x2y2；设双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)；ab；22；x?x－3?则2－＝1.整理，得ab2(b2－a；6a2；则x1＋x2＝2＝2×(－12)，；a－b2∴a2＝－4a2＋4b2，；∴5a2＝4b2.又a2＋b2＝9，∴a2＝4，；x2y2；∴双曲线E的方程为－＝1.；45；y2；＝1的公共点个数为________．4；42222；解析：
x2y2设双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)， ab22x?x－3?则2－＝1.整理，得 ab2(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 6a2则x1＋x2＝2＝2×(－12)， a－b2∴a2＝－4a2＋4b2， ∴5a2＝4b2.又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5. x2y2∴双曲线E的方程为－＝1. 4522y2＝1的公共点个数为________． 442222解析：由题意22>2，∴m＋n<4.∴点(m，n)在圆x＋y＝4内，从而可知点(m，n)m＋n22xy在椭圆＋＝1内，故公共点有2个． 94答案：2 17．(2011年广西梧州高三第二次测试)设点F为抛物线y＝－x2的焦点，与抛物线相切4于点P(－4，－4)的直线l与x轴的交点为Q，则∠PQF的值是________． 1解析：∵y′＝－x，∴kPQ＝y′|x＝－4＝2， 2∴直线PQ的方程为y＋4＝2(x＋4)． 令y＝0，得x＝－2，∴点Q(－2,0)． 1又∵焦点F(0，－1)，∴kFQ＝－， 2π∴kPQ?kFQ＝－1，∴∠PQF＝. 2π答案： 28．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线→→段BF的延长线交C于点D，且BF＝2FD，则C的离心率为________． 解析：法一：如图，设椭圆C的焦点在x轴上， B(0，b)，F(c,0)， →→D(xD，yD)，则BF＝(c，－b)，FD＝(xD－c，yD)， →→∵BF＝2FD， ??c＝2?xD－c?，∴? ?－b＝2yD，?x26．若直线l：mx＋ny＝4与圆O：x＋y＝4没有公共点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋9 ?∴?by＝－.?2D3cxD＝，23cb??2?－?222∴＋＝1， a2b2
13即e2＝，∴ e＝. 33法二：设椭圆C的焦点在x轴上，如图，B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)， →→则|BF|＝b2＋c2＝a.作DD1⊥y轴于点D1，则由BF＝2 FD， |OF||BF|2得＝＝， |DD1||BD|333∴|DD1|＝|OF|＝c， 223ca23c3c2即xD＝.由椭圆的第二定义得|FD|＝e(－)＝a－. 2c22a23c又由|BF|＝2|FD|，得a＝2a－， a2c113整理得2＝，即e2＝.∴e＝. a3333答案： 39. 已知抛物线C的方程为y2＝4x，其焦点为F，准线为l，过F作直线m交抛物线C于M，N两点．求S△OMN的最小值． 解：由题意知F(1,0)，l：x＝－1，设m：x＝ay＋1，M(x1，y1)， N(x2，y2) ??x＝ay＋1则?2?y2－4ay－4＝0， ?y＝4x? ??y1＋y2＝4a由根与系数的关系得?. ?y1y2＝－4? 111S△OMN＝|OF||y1－y2|＝?y1＋y2?2－4y1y2＝?16a2＋16＝2a2＋1≥2(a＝0时取得等号)． 22210．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 22??4x＋y＝1解：(1)解方程组?，消去y，整理得 ?y＝x＋m?225x＋2mx＋m－1＝0， Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2. 由Δ≥0得20－16m2≥0， 55解之得－≤m≤. 22(2)设直线与椭圆交于两点A(x1，y1)、B(x2，y2)． 则x1、x2是方程5x2＋2mx＋m2－1＝0的两根， 2mx1＋x2＝－5由根与系数的关系得， m2－1x1?x2＝5 ??? ∴弦长L＝?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2] 24m24?m－1?2＝ 2[－]＝10－8m2， 2555210当m＝0时，L取最大值为， 5此时直线方程为y＝x. 11．(探究选做)设直线l(斜率存在)交抛物线y2＝2px(p>0，且p是常数)于两个不同点A(x1，→→y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，且满足OA?OB＝x1x2＋2(y1＋y2)． (1)求证：直线l过定点； 111(2)设(1)中的定点为P，若点M在射线PA上，满足＝＋，求点M的轨迹方程． →→→|PM||PA||PB|解：(1)证明：设直线l的方程为y＝kx＋b. ??y＝kx＋b由?2?ky2－2py＋2pb＝0， ??y＝2px由题知k存在且k≠0，Δ＝4p2－8kpb>0， 2py1＋y2＝，k且 2pby1y2＝.k ??? →→又OA?OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋2(y1＋y2)?y1y2＝2(y1＋y2)． 2pb2p则＝2×，得b＝2. kk∴直线l的方程为y＝kx＋2. ∴直线l过定点(0,2)． (2)分别过A、M、B向y轴作垂线， 垂足分别为A′、M′、B′. 111设M(x，y)，由＝＋，可得 →→→|PM||PA||PB|111＝＋. →→→|PM′||PA′||PB′|111∴＝＋， |2－y||2－y1||2－y2|111则＝＋. 2－y2－y12－y24－?y1＋y2?1即＝ 2－y4－2?y1＋y2?＋y1y24－?y1＋y2?y1＋y2＝＝1－. 44－2?y1＋y2?＋2?y1＋y2?2－y112pp∴＝1－×＝1－?2k＝×p.① 4k2k2－y1－y将①代入Δ＝4p2－16kp>0，解得1<y<3，且y≠2. 又y＝kx＋2.② p由①②消去k，得y＝x＋1(1<y<3，且y≠2)． 2p∴点M的轨迹方程为y＝x＋1(1<y<3，且y≠2)． 2
优化方案?课时作业
第9章 直线、平面、简单几何体(A、B)
高三数学作业42
第9章 直线、平面、简单几何体(A、B)
§9.1 空间直线与平面(A、B)
1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的(
) A．充分非必要条件
B．必要非充分条件 C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件 解析：选A.“两条直线为异面直线”?“两条直线无公共点”．“两直线无公共点”?“两直线异面或平行”．故选A. 2．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则(
) A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 解析：选B.A不正确，这样的直线不存在；B正确；C中过点P与l、m都相交的直线不止一条；D中过P有无数条直线与l、m都异面． 3．△A′B′C′是斜二测画法画出的正△ABC的直观图，记△A′B′C′的面积为S′，S′△ABC的面积为S，则的值为(
D. 84解析：选D.不妨设△ABC的AB边在x轴上，则AB边上的高h在y轴上或与y轴平行，2根据斜二测画法知，△A′B′C′中A′B′边上的高h′为h. 44. (2010年高考江西卷)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(
B．2条 C．3条
D．4条 解析：选D.如图所示． AC1，AC2，AC3，AC4即为所求． 5．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(
B．45° C．60°
D．90° 解析： 选C.如图，可补成一个正方体， ∴AC1∥BD1. ∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.
又易知△A1BD1为正三角形， ∴∠A1BD1＝60°. ∴BA1与AC1成60°的角． 6．正方体的六个面所在的平面把空间分成________个部分． 解析：我们可以想象，正方体的两个对面可把空间分成3个部分，则3对对面可把空间分成27个部分． 答案：27 7．(2011年河北衡水中学调研)设EF是两条异面直线AB、CD的公垂线，当直线AB绕着直线EF在空间旋转并与EF保持垂直时，下列三个命题正确的是________． ①直线AB与直线CD所成角的大小不变 ②直线AB与直线CD的距离不变 ③以A、B、C、D为顶点的四面体的体积不变 解析：选B.如图所示，当直线AB绕着直线EF在空间旋转并与EF保持垂直时，显然∠B1FD变化，故①错；无论如何转，EF始终为两异面直线的公垂线，故②正确；若A′B′∥CD时，此时四面体ABCD的体积为零，故四面体的体积是变化的，③错． 答案：② 8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上) 解析：AM与CC1是异面直线，①不正确； AM在平面ABC1D1内，B∈平面ABC1D1，N?平面ABC1D1，∴AM与BC异面，②不正确； BN与B1C1相交，B1M在平面A1B1C1D1内，而B?平面A1B1C1D1，∴BN与B1M异面，③正确； DD1?平面DCC1D1，M∈平面DCC1D1，A?平面DCC1D1， ∴AM与DD1是异面直线，④正确． 答案：③④ 9．A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，
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2.1.2椭圆标准方程(第4课时)
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已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2+y2-2x-15=0的半径，则椭圆的标准方程是24+23=1．
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∵x2+y2-2x-15=0，∴（x-1）2+y2=16，∴r=4=2a，∴a=2，∵e=，∴c=1，∴b2=3．则椭圆的标准方程是 24+23=1．故答案为：24+23=1．
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利用配方化简x2+y2-2x-15=0得到圆的半径为4，所以椭圆的长轴为4，根据离心率求出c，根据勾股定理求出b得到椭圆的解析式即可．
本题考点：
椭圆的标准方程．
考点点评：
考查学生会根据条件求圆标准方程，以及灵活运用椭圆简单性质解决数学问题的能力．
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