高等数学定积分公式在WPS文字2013中的输入 一直以来，我的原创教程不断的被其他网站复制转走，却不留原作者链接地址。考虑到用户之间的知识交流，就没有添加禁止复制的功能。最近，本小编没有原创的动力，希望大家理解，毕竟辛勤劳动的成果被人无偿窃取，这样的心情大家也是可以理解的。 ①我们启动WPS文字2013，单击左上角箭头--插入---公式。 ②弹出公式编辑器，我们可以在这里面进行公式的编辑处理。 ③我们选择公式类型，我选的是带上标和下标极限的定积分。 ④输入好参数，公式完成。 ⑤直接关闭编辑器，公式会自动插入到之前光标定位到的地方。 最新视频教程 点击：77395&&&评论：3 点击：9966&&&评论：0 点击：53558&&&评论：11 点击：22906&&&评论：2 点击：1389&&&评论：3 点击：1561&&&评论：0有关高数的问题高数下册讲对弧长的曲线积分的时候有这样一段话：对弧长的曲线积分转化为定积分后,积分上限一定大于积分下限.有 有关高数的问题高数下册讲对弧长的曲线积分的时候有这样一段话：对弧长的曲线积分转化为定积分后,积分上限一定大于积分下限.有这样一个问题,令曲线弧L为椭圆方程x²/a²+y²/b²=1第一象限的弧段,求对弧长的曲线积分∫Lxds.如果不用参数方程的形式,令x=x,y=f（x）,那么转化成定积分的形式就是：∫x√（1+f'²（x））dx,其中积分上下限分别为a,0.但是如果转化成参数方程的形式,令x=acosθ,y=bsinθ,当x=0时,θ=π/2；当x=a时,θ=0,那么请问,定积分∫acosθ√（a²sin²θ+b²cos²θ）dθ的积分上下限应该写成0,π/2呢,还是按照书上的规定写成π/2,0, 就应该按照书上讲的,积分上限一定大于积分下限.当用参数方程的形式时,上限是π/2,下限是0.这里是,采用参数方程的形式,或者,采用直角坐标（参数方程）的形式,与,x元换成θ元之换元区分开. 与《有关高数的问题高数下册讲对弧长的曲线积分的时候有这样一段话：对弧长的曲线积分转化为定积分后,积分上限一定大于积分下限.有》相关的作业问题 定积分中的上下限之间没有确定的大小,这个定理对于上限小于等于下限的情形也成立.上下限相等时,两边都是0.上限小于下限时,两边加负号,即为上限大于下限的情形 老师刚在黑板上写完作为题目,下面的同学神态各异：有的手托着下巴,好像在冥思苦想；有的迅速拿笔,好像在奋笔疾书；有的神态自若,好像胸有成竹；有的翻箱倒柜,好像在查找资料,有的闭目养神,好像在苦苦思索······ 拉骆驼的人戴着毡帽,正在卸煤.骆驼则正在咀嚼青草,牙齿交错着,真有趣!见了骆驼,我竟幼稚的学起来. ρ＞1时,由极限的保号性,当n很大时,Un＞1,通项极限非零,所以级数发散.当ρ＜1时,由极限的定义,对于某一个正数ε(ε＜1-ρ),存在正整数N,n＞N时,un＜(ρ+ε)^n.级数∑(ρ+ε)^n收敛,由比较审敛法,级数∑Un收敛. 第一章 函数与极限　　 第一节 映射与函数　　 教材习题1-1全解　　 第二节 数列的极限　　 教材习题1-2全解　　 第三节 函数的极限　　 教材习题1-3全解　　 第四节 无穷小与无穷大　　 教材习题1-4全解　　 第五节 极限运算法则　　 教材习题1-5全解　　 第六节 极限存在准则两个重要极限　　 教材习题1- 是高等教育出版社的 主编是郭正光 和方明亮加分 零极课后网 很多版本答案都有还可以求助 看看是否帮到你了! 再问： 这个为什么不一样的啊？ 再答： 你要的不就是这个啊？？我晕！再问： 哎！我要的是哪个第八章是空间解析几何的哪个 有没有啊 有我还加分 帮我找找好吗 再答： 你到百度文库去找，我给你下载，我也不知道是哪一个！ 楼上的回答已经很详细了.数学并没有你想的那么可怕,想当初我也是复习的较晚（从大三暑假开始）,数学也不怎么好.拿到书,确实不知道看什么.书上的知识都是基础的,看起来会快一点.看完课本,可以买下李永乐的《复习全书》,之后再做下基础过关660题.要是有能力就报个班,其实作用不大.静下心来就不觉得东西多了.加油. 首先,要隔离原点才满足格林公式的条件.其次,圆周x^2+y^2=R^2上的曲线积分容易计算,因为分母x^2+y^2变成常数了.不用圆周,用其他的曲线也可,比如长方形,三角形等,只是计算麻烦些. 再问： 是不是原点处没有一阶连续偏导数 再答： 嗯，函数值都不存在，何来导数？ 上学不好 下更加学不好高数和高中数学有比较大的区别 思维要转变过来 积分都学不好 怎么去学微分呢 对把还有就是高数对你今后的 物理啊其他课程的学习非常重要 一定要学好 第2题（2）根据二重积分的性质知：当积分区域相同时,被积函数越大积分越大.又因为此处x+y大于1所以（x+y）^2 < (x+y)^3 故前面小于后面 磅数是拉线强度,或者说,是线绷得有多紧,磅数不是越高越好,但是过低显然不行,控球的确和磅数关系不太大,世界冠军中也出过只用24磅以下的,普通菜鸟中也有买个高价拍子,然后拉上30多磅打的,当然,一般说来大多数高手用的磅数比较高,一般认为20磅以下的基本谈不上控球,22~24磅时球拍弹性最好,28磅以上时弹性已经下降很大, 《高等数学》（上下册） 同济六版 高等教育出版社《数学分析讲义》（上下册） 第五版 刘玉琏等编 高等教育出版社以上两本书讲的内容差不多 但是数分比较深 如果想进一步学习物理的话 建议学数分《线性代数》 陈建龙等编 科学出版社《高等代数与解析几何》 同济大学 高等教育出版社以上两本也是一样 高代将的东西多、比线性代数难一 你是说考研的数一、数二还是指高数上下册啊?考研的话,当然是数一难啊,因为它包括了高等数学、线性代数、概率与统计的全部内容,而数二是不考概率与统计的,高数里有部分内容也不要求光是高数书的话,那当然是下册要比上册难了! 不考级数,我现在正准备考研,考数二.高数上上册大部分都考,具体有极小部分不考!下册考两章：第九章多元函数和后面二重积分那一章的前两节.线代没大区别.具体的高数前七章考哪儿,不考哪儿,你应该有资料书,那上面比较具体.方便复习!没有的话就不用考了! 将m^2看作a,5*n^2看作b,由题意得:a+b,a-b均为平方数,（a,b均为整数）因为1^2=1(奇数),2^2=4(偶数),3^2=9(奇数),4^2=16(偶 数),5^2=25(奇数),6^2=36(偶数)……奇数-偶数=奇数,偶数-奇数=奇数（相邻两平方数之差为奇数）所以m为任意数,n为0. 法门寺游记2006年来西安的时侯,没能去法门寺一直是一个遗憾.也许是命运在冥冥中注定的一样,这一次终于有机会来到法门寺,或许我真的有佛缘?虽然我不是虔诚的佛教徒,但我却愿意接受佛的智慧和教诲.象我这样自我意志不是很强的人,无法做到内心的坚定如山,就只能找一个不动如山的做为倚靠,所以我选择了佛.而我又不能做到六根清净,所 是“Γ”吗?这个读gama(嘎码).当前位置： >> 高等数学积分学 第三章 一元函数积分学及其应用3.1 定积分的概念、性质、可积准则 3.1.3 定积分的几何意义例 1 已知函数 f (x) 在[a,b]上满足 f ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0 ，试从定积分的几何 意义，比较下述三个数的大小：I1 ? ? f ( x)dxa
b，I 2 ? f (b)(b ? a)，I3 ?解b?a [ f (a) ? f (b)] 2由题设可知，非负函数 f (x) 在[a,b]上单调减少且向下凸，其图形如图 3－3 所示。由定积分的几何意义知， I1 是 曲边梯形 ABCD 的面积， I 2 是矩形 ABDE 的面积， I 3 是梯 形 ABDC 的面积，故I 3 ? I1 ? I 2 。图 3－33.1.4 可积准则例 2 利用定义计算定积分 解? x dx 。2 021因为被积函数 f ( x) ? x 在积分区间 [0,1] 上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间 [0,1] 的分法及点 ? i 的取法无关。因此，为了便于计算，不妨把区间 [0,1] 分成 n 等份， 分点为 xi ?i 1 , i ? 1,2, ? , n ? 1 ；这样，每个小区间 [ xi ?1 , i] 的长度 ?xi ? , i ? 1,2,?, n ； n n取 ?i ? xi , i ? 1,2,?, n 。于是，得和式i ?1? f (?i )?xi ? ? ?i ?xi ? ? xi ?xi2 2 i ?1 i ?1nnn?i? 1 1 n ? ? ? ? ? ? 3 ? i2 i ?1 n ? ? n n i ?1 1 1 ? 3 ? n( n ? 1)( 2n ? 1) n 6 1? 1? ? 1? ? ? 1 ? ? )? 2 ? ? 6? n? ? n?n2当 ? ? 0 即 n ? ? 时，取上式右端的极限。由定积分的定义，即得所要计算的积分为? x dx ? lim ? ? ?2 0 ? 0 i ?11n2 i1 ? 1 ?? 1? 1 ?xi ? lim ?1 ? ?? 2 ? ? ? n ?? 6 n? 3 ? n ??由定积分的定义，我们很容易的得出定积分的近似计算公式?baf ( x)dx ?b?a n b?a ? f ( xi ?1 ) ? ( y0 ? y1 ? ? ? yn ?1 ) n i ?1 n b b?a ?a f ( x)dx ? n ( y1 ? y2 ? ? ? yn )3.1.5 定积分的性质例 3 比较 解?e01x2dx 与 ? e x d x 的大小。0x212 在区间 [0,1] 上有 x ? x ，从而 e? e x ，故 ? e x dx & ? e x d x 。21100例 4 证明： 2e1 ? 4? ? ex0x2 ?x22?xdx ? 2e2 。2证明 设 f ( x) ? e 令 f ?( x) ? 0 ，得x ， x ? [0,2] ，则 f ?( x) ? e?x(2 x ? 1) 。x??1 ? (0,2) 2, f (2) ? e 2 ，即 f (x) 在 [0,2] 上，最大值为 M ? e2 ，最小值为而 f (0) ? 1, f ? ? ? e? 1?1? ? 2?1 4m ? e 4 ，从而e 4 (2 ? 0) ? ? e x0 ? 1 22?xdx ? e2 (2 ? 0)即2e?1 4? ? ex022?xdx ? 2e2例 5 设 f (x) 在[a,b]上连续， f ( x) ? 0 ，若?baf ( x)dx ? 0 ，证明 f ( x) ? 0 。证明 若 f (x) 不恒等于零，则存在 x0 ? [a, b] ，使得 f ( x0 ) ? 0 ，不妨设 x0 ? (a, b) ，则由 f (x) 的连续性知，对 ? ?f ( x0 ) ，存在 ? ? 0 ，使 x ? [ x0 ? ? , x0 ? ? ] ? [a, b] 时， 2 f ( x0 ) f ( x0 ) ，即 f ( x0 ) ? ，故 | f ( x) ? f ( x0 ) |? 2 2?baf ( x)dx ? ?x 0 ??a x0 ??f ( x)dx ? ?x0 ??x 0 ?? x0 ??f ( x)dx ? ?bx0 ??f ( x)dx??与x 0 ??f ( x)dx ? ?x 0 ??f ( x0 ) dx ? ?f ( x0 ) ? 0 2?baf ( x)dx ? 0 矛盾，故 f ( x) ? 0 。例 5 设 f (x) 在[0,1]上可微，且满足 f (1) ? 2?1 2 0xf ( x)dx ，证明：存在 ? ? (0,1) ，使得f (? ) ? ?f ?(? ) ? 0证明 令 F ( x) ? xf ( x), x ?[0,1] 。由积分中值定理，存在 ? ? [0, ] ，使得1 21 2? 2 xf ( x)dx ? 2 ? ? ?f (? ) ? ?f (? ) ? F (? ) 0 2因此 F (1) ? f (1) ? F (? ) 。在由罗尔定理知，存在 ? ? (?,1) ? (0,1) ，使 F ?(? ) ? 0 ，即1f (? ) ? ?f ?(? ) ? 03.2 微积分基本定理 3.2.1 牛顿－莱布尼兹公式例 1 计算第一节中的定积分 解 由牛顿莱布尼茨公式? x dx 。2 011? x 3 ? 13 03 1 x dx ? ? ? ? ? ? 。 ?0 ? 3 ?0 3 3 31 2例 2 计算?3?11 dx 。 1 ? x2解?3?1? ? ?? 7 1 dx ? [arctan x]?13 ? arctan 3 ? arctan(?1) ? ? ? ? ? ? ? . 2 3 ? 4 ? 12 1? x例 3 计算 解?dx 。 ?2 x?1?dx ? [ln | x |] ?1 ? ln 1 ? ln 2 ? ? ln 2. ?2 ?2 x?1例 4 计算正弦曲线 y ? sin x 在 [0,? ] 上与 x 轴所围成的平面图形的面积（图 3－4）的 面积。解 A???0sin xdx ? [? cos x]? ? ?(?1) ? (?1) ? 2 0例 5 汽车以每小时 36km 速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等加速度a ? ?5m / s 2 刹车。问从开始刹车到停车，汽车驶过了多少距离。解 度 刹车后汽车减速，其速度为 首先算出从开始刹车到停车经过的时间。设开始刹车的时刻为 t ? 0 ，此时汽车速v0 ? 36km/ h ? 10m / s. v(t ) ? v0 ? at ? 10 ? 5t当汽车停住时，速度 v(t ) ? 0 ，故从 v(t ) ? 10 ? 5t ? 0 解得2t?10 ? 2( s) 52 0于是 s ?? v(t )dt ?? (10 ? 5t )dt ?[10t ? 5 ?0t2 2 ]0 ? 10(m), 2即在刹车后，汽车需驶过 10m 才能停住。3.2.2 原函数存在定理例 6 设函数? ?sin x, ? f ( x) ? ? ? 2 x, ? ?求0? x??2?2? x ????0f ( x)dx 。解??0f ( x)dx ? ? 2 f ( x)dx ? ?? f ( x)dx ? ? 2 s i n d x ?? 2 x d x x ?0 2 0 2????? ? 3 ? (? c o s ) 0 ? x 2 ? ? 1 ? ? 2 x 2 4 2例 7 计算下列函数的导数 （1） 解?xat 2 costdt ； （2） ? arctant 2dt ； （3） ? sin t 2 dt ；x0x1x（4）?x2sin xe?t dt2d 2 2 ?a t costdt ? x cos x dx d 1 2 2 （2） ?x arctant dt ? ?ara tan x dx（1） （3）d x 1 3 3 ?0 sin t dt ? sin( x ) ( x )? ? 2 x sin x 2 dx3（4）?x2sin x1e?t dt ? e? ( x22 2)( x 2 )? ? e?(sin x ) (sin x)? ? 2 xe? x ? cos xe?sin2 42x?e 例 8 求 limx ?0?t 2 2cos xdt .x解这时一个0 型不定式，由洛必达法则 0?e limx ?01?t 2cos xdtx2? e ? cos x (? sin x) 1 ? lim ? x ?0 2x 2e2注意d ? ( x) f (t )dt ? f [? ( x)] ? ? ?( x) (a ? x ? b) ; dx ?a d ? ( x) f (t )dt ? f [? ( x)] ? ? ?( x) ? f [? ( x)] ?? ?( x) (a ? x ? b) dx ?? ( x )例 9 设 f (x) 在 [0,??) 内连续且 f ( x) ? 0 ，证明函数? tf (t )dt F ( x) ? ? f (t )dt0 x 0x在 [0,??) 内为单调增加的函数。 证 由积分上限函数的导数，得F ?( x) ?xf ( x) ? f (t )dt ? f ( x) ? tf (t )dt0 0xx? f (t )dt ? ? ?0 ? ? ?x2?f ( x) ? ( x ? t ) f (t )dt0x? x f (t )dt ? ? ?0 ? ? ?2当 0 ? t ? x 时， f (t ) ? 0, ( x ? t ) f (t ) ? 0 ，故得 F ?(t ) ? 0 ，从而 F (x) 在 [0,??) 内为单调 增加的函数。3.3 不定积分 3.3.1 不定积分的概念及性质例 1 求 x dx .?2? ? x3 ? x3 x3 2 3 解 由于 ? ? ? x 2 ,所以 是 x 的一个原函数.因此 ? x dx ? ?C . ?3? 3 3 ? ? 1 例 2 ? dx . x 1 1 解 由于 (ln | x |)? ? ,所以 ? dx ? ln | x | ?C . x x例 3 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲 线的方程. 解 设所求曲线方程为 y ? f (x) ,按题设,曲线上任一点 ( x, y ) 处的切线斜率为dy ? 2 x ,即 f (x) 是 2 x 的一个原函数. dx因为2? 2 xdx ? x2?C ,2故必有某个常数 C 使 f ( x) ? x ? C ,即曲线方程为 y ? x ? C .因所求曲线经过点(1,2), 故 于是所求曲线方程为 2=1+C,C=1.y ? x2 ? 1 .3.3.3 基本积分公式由上面可知积分是导数的逆运算,因此容易从导数公式得到积分公式 ①? k dx ? k x ? C (k 是常数)dx ? x ? ln | x | ?C ,②? ? x dx ?x ? ?1 ? C ( ? ? 1) ? ?1③④x ? a dx ?ax ?C ln a⑤ ⑦ ⑨? e dx ? exx?C⑥ ⑧ ⑩? cos xdx ? sin x ? C? sin xdx ? ? cos x ? Cdx 2 ? sin2 x ? ? csc xdx ? ? cot x ? C? cos??dx2x? ? sec2 xdx ? tan x ? C? sec x tan xdx ? sec x ? Cdx 1 ? x2 ? arcsin x ? C(11) csc x cot xdx ? ? csc x ? C?(12)(13)?1? x?dx2? arctan x ? C(14) sinh xdx ? cosh x ? C(15) cosh xdx ? sinh x ? C 例4 求?xdx3.解x ?3?1 1 dx ? ? x ? 3dx ? ?C ? ? 2 ?C. ? x3 ? 3 ?1 2x3.3.3 积分法则例5 求 解? ( x ? 1) 2 x ? 2 x ?1 3 12 3 dx ? ? dx ? ? ( x 3 ? 2 x 6 ? x 3 )dx ? x 3 ? x 6 ? x 3 ? C. ? 3x 3 5 7 2 x 2 1 1 5 7 2( x ? 1) 2 ? 3 x dx .例 6 求 (e ? 3 cos x ) dx.x?解? (ex? 3 cos x)dx ? ? e x dx ? 3? cos xdx ?e x ? 3 sin x ? C.x x例 7 求 2 e dx .?解x x x ? 2 e dx ? ? (2e) dx ?(2e) x 2x ex ?C ? ? C. ln(2e) 1 ? ln 2有时被积函数未必是标准形式,这时需要将被积函数变形. 例8 求x4 ? 1 ? x2 dx .解x4 x4 ? 1 ? 1 ( x 2 ? 1)( x 2 ? 1) ? 1 dx ? ? dx ? ? dx ? 1 ? x2 1 ? x2 1 ? x21 ? ? ? ? ? x2 ? 1 ? ?dx 1 ? x2 ? ?? ? x 2 dx ? ? dx ? ?例 9 求 tan xdx . 解1 1 dx ? x3 ? x ? arctan x ? C . 2 1? x 3?2? tan2xdx ? ? (sec2 x ? 1)dx ? ? sec2 xdx ? ? dx ? tan x ? x ? C.2例 10 求 解? sin2dx . x cos2 x? sindx x cos2 x2．积分形式不变性（凑分法） 例 11 求 2 cos 2 xdx . 解 令 u ? 2x ,则 cos 2 x ? cosu ,于是?? 2 cos2 xdx ? ? cos2 x ? 2dx ? ? cos2 x ? (2 x)?dx ? ? cosudu ? sin u ? C ,再以 u ? 2x 代入,即得 例 12 求 解? 2 cos 2 xdx ? sin 2x ? C .? 3 ? 2 x dx .1 1 du du ? , u ? 3 ? 2 x .这里缺少 ? 2 这样一个因子,但由于 是个 3 ? 2x u dx dx 1 1 1 1 1 ? ? ?2 ? ? (3 ? 2 x)? , 3 ? 2x 2 3 ? 2x 2 3 ? 2x1 1 1 1 11被积函数常数,故可改变系数凑出这个因子:从而令 u ? 3 ? 2x ,便有? 3 ? 2 x dx ? ? 2 ? 3 ? 2 x (3 ? 2 x)?dx ? ? 2 ? u du1 1 ? ln | u | ?C ? ln | 3 ? 2 x | ?C 2 2.例 13 解 例 14 解求? 2 xex2x2dx .2 2? 2 xe求dx ? ? e x d ( x 2 ) ? e x ? C .? tan xdx .sin x ?1? tan xdx ? ? cos x dx ?? cos x d (cos x) ? ? ln | cos x | ?C .? cot xdx ? ln | sin x | ?C .2类似可得 例 15 求?a1 dx . ? x21 ? x? 1? ? ? ?a?2解?a21 1 dx ? ? 2 ? 2 a ?xdx ?1 a?1 ? x? 1? ? ? ?a?2dx 1 x ? arctan ? C . a a a例 16求?dxdx a2 ? x2(a ? 0) .解?1 ?? 2 2 a a ?xdx ? x? 1? ? ? ?a?2??x x a ? arcsin ? C . 2 a ? x? 1? ? ? ?a? d例 17 求?x21 dx . ? a2解?x21 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 1 ? dx ? 2 ? ? x ? a ? x ? a ?dx ? 2a ? ? x ? a dx ?? x ? a dx? 2a ? ?a ? ? ?1 ? 1 1 ? ? ? x ? a d ( x ? a) ? ? x ? a d ( x ? a)? 2a ? ? 1 ? (ln | x ? a | ? ln | x ? a |) ? C 2a 1 x?a ? ln ? C. 2a x ? a ?例 18 求? x(1 ? 2 ln x) .dxdx解? x(1 ? 2 ln x) ? ? 1 ? 2 ln x ? 2 ?求d ln x1 d (1 ? 2 ln x) 1 ? ln | 1 ? 2 ln x | ?C . 1 ? 2 ln x 2例 19? sin3xdx .解? sin3xdx ? ? sin 2 x sin xdx ? ? ? (1 ? cos2 x)d (cos x)1 ? ? ? d (cos x) ? ? cos2 xd (cos x) ? ? cos x ? cos3 x ? C . 3例 20 求? cos44xdx .2解1 ? 1 ? cos 2 x ? 2 ? cos xdx ? ? ? 2 ? dx ? 4 ? (1 ? 2 cos 2 x ? cos 2 x)dx ? ??1 1 ? cos 4 x 1 3 cos 4 x ? (1 ? 2 cos2 x ? 2 )dx ? 4 ? ( 2 ? 2 cos2 x ? 2 )dx 41 ?3 1 ? ? 2 ? dx ? ? 2 cos 2 xdx ? 2 ? cos 4 xdx? 4? ?? ?1 ?3 1 1 ? ? 2 x ? ? cos 2 xd (2 x) ? 2 ? 4 ? cos 4 xd (4 x)? 4? ? 3 1 1 ? x ? sin 2 x ? sin 4 x ? C. 8 4 32例 21 求? csc xdx .解x d 1 dx 2 ? ? csc xdx ? ? sin x dx ? ? x x ? x x 2 sin cos tan cos2 2 2 2 2 x d tan 2 ? ln | tan x | ?C . ?? x 2 tan 2或者? csc xdx ? ? sin x ? ?dxsin xdx d cos x 1 1 ? cos x ? ?? ? ? ln ?C . 2 2 sin x 1 ? cos x 2 1 ? cos xx x sin 2 sin 2 x 2 ? 2 ? 1 ? cos x ? csc x ? cot x , 由于 tan ? 2 cos x sin x sin x 2所以上述不定积分,也可以表示为? csc xdx ? ln | csc x ? cot x | ?C .类似可得? sec xdx ? ln | sec x ? tan x | ?C.对于三角函数表达式,如果包含立方项,分出一个一次方项送进 d ,剩余的平方项使用三角恒等 式化简为一次式;如果包含平方项直接使用三角恒等式化简为一次式;如果是一次项的乘积,使用积化 和差公式.例 22 解求? sec66xdx .? secxdx ? ? (sec2 x) 2 sec2 xdx ? ? (1 ? tan2 x) 2 d tan x? ? (1 ? 2 tan2 x ? tan4 x)d tan x ? tan x ?例 23 求 解2 3 1 tan x ? tan5 x ? C. 3 5? tan55x sec3 xdx .? tanx sec3 xdx ? ? tan4 x sec2 x sec x tan xdx? ? (sec2 x ? 1) 2 sec2 xd sec x ? ? (sec6 x ? 2 sec4 x ? sec2 x)d sec x 1 2 1 ? sec7 x ? sec5 x ? sec3 x ? C. 7 5 3例 24 解 求? cos3x cos2 xdx .11? 1 ? ? ? ? cos xdx ? ? cos5 xd (5 x) ? 2? 5 ? 1 1 ? sin x ? sin 5 x ? C. 2 10? cos3x cos2 xdx ? ? 2 (cos x ? cos5x)dx3．积分换元法 例 25 求 解?a 2 ? x 2 dx ( a ? 0) .2 costdt ,于是根式化为三角式,设 x ? a sin t , ???t ??2,那么a 2 ? x 2 ? a 2 ? a 2 s in2 t ? a co st , dx ? a?a 2 ? x 2 dx ? ? a cost ? a costdt ? a 2 ? cos2 tdt ? a2 ?1 ? cos 2t a2 a2 dt ? t ? sin 2t ? C 2 2 4 2 2 a a ? t ? sin t cost ? C. 2 2 ? ? x 由于 x ? a sin t ,? ? t ? ,所以 t ? ainsin , 2 2 a? x? cost ? 1 ? sin 2 t ? 1 ? ? ? ? ?a?2a2 ? x2 , a于是所求积分为?dx2a 2 ? x 2 dx ?(a ? 0) .a2 x 1 arcsin ? x a 2 ? x 2 ? C . 2 a 2例 26 求?x ? a2解设 x ? a tan t ? ??? ? ? ? t ? ? ,那么 x 2 ? a 2 ? a 2 ? a 2 tan2 t ? a 1 ? tan2 t 2? ? 2dx ? a sec2 tdtt | ?C . e, 于 是? asect,?dx x2 ? a2??a sec2 t dt ? ? sectdt ? ln | s t ? t a sectacn为了要把 sect 及 tan t 换成 x 的函数,可以根据 tan t ?x 作辅助三角形,便有 asect ?x2 ? a2 , a且 sect ? tan t ? 0 ,因此??x ? ln ? ? x2 ? a2 ?a ? dxx2 ? a2 ? 2 2 ? ? C ? ln( x ? x ? a ) ? C1 , a ? ?图 3-7 例 27 求图 3-8?dx x ? a22(a ? 0) .解 当 x ? a 时,设 x ? a sect (0 ? t ??2) ,那么x 2 ? a 2 ? a 2 sec2 t ? a 2 ? a sec2 t ? a ? a tan t , dx ? a sect tan tdt ,于是?dx x2 ? a2??a sect tan t dt ? ? sectdt ? ln(sect ? tan t ) ? C. a tan ttan t ? x2 ? a2 , ax 根据 sect ? 作辅助三角形(图 3-8),得到 a因此,?x x2 ? a2 ? 2 2 ? ln ? ? ? ? C ? ln( x ? x ? a ) ? C1 , ? x2 ? a2 ? a a ? ? ? 当 x ? ?a 时,令 x ? ?u ,则 u ? a .有上有 dx?dx x ?a2 2? ??dx u ?a2 2? ? ln(u ? u 2 ? a 2 ) ? C? ? ln(? x ? x 2 ? a 2 ) ? C ? x ? x2 ? a2 ? ln ?C a2 ? ln(? x ? x 2 ? a 2 ) ? C1 ,合起来即为?dx x ?a2 2? ln | x ? x 2 ? a 2 | ?C .从上面我们总结如下:如果被积函数含有 a ? x ,可以作代换 x ? a sint 化去根式;2 2如果被积函数含有x 2 ? a 2 , 可 以 作 代 换 x ? a tant 化 去 根 式 ; 如 果 被 积 函 数 含 有x 2 ? a 2 ,可以作代换 x ? ?a sect 化去根式.除使用三角函数外也可以使用双曲函数进行化简. 例 28 求?a2 ? x2 dx . x4解设x ?a2 ? x2 1 dt dx ? ? ,那么 dx ? ? 2 ,于是 ? t t x41a2 ?1 t2 1 t4? dt ? ? ?? 2 ? ? t ?dx ?? ? (a 2t 2 ? 1) 2 | t | dt当 x ? 0 时,有?a2 ? x2 1 dx ? ? 2 ? (a 2t 2 ? 1) 2 d (a 2t 2 ? 1) 4 x 2a1 1(a 2t 2 ? 1) 2 ?? ?C 3a 2 ?? (a ? x ) ? C, 3a 2 x 32 1 2 2当 x ? 0 时,有相同结果. 下面时几个新的公式(16)? tan xdx ? ? ln | cos x | ?C .(17)? cot xdx ? ln | sin x | ?C .(18)? sec xdx ? ln | sec x ? tan x | ?C.(19)? csc xdx ? ln | csc x ? cot x | ?C .(20)?a? ?21 x 1 dx ? arctan ? C . 2 a a ?xdx(21)?x221 x?a 1 ln ? C. dx ? 2 2a x ? a ?a? ln( x ? x 2 ? a 2 ) ? C1 ,(22)x ? arcsin ? C a a2 ? x2 dx x ?a2 2(23)?dx x ?a2(24)? ln( x ? x 2 ? a 2 ) ? C1 ,(25)?a 2 ? x 2 dx ?a2 x 1 arcsin ? x a 2 ? x 2 ? C . 2 a 2例 29 求?x2dx . ? 2x ? 3解?x21 x ?1 1 dx ?? d ( x ? 1) ? arctan ?C . 2 2 ? 2x ? 3 ( x ? 1) ? ( 2 ) 2 2例 30 求?dxdx 4x2 ? 9??.解?dx (2 x) 2 ? 32.4x2 ? 9?1 d (2 x) 1 2 ? (2 x)2 ? 32 ? 2 ln(2 x ? 4 x ? 9 ) ? C. 2例 31 求?dx 1 ? x ? x2解?dx 1 ? x ? x24．分部积分法 例 32 求 x cos xdx . 解 再使用分部积分时,要选好 u 和 v ,选不对可能会越来越麻烦.我们选?u ? x, dv ? cos xdx ,那么 du ? dx, v ? sin x ,代入(2)得? x cos x ? x sin x ? ? sin xdx ,而 vdu ? sin xdx 容易积出,所以 例 33 求 xe dx . 解 u ? x, dv ? e dx ,那么 du ? dx, v ? e .于是x x??? x cos xdx ? x sin x ? cos x ? C .?x? xe dx ? xe ? ? e dx ? xex x xx? e x ? C ? e x ( x ? 1) ? C .例 34 求 x e dx . 解?2 x? x e dx ? ? x de2 x 2x? x 2e x ? ? e x d ( x 2 ) ? x 2e x ? 2 ? xe x dx? x 2e x ? 2? xdex ? x 2e x ? 2 xe x ? 2? e x dx ? x 2e x ? 2 xex ? 2e x ? C ? e x ( x 2 ? 2 x ? 2) ? C.总结以上例子,如果被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就 可以考虑用分部积分法,并设幂函数为 u . 例 35 求 x ln xdx . 解 设 u ? ln x, dv ? xdx ,那么?? x ln xdx ? ? ln xd?x2 2x2 x2 ln x ? ? d ln x 2 2 2 x 1 ? ln x ? ? xdx 2 2 2 x x2 ? ln x ? ? C. 2 4例 36 求 arccos xdx . 解 设 u ? arccos x, dv ? dx ,那么?? arccos xdx ? x arccos x ? ? xd arccos x? x arccos x ? ? dx 1 ? x2 1 1 ? x arccos x ? ? d (1 ? x 2 ) 2 2 1? x ? x arccos x ? ? 1 ? x 2 ? C.如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,就可以考虑用分布积 分法,并设对数函数或反三角函数为 u . 例 37 求 e sin xdx . 解x?x?exsin xdx ? ? sin xdex ? e x sin x ? ? e x cos xdx , ? e x sin x ? e x cos x ? ? e x sin xdx ,由于上面就是第三项就是所求的积分 e sin xdx ,把它移动到等号左端去,再两段同除以 2, 便得?x?e例 38 求 sec xdx . 解x1 sin xdx ? e x (sin x ? cos x) ? C . 2?3? sec3xdx ? ? sec xd tan x? sec x tan x ? ? sec x tan2 xdx ? sec x tan x ? ? sec x(sec2 x ? 1)dx ? sec x tan x ? ? sec3 xdx ? ? sec xdx ? sec x tan x ? ln | sec x ? tan x | ? ? sec3 xdx移项后得? sec xdx ? 2 (sec x tan x ? ln | secx ? tan x |) ? C .31例 39 求 I n ?? (x2dx , 其中 n 为正整数. ? a 2 )n解 当 n ? 1 时有dx x x2 ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2 dx ? ( x2 ? a 2 )n ?1 ( x ? a 2 )n ?1 ( x ? a 2 )n ?I n ?1 ?? ? x 1 a2 ? 2(n ? 1) ? ? 2 ? 2 dx. 2 2 n ?1 2 n ?1 2 n? (x ? a ) (x ? a ) ? ?(x ? a )2即x ? 2(n ? 1)( I n ?1 ? a 2 I n ) , ( x ? a 2 ) n ?1于是In ?? ? 1 x2 ? ( x 2 ? a 2 ) n ?1 ? (2n ? 3) I n ?1 ?. 2 2a (n ? 1) ? ?由此作递推公式,并由 I1 ?x 例 40 求 e dx .1 x arctan ? C ,即可得 I n . a a?解 令 x ? t ,则 x ? t , dx ? 2tdt .于是2?exdx ? 2 ? tet dt.利用例 2 的结果,并用 t ?x 代回,便得所求积分:?exdx ? 2 ? tet dt ? 2et (t ? 1) ? C? 2e x ( x ? 1) ? C .例 42 已知 f (x) 的一个原函数为 e 解 而e?x2 ?x2，求 xf ?( x)dx 。?? xf ?( x)dx ? ? xdf ( x) ? xf ( x) ? ? f ( x)dx是 f (x) 的一个原函数，则? f ( x)dx ? e从而?x2?cf ( x) ? ?2 xe? x则2? xf ?( x)dx ? ?2 x e3.4 定积分的计算 3.4.1 定积分的换元法例 1 计算 解2 ?x2? e? x ? c2?a0a 2 ? x 2 dx(a ? 0).设 x ? a sin t ，则 dx ? a costdt ，且当 x ? 0 时， t ? 0 ；当 x ? a 时， t ? 于是??2。?a0a 2 ? x 2 dx? a 2 ? 2 cos2 tdt ?0a2 2???2 0(1 ? cos 2t )dta2 ? 2换元公式也可以反过来用。 例 2 计算 解2 ? 1 ? 2 ?a t ? sin 2t ? ? . ? 2 4 ? ?0??2 0cos5 xsin xdx 。设 t ? cos x ，则 dt ? ? sin xdx ，且当 x ? 0 时， t ? 1；当 x ? 于是?2时， t ? 0 。??2 0?t6 ? 1 cos x sin xdx ? ? ? t dt ? ? ? ? ? 。 1 ? 6 ?0 65 0 51我们也可以不需要明显的写出新变量，从不需要变更积分的上、下限，比如：? cos6 x ? 2 1 1 2 cos5 x sin xdx ? ? ? 2 cos5 xd (cos x) ? ?? ? ? ?(0 ? 6 ) ? 6 ?0 0 ? 6 ?0例 3 计算 解????0?0sin3 x ? sin5 xdx 。sin3 x ? sin5 xdx ? ????0sin3 x cos2 xdx ? ???0sin3 x | cos x | dx? ? 2 sin3 x cos xdx ? ?? sin3 x cos xdx0 2?? ? 2 sin3 x d (sin x) ? ?? sin3 x d (sin x)0 2??? ?2 2 (sin 5 x) |02 ? (sin 5 x) |? ? 5 5 2 2 2 4 (1 ? 0) ? (0 ? 1) ? 5 5 5?例 4 计算?40x?2 dx. 2x ? 1 t2 ?1 , dx ? tdt ，且 2解设 2 x ? 1 ? t ，则 x ?当 x ? 0 时， t ? 1；当 x ? 4 时， t ? 3 于是?40t2 ?1 ?2 3 x?2 1 3 1 t3 22 3 dx ? ? 2 tdt ? ? (t 2 ? 3)dt ? ( ? 3t ) |1 ? 1 t 2 1 2 3 3 2x ? 1例 5 证明 （1）若 f (x) 在 [?a, a] 上连续且为偶函数，则 （2）若 f (x) 在 [?a, a] 上连续且为奇函数，则 证 因为? ?a?a af ( x)dx ? 2? f ( x)dx0a?af ( x)dx ? 0?对积分a?af ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx?a 00a?0?af ( x)dx 作变换 x ? ?t ，则得?于是0?af ( x)dx ? ?? f (?t )dt ? ? f (?t )dt ? ? f (? x)dxa 0 0 a a a0aa?a?af ( x)dx ? ? f (? x)dx ? ? f ( x)dx ? ? [ f ( x) ? f (? x)]dx0 0 0（1）若 f (x) 为偶函数，则 f ( x) ? f (? x) ? 2 f ( x) ，从而 （2）若 f (x) 为奇函数，则 f ( x) ? f (? x) ? 0 ，从而?a?af ( x)dx ? 2? f ( x)dx0a?a?af ( x)dx ? 0当计算对称区间上得积分时， 我们可以首先考虑被积函数是奇函数还是偶函数， 我们可以 利用此题进行简化。 例 6 若 f (x) 在 [0,1] 上连续，证明 （1） （2） 证???2 0f (sin x)dx ? ? 2 f (cos x)dx ；0??0xf (sin x)dx ??（1）设 x ??22??0f (cos x)dx ，由此计算 ??0x sin x dx. 1 ? cos2 x? t ，则 dx ? ?dt ，且当 x ? 0 时， t ? 于是?2；当 x ??2时， t ? 0 。??2 0f (sin x)dx ? ? ?? f (sin( ? t )dt 2 2 ? ? f (cos t )dt ? ? 2 f (cos x)dx2 0 00???（2） 设 x ? ? ? t ，则 dx ? ?dt ，且 当 x ? 0 时， t ? ? ；当 x ? ? 时， t ? 0 。 于是??0xf (sin x)dx ? ? ? (? ? t ) f [sin(? ? t )]dt?0? ? (? ? t ) f (sin t )dt0?? ? ? f (sin t )dt ? ? tf (sin t )dt0 0??? ? ? f (sin x)dx ? ? xf (sin x)dx,0 0??所以? ??0xf (sin x)dx ??2??0f (cos x)dx利用上述结论，即得?0x sin x ? ? sin x ? ? d (cos x) dx ? ? dx ? ? ? 1 ? cos2 x 2 0 1 ? cos2 x 2 0 1 ? cos2 x? ? [arctan(cos x)]? 0 2 ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?? ? ? ? . 2? 4 4? 4?例 7 设函数? xe? x , ? f ( x) ? ? 1 , ? ?1 ? cos x2x ? 0, ? 1 ? x ? 0,计算?41f ( x ? 2)dx.设 x ? 2 ? t ，则 dx ? dt ，且 当 x ? 1 时， t ? ?1 ，当 x ? 4 时， t ? 2解 于是?41f ( x ? 2)dx ? ? f (t )dt ? ??1 022 2 1 dt ? ? te? t dt ?1 1 ? cos t 0 0 2t? ? ?1 2 ? ? ? tan ? ? ? e ? t ? 2 ? ?1 ? 2 ? ?0 1 1 1 ? tan ? e ? 4 ? . 2 2 23.4.2 定积分的分部积分法例 8 计算 解?1 2 0arcsin xdx.1 2 0 1 2 0?1 2 0a r c s xdx ? [ x a r c s x] ? ? in inx 1 ? x21dx1 ? ? 3 2 ? ? ? [ 1 ? x 2 ]0 ? ? ?1。 2 6 12 2例 9 计算 解?e01xdx.2先用换元法，令 x ? t ，则 x ? t , dx ? 2tdt ，且 当 x ? 0 时， t ? 0 ；当 x ? 1 时， t ? 1。于是?e01xdx ? 2? tet dt ? 2? tdet0 011? 2([tet ]1 ? ? et dt) 001? 2(e ? [e ]例 10 证明定积分公式t 1 0? 2[e ? (e ? 1)] ? 2.? ? ? I n ? ? sin xdx? ? ? 2 cosn xdx? ? 0 ? ? ? 3 1 ? ?n ?1 n ? 3 ? n ? n ? 2 ? ? ? 4 ? 2 ? 2 , n为正偶数 ? ?? ? n ? 1 ? n ? 3 ? ? ? 4 ? 2 , n为大于1的正奇数. ? n n?2 5 3 ?2 0 n?证I n ? ? ? 2 sin n ?1 xd cos x0?? [? cos x sin?n ?1x] ? (n ? 1) ? 2 sin n ? 2 x cos2 xdx.2 ? 0??? (n ? 1) ? 2 sin n ? 2 xdx ? (n ? 1) ? 2 sin n xdx0 0?? (n ? 1) I n ? 2 ? (n ? 1) I n ,由此得In ?n ?1 In?2. n这个等式叫做积分 I n 关于下标的递推公式。 如果把 n 换成 n ? 2 ，则得In?2 ?n?3 In?4. n?2同样地依次进行下去，直到 I n 的下标递减到 0 或 1 为止。于是，2m ? 1 2m ? 3 2m ? 5 5 3 1 ? ? ?? ? ? ? I0 , 2m 2m ? 2 2m ? 4 6 4 2 2m 2m ? 2 2m ? 4 6 4 2 I 2 m ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? I1 2m ? 1 2m ? 1 2m ? 3 7 5 3 I 2m ?(m ? 1,2,?),而 因此I 0 ? ? 2 dx ?0??2, I1 ? ? 2 sin xdx ? 1,0?2m ? 1 2m ? 3 2m ? 5 5 3 1 ? ? ? ??? ? ? ? , 2m 2m ? 2 2m ? 4 6 4 2 2 ? 2m 2m ? 2 2m ? 4 6 4 2 I 2 m ?1 ? ? 2 sin 2 m ?1 dx ? ? ? ??? ? ? 0 2m ? 1 2m ? 1 2m ? 3 7 5 3 I 2 m ? ? 2 sin 2 m dx ?0?(m ? 1,2,?),3.5 定积分应用举例 3.5.2 几何应用举例1． 平面图形的面积 例 1 求由抛物线 y ? x ? 1 与 y ? 7 ? x 所围成的平面图形的面积 A 。2 2解 两曲线交点横坐标为 x ? ?2 。 所求面积 A 是非均匀连续分布在区间 [?2,2] 上且对区间具有可加性的量，因此，可以 使用微元法来解决。图 3－9图 3－10任取 [?2,2] 上一个子区间 [ x, x ? dx] ，该子区间上相应面积 ?A 近似地等于以 dx 为底， 高为 [(7 ? x ) ? ( x ? 1)] 的小矩形面积，如图 3－9 所示2 2微元为 从而dA ? [(7 ? x 2 ) ? ( x 2 ? 1)]dx ? 2(4 ? x 2 )dxA ? ? dA ? 2? (4 ? x 2 )dx ??2 ?22264 3一般地，假设函数 f ( x), g ( x) 均在 [a, b] 上连续，且 f ( x) ? g ( x) ，由 y ? f ( x), y ? g ( x) 及 直线 x ? a, x ? b 所围成的平面图形的面积（如图 3－20）所示 A 为A ? ? [ g ( x) ? f ( x)]dxab例 2 计算抛物线 y ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围成的图形的面积。2解这个图形如图 3－11 所示，求解方程组? y 2 ? 2 x, ? ? y ? x ? 4,得交点 (2,?2) 和 (8,4) ，从而知道这图形在直线y ? ?2 及 y ? 4 之间。图 3－11 选 y 作为积分变量，则相应于 [?2,4] 上任一小区间 [ y, y ? dy] 的窄条面积近似于高为dy 、底为 ( y ? 4) ?1 2 y 的窄矩形的面积，从而得到面积元素 21 ? ? dA ? ? y ? 4 ? y 2 ?dy. 2 ? ?以? y ? 4 ?? ?1 2? y ?dy 为被积表达式，在闭区间 [?2,4] 上作定积分，便得所求的面积为 2 ?4 ? 1 ? A ? ? ? y ? 4 ? y 2 ?dy ?2 2 ? ?? y2 y3 ? ? ? ? 4y ? ? 6 ??2 ?2 ? 18 .此题如果选择 x 作积分变量，则要作两个定积分，所以要适当的选取积分变量，从而使 计算方便。 例 3 求椭圆4x2 y 2 ? ? 1 所围成的图形的面积。 a 2 b2解由对称性可知，只需计算椭圆在第一象限中图形的面积 S1 （如图 3－12 所示） ，然后乘以 4 即可，及所求面积S ? 4S1 ? 4? ydx0a根据椭圆的参数方程 ?? x ? a cost ，应用定积分的换元积分法，令 x ? a cost ，则 ? y ? b sin t?? ? y ? b s int ，且 x? ? ? 0, x(0) ? a ，于是 ?2?S ? 4?? b sin td (a cost ) ? 4ab?? (? sin 2 t )dt ? ?ab2 200当 a ? b 时，即为圆的面积 ?a2某些平面图形，用极坐标来计算它们的面积比较方便。 设由曲线 ? ? ? (? ) 及射线 ? ? ? ,? ? ? 围成一图形（简称曲边扇形） ，现在要计算它的 面积（图 3－12） 。这里， ? (? ) 在 [? , ? ] 上连续，且 ? (? ) ? 0图 3－12 由于当 ? 在 [? , ? ] 上变动时，极径 ? ? ? (? ) 也随之变动，因此所求图形的面积不能直 接用圆扇形面积的公式 A ?1 2 R ? 来计算。 2取极角 ? 为积分变量， 变化区间为 [? , ? ] ， 相应于任一小区间 [? ,? ? d? ] 的窄曲边梯形 的面积可以使用半径为 ? ? ? (? ) 、中心角为 d? 的圆扇形的面积来近似代替，从而得到这 窄曲边梯形的近似值，即曲边扇形的面积元素为 dA ? 分，便得所求曲边扇形的面积为1 [? (? )]2 d? ，从而在 [? , ? ] 作定积 2A??例 4 计算心型线??1 [? (? )]2 d? 。 2? ? a(1 ? cos? ) (a ? 0)所围成图形的面积。图 3－13 解 显然值需要计算 x 轴上方的面积，在乘以 2 ，上方面积 ? 的取值范围为 [0,? ] ，故A ? 2?? 1 2 a (1 ? cos? ) 2 d? ? a 2 ? (1 ? 2 cos? ? cos2 ? )d? 0 2 0 ? 3 1 ? a 2 ? ( ? 2 cos? ? cos 2? )d? 0 2 2 3 1 3 ? a 2 ( ? ? 2 sin? ? sin 2? )? ? ?a 2 0 2 4 2?2． 立体体积平行截面面积为已知的立体的体积可以使用定积分计算。图 3－13 如图 3－13 所示， 取上述定轴为 x 轴， 并设该立体在过点 x ? a、x ? b 且垂直于 x 轴的 两个平面之间。以 A(x) 表示过点 x 且垂直于 x 轴的截面面积。假定 A(x) 为 x 的已知的连续 函数。这时，取 x 为积分变量，它的变化区间为 [a, b] ；立体中相应于 [a, b] 上任一小区间[ x.x ? dx] 的一薄片的体积，近似于底面积为 A(x) 、高为 dx 的扁柱体的体积，及体积元素 dV ? A( x)dx以 A( x)dx 为被积表达式，在闭区间 [ a.b] 上作定积分，便得所求立体的体积V ? ? A( x)dx.ab例 5 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底圆交成角 ? （图 3－14） 。计算 这平面截圆柱体所得立体的体积 解 如图建立坐标系，则立体过 x 轴且垂直于 x 轴的截面是一个直角三角形，其直角边 为 y 及 y ? tan? ， 即R2 ? x2 及R2 ? x2tan? 。 因 而 截 面 积 为1 A( x) ? ( R 2 ? x 2 ) tan? ，于是所求立体体积为 2V ?? 1 2 1 1 ? 2 ? ( R ? x 2 ) tan?dx ? tan? ? R 2 x ? x 3 ? ? R 3 tan? . ?R 2 2 3 ??R 3 ?R R图 6－14 旋转体就是一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体。 这条直线叫做旋转 轴。 设平面图形是由连续曲线 y ? f (x) 、 直线 x ? a、x ? b 及 x 轴所围成的曲边梯 形，立体是由这个平面图形绕 x 轴旋转一 周而成的，现在我们使用定积分来计算这 种旋转体的体积。 取横坐标 x 为积分变量，它的变化区 间为 [a, b] 。相应于 [a, b] 上的任一小区间[ x, x ? dx] 的窄曲边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积近似于以 f (x) 为底半径， ， dx 为高的扁圆柱体的体积（图 3－15） 图 3－15 即体积元素dV ? ? [ f ( x)]2 dx 。以 ? [ f ( x)] dx 为被积表达式，在闭区间 [a, b] 上作定积分，便得所求旋转体体积为2V ? ? ? [ f ( x)]2 dx 。ab例 6连接坐标原点 O 及点 P(h, r ) 的直线、直线 x ? h 及 x 轴围成一个直角三角形（图 3－16） 将它绕 x 轴现在一周构成一个底半径为 。 r 、高为 h 的圆锥体。计算这圆锥体的体积。 解 过原点 O 及点 P(h, r ) 的直线方程为y?r x h取横坐标 x 为积分变量，它的变换区间为 [0, h] 。圆锥体中相应于 [0, h] 上任一小区间r [ x, x ? dx] 的薄片的体积近似于底半径为 x 、 h 高为 dx 的扁圆柱体的体积，及体积元素为?r ? dV ? ? ? x ? dx. ?h ?于是所求圆锥体的体积为2图 3－16?r 2 ? x 3 ? ?r 2 h ?r ? V ? ? ? ? x ? dx ? 2 ? ? ? . 0 h ? 3 ?0 3 ?h ?h 2h类似于上面的方法，我们可以得到：由曲线 x ? ? ( y) 、直线 y ? c、y ? d (c ? d ) 与 y 轴所围成的曲边梯形，绕 y 轴旋转一周而成的旋转体（图 3－17）的体积为V ? ? ? [? ( y)]2 dy.cd图 3－17图 3－18例 7 计算由摆线 x ? a(t ? sin t ), y ? a(1 ? cost ) 的一拱，直线 y ? 0 所围成的图形分 别绕 x 轴、 y 轴旋转而成的旋转体的体积。 解 按旋转体的体积公式，所述图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为Vx ? ?2?a0?y 2 ( x)dx ? ? ? a 2 (1 ? cost ) 2 ? a (1 ? cost )dt0 2? 02?? ?a 2 ? (1 ? 3 cost ? 3 cos2 t ? cos3 t )dt ? 5? 2 a 3 .所述图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积可看成平面图形 OABC 与 OBC （图 3－18）分别 绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积之差，因此所求的体积为2 Vy ? ? ?x2 ( y )dy ? ? ?x12 ( y )dy 0 02a2a? ? ? a 2 (t ? sin t ) 2 ? a sin tdt ? ? ? a 2 (t ? sin t ) 2 ? a sin tdt2? 0??? ??a 3 ? (t ? sin t ) 2 ? sin tdt ? 6? 3a 3 .02?除了按此方式求平面图绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积外， 我们可以使用下列方式来求 绕 y 轴的旋转体体积。 我们可以将 [ x, x ? dx] 上的小窄曲边梯形绕 y 轴旋转， 则其形成的立体可看作底半径为x 、高为 f (x) 、厚为 dx 的圆管的体积。高体积为 dV ? 2?xf ( x)dx ，及该立体的体积元素为 2?xf ( x)dx ，从而将其在 [a, b] 上作定积分即得所求体积。图 3－19V ? 2? ? xf ( x)dx 。ab例如上题的第二问，可以使用如下方式求得V y ? 2? ?2?a0xf ( x)dx ? 2? ? a (t ? sin t ) ? a (1 ? cost ) ? a (1 ? cost )dt02?? 2?a 3 ? (t ? sin t )(1 ? cost ) 2 dt ?0 2? 3 t ? 2?a 3 ? ( t ? 2t cost ? cos 2t ? sin t ? 2 sin t cost ? sin cos2 tdt 0 2 2 3 3 ? 6? a2?3． 平面曲线的弧长 例 8 计算曲线 y ?2 3/ 2 x 上相应于 x 丛 a 到 b 的一段弧（图 3－21）的弧长度。 3解由上述公式得 s ??ba1 ? y?2 dx ? ?ba?2 ? 1 ? x dx ? ? ? (1 ? x)3 / 2 ? ` ?3 ?ab2 ? [(1 ? b)3 / 2 ? (1 ? a)3 / 2 ]. 3图 3－21 例 9 求阿基米德螺线 ? ? a? (a ? 0) 相应于 ? 丛 0 到 2? 一段（图 3－22）的弧长 解s??2?0? 2 (? ) ? ? ?2 (? )d? ? ?2?0a 2? 2 ? a 2 d? ? a ?2?01 ? ? 2 d? ,a ? [2? 1 ? 4? 2 ? ln(2? ? 1 ? 4? 2 )]. 2图 3－22 4． 旋转体的侧面积 例 10 设有曲线 y ?x ? 1 ，过原点 O(0,0) 作其切线，求此切线与曲线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周，所得到旋转体的全面积（图 3-24） 解y? ?1 1 ，则该曲线过原点的的切线为 y ? x ，将 ( x0 , x0 ? 1) 代入， 2x ? 1 2 x0 ? 1解得 x0 ? 2 ，于是切点为 ( 2,1) ，切线方程为 y ? 由曲线 y ?1 x。 2x ? 1(1 ? x ? 2) 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积2 2 1 1S1 ? 2? ? y 1 ? y?2 dx ? ? ?由直线段 y ?4 x ? 3dx ??6(5 5 ? 1)1 x(0 ? x ? 2) 绕 x 轴旋转一周所得到旋转面的面积 2S 2 ? 2? ?211 5 x? dx ? 5? 2 2因此，所求旋转体的全面积为S ? S1 ? S2 ??6(11 5 ? 1)3.5.3 物理、力学应用举例1． 作功问题 例 11 把一个带 ? q 电荷量的点电荷放在 r 轴上坐标原点 O 处， 它产生一个电场。 这个 电场对周围的电荷由作用力。 由物理学知道， 如果由一个单位正电荷放在这个电场中距离原 点 O 为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为q (k 为常数)。 r2 如图 3－26，当这个单位点电荷在电场中从 r ? a F ?k处沿 r 轴移动到 r ? b (a ? b) 处时，计算电场力F 对它所作的功。解 在上述移动过程中，电场对这单位点电 荷的作用力是变的，取 r 为积分变量，它的变化区 图 3－26间为 [a, b] 。设 [r , r ? dr] 为 [a, b] 上的一个小区间。当单位点电荷从 r 移动到 r ? dr 时，电 场力对它所作的功近似于kq dr ，即功元素为 r2 kq dW ? 2 r drb于是所求功为W ??kq ? 1? ? 1 1? dr ? k q?? ? ? k q? ? ?. a r2 ? r ?a ?a b?b例 12 一圆柱体的贮水桶高为 5m，底圆半径为 3m。桶内盛满了水。试问要把桶内的 水全部吸出需作多少功？ 解 作 x 轴如图 3－27 所示。 取深度 x 为积分变量。 它的变化区间为 [0,5] ， 相应于 [0,5]上任一小区间 [ x, x ? dx] 的一薄层水的高度为 dx 。因此如 x 的单位为 m ，这薄层水的重力 为 9.8 ? ? 3 dx kN。把这薄层水吸出桶外需作的功近似地为2dW ? 88.2? ? x ? dx,此即功元素。于是所求的功为? x2 ? W ? ? 88 .2?xdx ? 88 .2? ? ? 0 ? 2 ?0 25 ? 88 .2? ? ? 3462 (k J). 255图 3－27 2． 液体的静压力问题 例 13 一个横放着的圆柱形水桶， 桶内盛有半桶水 （图 3－28(a)） 设桶的的半径为 R ， 。 水的密度为 ? ，计算桶的一个端面上所受的压力。图 3－28 解 桶的一个端面是圆片， 所以现在要计算的是当水平面通过圆心时， 铅直放置的一个 半圆片的一侧所受到的水压力。 如图建立坐标系，则压力元素为 于是所求压力为dP ? 2 ?gx R 2 ? x 2 dx.P ? ? 2 ?gx R 2 ? x 2 dx ? ? ?g ? ( R 2 ? x 2 )1 / 2 d ( R 2 ? x 2 )0 0RR2 ?g 3 ?2 ? ? ? ?g ? ( R 2 ? x 2 )3 / 2 ? ? R. 3 ?3 ?0R3．引力问题 例 14 设有一长度为 l 、线密度为 ? 的均匀细直 棒，在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点 M 。试计算该棒对质点 M 的引力。 解 取坐标系如图 3－29 所示， 使棒位于 y 轴上， 质点 M 位于 x 轴上，棒的中点为原点 O 。取 y 为积分变量，它的变化区间为 ??? l l? ? l l? , ? 。设 [ y, y ? dy] 为 ?? , ? 上任一小区间。把细直棒上 ? 2 2? ? 2 2?a 2 ? y 2 。因此相应于 [ y, y ? dy] 的一段近似地看成质点，其质量为 ?dy ，与 M 相距 r ?可以按照两质点间的引力计算公式求出这段细直棒对质点 M 的引力 ?F 的大小为?F ? Gm?dy ， a2 ? y2图 3－29从而求出 ?F 在水平方向分力 ?Fx 的近似值，即细直棒对质点M 的引力在水平方向分力 Fx 的元素为dFx ? ?G于是得引力在水平方向的分力为am?dy (a ? y )2 3 2 2.Fx ? ? ? 2l?lGam?2 3 2 2dy(a ? y ) 2Gm?l 1 ?? ? . a 4a 2 ? l 22由对称性知，引力在铅直方向分力为 Fy ? 0 。 当细直棒的长度 l 很大时，可视 l 趋于无穷。此时，引力的大小为 棒垂直且由 M 指向细棒。2Gm? ，方向与细直 a3.5.4 函数的平均值例 15 求全波整流电流 i(t ) ? I 0 | sin ?t | ( I 0 ? 0) 的平均值。 解 于是 全波整流电流的周期 T ?? ，求周期函数的平均值指的是求一个周期上的平均值， ?I?_1 T ?I ?0 I 0 | sin?t | dt ? ? 0 T?? ?0sin ?tdt ??I0? (? cos?t ) 0 ??2?I03.6 反常积分 3.6.1 无穷区间上的反常积分例 1 计算反常积分?????dx 。 1 ? x2解?? ? ?? dx ? ? [arctan x]? ? ? lim arctan x ? lim arctan x ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 1 ? x x ? ?? x ? ?? 2 ? 2???这个反常积分值的几何意义是：当 a ? ?? 、 b ? ?? 时，虽然图 5－7 中阴影部分向 左、右无限延伸，但其面积却有极限值 ? 。简单地说，它是位于曲线 y ? 轴上方的图形面积。1 的下方， x 1 ? x2例 2 计算反常积分???0。 te? pt dt( p 是常数，且 p ? 0 ）??解???0? 1 ? ? te? pt dt ? [ ? te? pt dt]0 ? ? ?? ? tde? pt ? ? p ?0? t ? 1 ? ?? e ? pt ? ? e ? pt dt ? p ? p ?0????? t ? ?1 ? ? ?? e ? pt ? ? ? 2 e ? pt ? ? p ?0 ?p ?0 1 1 1 ? ? lim te? pt ? 0 ? 2 (0 ? 1) ? 2 . t ? ?? p p p例 3 证明反常积分 解 当 p ? 1 时，?????adx (a ? 0) 当 p ? 1 时收敛，当 p ? 1时发散。 xp?当 p ? 1 时，??adx ? ? dx ? ? [ln]? ? ? ?? ， a x p ?a x???a?? ? , p ? 1, ?? dx ? x1? p ? ? 1? p ?? ? ??a p x ?1 ? p ? a ? p ? 1 , p ? 1. ?因此，当 p ? 1 时，这反常积分收敛，其值为a1? p ；当 p ? 1 时，这反常积分发散。 p ?13.6.2 无界函数的反常积分例 4 计算反常积分 解 因为?adx a ? x220(a ? 0).x?alim?1 a2 ? x2? ?? ，所以点 a 是瑕点，于是?y? 1 a2 ? x2a0x? x ? ? ? ?arcsin ? ? lim? arcsin ? 0 ? . a ?0 x?a a 2 a2 ? x2 ? dxa这个反常积分值的几何意义是： 位于曲线 之下，x 轴之上， 直线 x ? q 之间的图形面积dx 的收敛性。 ?1 x 2 1 解 被 积 函 数 f ( x) ? 2 在 积 分 区 间 x 1 [?1,1] 上除 x ? 0 外连续，且 lim 2 ? ?. x ?0 x例 5 讨论反常积分?1由于0 0图 5－8dx ? 1 ? ? 1? ??1 x 2 ? ?? x ? ?1 ? xlim? ? ? x ? ? 1 ? ?? ， ?0 ? ? ? ?即反常积分?dx 发散，所以反常积分的瑕点，就会得到以下的错误结果： ?1 x 20dx ? 1 ? ??1 x 2 ?? x ? ?1 ? ?1 ? 1 ? ?2. ? ?11例 6 证明反常积分? ( x ? a)abdxq当 q ? 1 时收敛；当 q ? 1 时发散。证当 q ? 1 时，? ( x ? a) ? ? ( x ? a) ?[ln( x ? a)]a q a x?abdxbdxb a? ln(b ? a ) ? lim? ln( x ? a ) ? ??.当 q ? 1 时，? (b ? a )1? q b , q ? 1, ? ( x ? a )1? q ? dx ? ?a ( x ? a)q ? ? 1 ? q ? ? ? 1 ? q ? ?a ? q ? 1. ?? ? ,b因此，当 q ? 1 时，这反常积分，其值为??(b ? a)1? q ；当 q ? 1 时，这反常积分发散。 1? q例 7 求反常积分 解?dx x(x ? 1)3。0这里，积分上限为 ? ? ，且下限 x ? 0 为被积函数的瑕点。2 ? 令 x ? t ，则 x ? t , x ? 0 时 t ? 0, x ? ?? 时 t ? ?? 。于是???0?? ?? dx 2tdt dt ?? ? 2? . 0 t (t 2 ? 1) 3 / 2 0 (t 2 ? 1) 3 / 2 x( x ? 1)再令 t ? tan u ，取 u ? arv tan t , t ? 0 时 u ? 0, t ? ?? 时 u ??2。于是???dx x( x ? 1)30? 2? 20?sec2 udu ? 2 ? 2 cosudu ? 2. 0 sec3 u?3.6.3 反常积分的审敛法例 8 判别反常积分 解 由于? 函数??? 3dx x4 ? 1的收敛性。10?13x ?14?13x4?1 x4 / 3，根据比较审敛法 1，这个反常积分收敛。 例 9 判断反常积分 解 由于???dx x 1 ? x2的收敛性。1x ? ??lim x 2 ?1 x 1? x2? lim1 1 1? 2 xx ? ??? 1.根据极限收敛法 1，所给反常积分收敛。 例 10 判断反常积分 解 由于x ? ?????1arctan x dx 的收敛性。 xlim xarctan x ? ? lim arctan x ? x ? ?? x 2根据极限收敛法 1，所给反常积分发散。 例 11 判定反常积分 解 因为 | e? ax???0e? ax sin bxdx(a, b 都是常数，且 a ? 0 ）的收敛性。?? ??sin bx |? e ? ax ，而 ? e? axdx 收敛，从而 ? | e? ax sin bx |dx 收敛，再由定0 0理 5 可知所给反常积分收敛。 二、无界函数的反常积分的审敛法 例 12 判定反常积分 解?31这里 x ? 1 是被积函数的瑕点。由洛必达法则知x ?1?dx 的收敛性。 ln xlim ( x ? a)1 1 ? lim? ? 1 ? 0 x ?1 1 ln x x根据极限审敛法 2，所给反常积分发散。 三、 ? 函数第三章复习 X.1 积分换元的几种形式1． 利用三角函数代换，变根式积分为三角有理式积分 求?x2 ? 9 dx x2解 令 x ? 3sect ，则 dx ? 3sect ? tantdt 于是?x2 ? 9 3 tan t tan2 t dx ? ? 3 sect ? tan tdt ? ? dt x2 9 sec2 t sect? ? (sect ? cost )dt ? ln | sect ? tan t | ? sin t ? C1 ? ln | x ? 3 x2 ? 9 x2 ? 9 |? ? C1 3 x x2 ? 9 ? C. xln | x ? x 2 ? 9 | ?练习 求? (xxdx2? 1) 1 ? x 22． 倒代换（即令 x ?1 ） t设 m, n 分别为被积函数的分子、分母关于 x 的最高次数，当 n ? m ? 1 时，可以考虑使 用倒代换。 求?xdx2a2 ? x2(a ? 0)解 令x ? 原式 ? t1 1 ，则 dx ? ? 2 dt ，于是 t ttdt 1 d (a 2t 2 ? 1) ? 1 ? ? ? ? 2 dt ? ? ? ? ?? 2? 2 a 2 a 2t 2 ? 1 ? a 2t 2 ? 1 ?1? ? t 2 a ?? ? ?t? 1?2??a 2t 2 ? 1 x2 ? a2 ?C ? ? ?C a2 a2 x练习?xx ?12x2 ? 1dxx3． 指数代换（适用于被积函数 f (x) 由 a 所构成的代数式） 令 a ? t ， dx ?x1 dt ? . ln a t求2 x dx ? 1 ? 2x ? 4xx1 dt ? ln 2 t t 1 dt 1 dt 原式 ? ? ? ? ? 2 ? 12 3 1 ? t ? t ln 2 t ln 2 (t ? ) ? 2 4解 令 2 ? t ， dx ?1 1 d (t ? ) t? 1 2 2 2 ?C ? ? arctan 2 ln 2 3 3 ? 3? 1 ? (t ? ) 2 ? ? ? 2 ? 2 2 ? ? 2 2t ? 1 2 2 x ?1 ? 1 ? arctan ?C ? arctan ?C 3 ln 2 3 3 ln 2 3 1 ? ln 2 ?练习 求?dx 1? e ? e ? ex 2 x 3 x 6X.2 有理函数的积分一、有理函数的积分 形为P( x) a0 x n ? a1 x n ?1 ? ? ? an ?1 x ? an ? ， Q( x) b0 x m ? b1 x m ?1 ? ? ? bm ?1 x ? bm（1）a 其中 m 和 n 都是非负整数； 0 , a1 , a2 ,?, an 及 b0 , b1 , b2 ,?, bm 都是实数， 并且 a0 ? 0, b0 ? 0 。假定分子与分母之间没有公因式，当 n ? m 时，称（1）为真分式；否则为假分式。利 用多项式的除法， 总可以将一个假分式转换为一个多项式与一个真分式的和。 而多项式的积 分容易求得，所以只需要讨论真分式的积分。真分式由如下性质: 如果真分式 Q(x) 在实数范围内能分解称一次因式与二次质因式的乘积，如Q( x) ? b0 ( x ? a)? ?( x ? b) ? ( x 2 ? px ? q)? ?( x 2 ? rx ? s) ?（其中 p ? 4a ? 0,?, r ? 4s ? 0), 那么真分式2 2P( x) 可以分解成如下部分分式之和： Q( x)P( x) A1 A2 A ? ? ?? ? ? ? ?1 Q( x) ( x ? a ) ( x ? a) x?a ???????? B B1 B2 ? ?? ? ( x ? b) ? ( x ? b) ? ?1 x?b M x ? N1 M x ? N2 M x ? N? ? 2 1 ? 2 2 ??? 2 ? ? ? ?1 ( x ? px ? q) ( x ? px ? q) x ? px ? q ???????? ?? R x ? S? R1 x ? S1 R x ? S2 ? 2 2 ? ? ? 2? ? ? ?1 ( x ? rx ? s) ( x ? rx ? s ) x ? rx ? s2（2）其中 Ai、Bi、M i、Ni、Ri 及 S i 等都是常数。对于（2）式应注意以下两点：1）分母 Q(x) 中如果有因式 ( x ? a ) ，那么分解后有下列 k 个部分分式之和kA1 A2 A ? ?? k k k ?1 ( x ? a) ( x ? a) x?a其中 A1 , A2 ,?, An 都是常数，特别地，如果 k ? 1 ，那么分解后有2 k 2A ； x?a2） 分母 Q(x) 中如果有因式 ( x ? px ? q) ， 其中 p ? 4q ? 0 ， 那么分解后有下列 k 个 部分分式之和M 1 x ? N1 M x ? N2 M x ? Nk ? 2 2 ??? 2 k k k ?1 ( x ? px ? q) ( x ? px ? q) x ? px ? q2其中 M i , Ni 都是常数，特别地，如果 k ? 1 。那么分解后有Mx ? N 。 x ? px ? q2然后我们可以使用待定系数法，或者直接代入 x 的特殊值求出系数 例如，真分式x?3 x?3 x?3 A B 可分解成 ? ? ? x ? 5 x ? 6 ( x ? 2)( x ? 3) ( x ? 2)( x ? 3) x ? 2 x ? 32其中 A, B 为待定系数，可以用如下的方法求出待定系数。 第一种方法 两端去分母后，得 x ? 3 ? A( x ? 3) ? B( x ? 2) 或x ? 3 ? ( A ? B) x ? (3 A ? 2B)（3）因为这时恒等式，等式两端 x 的系数和常数项必须分别相等，于是有 ? 从而解得?A ? B ? 1 ?? (3 A ? 2 B ) ? 6A ? ?5, B ? 6.第二种方法 在恒等式（3）中代入特殊的 x 值，从而求出待定的常数。在（3）式中 令 x ? 2 ，得 A ? ?5 ； 令 x ? 3 ，得 B ? 6 . 同样得到x?3 ?5 6 ? ? ( x ? 2)( x ? 3) x ? 2 x ? 3例1 求 解?x2x?3 dx . ? 5x ? 6 x?3 ?5 6 , ? ? x ? 5x ? 6 x ? 2 x ? 32因为所以? ( x ? 2)( x ? 3) dx ? ? ? x ? 2 ? x ? 3 ?dx ? ?1 1 dx ? 6 ? dx x?2 x?3 ? ?5 ln ? x ? 2 | ?6 ln | x ? 3 | ?C. ? ?5?例2 求x?3? ?56 ?解 由于被积函数的分母是二次质因式,所以应另想方法.因为分子是一次式 x ? 2 ,而分 母的导数,由于分子是一次式,而分母的导数也是一次式,所以可以把分子拆成两部分之和:一 部 分 是 分 母的 导 数 乘上一 个 常 数 因子 ;另 一 部 分是 常 数 , 即 x ? 2 ? ? (2 x ? 2) ? 1? ? 2?x2x?2 dx . ? 2x ? 3?1 ?2? ?1 ? (2 x ? 2) ? 3 2这样,所求的积分可计算如下:1 (2 x ? 2) ? 3 x?2 dx ? ? 2 2 dx ? x2 ? 2x ? 3 x ? 2x ? 3 1 d ( x 2 ? 2 x ? 3) d ( x ? 1) ? ? 2 ? 3? 2 x ? 2x ? 3 ( x ? 1) 2 ? ( 2 ) 2 1 3 x ?1 ? ln( x 2 ? 2 x ? 3) ? arctan ? C. 2 2 2例3 求? x( x ? 1) dx .1 A B C ,两端去分母,得 ? ? ? 2 2 x( x ? 1) x ( x ? 1) x ?11 ? A( x ? 1) 2 ? Bx ? Cx( x ? 1) .(4)1解因为令 x ? 0 ,得 A ? 1 ;令 x ? 1 ,得 B ? 1 ,把 A, B 的值代入(4)式,并令 x ? 2 ,得 1 ? 1 ? 2 ? 2C ,即C ? ?1 .所以? x( x ? 1)12?1 1 1 ? dx ? ? ? ? ? dx 2? ? x x ? 1 ( x ? 1) ? 1 1 1 ? ? dx ? ? dx ? ? dx x x ?1 ( x ? 1) 2 1 ? ln | x | ? ln | x ? 1 | ? ? C. x ?1例4 求? (1 ? 2 x)(1 ? x ) dx .21解因为4 2 1 ? x? 1 ? 5 ? 5 25 , 1 ? 2 x)(1 ? x 2 ) 1 ? 2 x 1? x所以2 1? ? 4 ? x? ? ? 5 1 ? (1 ? 2 x)(1 ? x 2 ) dx ? ? ?1 ? 2 x ? 15? x 2 5 ?dx ? ? ? ?2 2 1 2x 1 1 ? 1 ? 2 xdx ? 5 ? 1 ? x 2 dx ? 5 ? 1 ? x 2 dx 5 2 1 1 1 1 ? ? d (1 ? 2 x) ? ? d (1 ? x 2 ) ? arctan x 2 5 1 ? 2x 5 1? x 5 2 1 1 ? ln | 1 ? 2 x | ? ln(1 ? x 2 ) ? arctan x ? C. 5 5 5 ?当有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,只出现多项式、A 及 ( x ? a)nMx ? N Mx ? N 等三类函数.前两类函数的积分很简单,下面讨论积分 ? 2 dx . n ( x ? px ? q) ( x ? px ? q) 22将分母中的二次质因式配方得 故令 x ?p? p2 ? x 2 ? px ? q ? ? x ? ? ? q ? , 2? 4 ?2p ? t ,并记 x 2 ? px ? q ? t 2 ? a 2 , Mx ? N ? Mt ? b , 2p2 Mp ,b ? N ? ,于是 4 2其中 a ? q ?2? (x2Mx ? N Mtdt bdt . dx ? ? 2 ?? 2 2 2 n ? px ? q) (t ? a ) (t ? a 2 ) n当 n ? 1 时(如例 2 ),有? (x2Mx ? N M b dx ? ln( x 2 ? px ? q) ? arctan 2 ? px ? q) 2 a ax?p 2 ?C .当 n ? 1 时,? (x2Mx ? N M dt dx ? ? ? b? 2 , 2 2 2 n ?1 ? px ? q) 2(n ? 1)(t ? a ) (t ? a 2 ) n上式最后一个积分的求发见上节例 9.这样我们就将有理函数的积分求出来了.由此,可得,有 理函数的原函数都是初等函数. 二、三角有理式的积分 例5 求? sin x(1 ? cos x) dx .1 ? sin x解由三角学知道, sin x 与 cos x 都可以用 tanx 的有理式表示，即 2 x x 2 tan 2 tan x x 2? 2 ， sin x ? 2 sin cos ? 2 2 sec2 x 1 ? tan2 x 2 2 x x 1 ? tan2 1 ? tan2 x x 2? 2 cos x ? cos2 ? sin 2 ? x x 2 2 sec2 1 ? tan2 2 2x 22u 1 ? u2 ， , cos x ? 1 ? u2 1 ? u2所以如果作变换 u ? tan (?? ? x ? ? ) ，那么 sin x ? 而 x ? 2 arctanu ，从而 于是dx ?2 du . 1 ? u22u ? 2du ? ?1 ? 2 ? 2 1 ? sin x ? 1? u ?1? u dx ? ? ? sin x(1 ? cos x) 2u ? 1 ? u 2 ? ?1 ? ? 1 ? u2 ? 1 ? u2 ? ? ? 1? ? ? ? ? u ? 2 ? ?du u? ? ? 1 ? u2 ? ? ? 2u ? ln | u | ? ? C ? 2 ? 2? ? 1 x x 1 x ? tan2 ? tan ? ln | tan | ?C. 4 2 2 2 2本例使用的代换称为万能代换，对三角有理式的积分都可以使用 三、简单无理式的积分 例6 求?x ?1 dx . x解2 为了去掉根号，可以设 x ?1 ? t ，于是 x ? t ? 1, dx ? 2tdt ，从而积分为?x ?1 u u2 dx ? ? 2 ? 2udu ? 2? 2 du x u ?1 u ?1 1 ? ? ? 2 ? ?1 ? 2 ?du ? 2(u ? arctanu ) ? C ? u ? 1? ? 2( x ? 1 ? arctan x ? 1) ? C.例7 求?1 e ?1xdx .解2 x 2 令 e ? 1 ? t ，则 e ? 1 ? t ， x ? ln | t ? 1 | ， dx ?x2t dt ，得 t ?12?例8 求1 2t 1 t ?1 ex ? 1 ? 1 dx ? ? ? 2 dt ? 2? 2 dt ? ln ? c ? ln ? c. t t ?1 t ?1 t ?1 ex ? 1 ex ? 1 ? 1 1?x dx x ?3 x6解为了同时去掉各个根式，得令 x ? t ,?x t3 t6 t6 ?1?1 dx ? ? 3 2 6t 5 dt ? 6 ? dt ? 6 ? dt t ?t t ?1 t ?1 x ?3 x 1 ? 6 ? (t 5 ? t 4 ? t 3 ? t 2 ? t ? 1 ? )dt t ?1 ? t6 t5 t4 t3 t2 ? ? 6? ? ? ? ? ? t ? ln | t ? 1 | ? ? c ?6 5 4 3 2 ? ? ? ? x? 66 5 36 4 x ? x ? 26 x 3 ? 36 x 2 ? 66 x ? 6 ln | 6 x ? 1 | ? c. 5 2例9 求?x1 1? x dx . x 1? x 1? x 2 1 2tdt ? t ，于是 ， ? t ,x ? 2 , dx ? ? 2 x x t ?1 (t ? 1) 2解为了去定掉根式，可以设从而所求积分为1 1? x ? 2t t2 dx ? ? (t 2 ? 1)t ? 2 dt ? ?2 ? 2 dt ?x x (t ? 1) 2 t ?1 1 ? t ?1 ? ? ?2 ? ?1 ? 2 ?C ?dt ? ?2t ? ln t ?1 ? t ?1? ? ?2t ? 2 ln(t ? 1) ? ln | t 2 ? 1 | ?C ? ?2 ? 1? x ? 1? x ? 2 ln ? ? 1? ? ln | x | ?C. ? ? x x ? ?四、含有反三角函数的不定积分 绝大多数这类题课直接令反三角函数为新变量求解x2 arctan xdx 求? 1 ? x2解 令 arctan x ? u, x ? tan u, dx ?du cos2 u于是原积分 ?tan2 u du 2 ? 1 ? tan2 u ? u ? cos2 u ? ? u tan udu1 ? ? u (sec2 u ? 1)du ? ? u sec2 udu ? u 2 2 1 1 ? ? ud (tan u ) ? u 2 ? u tan u ? ? tan udu ? u 2 2 2 1 ? u tan u ? ln | cosu | ? u 2 ? C 2? x arctan x ? ln 1 ? (arctan x) 2 ? C 2 1? x211 1 ? x arctan x ? ln(1 ? x 2 ) ? (arctan x)2 ? C 2 2练习 求?arccos x (1 ? x 2 )3dx五、抽象函数的不定积分 所谓抽象函数的不定积分， 是指被积函数由抽象函数所构成的一类积分， 其解法同样可 用换元法和分部积分法? 求 ? ? f ?( x)解 原式 ??? f ( x)f 2 ( x ) f ??( x) ? dx f ?3 ( x) ? ??f ( x) f ?2 ( x) ? f 2 ( x) f ??( x) f ( x) f ?2 ( x) ? f ( x) f ??( x) dx ? ? dx f ?3 ( x) f ?( x) f ?2 ( x )f ( x) ? f ( x) ? 1 ? f ( x) ? ?? d? ?C f ?( x) ? f ?( x) ? 2 ? f ?( x) ? ? ? ? ?2??练习?xf ?(ln x) dx f (ln x)六、分段函数的不定积分x?0 ?1 ? 设 f ( x ) ? ? x ? 1 0 ? x ? 1 ，求 ? f ( x ) dx. ?2 x x ?1 ?解 当 x ? 0 时，? f ( x)dx ? ?1dx ? x ? C ，1当 0 ? x ? 1 时， 当 x ? 1 时，? f ( x)dx ? ? ( x ? 1)dx ? 2 x212? x ? C2? f ( x)dx ? ? 2 xdx ? x? C3由于原函数的连续性，分别考虑在 x ? 0, x ? 1处的左、右极限可知有1 ? 1 ? C2 ? 1 ? C3 ， 2 1 解之，有 C1 ? C2 ? C3 ? ， 2 1 令 C1 ? C2 ? C3 ? ? C ，则 2 C1 ? C2 ,? ?x ? C x?0 ? ?1 f ( x)dx ? ? x 2 ? x ? C 0 ? x ? 1 ?2 ? 2 1 ?x ? 2 ? C x ? 1 ??练习 求 max( x , x ,1) dx 。?32X.3 几种特殊形式的定积分计算一、分段函数的积分 （1）要认清积分限是被积函数定义域的哪个区间段的端点，然后按段积分求和。 （2）当被积函数是给定函数与某一简单函数复合而成的函数时，要通过变量代换将其 化为给定函数的形式。切记：与此同时积分限也要相应改变。? ?k x ? 设 f ( x) ? ? ?c ? ?解 当0 ? x ? 当0? x?l ? x?l 2l 2 ，求?( x) ? ? f (t )dt0xx l 1 2 时， ?( x) ? ? ktdt ? kx 0 2 2l ? x ? l 时， 2x 1 l? ? ? ( x) ? ? f (t )dt ? ? k tdt ? ?l cdt ? k l2 ? c? x ? ? ， 0 8 2? ? 2 x l 2 0综上所述，可知?1 2 ?2 kx x ? ? ( x) ? ? f (t )dt ? ? 0 ? 1 k l2 ? c? x ? l ? ? ? ?8 2? ? ?练习 求积分0? x?l 2l ? x?l 2?2?2max( x, x2 )dx二、被积函数带有绝对值符号的积分 再作积分运算前取点绝对值，其方法是先令绝对值内的式子等于“0”，在积分区间内求出根， 再据此把积分区间分成若干个子区间， 各子区间上的被积函数的绝对值就可以去掉了 （注意符号！） ！ 求?e1 e| ln x | dx ? ?1 | ln x | dx ? ? | ln x | dx ? ? ?1 ln xdx ? ? ln xdxe 1 e 11e1e? ?( x ln x ? x) 1 ? ( x ln x ? x) 1e1e1 1 1 2 1 ? ln ? ? e ln e ? e ? 1 ? 2 ? 。 e e e e练习?5?1| x 2 ? 2 x ? 3 | dx三、被积函数中含有“变上限积分“的积分 用分部积分法做，将变上限的积分取作 u ，其余的部分取作 dv 设 f ( x) ??a?x0e y ( 2a ? y ) dy ，求 ? f ( x)dx 。0aa解?a0a a?x a?x a 2 2 f ( x)dx ? ? ? ? e y ( 2 a ? y ) dy? dx ? x ? e y ( 2 a ? y ) dy ? ? xe( a ? x ) (?1)dx ? 0 ? 0 0 0 ? ? 0a1 a 2 2 1 2 2 1 2 ? ? ? e( a ? x ) d (a 2 ? x 2 ) ? ? e ( a ? x ) ? (e a ? 1). 2 0 2 2 0练习 设 f ( x) ??e0x? y2 ?2 ydy ，求 ? ( x ? 1)2 f ( x)dx01四、对称区间上的积分 或者考察被积函数是否为奇偶函数， 用奇偶函数积分的 “特性” 处理， 或作负变换 x ? ?u 处理。 例 1 设 f (x) 在 (??, ?) 上连续，且对任何 x, y 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ，计算?1?1( x 2 ? 1) f ( x)dx ；在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 令 y ? 0 ，则有 f (0) ? 0 又 f [ x ? (? x)] ? f ( x) ? f (? x) ，即 f ( x) ? f (? x) ? 0 ，可知 f (x) 为奇函数。于是?1?1( x 2 ? 1) f ( x)dx ＝0例2sin 2 x I ??? dx 。 ? 1 ? e? x 44?解令 x ? ?u ，则 I ? ?? ?????44sin 2 u sin 2 x du ? ? 4? dx ? 1 ? ex 1 ? eu 4??2 I ? ? 4?sin 2 x sin 2 x 1 ? 2 ? 1 dx ? ? 4? dx ? ? 4? ? ? ? sin xdx ?x x ?x ? 1? e ? 1? e ? ?1? e 1 ? ex ? 4 4 42 ? ? 4? s i n xdx ? ? 4?1 (? ? 2) 4故1 I ? (? ? 2) 8五、由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或复合而成的函数的积分 通过变量代换把原积分分解成可抵消或易积分的若干个积分； 一般讲， 变量代换是这样做的；积分区间为对称的， x ? ?u ； 令 积分区间为 [0,? ] 的令 x ? ? ? u ；积分区间为 [0, 的，令 x ? 例?2]?? ? ?? ? u ；积分区间为 ?0, ? 的，令 x ? ? u 2 4 ? 4?1 1 1求定积分22 x? 2 1 x? 1 x? （1） ?1 (1 ? x ? )e x dx ? ?1 e x dx ? ?1 ( x ? )e x dx x x 2 2 2而?1 e22 x?1 xdx ? xex?1 2 x 1 22 ? 2? 1 ? x? 3 1 ? x? ? ?1 x?1 ? 2 ?e x dx ? e 2 ? ?1 ? x ? ?e x dx x ? 2 x? 2 ? 2? 1 5 13 代入原积分，的原积分＝ e 2 。 2（2）5??0令x ?? ? u 0 x sin3 x (? ? u ) sin3 u dx ? ? (?du) ? 1 ? cos2 u 1 ? cos2 x????03 ? u sin u sin3 u du ? ? du 0 1 ? cos2 u 1 ? cos2 u???从而 2 I ? ??03 ? x sin x sin3 x dx ? ? dx 0 1 ? cos2 x 1 ? cos2 x??0? sin3 x sin 2 x dx ? ?? ? d (cos x) 0 1 ? cos2 x 1 ? cos2 x?? ?? ?02 ? (1 ? c o 2 x ) s d ( c o x) s 2 1 ? c o sx? ?? ?2? a r c t a n ( x ) o s ? c o x 0 ? ? 2 ? 2? c0? s故I ?1 2 (? ? 2? ) 2（3）??2 0f (sin x) dx f (cos x) ? f (sin x)令x ? ? u 2????02f (cosu ) (?du) f (cosu) ? f (sin u )? ?20?f (cos x) dx f (sin x) ? f (cos x) f ( s i n) x f ( c o x) s ? dx ? ? 2 dx ? ? 2 dx ? 0 f ( s i n) ? f ( c o x ) 0 f ( s i n) ? f ( c o x) x s x s 2? ?从而2I ? ? 20?故I??4?。令x ? ? u 4?（4）?4 0ln(1 ? tan x)dx??? ln[1 ? tan( 4 ? u)]( ?du)40?? 1 ? tan u ? ? 4 ln[1 ? tan( ? u )]du ? ? 4 ln[1 ? ]du 0 0 4 1 ? tan u2 ? ? 4 ln( )dx ? ? 4 [ln 2 ? ln(1 ? tan x)]dx 0 0 1 ? tan x从而 六、 七、? ???2 I ? ? 4 ln 2dx ?0??4ln 2 。故I??8ln 2习题课三例 1 求下列各式的原函数： （1） 设 f ?( x ) ?21 ，求 f (x) x?1 (0 ? x ? 1), 及 f (0) ? 1，求 f (x) 。 ? x ( x ? 1)（2） 设 f ?(ln x) ? ? 解（1）对这种类型的题，一般可用下列两种解法。2方法一 设 x ? t , x ? 4 t ，原式变为f ?(t ) ?1 4 t3故1 4 4 f (t ) ? ? f ?(t )dt ? ? 4 dt ? t 4 ? C ， f ( x) ? x 4 ? C . 3 3 t方法二3f ( x 2 ) ? ? f ?( x 2 )d ( x 2 ) ? ?1 4 ? 2x d x x 2 ? C ， ? 3 x3令 x ? t , x ? ? t ，由于 x ? 0 ，故取 x ? t 。2所以4 4 f (t ) ? ( t ) 2 ? C ? t 4 ? C . 3 3t334 f ( x) ? x 4 ? C . 3?1 (t ? 0) f ?(t ) ? ? t ?e (t ? 0).3（2）设 ln x ? t , x ? e ，于是原式变为 所以，当 t ? 0 时， 当 t ? 0 时，f (t ) ? ? f ?(t )dt ? ? 1dt ? t ? C1 ； f (t ) ? ? f ?(t )dt ? ? et dt ? et ? C2 .由于 f ?(t ) 在 (??,??) 内连续（包括 t ? 0 ） ，所以其原函数 f (x) 在 (??,??) 内存在且 连续。由 f (t ) 在 t ? 0 的连续，有 lim? f (t ) ? lim? f (t ) ? f (0) ，而 f (0) ? 1，t ?0 t ?0即得C1 ? 1 ? C2 ? 1 ，故得 C1 ? 1, C2 ? 0 。?t ? 1 (t ? 0), f (t ) ? ? t (t ? 0), ?e即所以? x ? 1 ( x ? 0), f ( x) ? ? x ( x ? 0), ?e例2 求 解? 1 ? tan x dx 。1 cos x1? 1 ? tan x dx ? ? sin x ? cos x dx ? 2 ??1 cos x ? sin x ? cos x ? sin x dx sin x ? cos x1 ? cos x ? sin x ? 1? 1 ? ? ?1 ? sin x ? cos x ?dx ? 2 ? x ? ? sin x ? cos x d (sin x ? cos x)? 2 ? ? ? ? 1 ? ( x ? ln | cos x ? sin x |) ? C. 2例 3 求下列不定积分： （1） 解 （1）? cos x sin x dx ；ln tan x(2)? 1 ?1(3)?x1? x dx . 1? x? cos x sin x dxln tan xln tan x ln tan x 1 dx ? ? d (tan x) ? ? ln tan xd (ln tan x) ? (ln tan x)2 ? C. 2 cos x tan x tan x 2 1 （2） ? dx 1 ? sin x 1 ? sin x 1 ? sin x ?? dx ? ? dx ? ? sec2 xdx ? ? tan x sec xdx ? tan x ? sec x ? C. 2 2 1 ? sin x cos x ??（3） x?1? x dx 1? x??x(1 ? x) 1 ? x2dx ?x ? sin t?sin t (1 ? sin t ) costdt ? ? sin tdt ? ? sin 2 tdt cost1 ? cos 2t 1? 1 ? dt ? ? cost ? ? t ? sin 2t ? ? C 2 2? 2 ? 1 1 ? ? cost ? t ? sin t cost ? C 2 2 1 x ? ? 1 ? x 2 ? arcsin x ? 1 ? x 2 ? C. 2 2 ? ? cost ? ?例 4 用分布积分法求下列积分 （1）2 ? x ln(1 ? x )dx ； （2） ?3x sin 2 x arcsin x dx ； dx ； （3） ? 4 cos x x2 1 ? x2x（4）? sin(ln x)dx ；（5） e ???1 ? ? ln x ?dx 。 ?x ?解 （1） x ln(1 ? x )dx ?2?1 2 2 ? ln(1 ? x )d (1 ? x ) 21? 2x ? 2 2 2 ?(1 ? x ) ln(1 ? x ) ? ? (1 ? x ) ? 1 ? x 2 dx? 2? ? 1 ? [(1 ? x 2 ) ln(1 ? x 2 ) ? x 2 ] ? C. 2 ?（2）3x sin 2 x 2 2 2 ? cos4 x dx ? ? 3x tan x sec xdx ? ? 3x tan xd tan x? ? xd (tan3 x) ? x tan3 x ? ? tan3 xdxsin 2 x ? x tan x ? ? d (cos x) cos3 x31 ? ? 1 ? x tan3 x ? ? ? ? ?d (cos x) 3 ? cos x cos x ? 1 ? x tan3 x ? ? ln | cos x | ?C. 2 cos2 x（3）先作变换，令 arcsin x ? t ，则 x ? sin t ，于是?xarcsin x21 ? x2dx??t ? costdt ? ? t csc2 tdt sin t cost2? ? ? td (cot t ) ? ?(t cot? ? cot tdt ? ?t cot t ? ln | sin t | ?C ??（4）1 ? x2 arcsin x ? ln | x | ?C. x? sin(ln x)dx ? x sin(ln x) ? ? x ? cos(ln x) ? x dx1 ? x sin(ln x) ? [ x cos(ln x) ? ? x[? sin(ln x)] dx] x ? x sin(ln x) ? x cos(ln x) ? ? sin(ln x) dx1所以 故2 ? sin(ln x)dx ? x[sin(ln x) ? cos(ln x)] ? C.? sin(ln x)dx ? 2 [sin(ln x) ? cos(ln x)] ? C.（5） e ?xx?e ?1 ? ? ln x ?dx ? ? dx ? ? e x ln xdx x ?x ?x? ? e x d (ln x) ? ? e x ln xdx ? e x ln x ? ? e x ln xdx ? ? e x ln xdx ? e x ln x ? C.例 5 求下列积分： （1）? sin2dx ； x cos x（2）?1n( x ? a)n ?1( x ? b) n ?1dx 。解（1）? sin2dx cos xdx 1 ? 1 ? ?? 2 ? ?? 2 ? ?d (sin x) 2 2 x cos x sin x cos x ? sin x 1 ? sin x ???（2）1 1 1 ? sin x ? ln ? C. sin x 2 1 ? sin xdx ? ? 1 x?b n dx ( x ? a )( x ? b) x ? a?1n( x ? a ) n ?1 ( x ? b) n ?1令nx?b b ? at n (b ? a)nt n ?1 ? t, x ? , dx ? dt x?a 1? tn (1 ? t n ) 2原式??n n dt ? t ?C b?a b?a?例6 求n n x?b ? C. b?a x?a?1? e1xdx .解1 e? x 1 dx ? ? dx ? ? ? d (e ? x ? 1) ? ? ln(1 ? e? x ) ? C ?x ? 1 ? ex 1? e 1 ? e? x? ex ? 1 ? ex ex ? 1 x x dx ? ? ?1 ? ? 1 ? ex ? 1 ? e x ?dx ? x ? ? 1 ? e x d (e ? 1) ? x ? ln(e ? 1) ? C. ? ? ?也可以如下求解例 7 利用定积分求极限1? ? 2? n ?1 ? lim ? sin ? sin ? ? ? sin ? ?。 n ?? n n n n ? ?解 由定积分定义知，若 f (x) 在 [a, b] 上可积，则可对 [a, b] 用某种特定的分法，并取特殊的点，所得积分和的极限就是 f (x) 在 [a, b] 上的定积分。因此，遇到求一些和式的极 限时，若能将起化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限。分析和式1? ? 2? n ?1 ? ? ? ? sin ? ? 的特点，若将其化为积分和，可视被积函数为 sin?x ， ? sin ? sin n? n n n ?而分点1 n ?1 ?i ?1 i ? 和 其极限分别为 0 和 1， 即知积分区间为 [0,1] 作 n 等分， ? i 为 ? 取 , 的 n n ? n n? ?左端点，于是 sin?x 相应的积分和就是本题的和式，由于 sin?x 在 [0,1] 上连续，从而可积， 有1 1? ? 2? n ?1 ? ? lim ? sin ? sin ? ? ? sin ? ? ? ? sin ?xdx ? . n ?? n n n n ? ? ? 0用定积分求此类和式极限的关键是仔细分析所求和式， 选择适当的函数与积分区间， 把 和式极限转化为定积分，再利用牛顿－莱布尼茨公式计算出结果。 例 8 设 f (x) 在 (??,??) 上连续，且对任何 x 有?证 由x ?Tx（其中 T ? 0 为常数， A 为常数） ， f (t )dt ? A ，试证： f (x) 是以 T 为周期的周期函数。?x ?Txf (t )dt ? A ，两端对 x 求导，得f ( x ? T ) ? f ( x) ? 0 ，即 f ( x ? T ) ? f ( x)据周期函数的定义知， f (x) 是以 T 为周期的周期函数。 例 9 设 f (x) 在 [a, b] 上连续，且 f (x) 不变号，证明：方程?xaf (t )dt ? ?xbdt ?0 f (t )在 (a, b) 内有且只有一个跟。 令 F ( x) ?证?xaf (t )dt ? ?xbdt ，显然 F (x) 在 [a, b] 上连续，不妨设 f ( x) ? 0 ，则 f (t )F (a) ? ?abdt ? 0, f (t )F (b) ? ? f (t ) ? 0 ，故由零点定理知，在 (a, b) 内至少存在一点 ? ，ab使 F (? ) ? 0 ，即方程 F ( x) ? 0 在 (a, b) 内至少存在一个根。 又 F ?( x) ? f ( x) ?1 f 2 ( x) ? 1 2 f ( x) ? ? ? 2 ，可知在 [a, b] 上 F (x) 单调增加， f ( x) f ( x) f ( x)故 F ( x) ? 0 在 (a, b) 内只有一个根。 当 f ( x) ? 0 时，可类似得证 例 10 设 f (x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (0) ? 0 ， 0 ? f ?( x) ? 1 ，求证：? 1 f ( x)dx? ? 1 f 2 ( x)dx. ? ?0 ? ?0 ? ?证 令 F ( x) ? ? ?2? ?axx f (t )dt ? ? ? f 3 (t )dt ，则 F (0) ? 0 ， ? 0 ?x2F ?( x) ? 2 f ( x ) ? f (t ) dt ? f 3 ( x)a x ? f ( x) ?2 ? f (t )dt ? f 2 ( x)?, ? a ? ? ?又已知条件 f (0) ? 0 ， f ?( x) ? 0 ，可得 f ( x) ? f (0) ? 0 。又令G( x) ? 2? f (t )dt ? f 2 ( x)ax显然 G(0) ? 0 。而 G?( x) ? 2 f ( x)[1 ? f ?( x)] ，由已知 0 ? f ?( x) ? 1 ，故 G?( x) ? 0 ，所以G( x) ? G(0) ? 0 ，从而 F ?( x) ? 0 ，于是 F ( x) ? F (0) ? 0 ，特别 F (1) ? 0 ，即? 1 f ( x)dx? ? 1 f 2 ( x)dx. ? ?0 ? ?0 ? ?这类题要求比较两个定积分的大小，即比较两个数 A 与 B 的大小。证明这类题，通常 构造一个辅助函数 F (x) ，通常为变上限的积分，使 A ? B 恰为 F (x) 的一个函数值，然后 利用 F (x) 的单调性证明 F ( x) ? 0 （或 F ( x) ? 0) 从而得到 A ? B （或 A ? B) 。 例 11 设 f (x) 在 [0,1] 上可导， 且满足 f (1) ? 2 使 f ?(? ) ? ?2?1 2 0证明： 必存在点 ? ? (0,1) ， xf ( x)dx ，f (? )?. f (? )证要证 f ?(? ) ? ??，即要证 ?f ?(? ) ? f (? ) ? 0,? ? (0,1) ，由于 ?f ?(? ) ? f (? ) ? [ xf ( x)]? |x ?? ，因此引进辅助函数 F ( x) ? xf ( x), 显然 F (x) 在 [0,1] 上可导，且 F (1) ? f (1) 。又由题设 f (1) ? 2 定理，有1 ? ? 1?? 2? 2 xf ( x)dx ? ?f (? ) ?? ? ?0, ? ?, ? ? 0 ? 2?? ??1 2 0xf ( x)dx ，利用积分中值即有 F (1) ? F (? ) ，因此 F (x) 在 [? ,1] 上满足罗尔定理的条件，故有 ? ? (?,1) ? (0,1) 使F ?(? ) ? 0 ，即 ?f ?(? ) ? f (? ) ? 0 ，亦即 f ?(? ) ? ?f (? )?。例 12 设 f (x) 在 [0,1] 上连续，单调减且取正值，证明：对于满足 0 ? ? ? ? ? 1 的任何? , ? 有 ? ? f ( x)dx ? ? ? f ( x)dx 。0???解令 F (? ) ? ???0f ( x)dx ? ? ? f ( x)dx ，显然 F (0) ? 0 ，??F ?(? ) ? ?f (? ) ? ? f ( x)dx ? ?f (? ).??应用积分中值定理，并整理得F ?(? ) ? ( ? ? ? ) f (? ) ? ( ? ? ? ) f (? ) ? ? [ f (? ) ? f (? )] ? ? [ f (? ) ? f (? )],其中 ? ? ? ? ? 。由于 f (x) 单调减取正值，故 F ?(? ) ? 0 ，从而 F (? ) ? F (0) ? 0 。即? ? f ( x)dx ? ? ? f ( x)dx0???例 13 设函数 f ( x) ? ??e ? x ?x( x ? 0), ( x ? 0),求 F ( x) ??x?1f (t )dt.解当 x ? 0 时， F ( x) ? 当 x ? 0 时， F ( x) ??e?10x?tdt ? e ? e? x ；x??1e? t dt ? ? tdt ? e ? 1 ?0x2 . 2所以?e ? e ? x ( x ? 0) ? F ( x) ? ? x2 ( x ? 0). ?e ? 1 ? 2 ?例 14 设 f ?(x) 在 [a, b] 上连续，又 f (a) ? f (b) ? 0 ，试证：| f ( x) |?证1 b | f ?( x) | dx 2 ?a(a ? x ? b).?xa bf ?(t )dt ? f ( x) ? f (a) ? f ( x), f ?(t )dt ? f (b) ? f ( x) ? ? f ( x), 2 f ( x) ? ? f ?(t )dt ? ? f ?(t )dt ，a x x b?x两式相减，得所以2 | f ( x) |??xaf ?(t )dt ??bxf ?(t )dtb b? ? | f ?(t ) | dt ? ? | f ?(t ) | dt ? ? | f ?(t ) | dta x ax即?| f ( x) |?例 15 试求1 b | f ?( x) | dx. 2 ?asin 2 x ?? ?4 1 ? e? x dx.4解由于?a?af ( x)dx ? ? [ f ( x) ? f (? x)]dx ，而0af ( x) ? f (? x) ??? ex sin 2 x sin 2 x 1 ? 2 ? ? sin 2 x? ? ?x x x ? 1 ? e 1 ? e x ? ? sin x ? 1? e 1? e ? ?? ?所以sin 2 x 1 ? cos 2 x 2 ?? ?4 1 ? e? x dx ? ?04 sin xdx ? ?04 2 dx41 ?1 ?4 ? ? 2 ? ? x ? sin 2 x? ? . 4 8 ?2 ?0?}