高中数学函数必考性质 - 高中数学天天练
高中数学函数必考性质作者：高中数学天天练 / 微信号：shuxuezlaoshi&发布日期: 天天5道题，练出好成绩！高考试题中，80%分值的题都是基于课本基础知识的简单题与中等题，《高中数学天天练》由一线教师每天为你推送5道(左右)课堂同步基础练习题，每天只需十分钟左右的时间，数学轻松上120！欢迎订阅！函数是高考数学的基础，又是重难点，今天小数老师把函数的八大问题都列出来了。快点你收藏和分享吧~一次函数一、定义与定义式自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。三、一次函数的图像及性质1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。四、确定一次函数的表达式已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b 和y2=kx2+b（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。（4）最后得到一次函数的表达式。五、一次函数在生活中的应用1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。六、常用公式：（不全面，可以在书上找）1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/23.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/24.求任意线段的长：√(x1-x2)2+(y1-y2)2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）二次函数一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a&0时，开口方向向上，a&0时，开口方向向下,|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,|a|越小开口就越大。）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x?)(x-x?) [仅限于与x轴有交点A（x?，0）和 B（x?，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a x1，x2=(-b±√b2-4ac)/2a三、二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。四、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x= -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）五、二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。1.二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下：解析式 和 顶点坐标对 和 对称轴y=ax2 (0，0) x=0y=a(x-h)2 (h，0) x=hy=a(x-h)2+k (h，k) x=hy=ax2+bx+c (-b/2a，[4ac-b2]/4a) x=-b/2a当h&0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h&0时，则向左平行移动|h|个单位得到。当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便。2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a&0时，开口向上，当a&0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b2]/4a)．3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a&0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a&0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．4．抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；(2)当△=b2-4ac&0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?|当△=0．图象与x轴只有一个交点；当△&0．图象与x轴没有交点．当a&0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y&0；当a&0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y&0．5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a&0(a&0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a．顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．6．用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)．(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)．(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出。反比例函数形如 y＝k/x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为|k|。知识点：1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。2.对于双曲线y＝k／x ，若在分母上加减任意一个实数 (即 y＝k／（x±m）m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）对数函数对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。（2）对数函数的值域为全部实数集合。（3）函数总是通过（1，0）这点。（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。（5）显然对数函数无界。指数函数指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得可以得到：（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。（3） 函数图形都是下凹的。（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。（7） 函数总是通过（0，1）这点。（8） 显然指数函数无界。奇偶性一、定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义二、奇偶函数图像的特征定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称点（x,y）→（-x,-y）奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。三、奇偶函数运算1.两个偶函数相加所得的和为偶函数.2.两个奇函数相加所得的和为奇函数.3.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.4. 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.5.两个奇函数相乘所得的积为偶函数.6.一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.定义域（高中函数定义）设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；值域一、名称定义函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。常用的求值域的方法（1）化归法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（6）反函数法（逆求法）（7）判别式法（8）复合函数法（9）三角代换法（10）基本不等式法等二、关于函数值域误区定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。三、“范围”与“值域”相同吗？“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。也就是说:“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。糖罐子为什么会爬蚂蚁答案：【没有盖好】一块钱可以买几头牛答案：【九头牛【九牛一毛】中学老师遇到什么事最头痛答案：【感冒】「双手万能」这句话，什么时候会凸槌答案：【踢球的时候】什么东西装玻璃，爱把鼻子当马骑答案：【眼镜】【红色处是答案，不知道怎么看的请回复“答案”或“脑筋急转弯”】2017年7月份，高中数学天天练将推送：函数，基本初等函数，二次函数，导数，三角函数，集合与常用逻辑用语(新高三第一轮复习)，古典概型(必修3)，集合与常用逻辑，函数(第一轮复习)等，敬请关注！声明：如侵权，请在后台告知，我们将24小时内处理；如转载，请注明来源于微信订阅号《高中数学天天练》。相关文章猜你喜欢漳电路社区卫生服务站高中学霸民间偏方我是大厨师古风旗袍#统计代码对称在机械中的表现
摘 要：对称在人们的生活中表现在很多方面，不仅仅表现在物理中，在其他一些学科中也有很大作用，例如生文学，绘画，机械设计等。在这里说一下对称在机械中的表现。
关键字：对称、机械设计、图纸、工程师
正文：对称，物体或图形在某种变换条件（例如绕直线的旋转、对于平面的反映，等等）下，其相同部分间有规律重复的现象，亦即在一定变换条件下的不变现象。这是对称的定义，然而对称又不能仅仅局限在这一点，他在一些特殊领域也有体现。例如对称在数学及美学中的应用，都取得了显著成果，为人们的生产生活带来了许多方便与享受等等。
对称在机械设计中是广泛存在的，在机械及机械设计出现之时便于对称产生了不可分割之关系，对称随着机械的发展而不断得到完善，使得对称在机械中的表现更加完美，不断地赋予机械产品美学价值。
深入系统的研究机械对称,可以指导对称在机械系统中的科学应用,更好的实现机械系统的功能、提高机械系统的性能、满足机械系统的设计约束,提高机械系统的技术性、经济性和社会性,有助于产品创新设计,提高产品的市场竞争力。
在综合分析了各领域对称的研究历史和研究现状后,本文针对当前机械对称研究存在的问题,对机械对称的概念、作用及其应用知识获取进行了研究。主要研究内容及成果体现在以下四个方面： 一.机械对称概念体系的建立 在研究了跨学科领域对称和机械对称的存在后,提出了机械对称的概念和层次结构体系。总结和扩展了对称在生物学和物理学中的概念体系,建立了生物对称和物理对称的本体论框架,提出了适用于一般系统的对称本体框架。在此基础上结合对大量机械对称实例的研究,对比研究了对称在机械工程科学中的存在体系,提出了按结构对称、原理对称和功能对称分类的机械对称本体体系。对各种机械对称进行定义并阐明了其在机械中的存在和作用原理。探讨了机械结构对称、原理对称及功能对称在改进和创新产品中的应用方法。揭示了对称在自然和工程系统中的存在模式具有层次结构性、相关性、多体性、多元性、多维性和组合性等共性特征。 二.机械结构对称知识发现方法和比较模式映射关联规则挖掘算法的研究
大量的对称实例中存在着规律性的对称设计知识,将知识发现的方法应用到对称实例的知识挖掘中,采用计算机辅助方法挖掘出深层次的设计知识是促进对称在机械设计中正确应用的基础。提出了基于实例的机械结构对称设计知识发现进程和方法,建立了结构对称设计基础知识库,建立了结构对称实例模型和结构对称设计知识模板。
基于机械对称实例库属性数量较大而事务数量不大的特征,建立了基于事务属性合并和比较模式映射关联规则挖掘算法。与经典算法的对比分析表明,该算法对属性数量较大的中小型数据具有较高的求解效率,尤其在求解低支持度频繁模式时效果明显较好。运用机械结构对称知识发现方法和比较模式映射关联规则挖掘算法从对称实例中挖掘出关联知识,对关联知识加以提炼可得到具有普适性的结构对称应用知识。 三.结构对称在机械设计中的应用知识的建立 为指导对称在机械设计过程中的科学、系统的应用,在应用机械结构对称知识发现方法从大量对称实例中挖掘出关联知识的基础上,对关联知识进行整理、总结和提炼,提出了若干机械结构对称的应用知识。建立了设计需求、通用设计原理以及结构对称三者之间的双向关联知识。建立了结构对称在实现功能需求及性能需求中的若干应用知识。恰当的应用机械结构对称应用知识有助于更好地实现机械系统的设计需求,有助于提高机械系统的技术性、经济性和社会性,同时提高设计效率,实现能快速响应需求的产品创新。 四.计算机辅助机械对称实例知识挖掘系统的实现和应用 在上述理论的基础上,研制了机械对称实例知识挖掘系统,构建了由基础知识管理、对称实例管理和对称知识挖掘等模块组成的软件框架体系,将系统应用于机械结构对称实例的知识发现中,挖掘出了大量机械结构对称关联知识。
参考文献：（1）杨振宁.对称与物理[J]。自然杂志，）247-256
（2）李政道.对称与不对称[M]. 北京：清华大学出版社，2000
（3）颜振珏.对称性与守恒律[J]. 黔南民族师范学院学报，-16
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∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，
∴P′D′=DQ+PQ的最小值为
点评：本题考查的是轴对称最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
23. (2011襄阳，5，3分)下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是(
考点：中心对称图形；轴对称图形。
专题：图表型。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形；故本选项正确；
B．是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误；
C．是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形；故本选项错误；
点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
24. （2011?宜昌，1，3分）如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的（
A、轴对称性
B、用字母表示数
D、数形结合
考点：生活中的轴对称现象。
分析：根据轴对称的定义可以得出，数学美体现在蝴蝶图案的对称性．
解答：解：用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的对称性．
点评：此题主要考查了轴对称的应用，根据图形得出一种数学美，有利于同学们的生活的喜
爱以及数学与生活之间的联系．
25. （2011邵阳，3，3分）下列图形不是轴对称图形的是（
考点：轴对称图形.
分析：根据轴对称的概念，把其中的一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合．
解答：解：根据轴对称的概念：把其中的一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合．A是轴对称图形；故此选项正确；B是轴对称图形；故此选项正确；C是中心对称图形；故此选项错误；D是轴对称图形；故此选项正确；故选：C．
点评：此题主要考查了轴对称图形的定义，注意轴对称和轴对称图形的区别：轴对称指的是两个图形；轴对称图形指的是一个图形． 26. 下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的一句是（
A、上海自来水来自海上
B、有志者事竞成
C、清水池里池水清D、蜜蜂酿蜂蜜
【考点】生活中的轴对称现象．
【专题】应用题．
【分析】根据四个选项的特点，分析出与其它三个不同的即为正确选项．
【解答】解：A、上海自来水来自海上，可将D水‖理解为对称轴，对折后重合的字相同，故本选项错误；B、有志者事竞成，五字均不相同，所以不对称，故本选项正确；
C、清水池里池水清，可将D里‖理解为对称轴，对折后重合的字相同，故本选项错误；
D、蜜蜂酿蜂蜜，可将D酿‖理解为对称轴，对折后重合的字相同，故本选项错误．故选B．
【点评】此题考查了生活中的轴对称现象，题目新颖，妙趣横生，找到对称轴是解题的关键．
27. （2011北京，3，4分）下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是（
A．等边三角形
B．平行四边形
考点：中心对称图形；轴对称图形。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，四个选项中，只有D选项既为中
心对称图形又是轴对称图形
解答：解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
B．是不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项正确．
点评：本题主要考察中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
28. （2011福建莆田，8，4分）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形
ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；锐角三角函数的定义．
分析：由四边形ABCD是矩形，可得：∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由折叠的性质可得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE，然后在Rt△DCF中，即可求得答案．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，
由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，
∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，
∴∠DCF=∠AFE，
∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，
∴tan∠AFE=tan∠DCF=
点评：此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角函数的性质．解此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用．
29. （2011福建省三明市，10,4分）如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB=3CM；④△PMN是等边三角形．正确的有（
B、2个 D、4个
考点：翻折变换（折叠问题）；正方形的性质。
专题：证明题。
分析：根据题给条件，证不出①CM=DM；△BMN是由△BMC翻折得到的，故BN=BC，又点F为BC的中点，可知：sin∠BNF=BF1=，求出∠BNF=30°，继而可求出②∠ABN=30°；BN2
在Rt△BCM中，∠CBM=30°，继而可知BC
=CM，可以证出③AB2=3CM2；求出∠NPM=∠NMP=60°，继而可证出④△PMN是等边三角形．
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