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由本题所给的①、②两条信息，结合已学知识，回答下列问题．①是环戊烯的结构简式，可进一步简写为，环烯烃的化学性质跟烯烃相似．&&②有机化合物中的烯键可以跟臭氧（O3）反应，再在锌粉存在下水解即将原有的烯键断裂，断裂处两端的碳原子各结合1个氧原子而生成醛基（-CHO）或酮基（），这两步反应合在一起，称为“烯键的臭氧分解”．例如：（1）写出异戊二烯臭氧分解的各种产物的结构简式&，它们的物质的量之比为　&．（2）a&mol某烃CnH2n-2（该分子中无-C≡C-）和结构），发生臭氧分解后，测得有机产物中含有羰基（）b&mol，则a和b的代数关系是：　&或　&．（3）写出由环己醇（）和乙醇为有机原料，合成己二酸二乙酯的各步反应方程式　&．（4）某烃A的化学式为C10H16，A经臭氧分解可得到等物质的量的两种产物，其结构简式分别为HCHO和．A经催化加氢后得产物B，B的化学式为C10H20，分析数据表明，B分子内含有六元碳环．试写出A和B的结构简式A　&，B　&．（5）从香精油中分离到一种化合物[A]（C10H16），1mol[A]在催化加氢时可吸收2mol氢气；1mol[A]经臭氧氧化反应再加锌粉水解可得到1mol丙酮[（CH3）2C=O]和1mol3，6-二羰基庚醛，则推测得[A]的结构式为 　&．（6）一定量的化学式均为C4H8的不饱和烃的混合气体，经臭氧分解后生成8.7g酮、0.45mol的醛（其中甲醛有0.21mol）．试通过计算回答下列问题：（a）氧化后生成哪些物质？写出结构简式　&．（b）混合气体中含哪几种烃（写结构简式）？其物质的量之比为多少？　&，　&．&
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2009-浙江省绍兴市嵊州一中高三化学模拟试卷
分析与解答
习题“由本题所给的①、②两条信息，结合已学知识，回答下列问题．①是环戊烯的结构简式，可进一步简写为，环烯烃的化学性质跟烯烃相似．②有机化合物中的烯键可以跟臭氧（O3）反应，再在锌粉存在下水解即将原有的烯键断裂，断裂处...”的分析与解答如下所示：
（1）由反应信息②可知，异戊二烯臭氧分解生成HCHO与，根据方程式可知二者物质的量之比为2：1；（2）烃CnH2n-2（该分子中无-C≡C-）和结构），该有机物为链状二烯烃或环烯烃，据此结合信息解答；（3）发生消去反应所生产的环己烯，环己烯与臭氧（O3）反应，再在锌粉存在下水解生成OHCCH2CH2CH2CH2CHO，与新制氢氧化铜反应生成HOOCCH2CH2CH2CH2COOH，HOOCCH2CH2CH2CH2COOH与乙醇按1：2反应生成己二酸二乙酯；（4）A的分子式为C10H16，不饱和度为3，A与氢气加成生成B，B的化学式为C10H20，分子内含有六元碳环，故A中含有1个六元环、2个C=C双键，我们先将氧化后的产物复原，去掉后加上的氧，且将空下的双键位置编号，，，这样，若②和④先接成环，①和③再接为侧链，则能形成五圆环，不合题意，③④接成环；若②和③接成环，①和④再接为侧链，则能形成六圆环，符合题意，据此解答；（5）A的分子式为C10H16，不饱和度为3，1mol[A]在催化加氢时可吸收2mol氢气，分子中含有2个C=C双键，故A的分子中还含有1个环，三元环、四元环不稳定，由结可知，分子中存在六元环，去掉后加上的氧，将空下的双键位置编号，、，②④连接形成六元环，①③连接形成侧链，据此书写；（6）一定量的化学式均为C4H8的不饱和烃的混合气体，该烃属单烯烃，它可能的结构有CH3CH2CH=CH2、CH3CH=CHCH3、（CH3）2C=CH2，经臭氧氧化分别发生反应CH3CH2CH=CH2CH3CH2CHO+HCHO、CH3CH=CHCH3CH3CHO、（CH3）2C=CH2（CH3）2CO+HCHO，故经臭氧氧化分解后，所得产物CH3CH2CHO、CH3CHO、HCHO、（CH3）2CO，根据n=计算丙酮的物质的量，结合方程式（CH3）2C=CH2（CH3）2CO+HCHO计算（CH3）2C=CH2臭氧氧化生成的HCHO的物质的量，进而计算CH3CH2CH=CH2生成的CH3CH2CHO、HCHO的物质的量，根据醛的总的物质的量计算乙醛的物质的量，结合方程式计算各烃的物质的量，据此解答．（1）由反应信息②可知，异戊二烯臭氧分解方程式为CH2=C（CH3）CH=CH22HCHO+，由方程式可知HCHO与二者物质的量之比为2：1，故答案为：HCHO、，2：1；（2）烃CnH2n-2（该分子中无-C≡C-）和结构），若为链状二烯烃，分子含有2个C=C双键，由反应信息可知，1mol该烃氧化生成4mol，则b=4a；若为环烯烃，分子中含有1个C=C双键，故1mol该烃氧化生成2mol，则b=2a，故答案为：b=4a或b=2a；（3）发生消去反应所生产的环己烯，环己烯与臭氧（O3）反应，再在锌粉存在下水解生成OHCCH2CH2CH2CH2CHO，与新制氢氧化铜反应生成HOOCCH2CH2CH2CH2COOH，HOOCCH2CH2CH2CH2COOH与乙醇按1：2反应生成己二酸二乙酯，合成己二酸二乙酯的各步反应方程式为：①、②、③、④，故答案为：①、②、③、④；（4）A的分子式为C10H16，不饱和度为3，A与氢气加成生成B，B的化学式为C10H20，分子内含有六元碳环，故A中含有1个六元环、2个C=C双键，我们先将氧化后的产物复原，去掉后加上的氧，且将空下的双键位置编号，，，这样，若②和④先接成环，①和③再接为侧链，则能形成五圆环，不合题意，③④接成环；若②和③接成环，①和④再接为侧链，则能形成六圆环，符合题意，故A为，B为，故答案为：，；（5）A的分子式为C10H16，不饱和度为3，1mol[A]在催化加氢时可吸收2mol氢气，分子中含有2个C=C双键，故A的分子中还含有1个环，三元环、四元环不稳定，由结可知，分子中存在六元环，去掉后加上的氧，且将空下的双键位置编号，、，②④连接形成六元环，①③连接形成侧链，故A为，故答案为：；（6）（a）一定量的化学式均为C4H8的不饱和烃的混合气体，该烃属单烯烃，它可能的结构有CH3CH2CH=CH2、CH3CH=CHCH3、（CH3）2C=CH2，经臭氧氧化分别发生反应CH3CH2CH=CH2CH3CH2CHO+HCHO、CH3CH=CHCH3CH3CHO、（CH3）2C=CH2（CH3）2CO+HCHO，故经臭氧氧化分解后，所得产物CH3CH2CHO、CH3CHO、HCHO、（CH3）2CO，故答案为：CH3CH2CHO、CH3CHO、HCHO、（CH3）2CO；（b）由（a）的分析可知，混合气体中含（CH3）2C=CH2、CH3CH2CH=CH2、CH3CH=CHCH3，丙酮的物质的量为=0.15mol，结合方程式（CH3）2C=CH2（CH3）2CO+HCHO可知（CH3）2C=CH2的物质的量为0.15mol，氧化生成的HCHO的物质的量为0.15mol，由方程式可知，CH3CH2CH=CH2生成的HCHO的物质的量为0.21mol-0.15mol=0.06mol，故CH3CH2CH=CH2的物质的量为0.06mol、CH3CH2CHO的物质的量为0.06mol，故乙醛的物质的量为0.45mol-0.21mol-0.06mol=0.18mol，由方程式可知CH3CH=CHCH3的物质的量为0.09mol，故、（CH3）2C=CH2、CH3CH2CH=CH2、CH3CH=CHCH3、（CH3）2C=CH2的物质的量之比为0.15mol：0.06mol：0.09mol=5：2：3，故答案为：（CH3）2C=CH2、CH3CH2CH=CH2、CH3CH=CHCH3，5：2：3．
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由本题所给的①、②两条信息，结合已学知识，回答下列问题．①是环戊烯的结构简式，可进一步简写为，环烯烃的化学性质跟烯烃相似．②有机化合物中的烯键可以跟臭氧（O3）反应，再在锌粉存在下水解即将原有的烯键断...
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等考点的理解。
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有机物的推断
与“由本题所给的①、②两条信息，结合已学知识，回答下列问题．①是环戊烯的结构简式，可进一步简写为，环烯烃的化学性质跟烯烃相似．②有机化合物中的烯键可以跟臭氧（O3）反应，再在锌粉存在下水解即将原有的烯键断裂，断裂处...”相似的题目：
[化学--选修5：有机化学基础]已知A是卤代烃，其核磁共振氢谱中只有一个峰．c是高分子化合物，I是一种六元环状酯，转化关系如图所示，回答下列问题：（1）A的分子式&&&&B→C的反应类型&&&&A→B的反应条件是&&&&（2）写出结构简式：C&&&&，I&&&&（3）写出下列反应的化学方程式：E→F：&&&&&&&&
有机物A由C、H、O、Cl四种元素组成，其相对分子质量为198.5，Cl在侧链上．当A与Cl2分别在Fe作催化剂和光照条件下以物质的量之比为1：1反应时，分别是苯环上一氯取代产物有两种和侧链上一氯取代产物有一种；A与NaHCO3溶液反应时有气体放出．已知A经下列反应可逐步生成B～G．请你按要求回答下列问题：（1）A的化学式为&&&&；D的结构简式为&&&&．（2）上述反应中属于取代反应的是&&&&（填编号）；（3）C中含氧官能团的名称分别为&&&&；（4）E的同分异构体中，满足下列条件：①含有苯环，苯环上只有一个侧链，且侧链上只含有一个一CH3；②能发生银镜反应；③属于酯类．请写出一种符合上述条件E的同分异构体的结构简式：&&&&．（5）写出下列指定反应的化学方程式（有机物写结构简式）：A与NaOH的醇溶液共热：&&&&&&&&
有机化合物A～H的转换关系如图所示：请回答下列问题：（1）链烃A有侧链且只有一个官能团，其相对分子质量在65～75之间，1mol&&A完全燃烧消耗7mol氧气，则A的结构简式是&&&&，名称是&&&&；（2）在特定催化剂作用下，A与等物质的量的H2反应生成E．由E转化为F，F的结构简式是&&&&；（3）G与金属钠反应能放出气体，由G转化为H的化学方程式是&&&&；（4）③的反应类型是&&&&；（5）链烃B是A的同分异构体，分子中的所有碳原子一定共平面，其催化氢化产物为正戊烷，写出B所有可能的结构简式（不考虑顺反异构）&&&&、&&&&．
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该知识点好题
1已知：水杨酸酯E为紫外线吸收剂，可用于配制防晒霜．E的一种合成路线如下：请回答下列问题：（1）一元醇A中氧的质量分数约为21.6%，则A的分子式为&&&&；结构分析显示A只有一个甲基，A的名称为&&&&．（2）B能与新制的Cu（OH）2发生反应，该反应的化学方程式为&&&&．（3）C有&&&&种结构；若一次取样，检验C中所含官能团，按使用的先后顺序写出所用试剂：&&&&．（4）第③步的反应类型为&&&&；D所含官能团的名称为&&&&．（5）写出同时符合下列条件的水杨酸所有同分异构体的结构简式：&&&&．a．分子中有6个碳原子在一条直线上：b．分子中所含官能团包括水杨酸具有的官能团．（6）第④步的反应条件为&&&&；写出E的结构简式：&&&&．
2有机化合物G是合成维生素类药物的中间体，其结构简式如图1所示，G的合成路线如图2所示：其中A～F分别代表一种有机化合物，合成路线中部分产物及反应条件已略去已知：请回答下列问题：（1）G的分子式是&&&&，G中官能团的名称是&&&&．（2）第①步反应的化学方程式是&&&&．（3）B的名称（系统命名）是&&&&．（4）第②～⑥步反应中属于取代反应的有&&&&（填步骤编号）．（5）第④步反应的化学方程式是&&&&．（6）写出同时满足下列条件的E的所有同分异构体的结构简式&&&&．①只含一种官能团；②链状结构且无-O-O-；③核磁共振氢谱只有2种峰．
3可降解聚合物P的合成路线如下：已知：（1）A的含氧官能团名称是&&&&．（2）羧酸a的电离方程是&&&&．（3）B→C的化学方程式是&&&&．（4）化合物D苯环上的一氯代物有2种，D的结构简式是&&&&．（5）E→F中反应①和②的反应类型分别是&&&&．（6）F的结构简式是&&&&．（7）聚合物P的结构简式是&&&&．
该知识点易错题
1近年来，由于石油价格不断上涨，以煤为原料制备一些化工产品的前景又被看好．下图是以煤为原料生产聚氯乙烯（PVC）和人造羊毛的合成路线．请回答下列问题：（1）写出反应类型&&反应①&&&&&反应②&&&&．（2）写出结构简式&PVC&&&&&C&&&&．（3）写出AD的化学反应方程式&&&&．（4）与D互为同分异构体且可发生碱性水解的物质有&&&&种（不包括环状化合物），写出其中一种的结构简式&&&&．
2已知：CH2=CH-CH=CH2+R-CH=CH-R?→其中，R、R’表示原子或原子团．A、B、C、D、E、F分别表示一种有机物，E的相对分子质量为278，其转化关系如下图所示（其他反应产物及反应条件略去）：请回答下列问题：（1）中含氧官能团的名称是&&&&．（2）A反应生成B需要的无机试剂是&&&&．图所示反应中属于加成反应的共有&&&&个．（3）B与O2反应生成C的化学方程式为&&&&．（4）F的结构简式为&&&&．（5）写出含有HC≡C-、氧原子不与碳碳双键和碳碳三键直接相连、呈链状结构的C物质的所有同分异构体的结构简式：&&&&．
3利用从冬青中提取出的有机物A合成抗结肠炎药物Y及其他化学品，合成路线如下图：根据上述信息回答：（1）D不与NaHCO3溶液反应，D中官能团的名称是&&&&，B→C的反应类型是&&&&．（2）写出A生成B和E的化学反应方程式&&&&．（3）A的同分异构体I和J是重要的医药中间体，在浓硫酸的作用下I和J分别生产，鉴别I和J的试剂为&&&&．（4）A的另一种同分异构体K用于合成高分子材料，K可由制得，写出K在浓硫酸作用下生成的聚合物的结构简式&&&&．
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&&&&&&关于李群的变换的百科信息，收集李群的变换相关的知识，为您解答你想了解的内容。什么是李群论?&&&&&&古典李群(变换群)及其在微分方程、 微分几何、力学之应用。数学体系是怎样分布的？&&&&&&数学 分类参考 ◆ 数学史 * 中国数学史 * 外国数学史：巴比伦数学，埃及古代数学，希腊古代数学，印度古代数学，玛雅数学，阿拉伯数学，欧洲中世纪数学，十六、十七世纪数学，十八世纪数学，十九世纪数学。 * 中国数学家：刘徽　祖冲之　祖暅　王孝通　李冶　秦九韶　杨辉　王恂　郭守敬　朱世杰　程大位　徐光启　梅文鼎　年希尧　明安图　汪莱　李锐　项名达　戴煦　李善兰　华蘅芳　姜立夫　钱宝琮　李俨　陈建功　熊庆来　苏步青　江泽涵　许宝騄　华罗庚　陈省身　林家翘　吴文俊　陈景润　丘成桐　 * 国外数字家：泰勒斯　毕达哥拉斯　欧多克索斯　欧几里得　阿基米德　阿波罗尼奥斯　丢番图　帕普斯　许帕提娅　阿耶波多第一　博伊西斯,A.M.S.　婆罗摩笈多　花拉子米　巴塔尼　阿布·瓦法　奥·海亚姆　婆什迦罗第二　斐波那契,L.　纳西尔丁·图西　布雷德沃丁,T.　奥尔斯姆,N.　卡西　雷格蒙塔努斯,J.　塔尔塔利亚,N.　卡尔达诺,G.　费拉里,L.　邦贝利,R.　韦达,F.　斯蒂文,S.　纳皮尔,J.　德扎格,G.　笛卡尔,R.　卡瓦列里,(F)B.　费马,P.de　沃利斯,J.　帕斯卡,B.　巴罗,I.　格雷果里,J.　関孝和　顿,I.　莱布尼茨,G.W.　洛必达,G.-F.-A.de　伯努利家族　棣莫弗,A.　泰勒,B.　马克劳林,C.　欧拉,L.　克莱罗,A.-C.　达朗贝尔,J.le R.　蒙蒂克拉,J.E.　朗伯,J.H.　贝祖,E.　拉格朗日,J.-L.　蒙日,G.　拉普拉斯,P.-S.　勒让德,A.-M.　傅里叶,J.-B.-J.　热尔岗,J.-D.　高斯,C.F.　泊松,S.-D.　波尔查诺,B.　贝塞尔,F.W.　彭赛列,J.-V.　柯西,A.-L.　麦比乌斯,A.F.　皮科克,G.　罗巴切夫斯基　格林,G　沙勒,M.　拉梅,G.　施泰纳,J.　施陶特,K.G.C.von 　普吕克,J.　奥斯特罗格拉茨基,M.B.　阿贝尔,N.H.　波尔约,J.　斯图姆,C.-F.　雅可比,C.G.J.　狄利克雷,P.G.L.　哈密顿,W.R.　德·摩根,A.　刘维尔,J.　格拉斯曼,H.G.　库默尔,E.E.　伽罗瓦,E.　西尔维斯特,J.J.　外尔斯特拉斯,K.(T.W.)　布尔,G.　斯托克斯,G.G.　切比雪夫　凯莱,A.　埃尔米特,C.　艾森斯坦,F.G.M.　贝蒂,E.　克罗内克,L.　黎曼,(G.F.)B.　康托尔,M.B.　克里斯托费尔,E.B.　戴德金(J.W.)R.　杜布瓦-雷P.D.G.　诺伊曼,C.G.von　李普希茨,R.(O.S.).　克莱布什,R.F.A.　富克斯,I.L.　贝尔特拉米,E.　哥尔丹,P.A.　若尔当,C.　韦伯,H.　达布,(J.-)G.　李,M.S.　施瓦兹,H.A.　诺特,M.　康托尔,G.(F.P.)　克利福德,W.K.　米塔-列夫勒,(M.)G.　弗雷格,(F.L.)G.　克莱因,(C.)F.　弗罗贝尼乌斯,F.G.　柯瓦列夫斯卡娅,C.B.　亥维赛,O.　里奇,G.　庞加莱,(J.-)H.　马尔可夫,A.A.　皮卡,(C.-)E.　斯蒂尔杰斯,T.(J.)　李亚普诺夫,A.M.　皮亚诺,G.　胡尔维茨,A.　沃尔泰拉,V.　亨泽尔,K.　希尔伯特,D.　班勒卫,P.　闵科夫斯基,H.　阿达尔,J.(-S.)　弗雷德霍姆,(E.)I.　豪斯多夫,F.　嘉当,E.(-J.)　波莱尔,(F.-E.-J.-E)　策梅洛,E.F.F.　罗素,B.A.W.　列维-齐维塔,T.　卡拉西奥多里,C.　高木贞治　勒贝格,H.L.　哈代,G.H.　弗雷歇,M.-R.　富比尼,G.　里斯,F.(F.)　伯恩施坦,C.H.　布劳威尔,L.E.J.　诺特,(A.)E.　米泽斯,R.von　卢津,H.H.　伯克霍夫,G.D.　莱夫谢茨,S.　李特尔伍德,J.E.　外尔,(C.H.)H.　莱维,P.　赫克,E.　拉马努金,S.A.　费希尔,R.A.　维诺克拉多夫　莫尔斯　巴拿赫,S.　辛钦　霍普夫,H.　维纳,N.　奈望林纳,R.　西格尔,C.L.　阿廷,E.　哈塞,H.　扎里斯基,O.　博赫纳,S.　布饶尔,R.(D.)　塔尔斯基,A.　瓦尔德,A.　柯尔莫哥洛夫,A.H.　冯·诺伊曼,J.　嘉当,H.　卢伊,H.　哥德尔,K.　韦伊,A.　勒雷,.J.　惠特尼,H.　克列因　阿尔福斯,L.V.　庞特里亚金　谢瓦莱,C.　坎托罗维奇　盖尔范德　爱尔特希　施瓦尔茨　小平邦彦。 * 数字著作：《算数书》《算经十书》《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《张丘建算经》《五曹算经》《五经算术》《缀术》《数术记遗》《夏侯阳算经》《缉古算经》《数理精蕴》《畴人传》《数书九章》《测圆海镜》《益古演段》《四元玉鉴》《算法统宗》《则古昔斋算学》《几何原本》《自然哲学的数学原理》《几何基础》 * 中国古代数学计算方法：筹算，珠算，孙子剩余定理，增乘开方法，贾宪三角，招差法，盈不足术，百术。 * ：纵横图，记数法，黄金分割，希腊几何三大问题，计算工具，和算，费尔兹奖，沃尔夫奖，希尔伯特数学问题，国际数学教育委员会，国际数学联合会，国际数学家大会，数学刊物，中国数学教育，中国数学研究，中国数学会。 ◆ 数学基础：逻辑主义，形式主义，直觉主义。 ◆ 数理逻辑 * 逻辑演算：命题、一阶、高阶、无穷、多值-模糊、模态、构造逻辑等。 * 模型论：模态模型论，非标准模型等。 * 公理集合论：集合论公理系统，力迫方法，选择公理，连续统假设等。 * 逆归论：算法，递归函数，递归可枚举集，不可解度，广义递归论，判断问题，分层理论等。 * 证明论：数学无矛盾性，哥德尔不完备性定理，构造性数学，希尔伯计划等。 ◆ 集合论：集合，映射，序数，基数，超限归纳法，悖论，数系（实数，虚数），组合数学，图论（四色问题）、算术等。 ◆ 代数学 * 多项式：代数方程等。 * 性代数：行列式，线性方程组，矩阵，自向量空间，欧几里得空间，线性变换，线性型，二次性，多重线性代数等。 * 群：有限群、多面群体、置换群、群表示论、有限单群等。 * 无限群：交换群，典型群，线性代数群，拓扑群，李群，变换群，算术群，半群等。 * 环：交换环，交换代数，结合代数，非结合代数-李代数，模，格-布尔代数等。 * 乏代数 * 范畴 * 同调代数-代数理论 * 域：代数扩张，超越扩张，伽罗瓦理论-代数基本定理，序域，赋值，代数函数域，有限域，p进数域等。 ◆ 数论 * 初等数论：整除，同余，二次剩余，连分数，完全数，费马数，梅森数，伯努利数，数论函数，抽屉原理等。 * 不定方程：费马大定理等。 * 解析数论：筛法，素分布法，黎曼ζ函数，狄利克雷特征，狄利克雷L函数，堆垒数论-整数分拆，格点问题，欧拉常数等。 * 代数数论：库默尔扩张，分圆域，类域论等。 * 数的几何 * 丢番图逼近 * 一致分布 * 超越数论 * 概率数论 * 模型式论 * 二次型的算术理论 * 代数几何 ◆ 几何学 * 欧几里得几何学-希尔伯特公理系统：欧里几得空间，坐标系，圆周率，多边形，多面体等。 * 解析几何学：直线，平面，二次曲线，二次曲面，二次曲线束，二次曲面束，初等几何变换，几何度量等。 * 三角学 * 综合几何学：尺规作图-希腊几何三大问题等。 * 仿射几何学：仿射变换等。 * 射影几何学：对偶原理，射影坐标，射影测度，绝对形，交比-圆点，直线几何等。 * 埃尔朗根纲领 * 百欧几里得几何学 * 微分几何学：曲线，曲面-直纹面-可展曲面-极小曲面等。 * 微分流形：张量，张量分析，外微分形式，流形上的偏微分算子，复流形，辛流形，黎曼几何学，常曲率黎曼空间-齐性空间-黎曼流形的变换群-闵科夫斯基空间，广义相对论，联络论，杨-米尔斯理论，射影微分几何学，仿射微分几何学，一般空间微分几何学，线汇论，积分几何学等。 ◆ 拓扑学 * 一般拓扑学（拓扑空间，度量空间，维数，多值映射 * 代数拓扑学（同调论，同伦论-CW复形，纤维丛-复叠空间，不动点理论-闭曲面的分类-庞加莱猜想 * 微分拓扑学（流形-横截性 * 纽结理论 * 可微映射的奇点理论 * 突变理论 * 莫尔斯理论 ◆ 分析学 * 微积分学 ** 函数：初等函数，隐函数等。 ** 极限：函数的连续性等。 ** 级数 ** 微分学：导数，微分，中值定理，极值等。 ** 积分学：积分，原函数，积分法，广义积分，含参变量积分等。 ** 多元微积分学：偏导数，全微分，方向导数，雅可比矩阵，雅可比行列式，向量，向量分析，场论等。 * 复变函数论：复变函数（解析函数，柯西积分定理，解析函数项级数，幂级数，泰勒级数，洛朗级数，留数，调和函数，最大模原理，共形映射，特殊函数，整函数，亚纯函数，解析开拓，椭圆函数，代数函数，模函数，函数值分布论，黎曼曲线，单叶函数，正规族，拟共形映射，解析函数边值问题，狄利克雷级数，解析函数边界性质，拉普拉斯变换，积分变换，泰希米勒空间，广义解析几何等）。 * 多复变函数论 * 实变函数论：勒贝格积分，有界变差函数，测度论，黎曼-斯蒂尔杰斯积分，赫尔德不等式，施瓦兹不等式，闵科夫斯基不等式，延森不等式等。 * 泛函分析：泛函数，函数空间，索伯列夫空间，拓扑线性空间，巴拿赫空间，半序线性空间，希尔伯特空间，谱论，向量值积分，线性算子，全连续算子，谱算子，线性算子扰动理论，赋范代数，广义函数，非线性算子（泛函积分，算子半群，遍历理论，不变子空间问题）等。 * 变分法：变分法，大范围变分法等。 * 函数逼近论：函数构造论，复变函数逼近（外尔斯特拉斯-斯通定理，拉格朗日插值多项式逼近，埃尔米特插值多项式逼近，三角多项式，连续模，强迫逼近，有理函数逼近，正交多项式，帕德逼近，沃外尔什逼近，联合逼近，抽象逼近，宽度，熵，线性正算子逼近，傅里叶和）等 * 傅里叶分析：三角函数，傅里叶级数，傅里叶变换-积分（傅里叶积分算子，乘子，共轭函数，卢津问题，李特尔伍德-佩利理论，正交系，极大函数，面积积分，奇异积分，算子内插，BMO空间，Hp空间，奇异积分的变换子，佩利-维纳定理，卷积，Ap权），概周期函数，群上调和分析（哈尔测度，正定函数，谱综合）等。 * 流形上的分析：霍奇理论，几何测度论，位势论等。 * 凸分析 * 非标准分析 ◆ 微分方程 * 常微分方程（初等常数微分方程,线性常微分方程,常微分方程初值问题,常微分方程边值问题,常微分方程解析理论,常微分方程变换群理论,常微分方程定性理论,常微分方程运动稳定性理论,哈密顿系统,概周期微分方程,抽象空间微分方程,泛函数分方程-微分差分方程,常微分方程摄动方法,常微分方程近似解似解,动力系统-拓扑动力系统-微分动力系统 * 偏微分方程（数学物理方程,一阶偏微分方程,哈密顿-雅可比理论,偏微分方程特征理论,椭圆型偏微分方程-拉普拉斯方程,双曲型偏微分方程-波动方程,双曲守恒律的间断解,抛物型偏微分方程-热传导方程,混合型偏微分方程,孤立子,索伯列夫空间,偏微分方程的基本解,局部可解性,偏微分算子的特征值与特征函数,数学物理中的反问题,自由边界问题,分歧理论,发展方程,不适定问题 * 积分方程：弗雷德霍姆积分方程,沃尔泰拉积分方程,对称核积分方程,奇异积分方程,维纳-霍普夫方程,维纳-霍普夫方法等。 ◆ 计算数学 * 数值分析：数值微分等。 * 数值逼近：插值，曲线拟合等。 * 计算几何：样条函数值积分-数论网格求积分法，有限差演算，有限差方程等。 * 常微分方程初值问题数值解法：单步法，多步法，龙格-库塔法，亚当斯法等。 * 常微分方程边值问题数值解法：打靶法等。 * 高次代数方程求根 * 超越方程数值解法 * 非线性方程组数值解法：迭代法，牛顿法等。 * 最优化 * 线性规划：单纯形方法等。 * 无约束优化方法 * 约束优化方法 * 概率统计计算 * 蒙特卡罗达：伪随机数等。 * 代数特征值问题数值解法：广义特征值问题数值解法等。 * 线性代数方程组数值解法：稀疏矩阵，广义逆矩阵，对角优势矩阵，病态矩阵，消元法-高斯消去法，松驰法，共轭梯度法等。 * 偏微分方程边值问题差分方法 * 偏微分方程初值问题差分方法：计算流体力学，特片线法，守恒格式，分步法（局部一维方法、交替方向隐式法、显式差分方法、隐式差分方法），有限差分方法，有限元方法，里茨-加廖金方法（里茨法、加廖金法），玻耳兹曼方程数值解法，算图-诺模图等。 * 数值：并行算法，误差，最小二乘法，外推极限法，快速傅里叶变换-快速数论变换，数值稳定性，区间分析，计算复杂性等。 ◆ 概率论 * 概率分布（数学期望，方差，矩，正态分布，二项分布，泊松分布 * 随机过程（马尔可夫过程，平稳过程，鞅，独立增量过程，点过程，布朗运动，泊松过程，分支过程，随机积分，随机微分方程，随机过程的极限定理，随机过程统计，滤波，无穷粒子随机系统等。 * 概率，随机变量 * 概率论中的收敛 * 大数律 * 中心极限定理 * 条件期望 ◆ 数理统计学 * 参数估计：点估计，区间估计等。 * 假设检验：列联表等。 * 线性统计模型：回归分析，方差分析等。 * 多元统计分析：相关分析等。 * 统计质量管理：控制图，抽样检验，寿命数据统计分析，概率纸等。 * 总体 * 样本 * 统计量 * 实验设计法 * 抽样调查 * 统计推断 * 大样本统计 * 统计决策理论 * 序贯分析 * 非参数统计 * 稳健统计 * 贝叶斯统计 * 时间序列分析 * 随机逼近 * 数据分析 ◆ 运筹学 * 数学规则：线性规划，非线性规划，无约束优化方法，约束优化方法，几何规划，整数规划，多目标规划，动态规划-策略迭代法，不动点算法，组合最优化-网络流，投入产出分析等。 * 军事运筹学：彻斯特方程，对抗模拟，对策论，最优化等。 * 马尔可夫决策过程 * 搜索论 * 排队论 * 库存论 * 决策分析 * 可靠性数学理论 * 计算机模拟 * 统筹学 * 优选学 ◆ 数学物理 ◆ 控制理论 ◆ 信息论 ◆ 理论计算机科学 ◆ 模糊性数学什么是拓扑变换&&&&&&拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。 拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。 拓扑性质有那些呢?首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。左图的三样东西就是拓扑等价的，换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。 在一个面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。 应该指出，环面不具有这个性质。比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。 直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。 我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯()在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。 拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不在介绍。 拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。 二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。 因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。 拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。 拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。 计算机网络的拓扑结构是引用拓扑学中研究与大小，形状无关的点，线关系的方法。把网络中的计算机和通信设备抽象为一个点，把介质抽象为一条线，由点和线组成的几何图形就是计算机网络的拓扑结构。网络的拓扑结构反映出网中个实体的结构关系，是建设计算机网络的第一步，是实现各种网络协议的基础，它对网络的性能，系统的可靠性与通信费用都有重大影响。 ① 总线拓扑结构 是将网络中的所有设备通过相应的硬件接口直接连接到公共总线上，结点之间按广播方式通信，一个结点发出的信息，总线上的其它结点均可“收听”到。 优点:结构简单、布线容易、可靠性较高，易于扩充，是局域网常采用的拓扑结构。缺点:所有的数据都需经过总线传送，总线成为整个网络的瓶颈;出现故障诊断较为困难。最著名的总线拓扑结构是以太网(Ethernet)。 ② 星型拓扑结构 每个结点都由一条单独的通信线路与中心结点连结。 优点:结构简单、容易实现、便于管理，连接点的故障容易监测和排除。缺点:中心结点是全网络的可靠瓶颈，中心结点出现故障会导致网络的瘫痪。 ③ 环形拓扑结构 各结点通过通信线路组成闭合回路，环中数据只能单向传输。 优点:结构简单、蓉以是线，适合使用光纤，传输距离远，传输延迟确定。缺点:环网中的每个结点均成为网络可靠性的瓶颈，任意结点出现故障都会造成网络瘫痪，另外故障诊断也较困难。最著名的环形拓扑结构网络是令牌环网(Token Ring) ④ 树型拓扑结构 是一种层次结构，结点按层次连结，信息交换主要在上下结点之间进行，相邻结点或同层结点之间一般不进行数据交换。优点:连结简单，维护方便，适用于汇集信息的应用要求。缺点:资源共享能力较低，可靠性不高，任何一个工作站或链路的故障都会影响整个网络的运行。 ⑤ 网状拓扑结构 又称作无规则结构，结点之间的联结是任意的，没有规律。优点:系统可靠性高，比较容易扩展，但是结构复杂，每一结点都与多点进行连结，因此必须采用路由算法和流量控制方法。目前广域网基本上采用网状拓扑结构。运用施密特法将向量组正交化，为什么将向量组正交化什么时候要单位化，什么时候不要&&&&&&在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。这种正交化方法以Jrgen dersen Gram和Erhard Schmidt命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwwa decomposition）。在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。写出物理的哪一部分和数学的那一部分有共同点.例如公式的变换和数学的计算差不多.&&&&&&古希腊的时候,所有的科学都是没有区别的,无论是数学还是物理,甚至是哲学都被看才成是一个整体,几无例外,所有的数学家都是物理学家,所有的物理学家同时也是数学家,同时还都是哲学家.阿基米德被认为是历史上的十大数学家之一,同时也是伟大的物理学家.这种情况是由科学的发展的情况决定的,那时候科学的水平还比较低,人们的知识还不是很多,所以成为通才也相当容易.这个传统一直到牛顿的时代.牛顿以惊人的天赋同时与莱步尼滋发明了微积分,并用这种数学语言写下《自然科学的数学原理》,在那本书中牛顿写下了宇宙运转的方程,这个伟大的成就影响了整个世界的哲学观点,形成了机械的唯物主义的自然观,这种自然观依赖与精确的表述,而微积分正提供了这样的工具,成全了牛顿这位上帝派来的使者.而由微积分的发现,数学和物理开始分野,一方面数学和物理原来就有不同的哲学观点,其次牛顿发现的微积分隐含严重的逻辑上的问题.数学和物理从此开始各自不同的发展道路,并有意思的形成历史上各种殊途同归的神秘现象.在下面我们将先谈物理学的发展,在其中介绍数学的情况,和他们之间相互影响的关系.最后,我们就将介绍在最近二三十年中在数学和物理发展中显现出来的完全不同与以前的新的互相影响的情况,如超选和四维空间的奇异结构及与量子力学之间的关系,和他们相互影响过程中导致的矛盾.他们相互影响过程中导致的矛盾.物理学在牛顿奠定了基础以后,就发展缓慢,物理学界弥漫着乐观的气氛,在十九世纪结束的时候,有人甚至认为,科学家已经没有事情可做,只需要对已有的科学结论修修补补即可.而恰恰在这时候,神奇的1905年,就象牛顿神奇的1687年一样,爱因斯坦建立了相对论,而狭义相对论的最重要的贡献是改变了人们的时空观,在数学上他是简单的,一个洛仑兹变换群的作用,很快数学家名可夫斯基给出了相对论简洁的数学表示,他引入了一个有很高对称性的空间.后来爱因斯坦又建立了广义相对论,很巧合地,用到了黎蔓几何,那是黎曼在19世纪的时候纯粹从数学的需要建立的理论,他的关就是用局部的几何性质来得到全局的性质,这是一个很深刻的理论,因为从宇宙的尺度来看的话,人类所在的是一个局部平坦的空间.爱因斯坦就是利用这个数学工具并精心了被称为人类历史上最深刻的思考以后,建立了广义相对论,他的一个很重要的结果就是说：重力是由于弯曲空间形成的,这在几何上就是一个联络曲率的问题.也正是从相对论开始,黎蔓几何得以飞速的发展.后来就是量子力学的出现,同样是改变了人类对自然的观点和对人类本身的看法.在这里,出现了各种对称性的数学,各种各样的对称性,促进了他的发展,海森堡有一个观点就是认为在物理中研究中不用再去研究什么夸克等等基本的粒子,只需要代之相应的对称性就行了,对称性是物理学的本质所在.但是在量子力学中,我们总会感到他的不完被性,各种各样的问题的出现,会使我们感到困惑,这又是为了什么呢?在下面我将介绍在和理论物理有关系的那些数学并在后面对他们做出解释.紧黎曼流形上Dirac算子的指标定理,在规范场论的研究中显示出重要性,因为它可以度量左旋子和右旋子的区别和其他一些物理对象.指标定理的许多证明来自于物理学家的观点.例如,超对称,一个代数公式使它得到简化,更一般的大范围的推广,包括研究Dirac算子对规范势的依赖,已经从物理学中产生.量子场论促使Witten在looces上引入一个合规范势的依赖,已经从物理学中产生.量子场论促使Witten在loopspaces上引入一个合适的Dirac算子.这使椭圆亏格的研究活跃起来：他们是一族合适的Dirac算子序列的生成函数,这族算子是和切丛有关的向量丛有关.以被证明它是一个模形式,物理上很自然地把它解释为二维相对不变性的一个结果,更多的刚性定理的猜想也从物理中自然产生并且被严格证明.拓扑量子场论一些特别有趣的拓扑理论,包括Jone’s对扭结理论的工作和Donaldson对四维流形的工作,使Witten对量子场论形式化.这也给了原来的工作一个统一的研究框架和推广的思想,3维球体的Jones扭结不变量可以被推广到一般的闭3维流形.无穷维代数的表示论,可以被整体地推广到黎曼面上,共形场论是连接了表示论和拓扑的代数对象.量子场论导致了流形上的普通上同调环的自然分解,可以被称为量子上同调.量子上同调在数学上有非常的兴趣.上面的离子都是与规范场论有关,这些都对2维重力?难芯坑杏茫??别的,这些摸空间的对角联系了Feynman 对角组合技术,最激动人心的发展归与Kontsevich,他们连接了3维流形.最后我门来看以下扭结理论,Witten已经发现许多物理的量子场论可以被”twisted”以应用拓扑理论.这些包括改变不同场的spin.许多物理中的协变作用可以和数学中的扭结拓扑理论的饿协边作用等同.这些相同点有非常重要的结果：Witten建议4维空间中的超对称yang-mills理论可以和Donaldson多项式的猜想性质联系起来,而后者来源于拓扑的研究.通过对以上例子的阐述,我们已经可以明显地发现,数学在这里已经不仅仅是如过去那样,只是物理研究的工具,在现在,数学已经物理融合,他对数学实体的研究,例如对四维空间的研究直接导致了物理学上的突破,这些越来越显现出这个世界的神秘性,在下面的讨论中我们将看到现在这中数学和物理的融合状态是如何形成的,那里有非常深刻的背景,已经超越了简单的相对论的时空观,因为现在的问题正是,我们无法理解4维空间的确切结构,他在数学上的奇异性直接导致了许多物理上无法解释的现象,因为物理事件就是发生在四维空间里.发生在四维空间里.在上面那些例子中,量子场论和拓扑理论有许多交叉,这说明有一些微妙和广泛的事实被包含着.对于实际的物理,他蕴涵了一些什么东西呢?我们又应该怎样来处理数学的那一部分内容呢?我们先来回忆物理学中对称（和群论）所起的作用.杨振宁在北大的百年校庆的时候有一个讲演就讲了这个问题,对称性在许多年中是基本物理学研究的指导性原则.从有限对称开始,然后是紧致群的连续对称,量子力学引入了非紧李群的希尔泊特空间的表示.这导致了数学上的困难,因为没有合适的对称性的数学理论来描述他,有意外的解析困难,这时候,Gelfand和Harish-Chandra建立了基础并发展了相应的理论.现在,无穷维表示是许多数学分支总很有活力的一部分,包括数论,早已经与物理的研究脱离关系.同样,拓扑学和量子场论也有同样的关系,但其关系更加紧密.早期的拓扑上的思想来自与Dirac（甚至是Maxwell）,但是仅仅到最近一二十年才扮演了一个主要的角色.拓扑和对称很相近,但是拓扑更为一般和复杂.所以现在量子拓扑也是是一个非常困难的课题,需要许多年才能成熟起来.拓扑和代数对物理学的研究来说,有些东西都是共同的普通的.这也是为什么在物理中许多分析可以被省略,用代数来代替.这就是为什么物理的文献中充满了公式.物理学家形式地工作并且模糊地使用这些代数公式.很明显的,物理中的对称?杂泻芮康牡脑际?裕?沟梦锢砜梢杂么??幢硎尽Ｄ敲赐仄说那榭瞿兀客仄烁?隽说湍芰孔刺?男畔ⅲ??彝仄顺３Ｐ枰??砍.?⑶野???猿啤?在拓扑上,80年代中期的时候,英国数学家Donaldson发现了,一个四维流形有不同的微分结构,这是一个很奇怪的现象.又所有的物理时间都发生在一个三维和四维的空间中,这种拓扑上的奇异性必将影响物理现象,但关键的问题是,怎样在他们个之间产生影响.这是现在数学的主流方向也是理论物理发展的主流.通过以上的对数学和物理的分析,物理和数学从来没有能够独自得到发展,历史上向来如此,尤其在现在,在量子场论的研究中,和3维四维流形的研究中,他们的思想是如此紧密的结合在一起,我们不仅要问：上帝到底是怎样创造了这个世界.留给我们人类如此的问题,莫不感到自然的神秘.在哲学上,我们将对我们所在的世界和时间有更深刻和完整的了解.群论怎么学&&&&&&　群论是法国传奇式人物伽罗瓦（ Galois，年）的发明。他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了五次方程问题。在此之后柯西（Augustin-Louis Cauchy,年)，阿贝尔（Niels Henrik Abel，年）等人也对群论作出了发展。 　　最先产生的是n个文字的一些置换所构成的置换群，它是在研究当时代数学的中心问题即五次以上的一元多项式方程是否可用根式求解的问题时,经由J.-L.拉格朗日、P.鲁菲尼、N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦引入和发展，并有成效地用它彻底解决了这个中心问题。某个数域上一元n次多项式方程,它的根之间的某些置换所构成的置换群被定义作该方程的伽罗瓦群，1832年伽罗瓦证明了：一元 n次多项式方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为“可解群”（见有限群）。由于一般的一元n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn，而当n≥5时Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽罗瓦还引入了置换群的同构、正规子群等重要概念。应当指出，A.-L.柯西早在1815年就发表了有关置换群的第一篇论文，并在年间对置换群又做了很多工作。至于置换群的系统知识和伽罗瓦用于方程理论的研究，由于伽罗瓦的原稿是他在决斗致死前夕赶写成的，直到后来才在C.若尔当的名著“置换和代数方程专论”中得到很好的介绍和进一步的发展。置换群是最终产生和形成抽象群的第一个最主要的来源。 　　在数论中，拉格朗日和C.F.高斯研究过由具有同一判别式D的二次型类,即f=ax^2+2bxy+cy^2,其中a、b、с为整数，x、y 取整数值，且D＝b^2-aс为固定值，对于两个型的&复合&乘法,构成一个交换群。J.W.R.戴德金于1858年和L.克罗内克于1870年在其代数数论的研究中也引进了有限交换群以至有限群。这些是导致抽象群论产生的第二个主要来源。 　　在若尔当的专著影响下，（C.）F.克莱因于1872年在其著名的埃尔朗根纲领中指出，几何的分类可以通过无限连续变换群来进行。克莱因和（J.-）H.庞加莱在对 &自守函数”的研究中曾用到其他类型的无限群（即离散群或不连续群）。在1870年前后，M.S.李开始研究连续变换群即解析变换李群,用来阐明微分方程的解,并将它们分类。这无限变换群的理论成为导致抽象群论产生的第三个主要来源。 　　A.凯莱于1849年、 1854年和 1878年发表的论文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗罗贝尼乌斯于1879年和E.内托于1882年以及W.F.A.von迪克于 年的工作也推进了这方面认识。19世纪80年代，综合上述三个主要来源，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理系统，大约在1890年已得到公认。20世纪初，E.V.亨廷顿，E.H.莫尔，L.E.迪克森等都给出过抽象群的种种独立公理系统，这些公理系统和现代的定义一致。 　　在年期间，W.伯恩赛德的“有限群论”先后两版,颇多增益。G.弗罗贝尼乌斯、W.伯恩赛德、I.舒尔建立起有限群的矩阵表示论后，有限群论已然形成。无限群论在20世纪初，也有专著,如1916年Ο.ю.施米特的著作。群论的发展导致20世纪30年代抽象代数学的兴起。尤其是近30年来,有限群论取得了巨大的进展,1981年初，有限单群分类问题的完全解决是一个突出的成果。与此同时，无限群论也有快速的进展。 　　时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以至（代数）编码学、自动机理论等方面，都有重要的应用。作为推广“群”的概念的产物：半群和幺半群理论及其近年来对计算机科学和对算子理论的应用，也有很大的发展。群论的计算机方法和程序的研究，已在迅速地发展。 　　今天，群论经常应用于物理领域。粗略地说，我们经常用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出在某种变化下的某些变化量的性质。它也跟物理方程联系在一起。基础物理中常被提到的李群，就类似与伽罗瓦群被用来解代数方程，与微分方程的解密切相关。 　　在物理上，置换群是很重要的一类群。置换群包括S3群，二维旋转群，三维旋转群以及和反应四维时空相对应的洛仑兹群。洛仑兹群加上四维变换就构成了Poincare群。 　　另外，晶体学中早期的关于晶体的各种结构的问题中，也是靠群论中的费得洛夫群的研究给出了答案。群论指出，空间中互不相同的晶体结构只有确定的230种。 　　在研究群时，使用表象而非群元是较方便的，因为群元一般来说都是抽象的事物。表象可以看成矩阵，而矩阵具有和群元相同的性质。不可约表象和单位表象是表象理论中的重要概念。 　　在许多研究群论的数学家眼中，也即指在抽象群论中，数学家关心的是各元素间的运算关系，也即群的结构，而不管一个群的元素的具体含义是什么。举一个具体的例子，群论研究表明，任何一个群都同构于由群的元素组成的置换群。于是，特别是对研究有限群来说，研究置换群就是一个重要的问题了。什么是李群论?&&&&&&古典李群(变换群)及其在微分方程、 微分几何、力学之应用。专业实习鉴定表上，专业调查内容要怎么填啊，填过的帮下忙，感激不尽!!&&&&&&一、调查的对象、内容和调查方式本次调查，我们选取了理科的物理、化学、计算机，工科的工程、机械、电工、无线电、文科的文学、艺术、历史、政治，农科的农业、林业、渔业、地理，以及经济学等专业作为主要调查对象。调查内容见附录一。调查方式采用问卷调查、走访提问、资料搜集等形式进行。二、调查结论1.对数学的认识。调查结果显示,数学在现代社会生产、生活中各个方面的应用越来越广泛，数学已经渗透到各行各业，各个专业方向。从卫星到核电站，从天气预报到家居生活，高技术的高精度、高速度、高自动、高质量、高效率等特点，无不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的控制来实现的。产品、工程的设计与制造，产品的质量控制，经济和科技中的预测和管理，信息处理，资源开发和环境保护，经济决策等，无不需要数学的应用。另外，数学、数学的思想方法，也处处影响人们的生产和生活。2.对现行高中数学教学内容使用情况的调查。本次调查把现行高中数学教材(必修本)和原二省一市，现十省市使用的高中数学教材的15个部分内容分为经常用到、有时用到、偶尔用到和不用等四个方面进行调查(见附录一)。调查结果如下(各个方面的意见不一致，大致统计)。经常用到:集合与简易逻辑，函数的解析式、图象，幂函数，指数函数，不等式的性质，解一元二次不等式，不等式的证明，解任意三角形，数列的通项公式，等差数列，等比数列，曲线与方程，直线方程，二元一次不等式的图象解法，简单线性规划问题，平面图形直观图的画法，加法原理，乘法原理，排列及排列数公式，组合及组合数公式，概率的意义，等可能事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，独立重复试验发生的概率的，离散型随机变量分布列、期望值、方差，抽样方法，正态分布，线性回归，数列的极限，函数的极限，函数的连续性，导数的意义，初等函数的求导，函数的最大与最小值，求简单函数的不定积分，图形的面积计算，图形的体积。有时用到:映射,反函数,指数函数，对数函数,数学归纳法，平面向量的运算，平面向量的坐标表示，平面向量的数量积,三角函数的诱导公式，三角函数的图象和性质，圆的方程，抛物线及其标准方程，平面及其基本性质，空间向量及其运算，用空间向量处理几何问题，总体分布的估计，复合函数的求导，微分的运算，利用导数研究函数的性质，求简单函数的定积分，微积分基本公式，积分的其它应用，解指数不等式，复数的向量表示。偶尔用到:解无理不等式，解对数不等式，直线与平面的位置关系，多面体，棱柱，球，椭圆极其标准方程，双曲线及其标准方程，椭圆、双曲线、抛物线的简单几何性质，二项式定理，复数的运算。基本不用:平面与平面的位置关系，异面直线，三角函数的和差化积与积化和差，棱锥，复数的三角形式运算。3.对是否可以列入新高中数学课程内容的调查。本次调查列出24个知识项分为可以与不可以两个方面进行调查(见附录一)，结果如下(各个方向的意见不一致，大致统计)。认为可以列入的有:估算，算法，向量与变换，行列式，矩阵的代数运算(以二维为主)，逻辑量词，离散数学初步，数列的递推，条件概率，概率密度，连续型随机变量的分布列、期望值与方差，区间估计，相关系数，二项分布，探究性问题，用图形解决问题，用计算机探究问题，数学建模。认为不可以列入的有:迭代法解方程，矩阵与几何变换，复数的指数形式，复数与三角变换，回归函数，复合函数的积分，分步积分。对于本次调查的其他部分内容，如应重视哪能数学思想方法，应强调培养哪些数学能力，现行高中教材中“立体几何”“解析几何”“三角函数”等内容的功能和意义如何等项的调查正在进行之中。另外，根据附录一、二在网上调查也正在进行。附录一高中数学社需调查提纲一、对于下列的现行高中数学教学内容，在你的工作中是否用到?请填在下列知识点后面的括号内，其中A-经常用到，B-有时用到，C-偶尔用到，D-不用。1集合()，简易逻辑();2映射()，反函数()，函数的解析式()，函数的图象()，幂函数()，指数函数()，对数函数();3不等式的性质()，解一元二次不等式()，解无理不等式()，解指数不等式()，解对数不等式()，不等式的证明();4平面向量的运算()，平面向量的坐标表示()，平面向量的数量积();5三角函数的诱导公式()，三角函数的和差化积与积化和差()，三角函数的图象和性质()，解任意三角形();6数列的通项公式()，等差数列()，等比数列();7曲线与方程()，直线方程()，二元一次不等式的图象解法()，简单线性规划问题()，圆的方程();8椭圆极其标准方程()，双曲线及其标准方程()，抛物线及其标准方程()，椭圆、双曲线、抛物线的简单几何性质();9平面及其基本性质()，平面图形直观图的画法()，异面直线()，直线与平面的位置关系()，平面与平面的位置关系()，多面体()，棱柱()，棱锥()，球()，空间向量及其运算()，用空间向量处理几何问题();10加法原理()，乘法原理()，排列及排列数公式()，组合及组合数公式()，二项式定理();11概率的意义()，等可能事件的概率()，互斥事件有一个发生的概率()，独立重复试验发生的概率的()，离散型随机变量分布列、期望值、方差()，抽样方法()，总体分布的估计()，正态分布()，线性回归();12数列的极限()，函数的极限()，数学归纳法()，函数的连续性();13导数的意义()，初等函数的求导()，复合函数的求导()，微分的运算()，利用研究函数的性质()，函数的最大与最小值();14求简单函数的不定积分()，求简单函数的定积分()，微积分基本公式()，图形的面积计算()，图形的体积()，积分的其它应用();15复数的向量表示()，复数的运算()，复数的三角形式运算()。二、你认为下列哪些内容可以列入新高中数学教学内容中?请填在知识点后的括号内，其中，可以-A,不可以-B。1逻辑量词()2迭代法解方程()3估算()4算法()5矩阵的代数运算(以二维为主)()6矩阵与几何变换()7向量与变换()8行列式()9复数的指数形式()10复数与三角变换()11条件概率()12概率密度()13连续型随机变量的分布列、期望值与方差()14区间估计();回归函数15相关系数()16二项分布()17离散数学初步()18数列的递推()19复合函数的积分()20分步积分()21数学建模()22探究性问题()23用图形计算器解决问ti()24用计算机探究问题().三、你认为还有哪些数学内容可以列入高中数学教学内容中?四、你认为高中数学课程中应重视哪些数学思想方法? 五、你认为高中数学课程中应强调培养哪些数学能力?附录二高中数学社需调查提纲(二)“高中数学课程标准”(教学大纲)正随着教育部组织的中小学各学科的课程标准的研制在积极、紧张的讨论和制订之中。为了更广泛地了解社会各主要行业对高中数学课程及内容的需求，以便为“标准”的制订提供充分依据，特请您对下面的问题进行考虑并给出回答。相信您的回答定会对“标准”的形成起到一定的作用，感谢您对基础教育的关心和支持，谢谢!一、高中数学课程中给您留下印象最深的内容和方法是什么?哪些内容和方法对您的影响较大二、您认为高中数学课程内容中的“立体几何”、“解析几何”、“三角函数”等内容的功能和意义如何?三、请回答附录一中问题一和问题二。 四、你认为还有哪些内容可以列入高中数学教学内容中?五、对于附录一中问题一和问题二所列的内容，也许在您的工作中或您所在行业中很少用到，但是数学的思维方式以及数学的思想方法是否对您的工作产生影响?六、您所在行业及您的工作中对数学的需求是什么?七、你认为高中数学课程中应重视哪些数学思想方法?八、你认为高中数学课程中应强调培养哪些数学能力?附录三关于数学在理科中应用的调查报告我们对理科中物理、化学、计算机基础中数学知识的应用进行了相关的调查。调查过程中翻阅了大量的相关资料，并询问了不少相关的专家，现将结果公布如下:一、物理学中的数学知识数学是物理学的基础和工具。离开了数学，物理学几乎寸步难行。现行大学物理系的数学教材几乎囊括了所有高等数学的基础知识。理论物理和实验物理都必需具备相当高深的数学知识。理论物理中所应用的数学知识有:空间及其拓朴、映射、实分析、群论、线性代数、方阵代数、微分流形和张量、黎曼流行、李导数、李群、矢量分析、积分变换(包括傅里叶变换和拉普拉斯变换)、偏微分方程、复变函数、球函数、柱函数、函数、格林函数、贝塞尔函数、勒让德多项式等。实验物理中所应用的数学知识呈主要集中在概率统计学中。包括一维、多维随机变量及其分布、概率分布、大数定律、中心极限定理、参数估计、极大似然法等。其中概率分布包括伯努力分布、泊松分布、伽马分布、分布、t分布、F分布等。从上可以看出，上述数学知识对物理专业来讲，必需了解，且有的需要深入了解。比如群论、空间及拓朴、积分变换、偏微分方程、概率分布、参数估计等。工科和理科、师范类和非师范类、物理专业和非物理专业、其物理学习中所应用的数学知识也有范围和程度上的变化。工科就没有理科要求高，物理专业中所涉及的数学知识也比非物理专业所学物理课本上的数学知识丰富的多。二、化学中的数学知识初等化学只是简单介绍物质的组成、结构、性质、变化及合成。除了相应的计算外，与数学的联系没有物理学那么紧密。高等化学需要更深入的研究物质，因此需要相应的高等数学知识为基础。下面我们就化学理论和化学实验两种课程来讨论。化学理论中所应用的数学知识有:级数及其应用、幂级数与Taylor展开式、Fourier级数、Forbemus方法、Bessel方程、Euler-Maclaurh加法公式、String公式、有限差分、矩阵、一阶偏微分方程、二阶偏微分方程、常微分方程(包括一阶、二阶、线性、联立)、特殊函数(包括贝尔函数和勒让德多项式)积分变换、初步群论等。化学实验中所应用的数学知识有:随机事件及其概率、随机变量的数字特征、随机分量及其分布、大数定理、中心极限定理、参数估计等。从上面可以看出，化学中的数学知识主要应用于计算，因此大部分是一些数学公式和方程，并没有更深一步理论推导及逻辑思维、形象思维的要求。所以，化学专业中数学知识的要求不高，只限于了解并会套公式而已。三、计算机基础中的数学知识计算机基础与数学联系十分紧密。当今更为火爆的网络等信息界的精英，大部分是数学出身，数学在计算机中的应用是不言而喻的。大部分高校的计算机系所开设的数学课程几乎和数学系不相上下，无论广度，深度都达到相当水准。从事计算机软件、硬件开发不仅需要高深的数学知识为基础，而且需要很强的逻辑思维能力、形象思维能力和空间想象能力，这些离开数学是不可能的。计算机基础中所应用的数学知识主要有:数理逻辑、图论、数据处理、线性代数、概率分布、参数估计、群论、积分变换、微分方程、拓朴等。计算机系学生学习更重要的是培养逻辑思维能力，因为这在软件开发，程序设计上必不可少。笔者在调查过程中还发现许多计算机系学生辅修或自学产业数学课本，由此可见数学的重要性。四、分析总结由于物理、化学、计算机基础与数学的联系十分紧密，所涉及的数学知识也十分广博，其需要的基本数学知识、基本技能都应在高中课本中出现，如:逻辑量词、矩阵的代数运算、行列式、初等积分等，为大学奠定基础的高中数学课本还应重视学生数学思想方法和思维能力的培养。我们在调查中也了解到许多非数学专业学习的高等数学即使是数学专业的学生在学习时都有一定的难度。这主要是高等数学的思维方式与思维方法与初等数学有很大的不同，因此，在高中数学教学内容中适当涉及现行高等数学中的一些基本概念，并穿插相应的数学思想方法是十分必要的。另外，数学知识也分为理论型和应用型，理论型的数学学习着重培养思维能力和思考方法。所涉及的数学知识较深，实用型的数学学习着重培养形象思维、空间想象及联想。所涉及的数学知识较浅。理论型的数学知识在其它学科中应用的较为广泛。高中数学内容也可适当加入相关内容。一、农业在生态农业系统的评价方法用到较多的数学方法:如综合评价法中综合指标值的计算:，其中为第I个指标值(分数或指数)，为第I个指标的权重:又如模型评价法中用到数学模型的知识;另外方程式的应用也占很大一部分，如评价农场生态经济的方程式:。在农业生态工程中能量流，物质流，价值流及生态效率的分析计算中用到的数学知识有百分率的计算、级数、函数、对数、多元方程组、矩阵等。 数学模型的建立，对于农业生态工程的建设研究是十分重要的。农业生态工程的数学模型严格讲是农业生态工程这一人工生态系统的经济发展模型，其任务在于提供对于系统现状及其结构，功能的认识，并可以用此去预测系统即将发生的行为，进一步采取某种措施即改变输量的数值及条件，或调节子系统之间的交换速率等等，对系统实施控制，以达到它的“最优化”。百分率计算、方程等在农业的其它许多方面都有应用，如土壤含水率的计算，作物根系对水分的吸收量遵循方程式等。二、林业对于林业，特别要提到的是林学的一个年轻分支--林业遥感，它用了较多的数学方法，建立了遥感定量估测中应用了圆锥曲线、级数、函数、线性代数(特别是向量，特征向量)的大量知识，另外在用遥感方法间接评估气候时用了三角函数的有关知识，如太阳辐射照度N的计算:。圆锥曲线方程在林学的其它方面也有许多应用:如树高(H)，胸高直径(D)，D与H之间的关系可通过双曲线方程:表示，又如生态指数曲线等。三、渔业可能有许多非专业的同志会问渔业跟数学知识有什么关系呢?关系可大着呢，看看下面，这些例子:死亡率的数学表达式:;平均丰盛度:;Becerton-Holt补充曲线为参数，种群数量变动中的基本模式其中的-公式，种群出生率b，死亡率z,种群的数量x,种群的比例增长率r=b-z;的三种生长方程:VanBertalanffy生长方程，不对称“S”型生长方程和高次生长方程LL，数学中的方程、导数、积分、微分方程、参数方程、极限、级数等在渔业中都有着广泛的应用。四、地理几何学来源于土地的测量，而几何学的发展又使土地的测量更加精确。数学在地理中是必不可少的，测绘学中是不能缺少几何学这一工具;另外，地下水资源的评价用到数理统计法、解析几何、数值分析等数学方法;地下水的动态和均衡的研究则用到函数，水污染损失估算也用到函数;资源储量与开采关系的研究则用到了积分;在气象领域中数学是关键，如天气预报，常用到概率，微分方程是大多数短期预报的数学核心，描述大气连续变化状态的基本方程实际上是称为navier-Stakes方程的偏微分方程组。在城市建设和空中交道管理中，大多采用坐标法进行定位。五、医学医学仪器中用到对数、微分方程、导数、积分、傅立叶变换等。医学研究中用到概率论，数理统计学，生物数学、运筹学、数理逻辑，集合论和模糊集理论等数学史上19世纪有哪几种几何学派&&&&&&数学新思想的深化阶段这一阶段从十九世纪五十年代到十九世纪七十年代。1851年，黎曼的博士论文《单复变函数一般理论的基础》第一次明确了单值解析函数的定义，指出了实函数与复函数导数的基本差别，非凡是阐述了现称为黎曼面的概念和共形映射定理，开创了多值函数研究的深刻方法，打通了复变函数论深入发展的道路。黎曼本人利用这一思想出色地探讨了阿贝尔积分及其反演阿贝尔函数，1854年，黎曼为获大学讲师资格，提交了两篇论文，其中《关于作为几何学基础的假设》是数学史上影响最深远的作品之一。在十九世纪前半叶，数学家已熟悉到存在不同于欧氏几何的新几何学，并发展了内蕴几何和高维几何的理论，但它们处于分散与孤立的状态。黎曼以其深刻的洞察力将三者统一于 n维流形的理论，开始了现代微分几何学研究。这是关于任意维空间的内蕴几何，黎曼以二次微分形式定义流形的度量，给出了流形曲率的概念。他还论证了能在球面上实现二维正的常曲率空间。据说黎曼的深刻思想当时只有高斯能理解。经十九世纪60年代贝尔特拉米等人的介绍与推进，黎曼的理论才开始为广大数学家领悟，他们对微分不变量的研究，最后导致里奇创立张量理论。在另一篇论文中，黎曼探讨了将积分概念推广到间断函数上去，提出了现称为黎曼积分的概念。他构造了具有无穷间断点而按他的定义仍可积的函数。寻找这类函数是十九世纪70~80年代很时髦的课题。沿着扩展积分概念的方向，后来的数学家得到各种广义积分，最闻名的当属二十世纪初出现的勒贝格积分。1859年，黎曼研究 ζ函数的复零点，提出闻名的黎曼猜想。黎曼的思想，在几何、分析、数论领域长盛不衰，有力地影响着十九世纪后期以至二十世纪的数学研究。魏尔斯特拉斯在这一时期继续分析算术化的工作，提出了现代通用的极限定义，即用静态的方法(不等式)刻画变化过程。他构造出处处不可微的连续函数实例，告诫人们必须精细地处理分析学的对象，对实变函数论的兴起起了催化作用。在复变函数论方面，他提出了基于幂级数的解析开拓理论。魏尔斯特拉斯的众多成果出自他任中学教员的时期，到1859年出任柏林大学教师后才广为人知。由于他为分析奠基的出色成就，后被誉为“现代分析之父”。当德国学者在分析与几何领域大放异彩之时，英国学者继续发挥他们在代数中的优势。1854年，布尔发表了《思维规律的研究》，创立了符号逻辑代数，这是使演绎推理形式化的有力工具。布尔强调数学的本质不是探究对象的内容，而是研究其形式，因而数学不必限于讨论数和连续量的问题，可由符号表示的一切事物都可纳入数学领域。1855年，凯莱在研究线性变换的不变量时，系统地提出矩阵概念及其运算法则。矩阵是继四元数之后的又一类不满足乘法交换律的数学对象，它们和群论都是推动抽象代数观点形成发展的重要因素。在凯莱之后，矩阵理论不断完善，不仅成为数学中的锐利武器，还是描述和解决物理问题的有效武器。基于对矩阵和四元数的熟悉，凯莱还引进了抽象群的概念，但未马上引起重视，抽象群论的发展还有待于对各种具体的群作深入的研究。十九世纪60年代末，若尔当担起了向数学界阐明伽罗瓦理论的重任，在发表于1870年的《置换论》中，他对置换群理论及其与伽罗瓦方程论的联系作出清楚的总结，为群论在十九世纪最后30年间的发展奠定了基础。在这一时期，数学家对射影几何及非欧几何的熟悉也日趋深化。1859年，凯莱论证了欧氏空间的度量性质并非图形本身的届性，而可以借助某种特定图形按射影概念加以建立，说明欧氏几何是射影几何的一部分。克莱因发挥凯莱的思想，同样论证非欧几何也可以包括在射影几何之内。这样便彻底澄清了射影几何与那些度量几何的关系，铺平了几何公理化发展的道路。1868年，贝尔特拉米在伪球面上实现了罗巴切夫斯基几何，在欧氏空间中给出直观上难以想象的非欧几何模型。之后克莱因和庞加莱分别给出各自的非欧几何模型，说明非欧几何本身的相容性(即无矛盾性)与欧氏几何一致，加速了人们接受非欧几何的进程。在60年代末70年代初，由高斯在十九世纪初开辟的代数数论研究，经由戴德金和克罗内克等人的推进，形成为内容丰富的现代数学分支。戴德金引进一种代数数类代替库默尔的理想数，重建了代数数域中的惟一因子分解定理，创立了理想论。克罗内克则另辟蹊径，得到相似的概念，并创立有理函数域论，引进在域上添加代数量生成扩域的方法。这里，需要提及概率论中的几项重要成果。在十九世纪，概率论的发展不象数学其他分支那样突出。自拉普拉斯之后，泊松曾得到闻名的泊松分布。更重要的是切比雪夫关于独立随机变量序列的大数律和某类独立随机变量序列的中心极限定理，概率论的系统理论到二十世纪才完成。综上所述，可看到十九世纪前半叶出现的新思想，在这20多年间变得更成熟，形成了众多独立的研究方向或分支学科。数学公理化运动的初创期这一阶段从十九世纪七十年代初到十九世纪末。数学经过十九世纪前七十年的发展，讨论基础问题的条件已趋成熟。与以前的世纪不同，十九世纪的数学家最终选择算术而不是几何作为本门科学的基础。几何中普吕克有关齐次坐标的研究，分析中魏尔斯特拉斯的静态方法都反映了这种倾向。但是算术中最基本的实数概念始终是模糊的。柯西的实数定义有严重缺陷，犯了循环定义的错误。1872年，魏尔斯特拉斯、康托尔、戴德金和其他一些数学家，在确认有理数存在的前提下，通过不同途径给无理数下了精确定义。又经过不少数学家的努力，最终由意大利学者皮亚诺完成了有理数理论。1881年，他在《算术原理新方法》中，给出了自然数的公理体系，由此可从逻辑上严格定义正整数、负数、分数、无理数。康托尔在探讨实数定义的同时，研究了傅里叶级数收敛点集的结构，1874年起发表一系列有关无穷集合的文章，开创了集合论这一基础性的数学分支。康托尔的成果是高度独创性的，他把无穷集本身作为研究对象，通过一一对应方法，区分无穷集的大小，定义了集合的基数(或称势)，引进序型、序数以及一些属于拓扑学的基本概念。他提出了闻名的连续统假设。康托尔的工作影响十分深远:首先是重新唤起人们对实无穷的研究，开拓了点集拓扑的领域;第二，使人们把函数的定义域建立在一般的点集之上，推动了测度论和泛函分析的研究;第三，由于集合论的内在矛盾，激发起对数理逻辑和数学基础的深入研究。但集合论问世之初，曾遭到一些闻名数学家的激烈反对，以至康托尔晚年处于精神崩溃状态。到十九世纪末，阿达马等证实了康托尔的理论在分析学中的重要应用，才使这一理论得到转机，终于成为二十世纪数学研究的一个基础。分析的严格化以皮亚诺的自然数公理体系的建立而告一段落。这种公理化的倾向也同样在其他数学分支蔓延。弗雷格提出了逻辑公理体系，帕施得到了射影几何的公理体系。最闻名的是希尔伯特于1899年在《几何基础》中阐述的欧几里得几何的公理系统。他考虑了公理系统的独立性、相容性和完备性，并证实欧几里得几何的相容性可归结为算术的相容性。希尔伯特的工作掀起了公理化的热潮:一方面，数学家为各数学分支建立公理体系;另一方面，通过略去否定或其他方式改变所论体系的公理来探索新体系、新问题。公理化运动并没有限制新思想的萌生和对各种具体课题的研究，后者始终是数学发展中最活跃的因素。群论的应用在这一时期非凡引人瞩目，1872年，克莱因受聘任埃尔朗根大学教授时，发表题为《关于近代几何研究的比较考察》的讲演(即闻名的埃尔朗根纲领)，他指出每种几何可由特定的变换群来刻画，各种几何的研究内容是在相应的变换群下的不变量，一种几何的子几何则是研究原变换群的子群的不变量。根据变换群的观点，克莱因对几何进行了系统分类，揭示了群的概念在几何中的统一作用(不包括一般的黎曼几何和代数几何)开拓了研究几何的一种有效的方法。克莱因的工作体现了数学专门化趋势中蕴含的统一因素。1874年，挪威数学家李在研究常微分方程与保持这些方程的解不变的变换群之间的关系时，创建了连续变换群理论(现称李群)以及相应的代数(现称李代数)。有了对具体的群的广泛研究，抽象群论获得了新生。1882年，德国数学家迪克受凯莱工作的鼓舞，引进用生成元和生成元之间关系来定义群的抽象观点，开始抽象群论的系统研究。与此相伴的是分析与经典代数方法对群论的应用，即群的表示理论应运而生。组合拓扑学作为一门学科在十九世纪末登上了数学舞台。庞加莱是这一领域的主要奠基者。庞加莱是当时领头的数学家之一，爱好广泛，研究涉及众多数学分支以至天体力学和物理科学。在探讨描述行星运动的微分方程周期解时，他采用了拓扑观点分析奇点及积分曲线的结构，开创了微分方程定性理论。在研究一般”维图形的结构时，引进了一套系统的组合方法，为组合拓扑奠定了基础。拓扑和抽象代数的观点和方法成为二十世纪最有影响的研究手段。与庞加莱齐名的另一位闻名数学家是希尔伯特。他不仅积极创导了公理化方法，而且非凡重视数学中单个重大问题的研究，认为这是数学活力之所在。他本人就通过解决一系列具体问题，得到许多重要方法。十九世纪末，他发表了两个报告。《数论报告》系统总结了代数数论的全部成果，开辟了类域论的研究方向。1900年，在第二届国际数学家大会上，希尔伯特作了影响深远的题为《数学问题》的报告，成为迎接二十世纪挑战的宣言。在数学分成几十个分支各自独立发展的形势下，希尔伯特坚信数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各部分之间的联系。在十九世纪末，领头数学家对数学前途布满了信心，与十八世纪末的情景形成鲜明对照。庞加莱和希尔伯特的业绩展示了二十世纪数学大发展的曙光。求解微分方程的各种方法,理工类别&&&&&&传统解法（见高数书）积分变换法（傅里叶变换,拉普拉斯变换法,正交变换法等）级数解法达朗贝尔行波法李群分析法 量纲分析法变分法保角变换法格林函数法算子级数法.数值计算方法(近似方法)
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