个线性方程组是等价的，当它们有相同的解集。
3、线性代数的基本问题就是解n个线性方程，n个未知数的方程组。
例如：包含两个未知数的两个方程组成的方程组
求包含两个未知数的两个方程组成的方程组的解，等价于求两条直线的交点。当然两条直线不一定交于一个点，它们可能平行，也可能重合，重合的两条直线上的每个点都是交点。
线性方程组的解有三种情况：无解、有唯一解、有无穷多解。
分别对应下图
线性方程组的几何图像有两种，分别是行图像和列图像。上面的图像是行图像，而需要重点理解的是列图像。下面仔细解释下两种图像。
首先，将上述方程组写成矩阵形式，即把每一个变量的系数写在对齐的一列中，就是
其中A=被称为系数矩阵（coefficient matrix）。未知数向量通常记为x=，而等号右侧的向量记为b。线性方程组简记为Ax=b，A和b通常是已知数。
行图像：一次取线性方程组的一行，也就是一个方程组，作图于xy平面。
列图像：在列图像中，我们将系数矩阵A写成列向量的形式，寻找列向量的线性组合（linear combination）系数x，y来构成向量b。
向量线性组合是贯穿本课程的重要概念。对于给定的向量c 和d 以及系数x和y，我们将xc+yd称之为c 和d 的一个线性组合。
从几何上讲，我们是寻找x 和y，使得两者分别数乘对应的列向量之后相加得到向量。其几何图像如下图。
想象一下如果任意取x,y，则得到的线性组合又是什么？其结果就是以上两个列向量的所有线性组合将会布满整个坐标平面。
下面扩展到包含三个未知数的三个方程组成的方程组。
每一个方程都是三维空间内的一个平面，方程组的解为三个平面的交点。从行图像的角度来看，三元方程组是否有解意味着什么？当方程所代表的三个平面相交于一点时方程有唯一解；三个平面中至少两个平行则方程无解；平面的两两交线互相平行方程也无解；三个平面交于一条直线则方程有无穷多解。
如果改变等号右侧的b 的数值，那么对于行图像而言三个平面都改变了，而对于列图像而言，三个向量并没有发生变化，只是需要寻找一个新的组合。
那么问题来了，是否对于所有的b，方程Ax=b 都有解？
从列图像上看，问题转化为“列向量的线性组合是否覆盖整个三维空间？”
反例：若三个向量在同一平面内——比如“列3”恰好等于“1”加“列2”，而若b 不在该平面内，则三个列向量无论怎么组合也得不到平面外的向量b。此时矩阵A 为奇异阵或称不可逆矩阵，因为A的列向量是线性相关的。在矩阵A 不可逆条件下，不是所有的b 都能令方程Ax=b 有解。（线性相关性，可逆矩阵，奇异矩阵之后的章节会介绍）
对n 维情形则是，n 个列向量如果相互独立——“线性无关”，则方程组有解。否则这n 个列向量起不到n 个的作用（即A的列向量是线性相关的），其线性组合无法充满n 维空间，方程组未必有解。
4、矩阵与向量的乘法
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已知X=AX+B,其中A=0 1 0 -1 1 1 -1 0 -1,B=1 -1 2 0 5 -3,求矩阵X线性代数题目
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X=AX+BX-AX=B即(E-A)X=B故X=E/(E-A) * B 这里 E/Y表示 Y的逆阵.计算过程略.请谅.
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即等于X简单来说就是（A,B）进行
行变换（F，此时的右边就是X因为AX=B,B）→[AA^(-1),B）左边部分变成单位矩阵，使得（A,则X=BA^(-1)【X等于B乘以A的逆】将(A,X）,BA^(-1) ]→（F：此时F是单位矩阵，F=AA^(-1) 即变换过程相当于右乘了A的逆
解决方案2：
//h.hiphotos.hiphotos://h.com/zhidao/pic/item/1ad5ad6eddc451daee595a88b0fd://h.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="http.jpg" esrc="/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=86b6dbcaaf014cf4b2e3e/1ad5ad6eddc451daee595a88b0fd.baidu.hiphotos.baidu.baidu>> 温馨提示:您还可以点击下面分页查看更多相关内容 <<<
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线性代数2-4(习题课)
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乘 (3)矩阵乘法 (3)矩阵乘法(aij )m×n ± (bij )m×n = (aij ± bij )m×nλ (aij )m×n = (λ aij )m×n(aij )m× s (bij ) s×n = (cij )m×n , 其中 cij = ai 1b1 j + ai 2 b2 j + L + ais bsj( a ij )m× nT = ( bij )n× m , 其中 bij = a ji(4)转置 (4)转置(5)方阵特有的运算 (5)方阵特有的运算Ak , k ∈ Z ;? ( A) = a0 E + a1 A + a2 A2 + L + a m A A* = ( Aij )T ; A ;一定条件下) A ?1 . (一定条件下) 常用算律(1) (λA)T = λAT ; (2) ( AB )T = B T AT ;(λA)?1 = 1 A?1;λλA = λn A ;?1( AB )?1=B A ;?1AB = A B = BA ;Ak = A ;k是任意方阵， (3) 设A是任意方阵，则 AA* = A* A = A E ; 若A是可逆阵，则 A* = A A ?1 ; 是可逆阵，A* = An ?1;( A* ) ?1 = ( A ?1 ) * ; ( AT ) ?1 = ( A ?1 )T ;注意(1)一般情况下， (1)一般情况下，AB ≠ BA ，从而 一般情况下( A + B) ≠ A + 2 AB + B ; ( A + B)( A ? B ) ≠ A 2 ? B 2 ;2 2 2( AB )k≠ Ak B(2) ( A + B ) ?1 ≠ A ?1 + B ?1 ;A± B ≠ A ± B .(3) 方阵 A = B时，A = B ；反之不对 . 几类特殊矩阵的运算? λ1 (1)对角阵 (1)对角阵 ? ? ? ? ? ?? λ1 ? ? 若Λ = ? ? ? ? ?λ2? ? ?1 ?? ?? ?? O ?? ? λn ? ? ??2? ? λ1 ?1 ? ? ?=? ? ? O ? ? ? ?n ? ? ?λ2 ? 2? ? ? ? O ? ? λn ? n ?λ2k ? λ1 ? ? ? ? ? ? , 则Λk = ? ? ? O ? ? ? ? ? λn ? ?λk 2? ? ? (λ1 ) ? ? ? ? ? ? ? ? (λ 2 ) ? ?. , ? (Λ) = ? ? ? ? O O ? ? ? ? ? ? ? ? (λ n ) ? λk ? ? n?1? λ1 ? ? λ1λ2 L λn ≠ 0时, ? ? ? ? ?λ2? ? ? ? ? O ? ? λn ??1 / λ1 ? ? ? ? ? 1 / λ2 ?. =? ? ? O ? ? ? ? 1 / λn ? ? 几类特殊矩阵的运算(2)A=PΛ (2)A=PΛP-1时A k = P Λ k P ?1? λ1k ? = P? ? ? ? ?λ2k? ? ? P ?1 ; ? O ? k ? λn ?? ( A) = P? ( Λ ) P ?1? ? (λ1 ) ? ? ? ? ( λ2 ) ? P ?1 . = P? ? ? O ? ? ? ? ? ( λn ) ? ? (3) 主对角分块对角阵? A1 ? ? ? ? ? ?? A1 ? ? 若A = ? ? ? ? ?A2? ? B1 ?? ?? ?? O ?? ? As ? ? ?B2? ? A1 B1 ? ? ?=? ? ? O ? ? ? ? Bs ? ?? ? ? ? ?; O ? ? Ask ? ??1A2 B2? ? ? ; ? O ? ? As Bs ?A2? A1k ? ? ? ? ? ? , 则A k = ? ? ? O ? ? ? ? ? As ? ?k A2A = A1 A2 L A? A1 ? A1 A2 L An ≠ 0 时, ? ? ? ? ?A2? A1?1 ? ? ? ? =? ? ? O ? ? ? ? As ? ?? A2 1? ? ? ; ? O ? ?1 ? As ? (4) 次对角分块对角阵? ? ? A1 A2 L An ≠ 0 时, ? ? ? ? ? As A1 ? ? ? ? ? ? ? ??1A2 N? ? ? ? = .? ? ? ?1 ?A ? 1? A2 1As?1 ? ? ? N ? ?; ? ? ? ?(5) 4块的分块下三角阵An×n , Bs×s? A O? ? 可逆，且 均可逆时， 均可逆时，? ? C B ? 可逆， ? ?? A O? ? ? C B? ??1? A?1 = ? ?1 ?1 ? ? B CAO ? . ?1 ? B ? 方阵可逆的判定及求逆可逆时， 定理2 方阵A 定理2 方阵A可逆 ? A ≠ 0 ; A可逆时，A 推论?11 = A *. AAB = E , 或 BA = E , 均有 A可逆，且 A ?1 = B. 可逆，矩阵分块的思想方法通过分块将高阶矩阵的运算转化为两重低阶矩阵的运算. (1) 通过分块将高阶矩阵的运算转化为两重低阶矩阵的运算. 最后将 第二重运算的结果写入第一重运算所得形式矩阵的相应位置时,只写元素! 第二重运算的结果写入第一重运算所得形式矩阵的相应位置时,只写元素! 特殊分块阵的性质要熟悉. (2) 特殊分块阵的性质要熟悉. 解题时要有意识地使用分块法来简化计算. (3) 解题时要有意识地使用分块法来简化计算. 2. 常见习题类型是非判断题: 考察基本概念、运算律等； 是非判断题: 考察基本概念、运算律等； 矩阵的基本计算: 矩阵的基本计算: 具体矩阵的基本运算――注意通过算律的使用降低运算量，必要时 注意通过算律的使用降低运算量， (1) 具体矩阵的基本运算 注意通过算律的使用降低运算量 使用分块法简化计算； 使用分块法简化计算； 求抽象方阵的行列式的值. (2) 求抽象方阵的行列式的值. 求解矩阵方程 先化为如下标准方程形式之一 求解矩阵方程: 先化为如下标准方程形式之一 矩阵方程: 其中A可逆, (1) AX=B, 其中A可逆, 则X=A-1B; 其中A可逆, (2) XA=B, 其中A可逆, 则X=BA-1; 其中A,B都可逆, A,B都可逆 (3) AXB=C, 其中A,B都可逆, 则X=A-1CB-1. 证明题： 证明题： (1)关于对称阵的概念的; (1)关于对称阵的概念的; 关于对称阵的概念的 (3)关于方阵行列式的值的; (3)关于方阵行列式的值的; 关于方阵行列式的值的 (2)关于方阵可逆的判定(及求逆) (2)关于方阵可逆的判定(及求逆)的; 关于方阵可逆的判定 (4)与伴随矩阵相关的. (4)与伴随矩阵相关的. 与伴随矩阵相关的 3.综合例题 3.综合例题例2.1 判断下列命题的正误，并说明理由或举出反例: 判断下列命题的正误，并说明理由或举出反例: 阶方阵, A, B 是n阶方阵,且 AB = O , 则 (1) BA = O ; (2) A = O 或 B = O ; (3) 若 A ≠ O 则 B = O ; (4) A = 0 或 B = 0 ; (5) 若 A ≠ 0 , 则 B = O .× × × √ √矩阵乘法的消去律： 矩阵乘法的消去律： 若AB=AC,且A可逆,则B=C; AB=AC,且 可逆, 若BA=CA,且A可逆,则B=C. BA=CA,且 可逆,? 1 ?1? ?1 1? ?1 1? ? 满足 ? ?, B=? 分析: 分析:(1) A = ? ≠ O. AB = O , 但 BA = ? ? ?1 1 ? ? 0 0? ? ? 1 ? 1? ? ? ? ? ? ?(2)(3)上例中的A,B都不是零矩阵. (2)(3)上例中的A,B都不是零矩阵. (4) Q AB = O, ∴ AB = 0, 上例中的A,B都不是零矩阵 (5)在AB=O的两端左乘 -1即得结论. 的两端左乘A ∴ A B = 0, ∴ A = 0 或 B = 0 . (5)在AB=O的两端左乘A 即得结论. ?a 例2.2 设 A = ? ?1 ?1? ?0 ?, B = ? ?1 b? ? ?1? ? 使 ( A + B )( A ? B ) = A 2 ? B 2 成立, 成立, 0? ?问参数a,b应满足什么条件? 问参数a,b应满足什么条件? a,b应满足什么条件 解:由分配律知 ( A + B )( A ? B ) = A 2 ? AB + BA ? B 2 故要使 ( A + B )( A ? B ) = A 2 ? B 2 , 应有 AB = BA.事实上, 事实上,? a 1 ?? 0 1 ? ? 1 ?? ?= ? AB = ? ? 1 b ?? 1 0 ? ? b ? ?? ? ?? 0 1 ?? a 1 ? ? 1 ?? ?=? BA = ? ? 1 0 ?? 1 b ? ? a ? ?? ? ?a? ?, 1? ?b? ?, 1? ?可见,AB=BA只 可见,AB=BA只 在特殊条件下成立, 在特殊条件下成立 , 即矩阵的乘法没有 交换律! 交换律!的对应元素相等, 令 AB, BA 的对应元素相等,得 a = b. 例2.3 已知 α = (1 2? 3 )T , β = ? 1 ?1 21? , 求 (αβ T )10 . ? 3?T解: 注意到 αβT?1? ? ? ? 1 = ? 2 ??1 ? ?? 2 ? 3? ? ?? ?1 ? 1? ? ?= ? 2 3? ? ?3 ?1 2 1 3 21? ? 3? 2? , β T α = ?1 ? 3? ? ? 1? ?1 2?1? ? ? 1 ?? ? ? 2 = 3. 3 ?? ? ? 3? ? ?从而 (αβ T )10 = (αβ T )(αβ T ) L (αβ T ) = α ( β T α )( β T α ) L ( β T α ) β T1 4 4 4 24 4 4 310 组1 4 4 4 24 4 44 4 39组?1? ? ? ? 2 ?39 ?1 1 = ? ? ? ? 2 ? 3? ? ?? ?1 ? 1? ? = 39 ? 2 ? 3? ? ?3 ?1 2 1 3 21 3 2 3? ? ? ? ? ? 1? ? ?1 ? ?0 例2.4 已知 A = ? ?0 ? ? ?0?1 ? ?0 A=? ?0 ? ? ?0 1 1 0 0 0 1 1 01 1 0 00 1 1 00? ? P55第 题与此题类似. P55第7题与此题类似. 0? ? , 求 A 2 , A3 , A n . 1? ? 此矩阵记为B. 此矩阵记为B. ? 1?0 1 0 0 0 0 1 0 0? ?0 ? ? 0? ?0 ?+? 0? ?0 ? ? ? ? 1? ?0 1 0 0 0 0 1 0 0 0? ? 0? ? ?=E + B 1? ? ? 0?解:0? ?1 ? ? 0? ?0 ?=? 1? ?0 ? ? ? ? 1? ?0由于E 由于E与B是可交换的，故 是可交换的，A 2 = ( E + B) 2 = E + 2 B + B 2 ,A3 = ( E + B ) 3 = E + 3B + 3B 2 + B 3 ,1 2 3 n A n = ( E + B) n = E + C n B + Cn B 2 + C n B 3 + L + Cn B n于是，原问题化为求更特殊的方阵的乘幂： 于是，原问题化为求更特殊的方阵的乘幂： B , B , L , B .23n 例2.4 解续1 解续1?0 ? 2 ?0 B = ?0 ? ?0 ?1 0 0 00 1 0 00 0 0 020?? 0 ?? 0?? 0 1??0 ?? ?? 0?? 01 0 0 01 0 0 00 1 0 01 0 0 00? ?0 ? ? 0? ?0 = 1? ?0 ? ? ? ? 0? ?00 1 0 00 0 0 01 0 0 0?0 ? ?0 ?0 ? ?0 ?0? ? 1? 0? ? ? 0?0 0 1? ? 0? 0? ? ? 0??0 ? 3 2 ?0 B = B B = ?0 ? ?0 ?4 20??0 ?? 1??0 0??0 ?? ?? 0??00? ? 0? = ? 1 ? ? 0?0 0 00 0 0?O E ??O E ? ?O O? B =B B =? ?? ?=? ?=O ?O O ??O O ? ?O O?∴ B5 = B6 = L = B n = O.1 2 3 ∴ An = E + C n B + C n B 2 + C n B 3 + O . 例2.4 解续2 解续2?1 ? 2 ?0 A = ?0 ? ?0 ?0 1 0 00 0 1 00? ?0 ? ? 0? ?0 +2 ? ?0 0 ? ? ? ? 1? ?01 0 0 00 1 0 00? ? 0 ? ? 0? ? 0 + ? ?0 1 ? ? ? 0? ? 0 ?0 0 0 01 0 0 00? ?1 ? ? 1? ?0 = 0? ?0 ? ? ? ? 0? ?02 1 0 001 2 1 000? ? 1? 2? ? ? 1?1? ? 0? 0? ? ? 0??1 ? 3 ?0 A = ?0 ? ?0 ?001 0 0 ?1 ? ?0 = ?0 ? ?0 ?0 1 0 3 1 0 00? ?0 ? ? 0? ?0 +3 ? ?0 0 ? ? ? ?0 1? ?100 0 01 0 00? ?0 ? ? 0? ?0 +3 ? ?0 1 ? ? ? ?0 0? ?010 0 00 0 00? ?0 ? ? 1? ?0 + ? ?0 0 ? ? ? 0? ? 0 ?0 0 00 0 03 3 1 01? ? 3? 3? ? ? 1? 例2.4 解续2 解续2?1 ? n ?0 A = ?0 ? ?0 ?0 0 0? ?0 ? ? 1 0 0? 1 ?0 + Cn ?0 0 1 0? ? ? ? ? 0 0 1? ?01 0 0? ?0 ? ? 0 1 0? 2 ?0 + Cn ?0 0 0 1? ? ? ? ? 0 0 0? ?00 1 0? ?0 ? ? 0 0 1? 3 ?0 + Cn ?0 0 0 0? ? ? ? ? 0 0 0? ?00 0 1? ? 0 0 0? 0 0 0? ? ? 0 0 0?1 2 3 ? 1 Cn Cn Cn ? ? 1 2? 0 1 Cn Cn ? =? 1 ? 0 0 1 Cn ? ? ?0 0 0 1 ? ? ? ? 例2.5 设 α 1 , α 2 是两个2维列向量, 是两个2维列向量,A = (2α1 + α 2 , α1 ? α 2 ) , B = (α1 , α 2 ), A = 6,求 解法1 解法1B.A = (2α 1 + α 2 , α 1 ? α 2 )c1 + c2 c2 ? c1 = (3α1 , α1 ? α 2 ) = 3 (α1 , α1 ? α 2 ) = 3 (α1 , ?α 2 )= ?3 (α1 , α 2 ) = ?3 B = 6∴ B = ?2.解法2 解法2?2 1 ? ?2 1 ? A = (2α 1 + α 2 , α 1 ? α 2 ) = (α 1 , α 2 ) ? ? = B? ? 1 ?1 ? 1 ?1 ? ? ? 2 1 ∴ A= B = ?3 B = 6 ∴ B = ?2. 1 ?1 例2.6 设A3× 3 = 3 , B3× 3 = 2 , 求 (1) AB + A * + 2 B ?1 ;1 (2) ( A)?1 ? 4 A * . 9解:(1)A =3 , B =2 ,?1由方阵行列式的性质知 由方阵行列式的性质知3 ?1AB + A * + 2 B= A B+ A2+ 2 3 B ?1?1= A B + A + 23 B(2)的方法1 (2)的方法1 的方法= 19.1 1 A* = A*, QA = A 3?11 1 ?1 ?1 ∴ ( A) ? 4 A * = 9 A ? 4 A * = 9 × A * ?4 A * = ? A * 3 9= ( ?1) A33 ?1= ?9. 例2.6 设A3× 3 = 3 , B3× 3 = 2 , 求 (1) AB + A * + 2 B ?1 ;1 ?1 (2) ( A) ? 4 A * . 9解: (2)的方法2 (2)的方法2 的方法Q A* = A A?1 = 3 A?1 ,1 ?1 ∴ ( A) ? 4 A * = 9 A?1 ? 4 A * = 9 A?1 ? 12 A?1 = ?3 A?1 9= ( ?3) A3?1= ?9. ?3 ? 例2.7 已知 A = ? 0 ? ?0 ??1 4? ? 1 5 ? , 求 (1) A * ; ( 2) ( A*) * ; (3) ( A*) ?1 . ? 0 1? ?解:A = 3.故3 ?1(1) A * = A= 9;3 ?1( 2) ( A*) * = A *= 9 2 = 81;(3) ( A*) ?1 = ( A A ?1 ) ?1 = (3 A ?1 ) ?1?1 1 1 ? ? ? 例2.8 已知 A ?1 = ?1 2 1 ? , 求 ( A*) ?1 . ? ? ?1 1 3 ? * ? ? ? 5 ? 2 ? 1? ?1 1 1 ? ? ? ? ? ?1 ?1 0 ?. 因为A可逆， 解: 因为A可逆，从而 ( A*) = ( A )* = ?1 2 1 ? = ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ?1 0 ?1 1 3 ? 1? ? ? ? ??3 ? 1? 1 0 = A= ? 3 3 ?0 ??1 4? ? 1 5?. ? 0 1? ? 例2.9 已知方阵A满足 A3 ? 2 A 2 + 3 A ? 4 E = O ,证明A-E可逆,并用A的 已知方阵A 证明A 可逆,并用A 多项式表示(A多项式表示(A-E)-1. (A 解及证： 解及证：由已知得 ( A3 ? A 2 ) ? ( A 2 ? A) + (2 A ? 2 E ) = 2 E∴ A 2 ( A ? E ) ? A( A ? E ) + 2 ( A ? E ) = 2 E∴ ( A 2 ? A + 2 E )( A ? E ) = 2 E1 ∴ [ ( A 2 ? A + 2 E )]( A ? E ) = E 2于是,方阵A 可逆, 于是,方阵A-E可逆,且( A ? E ) ?1 = 1 2 ( A ? A + 2 E ). 2 ?3 1 2 ? ? 0 ?1 2 ? ? ? ? ? 例2.10 设 A = ? 2 4 ? 1? , B = ? 1 3 ? 1? , AXA + BXB = AXB + BXA + E , 求 X . ? ? ? ? ?1 2 2 ? ?1 2 1 ? ? ? ? ?解: 原矩阵方程可化为 提取公因子得 再提公因子得( AXA ? BXA) ? ( AXB ? BXB ) = E( A ? B ) XA ? ( A ? B ) XB = E( A ? B) X ( A ? B) = E∴ ( A ? B ) ?1∴ X = [( A ? B ) ?1 ] 2 .? 1 ?2 0 ? ? ? = ??1 3 0 ? , ? ? ? 0 0 ?1? ? ?0? ? 0?. ? 1? ?其中?3 2 0 ? ? ? A ? B = ?1 1 0 ?, ? ? ? 0 0 ? 1? ? ?? 1 ? 2 0 ?? 1 ? 2 0 ? ? ?? ? ∴ X = ? ?1 3 0 ? ? ?1 3 0?= ? ?? ? ?0 0 ? 1? ? 0 0 ? 1? ? ?? ?? 3 ?8 ? ? ?? 4 11 ?0 0 ? 例2.11 证明: A 2 = B 2 = E , A + B = 0 , 则 A + B = 0 . 证明: 证明: 证明: 由已知得A A + B = A( A + B ) = A 2 + AB = E + ABB A + B = A + B B = AB + B 2 = AB + E = E + AB于是A A+ B = B A+ B = ? A A+ B 2 A A+ B = 02从而 又因为 A = E ,所以 再由(1)式知, 再由(1)式知,必有 (1)式知(1)A = A2 = E = 12∴ A ≠ 0.证毕. 证毕.A + B = 0. 例2.12 证明：任何方阵都可以写成一个对称阵与一个反对称阵之和. 证明：任何方阵都可以写成一个对称阵与一个反对称阵之和. 类比: 类比: 定义在对称区间上的任意函数都可写成偶函数与奇函数之和1 1 f ( x) = [ f ( x) + f (? x)] + [ f ( x) ? f (? x)]. 2 2证明: 是任意方阵, 证明: 设A是任意方阵,则显然有A=1 1 ( A + AT ) + ( A ? AT ) 2 2(1)1 1 1 1 其中 [ ( A + AT )]T = ( A + AT ) T = ( AT + A) = ( A + AT ). 2 2 2 2 1 1 1 1 [ ( A ? AT )]T = ( A ? AT ) T = ( AT ? A) = ? ( A ? AT ). 2 2 2 2从而,(1)式右端是一个对称阵与一个反对称阵之和. 从而,(1)式右端是一个对称阵与一个反对称阵之和. ,(1)式右端是一个对称阵与一个反对称阵之和 证毕. 证毕. 4. 课堂练习?0 1 0? ?1 0 0? ?1 ? ? ? ? ? 练习2.1 练习2.1 求解矩阵方程 ? 1 0 0 ? X ? 0 0 1 ? = ? 2 ? ? ? ? ? ?0 0 1? ?0 1 0? ?1 ? ? ? ? ? ?4 0 ?2 3? ? ? 1? . ? 0 ? ?将原方程记为AXB=C, 解: 将原方程记为AXB=C, 则A ?1?0 1 0? ? ? = ?1 0 0? ? ? ?0 0 1? ? ??1?0 1 0? ? ? = ?1 0 0? ? ? ?0 0 1? ? ?B ?1?1 ?1 1 0 0? ? ? ? ? ? = ?0 0 1? = ? 0 ? ? ?0 ?0 1 0? ? ? ?0? ? 0 1? ? 1 0? ? 0? 0 1 0 ?? 1 ? 4 3 ?? 1 0 0 ? ? 2 0 ?1?? 1 0 0 ? ?2 ?1 0 ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? X = A?1CB?1 = ? 1 0 0 ?? 2 0 ?1?? 0 0 1 ? = ? 1 ? 4 3 ?? 0 0 1 ? = ?1 3 ?4? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? 0 0 1 ?? 1 ? 2 0 ?? 0 1 0 ? ? 1 ? 2 0 ?? 0 1 0 ? ?1 0 ?2? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? 练习2.2 练习2.2 (1) 设A,A+B都可逆,证明E+A-1B也可逆,并求其逆阵. A,A+B都可逆 证明E+A 也可逆,并求其逆阵. 都可逆, (2)设 可逆, (2)设A可逆,证明 ( AT )* = ( A*)T . 证明: 证明:(1) E + A ?1 B = A ?1 A + A ?1 B = A ?1 ( A + B )∴ ( E + A ?1 B) ?1 = [ A ?1 ( A + B)]?1 = ( A + B ) ?1 A.(2) A可逆,故AT可逆,从而 可逆, 可逆,T ?1 T ?1 T ( AT )* = AT ( AT ) ?1 = A ( A ) = ( A A ) = ( A*) .证毕. 证毕. 本次课基本要求本次课基本要求 1.进一步熟悉本章基本知识点； 进一步熟悉本章基本知识点； 抓习题特点、 2.重新研读本次课的综合例题――抓习题特点、找解题规律； 重新研读本次课的综合例题 抓习题特点 找解题规律； 3.解决本章以往作业中没完成或完成得不理想的个别习题. 解决本章以往作业中没完成或完成得不理想的个别习题. 学习数学的几层境界 通过预习、 1.学懂――通过预习、听课对基本内容“知其然” ; 学懂 通过预习 听课对基本内容“知其然” 通过复习、 2.学会――通过复习、解题进而“知其所以然” ; 学会 通过复习 解题进而“知其所以然” 通过思考、 3.学好――通过思考、总结将知识“融会贯通” ； 学好 通过思考 总结将知识“融会贯通” 借助数学知识、 4.会用――借助数学知识、思想、方法、工具发现问题、建模、求解； 会用 借助数学知识 思想、方法、工具发现问题、建模、求解； 5.审美――领悟数学之美，享受学习的快乐！ 审美 领悟数学之美，享受学习的快乐！ 领悟数学之美
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