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专题复习高中数学必修5基本不等式经典例题(教师用)
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苏教版必修5高一数学第2章基本不等式测试题及解析
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请填写真实有效的信息，以便工作人员联系您，我们为您严格保密。基本不等式知识点梳理及解题技巧培训；知识点：；1.(1)若a,b?R，则a?b?2ab2.(1；(2)若a,b?R，则ab?；a2?b2；（当且仅当a?b时取“=”）；a?b；(2)若a,b?R*，则a?b?2ab（当且仅当；a?b?(当且仅当a?b时取“=”(3)若a,b；3.若x?0，则x?；?2(当且仅当x?1时取“=”）x1；若x?0，则x???2(
基本不等式知识点梳理及解题技巧培训
1. (1)若a,b?R，则a?b?2ab 2. (1)若a,b?R*，则
(2)若a,b?R，则ab?
（当且仅当a?b时取“=”）
(2)若a,b?R*，则a?b?2ab （当且仅当a?b时取“=”） ?
(当且仅当a?b时取“=” (3)若a,b?R，则ab??） ???2?
3.若x?0，则x?
?2 (当且仅当x?1时取“=”） x1
若x?0，则x???2 (当且仅当x??1时取“=”）
若x?0，则x?1?2即x?1?2或x?1?-2
(当且仅当a?b时取“=”）
4.若ab?0，则??2
(当且仅当a?b时取“=”）;若ab?0，则??2即??2或??-2
且仅当a?b时取“=”）
5.若a,b?R，则(（当且仅当a?b时取“=”） )?
6.设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，b中的较大的数，
则有 min(a，b)≤
≤max(a，b)．
当且仅当a＝b时，取到等号
(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，
当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用
应用一：求最值
例：求下列函数的值域
（1）y＝3x 2＋
（2）y＝x＋
解：(1)y＝3x 2＋
∴值域为[6 ，+∞）
(2)当x＞0时，y＝x＋ ≥2
x? ＝2； x
当x＜0时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） x
技巧一：凑项
，求函数y?4x?2?1的最大值。 44x?5
解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又(4x?2)不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，
511???x?,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x???3??2?3?1 44x?55?4x??
当且仅当5?4x?
，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。 5?4x
技巧二：凑系数 例： 当时，求y?x(8?2x)的最大值。 解析：由
，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，
但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8为定值，故只需将y?x
2x)凑上一个系数即可。
，即x＝2时取等号
当x＝2时，y?x(8?2x)的最大值为8。
变式：设0?x?
，求函数y?4x(3?2x)的最大值。 2
32x?3?2x?9?解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2? ??222??
当且仅当2x?3?2x,即x?技巧三： 分离换元
??0,?时等号成立。 4?2?
(x??1)的值域。 例：求y?
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（
）的项，再将其分离。
,y?5?9（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?
,y?5?9（当t=2即x＝1时取“＝”号）。
技巧四：取平方
求函数y?1?x?5)的最大值。 解析：注意到2x?1与5?2x的和为定值。
y2?2?4??4?(2x?1)?(5?2x)?8又y?
0，所以0?y?
当且仅当2x?1=5?2x，即x?
时取等号。
例：求函数y?
t因t?0,t??1，但t?解得t??1不在区间?2,???，故等号不成立，考虑单调性。 因为y?t?在区间?1,???单调递增，所以在其子区间?2,???为单调递增函数，故y?所以，所求函数的值域为?,???。
技巧六：整体代换（“1”的应用）
多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 例：已知x?0,y?0，且错解：?x?
0,y?0，且．．
??1，求x?y的最小值。 xy
??1，?x?y??1?9??x?y??12
故 ?x?y?min?12 。 xy?xy?
错因：解法中两次连用均值不等式，
在x?y?x?y，在1?9??
即y?9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：?x?0,y?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16
当且仅当技巧七
例：已知x，y为正实数，且x＋
?时，上式等号成立，又??1，可得x?4,y?12时，?x?y?min?16 。
＝1，求1＋y
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤
同时还应化简
1＋y 2 中y2前面的系数为 ，
＋ 分别看成两个因式： 22
1＋y 2 ＝x 2 x?
1y 23 ＋ ≤
例：已知a、b、c?R，且a?b?c
?1。求证：?
?1???1???1??8 ?a??b??c?
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”
连乘，又1?
1?1?a?b?ca
aa可由此变形入手。
解：?a、b、c?R，a?b?c?1。?
1111?ab?c。同理?1?，?1??1???
bcaaa不等式两边均为正，分别相乘，得
1?1??1??1?a?b?c?。当且仅当时取等号。 ?8??1???1???1??3?a??b??c?
应用三：均值不等式与恒成立问题
例：已知x?0,y?0且
??1，求使不等式x?y?m恒成立的实数m的取值范围。 xy
19x?y9x?9y10y9x??1，???1.????1 xykxkykkxky
解：令x?y?k,x?0,y?0,
?2? 。?k?16 ，m????,16? kk
应用四：均值定理在比较大小中的应用：
a?b?1,P?a?lgb,Q?
(lga?lgb),R?lg()，则P,Q,R的大小关系是
分析：∵a?b?1 ∴lga?0,lgb?0
（lga?lgb)?a?lgb?p 2
a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q
三亿文库包含各类专业文献、行业资料、各类资格考试、生活休闲娱乐、幼儿教育、小学教育、中学教育、专题复习：高中数学必修5基本不等式经典例题(教师用)01等内容。　
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